apuntes de fundamentos matemáticos de la ingeniería

VALENCIA

http://carlos2524.jimdo.com/

Antonio J. Ramrez Fernndez __ Alicia Herrero Debn

APUNTES DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS

DE LA INGENIERA: ,

ALGEBRA

Departamento de Matemtica Aplicada

Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VALENCIA EDITORIAL UPV Ref .: 2002.228


Antonio J. Ramrez Fernndez Alicia Herrero Debn

Edita: EDITORIAL DE LA UPV Camino de Vera, s/n 46071 VALENCIA Te1.96-38770 12 Fax 96-387 79 12

Imprime: REPROVAL, S.L. Te1.96-369 22 72

Depsito Legal: V -31 02-2002 I.S.B .N. : 84-9705-229-3


NDICE

1. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES-LINEALES.... ................ 3

l. ECUACIONES LINEALES .................. ...... .. ..... .. ...................................... ..... 5 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES........ .... .. .. .... .............. ............... .... 6 3. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR EL

MTODO DE GAUSS......... .. ...... .. ... .......... .................. ...... .... ...... .......... ........ 8 4. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES........... 11 5. ELIMINACIN DE PARMETROS.. ........ .... ........ .. .... .. .... .. ........ .. .... ............ . 13 EJERCICIOS ....... ... ..... ........... ....... .... .......... .. .......... .......... .... ..... .. ...... .... .... .... ....... .. ..... 14

2. MATRICES ........................................................................................................ 17

1. DEFINICIN DE MATRIZ .......... ........ ........ ...... ........... .... .. ...... ........ .. ........... 19 2. OPERACIONES CON MATRICES ................................ .... .. .................. .... ..... 21 3. MATRIZ REGULAR.... ................. .... ............... .. ............................................ 23 4. DETERMINANTES .. ... ...... ........ ........ .. .................... .. .... .. ......... ..... .... ... ... ...... 28 5. CLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR LOS ADJUNTOS ................ .. .. ... 31 6. EXPRESIN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES. REGLA DE CRAMER........ ......... .. .......... .. .... .... .. .......... ........ ...... 33 7. RANGO DE UNA MATRIZ. TEOREMA DE ROUCH-FROBENIUS .............. 35 8. ECUACIONES MATRICIALES.............................................. ................... ... .. 38 9. PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRASPUESTAS .... ....................... 39

10. PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMTRICAS Y ANTISIMTRICAS.... 39 EJERCICIOS ............... ..................... ..... .... ...... ... ... .. ....... ..... . ..... .. .. .... ... ........ ..... ... 40

3. ESPACIOS VECTORIALES ............................................................................. 45

1. DEFINICIN DE ESPACIO VECTORIAL .... .. .... .......... .. .... ........ .................... 47 2. PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LA DEFINICIN ................ ............. 48 3. COMBINACIN LINEAL................................................................... ..... ... ... 50 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL ................... .......................... 51 5. SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL .............................. 53 6. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL .... ....................................................... 57 7. TEOREMAS RELATIVOS A LA BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL......... 58 8. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL. .... ..... .. .. ........................ 62 9. SUBESPACIOS VECTORIALES ...... .. ..................................... ....................... 65

1


APUNTES DE LA. ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE LA. INGENIERA: LGEBRA

10. INTERSECCIN DE SUBESPACIOS VECTORIALES ...... ..... .. ... ................... 69 11 . UNIN DE SUB ESPACIOS VECTORIALES.. ......... ......... ..... ... ... ..... .... ..... ..... 72 12. SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES ... .... ...... .... .. ..... ..... ..... ...... ........... 74 13. RELACIN ENTRE LAS DIMENSIONES DE LOS SUBESPACIOS SUMA

E INTERSECCIN. FRMULA DE GRASSMAN ..... .. .................. .. ....... .... .. .. 75 EJERCICIOS ...... ..... .... ..... ..... .............. .. .... ... ......... ....... .... ..... ... .... .... ... ....... .... .. ... 77

4. APLICACIONES LINEALES ........................................................................... 81

1. DEFINICIN DE APLICACIN LINEAL......... ... .. ....... ... .... ..... .. ... ...... ... .. ..... . 83 2. IMAGEN DE UNA APLICACIN LINEAL.. ............ .... ...... ............................ 85 3. MATRIZ DE UNA APLICACIN LINEAL..... .. .............................................. 86 4. NCLEO DE UNA APLICACIN LINEAL ............. .............. .......... .. .. ...... ..... 90 5. CLASIFICACIN DE LAS APLICACIONES LINEALES................................ 92 6. OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES ...... ...... ........ .. ................. 94 7. CAMBIO DE REPRESENTACIN MATRICIAL CUANDO SE CAMBIA

LA BASE DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ...... ............ ............................ 95 8. EJEMPLOS DE APLICACIONES LINEALES ...................................... .... ....... 98 EJERCICIOS. ...... .. ... .. ......... ............................... ....................... ... .... ..... .. ........... 103

5. ESPACIOS MTRICOS .................................................................................... 107 l. PRODUCTO ESCALAR................................................................................. 109 2. EXPRESIN ANALTICA DEL PRODUCTO ESCALAR.. .. ............ .. .. ............ 111 3. NORMA DE UN VECTOR. DISTANCIAS ...... ........ ...... ........................ .. .... .. .. 113 4 . NGULO DE DOS VECTORES. ORTOGONALIDAD ........................ .. .......... 115 5. SUB ESPACIOS ORTOGONALES ................................ .... .............................. 117 6. ORTOGONALIZACIN DE GRAM-SCHMIDT.... .. .... ........ ................ .... ........ 120 7. EXPRESIONES ANALTICAS REFERIDAS A UNA BASE MTRICA U

ORTONORMAL. ........ ... .... ................................... ........ .. ............................... 123 EJERCICIOS ...... .. .... .. ... ..... ..... ..... ...... ....... ..... .... ..... .. ....... ........ ... ....... ................ 123

6. DIAGONALlZACIN DE ENDOMORFISMOS ............................................. 127 1. VALORES PROPIOS y VECTORES PROPIOS .. .. ......... .......... .. .... ...... ........... 129 2. CLCULO DE LOS VALORES PROPIOS y DE LOS VECTORES

PROPIOS ....... ........ ...... ...... ...... ... ..... ... ...... ........ ...................... ...... ............ .... 134 3. ENDOMORFISMOS y MATRICES DIAGONALIZABLES ........ .............. ....... 141 4. DIAGONALIZACIN DE MATRICES SIMTRICAS........ .... .................. .. ..... 149 EJERCICIOS ........ ...... .. ..... ... ..... .. .............. ~ ........ ......... . . .... .. .. ......... . ................... 154

SOLUCIONARlO ... .. ..... ...... .. .................. .. ... .... ..... ...... .... ...... ........... ..... ........ ... ...... 157

2


CAPTULO 1 RESOLUCIN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES


1. ECUACl

Definicin

Una en

A las alndependei

Si b = e": Cuando

distintas, po

Se Jlama) de nme~, ... ,xnpcecuacin lin

Es fcilsolucin.

Resolver u

Al congeneral departicular.

Para eldan valoreslineal con 1

Para elparmetrosnmeros nobtencin I

Ejemplo 1

Dada!

a)l

b) I


CAPTULO 1. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. ECUACIONES LINEALES

Definicin Una ecuacin lineal de n incgnitas Xl' X2, .. , Xn es una igualdad del tipo

con algn a::f. O

A las al' a2, , an se les denomina coeficientes de las incgnitas y a b trmino independiente de la ecuacin. Todos son nmeros reales conocidos.

Si b = O la ecuacin se llama lineal homognea.

Cuando el nmero de incgnitas es pequeo se suelen representar por letras distintas, por ejemplo X, y, z, ...

Se llama solucin de una ecuacin lineal de n incgnitas a toda n-tupla (al' ~, ... , a

n) de nmeros reales que satisfaga la ecuacin, es decir, que al sustituir Xl por al' X2 por

a 2 , ... , Xn por a n la ecuacin se transforma en una identidad. Por ello, la solucin de una ecuacin lineal se suele dar en la forma Xl = al' X2 = a 2, , Xn = a n

Es fcil observar que toda ecuacin lineal de ms de una incgnita tiene ms de una solucin.

Resolver una ecuacin lineal es encontrar todas sus soluciones

Al conjunto de todas las soluciones de una ecuacin lineal se le llama solucin general de la misma, mientras que a cada una de las soluciones se le denomina solucin particular.

Para encontrar una solucin particular de una ecuacin lineal con n incgnitas se le dan valores arbitrarios a n -1 cualesquiera de ellas, con lo que se reduce a una ecuacin lineal con una sola incgnita, y se calcula el valor de dicha incgnita.

Para encontrar la solucin general de una ecuacin lineal con n incgnitas se le dan parmetros, que son letras generalmente del alfabeto griego que representan a todos los nmeros reales, a n -1 cualesquiera de ellas y se procede como en el caso de la obtencin de la solucin particular.

Ejemplo 1

Dada la ecuacin 2x - 3x2 + 7xJ = 6

a) Encontrar dos soluciones particulares.

b) Obtener la solucin general.

5


APUNTES DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE LA INGENIERA: LGEBRA

a) Si hacemos x2 = O Y x3 = O se obtiene 2x = 6 ~ x = 3, una solucin particular es: x = 3, x2 = O Y x3 = O

Si hacemos x = O Y x3 = O se obtiene - 3x2 = 6 ~ x2 = - 2, una solucin particular es: x = O, x2 = - 2 Y x 3 = O

6- 2a+ 3/3 1 b) Si hacemos x = a y x2 = /3 se obtiene 2a - 3/3 + 7x3 = 6 ~ x 3 = 7 ' a

1 . , 1 /3 6 - 2a + 3/3 so UClOn genera es: x = a, x2 = Y x 3 = --7----'--

Observa que las soluciones obtenidas en a) se encuentran en la solucin general. Las distintas opciones de la eleccin de las incgnitas para sustituirlas por

parmetros permiten obtener distintas expresiones de la solucin general.

Si se elige x = y y x3 = 8 se obtiene 2y - 3 x2 + 78 = 6 ~ X 2 = 2y + 78 - 6 Y la 3 1 . , 1 2y + 78 - 6 1:: l 1 h so UClOn genera es: x = y, x 2 = 3 Y x 3 = u que es a ffilsma que a que se a

obtenido anteriormente, aunque aparente ser distinta.

Al nmero de parmetros que se necesitan para obtener la solucin general de una ecuacin lineal se le denomina grado de indeterminacin o de libertad de la ecuacin.

Definicin Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solucin general.

Se obtienen ecuaciones equivalentes mediante las llamadas transformaciones de equivalencia.

I. Si a los dos miembros de una ecuacin lineal se les suma un mismo nmero o una misma expresin lineal se obtiene otra ecuacin lineal equivalente.

Il. Si a los dos miembros de una ecuacin lineal se les multiplica por un mismo nmero no nulo se obtiene otra ecuacin lineal equivalente.

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas, Xl' x2' , Xn' es un conjunto de m igualdades de la forma:

6

ax + a~2 + anxn = b ~X + ~~2 + a2nxn = b2


CAPTULO l. RESOLUC1N DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

donde aj' b (1 ~ i ~ m, 1 ~ j ~ n) son nmeros reales conocidos que se denominan coeficientes y trminos independientes respectivamente.

Si los trminos independientes son todos nulos, b = O (1 ~ i ~ m), el sistema se llama homogneo.

Los subndices de a .. nos indican que a .. se encuentra en la ecuacin y es el ij ~

coeficiente de Xj.

Cuando el nmero de ecuaciones es pequeo se las puede representar por letras distintas.

