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TEMA II: Fundamentos hidrodinámicos
Introducción y notaciones matemáticas 1.El objetivo final de esta asignatura es establecer las relaciones entre las variables
hidrodinámicas: velocidad, presión y profundidad que permiten conocer las oscilaciones del mar, entre ellas el oleaje, y su propagación desde el área de generación hasta la costa, de forma que se proporcionen los conocimientos básicos necesarios para diseñar, calcular y construir cualquier obra marítima (obras de abrigo, regeneración de playas, etc.)
A continuación se repasan las herramientas necesarias y las leyes físicas que expresan la conservación de ciertas magnitudes (masa, cantidad de movimiento y energía) establecidas a partir de las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica.
1.1. Notación en el campo complejo Se define el conjunto de los números complejos ℂ como aquellos números 𝑧 basados
en dos números reales 𝑥 e 𝑦. El número complejo 𝑧 se denota mediante la expresión
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
A 𝑎 se le denomina parte real del número complejo 𝑧, 𝑏 la parte imaginaria del mismo e 𝑖 la unidad imaginaria
𝑥 = Re(𝑧) 𝑦 = Im(𝑧) 𝑖 = √−1
Se define el conjugado de 𝑧 y se denota por 𝑧̅ como el número complejo
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
Del mismo modo que los números reales se pueden representar mediante puntos de una recta, llamada recta real, los números complejos se pueden representar mediante el plano complejo. Así, el punto (𝑎, 𝑏) representa al número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Por ejemplo, el punto 𝑃 de la figura representa al número complejo 𝑧 = −3 + 4𝑖. El número complejo puede también ser interpretado como el vector 𝑂𝑃�����⃗
Se define el módulo del número complejo 𝑧 y se nota por |𝑧| al número
|𝑧| = √𝑧𝑧̅ = �𝑎2 + 𝑏2
|𝑧| representa la distancia al origen 𝑂 del punto 𝑧 en el plano complejo. En el ejemplo de la figura |𝑧| = 5
Cuando se escribe el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se dice que 𝑧 viene dado en forma binómica, pero 𝑧 también puede escribirse en forma polar mediante la siguiente expresión
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + sen𝜃 𝑖)
donde
𝑟 = |𝑧| ; tg𝜃 =𝑏𝑎
Se define el argumento de 𝑧 y se escribe arg(𝑧), a cualquier número 𝜃 tal que
𝑧 = |𝑧|(cos𝜃 + sen𝜃 𝑖)
De la definición se deduce que arg(𝑧) no está unívocamente determinado ya que todo número (𝜃 + 2𝑘𝜋) con 𝑘 ∈ ℤ verifica la condición para ser considerado argumento de 𝑧.
Una tercera forma de expresar un número complejo es mediante la forma exponencial.
𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
A partir de un número complejo y su conjugado se obtienen las expresiones
cos𝜃 =𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
2; sen𝜃 =
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
Así pues, la ecuación de la superficie libre de una onda puede escribirse en términos trigonométricos o mediante notación compleja:
𝜂 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡) = Re�𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜎𝑡)�
1.2. Desarrollo en serie de Taylor Si una función 𝑓(𝑥) es continua con derivadas continuas hasta el orden 𝑛 en un
punto 𝑥0. en un entorno de dicho punto se puede aproximar la función por el polinomio 𝑃𝑛(𝑥) y un resto 𝑅𝑛(𝑥) de la forma siguiente:
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑓)
donde
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0) +12
(𝑥 − 𝑥0)2𝑓′′(𝑥0) + ⋯+1𝑛!
(𝑥 − 𝑥0)𝑛𝑓(𝑛)(𝑥0)
o puesto de forma compacta
𝑃𝑛(𝑥) = �𝑓(𝑘)(𝑥0)
𝑘!(𝑥 − 𝑥0)𝑘
𝑛
𝑘=0
y 𝑅𝑛(𝑓) es el resto, término que depende de 𝑥 y es pequeño si 𝑥 está próximo al punto 𝑥0.
𝑅𝑛(𝑓) =𝑓(𝑛+1)(𝜉)(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑥0)𝑛+1
donde 𝜉 es un número real entre 𝑥 y 𝑥0
Ejemplo 1: El valor de 𝐬𝐞𝐧𝒙 puede calcularse geométricamente para 0, 𝜋6 y otros muchos
valores. Sin embargo para hallar la solución para otro número real, se puede utilizar el desarrollo de Taylor para 𝑥0 = 0.
sin 𝑥 = 0 + 𝑥 − 0 −13!𝑥3 + 0 −
15!𝑥5 + ⋯
Como el cuarto término del desarrollo de Taylor es nulo
𝑃3(𝑥) = 𝑃4(𝑥) = 𝑥 −𝑥3
3!
con lo que el resto es
𝑅4(𝑥) =cos 𝜉
5!𝑥5
Supongamos que se nos pide una aproximación de sen(0,3). Entonces
𝑃4(0,3) = 0,3 −0,33
6≈ 0,2945
El error de esta aproximación puede ser determinado acotando el valor del resto.𝑅4. Como |cos 𝜉| ≤ 1,
|𝑅4| = �cos 𝜉
5!0,35� <
1120
·243105
Así pues el error producido es menor de 2,025 · 10−5, por lo que la aproximación 𝑃4(0,3) para sen(0,3) es correcta hasta la cuarta cifra decimal.
Ejemplo 2: Conocida la velocidad 𝑢 de una partícula en un punto 𝑃(𝑥0,𝑦, 𝑧), calcular el valor de 𝑢 en otro punto 𝑃′(𝑥0 + ∆𝑥,𝑦, 𝑧).
Con la hipótesis del fluido continuo, aplicamos Taylor
𝑢(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑢(𝑥0) + ∆𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥�𝑥=𝑥0
+12
(∆𝑥)2𝜕2𝑢𝜕𝑥2
�𝑥=𝑥0
+ ⋯+1𝑛
(∆𝑥)𝑛𝜕𝑛𝑢𝜕𝑥𝑛
�𝑥=𝑥0
𝑅𝑛(𝑢) =𝑓(𝑛+1)(𝜉)(𝑛 + 1)!
