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TECNOLOGÍA ELÉCTRICA

26 de enero de 2012

Índice general

1. COMPONENTES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS 4

1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Circuito eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Sistemas de unidades. Referencias de polaridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Leyes de Kirchho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4. Ecuación de la potencia. Pasividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Formas de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Formas de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Funciones de interés en circuitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3. Formas de onda periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4. Formas de onda senoidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Elementos pasivos y activos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Resistencia ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.1. Asociaciones de resistencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. Fuentes ideales de tensión y de corriente. Fuentes dependientes. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2.1. Asociaciones de fuentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3. El condensador ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3.1. Asociaciones de condensadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4. La inductancia ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4.1. Asociaciones de inductancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5. Inductancias acopladas magnéticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.6. El transformador ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.7. Componentes reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.7.1. Resistencia real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.7.2. Condensador real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.7.3. Inductancia real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.7.4. Impedancia y admitancia operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.7.5. Fuente real de tensión y fuente real de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL 20

2.1. Análisis de circuitos en régimen permanente senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Conceptos básicos. Representación temporal, compleja y exponencial. . . . . . . . . . . . 20

2.1.2. Respuesta senoidal de los elementos ideales pasivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3. Impedancias y admitancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4. Análisis de circuitos en forma compleja. Las leyes de Kirchho en el dominio complejo. . 23

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.2. Tema 6. Potencia y energía en régimen permanente senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Introducción. Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2. Relaciones de potencia y energía en los dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3. Potencia compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4. Teorema de Boucherot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.5. Potencia aparente y factor de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.5.1. Corrección del factor de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Análisis de los circuitos eléctricos. 29

3.1. Análisis de circuitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Características topológicas de un circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2. Análisis mediante lazos básicos de un circuito eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3. Análisis mediante nudos de un circuito eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Análisis de circuitos mediante teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Teorema de superposición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2. Teoremas de Thévenin y Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3. Teorema de Kennelly (o transformación estrella-triángulo). . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Resonancia serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.3. Resonancia paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. INSTALACIONES TRIFÁSICAS 40

4.1. Terminología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1. Obtención de tensiones trifásicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2. Noción de fase y secuencia de fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3. Conexiones de fuente en estrella y en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3.1. Fuente en estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3.2. Fuente en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.4. Cargas en estrella o en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.4.1. Relaciones entre las corrientes y tensiones en cargas equilibradas en sistemas desecuencia directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Circuitos trifásicos equilibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Circuitos trifásicos equilibrados. Cálculo por reducción a un circuito monofásico. . . . . . 45

4.3. Potencia en los circuitos trifásicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1. Potencia en los circuitos trifásicos: activa, reactiva, aparente, compleja. . . . . . . . . . . 47

4.3.2. Factor de potencia en circuito equilibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3. Mejora del factor de potencia en los circuitos trifásicos equilibrados. . . . . . . . . . . . . 49

5. ELECTROMETRÍA 50

5.1. Aparatos comunes usados en electrometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.1. Errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.2. Instrumentos de medida analógicos y digitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ÍNDICE GENERAL 3

6. Máquinas eléctricas. 52

6.1. El transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.1. Funcionamiento del transformador ideal en vacío. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.2. Funcionamiento del transformador ideal en carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1.3. Transformador real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1.4. Transformadores trifásicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. Máquina síncronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3. Máquinas asíncronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Capítulo 1

COMPONENTES DE LOS CIRCUITOSELÉCTRICOS1

1.1. Introducción.

1.1.1. Circuito eléctrico.

En la ingeniería eléctrica, casi siempre nos interesamos en comunicar o transferir energía de un punto a otropunto. Para esto se requiere la interconexión de dispositivos eléctricos, la cual recibe el nombre de circuitoeléctrico, y cada componente del mismo se conoce como elemento.

1.1.2. Sistemas de unidades. Referencias de polaridad.

El sistema internacional de unidades (SI) constituye el lenguaje de medición internacional que permite a losingenieros comunicar sus resultados. A partir de seis unidades principales, es posible obtener las unidades deotras cantidades físicas.

Carga eléctrica: la carga eléctrica q(t) o simplemente q, es una propiedad eléctrica de las partículas atómicas,de las que está compuesta la materia, y se mide en culombios (C).

Una característica única de la carga eléctrica, o electricidad, es el hecho de que es móvil; esto es, puede transferirsede un lugar a otro, donde es posible convertirla en otra forma de energía.

El n primordial de un circuito eléctrico es mover cargas a lo largo de caminos. Este movimiento constituye lacorriente eléctrica.

Corriente instantánea(gura 1.1): la corriente eléctrica i(t) o simplemente i , es la tasa de cambio de la cargaen el tiempo, y se mide en amperios (A). Es una magnitud escalar.

i =dq(t)

dtq(t) =

∫ t

to

i(t)dt (1.1)

Figura 1.1: Corriente eléctrica

Una vez denida la corriente como movimiento de cargas, esperamos que ésta tenga una dirección de ujoasociada (echa).

La diferencia de potencial: la diferencia de potencial u(t) (d.d.p.) o tensión entre dos puntos de un circuito, sedene como el trabajo realizado al mover la carga unidad entre esos dos puntos. Se mide en voltios (V).

En la gura 1.2 se representa un circuito con dos terminales (denominado dipolo). Para denir la d.d.p. uAB(t),se debe señalar unos signos + y -, que se colocan en los terminales A y B.

La potencia eléctrica: la potencia eléctrica p(t) es el trabajo realizado por unidad de tiempo. Se mide en Vatios(W).

1Resumen de los contenidos teóricos de la asignatura. No se puede considerar como sustituto de la bibliografía de teoría de

circuitos

4

CAPÍTULO 1. COMPONENTES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS 5

Figura 1.2: ipolo

Se dene por

p(t) = u(t)i(t) (1.2)

Como la potencia depende de dos variables, tenemos que tener en cuenta los sentidos de referencia de ambas. Enla gura 1.3 se representa el convenio cuando el dipolo es receptor (izquierda) y cuando el dipolo es generador(derecha).

Figura 1.3: Potencia

La energía eléctrica: la energía eléctrica w(t) o simplemente w, es la capacidad para realizar trabajo, medida enJulios (J) o kilovatios-hora (kWh).

w(t) =

∫ t2

t1

p(t)dt (1.3)

1.1.3. Leyes de Kirchho.

Puesto que los elementos de un circuito pueden interconectarse de diferentes formas, es necesario que com-prendamos algunos conceptos de topología de red: elementos en serie, rama, nudos, elementos en paralelo ylazos:

Elementos en serie: dos elementos (o más) se encuentran en serie cuando se conectan secuencialmente,terminal con terminal. Circula por ellos la misma corriente.

Nudo: es el punto de conexión de dos o más elemento. Suele indicarse mediante un punto. Si un cortocir-cuito2 (alambre de conexión) conecta dos nudos, estos mismos constituyen un solo nudo. En la gura 1.4los nudos A y B son los principales, y los nudos C y D son secundarios.

Rama: representa un conjunto de elementos en serie conectados entre dos nudos. En la gura 1.4 existendos ramas.

Elementos en paralelo: dos elementos (o más) se encuentran en paralelo si están conectados a los mismosnudos. Los elementos en paralelo soportan la misma tensión o diferencia de potencial. En la gura 1.4existen tres elementos en serie y, estos a su vez en paralelo con otro.

Lazo: es un conjunto de ramas que forma una trayectoria cerrada en un circuito. Se forma partiendo deun nudo, pasando por un conjuntos de nudos y regresando al nudo de partida sin pasar por un nudo másde una vez.

Figura 1.4: Circuitos con nudos y ramas

2Cortocircuito: conductor perfecto


Ley de corrientes de Kirchoo (LCK): la suma algebraica de la corrientes que entran en un nudo es cero.En otras palabras, la suma de las corrientes que entran en un nudo es igual a la suma de las corrientes que salendel mismo.

Ley de tensiones de Kirchoo (LTK): la suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier trayectoriacerrada es cero. En otras palabras, la suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier trayectoria cerradaes igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices.

1.1.4. Ecuación de la potencia. Pasividad.

La dirección de la corriente y la polaridad de la tensión desempeñan un papel fundamental en la determinacióndel signo de la potencia, y por lo tanto, de su interpretación física. El convenio receptor (potencia absorbida)se satisface cuando la corriente entra por el terminal positivo de tensión de un elemento, de formar que:

pabs(t) = u(t)i(t) (1.4)

Si la corriente sale por el terminal positivo de la tensión, tendremos el convenio generador (potencia suministra-da), de forma que: psum(t) = u(t)i(t).

La ley de conservación de la energía (o potencia) debe cumplirse en cualquier circuito eléctrico, donde N esel número de elementos (considerando éstos como dipolos) que suministran y n el número de elementos queabsorben.

N∑i=1

Psum =

n∑j=1

Pabs (1.5)

La energía que absorbe o suministra un elemento (según el convenio de potencia elegido) es

w(t) =

∫ t

−∞p(t)dt =

∫ 0

−∞p(t)dt+

∫ t

0

p(t)dt = w(0) +

∫ t

0

p(t)dt (1.6)

siendo∫ 0

−∞ p(t)dt = w(0), la energía absorbida o suministrada hasta el instante t=0. El instante t = −∞, seconsidera cuando el elemento se ha fabricado o creado.

Si el convenio tomado es el receptor y se verica que w(t) ≥ 0 tendremos un elemento denominado pasivo.

1.2. Formas de onda.

1.2.1. Formas de onda.

Los ingenieros a las variables tensión, corriente, potencia,.. las denominan señales (o formas de onda), en lugarde funciones matemáticas del tiempo, debido a su importancia en las comunicaciones y otras disciplinas.