Ejemplo 2

El sistema

2Xl + 3X2 - 4X3 = 1 Xl - 2X2 - 5x3 = 2

es lineal de 2 ecuaciones con 3 incgnitas.

Ejemplo 3 El sistema

Xl - 2X2 - 5x3 = O

es lineal homogneo de 2 ecuaciones con 3 incgnitas, que se dice asociado al anterior por tener todo igual menos los trminos independientes que son todos nulos.

Se llama solucin de un sistema a toda n-tupla (al' ~, ... , an) de nmeros reales

que satisfaga el sistema, es decir, que al sustituir Xl por al' x2 por a2, ... , xn por an se cumplan todas las ecuaciones. Por ello, la solucin de un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas se suele dar en la forma Xl = al' x2 = a2, , xn = an

Un sistema puede tener mas de una solucin.

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones

El conjunto de todas las soluciones de un sistema se llama solucin general, mientras que a cada una de las soluciones se les llama solucin particular.

7



Definicin Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son equivalentes cuando tienen las

mismas soluciones.

El mtodo general de resolver sistemas de ecuaciones es encontrar sistemas equivalentes de ms fcil solucin.

Los sistemas equivalentes los representaremos por el smbolo entre ellos.

Las siguientes transformaciones nos permitirn obtener sistemas equivalentes.

1) Si en un sistema se transforma una o varias ecuaciones en otra u otras equivalentes, resulta un sistema equivalente al primero.

Il) Si en un sistema de ecuaciones se despeja en una ecuacin una incgnita y se sustituye en las dems ecuaciones, el sistema formado por . la ecuacin resuelta y las dems obtenidas por la sustitucin es equivalente al propuesto.

IlI) Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime o se aade una ecuacin que sea combinacin lineal de las dems, se obtiene un sistema equivalente al dado.

3. RESOLUCIN DE SISTEMAS POR EL MTODO DE GAUSS El mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas consiste, en general, en dado un

sistema de m ecuaciones lineales encontrar otros equivalentes haciendo ceros entre los coeficientes de la incgnitas. Para ello, en primer lugar,' se elegir una incgnita con coeficiente no nulo, al que llamaremos pivote, y que por comodidad supondremos que es el a ll . Si no fuera as, se podra alterar el orden de las ecuaciones e incluso el de las incgnitas con la condicin de que una misma incgnita se encuentre en una misma columna. Se tendra por tanto el sistema

allxl + al02 + alnxn = b l a2lx I + ~2X2 + a2nxn = b2

En segundo lugar se hacen cero los coeficientes que estn debajo del pivote. Se obtiene as:

que es equivalente al dado.

8

al IXI + al02 + alnxn = b l a'202+ a'2nxn= b'2


CAPTULO l. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Si se separa la primera ecuacin se obtiene otro sistema con una ecuacin y una incgnita menos, en el que se repetir el proceso hasta quedarnos con una sola ecuacin lineal que siempre se puede resolver.

Al objeto de simplificar la notacin, es conveniente mantener un esquema de trabajo para resolver estos sistemas. Elegimos el consistente en:

a) Se seala con un recuadro el pivote elegido. Es aconsejable que su valor sea 1. b) La escritura del sistema se abreviar escribiendo solamente los coeficientes de

las incgnitas y los trminos independientes separados por una barra, todos ellos encerrados entre parntesis. Es imprescindible que todas las incgnitas ocupen el mismo lugar en las ecuaciones, por lo que se debe escribir el smbolo de la incgnita encima de la columna correspondiente.

c) Se irn buscando los sistemas equivalentes segn las transformaciones estudia-das anteriormente.

Ejemplo 4 Resolver el sistema

x + 3y + 2z = 1 2x- y - 2z =-2 -x+2y + z=-2

Segn el esquema de trabajo, este sistema se resolver de la forma:

x y z

-~ -~].(-2) [~ - ~ 1-2.1 O 5

x z y

2 1] [1 -6-4 O

3 -1 O 2'B 3'

3 5

-7

2 1] 3 -1 -6-4

2 [3 ] -6

~ -:] -7 -4 .2 [

12311 {X+2Z+3Y =1 O 3 5 -1 3z+5y=-1

O O 3 -6 3y =-6

de la tercera ecuacin se deduce que y = - 2. Sustituyendo en la segunda se obtiene que z = 3 y sustituyendo estos dos valores en la primera se obtiene que x = 1.

Luego el sistema tiene una nica solucin que es: x = 1, Y = - 2 Y z = 3.

9



Ejemplo 5 Resolver el sistema

x + 2y - 5z = 4 -2x+ y =-3

3x - 2y + z = 4

Razonando como en el ejemplo anterior: x y z

~ - ~ -~l2 [~ -2 1 4 .(-3) O

~ -~~ :l[~ [~=~:l -8 16-8 O 1 -21.(-1)

-

54l { X+2 Y -5Z=4 {X+2Y=4+5Z -2 1 y - 2z = 1 Y = 1 + 2z 00 Si a Z se le da un valor t.. E R, se deduce de la segunda ecuacin que y = 1 + 2t.. Y

sustituyendo los valores de y y z en la primera se tiene que x = 2 + t...

Este sistema tiene infinitas soluciones debido a los valores que se le pueden dar al parmetro t...

x = 2 + t.., y = 1 + 2A Y z = t..

Ejemplo 6

10

Resolver el sistema

x + 5y- z = 5 2x + 3y-4z = 1 x-2y- 3z= 2

Razonando como en el ejemplo anterior: x y

[[1] 5 2 3 1 -2

z

-15l [1 5 -1 5] [1 -41 .(-2) O [-7] -2-9 O -32 .(-1) O -7 -2 -3 .(-1) O

jX+5 Y -Z=5 -7 Y - 2z = -9 Oz =6

5 -7

O

-1 5] -2-9

O 6


CAPTULO i. RESOLUCi6N DE SiSTEMAS DE ECUAClONES LiNEALES

Como la tercera ecuacin no se satisface para ningn valor real, este sistema notiene solucin.

Ejemplo 7

Resolver el sistema

X + X2 - X3- X + 2x2 + X4 : O2x + X3 - X4 - O

=0

Como el sistema es homogneo, no es necesario poner la columna de los trminosindependientes, se tiene aS:

Xl X2 X3 X4 Xl X4 X2 X3

[~~ 1 -1 O) [1 1 -1 ~ ) ..[~O 1 -1)2 O 1 .1 {:::> O 3 -1 [1] 3 -1 {:::>O 1 -1 .(-2) O -2 3 -1 O -1 -2 3 .1

+2Ay

..[~O 1 -1) r + x, - x, =0 r + x2 = x3n dar al 1 3 - 1 {:::> x4 + 3x2 - x3 = O {:::> x4 +3x2 = x3O 1 2 x2 + 2x3 =O x2 = -2x3

Si a X3 se le da un valor genrico A, se tiene, de la tercera ecuacin, que X2 = - 2A, Yde las dos primeras ecuaciones, X4 = 7A Yx = 3A.

4. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Del estudio de los ejemplos anteriores se deduce que existe un distinto compor-tamiento de los sistemas respecto a sus soluciones, por lo que se puede hacer lasiguiente clasificacin.

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si tiene solucin. Siesta solucin es nica se llamar compatible determinado y si tiene mas de unacompatible indeterminado. Si no tiene solucin lo llamaremos incompatible.

Los sistemas lineales homogneos son siempre compatibles y su clasificacin esanloga a la de los no homogneos.

La resolucin de los sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo de Gausspermite clasificarlos, atendiendo slo a la disposicin de los coeficientes del sistemaequivalente que se calcula. AS, para los sistemas no homogneos se tiene:

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a) Si la disposicin final de los coeficientes al aplicar el mtodo de Gauss es Resolviendc

a a2 a3 a1I b,

O a22 a23 a211b2O O a33 a311b3

O O O ami bllO O O O O

O O O O O

x

de donde se ded

Si a = 1, elSi a = O, e

sera:

1"el sistema es compatible determinado si todos los coeficientes a., son distintos de O; elsistema es compatible indeterminado si algn coeficiente a distinto del a.; es nulo y elsistema es incompatible si ann es nulo y b; no lo es, o tambin si aij = O Y b =t: O paraalgn i, 1 ~ i ~ n.

b) Si la disposicin final de los coeficientes es

a a2 aI3 a1I a(II+p) b

O a22 a23 a211 a2(II+p) b2O O a33 a311 a3(II+p) b3

O O O ami an(lI+p) bllO O O O O O O

O O O O O O O

Si a;t: OYQ

5. ELlMINAC

Hasta ahorsolucin. Nos pencontrar ese u

el sistema es compatible indeterminado con p grados de indeterminacin e incompatiblesi a.; = ... = a(n+ p) = OYb =t: Opara algn i, 1 ~j ~ n.

El problerrpuede considerresolverlo consque resulta al a

Ejemplo 8 Ejemplo 9

Discutir para los distintos valores de a el siguiente sis~~pa de ecuaciones: Eliminar i B.A.B = B.AC => LB = LC => B = C Resolver el ,y la B

2. Si A Y B son dos matrices regulares del mismo orden; entonces A.B tambin lo es yverifica: (A.B)-I = B-1.A-1

(A.B).(ABrl = AB.B-1.K1 = ALK1 = AK1 = 1

(A.Brl.(AB) = B-1.A-1.AB = B.LB-1 =B.B-1 = 1

b) en forma de

3. Si A Y B son dos matrices cuadradas tales que AB e~ regular, entonces A y B sonregulares y se verifica:

A-1 = B.(A.B)-I y B-1 = (ABrl.A o abreviadamen

Es una consecuencia inmediata de la segunda propiedad. Si m = n yde A, pues:

32


tos de sus

1=0

~ 1 = 3

~ 1 =-3

'n lo es y

y B son

CAPTULO 2. MATRICES

6. EXPRESIN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.REGLA DE CRAMER-

Todo sistema de ecuaciones lineales de la forma

allxl +a12x2 + +al"x"

APUNTES DE L4 ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE L4 INGENIERA: LGEBRA

En este caso se dice que el sistema es de Cramer y para su resolucin no esnecesario calcular la matriz inversa de A, pues:

[XII [AIIx2 1 Al2... =IAI ...

xn Aln

Operando

, .r ,

Ab + A2b2 + ...+ A,,bn =bn ; ;

x = IAI IAI

a b, ana2 b2 a2"

a a2 b

a2 a22 b2

AlIb + A211b2 + ...+ AII"b" =anl a,,2 b"

XII =IAI IAI

Esta forma de resolver los sistemas de Cramer se conoce con el nombre de Reglade Cramer que podemos enunciar de la forma: La solucin Xi (i = 1, 2, ... , n) de unsistema de Cramer viene dada por el cociente de dos determinantes, el del denominadores el de la matriz de los coeficientes IAI y el del numerador se obtiene cambiando lacolumna i-sima dellAI por la columna de los trminos independientes.

34

Ejemplo 9.

Resolver

Como

Cramer se tie

2

1

Ox=2

1

1

z=-2

7. RANGO

Definicin

Si A esdeterminann

Definicin

Se llam

El clcimenor de orse construye2 anterior. ~menor es ~1


ucin no es

e de Regla., n) de unnominadorbiando la

CAPTULO 2. MATRICES

Ejemplo 9.

