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LA ECONOMETRÍA DE LAS SERIES TEMPORALES EN LA EMPRESA. PROPIEDADES DE LAS SERIES
TEMPORALES Y CONTEXTO ESTADÍSTICO PARA SU ESTUDIO.
TEMA 1
Detalles del curso
Horario
Lunes 16:00-17:30
Miércoles 16:00-17:30
Material del curso
Transparencias en aula global
Bibliografía en el programa de la asignatura: ningún libro cubre exactamente la materia.
Software econométrico
Gretl
Biblografía
Enders, W. (2004), Applied Econometric Time series. Wiley & Sons.
Peña, D. (2005), Análisis de Series Temporales. Alianza
Editorial. Espasa, A. y J.R. Cancelo (eds) (1993), Métodos
cuantitativos para el análisis de la coyuntura económica, Alianza, capítulos 2 y 3.
Lütkepohl, H. y M. Kratzig. (2004) Applied Time Series
Econometrics, Cambridge University Press.
Propósito del curso
Proporcionar una herramienta útil para el análisis de series temporales que permita dar respuesta a problemas relevantes en la empresa. El curso tendrá un enfoque fundamentalmente empírico. El énfasis
no estará en el desarrollo de estimadores y sus propiedades sino en conocer las propiedades fundamentales de las series económicas que observamos y las implicaciones de los diferentes modelos que pueden proponerse.
La teoría económica no jugará un papel fundamental en la construcción de los modelos en los tres primeros temas del curso . Sin embargo, las conclusiones extraídas de dicho análisis podrá usarse para resolver cuestiones económicas de interés. Los temas 4 y 5 versarán sobre modelos econométricos y para su construcción será necesaria la conjunción de teoría económica, junto con la observación y el conocimiento de las propiedades estadísticas de las series.
¿Para qué sirve la econometría?
Le econometría es un medio (no un fin) para entender y dar respuesta a un problema de interés.
Otras herramientas también pueden ser útiles: Gráficos. Cuadros. Lógica. Opiniones de expertos. Teoría económica y empresarial.
Cuál es la contribución propia de la econometría: Proporcionan una medida de precisión a nuestras estimaciones
(desviación estándar). Cómo de seguros estamos de lo que decimos. Permite controlar por el impacto individual de un grupo de variables
en un output determinado. Cuál es el impacto de una variable x sobre y una vez se controla por el efecto de una tercera variable z.
Datos
Para este curso trabajaremos con series temporales que utilizaremos en las prácticas con computador.
Los alumnos también deberán trabajar con sus propias series. Algunas bases de datos de interés
Global insight.
Ine.
Eurostat.
Banco de España.
Software
El principal software a utilizar en el curso es Eviews 6.
Se explicará durante el curso en diferentes clases de computador como trabajar con este software.
Otros softwares econométricos libres pueden utilizarse de forma optativa en el proyecto: JMulti, autobox, R.
Notas
Se puede escoger
Opción 1: 100% nota del examen final.
Opción 2:
Examen final: 60%
Prueba intermedia: 20% (a realizar el 6 de noviembre)
Trabajo final: 20%.
Estructura del tema.
1. La econometría en la profesión económica. Los métodos cuantitativos en la empresa.
2. Muestras aleatorias y características de las series temporales. Evolutividad en el nivel y oscilaciones estacionarias.
3. La descomposición clásica de una serie temporal: tendencia, estacionalidad y perturbaciones a corto plazo.
4. Tendencia y estacionalidad en series temporales. Transformaciones de estacionariedad.
4.1. El modelo de tendencia lineal y estacionalidad determinista.
4.2. Tendencias segmentadas.
4.3. Tendencias y estacionalidad estocástica.
Definición de Econometría Análisis cuantitativo de los fenómenos económicos utilizando la teoría económica y las observaciones relacionando ambas mediante métodos de inferencia
estadística. Samuelson “La diferencia entre un economista y un loro
que habla de economía es que el economista sabe econometría”
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
1) Análisis estructural, para entender como funciona la economía.
2) Análisis predictivo, para estimar los valores futuros de las variables económicas.
3) Evaluación de nuevas observaciones. 4) Simular con fines de planificación distintas
trayectorias de variables exógenas. 5) Simular con fines de control los valores óptimos de las
variables instrumentales con el fin de alcanzar intervalos deseados en las variables endógenas.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
El económetra en la empresa debe tener formación empresarial.
Las empresas necesitan de económetras, pero no siempre la dirección sabe que tiene que pedir a un económetra.
El económetra debe identificar y solucionar problemas crónicos que no se abordan por su gran complejidad.
Nuevas tecnologías, competencia y econometría
Las nuevas tecnologías permiten informatizar todo tipo de transacciones en la empresa.
Con lo que se pueden construir inmensas bases de datos.
Su explotación y tratamiento econométrico permite obtener ventajas diferenciales sobre la competencia.
En la época actual la econometría es mucho más relevante para la empresa que anteriormente.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Los económetras y la dirección de la empresa
La labor del económetra debe estar integrada dentro de los procesos de decisión de las empresas.
Debe dar soporte analítico a la gestión de procesos de decisión complejos.
Idealmente debería generar una capacidad de gestión de procesos complejos dentro de la empresa.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Finanzas. Valoración de una compañía que no cotiza en bolsa para un canje de acciones. Análisis de la reducción de riesgo de una empresa cuando diversifica entre varios
países. Factores que afectan a la valoración en bolsa de una compañía de un país
emergente: flujo financiero y/o factores de riesgo de un país.
Modelizar la cotización de una compañía en función del: • Flujo de caja operativo. • Dividendo por acción. • Indicadores de nivel de endeudamiento. • Calificación de la compañía en las agencias de rating. • Riesgo de un país.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Estrategia y planificación. Proyecciones financieras y fijación de objetivos por país:
Variables macro relevantes como, por ejemplo, la inflación, tipos de interés, tipos de cambio. Escenarios a medio plazo para adquisiciones.
Análisis a posteriori de la contribución a las ventas de diferentes factores: demanda, precios, publicidad/promociones, factores estacionales.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Marketing y política comercial. Estudio de sondeos y encuestas de satisfacción, imagen, intención de
compra.
Estudio de valoración de factores de compra: Precios.
Plazos de pago.
Garantía de suministro.
Calidad/prestaciones.
Servicio post/venta.
Atención comercial.