1.2.2. Funciones de interés en circuitos.

Existen unas funciones llamadas singulares (llamadas también funciones de conmutación) que son muy útilesen el análisis de circuitos. La hay que son discontinuas y tienen derivadas discontinuas. Son las siguientes:

Escalón unitario (gura 1.5 izquierda): U(t) =

0 t < 01 t ≥ 0

Rampa unitaria (gura 1.5 centro): r(t) =

0 t < 0t t ≥ 0

Función impulso (gura 1.5 derecha): δ(t) =

0 t 6= 0∞ t = 0

∫ 0+

0− δ(t)dt = 1

Figura 1.5: Escalón, rampa e impulso


1.2.3. Formas de onda periódicas.

Una función periódica (gura 1.6) es aquella que satisface f(t) = f(t+ nT ), para todo t y todos los enteros n,siendo T el periodo.

Figura 1.6: Función periódica

Debido a la importancia de estas ondas, se van a denir una serie de magnitudes que se emplean en su estudio.

Frecuencia:se mide en Hertz. La relación con el periodo es:

f =1

T(1.7)

Valor medio: es el promedio de la función en un periodo T en segundos:

fmedio =1

T

∫ T

0

f(t)dt (1.8)

Valor ecaz: es el valor de la raíz cuadrática de su media (r.m.s.):

feficaz =

√1

T

∫ T

0

f2(t)dt (1.9)

1.2.4. Formas de onda senoidales.

Una senoide es una señal en forma de la función seno o coseno:

f(t) = Fosen(wt+ ϕ) =√

2Fsen(2πft+ ϕ) (1.10)

donde Fo es la amplitud, F el valor ecaz, w es la pulsación (mide rd/s), f la frecuencia, wt el argumento (mideen rd) y ϕ la fase (mide en rd).

1.3. Elementos pasivos y activos.

1.3.1. Resistencia ideal.

Los materiales presentan en general un comportamiento característico, que es el de resistirse al ujo de la cargaeléctrica. Esta propiedad física, se conoce como resistencia y se representa con el símbolo R.

El elemento de un circuito que se utiliza para hacer el comportamiento de resistencia de un material esla resistencia. Una resistencia (gura 1.7) es un elemento pasivo en el cual su tensión u(t), es directamenteproporcional a la corriente i(t) que circula por él (cumple la ley de Ohm):

u(t) = Ri(t) (1.11)

Figura 1.7: Resistencia R

donde R es la el valor de la resistencia. Es imprescindible denir las referencias de sentidos positivos para u(t)e i(t). Se observa que la función matemática anterior es lineal.


En vista de que R varía desde cero hasta innito, es importante considerar los dos valores extremos. Un elementocon R=0, se denomina cortocircuito. En un cortocircuito la tensión es cero, aunque la corriente podría tomarcualquier valor. Un elemento con R =∞, se conoce como circuito abierto. En este caso, la corriente es cero, sibien la tensión podría tomar cualquier valor.

El valor de una resistencia de un conductor de resistividad ρ, longitud l y sección S, tiene por expresión:

R = ρl

S(1.12)

La potencia absorbida por una resistencia es:

p(t) = u(t)i(t) = Ri2(t) =u2(t)

R(1.13)

La energía absorbida por una resistencia es:

w(t) = w(to) +

∫ t

to

p(t)dt (1.14)

La potencia absorbida por la resistencia es utilizada para generar calor (se la denominada también potenciadisipada). La potencia es una función no lineal de la corriente o la tensión. Como R es positiva, la potenciadisipada es siempre positiva (o nula), lo que conrma que es un elemento pasivo, incapaz de generar energía.

La conductancia es la capacidad de un elemento para conducir la corriente eléctrica; se mide en Ohmios−1:

G =1

R(1.15)

1.3.1.1. Asociaciones de resistencias.

Asociación en serie de n resistencias (gura 1.8):

Figura 1.8: Resistencias en serie

Se obtiene una resistencia equivalente (Req) de valor:

Req =

n∑i=1

Ri (1.16)

Asociación en paralelo de n resistencias (gura 1.9):

Figura 1.9: Resistencias en paralelo

Se obtiene una resistencia equivalente (Req) de valor:

1

Req=

n∑i=1

1

Ri= Geq =

n∑i=1

Gi (1.17)


Si asociamos dos resistencias en serie R1y R2, tendremos un divisor de tensión. La resistencia equivalente tienepor valor Req = R1 + R2, y las tensiones que soportan cada de las resistencias son, en función de la tensióntotal U:

uR1= R1

U

R1 +R2uR2

= R2U

R1 +R2(1.18)

Si asociamos dos resistencias en paralelo R1y R2, tendremos un divisor de corriente. La resistencia equivalentetiene por valor Req = R1R2

R1+R2, y las corrientes que circulan por cada resistencia son, en función de la corriente

absorbida total I:

iR1 =R2

R1 +R2I iR2

=R1

R1 +R2I (1.19)

1.3.2. Fuentes ideales de tensión y de corriente. Fuentes dependientes.

Una fuente ideal de tensión (gura 1.10) es un elemento que proporciona una tensión que es independiente porcompleto de otras variables del circuito. Una fuente ideal de tensión entrega al circuito cualquier corriente queresulte necesaria para mantener su tensión en los terminales. A las fuentes ideal de tensión se las considera comofuerzas electromotrices (f.e.m.).

Figura 1.10: Fuente ideal de tensión

Una fuente ideal de corriente (gura 1.11) es un elemento que proporciona una corriente que es independientepor completo de otras variables del circuito. Esto es, la fuente de corriente entrega al circuito cualquier tensiónque sea necesaria para mantener la corriente designada.

Figura 1.11: Fuente ideal de corriente

Una fuente dependiente ideal (o controlada) es un elemento en el cual la cantidad de la fuente (tensión ocorriente) se controla por medio de otra tensión o corriente. Hay cuatro tipos (gura 1.12):

1. Fuente de tensión controlada por tensión.

2. Fuente de tensión controlada por corriente.

3. Fuente de corriente controlada por tensión.

4. Fuente de corriente controlada por corriente.

1.3.2.1. Asociaciones de fuentes.

Asociación serie de n fuentes de tensión (gura 1.13):

Se obtiene una fuente de tensión equivalente, cuya f.e.m o tensión suministrada tiene por valor:

eeq(t) =

n∑i=1

ei(t) (1.20)

Asociación paralelo de n fuentes de corriente (gura 1.14):


Figura 1.12: Fuentes controladas

Figura 1.13: Fuentes de tensión en serie

Se obtiene una fuente de corriente equivalente, cuya corriente suministrada tiene por valor:

i(t) =

n∑i=1

ii(t) (1.21)

1.3.3. El condensador ideal.

Un condensador es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía por medio de su campo eléctrico (gura1.15).

Un condensador sencillo está compuesto por dos placas conductoras separada por un aislante (o dieléctrico). Sedice que un condensador almacena carga eléctrica q(t) entre las placas, que es directamente proporcional a latensión aplicada u(t):

q(t) = Cu(t) (1.22)

donde C es el valor de la capacidad que se mide en Faradios (F).

La relación corriente-tensión es:

i(t) =dq(t)

dt= C

du(t)

dt(1.23)

es decir, la corriente en un condensador es directamente proporcional a la variación de la tensión respecto deltiempo. Un aumento de nivel de tensión (considerado en valor absoluto) corresponde a una corriente positiva yuna reducción del nivel de tensión (igualmente en valor absoluto) corresponde a una corriente negativa.

Se observa que si u(t) = constante, entonces la corriente es nula. De este modo un condensador alimentado conuna tensión continua (permanente) es igual a cero.

Si el valor de C es independiente de la tensión se dice que el condensador es lineal. Teniendo en cuenta, laecuación anterior, signica que el condensador es un elemento que presenta oposición al cambio de la tensión.

La relación inversa, se puede obtener integrando la ecuación 1.243:

3t = −∞, instante de fabricación del condensador


Figura 1.14: Fuentes de corriente en paralelo

Figura 1.15: Condensador

u(t) =1

C

∫ t

−∞i(t)dt = u(to) +

1

C

∫ t

to

i(t)dt (1.24)

siendo u(to), la denominada tensión inicial del condensador en el instante to. Esta ecuación muestra que latensión depende de la historia de la corriente. El condensador tiene un efecto de memoria ya que los valorespasados de la corriente afectan a los valores actuales de la tensión.

Otro aspecto a considerar, que se deduce de la ecuación 1.23 es que la tensión en un condensador no puedevariar bruscamente, ya que la corriente se haría innita, lo que es físicamente imposible. Entonces como decirque la tensión no puede sufrir discontinuidades:

u(to−) = u(to+) (1.25)

La potencia absorbida en un condensador es:

p(t) = u(t)i(t) = Cu(t)du(t)

dt(1.26)

y la energía absorbida4 es:

w(t) =

∫ t

−∞p(t)dt =

1

2Cu2(t) (1.27)

Esta energía es recuperable, puesto que un condensador ideal no puede disipar energía. La energía absorbida esuna energía que se almacena en el campo eléctrico creado.

Resumen de propiedades:

1. Un condensador se comporta como un circuito abierto, en los circuitos que existan solamente fuentes detensión continua.

2. La tensión en un condensador no puede variar bruscamente.

3. El condensador ideal no disipa energía. Absorbe potencia cuando almacena energía en su campo eléctricoy devuelve la energía almacenada con anterioridad cuando suministra potencia al circuito.