(∆𝑥)𝑛+1
donde (𝜉 − 𝑧0) < ∆𝑥
1.3. Operador nabla El operador nabla en coordenadas cartesianas se define así:
∇= 𝚤𝜕𝜕𝑥
+ 𝚥𝜕𝜕𝑦
+ 𝑘�⃗𝜕𝜕𝑧
A partir de él, se definen los siguientes términos:
• Gradiente de un escalar Φ
∇Φ = �𝚤𝜕𝜕𝑥
+ 𝚥𝜕𝜕𝑦
+ 𝑘�⃗𝜕𝜕𝑧�
Φ =𝜕Φ𝜕𝑥
𝚤 +𝜕Φ𝜕𝑦
𝚥 +𝜕Φ𝜕𝑧
𝑘�⃗
• Divergencia de un vector �⃗�(𝑢, 𝑣,𝑤)
∇ ∙ �⃗� = �𝚤𝜕𝜕𝑥
+ 𝚥𝜕𝜕𝑦
+ 𝑘�⃗𝜕𝜕𝑧�
�𝑢𝚤 + 𝑣𝚥 + 𝑤𝑘�⃗ � =𝜕𝑢𝜕𝑥
+𝜕𝑣𝜕𝑦
+𝜕𝑤𝜕𝑧
• Rotacional de un vector �⃗�(𝑢, 𝑣,𝑤)
∇ × �⃗� = �𝚤𝜕𝜕𝑥
+ 𝚥𝜕𝜕𝑦
+ 𝑘�⃗𝜕𝜕𝑧�
× �𝑢𝚤 + 𝑣𝚥 + 𝑤𝑘�⃗ � = �𝚤 𝚥 𝑘�⃗𝜕𝜕𝑥
𝜕𝜕𝑦
𝜕𝜕𝑧
𝑢 𝑣 𝑤
� =
= �𝜕𝑤𝜕𝑦
−𝜕𝑣𝜕𝑧�
𝚤 + �𝜕𝑢𝜕𝑧
−𝜕𝑤𝜕𝑥�
𝚥 + �𝜕𝑣𝜕𝑥
−𝜕𝑢𝜕𝑦�
𝑘�⃗
• Laplaciano de un escalar Φ
∇2Φ =𝜕2Φ𝜕𝑥2
+𝜕2Φ𝜕𝑦2
+𝜕2Φ𝜕𝑧2
• Derivada material o sustancial de un escalar Φ
𝐷Φ𝐷𝑡
=𝜕Φ𝜕𝑡
+𝜕Φ𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑡
+𝜕Φ𝜕𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑡
+𝜕Φ𝜕𝑧
𝜕𝑧𝜕𝑡
=𝜕Φ𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇Φ
donde el vector �⃗� es el vector velocidad con componentes 𝑢, 𝑣,𝑤
𝑢 =𝜕𝑥𝜕𝑡
; 𝑣 =𝜕𝑦𝜕𝑡
; 𝑤 =𝜕𝑧𝜕𝑡
La derivada sustancial en Mecánica de Fluidos expresa la variación temporal de una magnitud escalar intensiva (densidad, temperatura, presión, etc) siguiendo al fluido. La primera derivada expresa la variación temporal local de la variable fluida que estemos estudiando. El segundo término es la llamada derivada convectiva, que recoge las variaciones de Φ que surgen debidas al movimiento de la partícula fluida. La expresión anterior indica que las propiedades de una partícula fluida varían debido a dos causas: la no estacionariedad del campo fluido (variación respecto al tiempo) y el desplazamiento de la partícula fluida a zonas del campo fluido donde las propiedades son diferentes.
Flujo. Ecuaciones de conservación de Laplace y Bernouilli 2.
2.1. Concepto de flujo Flujo de una magnitud hidrodinámica (masa, cantidad de movimiento, energía, etc) a
través de una superficie es la cantidad de esa magnitud que pasa por dicha superficie en la unidad de tiempo.
Vamos a estudiar un canal de anchura unitaria, por el que circula un fluido incompresible con densidad 𝜌𝑤. Por lo tanto
𝜌𝑤 = cte ⇒𝐷𝜌𝑤𝐷𝑡
= 0
También se admite que se trata de un fluido perfecto, es decir, sin viscosidad
𝜇 = 0
Además, se supone un movimiento unidireccional en la dirección positiva del eje 𝑋 (𝑣 = 𝑤 = 0), uniforme �𝜕𝑢
𝜕𝑥= 0�y estacionario �𝜕𝑢
𝜕𝑡= 0�, y que el perfil de velocidades es
constante a lo largo de la sección.
Bajo estas hipótesis, se comprueba que no existe capa límite (el fluido desliza sobre el fondo), sólo hay presiones (no hay tensiones tangenciales al ser 𝜇 = 0) y la presión es hidrostática (no hay aceleraciones verticales y por tanto, la superficie libre del fluido es plana y constante por lo que el flujo es plano.
A continuación se evalúan los flujos de masa, cantidad de movimiento y energía a través de la sección 𝐴𝐴′
a) Flujo de masa.
La cantidad de masa que atraviesa la franja de altura ∆𝑧, anchura unitaria durante el instante ∆𝑡 es
∆𝑚 = 𝜌𝑚𝑉 = 𝜌𝑚[(𝑢Δ𝑡)Δ𝑧 · 1]
ya que al ser �⃗� = 𝑢𝚤 y la componente de la velocidad 𝑢 constante,
Δ𝑥 = 𝑢Δ𝑡
Por lo tanto, el flujo de masa será
Δ𝑓𝑚 =Δ𝑚Δ𝑡
= 𝜌𝑚𝑢Δ𝑧
y la masa total que pasa por la sección 𝐴𝐴′ es
𝐹𝑚 = � 𝜌𝑤𝑢𝑑𝑧 = 𝜌𝑤𝑢ℎ0
−ℎ
b) Flujo de la cantidad de movimiento.
Para calcular el flujo de la cantidad de movimiento hay que tener en cuenta la cantidad cinemática de la cantidad de movimiento (𝑚𝑢) y el impulso mecánico ejercido por la presión como agente suministrador de cantidad de movimiento (𝐹Δ𝑡)
• Cantidad cinemática de la cantidad de movimiento:
Δ(c.m.)𝑐 = Δ𝑚𝑢 = [𝜌𝑤(𝑢Δ𝑡)Δ𝑧 · 1]𝑢
Por lo tanto, la cantidad cinemática de la cantidad de movimiento en Δ𝑡 es:
Δ𝑓(c.m.)𝑐 =Δ𝑚𝑢Δ𝑡
= 𝜌𝑤𝑢2Δ𝑧
• Impulso mecánico de la fuerza ejercida por la presión hidrostática 𝑝(𝑧) = −𝜌𝑤𝑔𝑧 viene dado por la expresión:
𝐼mec = 𝐹Δ𝑡
luego
Δ(c.m.)𝑝 = 𝐹Δ𝑡 = [𝑝(𝑧)Δ𝑧 · 1]Δ𝑡 = (−𝜌𝑤𝑔𝑧)Δ𝑧Δ𝑡
Por lo tanto,
Δ𝑓(c.m.)𝑝 = −𝜌𝑤𝑔𝑧Δ𝑧
por lo que el total será
Δ𝑓(c.m.) = 𝜌𝑤𝑢2Δ𝑧 − 𝜌𝑤𝑔𝑧Δ𝑧
y el flujo total de la cantidad de movimiento por la sección 𝐴𝐴′ es:
𝐹(c.m.) = � 𝜌𝑤𝑢2𝑑𝑧0
−ℎ− � 𝜌𝑤𝑔𝑧𝑑𝑧
0
−ℎ= 𝜌𝑤𝑢2ℎ +
12𝜌𝑤𝑔ℎ2
c) Flujo de energía.
Para el cálculo del flujo de energía, habrá que tener en cuenta la energía cinética de la masa en movimiento �1
2𝑚𝑢2�, la energía potencial gravitatoria (𝑚𝑔𝑧) y el trabajo
desarrollado (𝐹Δ𝑥)por las fuerzas de presión aplicadas en hacer pasar esa masa a través de la sección 𝐴𝐴′.
• Energía cinética.
Δ𝑒𝑐 =12𝑚𝑢2 =
12
(𝜌𝑤(𝑢Δ𝑡)Δ𝑧 · 1)𝑢2 =12𝜌𝑤𝑢3Δ𝑧Δ𝑡
por lo que en Δ𝑡,
Δ𝑓𝑒𝑐 =12𝜌𝑤𝑢3Δ𝑧
• Energía potencial.
Δ𝑒𝑝 = 𝑚𝑔(−𝑧) = (𝜌𝑤(𝑢Δ𝑡)Δ𝑧 · 1)𝑔(−𝑧)
por lo que en Δ𝑡,
Δ𝑓𝑒𝑝 = −𝜌𝑤𝑢𝑔𝑧Δ𝑧
• Trabajo desarrollado por la presión existente (solamente la presión hidrostática).