Resolver el sistema: j2X+ 3y -4z = 2

x-y-z=1

x+2y+z=O

2 3 -4Como 1 -1 -1 = -16 el sistema es de Cramer y aplicando la regla de

1 2 1Cramer se tiene que:

2 3 -4 2 2 -41 -1 -1 1 1 -1O 2 1 -9 9 1 O 1 2 1

x= --- - y= = -- --2 3 -4 -16 16 2 3 -4 -16 81 -1 -1 1 -1 -11 2 1 1 2 1

2 3 21 -1 11 2 O 5 5z= --=--2 3 -4 -16 161 -1 -11 2 1

7. RANGO DE UNA MATRIZ. TEOREMA DE ROUCH-FROBENIUS.

Definicin

Si A es una matriz de orden mxn, se llama menor de orden r (r ~ n y r ~ m) aldeterminante de la matriz cuadrada que resulta de seleccionar r filas y r columnas.

Definicin

Se llama rango de una matriz al orden del mayor de los menores no nulos.

El clculo del rango de una matriz se aborda seleccionando en primer lugar unmenor de orden 2 no nulo, entonces el rango de la matriz es al menos 2. A continuacinse construye un menor de orden 3 aadiendo una fila y una columna al menor de orden2 anterior. Si ste menor es no nulo, entonces la matriz tiene al menos rango 3 y si elmenor es nulo entonces probamos con otro menor de orden 3 construido aadiendo la. ,

35


APUNTES DE LA ASIGNA TURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE LA INGENIERA: LGEBRA

misma fila y otra columna. As hasta encontrar uno no nulo o acabar con todas las columnas para esa fila, en tal caso elegiramos otra fila y repetiramos la misma operacin. Si todos los menores de orden 3 son nulos, significa que el rango de la matriz es 2.

Si encontramos un menor de orden 3 no nulo se procede del mismo modo a como se ha hecho para el menor de orden 2.

Ejemplo 10

Calcula el rango de la matriz

Consideramos el menor formado por las dos primeras fil as y las dos primeras columnas

Por ser no nulo, el rango de la matriz es mayor o igual que 2. Aadindole a este menor la tercera fila y la tercera columna tenemos

102 3 -1 4=0 7 -3 8

Como ha resultado cero, cambiamos la tercera columna por la cuarta columna obteniendo

1 O 2 3 -1 3 =6*0 7 -3 -1

por tanto el rango de la matriz A es 3.

Teorema de Rouch-Frobenius

El sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas

ax +a2x2 + ... +alIxlI =b a2x + a22 x2 + ... + a 211 x II = b2

36


es:

CAPTULO 2. MATRICES

a) Compatible determinado si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los trminos independientes e igual al nmero de incgnitas.

b) Compatible indeterminado si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los trminos independientes y menor que el nmero de incgnitas.

c)/ncompatible si el rango de la matriz de los coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada con la columna de los trminos independientes.

Ejemplo 11

j2X+ y+ Z = 2 Clasifica segn el tipo de solucin el sistema: x + 2 Y + Z = 1 X+ y+ 2z = O El determinante de la matriz de los coeficientes es:

2 1 =4#0 2

por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 3 y el de la ampliada tambin 3. Como coincide con el nmero de incgnitas el sistema es compatible determinado.

Observa que el clculo del rango no se ha realizado como en la teora puesto que en este caso resulta ms cmodo el clculo directo del determinante de orden 3.

Ejemplo 12

j2X-Y+3Z=1 Clasifica segn el tipo de solucin el sistema: x + 3 Y - 2z = 10 x+lOy-9z=31

Consideramos el menor formado por las dos primeras filas y columnas

12 - 11 1 3 =7#0

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APUNTES DE Uo ASIGNATURA FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE Uo/NGENIERA: LGEBRA

y el determinante de la matriz de los coeficientes

2 -1 3 1 3 -2=0 1 10 -9

luego el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

Por otra parte si ampliamos el menor de orden 2 con la tercera fila y la columna de los trminos independientes, resulta el determinante

2 -1 1 3 10 = 14:;t O

1 10 31

El rango de la matriz ampliada es 3 y por tanto el sistema es incompatible.

8. ECUACIONES MATRICIALES

Son las ecuaciones en las que intervienen matrices. Se resuelven segn las propiedades estudiadas de las matrices.

Ejemplo 13

Resuelve la ecuacin: T (-8 -l)cLX( 3 1)=(3 6)

Como

38

1 2 -4 2 5 O

=> X=(ll 71 3 1]-1 => 4 -2 -4 2)

( 3 1)-1 1 (2 -31) -42 =104


CAPTULO 2. MATRICES

9. PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRASPUESTAS

1. Si A Y B son dos matrices de rdenes mxn entonces

2. Si A es una matriz de orden mxn y a es un nmero real entonces (a. A)! = a.A!

3. Si A es una matriz de orden mxn y B es otra matriz de orden nxp entonces (A.B)! = B!.A!

4. Si A es una matriz de orden mXn entonces

5. Si A es una matriz regular entonces A! es regular.

6. Si A es una matriz regular entonces

10. PROPIEDAD DE LAS MATRICES SIMTRICAS Y ANTISIMTRICAS Toda matriz cuadrada se descompone de forma nica como suma de una matriz

simtrica y una matriz antisimtrica.

Demostracin

Sea A una matriz cuadrada.

Supongamos we existen las matrices S (simtrica) y T (antisimtrica) tales que:

A=S+T Entonces: A! = S! + T! = S - T

Por tanto {A=S+T

que determina un sistema de dos ecuaciones matriciales AI=S-T

con dos incgnitas S y T.

Sumando: A+AI =2S =>

Restando: A-Al =2T =>

Ejemplo 14.

Descompn la matriz A =[ ~ -3

antisimtrica.

S=~(A+N) 2

T=~(A-Al) 2

~ -52] en suma de una matriz simtrica y otra 1 -4

39



La simtrica es: 8. Calcula B

S~~l[-~3 4 -21[3 1 -31j [ 6 S -51 [ 3 S/29. Siendo A

-~21O S + 4 O 1 =.!.. S O 6 = S/2 O 10.Estudia s1 -4 -2 S -4 2_S 6 -8 -S/2 3 -4 calcular s

La antisimtrica es:

T"~l[J34 -21[ 3 1 -131j~f3 3 +[-~/2 3/2 1~21O S - 4 O O O

t.. ~.~.~~ .~ 1 -4 -2 S -4 -1 -4 O -112 -2,0

(,

C~I ~, ," 11.Calcula 1

EJERCICIOS

1. Calcular a, b, c, y d para que sean iguales las siguientes matrices:

A=(S+C a-2b) B=(S -8)a+b 2-d y 1 O

[

3 4 s-a)2. Calcula a para que la matriz 4 2 a + 3 sea simtrica.

7 1 6

3. Existe algn valor de a para el que la matriz del ejercicio 2 sea antisimtrica

4. Demuestra la siguiente proposicin: "Si A es una matriz simtrica y antisimtricaentonces A = O"

S. Cmo tienen que ser las matrices que son iguales a su traspuesta?

6. Calcula la suma de las matrices A y B, siendo:

A"[~ -S 4)7 6-1 37. Calcula A-B siendo A y B las matrices del ejercicio anterior.

40

Se puepropied

12.Calcula,

13.Encuent

a)

14. Resuelv

a)

b)


CAPTULO 2. MATRICES

8. Calcula B-A siendo A y B las matrices del ejercicio 6.

9. Siendo A y B las matrices del ejercicio 6 calcula: a) 2A, b) 3B, c) 2A-3B.

10. Estudia si se pueden multiplicar las siguientes matrices y, en caso afirmativo, calcular su producto.

b) A = (1 2 1) 3 1 4 B = (1 O 11 y O 1 1) 11. Calcula los pcoductos AB y BA siendo: A = [~l ~ (5 -4 2) y B = -3 3 -1 . 3 -2 1

Se puede deducir de estos productos que la multiplicacin de matrices tiene la propiedad conmutativa?

12. Calcula, siempre que se pueda, la matriz inversa de las siguientes matrices:

13. Encentra la expresin matricial de los siguientes sistemas:

a) x - y = 5 2x-3y+5z = 7 b) 3z = 1 X - y + 5z - 6 = O -3x+ y + Z = O 2x+3y +4 = O

14. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

a) x.(2 -11+(-1 21 =( 2 51 1 4) -4 3) -1 6)

41



c) (t+2X -13Y-Z)=(5 9) 2t - x y + Z 3

4X_!(8 0) =(0 -4) f) 2 6 - 2 9 3

15 . Determina las matrices X e Y tales que

( 3 13) 5X-Y= -10 -2

(5 -4) X+2Y= -2 4

16 Hall M x, y y z pa,. que se ve,ifique (~1 ~ ~IH ~H!J 17. Resuelve la ecuacin A2 +X.A+I=0 siendo A_(2 1) 1_(1 0)

-23' -01'

= (~ ~) y X una matriz cuadrada de orden 2. Tiene solucin la ecuacin siendo X un escalar?

18. Resuelve la ecuacin X A 2 + A = (: :) siendo A = e ~) y X una matriz cuadrada de orden 2.

42


BRA CAPTULO 2. MATRICES

19. Calcular los siguientes determinantes:

I~ ~11 1

14~21a) b) -7

3 4 1 1 5 2e) 4 -1 2 d) 2 -2 1

O -5 2 3 -9 O

20. Resuelve las ecuaciones:

Ix: 1 -xl IX~1 2X-31a) =1 b) =2

1 x

x 1 O 2 O 1e) O x+l 2 =0 d) 1 x 2 = 1

5 x 2 4 x O

21. Calcula los siguientes determinantes:

6 81 15 O 4 1 2 15-1 O 12 7 8 16 56 80

a)-4 9 3 -2

b)O 3 -1 10

O 1 5 8 4 -5 7 1

1 O O 1 1 -1 2 OO 1 O 1 2 1 3 1

e)O O 1 1

d)O 1 -1 2

1=(~~} 1 1 1 1 O O 4 -122. Calcula el valor del determinante de orden Il+ 1

1 1 1 1-1 x 1 1 1-1 -1 x 1 1-1 -1 -1 x 1

una matriz

-1 -1 -1 -1 x

43



23. Calcula el valor de los determinantes de orden n.

1 2 3 n 2 1 O O-1 O 3 n 1 2 1 O

A= -1 -2 O n; B= O 1 2 O

-1 -2 -3 O O O O 2

24. Demostrar que:

x 2 1 x 1 1 1 12 x x 1

= 9 -4x21 2 3 4

a) b) =11 x x 2 1 3 6 10x 1 2 x 1 4 10 20

25. Clasifica, aplicando el teorema de Rouch-Frobenius, los siguientes sistemas deecuaciones:

2x+ 3y - z = 6t , a) x- 4y+2z=3x-12y =4

x+7y-2z =5b) 2x+ y =63x+8y -2z = 1

x+5y-z=1c) 3x- y + Z = 25x+9y- z = 4

26. Clasifica segn el valor del parmetro a el sistema2x+ y+ Z = 3x-ay+ z=13x- y+2z= 4

27.Si A es una matriz cuadrada regular demuestra que es cierta la siguiente igualdad:

(A+BDt =K1 -A-1B( + DK1Bt DA-1

28. En la igualdad del ejercicio 27, las matrices B y D tienen que ser necesariamentecuadradas?

44


CAPTULO 3 ESPACIOS VECTORIALES


CAPTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

1. DEFINICIN DE ESPACIO VECTORIAL

Definicin Se llama espacio vectorial real a toda tema {(V,+);(R,+, .);*} que verifique las si-

guientes propiedades:

1. (V,+) es un grupo conmutativo o abeliano.

Los elementos de V se denominan vectores y se representan por: X, ji, z, .. . y + es una operacin o ley de composicin interna

+ :VxV ~ V

que cumple, para cualesquiera que sean los vectores X, ji y z, las propiedades

1. Asociativa: (x + ji) + Z = x + (ji + z) 2. Existencia del elemento neutro que es el O: :lO / x + O = O + x = x 3. Existencia de elementos simtricos. El simtrico de x es - x:

VX, :l-x / x+(-x)=(-x)+x =O 4. Conmutativa: x + ji = ji + x

2. (R,+, .) es el cuerpo de los nmeros reales. Sus elementos se llaman escalares y se representan generalmente por letras del alfabeto griego.