Programa fiscalización.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Producción/calidad
Determinación de métricas de calidad relevantes desde un punto de vista de calidad percibida por el cliente
Modelos de regresión entre la dosificación del cliente y dosificación de otras materias primas o métricas de calidad en la fabricación.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Logística Previsiones de demanda a corto plazo para planificar demanda de inventarios y
requerimiento de transporte Previsión mixta ARIMA-experto comercial. Conexión con módulos de planificación, producción y transporte.
Vendor Managed Inventory (VMI): Gestión automática del inventario a clientes mediante modelos automáticos de previsión horaria o diaria. Conexión con sistema de ventas o instalación de sensores de volumen de inventarios que
transmiten información cada hora. Modelos dinámicos horarios o diarios.
Previsión de tiempo de transporte en función de datos históricos y posiciones actualizadas de camiones por GPS. Conexión automática con algoritmos de planificación de transporte (programación lineal).
Planificación de requerimientos de personal de servicios. Modelos dinámicos de horarios en función de ventas, eventos meteorológicos o eventos
deportivos.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Producción: propia, sectorial, de la competencia.
Demanda.
Precios relativos, respecto a la competencia, otros sectores, índices generales, precios internacionales, etc.
Series financieras, tipos de cambio, tipos de interés, etc.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
Son muy distintas según se trate de series de actividad, precios relativos, series financieras, etc.
También son distintos los problemas que se plantea la empresa en cada caso.
Por lo tanto también serán distintos los modelos econométricos que se formulen y construyan sobre tales series.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
En cada caso aparecen problemas importantes muy específicos. A continuación se dan ejemplos.
La labor del económetra consiste en:
1) Identificar problemas económicos dinámicos importantes.
2) Formular preguntas precisas e interesantes sobre dichos problemas.
3) Construir modelos para contrastar hipótesis.
4) Obtener resultados de interés para quienes tomen decisiones financieras.
1. Los métodos cuantitativos en la empresa
¿Es posible predecir el tipo de cambio en el futuro? ¿es posible predecir su volatilidad? Importante por el seguro de cambio.
Variaciones mensuales en el tipo de Cambio dolar/yen
-30,00
-25,00
-20,00
-15,00
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
ene-7
1
ene-7
3
ene-7
5
ene-7
7
ene-7
9
ene-8
1
ene-8
3
ene-8
5
ene-8
7
ene-8
9
ene-9
1
ene-9
3
ene-9
5
ene-9
7
ene-9
9
ene-0
1
ene-0
3
ene-0
5
¿Cómo ha afectado el boom inmobiliario a la producción de materiales de construcción? ¿ha habido también cambios en el patrón estacional? ¿Qué pasará en el futuro?.
IPI. Material de construcción
0
20
40
60
80
100
120
140
1601975
1980
1985
1990
1995
2000
¿En la producción de automóviles basta considerar una demanda homogénea o conviene distinguir entre demanda interna y externa? ¿Cuáles son las variables relevantes en el modelo econométrico?.
IPI. Automóviles de pasajeros (turismos)
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
1990
2003
2. Muestras aleatorias. Características de las series temporales.
Tipos de datos económicos e hipótesis estadísticas.
- Corte transversal, iid. Observamos en un único momento del tiempo varias variables referidas a varias unidades económicas. Normalmente son datos microeconómicos.
- Series temporales. Observamos una o varias variables a lo
largo del tiempo. Normalmente son datos macroeconómicos.
- Datos de panel. Variables referidas a varias unidades
económicas que son observadas a lo largo del tiempo. Suelen ser series con un horizonte temporal relativamente corto.
Ejemplo de datos de sección cruzada
Observamos en el años 2006 la renta y el consumo de 1000 familias españolas. Estos datos son 1000 réplicas independientes de la variable (x,y).
Muestras aleatorias
Las realizaciones de una variable aleatoria constituye una muestra aleatoria.
Datos de sección cruzada: producción de empresa en el país x, años i; gasto en ropas por diferentes familias.
En los datos de sección cruzada la ley de probabilidad es fija.
μ
μ+2σ
μ-2σ
- Progresión de los datos:
a) La media es un factor de atracción y
b) La desviación estándar es un factor que controla la divergencia respecto a la media.
Corolario: la incertidumbre sobre posibles realizaciones está acotada.
- Dependencia entre las observaciones:
Ninguna: son independientes.
Corolario: la media condicional y la varianza condicional coinciden con la media y la varianza absoluta.
Muestras aleatorias
Fenómenos económicos: inversión, paro, producción industrial, ventas en una empresa, inflación, precios relativos, etc.
Todos cambian a lo largo del tiempo y su estudio requiere una medición periódica y sistemática que da lugar para cada variable a secuencias de datos denominados series temporales.
Muestras aleatorias
Series temporales
El mecanismo generador de los datos de las series temporales no es fijo pero no cambia por completo entre una observación y otra.
No son iid. A diferencia de lo que ocurre en los datos de sección cruzada la ordenación de las observaciones es fundamental.
Por lo tanto, una serie temporal podría mostrar: Evolución en los parámetros que rigen las propiedades estadísticas
del proceso generador de datos.
Dependencia entre las observaciones.
Proceso estocástico
Luego el fenómeno inflación mensual en un determinado país será una secuencia (posiblemente infinita) de variables aleatoria ordenadas en el tiempo
…x(1) x(2)…x(t)…x(T)…
A esta secuencia de variables aleatorias se denomina proceso estocástico.
Procesos estocásticos y series temporales
Una serie temporal es una realización finita de un proceso estocástico.
Proceso estocástico …x(1) x(2)…x(t)…x(T)…
Serie temporal
(observada)
x1,x2,x3…xT
Otras posibles series
temporales
x1(1) , x2(1), x3(1),…, xT(1)
x1(2) , x2(2), x3(2),…, xT(2)
x1(r) , x2(r), x3(r),…, xT(r)
Importante distinción
Proceso estocástico: la inflación mensual en US.
Variable aleatoria: la inflación mensual en el mes t en US.
La inflación observada en el mes t es la realización de esta variable aleatoria, pero otras realizaciones podrían ser posibles.
Evolutividad de la ley probabilística de un proceso estocástico
La evolutividad podría referirse a distintos parámetros de la ley probabilística.
En fenómenos económicos, los principales parámetros evolutivos son:
Media
Varianza (desviación típica).