1.3.3.1. Asociaciones de condensadores.

Asociación serie de n condensadores (gura 12):

Se obtiene una condensador equivalente (Ceq), cuyo valor de capacidad es:

1

Ceq=

n∑i=1

1

Ci(1.28)


Figura 1.16: Condensadores en serie

Figura 1.17: Condensadores en paralelo

Asociación paralelo de n condensadores (gura 1.17):

Se obtiene una condensador equivalente (Ceq), cuyo valor de capacidad es:

Ceq =

Nn∑i=1

Ci (1.29)

1.3.4. La inductancia ideal.

Una inductancia es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía por medio de su campo magnético. Todoconductor de corriente eléctrica tiene propiedades inductivas y es posible considerarlo como una inductancia.Sin embargo para incrementar el efecto inductivo, una inductancia suele formarse por una bobina cilíndrica conmuchas vueltas de alambre conductor.

Considerando que el alambre conductor no ofrece resistencia eléctrica, si circula una corriente a través de lainductancia, se observa que la tensión en bornes es (gura 1.18):

u(t) = Ldi(t)

dt(1.30)

teniendo en cuenta la convención de signo positiva y donde L es la inductancia propia, medida en Henrios (H).Si el valor de L es independiente de la corriente se dice que la inductancia es lineal.

Figura 1.18: Inductancia

La d.d.p. en bornes de una inductancia es proporcional a la variación de corriente respecto del tiempo. Se puedecomprobar que un aumento de magnitude de la corriente, corresponde a una tensión positiva y una reducciónde la corriente corresponde a una tensión negativa. Se observa también según indica la ecuación 1.30 que sila corriente i(t) = constante, entonces la tensión es nula. De este modo, si una inductancia es alimentada encorriente continua (permanente) actúa como un cortocircuito.

La relación inversa, obtenida de la ecuación 1.30 es:

i(t) =1

L

∫ t

−∞u(t)dt = i(to) +

1

L

∫ t

to

u(t)dt (1.31)

siendo i(to) la corriente inicial en el instante to. Esta ecuación muestra que la corriente depende de la historiapasada de la tensión.

Analizando la ecuación 1.31, se observa que la inductancia tiene un efecto de memoria, ya que la corriente enun tiempo t depente del valor pasado.

4Se considera que u(t = −∞) = 0, condensador descargado cuando sale de la fábrica


Otro aspecto a considerar y que se deduce de la ecuación 1.30, es que la corriente en una inductancia no puedevariar bruscamente, ya que la tensión se haría innita, lo que físicamente es imposible:

i(to−) = i(to+) (1.32)

La potencia absorbida por una inductancia es:

p(t) = u(t)i(t) = Li(t)di(t)

dt(1.33)

La energía absorbida5 es:

w(t) =

∫ t

−∞p(t)dt =

1

2Li2(t) (1.34)

Esta energía es recuperable, puesto que una inductancia ideal no puede disipar energía, de forma que la energíaabsorbida es almacenada en el campo magnético que se crea.

Resumen de propiedades:

1. Una inductancia se comporta como un cortocircuito en los circuitos que existan solamente fuentes decorriente continua.

2. La corriente en una inductancia no puede variar bruscamente.

3. La inductancia ideal no disipa energía. Absorbe potencia cuando almacena energía en su campo magnéticoy devuelve la energía almacenada con anterioridad cuando suministra potencia al circuito.

1.3.4.1. Asociaciones de inductancias.

Asociación serie de n inductancias (gura 13):

Figura 1.19: Inductancias en serie

Se obtiene una inductancia equivalente (Leq), de valor:

Leq =

n∑i=1

Li (1.35)

Asociación paralelo de n inductancias (gura 1.20):

Figura 1.20: Inductancias en paralelo

Se obtiene una inductancia equivalente (Leq), de valor:

1

Leq=

n∑i=1

1

Li(1.36)

5i(t = −∞) = 0, inductancia descargada cuando sale de la fábrica


1.3.5. Inductancias acopladas magnéticamente.

Cuando dos inductancias se encuentran próximas entre sí, el ujo magnético causado por la corriente que circulapor una de las inductancias se relaciona con la otra inductancia , induciendo así una tensión en ésta última.Este fenómeno se conoce como inductancia mutua.

Consideramos solamente un inductancia de N vueltas. Cuando uye una corriente i(t) a través de ella seproduce un ujo magnético φ(t) alrededor de ella. Según la ley de Faraday (inducción electromagnética) latensión inducida en los extremos de la inductancia es

u(t) = Ndφ(t)

dt= N

dφ(t)

di(t)

di(t)

dt= L

di(t)

dt(1.37)

donde la inductancia propia L se dene como L = N dφdi medida en H.

Ahora consideramos dos inductancias (N1, N2 vueltas) con valores L1, L2 que estén próximas entre sí. Sisuponemos (gura 1.21) que por la segunda inductancia (L2) no circula corriente, tendremos que el ujo φ1

que emana de la primera inductancia tendrá dos componentes: un componente φ11 que se relaciona sólo con laprimera inductancia y otro φ12 que se vincula con las dos inductancias de forma que el ujo total concatenadopor la primera inductancia es φ1 = φ11 + φ12.

Figura 1.21: Inductancias acopladas (circula corriente solo por la primera)

La tensión inducida en la primera es:

u1(t) = N1dφ1

dt= N1

dφ1

di1

di1dt

= L1di1dt

(1.38)

La tensión inducida en la segunda (tensión a circuito abierto) es:

|u2(t)| = N2dφ12

dt= N2

dφ12

di1

di1dt

= M12di1dt

(1.39)

A M12 se le conoce como la inductancia mutua de la segunda inductancia con respecto a la primera.

Si suponemos (gura 1.22) que por la primera (L1) no circula corriente, tendremos que el ujo φ2 que emanade la segunda inductancia tendrá dos componentes: un componente φ22 que se relaciona sólo con la segundainductancia y otro φ21 que se vincula con las dos inductancias de forma que el ujo total concatenado por lasegunda inductancia es φ2 = φ22 + φ21.

Figura 1.22: Inductancias acopladas (circula corriente solo por la segunda)


La tensión inducida en la primera (tensión a circuito abierto) es:

|u1(t)| = N1dφ21

dt= N1

dφ21

di2

di2dt

= M21di2dt

(1.40)

A M21 se le conoce como la inductancia mutua de la primera inductancia con respecto a la segunda.

La tensión inducida en la segunda es:

u2(t) = N2dφ2

dt= N2

dφ2

di2

di2dt

= L2di2dt

(1.41)

Se verica que M12 = M2 = M , y se denomina inductancia mutua, y es la capacidad de una inductancia parainducir una tensión en una inductancia vecina, medida en henrios.

Si utilizamos el convenio de referencia visto en la inductancia, la tensión autoinducida L1(di1/dt) está determi-nada por la corriente i1 (lo mismo vale para L2(di2/dt) e i2).

En cambio la tensión inducida M(di/dt) puede ser negativa o positiva puesto que depende de la orientacióno forma particular en que ambas inductancias estén físicamente arrolladas. Se utiliza la regla del sacarcorchospara determinar el signo.

Puesto que es inconveniente mostrar todos los detalles constructivos, aplicamos la convención del punto, oterminales correspondientes en el análisis del circuito. Dos terminales son correspondientes (uno por cadainductancia), cuando al elegir un sentido de ujo común a las dos inductancias, para obtener este sentidode ujo (de acuerdo con la regla del sacacorchos), las corrientes en cada inductancia deben entrar por estosterminales, llamados correspondientes (gura 1.23).

Figura 1.23: Terminales correspondientes

Cuando se tienen localizados los terminales correspondientes, no hace falta dibujar las inductancias con lossentidos de los arrollamientos. Si una corriente entra por el terminal correspondiente en una inductancia, la po-laridad de la tensión inducida en la segunda inductancia es positiva en el terminal correspondiente de la segundainductancia. Alternativamente si una corriente sale por el terminal correspondiente en una inductancia, la po-laridad de referencia de la tensión inducida en la segunda inductancia es negativa en el terminal correspondientede la segunda inductancia (gura 1.24).

Figura 1.24: Inductancias acopladas

Así la polaridad de la tensión inducida depende de la dirección de referencia de la corriente y de los puntos oterminales correspondientes en las inductancias acopladas.


Figura 1.25: Inductancias acopladas (las dos entran); (una entra, otra sale)

Así tendremos que si las dos corrientes entran por los puntos (o salen) (gura 1.25):

u1 = L1di1dt +M di2

dt

u2 = M didt + L2

di2dt

(1.42)

Así tendremos que si una de la corrientes entra por un punto y la otra sale:

u1 = L1di1dt −M

di2dt

u2 = −M di1dt + L2

di2dt

(1.43)

Energía en un circuito con dos inductancias acopladas:

w(t) =

∫ t

−∞(u1i1 + u2i2)dt =

1

2L1i

21 +

1

2L2i

22 +Mi1i2 (1.44)

Coeciente de acoplamiento (k): es una medida del grado de acoplamiento magnético entre dos inductanciasacopladas. Se denen los siguientes términos:

k1 =φ12

φ1=

φ12

φ11 + φ12(1.45)

k2 =φ21

φ2=

φ21

φ22 + φ21

k =√k1k2

Se deduce que M = k√L1L2

1.3.6. El transformador ideal.

Un transformador ideal es una unidad acoplada sin pérdidas en el que las inductancias primaria y secundariatienen autoinducciones propias innitas.

Tiene las siguientes propiedades:

1. Las inductancias propias y mutua tienen valores muy grandes (∞).

2. El coeciente de acoplamiento es la unidad k=1.

3. No hay pérdidas.

Figura 1.26: Transformador ideal

Como el ujo concatenado por los dos arrollamientos es el mismo (coeciente de acoplamiento la unidad k=1).Se cumple por lo tanto (gura 1.26) :

u1 = N1dφ

dtu2 = N2

dφ

dt(1.46)


Tendremos queu1

u2=N1

N2= rt (1.47)

denominada relación de transformación, rt.