3. * es una operacin externa o ley de composicin externa definida sobre V, denomi-nada producto escalar

*:RxV ~ V

que satisface, para cualesquiera que sean los vectores x e y y los escalares a y ~, las siguientes propiedades:

1. Distributiva respecto de la suma de vectores: a * (x + ji) = a * x + a * ji 2. Distributiva respecto de la suma de escalares:

3. Asociativa para la operacin externa: (a . ~) * x = a * (~ * x) 4. Producto por el elemento unidad del cuerpo: 1 * x = x

47



Ejemplo 1

El conjunto de las matrices de orden mXn con la definicin de suma y producto por un nmero real definido en el tema anterior es un espacio vectorial real.

Como casos particulares se tiene que R2, R3, . . . ,Rn, C son espacios vectoriales rea-les.

Ejemplo 2

El conjunto de los polinomios de grado n, Pn(x), con las operaciones suma de poli-nomios y producto de un nmero real por un polinomio es un espacio vectorial real.

Ejemplo 3

Probar que (R2, R, *), con la operacin * definida por a*(x,y) = (a.x,O) no es un espacio vectorial.

Es suficiente con demostrar que no se cumple alguna de las ocho propiedades. Por ejemplo la del producto por el elemento unidad del cuerpo,

1 *(x,y) = (l.x,O) = (x,O)

que es distinto del (x,y) como tena que ser.

Cuando no exista confusin no se escribir, en adelante, el smbolo del producto de un nmero real por un vector.

2. PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LA DEFINICIN

1. Ox=O VXEV

Demostracin.

Como a+O=a Va E R , se tiene: aX = (a + O)x = aX + Ox ~ Ox = O

2. aO=O VaE R

Demostracin.

Como x+O= x Vx E V, se tiene: aX = a(x + O) = aX + aO ~ aO = O 48



3. Si a x = O => a = O o X = O

Demostracin.

Si a fuera O ya estara demostrado, entonces supongamos que a;j; O lo que implica que existe el inverso de a, (a- 1), as: a-1(aX) = (a-1a)x = IX = x = O

Estas tres propiedades se pueden resumir en la siguiente, llamada de los productos nulos:

ax=O a=O o x=O

4. (-a)x = a(-x) = -(aX) \:faE R Y \:fxE V. Se denomina regla de los signos.

Demostracin.

la = 3a) (-a)x + aX = (-a+ a)x = Ox = O 2a = 3a) a( - x) + aX = a( - x + x ) = aO = O

con lo que tambin queda demostrado que la la = 2a

5. (-a)(-x) = aX \:faERy\:fxEV

Es una consecuencia de la anterior.

6. Si a;j; O y si aX = ay => x = y. Se denomina simplificacin por escalares.

Demostracin.

aX=ay aX-ay=a(x-y)=O => x=y

7. Si x;j; O y si aX = ~x => a = ~. Se denomina simplificacin por vectores.

Demostracin.

49



Ejemplo 4

Resolver, en un espacio vectorial cualquiera, la ecuacin 3i + 2a = b suponiendo a y b conocidos.

- - 3- - - - 1 (b- 2 -3x + 2a = b ~ x = b - 2a ~ x = - - a) 3

Ejemplo 5

{2i+3Y = 2a Resolver, en un espacio vectorial cualquiera, el sistema _ _ _ - suponiendo x+y=a-b

a y b conocidos.

De i + Y = a - b ~ i = -y + a - b

Sustituyendo en 2i + 3y = 2a ~ 2(-y+a -b)+3y = 2a - 2 Y + 2a - 2b + 3 y = 2a ~ y = 2b

- - -y sustituyendo el valor encontrado de y en i, i = -2b + a - b = a - 3b

3. COMBINACIN LINEAL

Definicin

Se dice que un vector i es combinacin lineal o que depende linealmente de un conjunto de vectores {v t , v2 , , vn } si se puede expresar de la forma

con U E R

Si el vector i no se puede expresar de esa forma se dice que no es combinacin li-neal o que no depende linealmente de ellos.

Ejemplo 6

El vector 0, 3, 6) E R3 depende linealmente de los vectores (O, 1, 2), (1, 1, 2) y (3, -5, 7)?

50



Para que el vector (1,3,6) dependa linealmente de los vectores (0, 1,2), (1, 1,2) Y (3, -5, 7) tienen que existir tres escalares a, ~ y y tales que verifiquen:

(1,3,6) = a(O, 1,2) + ~O, 1,2) + y(3, -5, 7)

Esta ecuacin vectorial da lugar al sistema a + ~ - 5y = 3 que resolvindolo se ~+3y = 1 2a+ 2~+7y = 6

tienen los valores a = 2, ~ = 1 Y Y = por lo que el vector O, 3, 6) s depende lineal-mente de ellos.

Ejemplo 7

El vector (5, - 2, 1) E R3 es combinacin lineal de los vectores 0, 2, 3) Y (3, 0, 1)?

Como en el ejemplo anterior, para que el vector (5, -2, 1) sea combinacin lineal de los vectores (1, 2, 3) Y (3, 0, 1) tienen que existir dos escalares a y ~ tales que:

(5, -2,1) = a(l, 2, 3) + ~(3, 0,1)

a+3~ =5 Ecuacin vectorial da lugar al sistema 2a = -2 que es un sistema incompa-3a+ ~ = 1

tibie por lo que el vector (5, -2, 1) no depende linealmente o no es combinacin lineal de dichos vectores.

Observar que el vector nulo, 0, es combinacin lineal de cualquier conjunto de vectores.

4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEA

Definicin Se dice que un conjunto o sistema de vectores {v, v2 , ... , VII} es linealmente inde-

pendiente o libre si la ecuacin vectorial

se verifica nicamente cuando al = a2 = ... = Un = O.

51



En caso contrario, es decir, cuando la relacin se cumple para algn a :f. 0, se dice que el conjunto de vectores es linealmente dependiente o ligado.

Ejemplo 8

Estudiar la dependencia de los vectores (-1, 2,1), (2, 0,1), (0,1, -1) Y 0, -1, O) de

Se plantea la ecuacin vectorial

al (-1, 2, 1) + a 2 (2, 0, 1) + a 3 (0,1, -1) + a 4 (1, -1, O) = (0, 0, O)

j-al +2a2 +a4 :0 que da lugar al sistema homogneo 2al + a 3 - a 4 - al + a 2 -a3 =

Si tiene solucin distinta de la trivial nos dice que los vectores son linealmente de-pendientes. Por Gauss:

(

-1

~

1 1 [-1 1 -1.2 ~ -1 0.1

2 1 4

7

2 4 1 3 -1

El sistema de vectores es linealmente dependiente.

Si el sistema resultante de la ecuacin vectorial es de n ecuaciones con n incgnitas, por Cramer o Rouch-Frobenius, se tiene que si IAI :f. el sistema de vectores es libre. Tambin se deduce que el mayor nmero de vectores linealmente independientes de un conjunto de vectores es el rango de la matriz de los coeficientes.

Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

52



En la prctica son linealmente independientes los vectores que intervienen en los menores no nulos de la matriz deJos coeficientes.

Enunciaremos, a continuacin, las siguientes proposiciones cuya demostracin omitimos debido a su sencillez.

Proposicin 1

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente o ligado si y slo si alguno de sus vectores es combinacin lineal de los dems.

Proposicin 2

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente tambin lo es cualquier subconjunto suyo.

Proposicin 3

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente tambin lo es todo conjunto que lo contenga.

5. SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definicin Se dice que un conjunto o sistema de vectores {VI' v2 , ... , VII} es un sistema gene-

rador de un espacio vectorial V, si todo vector de V es combinacin lineal de ellos.

Ejemplo 9

Los vectores (l, O, O), (O, 1, O) Y (O, O, 1) son un sistema generador de R3, pues cualquier vector de R3 se puede expresar como combinacin lineal de ellos.

(x, y, z) = x(l, O, O) + y(O, 1, O) + z(O, O, 1)

Ejemplo 10

Probar que el conjunto de vectores {(l, 2), (-1,1), (2, O)} es un sistema generador deR2.

53



Sea (x, y) un vector cualquiera de R2, entonces para que ese conjunto de vectores sea sistema generador se tiene que verificar que la ecuacin vectorial en a, ~ y y

(x, y) = a(1, 2) + ~(-1, 1) + y(2, O)

tenga solucin.

Esta ecuacin determina el sistema { a-~+2y =x

2a+ ~ = y

Por Gauss:

a~y ya~

[ ~ ~ 1 ~I : ) [ ~ 2 ~ 11: ) que nos dice que el sistema es compatible indeterminado, tiene solucin y por tanto el conjunto de vectores es un sistema generador

Ejemplo 11

Estudiar si {(3, -1, 2), (1, O, -1)} es un sistema generador de R3.

1 3a+~ = x (x, y, z) = a(3, -1, 2) + ~(1, O, -1) :::::} -a = y 2a-~ = z Por Gauss

a ~

[[-1] O YJ [-1 0j Y J [-1 2 -1 z .2 O [-1 z + 2y O 3 1 x .3 O 1 x + 3 y.l O y J -1 z + 2y O x+5y+z O

para que sea compatible obliga a que

x + 5y + z = O

por lo que no todos los vectores se pueden expresar como combinacin lineal de esos dos. Por lo tanto no es un sistema generador.

54


CAPTULO 3, ESPACIOS VECTORIALES

Slo se pueden expresar como combinacin lineal de ellos los que cumplan la con-dicin x + 5y + z = O,

Definicin Al conjunto de todos los vectores que son combinacin lineal de un determinado

conjunto de vectores se les llama envoltura lineal de dicho conjunto, La envoltura li-neal de los vectores VI' V2 " . " v" se representa por < VI' V2 ,,,., v" >.

Ejemplo 12

La envoltura lineal de los vectores (3, -1, 2) Y (1, O, -1), del ltimo ejemplo, es el conjunto de vectores cuyas coordenadas satisfacen:

a) (x, y, Z) = a(3, -1, 2) + ~(1, O, -1), llamada ecuacin vectorial,

{

X = 3a+~ b) y = -a , llamadas ecuaciones paramtricas.

Z = 2a-~

c) x + 5y + Z = O, llamada ecuacin implcita (otras envolturas pueden tener mas de una ecuacin implcita)

Observa que la envoltura lineal de los vectores (3, -1, 2) Y (1, O, -1) se puede ex-presar de las siguientes formas :

3, -1 , 2), (1, O, -1 = {(x, y, z)/(x, y, z) = a(3, -1, 2) + ~(1, O, -l)}= = {(x, y, z) / x = 3a + ~, y = -a, Z = 2a - ~}= {(x, y, z) / x + 5 y + Z = O}

Ejemplo 13

Calcula, en R3, la envoltura lineal de los vectores (1, 1, O) Y (2, 3, 1).

a) (x, y, z) = a(l, 1, O) + ~(2, 3, 1) es la ecuacin vectorial.

{

x= a+2~ b) y = a + 3~ son las ecuaciones paramtricas.

z =~

55



a ~

c) [[~] ~ ;].(- 1) [~ O 1 x O

ecuacin implcita.

Ejemplo 14 Calcula, en R3, la envoltura lineal del vector (3,1, -1).

a) (x, y, z) = 0.(3 , 1, -1) es la ecuacin vectorial.

jX=3o. b) Y = a son las ecuaciones paramtricas. z =-0.

c) Eliminando a entre las tres ecuaciones, se obtiene

es la

[ ~ :] [ ~] ~].( -3) [~ x ~3Yl => x;:~ : ~ son las ecuaciones im-

- 1 z -1 z . . 1 O z + y plcitas.