Δ𝑊 = 𝐹Δ𝑥 = (𝑝(𝑧)Δ𝑧 · 1)(𝑢Δ𝑡) = −𝜌𝑤𝑔𝑧𝑢Δ𝑧Δ𝑡
por lo que en Δ𝑡,
Δ𝑓𝑊 = −𝜌𝑤𝑔𝑧𝑢Δ𝑧
Resumiendo, el flujo total de energía es:
𝐹𝐸𝑐 = �12
0
−ℎ𝜌𝑤𝑢3𝑑𝑧 =
12𝜌𝑤𝑢3ℎ
𝐹𝐸𝑝 = � −0
−ℎ𝜌𝑤𝑢𝑔𝑧𝑑𝑧 =
12𝜌𝑤𝑔𝑢ℎ2
𝐹𝑊 = � −0
−ℎ𝜌𝑤𝑢𝑔𝑧𝑑𝑧 =
12𝜌𝑤𝑔𝑢ℎ2
𝐹𝐸 = 𝐹𝐸𝑐 + 𝐹𝐸𝑝 + 𝐹𝑊 =12𝜌𝑤𝑢3ℎ + 𝜌𝑤𝑔𝑢ℎ2
2.2. Ecuaciones de conservación de Laplace y Bernouilli a) Ecuación de conservación de la masa.
El flujo de masa que entra en el volumen de control infinitesimal debe ser igual al flujo de masa que sale más las variaciones que tienen lugar dentro del volumen de control, demostrándose en general que la ecuación de continuidad o también llamada de conservación de la masa es:
𝐷𝜌𝑤𝐷𝑡
+ 𝜌𝑤∇ · �⃗� = 0
Si el fluido es incompresible la ecuación queda:
∇ · �⃗� = 0 ⇔𝜕𝑢𝜕𝑥
+𝜕𝑣𝜕𝑦
+𝜕𝑤𝜕𝑧
= 0
por lo que no presenta ni fuentes ni sumideros. Si además el movimiento es irrotacional, el campo de velocidades es conservativo y existe una función potencial Φ que permite obtener el campo de velocidades mediante las relaciones:
�⃗� = ∇Φ = �𝜕Φ𝜕𝑥
,𝜕Φ𝜕𝑦
,𝜕Φ𝜕𝑧 �
y la ecuación de conservación de la masa se reduce a la ecuación de Laplace:
Φ ΦΦ Φ Φ
0
b) Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.
Las ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento son las siguientes:
donde , y son las componentes del vector de gravedad .
Muchos fluidos manifiestan una relación lineal entre las componentes de esfuerzo y los gradientes de velocidad. Tales fluidos se llaman fluidos newtonianos e incluyen fluidos comunes tales como agua, aceite y aire. Si además de linealidad, se requiere que el fluido sea isotrópico, es posible relacionar las componentes de esfuerzo y los gradientes de velocidad utilizando sólo dos propiedades de fluido, la viscosidad y el segundo coeficiente de viscosidad . Las relaciones esfuerzo‐gradiente de velocidad se las conoce como ecuaciones constitutivas, y se formulan como sigue:
2
2
2
Para la mayoría de los líquidos y para gases monoatómicos, el segundo coeficiente de viscosidad está relacionado con la viscosidad mediante:
23
conocida como hipótesis de Stokes. Con esta relación el promedio negativo de los tres esfuerzos normales es igual a la presión, esto es
13
Esto siempre es cierto para líquidos donde el campo de velocidades sea adivergente, es decir, que no presente fuentes ni sumideros. Con la hipótesis de Stokes también es cierto para un gas.
Si se sustituyen las ecuaciones constitutivas en las ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento se obtiene, utilizando la hipótesis de Stokes,
𝜌𝑤𝐷𝑢𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑥
+ 𝜌𝑤𝑔𝑥 + 𝜇 �𝜕2𝑢𝜕𝑥2
+𝜕2𝑢𝜕𝑦2
+𝜕2𝑢𝜕𝑧2
� +𝜇3𝜕𝜕𝑥 �
𝜕𝑢𝜕𝑥
+𝜕𝑣𝜕𝑦
+𝜕𝑤𝜕𝑧�
𝜌𝑤𝐷𝑣𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤𝑔𝑦 + 𝜇 �𝜕2𝑣𝜕𝑥2
+𝜕2𝑣𝜕𝑦2
+𝜕2𝑣𝜕𝑧2
� +𝜇3𝜕𝜕𝑦 �
𝜕𝑢𝜕𝑥
+𝜕𝑣𝜕𝑦
+𝜕𝑤𝜕𝑧�
𝜌𝑤𝐷𝑤𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑧
+ 𝜌𝑤𝑔𝑧 + 𝜇 �𝜕2𝑤𝜕𝑥2
+𝜕2𝑤𝜕𝑦2
+𝜕2𝑤𝜕𝑧2
� +𝜇3𝜕𝜕𝑧 �
𝜕𝑢𝜕𝑥
+𝜕𝑣𝜕𝑦
+𝜕𝑤𝜕𝑧�
en la que se supuso un fluido homogéneo, es decir, las propiedades del fluido como la viscosidad son independientes de la posición.
Para un flujo incompresible la ecuación de continuidad permite que las ecuaciones anteriores se reduzcan a
𝜌𝑤𝐷𝑢𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑥
+ 𝜌𝑤𝑔𝑥 + 𝜇 �𝜕2𝑢𝜕𝑥2
+𝜕2𝑢𝜕𝑦2
+𝜕2𝑢𝜕𝑧2
�
𝜌𝑤𝐷𝑣𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤𝑔𝑦 + 𝜇 �𝜕2𝑣𝜕𝑥2
+𝜕2𝑣𝜕𝑦2
+𝜕2𝑣𝜕𝑧2
�
𝜌𝑤𝐷𝑤𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑧
+ 𝜌𝑤𝑔𝑧 + 𝜇 �𝜕2𝑤𝜕𝑥2
+𝜕2𝑤𝜕𝑦2
+𝜕2𝑤𝜕𝑧2
�
Estas son las ecuaciones de Navier-Stokes. Con estas tres ecuaciones diferenciales y la ecuación diferencial de continuidad se tienen cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, 𝑢, 𝑣, 𝑤 y 𝑝.