La evolutividad en la media
En muchas series temporales, la media (valor esperado, E(xt)) de las variables xt no es constante sino que cambia en el tiempo.
Por ejemplo, el índice de producción industrial (IPI) en US aumenta en el tiempo de forma sistemática.
Aunque el IPI muestra además oscilaciones cíclicas podríamos abstraernos de las mismas y decir que el IPI muestra crecimiento sistemático.
El crecimiento sistemático es una propiedad acíclica. La tendencia es el factor que incorpora el crecimiento
sistemático en una serie temporal.
Evolutividad de la media: la ley de proporcionalidad
En muchas variables económicas (ventas al por menor en US), las oscilaciones de la serie (xt-xt-h) están en relación al nivel inicial (xt-h).
Los aumentos de estas variables suelen considerarse en términos del nivel inicial:
Tasas de crecimiento
Mh= (xt-xt-h) /(xt-h).
La linearización de las tasas de crecimiento
Estas variables evolucionan de acuerdo con la relación proporcional
xt=xt-h(1+mh) (2)
Resulta útil linealizar (2) como sigue
log(xt)=log(xt-h)+log(1+mh)
Pero para mh pequeña como suele ser el caso
log(1+mh)≈mh
Por lo tanto, se puede definir linealmente como
mh ≈ log(xt)-log(xt-h)
Producción de productos metálicos en Estados
Unidos
0
20
40
60
80
100
120
1986 2004
Producción de productos metálicos en Estados
Unidos en logaritmos
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
1986 2004
Primeras diferencias de productos metálicos en
Estados Unidos en logaritmos
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
1986 2004
Conclusión
La transformación logarítmica elimina la ley de proporcionalidad de las oscilaciones de muchas variables económicas.
Permite interpretar las primeras diferencias de las series como tasas de crecimiento liberándonos de la arbitraria unidad de medida que imponen los números índices.
La evolutividad en la media
La tendencia es un factor de la serie temporal en el que:
El nivel medio evoluciona de forma no cíclica
Perpetuándose en el futuro,
Y, por lo tanto, relacionada con el concepto de comportamiento a largo plazo.
Factores que producen tendencia
Los incrementos de población.
La inflación estable.
Los cambios tecnológicos.
Los cambios lentos en preferencias costumbres, actitudes, normas sociales, etc.
La evolución estacional en la media
En economía, las medias locales frecuentemente evolucionan con el tiempo de forma cíclica, con un solo ciclo o un número entero de ciclos en un año.
A esto se denomina el componente estacional de una serie temporal.
La estacionalidad aparece en los datos económicos debido a: Variables climáticas,
Normas y costumbres sociales que se repiten año tras año.
Los factores que producen estacionalidad suelen perpetuarse en el futuro. Debido a esta característica, el ciclo estacional es distinto de otros ciclos económicos (ciclo de negocio) que no suelen perpetuarse en el futuro.
Evolutividad en la varianza
En series financieras, la varianza condicional no es constante sino que depende del pasado.
Esto requiere una modelización específica que no se cubrirá en este curso sino en una asignatura específica de econometría de series financieras.
Factores de la evolución de una serie temporal.
Se ha considerado durante décadas que una serie temporal se compone de Xt=Tt*St*Ct*Rt (1)
donde Tt es el factor tendencial
St es el factor estacional Ct es un factor cíclico Rt es un factor residual de fluctuaciones a corto. La ecuación (1) refleja la
ley de proporcionalidad mencionada anteriormente. Así Tt,St,Ct y rt se expresan como factores multiplicadores
St=(1+st) Ct=(1+ct) Rt=(1+rt) sobre la tendencia 100st,100ct 100rt Son los factores estacionales, cíclico y residual en porcentaje
sobre la tendencia.
La formulación lineal de la descomposición clásica
Tomando logaritmos en (1), tenemos logXt=logTt+logSt+logCt+logRt (2) La ecuación (2) muestra que, usando la transformación
logarítmica de los datos, obtenemos una descomposición aditiva de Xt.
En (2): logSt=log(1+st) ≈st
logCt=log(1+ct) ≈ct
logRt=log(1+rt) ≈rt
La interpretación de la descomposición de una serie temporal en tendencia y otros componentes
Durante mucho tiempo se han interpretado las expresiones (1) y (2) en el sentido de que los factores (imaginarios) tendenciales, estacionales y cíclicos se podían formular en términos matemáticos de modo que se pudieran cuantificar sin error en el momento t.
En este contexto el único término estocástico en la descomposición era rt, que se podía obtener como elemento residual después de comparar Xt y Tt*St*Ct
Ejemplo
Tt=100exp(0.01t),
Ct=1+0.03sen(0.17t)
Rt?
Las consecuencias del enfoque clásico a la descomposición de las series temporales
Dado que Tt es dado por una formulación matemática, normalmente un polinomio temporal
log Tt=log 100+0.01t St y Ct son funciones sinusoidales en el tiempo log Ct=1+0.03sen(0.17t) Si se conocen estos componentes, podemos ajustar los
datos ajustados eliminando algunos de estos componentes como
Xta=Xt/St=Tt*Ct*Rt
La interpretación actual de la descomposición de una serie temporal
Los factores no observados, tales como tendencia, estacionalidad y ciclo, son propiedades de un fenómeno económico que difícilmente se pueden considerar como determinista.
La evolución futura de la tendencia (imaginaria) y el comportamiento futuro de los factores estacionales cíclicos (imaginarios) también son inciertos.
Hoy: los factores tendenciales, estacionales y cíclicos se consideran factores estocásticos.
Así, para descomponer una magnitud estocástica, Xt, en cuatro componentes estocásticos, necesitamos aplicar restricciones fuertes.
La interpretación actual de la descomposición de una serie temporal
Con estas restricciones, podemos calcular los componentes estocásticos: tendenciales, estacionales y cíclicos.
Para ello usamos procedimientos como X-11, X-11-ARIMA. SEATS, X-12, etc. Muchas oficinas estadísticas publican:
Datos originales: Xt.
Datos ajustados de estacionalidad Xta=Xt/St.
El problema está en que estas restricciones ya no son ampliamente aceptadas.
La interpretación actual de la descomposición de una serie temporal
La expresión Xt=Tt*St*Ct*Rt
puede ser útil para explicar las propiedades de la serie temporal Xt. Evolución subyacente con crecimiento sistemático que se perpetúa en el futuro. Oscilación cíclica permanente con periodicidad de un año. Oscilaciones que no se perpetúan en el futuro, y Fluctuaciones a corto plazo
pero Tt, St, Ct y Rt no son necesariamente factores identificables estimables.