Ejemplo 15

Calcula, en R3, la envoltura lineal de los vectores (1, 1, O), (0, 1, 1) Y (1, 1,2)

a) (x, y, z) = 0.(1, .1, O) + ~(O, 1, 1) + y(1, 1,2) es la ecuacin vectorial.

b) j:::: ~ + ~ son las ecuaciones paramtricas. z = ~+ 2y

a ~ y

c) ([~] ~ ~ :].(-1)(~ ~] ~y:x] (~ ~ ~ y:x ]=> siempre es O 1 2z O 2 z .(-1) O O 2z-y+x

56

compatible (siempre tiene solucin), por lo que todo vector de R3 se puede expresar como combinacin lineal de esos tres vectores y consecuentemente no tiene ecuacio-nes implcitas. Esos tres vectores generan todo R3.


6. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definicin

Un conjunto de vectores {VI' V2 'oo., V,,} es base de un espacio vectorial V si es un sistema generador y linealmente independiente.

Ejemplo 16

El conjunto de vectores {(1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)} es una base de R 3, llamada base cannica de R3.

Ejemplo 17

Estudiar si el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (0,1,1),(0, O, 1)} es una base de R3.

Se tiene que probar:

a) Que es un sistema generador de R3.

de donde:

(x, y, z) = a(1, 1, 1) + ~(O, 1, 1) + y(O, O, 1)

a =x

a+~=y a+~+y=z

a ~ y y ~ a

=> [~~ ~:J {::> [~ ~ ~:J lllz 001x

el sistema es compatible detenninado por lo que s es un sistema generador. b) Que es linealmente independieme.

(O, O, O) = a(1, 1, 1) + ~(O , 1, 1) + y(O, O, 1)

ecuacin vectorial que da lugar al sistema homogneo asociado al sistema anterior, por lo que el sistema es homogneo compatible determinado (slo tiene la solucin trivial a = ~ = y = O). S son linealmente independientes.

Consecuentemente, el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (O, 1, 1),(0, O, 1)} es una base de R3.

57



7. TEOREMAS RELATIVOS A LA BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Teorema de la unicidad de la expresin de un vector en una base

Todo vector de un espacio vectorial V se expresa de forma nica como combinacinlineal de los vectores de una base de V

Demostracin

Si B = {v, v2,... ,VII} es una base de V y un vector V de V se puede expresar de dosformas diferentes como combinacin lineal de los elementos de dicha base, se tiene:

de donde se deduce que

Como B es una base, sus vectores son linealmente independientes, por tanto loscoeficientes de la combinacin lineal tienen que ser nulos.

a -~ =0

a2 -~2 = \:j i E {1, 2, ... ,n}

all -~II =0

luego las dos expresiones supuestas son la misma.

Definicin

A los escalares a,a2, ... .o., de la expresin v=av +a2v2 + ... +allvlI se lesllama coordenadas del vector V en la base B = {v, v2 , . , VII} Y se expresan porv=(apa2, ... ,aJB o simplemente por v=(apa2, ... ,all) cuando no exista confu-sin.

Cuando no se especifique la base se supondr que es la base cannica.

Ejemplo 18

Hallar las coordenadas del vector (3, -2,1) respecto de la base {O, 1,O), 0, 0,1),(0,1,1)}

58

(3, -2, 1)

sistema cuyas sol

a a2 a3

[!l 1 O 31 1-2 .(1 1 1=> a, =0,az:

Lema

Sea B = {w=av +a2v2tuir Vi por W es

Demostracin

Supongamosprobar que S = .

a) Probaremos ppuede expres:

existen los y.

Por ser B base

del enunciado

sustituyendo (

x = A(~=A~l

por lo que S f



(3, -2,1) = cx!(1, 1, O) + CX2(1, 0,1) + CX3(0, 1, 1) => CXI + cx 2 = 3 CXI + cx 3 = -2 cx2 + cx 3 = 1

sistema cuyas soluciones son las coordenadas pedidas.

[[1] 1 O 3 J [1 10 1-2 .(-1)0 O 1 1 1 O

1 [-1]

1

O 3 J [1 1-5 O 1 1.1 O

1 O 3 J {CXI +cx2 =3 -1 1 - 5 => - cx2 + cx 3 = -5 O 2 - 4 2cx 3 =-4

=> CX! = O, CX2 = 3 Y CX3 = -2 => las coordenadas son (0,3, -2) en dicha base.

Lema

Sea B = {VI' v2 'oo., VII} una base de V. Si un vector w de V se expresa como w = CXI VI + cx2 v2 + oo. + cx lI VII con algn CX '' O, entonces el conjunto que resulta de susti-tuir Vi por W es otra base de V

Demostracin

Supongamos que el coeficiente distinto de cero es el cx. Entonces tenemos que probar que S = {w, v2 'oo., VII} es una base de V. a) Probaremos primero que es un sistema generador, es decir que cualquier vector x se

puede expresar de la forma x = y I W + y 2 V2 + oo. + y 11 VII' o lo que es lo mismo, que existen los y.

d 1 . d - 1 - cx 2 -e enunCia o v =-w--v2 -CXI CX sustituyendo en x:

X =AI(~IW+~2V2 +oo'+~IIVII)+A2V2 +oo+A,'v1I = =A~IW+(AI~2 +A2)V2 +oo.+(A~1I +AII)VII

por lo que S es un sistema generador.

59



b) Probaremos ahora que son lineal mente independientes, es decir,

. ~ W+ ~2 v2 + ...+ ~"v" = O se tiene que satisfacer nicamente cuando todos los ~i se-an nulos.

Sustituimos W por su valor

~(av +a2v2 +oo.+a"vJ+~2v2 +oo.+~"v" =0 {::::>{::::> ~av +(~a2 +~2)V2 +oo.+(~a" +~")v,, =0

Como los Vi son base, son linealmente independientes, se deduce que:

luego {w, v2 'oo., v,,} son linealmente independientes y por tanto base.

Teorema de Steinitz

Sea B = {vpv2,oo.,vJ una base de un espacio vectorial V y sean w,w2,oo.,wpvectores de V lineal mente independientes. Entonces pueden elegirse convenientementen-p vectores de la base, que por ejemplo llamaremos v p+'Vp+2'oo., v"' tales que

{w, w2 'oo., Wp s Vp+'V1'+2'"'' vn} es otra base de V.

Demostracin

Al menos un a, tiene que ser no nulo, pues en caso contrario w = O y los vecto-res {w, w2 'oo., wl'} no seran linealmente independientes.

Supongamos que a i:- O, entonces por el lema anterior {w, v2 'oo., v,,} es una basedeV.

Repitiendo el razonamiento anterior para las dems wi se demuestra el teorema.

60

Corolarios

1. Si {VI' v;entonce:

Demos

Supongbase de

de los

contra I

2. Si V tieires.

Demos

Sea {VI

Si {w,se tiem

Razom

Al nr

3. Si Vejvectore

Demo:

Supon

entoneque s

{w,w

4. Si VejIinealn

Es un



Corolarios

1. Si {VI' V2 , , v,J es una base de Vy si {it\, w2 , , W p} son linealmente independientes entonces p::;; n.

Demostracin

Supongamos que p > n, entonces por el teorema de Steinitz {w, w2 , , wn } es una base de V => wn+ = a w + a 2 w2 + ... + a n wll luego wn+ es combinacin lineal de los {wp w2 , , w,J => {wp w2 , , w,J es linealmente dependiente o ligado en contra de la hiptesis.

2. Si V tiene una base con n vectores, entonces todas las bases de V tienen n vecto-res.

Demostracin

Sea {v, v2 , .. . , VII} una base de V. Si {w, w2 , , W p} es otra base de V, por ser sus vectores linealmente independientes se tiene que verificar, por el corolario 1, que p::;; n.

Razonando a la inversa se tiene que n ::;; p. Luego n = p.

Al nmero de vectores de una base se le llama dimensin del espacio vectorial.

3. Si V es un espacio vectorial de dimensin n entonces todo conjunto de n + 1 vectores de Ves linealmente dependiente o ligado.

Demostracin.

Supongamos que {w, w2 , , wll+} son n + 1 vectores linealmente independientes, entonces por el teorema de Steinitz, n de ellos forman una base de V, supongamos que son {wp w2 , , w,J, por tanto wn+ es combinacin lineal de ellos y {w, w2 , , wll+} son linealmente dependientes en contra de la hiptesis.

4. Si Ves un espacio vectorial de dimensin n entonces todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base de V.

Es una aplicacin directa de teorema de Steinitz.

61



5. Si V es un espacio vectorial de dimensin n entonces todo sistema generador de n vectores es una base de V.

Demostracin.

Supongamos que {w" w2 , , w,,} es sistema generador. y linealmente dependiente, entonces eliminamos vectores hasta obtener un conjunto de vectores linealmente independientes, tenemos as un conjunto de n - p vectores que son linealmente in-dependientes y sistema generador, es decir una base de V con n - p vectores en contra de la hiptesis de que la dimensin de V es n.

El teorema de Steinitz es equivalente al siguiente:

Si {w" w2 , , W p} son p vectores linealmente independientes de un espacio vecto-rial V de dimensin n > p entonces existen n - p vectores de V, v" v2 , ... , v,,_ p' tales que:

{w" w2 , , w" , v" v2 , ... , v,,_p} es una base de V.

8. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial de dimensin n y sean B B' = {v" v2 , ... , v,,} dos bases de V.

Si x es un vector de V, tendr unas coordenadas (a"a 2 , ,aJ en la base B y otras $" [32 , ... ,[3,J en la base B'.

En esta pregunta se pretende calcular la relacin que existe entre las coordenadas del vector x respecto de estas dos bases. Entonces:

Como B' es una base, los vectores de B se pueden expresar como combinacin li-neal de los de B',

, = allv, + a2,v2 + .. . + a",v" 2 = a'2v, + a22 v2 + ... + an2v"

62



Sustituyendo en x:

x =a,(a"v, +a2,V2 + ... +a",vJ+a2(a'2V, +a22V2 + ... +a"2VJ+ ... + +a"(a,,,v, +a2"v2 + ... +aIll1V,,)=

= (a ,a" +a2a'2 + ... +a"a,,,)v, + (a,a2, +a2a22 + ... +a"a2")v2 + ... + + (a,a", + a 2an2 + ... + a"alll1 )v" = =~,v, +~2V2 + ... +~"v"

Como las coordenadas de un vector en una base son nicas,

~ , = a,a" + a2a'2 + .. . + ana,,, ~2 = a,a2, + a2a22 + ... + a"a2"

que es un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas. Este sistema escrito en forma matricial es:

[ ~'] [a" a'2 a,,,][a,] ~z a2, a22 a2" a z i,: - ~::, a,,2 ~:I:l ~:l Esta ecuacin matricial recibe el nombre de ecuacin del cambio de base y a la matriz A = (aij) se le llama matriz del cambio de la base B a la base B'. Abreviadamente:

(X)s' = (A)ss' (X)s

Observacin

Como los vectores de B son linealmente independientes => IAI 1: => A tiene matriz inversa y por tanto A- 1 es la matriz del cambio de la base B' a la B.

