tema 1: fundamentos matemáticosfundamentos matemáticos
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Tema 1:Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos
Antonio González Fernández
ánde
z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
nzál
ez F
erná
Parte 5/7
Anto
nio
Gon
Parte 5/7Circulación, rotacional y
t d St k
© 2
010,
A teorema de Stokes
La circulación es una integral de línea d t i lde un campo vectorial
Una integral de línea es una calculada a lo largo de una curvaUna integral de línea es una calculada a lo largo de una curva
Ejemplo: trabajo realizado por una fuerza
,lim · d
B
AC
r 0
F r F rΓ
ánde
z
Es un escalar con signoΔr
F
El resultado depende del camino
nzál
ez F
erná
p
Ej.: B = −yux + xuy = ρu Segmento: x (−a,a), y = 0, z = 0 0 d 0
aC x x
u u u
Anto
nio
Gon
Arco: ρ = a, φ (0,π), z = 0
0 d 0x y xaC x x u u u
© 2
010,
A
2
2
0dC a a a
u u
Circulación a lo largo de una curva dcerrada
Si consideramos una curva cerrada obtenemos la circulaciónSi consideramos una curva cerrada obtenemos la circulación como medida de la rotación neta
·dC
F r
ánde
z
ΓΓ
nzál
ez F
erná 0C 0C
Ej: Para Γ circular, A = r y 2d d 0C
A
Anto
nio
Gon
j , yB = −yux + xuy = ρu
Γ
0
·d d 0C a a A r u u
2
© 2
010,
A
3
Γ: ρ = a,φ (0,2π), z = 0 2 2
0·d d 2C a a a
B r u u
Definición de rotacional de un campo t i lvectorial
La circulación sobre Si queremos localizar las rotaciones, La circulación sobre una curva cerrada nos da la rotación
q ,debemos tomar curvas más pequeñas
1lim d F r Dividimos por ΔS para nos da la rotación neta de un campo. 0
lim ·dS S F r p p
que no tienda a 0
l d l
ánde
z
Esta es la componente del rotacional ×F en la dirección perpendicular a la curva y
nzál
ez F
erná perpendicular a la curva y
orientada según la regla de la mano derecha
Anto
nio
Gon
0
1lim ·dn S S
F F rPodemos imaginar una rueda
d l f l
© 2
010,
A
4
de paletas infinitesimal como medida del rotacional
El rotacional es un vector, aunque la i l ió lcirculación sea un escalar.
El rotacional ×F es un vector con tres componentes pindependientes, cada una de las cuales es un límite diferente
ánde
z nz
ález
Fer
náAn
toni
o G
on
xF z
F yF
© 2
010,
A
5 x y zx y z F F u F u F u
Ejemplo de rotacional: movimiento de t ió ifrotación uniforme
Para el campoPara el campo
x yy x B u u u
La circulación es no nula:
ánde
z
no nula:
En el eje
En el resto del
nzál
ez F
erná En el resto del
espacio
Anto
nio
Gon
El rotacional vale
2 B u
© 2
010,
A
6
2 z B u
En general ×F no es perpendicular a F
Rotacional en un movimiento rectilíneo
En el perfil de Poiseuille las líneas de campo son rectasp p
ánde
z nz
ález
Fer
náAn
toni
o G
on
2
1v v u 02v
v uSe produce rotación debido al movimiento
© 2
010,
A 0 21 zva
v u 2a v u
7
debido al movimiento diferencial
El rotacional da las fuentes vectoriales d t i lde un campo vectorial
El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorialEl rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial
F J · F
J: fuentes vectoriales de F ρ: fuentes escalares de F
ánde
z
Un campo que carece de fuentes vectoriales (J = 0) en todo el espacio se denomina
nzál
ez F
erná todo el espacio se denomina
irrotacional
Anto
nio
Gon Ej: todo campo central es
irrotacional
© 2
010,
A
8 F 0 rF rF u
El rotacional como aplicación del d bloperador nabla
El rotacional El rotacional puede calcularse como
31 21 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
A A Ah q h q h q
uu uA u u u
ánde
z nz
ález
Fer
ná
Puede 1 1 2 2 3 3h h hu u uLas derivadas
Anto
nio
Gon
Puedecalcularse como un
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1h h h q q q
A
Las derivadas actúan sobre la fila inferior
© 2
010,
A
9
determinante1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
q q qh A h A h A
la fila inferior
Ejemplos de cálculo del rotacionalj p
Ejemplo: A = r0
0 0
x y z
z y
u u u
0
j p
0 0x y zy
x y z y zx y z
r u u u 0
Ejemplo: B =−yux + xuy = ρu
ánde
z
1z
u u u
r 0 2
x y z
yx
u u u
B u u
nzál
ez F
erná
0zz
r 0 2
0
z zx y z x yy x
B u u
Anto
nio
Gon
2
sen1
r r r
u u u
r 021 1 2
z
u u u
B u u
© 2
010,
A
10
2 sen0 0
rrr
r 0
2
2
0 0
z zz
B u u
Más álgebra del operador nablag p
Suma: Producto por un escalar:p
· · · A B A B · · · A A A A B A B A A A
A B A B A A A
ánde
z Producto escalar de dos vectores:
· · · A B A B B A A B B A
nzál
ez F
erná
Producto vectorial de dos vectores:
A B A B B A A B B A
Anto
nio
Gon
· · · · A B B A B A A B A B · · · A B A B B A
© 2
010,
A
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Teorema de StokesS
La circulación sobre una curva El rotacional da la rotación cerrada da la rotación neta local en un punto del espacio
La suma de las rotaciones locales da la rotación netaLa suma de las rotaciones locales da la rotación neta·d
F r d
nSS F · d
SS F n ·d
S F S
J F
ánde
z Teorema de Stokes
·d ·d F r F S
J = ×F
n
nzál
ez F
erná ·d ·d
S F r F S
F
Anto
nio
Gon S es una superficie arbitraria
que tiene a Γ por borde y orientada según la regla de
Γ
F
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010,
A
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orientada según la regla de la mano derecha
Ejemplo de aplicación del teorema de St kStokes
1.11. Para el campo vectorial
A = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz( y) x ( y) y z
calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:
ánde
z
cerradas:(a) Un cuadrado de lado 2a, con vértices ±aux ± auy.(b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y
nzál
ez F
erná con centro el origen de coordenadas.
(c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y ycon centro el origen de coordenadas
Anto
nio
Gon con centro el origen de coordenadas.
Halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.
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010,
A
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S
Solución
Una integral de línea que no es una i l ió t fi icirculación: vector superficie
1 16 D t i t d l d d d1.16 Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que
1
donde r es el vector de posición y S el área encerrada por
1 d2
S r r
ánde
z
donde r es el vector de posición y S el área encerrada por Γ. A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio 1
nzál
ez F
erná
d d S t t l á d
1 d2
r r S
Anto
nio
Gon donde S es un vector cuyas componentes son las áreas de
las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.
S l ió
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A
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Solución
Más sobre el vector superficie. I t t ió ét iInterpretación geométrica
Curva plana en S: área de la Curva planaCurva plana en el plano XY
S
S: área de la porción de plano
Curva plana en el espacio
n: según la1 d zSu n: según la regla de la mano derecha
d2
r r
ánde
z
Curva alabeada
nzál
ez F
erná
x x y y z zS S S S u u u
Anto
nio
Gon Componentes: áreas de
las proyecciones sobre los planos coordenados
© 2
010,
A
15
los planos coordenados
Sevilla octubre de 2010
ánde
z
Sevilla, octubre de 2010
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
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