Todos los factores Tt, St, Ct y Rt son estocásticos y sólo pueden estimarse a partir de Xt con la imposición de fuertes restricciones que pueden resultar inaceptables.
La descomposición de series temporales y construcción de modelos econométricos
Dado que la serie temporal Xt puede incorporar: Crecimiento sistemático
Ciclos estacionales
Oscilaciones en el ciclo de negocios
Fluctuaciones a corto plazo
Han de construirse en el modelo de modo que sea capaz de captar todas esas propiedades y, por lo tanto, proyectarlas en la predicción de valores futuros de Xt.
Esto se hace sin preocuparnos –porque no es necesario- en calcular estas señales por separado: Tt, St, Ct y Rt.
La extracción estacional y la predicción
El objetivo de la extracción de señales tales como tendencia, factores estacionales, datos ajustados por estacionalidad, etc., es el de ayudar a interpretar a evaluar la situación actual del fenómeno económico correspondiente.
Este objetivo se puede conseguir mediante la función de predicción Las predicciones nos permiten
Estimar el futuro (expectativas). Estimar el factor de innovación de los valores en la serie temporal.
Descompone Xt en las dos señales que más necesitan los agentes económicos.
La importancia de los componentes de una serie temporal para la predicción
Si la composición de una serie es como se muestra en (1), la importancia relativa de los factores en (1) depende principalmente del horizonte de predicción.
Es posible que los componentes tendenciales y cíclicos hayan cambiado muy poco a muy corto plazo, y para ese plazo las predicciones de las fluctuaciones a corto plazo son las más importantes.
Sin embargo, el componente tendencial suele predominar en las predicciones a largo plazo, siendo los otros componentes de una importancia relativamente menor.
Todos los componentes pueden ser importantes a medio plazo.
La agregación temporal
Los ciclos a corto plazo tienden a desaparecer con la agregación.
Los ciclos estacionales desparecen con la agregación anual.
La tendencia evoluciona sin oscilaciones y no se ven muy afectadas por la agregación temporal. Así, aumenta la importancia relativa de la tendencia con la agregación temporal.
Las consecuencias para la predicción
Para predicciones a largo plazo podemos usar datos de baja frecuencia y la tendencia es el elemento más importante.
Para predicciones a corto plazo necesitamos datos de alta frecuencia (es importante predecir las fluctuaciones a corto plazo)
Ejemplo
Existen series anuales del PIB chileno desde el siglo XIX.
Series cuatrimestrales del PIB chileno sólo están disponibles desde 1982.
Pregunta: ¿Debemos usar series anuales o mensuales para predecir?
Respuesta: Depende del interés del analista por la tendencia o el comportamiento cíclico en el corto o medio plazo.
Ejemplos
Series temporales con un crecimiento sistemático: conjunto 1.
El índice de precios de consumo mensual de los US sin alimentos ni energía.
La producción industrial mensual en US (IPI)
El PIB trimestral en US.
En el IPI se da una evidente oscilación estacional. En las otras series, las fluctuaciones estacionales son pequeñas en relación a sus nivel y no se aprecian en los gráficos.
Ejemplos
Conjunto 2. Series temporal con oscilación local de nivel. Tasa de cambio diario yen/dólar. Inflación tendencial mensual de US.
Las series temporales en el conjunto 2 no exhiben crecimiento sistemático pero tampoco tienen un nivel constante No tienen atractor de nivel. Las desviaciones en un momento t de cierto nivel local previo
tienden a persistir en las observaciones siguientes, pero No provoca crecimiento sistemático.
Dos tipos de tendencia
A) Crecimiento sistemático: series del conjunto 1.
B) Oscilaciones locales de nivel: series del conjunto 2.
Se verán ejemplos más adelante.
1.4. Tendencia y estacionalidad en series temporales. Transformaciones de estacionariedad.
Modelización de tendencias
En Xt=Tt+Wt
Se necesita especificar un modelo para la tendencia Tt.
Wt es un componente estocástico (incierto) que es independiente de la tendencia.
Tendencias determinísticas Se dice que una tendencia es determinística si conociendo sus
valores pasados se puede determinar sin error sus valores futuros.
Con tendencias determinísticas toda la incertidumbre de Xt está en Wt.
Tendencia: es aquella parte de la variable que se perpetua en el futuro.
Ejemplo:
Si una serie tuviera media constante podríamos
representarla como:
yt=µ+εt.
En este caso µ sería la tendencia determinista que
podría estimarse por mínimos cuadrados ordinarios
haciendo uso de E-views.
2
3
4
5
6
7
8
9
200 400 600 800 1000
Y
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 08/19/06 Time: 12:12
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5.026511 0.030013 167.4783 0.0000
R-squared 0.876777 Mean dependent var 5.026511
Adjusted R-squared 0.866666 S.D. dependent var 0.949091
S.E. of regression 0.949091 Akaike info criterion 2.734376
Sum squared resid 899.8738 Schwarz criterion 2.739284
Log likelihood -1366.188 Durbin-Watson stat 2.007678
Pero cuando tenemos series relativamente largas es frecuente que tengamos rupturas de nivel.
Las rupturas de nivel pueden deberse a acontecimientos especiales que son poco frecuentes. Por ejemplo: la crisis de 1929, la crisis del petróleo en 1974, la introducción del Euro en el 2000.
2
4
6
8
10
12
200 400 600 800 1000
YR
En este caso podemos ajustar la siguiente regresión para obtener las desviaciones del modelo respecto a la tendencia:
yt=µ+δEt +εt,
donde Et es una variable que toma el valor 1 a partir del momento de la ruptura
Dependent Variable: YR
Method: Least Squares
Date: 08/19/06 Time: 12:24
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5.009415 0.042502 117.8642 0.0000
E 4.034124 0.060046 67.18357 0.0000
R-squared 0.818928 Mean dependent var 7.030511
Adjusted R-squared 0.818747 S.D. dependent var 2.230040
S.E. of regression 0.949413 Akaike info criterion 2.736053
Sum squared resid 899.5827 Schwarz criterion 2.745868
Log likelihood -1366.026 F-statistic 4513.632
Durbin-Watson stat 2.008429 Prob(F-statistic) 0.000000
Vamos a considerar ahora que la serie que estamos analizando tiene una tendencia creciente o decreciente lineal:
yt=α+βt+εt.