Como no hay pérdidas, tendremos que

u1i1 + u2i2 = 0 ⇒ i2i1

= −N1

N2= −rt (1.48)

De acuerdo con todo lo anterior, un transformador reductor (N2 < N1) es aquel cuya tensión secundaria esmenor que la primaria (el valor de la corriente primaria es menor que el de la corriente secundaria). En untransformador elevador (N2 > N1)ocurre que la tensión secundaria es mayor que la primaria (el valor de lacorriente primaria es mayor que el de la corriente secundaria).

1.3.7. Componentes reales.

1.3.7.1. Resistencia real.

Las resistencias pueden ser jas o variables. Pueden estar hechas de carbón, de hilo bobinado, líquidas, etc.Existen resistencias especiales que varían con la tensión, variables con la luz, resistencias que disminuyen conla temperatura. Los dos tipos comunes de resistencias son las de alambre enrollado y las compuestas. Lascompuestas se utilizan para obtener valores grandes de resistencia. Una resistencia variable común de pequeñapotencia se conoce como potenciómetro, que es un elemento de tres terminales con un contacto deslizante, ylas de gran potencia reciben el nombre de reostatos.. No todas las resistencias cumplen la ley de Ohm. Unaresistencia que satisface esta ley se conoce como resistencia lineal, y cuenta con un valor de R constante. Unaresistencia no lineal no cumple la ley de Ohm, y su valor R varía con la corriente. Una característica importantees su disipación de potencia nominal. El valor de R, depende mucho de la temperatura. Para las resistenciasreales de baja potencia existe un código estándar de bandas de colores que indican sus valores y potencias (lostipos más comunes de resistencias son los de compuestos de carbono y las de película de carbono).

En el caso de resistencias bobinadas hay que tener en cuenta el efecto de la inducción, que será tanto másimportante cuanto mayor sea la frecuencia de la corriente.

A la hora de especicar una resistencia no es suciente con indicar su valor en ohmios, sino que es necesarioindicar que potencia máxima es capaz de transformar en calor por efecto Joule sin destruirse (se puede indicartambién por la máxima corriente admisible).

El valor de la resistencia varía con la temperatura:

Rt2 = Rt1[1 + α(t2 − t1) (1.49)

1.3.7.2. Condensador real.

Se consiguen comercialmente con diferentes valores y tipos. Por lo general, tienen valores en el intervalo depicofaradios (pF) a microfaradios (µF ). Se denen mediante el material dieléctrico con el que están hechos.Pueden ser de poliéster, ligeros, estables y su cambio con la temperatura previsible. Se utilizan otros materialescomo la mica o el poliestireno. Los condensadores de película se enrollan y empacan con películas metálicas oplásticas. Los condensadores electrolíticos tienen una capacidad muy elevada. Los condensadores variables seutilizan en receptores de radio. Una característica importante es su tensión nominal.

Un condensador real tiene como modelo matemático un condensador ideal en paralelo con una resistencia,denominada resistencia de fuga. Es factible que sea tan alta como 100MΩ y puede ignorarse en la mayoría delas aplicaciones prácticas.

1.3.7.3. Inductancia real.

El valor de la inductancia depende de sus dimensiones y construcción física. Por ejemplo para un solenoidetendremos que L = N2µA

l donde N es el número de vueltas, µ la permeabilidad del núcleo, A el área de lasección transversal y l la longitud. Las inductancias comerciales se consiguen de diferentes valores y tipos.El valor de la inductancia varía desde unos cuantos microhenrios, hasta decenas de henrios. Las inductanciaspueden ser jas o variables y su núcleo quizás esté constituido de hierro, acero, plástico o aire.


Una inductancia no ideal tiene un componente resistivo importante, debido a que está formada por una materialconductor, el cual tiene cierta resistencia. Esta resistencia se denomina resistencia de devanado y aparece enserie con la inductancia ideal. La presencia de esta resistencia hace que se convierta en un dispositivo tantode almacenamiento de energía como de disipación de potencia. Puesto que esta resistencia de devanado sueleser muy pequeña, se ignora en muchos casos. La inductancia cuenta también con una capacidad de devanadodebido al acoplamiento capacitivo entre las bobinas conductoras; es muy pequeña y es posible ignorarla en lamayoría de los casos.

1.3.7.4. Impedancia y admitancia operacional.

Las ecuaciones de los elementos simples (resistencia, inductancia y condensador) pueden escribirse de nuevoempleando los operadores:

D ≡ d

dt

1

D≡∫

(1.50)

Considerandor las condiciones iniciales (corriente en la inductancia y tensión en el condensador) nulas, ten-dremos:

Resistencia u(t) = Ri(t)

Inductancia u(t) = LDi(t) (1.51)

Condensador u(t) =1

CDi(t)

Si cualquiera de estas expresiones se pueden representar por:

u(t) = Z(D)i(t) (1.52)

A Z(D) se la denomina impedancia operacional, y se mide en Ohmios, igual que la resistencia eléctrica.

A la inversa de la impedancia operacional se la denomina admitancia operacional y se mide en Ω−1:

Y (D) =1

Z(D)(1.53)

Asociaciones de impedancias operacionales.

Al igual que en el caso de resistencias se pueden asociar en serie y en paralelo.

En el caso de la asociación serie, si tenemos n impedancias operacionales, se obtiene una impedancia equivalente(Zeq(D)) de valor:

Zeq(D) =

n∑i=1

Zi(D) (1.54)

Si tenemos una asociación en paralelo de n impedancias operacionales, se obtiene una impedancia operacionalequivalente (Zeq(D)) de valor:

1

Zeq(D)=

n∑i=1

1

Zi(D)= Y eq(D) =

n∑i=1

Yi(D) (1.55)

1.3.7.5. Fuente real de tensión y fuente real de corriente.

Una fuente de tensión real (gura 1.27 izquierda), es una fuente de tensión ideal eg en serie con una impedanciaoperacional Z.6 La tensión que existe en bornes de la fuente real de tensión depende de la corriente que circulapor ella, es decir, que depende de los elementos que se conectan en el exterior de la fuente real.

6impedancia operacional Z: combinación de elementos pasivos


Figura 1.27: fuentes real de tensión - fuente real de corriente

Una fuente de corriente real (gura 1.27 derecha), es una fuente de corriente ideal ig en paralelo con unaimpedancia operacional Z. La corriente suministrada por una fuente real de corriente depende de la tensión quetengamos en los extremos de la fuente real, forma que dependerá de los elementos que se conectan en el exteriorde la fuente real.

Figura 1.28: fuentes real de tensión - fuente real de corriente

Si consideramos la corriente suministra por la fuente real, se verica para la fuente de tensión real, la tensiónen bornes es:

uAB(t) = eg − Zi(t) (1.56)

y para la fuente de corriente real, la corriente suministrada es:

i(t) = ig −uAB(t)

Z(1.57)

Equivalencia entre una fuente real de tensión y una fuente real de corriente:

La transformación o equivalencia entre estas dos fuentes es el proceso de reemplazar una fuente de tensión egen serie con una impedancia Z, por una fuente de corriente ig en paralelo con una impedancia del mismo valor(Z), o viceversa.

Para este n, teniendo en cuenta las ecuaciones 1.56 y 1.57, se debe cumplir que la impedancia operacional debetener el mismo valor en las dos fuentes reales y eg e ig están relacionadas por:

eg = Zig ig =egZ

(1.58)

Capítulo 2

CIRCUITOS EN RÉGIMENPERMANENTE SENOIDAL

2.1. Análisis de circuitos en régimen permanente senoidal.

Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. Las señales senoidales se encuentranen la naturaleza, son fáciles de generar y transmitir. Es la forma de tensión que se genera en todo el mundo ysuministradas a casas, fábricas,... A través del análisis de Fourier, cualquier señal periódica puede representarsecomo suma de senoides. Además es fácil de manejar matemáticamente.

2.1.1. Conceptos básicos. Representación temporal, compleja y exponencial.

Representación temporal:

u(t) =√

2Usen(wt+ ϕ) (2.1)

donde U es el valor ecaz, w = 2πf es la pulsación, wt+ ϕ es la fase de la onda y, ϕ la fase inicial.

En la práctica de la ingeniería resulta muy útil, trabajar con ϕ en grados y, aunque son inaceptables dimen-sionalmente, serán válidas para nosotros.

Obsérvese que cada onda tendrá una fase, y se denomina diferencia de fase o desfase entre dos ondas sinusoidalesde igual frecuencia, a la diferencia entre sus fases respectivas. Si tenemos dos ondas de tensión como las siguientes:

u1(t) =√

2U1sen(wt+ ϕ1) u2(t) =√

2U2sen(wt+ ϕ2) (2.2)

El desfase será:

ϕ = ϕ1 − ϕ2 (2.3)

Si 0 < ϕ < 180º se dice que la onda u1 adelanta ϕ a la onda u2. Si −180º < ϕ < 0 se dice que la onda u1 retrasaϕ a la onda u2. Si ϕ = 0 las dos ondas están en fase y si ϕ = 180 ques están en oposición.

Representación compleja:

La expresión de un número complejo (forma rectangular y exponencial) será:

z = x+ jy = rejϕ = rcos(ϕ) + jrsen(ϕ) = r∠ϕ (2.4)

donde r =√x2 + y2 ϕ = arctan yx

De acuerdo con las expresiones anteriores tendremos que una función senoidal se puede expresar en función deun número complejo variable en el tiempo:

u(t) = Im[√

2Ucos(wt+ ϕ) + j√

2Usen(wt+ ϕ)] = Im[√

2Uejϕejwt] (2.5)

20

CAPÍTULO 2. CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL 21

Este número complejo se denomina fasor. Un fasor es un número complejo que representa en amplitud y faseuna senoide. Representa un medio simple para analizar los circuitos lineales.