En el caso particular del que partíamos, el de gravedad �⃗� tiene como componentes
𝑔𝑥 = 0 ; 𝑔𝑦 = 0 ; 𝑔𝑧 = −𝑔
por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican aún más
𝜌𝑤𝐷𝑢𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑥
+ 𝜇 �𝜕2𝑢𝜕𝑥2
+𝜕2𝑢𝜕𝑦2
+𝜕2𝑢𝜕𝑧2
�
𝜌𝑤𝐷𝑣𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑦
+ 𝜇 �𝜕2𝑣𝜕𝑥2
+𝜕2𝑣𝜕𝑦2
+𝜕2𝑣𝜕𝑧2
�
𝜌𝑤𝐷𝑤𝐷𝑡
= −𝜕𝑝𝜕𝑧
− 𝜌𝑤𝑔 + 𝜇 �𝜕2𝑤𝜕𝑥2
+𝜕2𝑤𝜕𝑦2
+𝜕2𝑤𝜕𝑧2
�
En el caso de un fluido perfecto (viscosidad nula), las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en las ecuaciones de Euler
Para flujos bidimensionales irrotacionales,
𝜕𝑢𝜕𝑧
=𝜕𝑤𝜕𝑥
por lo que las ecuaciones de Euler pueden expresarse:
𝐷𝑢𝐷𝑡
= −1𝜌𝑤
·𝜕𝑝𝜕𝑥
𝐷𝑤𝐷𝑡
= −1𝜌𝑤
·𝜕𝑝𝜕𝑧
− 𝑔
Y como
𝐷𝑢𝐷𝑡
=𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕𝑢𝜕𝑥
𝑢 +𝜕𝑢𝜕𝑧
𝑤 =𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕𝑢𝜕𝑥
𝑢 +𝜕𝑤𝜕𝑥
𝑤 =𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕 �𝑢
2
2 �
𝜕𝑥+𝜕 �𝑤
2
2 �
𝜕𝑥
𝐷𝑤𝐷𝑡
=𝜕𝑤𝜕𝑡
+𝜕𝑤𝜕𝑥
𝑢 +𝜕𝑤𝜕𝑧
𝑤 =𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕𝑢𝜕𝑧
𝑢 +𝜕𝑤𝜕𝑧
𝑤 =𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕 �𝑢
2
2 �
𝜕𝑧+𝜕 �𝑤
2
2 �
𝜕𝑧
Las leyes de Euler se expresan entonces
𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕 �𝑢
2
2 �
𝜕𝑥+𝜕 �𝑤
2
2 �
𝜕𝑥= −
1𝜌𝑤
·𝜕𝑝𝜕𝑥
𝜕𝑢𝜕𝑡
+𝜕 �𝑢
2
2 �
𝜕𝑧+𝜕 �𝑤
2
2 �
𝜕𝑧= −
1𝜌𝑤
·𝜕𝑝𝜕𝑧
− 𝑔
Como para un flujo bidimensional e irrotacional existe una función potencial Φ, que se relaciona con el campo de velocidades:
𝑢 =𝜕Φ𝜕𝑥
; 𝑤 =𝜕Φ𝜕𝑧
transformándose las ecuaciones en:
𝜕𝜕𝑥
�𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜌𝑤� = 0 ⇔
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜌𝑤
= 𝐷(𝑧, 𝑡)
𝜕𝜕𝑧�𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜌𝑤� = −𝑔 ⇔
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜌𝑤
= −𝑔𝑧 + 𝐶(𝑥, 𝑡)
Igualando ambas expresiones, tenemos que
𝐷(𝑧, 𝑡) == −𝑔𝑧 + 𝐶(𝑥, 𝑡) ⇒ 𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑐(𝑡) ⇒ 𝐷(𝑧, 𝑡) = −𝑔𝑧 + 𝑐(𝑡)
por lo que la expresión resultante es
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜌𝑤
+ 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡)
o bien,
𝜕Φ𝜕𝑡
+12 ��
𝜕Φ𝜕𝑥�
2
+ �𝜕Φ𝜕𝑧 �
2
� +𝑝𝜌𝑤
+ 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡)
Esta es la ecuación de Bernouilli para flujos no estacionarios.
También puede expresarse como:
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
[∇Φ · ∇Φ] +𝑝𝜌𝑤
+ 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡)
La ecuación de Bernouilli relaciona la presión del fluido con su posición y su velocidad.
Todo lo tratado en este apartado, se resume en la siguiente tabla
CONSERVACIÓN DE LA MASA
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
HIPÓTESIS DEL FLUIDO
NAVIER-STOKES ∇ · �⃗� = 0 𝜌𝑤𝐷�⃗�𝐷𝑡
= −∇𝑝 + 𝜇∇2�⃗� − 𝜌𝑤𝑔𝑘�⃗ Continuo
Incompresible Newtoniano
EULER ∇ · �⃗� = 0 𝜌𝑤𝐷�⃗�𝐷𝑡
= −∇𝑝 − 𝜌𝑤𝑔𝑘�⃗
Continuo Incompresible Newtoniano No viscoso
LAPLACE +
BERNOUILLI ∇2Φ = 0
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
[∇Φ · ∇Φ] +𝑝𝜌𝑤
+ 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡)
Continuo Incompresible Newtoniano No viscoso Irrotacional
Condiciones de contorno. Problema de contorno. Ecuación de la 3.dispersión.
Las oscilaciones que se pueden observar en el mar se propagan en un fluido viscoso sobre un fondo irregular de permeabilidad variable. Sin embargo, en la mayoría de los casos los efectos viscosos sólo son significativos en las proximidades de los contornos y para el movimiento oscilatorio el espesor de la capa límite es del orden de milímetros, por lo que se puede aceptar que el fluido desliza sobre la superficie sin que se cumpla la condición de velocidad igual a la del contorno para las partículas en contacto con dicha superficie de contorno.
En consecuencia, fuera de la capa límite, la viscosidad puede suponerse nula, por lo que en ausencia de un mecanismo específico, no hay forma de inducir la rotación de las partículas de agua. Esto elimina la posibilidad de remolinos y entonces el movimiento oscilatorio puede suponerse irrotacional. Por otra parte, el agua puede tratarse como un fluido casi incompresible.
Así, con estas y otras hipótesis, se analizará el movimiento oscilatorio y sus características cinemáticas y dinámicas, planteando la resolución del problema de gobierno, es decir, la obtención del potencial Φ que gobierna dicho movimiento oscilatorio junto con las condiciones de contorno laterales, cinemáticas y dinámicas.
3.1. Ecuación de gobierno para el movimiento oscilatorio Para un movimiento oscilatorio bidimensional (𝑥, 𝑦) se admiten las siguientes
hipótesis:
• Flujo incompresible: 𝜌 =cte. Por lo tanto
𝐷𝜌𝐷𝑡
= 0
• Flujo irrotacional: ∇ × �⃗� = 0, por lo que existe una función potencial Φ a partir de la cual se obtiene el campo de velocidades:
𝑢 =𝜕Φ𝜕𝑥
; 𝑤 =𝜕Φ𝜕𝑧
• Fluido no viscoso: 𝜇 = 0, por lo que no hay tensiones tangenciales ni se considera capa límite, por lo que el fluido se estudia como si deslizara sobre los contornos.
Con estas hipótesis, partir de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, se obtiene la ecuación de Bernouilli. Por otra parte, la ecuación de conservación de masa se transforma en la ecuación de Laplace
∇2Φ = 0 ⟺𝜕2Φ𝜕𝑥2
+𝜕2Φ𝜕𝑧2
= 0
Esta ecuación diferencial es de tipo elíptico, por lo que para su resolución deben especificarse las condiciones de contorno en la frontera de todo el dominio. Una vez conocido el potencial Φ, se podrán estudiar las características cinemáticas y dinámicas del movimiento ocilatorio.
3.2. Condiciones de contorno En los contornos, el fluido debe seguir el movimiento de las superficies que los
definen. Las condiciones que se refieren a la cinemática se denominan condiciones de contorno cinemáticas. Por otra parte, la superficie libre es susceptible de deformarse bajo la aplicación de fuerzas, en cuyo caso, la condición de contorno dinámica especifica la distribución de presiones en la superficie.
a) Condición de contorno cinemática en la superficie libre (CCCSL):
La ecuación de la superficie libre 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑡) es de la forma
𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑧 − 𝜂(𝑥, 𝑡) = 0
donde 𝜂(𝑥, 𝑡) es el desplazamiento de la superficie libre del mar. La condición de contorno cinemática en este caso exige que no haya flujo a través de la superficie aire-agua, es decir, que las partículas que constituyen la superficie libre permanezcan en ella y no la abandonen. Si la superficie varía con el tiempo como lo haría la superficie libre del mar, entonces la derivada sustancial de la superficie se anularía en la superficie.