Es decir la variable y crece β unidades cada periodo.
-400
0
400
800
1200
1600
200 400 600 800 1000
YT
Dependent Variable: YT
Method: Least Squares
Date: 08/19/06 Time: 12:33
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 2.728832 6.174158 0.441976 0.6586
T 1.008282 0.010686 94.35590 0.0000
R-squared 0.899202 Mean dependent var 507.3738
Adjusted R-squared 0.899101 S.D. dependent var 307.0998
S.E. of regression 97.54880 Akaike info criterion 12.00058
Sum squared resid 9496736. Schwarz criterion 12.01040
Log likelihood -5998.290 F-statistic 8903.037
Durbin-Watson stat 1.974971 Prob(F-statistic) 0.000000
Las tendencias pueden tener ruptura en la pendiente. Vamos a considerar primero una ruptura en el nivel
-500
0
500
1000
1500
2000
200 400 600 800 1000
YTP
Tenemos que introducir una variable ficticia para recoger el cambio en el nivel
yt=µ+δE t +βt+εt.
Dependent Variable: YTP
Method: Least Squares
Date: 08/19/06 Time: 12:39
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5.998277 6.900054 0.869309 0.3849
E 513.0910 12.33825 41.58540 0.0000
T 0.988645 0.021370 46.26228 0.0000
R-squared 0.966548 Mean dependent var 757.8738
Adjusted R-squared 0.966481 S.D. dependent var 532.7781
S.E. of regression 97.54265 Akaike info criterion 12.00145
Sum squared resid 9486025. Schwarz criterion 12.01618
Log likelihood -5997.726 F-statistic 14403.31
Durbin-Watson stat 1.976790 Prob(F-statistic) 0.000000
Finalmente podemos tener cambios en la pendiente de la tendencia.
-400
0
400
800
1200
200 400 600 800 1000
YTPP
Habrá que ajustar un modelo con rupturas en el intercepto y en la tendencia.
yt=µ+δE t +β1t+ β1(t* E t ) +εt.
Dependent Variable: YTPP
Method: Least Squares
Date: 08/19/06 Time: 12:46
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 20.20432 8.866360 2.278761 0.0229
E -47.57567 24.95910 -1.906145 0.0569
T -0.042964 0.030729 -1.398143 0.1624
T*E 1.080358 0.043328 24.93437 0.0000
R-squared 0.938514 Mean dependent var 380.8098
Adjusted R-squared 0.938329 S.D. dependent var 398.1725
S.E. of regression 98.88093 Akaike info criterion 12.02970
Sum squared resid 9738329. Schwarz criterion 12.04933
Log likelihood -6010.851 F-statistic 5067.601
Durbin-Watson stat 1.973654 Prob(F-statistic) 0.000000
Modelos para las tendencias
Tendencia lineal
Tt=a+bt
donde a y b son parámetros fijos.
Luego, el modelo para Xt es:
Xt=a+bt+Wt
Comentarios sobre la tendencia lineal
Los parámetros a y b vienen expresados en la misma unidad de medida que Xt. El parámetro a es el valor de la tendencia en el momento anterior al comienzo
de la muestra.
El parámetro b es el incremento lineal o adicional respecto al tiempo que va experimentando la tendencia en cada momento.
En general las tendencias son crecientes en cuyo caso el parámetro b es positivo.
Algunas series pueden mostrar tendencias negativas como la tasa de participación de los hombres en el empleo o la cuota de mercado de una empresa pionera en su campo que se irá reduciendo a medida que otras empresas deciden entrar en el negocio.
Las tendencias no tienen porque ser necesariamente lineales.
Tendencias no lineales con respecto al tiempo
La tendencia lineal implica que los incrementos tendenciales son constantes
ΔTt=Tt-Tt-1=b
Δ es un operador de primeras diferencias.
ΔZt=Zt-Zt-1
Si los incrementos tendenciales son crecientes o decrecientes, la tendencia es no lineal.
A. Tendencia parabólica o polinomial de segundo orden.
Tt=a+bt+ct2
Aquí la tendencia no sólo depende del nivel de la variable tiempo sino también de su cuadrado, por lo que no es lineal.
Los incrementos tendenciales no son constantes y vienen dados por: ΔTt=b+c(2t-1) - Si c>0, los incrementos tendenciales son monotónicamente crecientes
desde el principio si b>0 o desde t>[(c-b)/2c] si b<0. - Si c<0, los incrementos son monotónicamente decrecientes desde el
principio si b<0 o desde t>[(c-b)/2c] si b>0.
Esta propiedad de las tendencias parabólicas consiste en que los incrementos tendenciales terminan siendo monotónicamente crecientes o decrecientes.
En la realidad económica es difícil encontrar esa monotonía en los crecimientos tendenciales. Tales crecimientos en determinados periodos pueden ser crecientes o decrecientes pero mantener esa propiedad para siempre desde un determinado momento no es una buena forma de caracterizar series económicas.
En resumen, las tendencias parabólicas sólo suelen tener una utilidad limitada en el tiempo por lo que no es recomendable su uso.
Tendencias polinomiales de orden superior a 2.
Tt=a+b1t+b2t2+…+brtr
Al igual que en el caso cuadrático a partir de un determinado momento son sistemáticamente crecientes (br>0) o decrecientes (br<0).
En el caso cuadrático los incrementos tendenciales podrían como máximo cambiar una vez de signo. Ahora tales incrementos pueden cambiar bastantes veces de signo con lo que la tendencia pierde su carácter de componente suave.
De hecho polinomios de este tipo tienden a captar, además de la tendencia, diferentes oscilaciones de las series temporales.
Conclusión: los esquemas polinomiales de orden superior a uno no son recomendables para representar tendencias en series económicas.
C.Tendencias Exponenciales
Se trata de un tipo de tendencia no lineal que resulta muy útil para series económicas.
Para introducir estas tendencias recuérdese la propiedad de proporcionalidad que muestran las series económicas.
Esta propiedad implica que la evolución de una serie a partir de un determinado nivel inicial es proporcional al nivel de partida.
La tendencia lineal explicada se puede expresar como:
Tt=Tt-1+b
Aquí se observa que a partir de un nivel inicial (Tt-1), la tendencia (y en consecuencia Xt) evoluciona de forma aditiva incorporando en cada momento un crecimiento b. Es decir, no hay proporcionalidad en la evolución de la tendencia lineal.