Si se suprime√

2 y ejwt(factor de tiempo), cuyo módulo es la unidad y que indica el moviemiento del fasor, setendrá, la denominada representación compleja:

U = Uejϕ = Ucos(ϕ) + jUsen(ϕ)

La representación compleja indica el valor ecaz de la onda senoidal y el valor de la fase inicial.

Representación dominio temporal Representación dominio complejo

u1(t) =√

2Usen(wt+ ϕ) U1 = Uejϕ

u2(t) =√

2Ucos(wt+ ϕ) U2 = Uej(ϕ+π/2) = jUejϕ

Cuadro 2.1: Funciones seno y coseno

En el cuadro2.1 se indican las representaciones temporales y complejas de una función senoidal y cosenoidal.

Representación dominio temporal Representación dominio complejodu(t)dt = (

√2Uw)cos(wt+ ϕ) jwUejϕ = jwU∫

u(t)dt =√

2Uw [−sen(wt+ ϕ)] Ujwe

jϕ = Ujw

Cuadro 2.2: Senoide. Derivada e integral

Si realizamos una derivada o integral de una función senoidal u(t) =√

2Usen(wt+ ϕ) tendremos (cuadro 2.2):

Expresiones anteriores permiten comprobar que una derivada con respecto al tiempo de una función senoidalu(t) se corresponde en el dominio complejo con la multiplicación por jw del conmplejo U . A su vez una integralcon respecto al tiempo, corresponde con la multiplicación 1/jw.

Se debe recordar que u(t) es instantánea (dominio del tiempo), mientras que U es la representación complejade una función senoidal. Por lo tanto u(t) depende del tiempo y U no.

2.1.2. Respuesta senoidal de los elementos ideales pasivos.

La respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio complejo de los tres elementos pasivos simples, resistencia,inductancia y condensador se resumen en el cuadro 2.3:

i(t) =√

2Isen(wt+ ϕ) Dominio del tiempo Dominio complejo

Resistencia u(t) = Ri(t) =√

2RIsen(wt+ ϕ) U = RI = RIejϕ

Inductancia u(t) = Ldi(t)dt =√

2wLIcos(wt+ ϕ) U = jwLI = jwLIejϕ

Condensador u(t) = 1C

∫i(t)dt =

√2 −IwC sen(wt+ ϕ) U = 1

jwC I = 1jwC Ie

jϕ

Cuadro 2.3: Elementos pasivos simples. Dominio complejo

Figura 2.1: Elementos pasivos. Representación compleja


Figura 2.2: Elementos pasivos. Diagramas fasoriales

En la gura 2.1 se indica el circuito equivalente correspondiente a los tres elementos pasivos simples. Se vericaque:

Resistencia U = RI

Inductancia U = jwLI (2.6)

Condensador U =1

jwCI

donde R, jwL, 1/(jwC) son las impedancias complejas que ofrecen al paso de la corriente compleja.

En la gura 2.2 se representa el diagrama fasorial de tensión y corriente de cada uno de los elementos.

2.1.3. Impedancias y admitancias.

Figura 2.3: Impedancia compleja

Al observar la ecuación 2.6, indican que la tensión compleja puede expresarse como el producto de una expresióncompleja, por la corriente compleja. Esta expresión se denomina impedancia compleja Z(jw), y representa larelación que existe entre la tensión y la corriente (gura 2.3):

Z =U

I(2.7)

La inversa de la impendancia compleja se denomina admitancia compleja:

Y =1

Z(2.8)

Impedancias y admitancias de elementos pasivosElemento Impedancia Admitancia

Resistencia Z = R Y = 1/RInductancia Z = jwL Y = 1/(jwL)Condensador Z = 1/(jwC) Y = jwC

Cuadro 2.4: Impedancia complejas elementos simples

En los circuitos pueden existir impedancias complejas que estén en serie y otras que estén en paralelo. Las reglaspara su asociación son semejantes a las de las impedancias operacionales, como se analizó en el tema 4.


n impedancias en serie: la impedancia equivalente Zeq, tiene por valor:

Zeq =

n∑i=1

Zi (2.9)

n impedancias en paralelo: la impedancia equivalente Zeq, tiene por valor:

1

Zeq=

n∑i=1

1

Zi= Y eq =

n∑i=1

Y (2.10)

Como la impedancia de un circuito es la razón entre la tensión compleja U y la corriente compleja I, medidaen Ω, resulta:

Z =U

I= R+ jX =

√R2 +X2ejarctan(X/R) (2.11)

A la parte real de la impedancia se la denomina resistencia R=ReZ y a la parte imaginaria se la denominareactancia X=ImZ.

El módulo de la impedancia compleja indica la relación de módulo entre la tensión y la corriente. El ángulo dela impedancia compleja, nos indica el desfase existente entre la tensión compleja y la corriente compleja.

Si la reactancia X es positiva la impedancia es de tipo inductivo y la corriente compleja esta retrasada respectoa la tensión compleja. En cambio si X es negativa, la impedancia es de tipo capacitivo y la corriente estaadelantada respecto a la tensión.

Figura 2.4: Diagrama fasorial impedancia inductancia e impedancia capacitiva

En la gura 2.4 se representa un circuito equivalente y su diagrama fasorial de una impedancia de tipo inductivoy otra de tipo capacitivo.

2.1.4. Análisis de circuitos en forma compleja. Las leyes de Kirchho en el dominiocomplejo.

El análisis de circuitos alimentados o excitados por fuentes de tipo senoidal, en vez de hacerse en el dominodel tiempo, calculando las soluciones particulares de los ecuaciones integro-diferenciales, puede realizarse en eldominio complejo. La idea consiste en sustituir la red en el dominio del tiempo por una red compleja y aplicaren esta última, las leyes de Kirchho. Los elementos pasivos simples, resistencia, inductancia y condensador serepresentan mediante sus circuitos equivalentes gura 2.1. Si existe una fuente ideal de tensión, su representaciónequivalente es la misma, pero la f.e.m. se expresará en forma compleja. Para una fuente ideal de corriente, serepresentará en función de la corriente compleja suministrada.

Al aplicar las leyes de Kirchho, tendremos que

1. En un nudo, la suma de las corrientes complejas entrantes es igual a cero∑I = 0.

2. En un lazo, la suma de las f.e.m. complejas es igual a la suma de las tensiones complejas en las impedanciascomplejas de los elementos simples

∑Eg =

∑U .


2.2. Tema 6. Potencia y energía en régimen permanente senoidal.

2.2.1. Introducción. Conceptos básicos.

Figura 2.5: Dipolo

Si consideramos un dipolo (gura 2.5), tendremos que la potencia instantánea absorbida es:

p(t) = u(t)i(t) (2.12)

La energía absorbida desde el instante t=0 es:

w(t) =

∫ t

0

p(t)dt (2.13)

2.2.2. Relaciones de potencia y energía en los dipolos.

Si el dipolo (gura 2.5) está sometido a una tensión senoidal u(t) =√

2Usen(wt), y por él circula una corrientesenoidal i(t) =

√2Isen(wt − ϕ), donde se ha tomado la tensión como origen de fases, la potencia instantánea

absorbida (utilizando el convenio receptor de potencia) es:

p(t) = u(t)i(t) = UIcos(ϕ)− UIcos(2wt− ϕ)) (2.14)

Esta función es periódica, de periodo T/2 (siendo T el de la tensión) puesto que la frecuencia es el doble de lade tensión o corriente. En la forma de onda se observa que existen instantes de tiempo donde p(t) es positiva(absorbe potencia) y otros en que p(t) es negativa (suministra potencia).

Se denomina potencia media o potencia activa al valor medio de la potencia instantánea:

P = UIcos(ϕ) (2.15)

Si el dipolo de la gura 2.5 es receptor, la potencia absorbida tendrá un valor medio no nulo mayor que cero, deforma que la potencia instantánea será la suma de una potencia media más un término de potencia uctuante:

P = UIcosϕ

Pfluc = −UIcos(2wt− ϕ) = −UIcos(ϕ)cos(2wt) + UIsen(ϕ)sen(2wt) (2.16)

El término UIcosϕ = P , se denomina potencia activa, que es la potencia media. Por analogía al términoUIsenϕ = Q se le denomina potencia reactiva.

De acuerdo con estas expresiones, tendremos que la potencia instantánea es:

p(t) = P (1− cos(2wt) +Qsen(2wt) (2.17)

El primer término tiene un valor medio igual a P y su amplitud oscila entre 0 y 2P con una pulsación 2w. Elsegundo término, tiene un valor medio nulo y su amplitud oscila entre -Q y +Q con una pulsación 2w, y sedenomina potencia reactiva instantánea y su amplitud Q es la potencia reactiva.

Resistencia:

En el caso de una resistencia tendremos que la potencia media tiene por expresión

Presistencia = UIcos(0º) = UI = RI2 =U2

R(2.18)


La energía absorbida tiene por expresión

w(t) =

∫ t

0

p(t)dt =

∫ t

0

[UI − UIcos(2wt)]dt = UIt− UI

2sen(2wt)

donde se verica que si el tiempo transcurrido t es mucho mayor que el periodo de la función tensión T = (2π)/w,la energía absorbida es aproximadamente la potencia activa por el tiempo transcurrido

w(t) ' RI2t

La potencia reactiva es nula Qresistencia = UIsen(90º) = 0.

Inductancia o condensador.

En el caso de una reactancia pura (inductancia o condensador) la potencia media es nula:

Pinductancia = UIcos(90º) = 0 Pcondensador = UIcos(−90º) = 0.

La energía absorbida en el caso de ser un condensador tiene por expresión

w(t) =1

2Cu2(t) =

1

2C2U2sen2(wt+ ϕu) = CU2sen2(wt+ ϕu)

La energía absorbida en el caso de ser una inductancia tiene por expresión

w(t) =1

2Li2(t) =

1

2L2I2sen2(wt+ ϕi) = LI2sen2(wt+ ϕi)

La potencia reactiva será:

Qinductancia = UIsen(90º) = (wLI)I = wLI2 (2.19)

Qcondensador = UIsen(−90º) = (1

wCI)I =

1

wCI2 (2.20)

Dipolos en general.