𝐷𝐹𝐷𝑡
= 0 =𝜕𝐹𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝐹𝜕𝑥
+ 𝑤𝜕𝐹𝜕𝑧�
en 𝐹(𝑥,𝑧,𝑡)=0
o lo que es lo mismo,
−𝜕𝐹𝜕𝑡
= �⃗� · ∇𝐹 = �⃗� · 𝑛�⃗ |∇𝐹| ⟹ �⃗� · 𝑛�⃗ = −𝜕𝐹𝜕𝑡
|∇𝐹| en 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0
donde 𝑛�⃗ es el vector normal a la superficie que se define como
𝑛�⃗ =∇𝐹
|∇𝐹| =𝜕𝐹𝜕𝑥 𝚤 + 𝜕𝐹
𝜕𝑧 𝑘�⃗
��𝜕𝐹𝜕𝑥�2
+ �𝜕𝐹𝜕𝑧�2
Esta condición exige que la componente normal de la velocidad del fluido en un punto de la superficie libre esté relacionada con la velocidad de la superficie en dicho punto. Si la superficie no cambia con el tiempo, entonces �⃗� · 𝑛�⃗ = 0, por lo que la componente normal a la superficie de la velocidad es nula.
Por lo tanto, para 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑧 − 𝜂(𝑥, 𝑡) = 0
𝐷𝐹𝐷𝑡
= −𝜕𝜂𝜕𝑡
− 𝑢𝜕𝜂𝜕𝑡
+ 𝑤 = 0 en 𝑧 = 𝜂
o lo que es lo mismo
𝜕𝜂𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝜂𝜕𝑥
− 𝑤 = 0 en 𝑧 = 𝜂
b) Condición de contorno cinemática en el fondo (CCCF):
Sea ℎ(𝑥, 𝑡) la función que define la profundidad del fondo. Por lo tanto, la superficie que define el fondo marino es
𝑧 = −ℎ(𝑥, 𝑡) ⟹ 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑧 + ℎ(𝑥, 𝑡) = 0
Al igual que en la condición de la superficie libre, la condición de flujo nulo a través del fondo es se expresa mediante la derivada sustancial:
𝐷𝐹𝐷𝑡
= 0 =𝜕𝐹𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝐹𝜕𝑥
+ 𝑤𝜕𝐹𝜕𝑧
𝜕ℎ𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕ℎ𝜕𝑥
+ 𝑤 = 0 en 𝑧 = −ℎ
Si se considera que el fondo no varía con el tiempo, la ecuación se reduce a
𝜕ℎ𝜕𝑡
= 0 ⟹ 𝑢𝜕ℎ𝜕𝑥
+ 𝑤 = 0 ⟺𝜕ℎ𝜕𝑥
= −𝑤𝑢
Es decir, la relación de velocidades en el punto considerado es igual a la pendiente en dicho punto.
Para fondo horizontal,
ℎ = cte ⟹𝜕ℎ𝜕𝑥
= 0 ⟹ 𝑤 = 0 en 𝑧 = −ℎ
por lo que en el fondo la velocidad sólo tiene componente horizontal 𝑢.
c) Condiciones de contorno laterales (CCL):
Las condiciones a especificar en los contornos laterales dependen del problema que se esté considerando:
• Dominio infinito: La variable 𝑥 puede tomar cualquier valor (−∞ < 𝑥 < ∞), por lo que se exige que el movimiento sea periódico tanto en el tiempo como en el espacio, es decir, que la función potencial Φ ha de cumplir las siguientes condiciones:
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = Φ(𝑥 + 𝐿, 𝑧, 𝑡) Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡 + 𝑇)
• Dominio semiinfinito: La variable 𝑥 puede tomar cualquier valor positivo (0 < 𝑥 < ∞). Se pueden presentar distintos casos, entre los que cabe destacar el de pared vertical impermeable. En este caso, la superficie se define como
F(x, z, t) = x = 0
por lo que al imponer la condición de que la derivada sustancial sea nula:
𝐷𝐹𝐷𝑡
= 0 ⟹ 𝑢 =𝜕Φ𝜕𝑥
= 0 en 𝑥 = 0
d) Condición de contorno dinámica en la superficie libre (CCDSL):
El fluido considerado es no viscoso, por lo tanto en cualquier contorno, únicamente actúan fuerzas de presión (no existen tensiones tangenciales). La superficie libre del fluido responde a las variaciones en el campo de presiones en orden a mantener la presión uniforme en toda la superficie. La condición de contorno dinámica determina la distribución de presiones en el contorno.
Para un fluido newtoniano, incompresible, no viscoso y flujo irrotacional esta condición viene expresada por la ecuación de Bernouilli, aplicada en 𝑧 = 𝜂(𝑥, 𝑡) sobre la que actúa una presión manométrica (relativa) 𝑝𝜂
𝜕Φ𝜕𝑡
+12
(𝑢2 + 𝑤2) +𝑝𝜂𝜌𝑤
+ 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡) en 𝑧 = 𝜂
donde 𝑝𝜂, al ser una presión relativa, se adopta el valor cero, con lo que la condición de contorno dinámica de la superficie libre es
𝜕Φ𝜕𝑡
+12��𝜕Φ𝜕𝑥�
2
+ �𝜕Φ𝜕𝑧 �
2
� + 𝑔𝑧 = 𝑐(𝑡) en 𝑧 = 𝜂
3.3. Problema de contorno Establecidas la ecuación de gobierno, las condiciones de
contorno y el dominio de integración, el problema consiste en hallar la función potencial Φ y la función de ondas 𝜂.
Sin embargo, las condiciones de contorno cinemática y dinámica de la superficie libre (CCCSL y CCDSL) están dadas en 𝑧 = 𝜂, variable que es incógnita priori. Por lo tanto, para su resolución es necesario introducir nuevas simplificaciones.
Si se considera que 𝜂 es una cantidad pequeña, es decir, si se trata de una onda de pequeña amplitud, haciendo un desarrollo en serie de Taylor en torno a 𝑧 = 0, las condiciones impuestas en 𝑧 = 𝜂 se pueden aproximar por condiciones sobre 𝑧 = 0.
• CCCSL:
�𝜕𝜂𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝜂𝜕𝑥
− 𝑤�𝑧=𝜂
= �𝜕𝜂𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝜂𝜕𝑥
− 𝑤�𝑧=𝜂
+ 𝜂𝜕𝜕𝑧 �
𝜕𝜂𝜕𝑡
+ 𝑢𝜕𝜂𝜕𝑥
− 𝑤�𝑧=𝜂
+ ⋯ = 0
Al tratarse de ondas de pequeña amplitud, se pueden despreciar los términos no lineales en 𝜂, 𝑢 y 𝑤 tales como �𝑢 𝜕𝜂
𝜕𝑥� y �𝜂 𝜕𝑤
𝜕𝑧�. Hay que recordar también que 𝜂 no es
función de 𝑧, por lo que
𝜕2𝜂𝜕𝑧𝜕𝑡
= 0 ;𝜕2𝜂𝜕𝑧𝜕𝑥
= 0
Con estas simplificaciones, la condición queda reducida a
𝜕𝜂𝜕𝑡
− 𝑤 = 0 en 𝑧 = 0
• CCDSL:
�𝜕Φ𝜕𝑡
+12��𝜕Φ𝜕𝑥�
2
+ �𝜕Φ𝜕𝑧 �
2
� + 𝑔𝑧�𝑧=𝜂
= �𝜕Φ𝜕𝑡
+12��𝜕Φ𝜕𝑥�
2
+ �𝜕Φ𝜕𝑧 �
2
� + 𝑔𝑧�𝑧=0
+
+𝜂 �𝜕𝜕𝑧�𝜕Φ𝜕𝑡
+12��𝜕Φ𝜕𝑥�
2
+ �𝜕Φ𝜕𝑧 �
2
� + 𝑔𝑧��𝑧=0
+ ⋯ = 𝑐(𝑡)
Al igual que en el desarrollo anterior, 𝜂 es pequeño y por lo tanto se suponen que tanto las velocidades como las presiones también lo son. Además, cualquier producto de estas variables son muy pequeñas.