Ejemplo 19

a) Hallar las coordenadas respecto de la base B' = {(l, 2, 3), (3,4, O), (l, 1, O)} de un vector x E R3 sabiendo que sus coordenadas respecto de la base B = {( 1, 1, O), (0,1,1), (1, 0, 1)} son (1,1,1)

63



b) Encontrar la ecuacin del cambio de base de B a B' .

a) x = 1.(1, 1, O) + 1.(0, 1, 1) + 1.(1, 0,1) = a.(1, 2, 3) + ~.(3, 4, O) + y.(l, 1, O) => => (2,2,2) = (a + 3~ + y, 2a + 4~ + y, 3a)

de donde

2 = a + 3~ + Y 2= 2a+4~ 2= 3a

que resolvindolo nos da (~ -~ 10) que son las coordenadas de x en la base B'. 3' 3' 3 b) Para calculr la ecuacin del cambio de la base B a la B' tenemos que calcular las

coordenadas de los vectores de la base B en la B' .

64

(1,1, O) = a.(1, 2, 3) + ~.(3, 4, O) + y.(1, 1, O) => (a,~, y) = (O, 0,1)

(O, 1, 1) = a.(l, 2, 3) + ~.(3, 4, O) + y.(1, 1, O) => (a,~, y) = (~,~, -i) (

1 4 14) (1, 0,1) = a.(1, 2, 3) + ~.(3, 4, O) + y.(1, 1, O) => (a,~, y) = 3' -3' 3

Entonces la ecuacin matricial del cambio es:

[XJ [O 1/3 1/3 J [XJ y = O 2/3 - 4/3 Y z B' 1 -7/3 14/3 BB' Z B

As podemos comprobar el resultado obtenido en el apartado a):

1/3 1/3 J [lJ [2/3 J 2/3 -4/3 1 = -2/3 -7/3 14/3 BB' 1 B 10/3 B'



Otra forma de hacerlo es:

de donde

[1 O 1][CX1]_[1 3 1][~ 1 ] [~11-[1 3 1]-1[1 O 1][CX1] 1 O cx 2 - 2 4 1 ~ 2 => ~ 2 - 2 4 1 1 1 O cx 2 => O 1 1 cx3 3 O O ~ 3 ~ 3 3 O O O 1 1 cx3

1/3 2/3

-7/3

9. SUBESPACIOS VECTORIALES

Definicin Se dice que un subconjunto H no vaco de un espacio vectorial V es un subespacio

vectorial de V si H es un espacio vectorial al considerar en l las mismas operaciones de suma y multiplicacin por escalares que en V.

Dada la definicin de subespacio vectorial no es necesario probar todas las propie-dades de espacio vectorial en H. Slo hay que probar que:

a) La suma y la multiplicacin por escalares estn definidas en H. b) OEH c) El opuesto de un vector de H pertenece a H.

pues todas las dems se cumplen en H por cumplirse en V.

Estas condiciones se reducen a una o dos como veremos en los siguientes teoremas de caracterizacin de los subespacios vectoriales.

65



Teorema

Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si y slo si se cumplen las siguientes condiciones.

a) V x, ji EH=> X + ji EH b)VaERyVxEH => roEH

Demostracin

= Si H es un subespacio vectorial es evidente que se verifica a) y b).


Por el primer teorema de caracterizacin, para cualesquiera que sean los vectores (x, y) y (X', y') de R2 y el escalar a,

a) (x, y) + (x', y') = A,(a, b) + A,'(a, b) = (A, + A,')(a, b) E r b) a(x, y) = a(A,(a, b)) = (aA)(a, b) E r

r es, por tanto, un subespacio vectorial.

Ejemplo 21

Comprobar si L = {(XI, X2, X3) E R3 / XI - 2X2 + 3X3 = O} es un subespacio vectorial de R3.

Por el segundo teorema de caracterizacin, para cualesquiera que sean los vectores (XI, X2, X3) Y (y" Y2, Y3) de R3 y los escalares a y ~, se tiene

veamos si pertenece a L

axl + ~YI - 2(ax2 + ~Y2) + 3(ax3 + ~Y3) = = axl- 2ax2 + 3ax3 + ~YI - 2~Y2 + 3~Y3 = = a(xI- 2x2 + 3X3) + ~(yl - 2Y2 + 3Y3) = O

luego s pertenece a L y L es un subespacio vectorial de R3.

Ejemplo 22 Estudiar si el subconjunto S = {(XI, X2, X3) E R3 / XI + X2 + X3 = 2} es un subespacio

vectorial de R3.

Por el primer teorema de caracterizacin, para cualesquiera que sean el vector (XI, X2, X3) Y el escalar a, se tiene

veamos si pertenece a S,

luego S no es un subespacio vectorial de R3.

67



Teorema

La envoltura lineal de un conjunto de vectores de V es un subespacio vectorial de V.

Demostracin

a.X +l3y = a(x,v, + X2V2 + ... + xp vp) + I3( Y, v, + Y2V2 + ... + Ypvp) = = (ax, + I3Y,)v, + (ax2 + I3Y2)v2 + ... + (axp + I3Y p)vp E< v" v2, ... , vp >

luego es un subespacio vectorial.

Definicin

El rango de un conjunto de vectores es el mximo nmero de vectores lineal-mente independientes que posee.

Por tanto, el rango de un conjunto de vectores coincide con la dimensin del subes-pacio vectorial que generan, es decir, con la dimensin de su envoltura lineal. Tambin coincide con el rango de la matriz obtenida con las coordenadas de los vectores.

Ejemplo 23

Caracterizar el subespacio vectorial S de R3, definido por la envoltura lineal de los vectores u, = (-1, 2, 3) Y u2 = (4, -5, 1).

(Xl , X2, X3) = a(-l, 2, 3) + 13(4, -5, 1) = (-a + 413, 2a - 513, 3a + 13)

de donde:

Xl = -a + 413

X2 = 2a- 513

X3 = 3a + 13

que es la caracterizacin denominada ecuaciones paramtricas del subespacio.

68



Si se eliminan los parmetros a y ~, por ejemplo, por el mtodo de Gauss,

[[-1] 4 XI]

2 - 5 x2 .2 3 1 x3 .3

-1 4 XI O 3 2x, + x2 O 0_17 x _.!lx+x 3 I 3 2 3

se deduce que 17 13

--x --x +x =0 3 I 3 2 3 o y se obtiene as

otra caracterizacin denominada ecuaciones implcitas de S, que tambin se puede ex-presarcomo S={(X"X2 ,X3 )/ 17x, +13x2 -3x3 =O}

De la ltima expresin matricial se deduce que el rango de { l , 2 } es 2, que el n-mero de ecuaciones implcitas es 1 y por tanto:

La dimensin del subespacio vectorial ms el nmero de ecuaciones implcitas del subespacio vectorial eS igual a la dimensin del espacio vectorial.

10. INTERSECCIN DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Definicin Sean U I Y V2 dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V. Se de-

fine la interseccin de VI y V 2 como el conjunto de vectores que pertenecen simult-neamente a V I Y V 2 .

Teorema

La interseccin de dos sub espacios vectoriales de V es un subespacio vectorial de V.

Demostracin

Por el segundo teorema de caracterizacin,

Vx,yE VI nV 2 Y Va,~E R => => a.X + ~y E V I Y a.X + ~y E V 2

luego es un subespacio vectorial.

x,yE VI Y x,yE V 2 => => a.X + ~y E VI n V 2

69



Ejemplo 24 Calcular la interseccin de los subespacios generados por {(1, 2, -1), (O, 1, 3) Y

{(2, 3, -1), (1, O, 2)} Si x pertenece a la interseccin de los subespacios se tiene que verificar:

x = a(1, 2, -1) + ~(O, 1,3) = y(2, 3, -1) + 8(1, O, 2)

de donde

a=2y+8

2a+ ~ = 3y - a + 3~ = - y + 28

que da lugar al sistema homogneo

a -2y -8 = O

2a + ~ - 3y = O -a + 3~ + Y - 28 = O

cuya solucin es: a = -14)..1., ~ =)..1., y = -9)..1., 8 = 4)..1. Y por tanto los vectores de la in-terseccin son de la forma:

x = -14)..1.(1 , 2, -1) +)..1. (0,1,3) = (-14)..1., -27)..1.,17)..1.) =)..1. (-14, -27,17) o x = -9)..1.(2,3, -1) + 4)..1. (1, O, 2) = (-14)..1., -27)..1.,17)..1.)

La interseccin es un subespacio de dimensin 1 porque todos sus vectores son mltiplos del (14, 27, -17) cosa que se poda haber visto antes pues la solucin del sis-tema homogneo dependa de un solo parmetro.

Si nos dan los subespacios por sus ecuaciones implcitas el conjunto de todas ellas son las ecuaciones implcitas de la interseccin, pero se deben suprimir las ecuaciones que sean dependientes.

Ejemplo 25

70

Calcular la interseccin de los subespacios definidos por:

SI = {(Xl , X2, X3)E R3 / Xl - X2 + 3X3 = O) S 2 ={(XI ,X2,X3)ER3 /XI+X2 =0, X2+X3=O}



La interseccin viene dada por el sistema:

XI - X2 + 3X3 =

XI +X2 = X2 + X3 =

Estudiemos el subespacio.

[[1] -1 3] 1 1 1 1 0.( -1) [

1 -1 3] [1 -1 ~ [1] 1 ~ 1 2 - 3 .(-2)

La nica solucin que tiene el sistema es la trivial, (0, 0, O), luego el vector nulo es el nico vector del subespacio, por tanto, el subespacio interseccin es el subespacio impropio { } Ejemplo 26

En R4 se consideran los subespacios vectoriales definidos por:

LI = {(x, y, z, t)E R4 / X + Y - z + t = 0, x - y + z = O} L2 = 1, 0, 1, O), (O, 1,0, 1

Calculamos las ecuaciones implcitas de L2.

y =~ (x, y, z, t) = a(l, 0, 1, O) + ~(O, 1, 0, 1) ~

!x=a

z=a t=~

~ {x-z = y-t =0

71



La interseccin viene dada por el sistema:

x y z t

r+Y-


Proposicin

Si V, Y V 2 son dos subespacios vectoriales de V. Entonces V, u V 2 es un subes-pacio vectorial si y solamente si V , ~ V 2 o V 2 ~ V,.

La demostracin es evidente.

Ejemplo 27

Estudiar si la unin de los subespacios V, = {(x, y, Z) E R3 / x + y + Z = O} Y V 2 = {(x, y, Z) E R3 / x = 2a +~, y = a -~, Z = O} es un sub espacio vectorial.

Como dim (V,) = dim (U2) = 2, para que la unin sea un subespacio vectorial tiene que ocurrir que V, = U2 .

Veamos si los vectores de U2 estn en U,.

Como 2a + ~ + a - ~ = 3a;f:. O ===> V,;f:. V 2 ===> U, U U2 no es un subespa-cio.

Ejemplo 28

Estudiar si la unin de los subespacios vectoriales de R3 definidos por:

L, = {(x, y, Z)E R3 / x -2y + Z = O}

L2 = 3,1,-1

es un subespacio vectorial.

Como dim (L,) = 2 Y dim (L2) = 1, para que L, u L2 sea un subespacio vectorial tiene que cumplirse que L2 eL, .

Veamos si los vectores de una base de L2 pertenecen aL,.

Como una base de L2 est formada por el vector (3, 1,-1), se tiene que

3 -2.1 - 1 = O ===> L2 e L, luego L, u L2 es un subespacio vectorial de R3.

73



12. SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Definicin Sean U I y U2 dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V. Se de-

fine la suma de U I Y U2 como el conjunto de todos los vectores que se obtienen suman-do un vector de U I con otro de U2 Es decir:

Teorema

La suma de dos subespacios vectoriales U I Y U2 de V es un subespacio vectorial de V que verifica: U I + U2 = < U I U U2 >

Adems es el subespacio mas pequeo de V que contiene a U I U U2

Ejemplo 29

Calcular el subespacio suma de los subespacios de R3 definidos por:

U I =


que nos dice que hay tres vectores linealmente independientes, estos pueden ser los tres primeros. Luego una base de U + U2 es {(1, 2, -1), (0,1,3), (2, 3, -1)}. Por tanto U + U2 es R3 y otra base de U + U2 puede ser la base cannica.