En el caso general, si consideramos un dipolo y utilizando el convenio receptor de referencia, al aplicar lasfórmulas anteriores, la potencia activa P absorbida es positiva se dice que es un dipolo receptor (o carga). Encambio si resulta negativa se dice que es un dipolo generador. En el caso de ser un dipolo generador, seríaconveniente utilizar el convenio suministrador para el dipolo.

2.2.3. Potencia compleja.

La potencia compleja es importante en el análisis de potencia porque contiene toda la información pertinentede la potencia absorbida o suministrada por un elemento.

Si consideramos un dipolo (gura 2.5) que utilizando el convenio receptor de referencia, soporta una tensiónU = Uejϕu y asbsorbe una corriente I = Iejϕi , se dene la potencia compleja absorbida por el dipolo como:

tendremos que la potencia activa absorbida tiene por expresión:

S = U I∗ = UIej(ϕu−ϕi) = UIejϕ (2.21)

donde I∗ expresa el conjugado de la corriente compleja I.

Desarrollando la ecuación 2.21, tendremos:

S = UIcos(ϕ) + jUIsen(ϕ) = P + jQ (2.22)

Es decir la parte real de la potencia compleja es la potencia activa, mientras que la parte imaginaria es lapotencia reactiva.

En resumen el término S = U I∗se denomina potencia compleja, de forma que:


El módulo de S es la denomina potencia aparente S = UI. Se mide en VA.

El coseno del ángulo de S se denomina factor de potencia cos(arg(S)) = cos(ϕu − ϕi).

La parte real de S es la potencia activa Re[S] = UIcos(ϕu − ϕi) = P . Se mide en W.

La parte imaginaria de S es la potencia reactiva Im[S] = UIsen(ϕu − ϕi) = Q. Se mide en VAr.

Los fórmulas anteriores son válidas también considerando el convenio de referencia suministrador, y se calcularánentonces la potencia compleja, activa y reactiva suministradas, en vez de absorbidas.

Las fórmulas anteriores son expresiones generales para un dipolo cualquiera. En el caso particular de que lacarga sea una impedancia Z = R+ jX, tendremos que:

1. Potencia activa: P = UIcos(ϕu − ϕi) = RI2

2. Potencia reactiva: Q = UIsen(ϕu − ϕi) = XI2

2.2.4. Teorema de Boucherot.

El principio de conservación de la energía se aplica a los circuitos en régimen permanente senoidal. Se cumpleque:

∑Ssum =

∑Sabs

∑Psum =

∑Pabs∑

Qsum =∑Qabs

Las potencias complejas suministradas (convenio activo de potencia) es igual a las potencias complejas ab-sorbidas (convenio pasivo de potencia).

2.2.5. Potencia aparente y factor de potencia.

La potencia aparente es el producto de los valores ecaces de la tensión y de la corriente

S = UI

El término cos(ϕu − ϕi) se denomina factor de potencia (f.d.p.) y es el coseno de la diferencia de fase entre latensión y la corriente. También es el coseno del ángulo de la impedancia de carga:

Z =U

I=U

Iej(ϕu−ϕi)

Si consideramos el convenio de referencia receptor, y el dipolo es verdaderamente receptor (Pabsorbida ≥ O), sedenen los siguientes términos:

El factor de potencia (f.d.p.) se dice que es inductivo cuando la tensión está en adelanto de fase respectoa la corriente (este es el caso de una impedancia inductiva).

En cambio se dice que el factor de potencia (f.d.p.) es capacitivo cuando la corriente está en adelanto defase respecto de la tensión (este es el caso de una impedancia capacitiva).

Si el dipolo fuese un generador, las deniciones son iguales, pero utilizando el convenio de referencia generador.

2.2.5.1. Corrección del factor de potencia.

La mayor parte de las cargas tanto domésticas como industriales son inductivas y operan con un factor depotencia bajo y atrasado. Aunque la naturaleza de la carga no puede cambiarse, es posible aumentar su factorde potencia. Las compañías eléctricas tienen a su cargo la explotación de las centrales que necesitan transportargrandes cantidades de energía de un punto a otro. La ecacia de este transporte es una acción directa sobre elcoste de la energía, que tendrá que pagar el cliente. La potencia activa representa la potencia que realmenteconsume el cliente, en cambio la potencia reactiva representa una oscilación de energía entre el generador y elreceptor, siendo su función en suministrar energía a los campos magnéticos y eléctricos. Para una cierta potencia


Figura 2.6: F.d.p. de una instalación

aparente del generador, la potencia activa que suministra depende del f.d.p. de la carga del cliente, pero ademásesta carga requiere de una potencia reactiva para su funcionamiento, lo cual precisa para su funcionamientode una mayor corriente en la red, lo que provoca pérdidas en las líneas (RlineaI2), signicando una pérdida derendimiento en la instalación.

Si consideramos el circuito de la gura 2.6, con R = 0, 2 Ω y tensión de alimentación de la carga U=220 V.

Si consideramos que la carga Z consume una potencia activa de 11.000 W con un f.d.p.=1, tendremos lossiguientes valores:

Corriente: I = PUcos(ϕ) = 1100

200(1) = 50 A

Potencia reactiva carga: Q = UIsen(ϕ) = 0 V Ar

Pérdida línea: Plinea = RI2 = 0, 2(50)2 = 500W

Potencia Activa suministrada generador: Pgenerador = P + Plinea = 11000 + 500 = 11,500W

Tensión (f.e.m.) generador: E = U +RI = 220∠0 + 0, 2(50∠0) = 230∠0 V

Potencia aparente generador: Sgenerador = EI = 230(50) = 11,500 V A

Si consideramos que la carga Z consume una potencia activa de 11.000 W con un f.d.p.=0,5 inductivo, tendremoslos siguientes valores:

Ángulo carga: ϕ = arcos(0, 5) = 60º

Corriente: I = PUcos(ϕ) = 1100

200(0,5) = 100 A

Potencia reactiva carga: Q = UIsen(ϕ) = 19,052 V Ar

Pérdida línea: Plinea = RI2 = 0, 2(100)2 = 2,000W

Potencia Activa suministrada generador: Pgenerador = P + Plinea = 11,000 + 2,000 = 13,000W

Tensión (f.e.m.) generador: E = U +RI = 220∠0 + 0, 2(50∠− 60º) = 230, 65∠− 4, 3º V

Potencia aparente generador: Sgenerador = EI = 230, 65(100) = 23,065 V A

Se observa que cuanto mayor sea el f.d.p. de la carga (menor desfase entre la tensión y la corriente) se tiene:

Menor corriente por la línea y pérdidas.

Potencia reactiva menor.

Menores tensiones en la generación.

Menor potencia aparente en el generador.

Las compañías estimulan a trabajar con f.d.p. elevados, y para disuadirlos aplicar tarifas incrementadas paraclientes con f.d.p. bajos.

Para evitar el pago de cantidades suplementarias en la factura eléctrica es conveniente trabajar con f.d.p.elevados. La mayor parte de la industria utiliza cargas con f.d.p. inductivos. Interesa que la red eléctrica vea lainstalación con un f.d.p. más elevado, para lo cual se deben utilizar receptores que consumen potencia reactivade diferente signos a las cargas que tenemos. Si la carga es inductiva, se utilizarán condensadores.

El proceso de aumentar el factor de potencia, sin alterar la tensión o la corriente para la carga original, se conocecomo corrección del factor de potencia.


Tendremos un conjunto formado por la carga original y por una batería de condensadores conectados en paralelo(gura 2.7).

Figura 2.7: Compensación del factor de potencia

El objetivo es que la carga total tenga un f.d.p. (cosϕ2) mayor que el f.d.p. de la carga original cos(ϕ1). AplicandoBoucherot tendremos:

Carga original: P1 = S1cos(ϕ1)Q1 = S1sen(ϕ1) = P1tan(ϕ1)

Carga total (carga+condensador): P2 = P1 = S2cos(ϕ2)Q2 = S2sen(ϕ2) = P2tan(ϕ2) = P1tan(ϕ2)

Potencia reactiva absorbida por el condensador en paralelo:

Qc = Q2 −Q1 = P1tan(ϕ2)− P1tan(ϕ1) = − |Xc| I2C = − U2

|Xc|= −wCU2

Por lo tanto

C =P1tan(ϕ1)− P1tan(ϕ2)

wU2

Se observa que la corriente total I2 es menor que la corriente absorbida por la carga original I1

S2 =P2

cos(ϕ2)=

P1

cos(ϕ2)= UI2

S1 =P1

cos(ϕ1)= UI1 > UI2

Capítulo 3

Análisis de los circuitos eléctricos.

3.1. Análisis de circuitos.

3.1.1. Características topológicas de un circuito.

La topología es muy útil para estudiar los circuitos eléctricos. La topología trata de las propiedades de lasredes y de su análisis. Una de las aplicaciones más importantes en este análisis es poder seleccionar el númerocorrecto y más apropiado de tensiones o corrientes incógnitas para la resolución de un circuito eléctrico. Se vana enumerar una serie de deniciones útiles, como son: nudo, grafo reticular, árbol de un circuito, eslabones, lazobásico.

Grafo reticular: es un dibujo simplicado en el que cada rama se representa por un segmento. Si también seindica con una echa el sentido de la corriente para cada segmento del grafo, se dice que es un grafo orientado.

Si tenemos por ejemplo el circuito de la gura 3.1, los nudos son: A, B, C y D.