𝜂 ⟶ 0 ⟹
⎩⎨
⎧𝜂2 ≪ 𝜂𝑢𝜂 ≪ 𝜂𝑢2 ≪ 𝜂𝑤2 ≪ 𝜂
Por otra parte, como la ecuación de onda 𝜂 por definición, tiene valor medio nulo tanto respecto al espacio como respecto al tiempo, 𝑐(𝑡) = 0.
Con estas simplificaciones, la condición de contorno dinámica en la superficie libre se reduce a:
𝜕Φ𝜕𝑡
+ 𝑔𝜂 = 0 en 𝑧 = 0
Por lo que el problema de contorno se transforma en:
Ecuación de gobierno:𝜕2Φ𝜕𝑥2
+𝜕2Φ𝜕𝑧2
= 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿−ℎ ≤ 𝑧 ≤ 0
CCCSL:𝜕𝜂𝜕𝑡
− 𝑤 = 0 en 𝑧 = 0
CCCF: 𝑤 = 0 en 𝑧 = −ℎ
CCDSL:𝜕Φ𝜕𝑡
+ 𝑔𝜂 = 0 en 𝑧 = 0 ⟺ 𝜂 = −1𝑔 �
𝜕Φ𝜕𝑡 �𝑧=0
CCL: Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = Φ(𝑥 + 𝐿, 𝑧, 𝑡)Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡 + 𝑇)
CCM (Mixta):𝜕2Φ𝜕𝑡2
+ 𝑔𝜕Φ𝜕𝑧
= 0 en 𝑧 = 0
La condición de contorno mixta (CCM) se obtiene de despejar 𝜂 de CCDSL y sustituirla en CCCSL.
En resumen, una vez establecidas todas las condiciones de contorno respecto a Φ, podemos pasar a resolver la ecuación de gobierno, y a partir de Φ, obtener:
• El valor de la ecuación de onda 𝜂(𝑥, 𝑡):
𝜂 = −1𝑔 �
𝜕Φ𝜕𝑡 �𝑧=0
• El campo de velocidades �⃗�:
�⃗� = ∇Φ
• El campo de presiones 𝑝 a partir de la ecuación de Bernouilli
El problema de contorno se resolverá ahora con un nuevo dominio de integración que es:
3.4. Resolución del problema de contorno: En este apartado se resuelve, por el método de separación de variables, el problema
de contorno para ondas periódicas en el espacio y en el tiempo que se propagan sobre fondo horizontal.
Se propone una función potencial de la forma:
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥) · 𝑍(𝑧) · 𝒯(t)
donde 𝒯(t) debe ser una función periódica en el tiempo de periodo 𝑇 y puede suponerse como una combinación lineal de cos𝜎𝑡 y sen𝜎𝑡
𝒯(t) = 𝐸 cos𝜎𝑡 + 𝐹 sen𝜎𝑡
Al imponer la condición lateral de periodicidad en el tiempo:
𝐸 cos𝜎𝑡 + 𝐹 sen𝜎𝑡 = 𝐸 cos𝜎(𝑡 + 𝑇) + 𝐹 sen𝜎(𝑡 + 𝑇)
Desarrollando las funciones trigonométricas de sumas,
𝐸 cos𝜎(𝑡 + 𝑇) = 𝐸 cos𝜎𝑡 cos𝜎𝑇 − 𝐸 sen𝜎𝑡 sen𝜎𝑇
𝐹 sen𝜎(𝑡 + 𝑇) = 𝐹 sen𝜎𝑡 cos𝜎𝑇 + 𝐹 sen𝜎𝑇 cos𝜎𝑡
Sustituyendo estas expresiones en la condición lateral y sacando factor común las funciones trigonométricas, obtenemos la expresión:
cos𝜎𝑡 (𝐸 − 𝐸 cos𝜎𝑇 − 𝐹 sen𝜎𝑇) + sen𝜎𝑡 (𝐸 sen𝜎𝑇 + 𝐹 − 𝐹 cos𝜎𝑇) = 0
Para que se cumpla esta igualdad para todo valor de 𝑡, al ser las funciones sen𝜎𝑡 y cos𝜎𝑡 linealmente independiente, han de ser nulos las constantes, es decir:
𝐸 − 𝐸 cos𝜎𝑇 − 𝐹 sen𝜎𝑇 = 0 ⟹ (1 − cos𝜎𝑇) =𝐹 sen𝜎𝑇
𝐸
𝐸 sen𝜎𝑇 + 𝐹 − 𝐹 cos𝜎𝑇 = 0 ⟹ (1 − cos𝜎𝑇) = −𝐸 sen𝜎𝑇
𝐹
Por lo tanto 𝐹 sen𝜎𝑇
𝐸= −
𝐸 sen𝜎𝑇𝐹
⟹ sen𝜎𝑇 (𝐸2 + 𝐹2) = 0 ⟹ sen𝜎𝑇 = 0 ⟹ cos𝜎𝑇 = 1
Por lo tanto, se deduce que
𝜎𝑇 = 2𝑛𝜋
donde 𝑛 ∈ ℕ. Para 𝑛 = 1,
𝜎𝑇 = 2𝜋 ⟹ 𝜎 =2𝜋𝑇
FRECUENCIA ANGULAR
Si se sustituye Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) en la ecuación de gobierno, nos queda:
∇2Φ =𝑑2𝑋(𝑥)𝑑𝑥2
𝑍(𝑧)𝒯(t) +𝑑2𝑍(𝑧)𝑑𝑧2
𝑋(𝑥)𝒯(t) = 0
Al dividir por 𝑋(𝑥) · 𝑍(𝑧) · 𝒯(t),
1𝑋(𝑥)
𝑑2𝑋(𝑥)𝑑𝑥2
+1
𝑍(𝑧)𝑑2𝑍(𝑧)𝑑𝑧2
= 0
Para que esta igualdad se cumpla para cualquier valor de 𝑥 y de 𝑧, ambos términos han de ser constantes y opuestos, es decir:
1𝑋(𝑥)
𝑑2𝑋(𝑥)𝑑𝑥2
= −𝑘2
1𝑍(𝑧)
𝑑2𝑍(𝑧)𝑑𝑧2
= 𝑘2
El problema se reduce a la resolución de dos ecuaciones diferenciales, cuya solución depende de 𝑘. Puesto que se busca una solución periódica en 𝑥, 𝑘 ha de ser real y distinto de cero, luego la solución será:
�𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sen𝑘𝑥
𝑍(𝑧) = 𝐶𝑒𝑘𝑧 + 𝐷𝑒−𝑘𝑧
Y como,
𝒯(t) = 𝐸 cos𝜎𝑡 + 𝐹 sen𝜎𝑡
la función potencial nos queda de la forma
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sen𝑘𝑥)(𝐶𝑒𝑘𝑧 + 𝐷𝑒−𝑘𝑧)(𝐸 cos𝜎𝑡 + 𝐹 sen𝜎𝑡)
Las constantes 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸 y 𝐹 se obtendrán a continuación mediantes las condiciones de contorno, mientras que la incógnita 𝑘 se obtendrá a través de la ecuación de dispersión que se tratará más adelante.