Observa que no tiene ecuaciones implcitas porque es todo el espacio vectorial.

Definicin Cuando los subespacios U Y U2 tienen por interseccin nicamente el vector nulo,

su suma se llama suma directa y se representa por U EB U2.

Proposicin

. Todo vector de la suma directa de dos subespacios U Y U2 se descompone de for-ma nica como suma de un vector de U Y un vector de U2

Demostracin

Supongamos que x E U EB U2 tiene dos descomposiciones x = + v = '+v' ~ - '= v'-v como - 'E U y v'-v E U2 ~ - '= v'-v E U n U2 y como la suma es directa ~ - '= v'-v = ~ = ' y v'= v

Definicin Cuando la suma directa de dos subespacios es el espacio total los subespacios se

llaman suplementarios.

Ejemplo 30 . Los subespacios U =


conocida con el nombre de frmula de Grassmann.

Si la suma es directa se tiene que:

dim (U I EB U2) = dim U I + dim U2

y si U I Y U2 son suplementarios:

dim (U I EB U2) = dim V

Ejemplo 31

Hallar los subespacios suma e interseccin de los subespacios de R3 definidos por:

U I = -2,3,-3), (-1,3,0 y U2 =

y por Gauss

f.! Y

[[=o:J -3 1

2a+ ~ + y = 3a+ 3~ - f.! =

-3a - 3y - f.! =

a ~

3 3) [-1 3 3) [-1 -3 .(-1) [- 3] - 6 -3 2 1 1 2 1 .1/3

=> t f.! + 3a + 3~ = y+2a+ ~ =0

3 ~+ - 3 -6

Es un sistema homogneo compatible indeterminado con dos grados de indetermi-nacin => la solucin depende de dos parmetros => la dimensin de la interseccin es 2 => U I n U2 = U I = U2

Por la frmula de Grassman

76



Una base de U, + U2 sern dos vectores linealmente independientes cualesquiera de entre los cuatro, luego pueden ser los de U ,. Por tanto se verifica que:

EJERCICIOS

1. Demostrar que V = ~.J5 / x E R} es un espacio vectorial real. 2. Demostrar que el conjunto D = {(a , b, c)/ a,b,cE R} de todas las ternas soluciones

de la ecuacin a + 2b - 3c = es un espacio vectorial.

3. Resolver, en un espacio vectorial cualquiera, las siguientes ecuaciones, suponindose .... ....

a y b conocidos .

.... .... ....

a) 3x-2a = .... .... .... ....

b) 4x+3a-2b = x .... .... .... ....

c) 3x-2a+3b=-x

4. Resolver, en un espacio vectorial cualquiera, las siguientes sistemas de ecuaciones .... ....

vectoriales, suponindose a y b conocidos.

5. Demostrar que el vector (-3, 2, 5) E R 3 depende linealmente de los vectores 0,1,2), (- 2,0,3) Y (-2,1, O)

6. Demostrar que el vector (-1, 3, 7)E R 3 no es combinacin lineal de los vectores 0,0, O) Y (O, 1, O).

77



7. Hallar el valor de x para que el vector (11, -16, x) dependa linealmente de losvectores (2, -1,3) Y (-1, 2,1)

8. Estudiar si el conjunto de vectores {(1, 1, -1), (1, -1,1), (-1,1, 1)} de R3 es libre oligado.

9. Estudiar si el conjunto de vectores {(-1, 3, 2), (2, -1,3), (4, -7, -1)} de R3es libre

o ligado.

10. Averiguar si los vectores (1, 1, O), (1, O, 1) Y (O, 1, 1) son un sistema generador deR3

11.Encontrar la condicin que deben cumplir las componentes de los vectores de R3

para que sean combinacin lineal de los vectores (1, 0, -1) Y (0,1,2)

12.Encontrar la condicin que deben cumplir las componentes de los vectores de R3

para que sean combinacin lineal de los vectores (2, 1,O), (1, 2, 1)Y (O, 1,2)

13.Calcula la envoltura lineal de los vectores (3, -2, 1)Y (2, -3, 1) de R3

14.Estudiar si el conjunto de vectores {(1, 1,O), (1, O, 1)Y(O, 1, 1)} es una base de R3

15.Discutir si es o no base de R3 el conjunto de vectores {(1, -2, -1), (-3, O, 2),(O,-6, -1)}.

->16.Hallar las coordenadas del vector a = (3, -1, 2) respecto de la base B = {(-1, 0,1),

(1, 1, O), (1, 2, 3)}

->17.Comprobar que el vector x = (3, 5) se puede expresar de varias maneras como corn-

-> -> ->binacin lineal de los vectores u = (1, 1), u2 = (2, -1) Y u3 =(-1, O). Estudiar elporqu.

18.Dados el conjunto de vectores {(1, 2, -3), (3, 2, 3), (-5, -2, -1), (2, 0, -2)}, averi-guar si hay contenido en l una base de R3 En caso afirmativo hallarla.

319.Dado el vector (2,3, -1) de R encontrar una base que lo contenga.

20. Sabiendo que el vector x = (2, 5, -1, 1) est referido a la base cannica de R4 ,a) hllense sus coordenadas respecto de la base B ={(1, 1, O, O), (O, 0, 1, 1),

(1,0,0,1), (0,1,0, 1)}.

b) la ecuacin del cambio de la base cannica a la base B

78

21. Dada la base

a) Hallar reB'={(l, ~(-3,2,1,

b) Hallar la I

22. Comprobar

vectorial de

23. Comprobar

torial de R3

24. Se consideri2x-y=O E

25. Probar si el3

de R . Inter:

26. Encontrar 1:

engendrado

27. Encontrar \;

engendrado

28. Calcular el

29. Hallar el su

L2 = {(x,y

30. Probar siU2 =


4 21. Dada la base B ={(O, 1, -1, O), (1, O, O, -1), (0,1, O, -1), (0,1,1, 1)} de R: ->

a) Hallar respecto de B las coordenadas del vector x que respecto de la base B'={(1, 2, O, O), (-1, 0,1, 1), (O, O, -2,1), (1, O, -1, O)} tiene por coordenadas (-3,2,1, -2).

b) Hallar la ecuacin del cambio de base de B a B' .

22. Comprobar si S = {(Xl' X 2 ' X 3 ) E R 3 / Xl - 2x2 + 3x3 = 1} es o no un subespacio vectorial de R3

23. Comprobar si S = {(Xl 'X2 ,X3 ) E R 3 / Xl - X2 - x3 = O} es o no un subespacio vec-torial de R3

24. Se considera a R2 como el plano ordinario. Probar que la recta de ecuacin 2x - y = O es un subespacio vectorial de R2

25. Probar si el subconjunto S = {(a, b, 1)/ a,bE R} de R3 es un subespacio vectorial de R3 Interpretarlo geomtricamente.

26. Encontrar las ecuaciones paramtricas e implcitas del subespacio vectorial de R3 -> ->

engendrado por los vectores u I = (1, 2, O) Y u 2 = (O, -1,2).

27. Encontrar las ecuaciones paramtricas e implcitas del subespacio vectorial de R2 -> ->

engendrado por los vectores u I = (1, -1) Y u 2 = (O, 2).

28. Calcular el rango del conjunto de vectores {(1, O, 2), (2, -1, 1), (-1, 1, -1) }

29. Hallar el subespacio interseccin de los subespacios L, = 2, O, -1), (1, -1, O y L2 = {(X,y,z) E R3 / X+ y = O}

30. Probar si la unin de los subespacios U, = {(x, y, Z) E R3 / X + Y + Z = O} Y U2 =


33. Sean L y ~ dos subespacios vectoriales de R4 , generados respectivamente por los sistemas de vectores S = {(1, 1, O, -1), (1, 2, 3, O), (2, 3, 3, -l)} Y S2 = {(1, 2, 2, -2) , (2, 3, 2, -3), (1, 3,4, -3)}. a) Calcula la dimensin de los subespacio L + L2 Y L n L2 b) Calcula las ecuaciones paramtricas e implcitas de L + ~ y L n~.

34. Consideramos el subespacio H de R4 generado por el sistema de vectores S = {(4, -1, 5, O), (3, 2, -1, 4), (1, 8, -13,12), (-1, 3, -6, 4)} yel subespacio de-

{X+ y+ Z + t = O

finido por las ecuaciones implcitas L = . Se pide: y-z+2t=0

a) La dimensin y unas ecuaciones de H. b) La dimensin y unas ecuaciones paramtricas de L. c) La dimensin y unas ecuaciones implcitas de H + L Y H n L.

35. Consideremos los subespacios vectoriales de R3: U =

CAPTULO 4 APLICACIONES LINEALES


CAPTULO 4. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIN LINEAL

Sean (U,+;) y (V,+;) dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo R. (las opera-ciones + y . aunque se representan por el mismo smbolo no tienen por qu ser las mis-mas).

Definicin

Una aplicacinf de U en V

f :U --7 V X --7 f(x)

se dice que es una aplicacin lineal, homomorfismo o transformacin lineal si cum-ple las siguientes condiciones:

a) f(x+ y) = f(x)+ f(y) Vx,yE U b) f(riX) = af(x) VXE U y VaE R

Esta definicin es equivalente a la siguiente:

Definicin

Una aplicacin f de un espacio vectorial U en un espacio vectorial V es una aplica-cin lineal si y slo si

f(riX + ~y) = af(x) + ~f(y)

Ejemplo 1

Probar si la aplicacin lineal de R2 en R definida por f (x) = f (x, X2) = 3x - 2X2 es lineal.

Lo probaremos con la segunda definicin.

f(riX + ~y) = f(a(x, X2) + ~(y, Y2 = f(ax + ~Y, ax2 + ~Y2) = = 3(ax + ~Y) - 2(ax2 + ~Y2) = 3ax + 3~y - 2ax2 - 2~Y2 = = a(3x - 2X2) + ~(3y - 2Y2) = af(x, X2) + ~f(Y, Y2) = af(x) + ~f(y)

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Ejemplo 2

Probar si la aplicacin f:R ~ Rx ~ 2x+3

es una aplicacin lineal.

Lo estudiaremos utilizando la primera definicin.

f(x + y) = 2(x + y) + 3 = 2x + 2y + 3f(x) + f(y) = 2x + 3 + 2y + 3 = 2x + 2y + 6

Comof(x + y);f:.f(x) + f(Y), f no es una aplicacin lineal.

De las aplicaciones lineales se puede hacer la siguiente clasificacin:

a) Cuando la aplicacin lineal es sobre espacios vectoriales distintos U y V.

Si f es inyectiva [f(x) = feY) ~ x = )i] se llama monomorfismo,

Si f es sobreyectiva [V)i E V, 3XE U / f (x) = )i] se llama epimorfismo,

Si f es biyectiva [inyectiva y sobreyectiva] se llama isomorfismo. En este casolos espacios vectoriales sobre los que est definida se llaman isomorfos.

b) Cuando la aplicacin lineal est definida sobre el mismo espacio vectorial se llamaendomorfismo y si es biyectiva automorfismo,

e) Si el espacio vectorial imagen es el cuerpo sobre el que est definido el espaciovectorial origen, la aplicacin lineal se llama forma lineal.