Figura 3.1: Circuito

El grafor reticular correspondiente es (gura 3.2):

29

CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS. 30

Figura 3.2: Grafo reticular

Árbol: es la parte del grafo formado por ramas que contengan todos los nudos, sin que formen lazo.

En el grafo de la gura 3.2, árboles pueden ser los siguientes (gura 3.3):

Figura 3.3: Árboles

Eslabones: son las ramas del grafo no incluidas en el árbol.

En los árboles de la gura 3.3 los eslabones serían:

para el circuito de la izquierda, las ramas siguientes son los eslabones: (AC (i3), AD (i1), CD (i6).

para el circuito de la derecha, las ramas siguientes son los eslabones (AB (i2), AD (i1), CD (i6).

Lazos básicos: un lazo básico es un lazo que contiene solo un eslabón.

En los árboles de la gura 3.3 los lazos básicos serían los indicados en la gura 3.4:


Figura 3.4: Lazos básicos

Una vez elegidos estos lazos básicos, se puede asignar a estos lazos básicos una corriente desconocida. En lagura 3.4, serían las corrientes ia, ib ic. Las intensidades de cada rama quedan fácilmente identicadas, enfunción de las corrientes de lazo básico. Así para el circuito de la izquierda tendremos:

i1 = ib; i2 = −ia + ib; i3 = ia; i4 = −ia − ib; i5 = ib + ic; i6 = ic (3.1)

El número de lazos básicos que tiene una red es igual a ramas− nudos+ 1.

3.1.2. Análisis mediante lazos básicos de un circuito eléctrico.

Los pasos para realizar un análisis por lazos básicos de un circuito son los siguientes:

1. Elegir un árbol.

2. Formar los lazos básicos (el sentido de la trayectoria es arbitrario).

3. Asignar corrientes de lazo ia, ib, .., in a cada uno de los n lazos básicos.

4. Aplicar la ley de tensiones de Kirchho a cada uno de los n lazos básicos∑e =

∑u.

5. Resolver las n ecuaciones resultantes para obtener las n corrientes de lazo básico.

6. Obtener las tensiones y corrientes en cada rama (o elemento) a partir de las corrientes de lazo.

Caso particular: una rama que contiene una fuente de corriente.

En este caso se debe suponer la existencia de una tensión en bornes de la fuente de corriente. Si hay n lazosbásicos y una fuente de corriente, tendremos n+1 ecuaciones, por lo que, se debe plantear otra ecuación más,la cual es expresar la corriente suministrada por la fuente en función de las corrientes de los lazos básicos.

3.1.3. Análisis mediante nudos de un circuito eléctrico.

El método de los nudos consiste en aplicar explícitamente la primera ley de Kirchho a los nudos independientesde un circuito (todos menos uno). Antes de aplicar el método de los nudos, se debe intentar siempre que seaposible sustituir las fuentes reales de tensión por fuentes reales de corriente.


Figura 3.5: Circuito

Sea por ejemplo el circuito de la gura 3.5, los nudos serán A, B, C y D.

Se elige un nudo cualquiera (elección libre), por ejemplo, el nudo D como nudo de referencia. Una vez elegidotendremos que existirán unas diferencias de potencial, entre los restantes nudos A, B y C y el de referencia:UAD, UBD. UCD.Estas tensiones se denominan tensiones de nudo.

Las corrientes que circulan por las ramas que están compuestas de impedancias, se podrán expresar en funciónde estas tensiones de nudo, como se indica a continuación:

i2 = UABRramaAB

= UAD−UBDRramaAB

; i3 = UACRramaAC

= UAD−UCDRramaAC

; i4 = UBCLD = UBD−UCD

LD ; i5 = UBDR+(1/CD)

Los pasos para realizar un análisis por nudos de un circuito son los siguientes:

1. Elegir un nudo de referencia.

2. Asignar las tensiones de nudo, a cada uno de los n nudos restantes (en el circuito hay n+1 nudos).

3. Aplicar la ley de corrientes de Kirchho a cada uno de los n nudos (no se aplica en el nudo de referencia):∑ig entrantes =

∑iramas impedancias salientes (la suma de la corrientes de las fuentes de corrientes entrantes

en el nudo es igual a la suma de las corrientes salientes que circulan por las ramas de impedancias).

4. Resolver las n ecuaciones resultantes para obtener las n tensiones de nudo.

5. Obtener las tensiones y corrientes en cada rama (o elemento) a partir de las tensiones de nudo.

Caso particular: una rama que contiene una fuente de tensión ideal solamente y no puede sustituirse por unafuente de corriente.

En este caso se debe suponer la existencia de una corriente suministrada por la fuente de tensión. Si hay n nudos(aparte el nudo de referencia) y una fuente de tensión, tendremos n+1 ecuaciones, por lo que, se debe plantearotra ecuación más, la cual es expresar la tensión en bornes de la fuente de tensión en función de las tensionesde nudo.

3.2. Análisis de circuitos mediante teoremas.

3.2.1. Teorema de superposición.

Este teorema se aplica a redes lineales, y tiene por objeto calcular la respuesta (corrientes y tensiones) de uncircuito, cuando existen varias fuentes independientes y dice lo siguiente:

La respuesta de un circuito lineal (corriente o tensión) sometido a varias fuentes de excitación actuandosimultáneamente, es la suma algebraica de las respuestas (corrientes o tensiones) que se obtendrían cuandoactuase cada una de ellas por separado.

Para que deje de actuar una fuente independiente se debe hacer lo siguiente:


Una fuente ideal de tensión, debe anularse la tensión que suministra (eg = 0),es decir, se debe cortocir-cuitar.

Una fuente ideal de corriente, debe anularse la corriente que suministra (ig = 0),es decir, se debe dejar encircuito abierto.

Las fuentes dependientes quedan intactas porque son controladas por variables del circuito.

Se aplica el teorema de superposición en tres pasos:

1. Apague (dejar de actuar) todas las fuentes independientes menos una. Encuentre la corriente (o tensión)debido a esa fuente activa, utilizando el método de lazos básicos o nudos, en general.

2. Repita el paso 1 para cada una de las otras fuentes independientes.

3. Encuentre la contribución total, sumando algebraicamente todas las contribuciones (corrientes o tensiones)de las fuentes independientes, en función del tiempo.

Cuando una red es alimentada por fuentes de diferentes frecuencias, el teorema de superposición, constituye elúnico procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito.

3.2.2. Teoremas de Thévenin y Norton.

Al estudiar un circuito, su estudio puede jarse solamente en una parte del mismo, por ejemplo, una rama. Esinteresante entonces separar esta parte del resto del circuito, para no tener que resolver el circuito completo cadavez que se modican los parámetros de esta parte separada. Los teoremas de Thévenin y Norton constituyendos procedimientos para sustituir el resto del circuito y hacer más simple el cálculo de las tensiones y corrientes,en la parte que se desea del estudio.

Estos teoremas permiten reemplazar una parte de un circuito por un circuito equivalente más sencillo.

El teorema de Thevenin (gura 3.6) establece que un circuito lineal de dos terminales puede reemplazarse(desde el punto de vista de sus terminales externos) por un circuito consistente en una fuente de tensióneTH , en serie con una impedancia ZTH , donde la tensión eTH es la tensión que existe (en los terminales)en circuito abierto del circuito a reemplazar y ZTH es la impedancia equivalente en los terminales, cuandodejan de actuar las fuentes independientes.

El teorema de Norton (gura 3.7) establece que un circuito lineal de dos terminales puede reemplazarse(desde el punto de vista de sus terminales externos) por un circuito consistente en una fuente de corrienteiN , en paralelo con una impedancia ZN , donde la corriente iN es la corriente que circula cuando losterminales del circuito a reemplazar se ponen en cortocircuito y ZN es la impedancia equivalente en losterminales, cuando dejan de actuar las fuentes independientes.

Figura 3.6: Thévenin

Figura 3.7: Norton


Debido a la equivalencia entre fuente reales de tensión y corriente, y a que los dos circuitos de Thévenin yNorton tienen que ser equivalentes entre sí, se verica que la impedancia de Thevenin y Norton es la mismaZTH = ZN . Por lo tanto, la corriente de cortocircuito que se obtiene al juntar sus terminales (corriente deNorton) y la tensión en vacío en sus bornes (tensión de Thévenin) están relacionadas con la impedancia deThévenin (o Norton):

eTH = ZTHIN (3.2)

Para calcular la impedancia equivalente se puede realizar utilizando la ecuación anterior (ecuación 3.2):

ZTH =eTHIN

=Tension vacio

Corriente corto(3.3)

En el caso de que las fuentes fuesen todas independientes, esta impedancia representa el valor de impedanciaque se observa entre los terminales A y B cuando se anulan todas las fuentes (cortocircuitan las fuentes idealesde tensión y se dejan en circuito abierto las fuentes ideales de corriente).

3.2.3. Teorema de Kennelly (o transformación estrella-triángulo).

Muchas impedancias no están colocadas en los circuitos ni en serie ni en paralelo con otras. Existen disposicionesdenominadas estrellas o triángulos, en donde las redes tienen 3 terminales (gura 3.8).

Figura 3.8: Triángulo y estrella

La conexión estrella está formada por tres impedancias ZA, ZBZC que parte de los tres terminales A, B y C y quese unen en un punto en común O. La conexión triángulo se compone de tres impedancias ZAB , ZBC ZCAunidasa los tres terminales, dando la apariencia de un triángulo.

Se deben establecer unas fórmulas que permitan establecer las dos redes como equivalentes, es decir, que desdeel punto de vista externo, desde los nudos A, B y C, se deben consumir las mismas corrientes ia, ib, ic cuandose aplican las mismas tensiones a los nudos uAB , uBC , uCA.