Proporcionalidad en las tendencias exponenciales
Un esquema proporcional se obtiene con la expresión:
Tt=Tt-1(1+b),
donde b ahora es la tasa de crecimiento de la tendencia en tanto por uno. Así,
b=(Tt-Tt-1)/Tt-1
Las formulaciones en tasas son más difíciles de manejar que su correspondiente aproximación logarítmica.
La aproximación logarítmica de una tasa b es fácil de obtener a partir de una aproximación de Taylor de primer orden de una función f(Zt):
f(Zt) ≈f(Zt-1)+(Zt-Zt-1)f’(Zt-1)
Se tiene que para f(Zt)=logTt
logTt ≈ logTt-1+(Tt-Tt-1)1/Tt-1
Es decir
logTt - logTt-1 ≈ΔlogTt=(Tt-Tt-1)1/Tt-1
Esta aproximación es bastante buena para valores pequeños de la tasa.
Tendencia exponencial o log-lineal
Sustituyendo la tasa por su aproximación logarítmica, se tiene que b=logTt-logTt-1, de donde logTt=logTt-1+b Procediendo recursivamente logTt=a+bt Donde a es el logaritmo de la tendencia en el momento cero. De aquí, se tiene que Tt=exp(a+bt) A tal tendencia se le denomina exponencial.
Series con tendencia exponencial
Una serie con tendencia exponencial vendrá dada por el modelo.
Xt=exp(a+bt)exp(Wt)
Esta tendencia no es lineal pero una simple transformación, la logarítmica, la transforma en lineal. Así
log(Xt)=a+bt+Wt
Luego un modelo con tendencia exponencial puede verse también como un modelo con tendencia log-lineal, es decir, con tendencia lineal en la transformación logarítmica de los datos.
logXt=a+bt+Wt.
b es un factor incremental que se incorpora en cada momento de forma multiplicativa.
Ahora las unidades de b no son las de Xt.
El parámetro b es (aproximadamente) una tasa de crecimiento en tanto por uno.
Similitudes entre la tendencia lineal y la exponencial
1) Ambas tienen una formulación o se pueden reformular de modo lineal, con lo que la tendencia en tales casos se puede ver compuesta de dos elementos: nivel inicial e incremento.
2) Ambos componentes se definen sobre parámetros fijos
- Nivel inicial: parámetro a.
- Incremento: parámetro b.
Series temporales con un claro límite superior en su evolución.
Las tendencias lineal y exponencial crecen indefinidamente y no son apropiadas para estas series.
En tales casos se necesitan curvas que tienden a un límite o asíntota cuando t toma valores altos.
Posibles modelos tendenciales con asíntota Curva de Gompertz logTt=a+brt, 0<r<1 asíntota: exp(a) Curva logística Tt=1/(a+brt), 0<r<1 asíntotal: 1/a
Posibles ejemplos: Porcentaje de personas alfabetizadas en una sociedad desarrollada, porcentaje de
casas con electricidad, etc. En otros casos no está claro que exista un límite superior: número de teléfonos o
automóviles por cada mil habitantes. Consideraciones sobre tendencias con asíntota
Sólo deben aplicarse cuando la existencia de asíntota es clara y, Se pueden lograr en un futuro no muy lejano
Curva de Gompertz
Curva Logística
La tendencia es un factor que evoluciona suavemente pero no necesariamente sigue un esquema determinista.
Los esquemas de tendencia no lineal son innumerables.
En el caso anterior, la tendencia lineal viene representada por un polinomio de orden uno sobre la variable tiempo.
Esquemas polinomiales de orden superior a uno representan tendencias no lineales con respecto al tiempo.
3) Como consecuencia de lo anterior estas tendencias con crecimiento lineal pueden denominarse de nivel 2, y denotarlas como T(2). No confundir con el orden polinomial que es claramente 1.
* En esta terminología, la tendencia parabólica es de nivel 3, T(3) ya que se puede expresar como:
Tt= Tt-1+ΔTt-1+ Δ ΔTt-1, donde
Tt-1=a+b(t-1)+c(t-1)2 nivel
ΔTt-1=b+c(2t-3) incremento
Δ ΔTt-1=2c aceleración
Así, para un determinado agregado monetario mensual se obtiene el siguiente modelo.
LogXt=a+0.006t+Wt
significa que la tendencia crece mensualmente un 0.6% lo que supone un 8% anual.
Conclusión Los modelos de tendencia determinística razonables en
series económicas son: La tendencia exponencial si la serie evoluciona con la
propiedad de proporcionalidad. La tendencia lineal en caso contrario. En determinadas series con límite en el crecimiento,
estos modelos son claramente inapropiados.
Ejemplo
Tendencias de nivel T(1) o sin crecimiento sistemático
Una serie del tipo Xt=a+Wt
Es una serie sin crecimiento. Ignorando el componente de desviaciones Wt, que tiene media cero, esta serie sólo viene caracterizada por un componente de nivel a. En tal sentido, según la terminología anterior, se puede decir que Xt en la última expresión tiene una tendencia de nivel T(1).
No obstante, de las series de este tipo se dice que no
tienen tendencia alguna.
Series con oscilaciones locales de nivel
Estas series no muestran crecimiento, pero tampoco viene generadas por el modelo Xt=a+Wt ya que no tienen una media constante como a.
En estas series, la media cambia en el tiempo y se podría aproximar por segmentos temporales.
Es decir, para un periodo inicial, la serie podría representarse con una media local a1, en un periodo posterior mediante una media local a2 y así sucesivamente hasta un periodo muestra final k con una media local ak.
Esto nos lleva al tratamiento de tendencias segmentadas.
Libras esterlinas por un dolar americano
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
19
71
Ja
n
19
72
19
74
19
76
Ju
l
19
78
19
80
Ma
r
19
82
Ja
n
19
83
19
85
19
87
Ju
l
19
89
19
91
Ma
r
19
93
Ja
n
19
94
19
96
19
98
Ju
l
20
00
20
02
Ma
r
20
04
Ja
n
20
05
Tendencias segmentadas
En ocasiones, acontecimientos especiales, la depresión de 1929, la crisis energética de 1974, etc., pueden cambiar las tendencias de las series económicas.
Tales acontecimientos suelen ser poco frecuentes, una vez cada muchos años, con lo que muchas series experimentan pocos cambios tendenciales.