Propiedades

Sea f: U ~ V una aplicacin lineal, entonces:

1. feO) = O

2. f(-x)=-f(x) VXEU

3. f(a,x, +a2x2 + ... +allxJ =aJ(x,)+ad(x2)+ ... +an!(xll) Vx"x2, ,xlI E U

Y Va"a2,,all E R

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4. Si {x"x2,ces {f(x,diente o li,

5. Si W es UIV

6. Si H es unU.

2. IMAGEN

Sea f: U

Definicin

Se defineimgenes de 1

Teorema

La image

La demo

La dimeineal.

Teorema

Sea f UI(f(,),f(2

Demostracr

Sea iiE

Por ser

y como v =



4. Si {Xp X2 , ... ,X,,} es un sistema de vectores linealmente dependiente o ligado enton-ces {f(x ),J(X2 ), ,J(X,.)} es tambin un sistema de vectores linealmente depen-diente o ligado.

5. Si W es un subespacio vectorial de U entonces f (W) es un sub espacio vectorial de V

6. Si H es un subespacio vectorial de V entonces f-l(H) es un subespacio vectorial de U.

2. IMAGEN DE UNA APLICACIN LINEAL Sea f: U ~ V una aplicacin lineal.

Definicin Se define la imagen dej, Im(f), como el subconjunto de V formado por todas las

imgenes de los vectores de U.

Im(f) = {\i E V / ::Iu E U / f(u) = \i} = f(U)

Teorema

La imagen de una aplicacin lineal es un subespacio vectorial de V

La demostracin es evidente por la propiedad 5.

La dimensin del subespacio vectorial imagen se llama rango de la aplicacin li-neal.

Teorema

Sea f una aplicacin lineal de U en V y sea {u, u2 , ... ,u,,} una base de U. Entonces {f (ul),J (u2 ), ,J (un)} es un sistema generador de Im(f).

Demostracin

Sea \i E Im(!) => ::Iu E U / f(u) = \i

Porser {U I ,U2 , ... ,ull } una base de U,

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nos dice que todo vector de Im( f) se puede expresar como combinacin lineal de {f( l ),f(2 ), ,f(lI )} Por tanto es un sistema generador.

Ejemplo 3

Estudiar la imagen de la aplicacin lineal de R3 en R2 definida por:

f(x, y, z) = (x +y, X + y)

Como las componentes de los vectores imgenes son iguales, todos estos vectores estn situados en las bisectrices del primer y tercer cuadrante de R2. Por tanto Im(f) es un subespacio vectorial de dimensin 1 definido por: Im(f) = {(x, y) E R2 / x = y}

La imagen de la base cannica es:

f(1, O, O) = (1,1) f(O, 1, O) = (1,1) f(O, O, 1) = (O, O)

que es un sistema generador de Im(f) pero no una base.

x = y es la ecuacin implcita y {(1, 1)} es una base de Im(f).

3. MATRIZ DE UNA APLICACIN LINEAL

Sea f: U -+ V una aplicacin lineal.

Sean B = { l ,2 , ,lI } una base de U y B' = {VI' v2 , , VIII} una base de V.

Cualquier vector x de U se puede expresar de la forma

y su imagen por f ser:

Como f( l ),f(2 ), ,f(lI ) son vectores de V se escribirn de la forma

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f(ii l ) = fllVI + f21 V2 + ... + fmlvm f(2) = f12 vI + f 22 V2 + ... + fm2 vm

y sustituyendo en la expresin anterior se tiene:

+ X2 (f12 VI + f22 V2 + ... + fm 2 VIIJ + ... + Xn (fll/ VI + f21/ V2 + ... + fl/U vm) = = (XJI I +x2f12 + ... +X,.fIJVI + (XJ21 +x2f22 + ... +X"f2JV2 + ...

y por la unicidad de las coordenadas de un vector en una base se tiene

YI =XJll +x2f 12 + ... +X"fl" Y2 = XJ21 +x2f22 + ... +X,.f2n

que en forma matricial es

... fl"IXI]

... f21/ X2 ... . ..

film XII

y se llama ecuacin matricial de la aplicacin lineal referida a las bases B y B'. En forma abreviada es

La matriz F es la matriz de la aplicacin lineal f y est referida a las bases B y B' . Si se cambiara alguna de las bases tambin cambiara la matriz F y por este motivo siempre que exista duda se deber explicitar en la matriz F las bases a la que est referi-da, es decir en las que se est trabajando.

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En caso de no explitcitar las bases se considerarn las bases cannicas.

Evidentemente, por el teorema de la pregunta anterior, la dimensin de la Im( f), es decir el rango de la aplicacin lineal, es el rango de la matriz de dicha aplicacin.

Ejemplo 4

Calcular:

a) las distintas expresiones de la aplicacin lineal definida por:

(Xl, X2, X3) -7 (Xl + X2, Xl + X2)

b) la imagen del vector (4,7,1).

Como los vectores de R3 y R2 estn referidos a las bases cannicas se calcularan las imgenes de los vectores de la base cannica de R3.

f(1, O, O) = (1, 1) feO, 1, O) = (1, 1) feO, O, 1) = (O, O)

Entonces la expresin matricial es

Desarrollando la expresin matricial se obtienen las ecuaciones paramtricas del subespacio imagen que son

Yl =Xl +X2

Y2 = Xl + X2

y eliminando los parmetros Xl y X2 se obtienen la o las ecuaciones implcitas, que son

Y l - Y2 = O

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La imagen del vector (4,7,1) se obtiene, entre otras formas, sustituyendo en la ex-presin matricial.

Toda matriz tiene asociada una aplicacin lineal como veremos en el ejemplo si-guiente.

Ejemplo 5

Dada la matriz [~1 ~ J hallar las expresiones de la aplicacin lineal f de R 2 en O -1

R3 asociada a ella.

a) La expresin matricial es:

b) Las ecuaciones paramtricas son:

y =x Y2 =-x +x2 Y3 = -x2

c) Las ecuaciones implcitas se obtiene eliminando los parmetros en las paramtricas.

[[1] O Y J [1 -1 1 Y2 .1{:::> O O -1 Y3 O

d) Como fCe) = f(I,O) = (1,-1,0) f(e2 ) = f(O,1) = (0,1,-1)

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cualquier vector x = xe + x 2e2 tiene por imagen

Estas expresiones tambin se obtienen de la expresin matricial o de las ecuaciones paramtricas.

4. NCLEO DE UNA APLICACIN LINEAL

Sea f: U ---7 V una aplicacin lineal.

Definicin

Se llama ncleo de la aplicacin lineal f al conjunto de todos los vectores de U que tienen por imagen el vector O de V. Se representa por N(J).

N(f) = (XE U / f(x) = D}

En algunos textos tambin se representa por Ker(f).

Teorema

El ncleo de una aplicacin lineal f de U en V es un subespacio vectorial de U.

Demostracin

f(a + ~2) = af() + ~f(2) = aD + ~D = D => a + ~2 E N(f) => N(f) es un subespacio vectorial de U.

Teorema

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Si f es una aplicacin lineal entre los espacios vectoriales U y V, entonces

dim Im(f) + dim N(f) = dim U



Demostracin

Supongamos que dim U = n y que {P2, ... ,k} es una base de N(!). Entonces por el teorema de Steinitz se puede ampliar a una base de U. Si {P2"",k,k+P""II} es base de U, entonces {f (),f (2 ), ... ,f (k),f (k+ ), ... ,f (,,)} es un sistema generador de Im(f) y como !()=!(2)==!(k)=0 ~ (f(k+)"",f(lI )} esunsis-tema generador de Im(f).

Vamos a probar que son linealmente independientes. Para ello

aJ(k+)+ ... +all_J(,,)=o ~ !(ak+++all_kn)=O ~ ~ ak+ + ... +all_kn E N(f)

y por tanto se podr expresar como combinacin lineal de los vectores de la base de N(f).

ak+ + ... +all_klI =~ +~22 +"'+~kk


que es su expresin matricial.

Como dim Im(f) = rango[ 2 O -1) = 2 => dim N(f) = dim R3 - dim Im(f) -1 3 O

= 3 - 2 = 1 Y los vectores del ncleo son los que satisfacen el sistema

3X2 -Xl = O

y que son las ecuaciones implcitas de ncleo.

Resolviendo el sistema se obtienen sus ecuaciones paramtricas.

La dimensin del ncleo coincide con el grado de indeterminacin del sistema de las ecuaciones implcitas o nmero de parmetros necesario para resolverlo.

Una base del ncleo se obtiene dando un valor no nulo al parmetro. Si A =1 se tie-neB(N(f)) = {(3,1,6)}.

5. CLASIFICACIN DE LAS APLICACIONES LINEALES

l. Monomorfismos o aplicaciones lineales inyectivas.

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Teorema

La condicin necesaria y suficiente para que una aplicacin lineal f de U en V sea monomorfismo es que N(f) = O, es decir, dim N(f) = O.

Como consecuencia de este teorema se tienen los siguientes corolarios:,

Corolario 1

Los monomorfismos transforman sistemas linealmente independientes en sistemas linealmente independientes.



Corolario 2

Si f es un monomorfismo de U en V, la imagen de una base de U es una base de Im(f), pero no tiene por qu ser una base de V.

Corolario 3

Si f es un monomorfismo de U en V, el rango de f es la dimensin del espacio vectorial U.

11. Epimorfismos o aplicaciones lineales sobreyectivas.

Teorema

La condicin necesaria y suficiente para que una aplicacin lineal f de U en V sea epimorfismo es que Im(f) = V, es decir, dim Im(f) = dim V.

111. Isomorfismos o aplicaciones lineales biyectivas.

Teorema

La condicin necesaria y suficiente para que una aplicacin lineal f de U en V sea isomorfismo es que dim Im(f) = dim U = dim V.

Corolario

Dos espacios vectoriales de la misma dimensin son isomoifos, es decir, existe un isomorfismo entre ellos.

Ejemplo 7 Clasifica la aplicacin lineal f de R2 en R3 definida por f (x, y) = (x + y, x - y, 2x)

Calculamos la ecuacin matricial de la aplicacin,

ZI:X+ Y} Z2 - x - y Z3 = 2x

Tambin se podan haber buscado las imgenes de los vectores de la base cannica.

El rango de la matriz de la aplicacin es la dimensin de la imagen, por tanto: dim Im(f) = 2 => dim N(f) = O Y fes un monomorfismo.

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6. OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES

Sea el conjunto de las aplicaciones lineales de U en V, que representamos por Hom(U,V). En l se definen las siguientes operaciones:

l. Suma de aplicaciones lineales

Sean f y g dos aplicaciones lineales de U en V de matrices asociadas F y G res-pectivamente, entonces la aplicacin U + g) definida de U en V por

U + g)(x) = f(x)+ g(x) VXE U .

es una aplicacin lineal de matriz asociada (F + G).

Hay que observar que F y G tienen que estar definidas sobre las mismas bases.

11. Producto de un escalar por una aplicacin lineal

Sean a E R Y f una aplicacin lineal de U en V de matriz asociada F, entonces la aplicacin (af) definida de U en V por

(af)(x ) = af(x) VXE U

es una aplicacin lineal de matriz asociada aF.

Esto significa que si dim U = n y dim V = m, la aplicacin

'Jf : Rom (U,V) ---7 M(m,n)

satisface: 'JfU + g ) = F + G = 'JfU) + 'Jf( g) y 'Jf(af) = uF = a'JfU) por lo que es una aplicacin lineal y como habamos visto que era una biyeccin es un isomorfismo, por tanto:

dim Hom(U,V) = dim M(m,n) = dim U x dim V = n x m

111. Composicin de aplicaciones lineales.

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Sea f una aplicacin lineal de U en V de matriz asociada FBB' y g otra aplicacin lineal de V en W de matriz asociada GB'B", entonces la aplicacin (g 01) definid

apuntes de fundamentos matemáticos de la ingeniería

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