3.5. Aplicación de las condiciones de contorno • Condición de contorno lateral (CCL)
El potencial Φ tiene que ser, como se ha dicho anteriormente, periódico en el espacio, lo que ocurrirá si y sólo si:
𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sen𝑘𝑥 = 𝐴 cos𝑘(𝑥 + 𝐿) + 𝐵 sen𝑘(𝑥 + 𝐿)
Para que esta igualdad sea cierta, de forma análoga a como se vio anteriormente en la periodicidad temporal,
sen 𝑘𝐿 = 0 ⟹ cos 𝑘𝐿 = 1
Por lo tanto, se deduce que
𝑘𝐿 = 2𝑛𝜋
donde 𝑛 ∈ ℕ. Para 𝑛 = 1,
𝑘𝐿 = 2𝜋 ⟹ 𝑘 =2𝜋𝐿
NÚMERO DE ONDA
donde 𝐿 es la longitud de onda
El producto de las funciones 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡) es una combinación lineal de las funciones (cos 𝑘𝑥)(cos𝜎𝑡), (cos 𝑘𝑥)(sen𝜎𝑡), (sen𝑘𝑥)(cos𝜎𝑡) y, (sen 𝑘𝑥)(sen𝜎𝑡), por lo que el producto 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡) se puede escribir como combinación lineal de las funciones sen(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) y sen(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 + 𝜑2), siendo 𝜑1 y 𝜑2 constantes.
Por lo dicho anteriormente, la función potencial puede escribirse como:
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐶𝑒𝑘𝑧 + 𝐷𝑒−𝑘𝑧)[𝐵1 sen(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) + 𝐵2 sen(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 − 𝜑2)]
• Condición de contorno cinemática en el fondo (CCCF):
Como 𝑤 = 0 en 𝑧 = −ℎ
𝑤 =𝜕Φ𝜕𝑧
= 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡)𝑘(𝐶𝑒𝑘𝑧 − 𝐷𝑒−𝑘𝑧)|𝑧=−ℎ =
= 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡)𝑘(𝐶𝑒−𝑘ℎ − 𝐷𝑒𝑘ℎ) = 0
Para que esta expresión sea cero,
𝐶𝑒−𝑘ℎ − 𝐷𝑒𝑘ℎ = 0 ⟹ 𝐶 = 𝐷𝑒2𝑘ℎ
Ahora la función potencial tiene la forma:
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡)(𝐷𝑒2𝑘ℎ𝑒𝑘𝑧 + 𝐷𝑒−𝑘𝑧) = 𝑋(𝑥) · 𝒯(𝑡)𝐷𝑒𝑘ℎ�𝑒𝑘(ℎ+𝑧) + 𝑒−𝑘(ℎ+𝑧)� = = cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)� [𝐵1′ sen(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) + 𝐵2′ sen(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 − 𝜑2)]
siendo,
𝑍(𝑧) = 𝐷𝑒𝑘ℎ�𝑒𝑘(ℎ+𝑧) + 𝑒−𝑘(ℎ+𝑧)� = 2𝐷𝑒𝑘ℎ cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)� 𝐵1′ = 2𝐵1𝐷𝑒𝑘ℎ 𝐵2′ = 2𝐵2𝐷𝑒𝑘ℎ
• Condición de contorno dinámica en la superficie libre (CCDSL):
𝜂 = −1𝑔 �
𝜕Φ𝜕𝑡 �𝑧=0
Por lo tanto,
𝜂 =1𝑔𝜎 cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)� [𝐵1′ sen(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) − 𝐵2′ sen(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 − 𝜑2)]𝑧=0 =
=𝜎 cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�
𝑔[𝐵1′ cos(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) − 𝐵2′ cos(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 − 𝜑2)]
que es la superposición de dos oscilaciones de amplitudes:
𝐴1 =𝜎𝐵1′ cosh(𝑘ℎ)
𝑔; 𝐴2 = −
𝜎𝐵2′ cosh(𝑘ℎ)𝑔
Despejando 𝐵1′ y 𝐵2′ de estas dos ecuaciones, obtenemos
𝐵1′ =𝑔𝐴1
𝜎 cosh(𝑘ℎ) ; 𝐵2′ = −𝑔𝐴2
𝜎 cosh(𝑘ℎ)
por lo que la expresión final de la función potencial queda:
Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) =𝑔𝜎
cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�cosh(𝑘ℎ)
[𝐴1 sen(𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 + 𝜑1) − 𝐴2 sen(𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 − 𝜑2)]
= Re �−𝑖𝑔𝜎
cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�cosh(𝑘ℎ) �𝐴1′ 𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐴2′ 𝑒−𝑖𝑘𝑥�𝑒−𝑖𝜎𝑡�
donde 𝜑1 y 𝜑2 son los argumentos de las amplitudes complejas
𝐴1′ = 𝐴1𝑒𝑖𝜑1 ; 𝐴2′ = 𝐴2𝑒𝑖𝜑2
En general, en una función 𝑦 = 𝐴 sin(𝜎𝑡 − 𝜑), el cociente 𝜑 𝜎� representa el desfase temporal de la función
El potencial que se ha obtenido representa la superposición de una onda progresiva de amplitud 𝐴1 = |𝐴1′ | que se propaga en la dirección positiva del eje X con celeridad 𝑐 = 𝜎
𝑘� = 𝐿𝑇� , cuya superficie libre 𝜂1 es:
𝜂1=Re�𝐴1′ 𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)� = 𝐴1 cos(𝑘(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝜑1)
y una onda progresiva de amplitud 𝐴2 = |𝐴2′ | que se propaga en la dirección newgativa del eje X con la misma celeridad que la anterior y cuya superficie libre 𝜂2 es:
𝜂2=Re�𝐴2′ 𝑒−𝑖𝑘(𝑥+𝑐𝑡)� = 𝐴2 cos(𝑘(𝑥 + 𝑐𝑡) − 𝜑2)
La onda que andamos buscando será la suma de las dos anteriores
𝜂 = 𝜂1 + 𝜂2
El quebrado:
cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�cosh(𝑘ℎ)
es el factor de profundidad y las expresiones:
𝑘𝑥 − 𝜎𝑡 = 𝑘(𝑥 − 𝑐𝑡)𝑘𝑥 + 𝜎𝑡 = 𝑘(𝑥 + 𝑐𝑡)
representan las fases del movimiento
A partir estas dos ondas progresivas, cabe hacer el siguiente análisis:
• Si 𝐴2 = 0, 𝜂 es una onda progresiva hacia 𝑋 positivo.
• Si 𝐴1 = 0, 𝜂 es una onda progresiva hacia 𝑋 negativo.
• Si 𝐴1 = 𝐴2 ≠ 0, 𝜂 es una onda estacionaria.
• Si 𝐴1 ≠ 𝐴2 ≠ 0, 𝜂 es una onda parcialmente estacionaria.
Como la amplitud es únicamente un factor de escala en la teoría lineal de ondas, la única incógnita es 𝑘, que se obtiene con la ecuación de la dispersión que se demuestra a continuación.