En otros casos , el cambio de tendencia puede estar ligado a acontecimientos menos espectaculares como la introducción de una innovación importante en una empresa o sector económico, un cambio de hábitos sociales, etc.
En estos casos, los cambios de tendencia ocurren en fechas menos señalada a nivel general y pueden ser algo más frecuente.
En todos estos casos, a partir del momento t* en el que se produce el acontecimiento específico, los parámetros a y b de una tendencia T(2) cambian. Es decir, se produce una segmentación de la tendencia.
Series con segmentación tendencial
Una serie temporal con una tendencia lineal con una segmentación en t* se puede representar así:
Xt=a+bt+a1ß+a2ßt+Wt
donde ß es una variable artificial que toma valor cero hasta t* y uno a partir de este valor.
La tendencia en este caso es
Tt=a+bt+a1ß+a2ßt
Es decir, de la observación 1 a la (t*-1), la tendencia sigue el esquema:
a+bt
y desde t* en adelante
a+bt+a1ß+a2ßt
Tendencias con r segmentaciones
En el caso de r segmentaciones, el modelo se generaliza de la siguiente forma:
Xt=a+bt+a1ß+…+arß +a2ßt+…+ arßt +Wt
donde las segmentaciones ocurren en los momentos tn1, tn2, …, tnr.
Problemas cuando aumenta el número de segmentaciones
Si ha habido frecuentes cambios estructurales que se han repetido en el pasado es posible que en el futuro vuelvan a haber segmentaciones.
Incluir variables artificiales que capturen todas y cada una de las segmentaciones genera un modelo muy complejo (muchos parámetros a estimar).
Tendencias segmentadas
En el modelo T(1s):
El nivel de tendencia solo cambia en t0,...,tr.
Si aparecen tales cambios con mucha frecuencia: Xt=Xt-1+Wt los podría captar.
Esto se conoce como un modelo con oscilaciones locales. La tendencia con oscilaciones locales es estocástica.
r
j
tjtjt Waax1
0 )1(,
Para ver esto, podemos proceder mediante sustituciones recursivas
𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑤𝑡 (1)
𝑥𝑡−1 = 𝑥𝑡−2 + 𝑤𝑡−1 (2)
Sustituyendo (2) en (1)
𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−2 + 𝑤𝑡−1 + 𝑤𝑡 (3)
Tras t sustituciones
𝑥𝑡 = 𝑥0 + 𝑤𝑖
𝑡
𝑖=1
4
Tendencias segmentadas
Las tendencias segmentadas son tendencias no lineales que tienen la propiedad de ser lineales a tramos o por segmentos.
Por ejemplo, a la tasa de crecimiento del producto interior bruto de la economía española se le estima una tendencia determinística. Se detecta que ésta puede ser una tendencia lineal con segmentación en 1974 con ocasión de la primera crisis energética.
Tendencias estocásticas
En la práctica, cuando el número de segmentaciones tiende a infinito es conveniente usar un modelo con tendencia estocástica. Dicho modelo, para el caso de tendencia con oscilaciones locales de nivel, adoptaría la siguiente forma:
yt =yt-1+wt
ó
Δyt =wt
Nótese ahora que el la evolución del proceso desde un periodo t al periodo t+1 ya no es constante sino igual a wt.
Tendencia estocástica
Para ver como funciona el proceso yt =yt-1+wt
Podemos realizar sustituciones recursivas. Si suponemos que existe un periodo inicial que denotamos por y0, la solución del sistema viene dada por
yt =y0+Σiwi
Tomando expectativas obtenemos E(yt )=E(y0). Es decir, se trata de un proceso con media constante.
Tendencia estocástica
Sin embargo, una vez que se produce un shock se incorpora plenamente al sistema (en cada periodo t se produce un truncamiento de nivel motivado por el shock wt)
Etyt+1 =yt+wt+1=yt+s
yt+s =yt+Σi=1s wt+i
Etyt+s =yt+Σi=1s wt+i=yt+s
Tendencia estocástica
La varianza no es constante sino que depende del tiempo:
Var(yt )=Var(y0+Σiwi)=tσ2
Tendencia estocástica
Este proceso es muy útil para explicar series con oscilaciones locales de nivel (tendencia conjunto 1). Son series que no tienen crecimiento sistemáticos pero están afectados por shocks que se incorporan plenamente en diferentes periodos.
Ejemplo 1:
Tipos de interés objetivo de la Reserva Federal
0
5
10
15
20
25
19
71
Ja
n
19
72
19
74
19
76
Ju
l
19
78
19
80
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r
19
82
Ja
n
19
83
19
85
19
87
Ju
l
19
89
19
91
Ma
r
19
93
Ja
n
19
94
19
96
19
98
Ju
l
20
00
20
02
Ma
r
20
04
Ja
n
20
05
Ejemplo 2:
Libras esterlinas por un dolar americano
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
19
71
Ja
n
19
72
19
74
19
76
Ju
l
19
78
19
80
Ma
r
19
82
Ja
n
19
83
19
85
19
87
Ju
l
19
89
19
91
Ma
r
19
93
Ja
n
19
94
19
96
19
98
Ju
l
20
00
20
02
Ma
r
20
04
Ja
n
20
05
Tendencia estocástica
Sin embargo, el modelo explicado aún no explican crecimiento.
Hemos vistos que una forma de capturar el crecimiento de una serie es mediante un modelo con tendencia determinista del tipo:
yt =a+bt+wt. En este modelo tanto el nivel como el crecimiento de la serie
se conoce con certeza y la única incertidumbre está en las desviaciones temporales alrededor de dicho crecimiento que vienen dados por wt. Sin embargo, este es un supuesto poco realista dado que en muchos casos hay un elemento de incertidumbre que también afecta a la tendencia.
Ahora vamos a ver dos formas alternativas de generar crecimiento:
1) yt =a+yt-1+wt
2) Δ2 yt =wt
Tendencia estocástica. I(1,1)
En el primer caso se puede aplicar sustitución recursiva y obtener
yt =y0+Σiwi+at
Esta expresión se compone de una parte de crecimiento determinista (fija) dada por at.
Mientras el nivel (o intercepto) va cambiando con el tiempo dependiendo de los shocks que afectan al sistema Σiwi.
En este proceso ni la media ni la varianza son constante.
Es un modelo con tendencia estocástica dado que los diferentes shocks aleatorios afectan a la media condicional de la serie.
Tendencia estocástica I(2,0)
Expresamos el modelo Δ2 yt =wt
como (1-L)2 yt =wt. O también como:
Δ yt = Δ yt-1 +wt. Es decir, ahora los incrementos de la variable yt no es constante sino que depende de t.
Tendencia estocástica
Para ver como funciona el modelo uno puede sustituir recursivamente para obtener
Δ yt =y1-y0+Σiwi
yt =yt-1+y1-y0+Σiwi
yt =t(y1-y0)+ΣiΣiwi
El elemento ΣiΣiwi implica tendencia estocástica que afecta tanto al nivel como la pendiente de la serie.
El crecimiento sistemático con estacionalidad
Un modelo que capta el crecimiento sistemático con estacionalidad podría ser:
donde Sjt=1 en todas las observaciones referidas a la estación j de cada año.
Estos factores estacionales son deterministas ya que los cambios estacionales son fijos y no dependen del momento en que nos encontramos.
1
1
s
j
tjtjt WSbbtaX
Estacionalidad estocástica
Usando los mismos argumentos que en el caso de la tendencia podemos definir el siguiente modelo con estacionalidad determinista:
yt=yt-s+wt
Δ s yt=wt
En este caso los incrementos estacionales no son constantes sino que dependen del momento del tiempo en el que estamos. Esto puede verse también sustituyendo recursivamente (lo que se deja como ejercicio para el alumno).
La forma más simple de modelizar una raíz estacional (para series estacionales) viene
dada por
𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−4 + 𝑤𝑡
Notese que el operador estacional viene dado por
1 − 𝐿4 = (1 − 𝐿)(1 + 𝐿 + 𝐿2 + 𝐿3)
= 1 − 𝐿 1 + 𝐿 1 + 𝐿2
= 1 − 𝐿 1 + 𝐿 (1 ∓ 𝑖𝐿)
Estacionalidad estocástica
El operador de diferencias estacionales para el caso mensual se puede descomponer en dos factores
(1-L)s=(1-L)(1+L+L2+L3+…+Ls-1)
Dos hechos de esta factorización son muy importantes:
1) La diferencia anual aún remueve una raíz convencional ya que ∆4
incluye el factor ∆1.
2) ∆4 también contiene 3 raíces adicionales (−1, ±𝑖) que están asociados
con movimientos estacionales. Se llaman raíces estacionales.
Un proceso con una raíz estacional no puede hacerse estacionario tras tomar una
diferencia regular, ya que estas diferencias no afectan a las raíces estacionales
Una segunda perspectiva de un proceso con una raíz estacional se obtiene cuando
se nota que este proceso se puede expresar solamente como función de valores
pasados ocurridos en ese trimestre.
𝑦𝑡 = 𝜀𝑡 + 𝜀𝑡−4 + 𝜀𝑡−8 + ⋯ + 𝜀8 + 𝜀4
cuando suponemos que el valor inicial es nulo 𝑦0 = 0.
Si los shocks 𝜀𝑡son independientes en el tiempo, los
procesos observados en diferentes trimestres no están
relacionados entre sí.
La razón por la que “los veranos pueden volverse inviernos”
es porque en este tipo de procesos, un trimestre puede
moverse del otro trimestre en cualquier dirección.
Debe quedar claro que un operador con una diferencia regular y una
diferencia anual
∆4∆1𝑦𝑡 = Δ12 1 + 𝐿 (1 + 𝐿2)
y el proceso incluye dos diferencias.
Si nos olvidamos de las raíces estacionales 1 + 𝐿 y 1 + 𝐿2, este modelo
implica crecimiento sistemático para la serie.
Resumen
Oscilaciones locales de nivel: yt=yt-1+wt
Tendencia puramente determinista: yt=a+bt
Tendencia estocástica I(1,1):yt=yt-1+a+wt
Tendencia plenamente estocástica I(2,0): Δ2yt=wt
Estacionalidad determinista:
Estacionalidad estocástica.
Δ sΔyt=wt
1
1
s
j
tjtjt WSbbtaX
¿Cómo extraer la tendencia en la práctica?
Si la tendencia es determinista mediante regresión. (Se puede eliminar también mediante diferenciación pero resulta una serie cuyas propiedades no son correctas).
Si la tendencia es estocástica mediante diferenciación.
¿Cómo extraer la tendencia en la práctica?
Así si Xt es un proceso con tendencia puramente estocástica.
Xt es I(2)
ΔXt es I(1)
Δ2Xt es I(0), estacionario.
¿Cómo extraer la estacionalidad en la práctica? De forma análoga
Si la estacionalidad es puramente determinista mediante regresión.
Si es estocástica tomando diferencias estacionales
Algunos ejemplos
Índice de Producción industrial en los EEUU en el periodo 1971:1-2004-1.
output, y
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004
40
60
80
100
120Y
Primeras Diferencias del Índice de Producción industrial en los EEUU en el periodo 1971:1-2004-
1
Real output in first differences, dy
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03DY
Algunos ejemplos
En el caso anterior la tendencia se ha eliminado tomando una diferencia regular.
Ahora es de interés conocer si la serie en diferencias tiene media igual a cero (oscilaciones locales de nivel) o diferente de cero (crecimiento sistemático).
Evolución del Índice Dow Jones en el periodo 1971:1-2004: 1
real stock market, s
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
3.25
3.50
3.75
4.00
4.25S
Primeras diferencias del Índice Dow Jones en el periodo 1971:1-2004: 1
Real stock market in first differences, ds
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10DS
diferencia para transformarse en estacionarias.
Consumer Price Index in the US
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
180,00
200,00
01-4
7
09-5
1
05-5
6
01-6
1
09-6
5
05-7
0
01-7
5
09-7
9
05-8
4
01-8
9
09-9
3
05-9
8
01-0
3
Primeras diferencias del Índice de precios al consumo en los EEUU
Inflation, dp
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004
-0.0025
0.0000
0.0025
0.0050
0.0075
0.0100
0.0125
0.0150DP
La serie de inflación norteamericana no tiene una media constante.
Estas series se caracterizan mejor con un proceso que contenga dos diferencias regulares.
Regresar una serie que tiene estacionalidad estocástica con elementos de estacionalidad determinista resulta en una regresión sin sentido (espurea) en donde los residuos del modelo tienen tendencia.
Fin del tema 1