3.6. Ecuación de la dispersión.
Las ecuaciones obtenidas de Φ y 𝜂 están en función de ℎ, 𝜎 y 𝑘. Como 𝜎 = 2𝜋𝑇� ,
vamos a obtener una ecuación que nos relacione permita calcular 𝑘 a partir de ℎ y 𝑇
Utilizaremos la condición de contorno mixta (CCM)
𝜕2Φ𝜕𝑡2
+ 𝑔𝜕Φ𝜕𝑧
= 0 en 𝑧 = 0
Como Φ(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥) · 𝑍(𝑧) · 𝒯(t)
𝑋(𝑥) · 𝑍(𝑧) ·𝑑2𝑇(𝑡)𝑑𝑡2
+ 𝑔𝑋(𝑥) ·𝑑𝑍(𝑧)𝑑𝑧
· 𝒯(t) = 0
Si hacemos un cambio de variable
𝑑2𝑇(𝑡)𝑑𝑡2
= −𝜎2𝒯(t)
y sustituimos en la expresión anterior:
𝑋(𝑥) · 𝑍(𝑧) · [−𝜎2𝒯(t)] + 𝑔𝑋(𝑥) ·𝑑𝑍(𝑧)𝑑𝑧
· 𝒯(t) = 0 ⇒ 𝑔𝑑𝑍(𝑧)𝑑𝑧
− 𝜎2𝑍(𝑧) = 0
Como
𝑍(𝑧) = 2𝐷𝑒𝑘ℎ cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�
𝑔2𝐷𝑒𝑘ℎ𝑘 senh�𝑘(ℎ + 𝑧)� − 𝜎2 · 2𝐷𝑒𝑘ℎ cosh�𝑘(ℎ + 𝑧)� = 0
Dividiendo por 2𝐷𝑒𝑘ℎcosh�𝑘(ℎ + 𝑧)�
𝑔𝑘 tgh�𝑘(ℎ + 𝑧)� − 𝜎2 = 0
y para 𝑧 = 0, queda la expresión
𝜎2 = 𝑔𝑘 tgh(𝑘ℎ)
que es la llamada ecuación de la dispersión.
Se trata de una ecuación implícita en 𝑘, que se puede resolver gráfica o numéricamente por iteraciones. Dicha ecuación no depende de 𝐴, sino sólo de 𝑇, conocida la profundidad ℎ.
Estudio particular de la ecuación de la dispersión 4.Las funciones hiperbólicas cuentan con asíntotas tanto para profundidades
indefinidas como para profundidades reducidas, y a menudo es útil conocerlas para obtener expresiones simplificadas del movimiento del oleaje. Por ejemplo, la función cosh 𝑘ℎ que aparece en el denominador de la función potencial Φ se define como
cosh 𝑘ℎ =𝑒𝑘ℎ + 𝑒−𝑘ℎ
2
Para pequeños valores de 𝑧 = 𝑘ℎ, la función 𝑒𝑧 puede sustituirse por la serie de Taylor en torno a 𝑧 = 0 de la siguiente forma:
𝑒𝑘ℎ = 𝑒0 +𝑑𝑒𝑧
𝑑𝑧�𝑧=0
𝑘ℎ +𝑑2𝑒𝑧
𝑑𝑧2�𝑧=0
(𝑘ℎ)2
2!+ ⋯
o lo que es lo mismo
𝑒𝑘ℎ = 1 + 𝑘ℎ +(𝑘ℎ)2
2+ ⋯
Si se repite el método para 𝑒−𝑘ℎ,
𝑒−𝑘ℎ = 1 − 𝑘ℎ +(𝑘ℎ)2
2+ ⋯
Por lo tanto, para pequeños valores de 𝑘ℎ
cosh 𝑘ℎ =12 ��1 + 𝑘ℎ +
(𝑘ℎ)2
2+ ⋯� + �1 − 𝑘ℎ +
(𝑘ℎ)2
2+ ⋯�� ≅ 1 +
(𝑘ℎ)2
2
Para grandes valores de 𝑘ℎ, cosh 𝑘ℎ tiende asintóticamente a 𝑒𝑘ℎ
2� , ya que 𝑒−𝑘ℎ se
hace cada vez más pequeño.
En la siguiente tabla se indican cada una de los valores asintóticos de las funciones hiperbólicas:
Función Grandes valores de 𝑘ℎ Pequeños valores de 𝑘ℎ
cosh 𝑘ℎ 𝑒𝑘ℎ
2 1
senh𝑘ℎ 𝑒𝑘ℎ
2 𝑘ℎ
tgh𝑘ℎ 1 𝑘ℎ
Vale la pena distinguir las regiones en las cuales estas aproximaciones asintóticas son válidas. En la gráfica de la página siguiente se muestran las gráficas de las funciones hiperbólicas junto a las asíntotas 𝑓1 = 𝑘ℎ,𝑓2 = 1,0 y 𝑓3 = 𝑒𝑘ℎ 2⁄ . Los valores porcentuales que aparecen en la figura representan, para determinados rangos de 𝑘ℎ, el error cometido por utilizar las asíntotas en lugar de los valores exactos de la función. El mayor error cometido es del 5%. El eje de abscisas inferior muestra la profundidad relativa, por lo que definen tres regiones en función de su profundidad relativa, tal y como se vio en el apartado 5.4.a) del tema I.
La ecuación de dispersión tal y como se ha definido en su expresión exacta es válida para aguas de profundidades intermedias. Sin embargo, gracias a las aproximaciones podemos obtener otras ecuaciones de dispersión tanto para aguas de profundidad reducida como para aguas de profundidad indefinida.
4.1. Ecuación de la dispersión para aguas de profundidad reducida En este caso
𝜎2 = 𝑔𝑘 tgh(𝑘ℎ) ≈ 𝑔𝑘2ℎ
Por lo tanto
𝜎2
𝑘2=�2𝜋𝑇 �
2
�2𝜋𝐿 �
2 = �𝐿𝑇�
2
= 𝑐2 = 𝑔ℎ ⇒ 𝑐 = �𝑔ℎ
La celeridad de la onda en aguas de profundidad reducida depende exclusivamente de la profundidad del fondo ℎ. Hay que recordar que la definición de aguas de profundidad reducida está basada en la profundidad relativa. Así, en el océano, donde la profundidad del fondo es aproximadamente de 1 km, una ola con una longitud de onda de 20 km se
encuentra en aguas de profundidades reducidas. Así, los tsunamis, que son olas causadas por temblores cuyos epicentros se sitúan en los límites oceánicos, tienen longitudes de onda incluso mayores de 20 km y su celeridad ronda los 100m/s (360 km/h).
4.2. Ecuación de la dispersión para aguas de profundidad indefinida La expresión de la ecuación de la dispersión para cualquier profundidad se puede
expresar en función de longitud de onda y el período
�2𝜋𝑇 �
2
= 𝑔2𝜋𝐿
tgh �2𝜋ℎ𝐿 �
por lo que la longitud de onda se puede obtener de modo implícito según la ecuación
𝐿 =𝑔𝑇2
2𝜋tgh �
2𝜋ℎ𝐿 � = 𝐿0 tgh �
2𝜋ℎ𝐿 �
siendo
𝐿0 =𝑔𝑇2
2𝜋
A partir de la ecuación implícita de la longitud de onda, se pueden obtener otras ecuaciones implícitas
𝑘 =2𝜋𝐿
𝑘0 =2𝜋𝐿0
=4𝜋2
𝑔𝑇2⎭⎬
⎫⟶ 𝑘0 = 𝑘 tgh𝑘ℎ
𝑐 =𝐿𝑇
𝑐0 =𝐿0𝑇
=𝑔𝑇2𝜋
� ⟶ �𝑐 = 𝑐0 tgh𝑘ℎ
𝑐 = 𝑐0 tgh �2𝜋ℎ𝐿 �
En el caso de aguas de profundidad indefinida
𝑘ℎ ≫ 𝜋 ⇒ 𝜎2 = 𝑔𝑘 tgh(𝑘ℎ) ≈ 𝑔𝑘
por lo que
𝐿 = 𝐿0 =𝑔𝑇2
2𝜋; 𝑐 = 𝑐0 =
𝑔𝑇2𝜋
En resumen, en aguas de profundad indefinida, tanto la longitud de onda como la celeridad dependen del periodo de la onda. Luego las ondas de mayor periodo viajan más deprisa y tienen mayor longitud de onda.