Conversión triángulo-estrella: Supongamos que tenemos tres impedancias colocadas en triángulo (ZAB , ZBC , ZCA).La disposición en estrella equivalente (ZA, ZB , ZC) es:

Teorema de superposición.

Este teorema se aplica a redes lineales, y tiene por objeto calcular la respuesta (corrientes y tensiones) de uncircuito, cuando existen varias fuentes independientes y dice lo siguiente:

La respuesta de un circuito lineal (corriente o tensión) sometido a varias fuentes de excitación actuandosimultáneamente, es la suma algebraica de las respuestas (corrientes o tensiones) que se obtendrían cuandoactuase cada una de ellas por separado.

Para que deje de actuar una fuente independiente se debe hacer lo siguiente:

Una fuente ideal de tensión, debe anularse la tensión que suministra (eg = 0),es decir, se debe cortocir-cuitar.


Una fuente ideal de corriente, debe anularse la corriente que suministra (ig = 0),es decir, se debe dejar encircuito abierto.

Las fuentes dependientes quedan intactas porque son controladas por variables del circuito.

Se aplica el teorema de superposición en tres pasos:

1. Apague (dejar de actuar) todas las fuentes independientes menos una. Encuentre la corriente (o tensión)debido a esa fuente activa, utilizando el método de lazos básicos o nudos, en general.

2. Repita el paso 1 para cada una de las otras fuentes independientes.

3. Encuentre la contribución total, sumando algebraicamente todas las contribuciones (corrientes o tensiones)de las fuentes independientes, en función del tiempo.

Cuando una red es alimentada por fuentes de diferentes frecuencias, el teorema de superposición, constituye elúnico procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito.

ZA =ZABZCA

ZAB + ZBC + ZCAZB =

ZABZBCZAB + ZBC + ZCA

ZC =ZBCZCA

ZAB + ZBC + ZCA(3.4)

Cada impedancia de la red Y es el producto de las impedancias en las ramas 4 adyacentes, dividido por lasuma de las tres impedancias en 4.

Conversión estrella-triángulo: Supongamos que tenemos tres impedancias colocadas en estrella (Za, Zb, Zc). Ladisposición en triángulo equivalente (Zab, Zbc, Zca) es:

ZAB =ZAZB + ZBZC + ZCZA

ZCZBC =

ZAZB + ZBZC + ZCZAZA

ZCA =ZAZB + ZBZC + ZCZA

ZB(3.5)

3.3. Respuesta en frecuencia.

3.3.1. Introducción.

La respuesta en frecuencia de un circuito es la variación de su comportamiento al cambiar la frecuencia de laseñal. Una determinada corriente o tensión puede ser la respuesta.

Estas respuestas de los circuitos en estado permanente senoidal son de importancia en muchas aplicaciones, enespecial en los sistemas de comunicación y control. Una aplicación son los ltros eléctricos, que bloquean oeliminan señales con frecuencias indeseables y dejar pasar señales con las frecuencias deseadas. Los ltros seutilizan en sistemas de radio, TV, telefónicos, sistemas de potencia,...

La función de transferencia H(w) de un circuito es la razón dependiente de la frecuencia de una salida fasorialY (w) (una tensión o una corriente de elemento) y una entrada fasorial X(w) (tensión o corriente de la fuente).

H(w) =Y (w)

X(w)= H(w)∠φ (3.6)

Para obtener la función de transferencia, obtenemos primero el equivalente en el dominio de la frecuencia delcircuito sustituyendo las resistencias, inductancias y condensadores por sus impedancias R, jwL, 1

jwC .

Obtenemos la respuesta en frecuencia del circuito representando el módulo H(w) y la fase φ conforme varía lapulsación (w = 2πf).

3.3.2. Resonancia serie.

Figure 3.9: Circuito resonante serie


Si consideramos un circuito RLC serie (gura 3.9), la impedancia de entrada (impedancia de thevenin) en eldominio de la frecuencia es

Z(w) =U

I= R+ jwL+

1

jwC= R+ j(wL− 1

wC) (3.7)

La resonancia es una condición en un circuito RLC en el cual las reactancias inductiva y capacitiva son de igualmagnitud, por lo cual dan lugar a una impedancia puramente resistiva.

Por lo tanto haciendo que la parte imaginaria de la impedancia de entrada sea nula (ecuación 3.7), tendremosque:

Im(Z(w)) = wL− 1

wC= 0 (3.8)

El valor de w que satisface esta condición recibe el nombre de pulsación de resonancia, de forma que

w0 =1√LC

f0 =1

2π√LC

(3.9)

Nótese que en resonancia:

1. La impedancia es puramente resistiva, por lo que Z = R. En otras palabras, la combinación LC actúacomo un cortocircuito, y toda la tensión de la entrada cae en la resistencia UR = U .

2. La tensión en la entrada y la corriente se encuentran en fase, de modo que el factor de potencia es unitario.

3. La corriente absorbida es máxima en la condición de resonancia.

4. La tensión que soportan la inductancia y el condensador (que tienen un desfase de 180º) pueden ser muchomayores que la tensión de la fuente, en la condición de resonancia.

ULwo = jwoLU

R= jQoU = −UCwo (3.10)

A Qose le denomina factor de sobretensión o factor de calida.

Figure 3.10: Respuesta en frecuencia circuito serie

La respuesta en frecuencia (la corriente absorbida por el circuito) es (gura 3.10):

|I| = I =U√

R2 + (wL− 1wC )2

(3.11)

La potencia activa disipada en el circuito tiene por valor:

P = RI2 (3.12)

En condición de resonancia, la corriente es máxima, y la potencia activa disipada es también máxima, por loque:

P (w0) = RI2w0

=U2

R(3.13)


En ciertas condiciones correspondientes a dos pulsaciones w1, w2, la potencia disipada es la mitad del valormáximo; esto es:

P (w1) = P (w2) =RI2

wo

2=U2

2R(3.14)

La potencias absorbidas para w1, y w2 son

P (w1) = P (w2) = RU2

R2 + (wL− 1wC )2

(3.15)

Al igualar las dos ecuaciones anteriores (3.14 y 3.15 ), se tiene que cumplir que:

R = wL− 1

wC(3.16)

Despejando w de la ecuación 3.16, obtenemos:

w1 = − R

2L+

√(R

2L)2 +

1

LC(3.17)

w2 =R

2L+

√(R

2L)2 +

1

LC(3.18)

Es posible relacionar las pulsaciones de potencia mitad con la pulsación resonante

w0 =√w1w2 (3.19)

lo que muestra que la pulsación de resonancia es la media geométrica de las pulsaciones de potencia mitad.Nótese que en general w1 y w2 no son simétricas alrededor de la pulsación de resonancia w0, debido a que larespuesta en frecuencia no es simétrica.

Aunque la altura de la respuesta en frecuencia está determinada por R, el ancho de la misma depende de otrosfactores. El ancho de la curva de respuesta, denominado ancho de banda B, que se dene como la diferenciaentre las dos pulsaciones de potencia mitad

B = w2 − w1 (3.20)

3.3.3. Resonancia paralelo.

Figure 3.11: Circuito resonate paralelo

Si consideramos un circuito RLC paralelo (gura 3.11), la admitancia de entrada (impedancia de norton) en eldominio de la frecuencia es:

Y (w) =I

U=

1

R+ jwC +

1

jwL=

1

R+ j(wC − 1

wL) (3.21)

La resonancia es una condición en un circuito RLC en el cual las reactancias inductiva y capacitiva son de igualmagnitud, por lo cual dan lugar a una admitancia puramente resistiva.

Por lo tanto haciendo que la parte imaginaria de la impedancia de entrada sea nula (ecuación 3.21), tendremosque:


Im(Y (w)) = wC − 1

wL= 0 (3.22)

El valor de w que satisface esta condición recibe el nombre de pulsación de resonancia, de forma que

w0 =1√LC

f0 =1

2π√LC

(3.23)

Nótese que en resonancia:

1. La admitancia es puramente resistiva, por lo que Y = 1/R. En otras palabras, la combinación LC actúacomo un circuito abierto, y toda la corriente de entrada circula por la resistencia (IR = I).

2. La tensión en la entrada y la corriente se encuentran en fase, de modo que el factor de potencia es unitario.

3. La tensión es máxima en la condición de resonancia.

4. La corriente que circulan la inductancia y el condensador (que tienen un desfase de 180º) pueden sermucho mayores que la corriente de la fuente.

ILwo =RI

jwoL= −jQoI = −ICwo (3.24)

A Qose le denomina factor de sobrecorriente.

Figure 3.12: Respuesta en frecuencia circuito paralelo

La respuesta en frecuencia (la tensión soportada por el circuito) es (gura 3.12):

|U | = U =I√

1R2 + (wC − 1

wL )2(3.25)

La potencia activa disipada en el circuito tiene por valor:

P =U2

R(3.26)

En condición de resonancia, la tensión es máxima, y la potencia activa disipada es también máxima, por lo que:

P (w0) =U2w0

R= RI2 (3.27)

En ciertas condiciones correspondientes a dos pulsaciones w1, w2, la potencia disipada es la mitad del valormáximo; esto es:

P (w1) = P (w2) =U2w0

2R=RI2

2(3.28)

La potencias absorbidas para w1, y w2 son

P (w1) = P (w2) =U2

R=

I2

R[ 1R2 + (wC − 1

wL )2](3.29)


Al igualar las dos ecuaciones anteriores (3.28 y 3.29), se tiene que cumplir que:

1/R = wC − 1

wL(3.30)

Despejando w, obtenemos:

w1 = − 1

2RC+

√(

1

2RC)2 +

1

LC(3.31)

w2 =1

2RC+

√(

1

2RC)2 +

1

LC(3.32)

Es posible relacionar las pulsaciones de potencia mitad con la pulsación resonante

w0 =√w1w2 (3.33)

lo que muestra que la pulsación de resonancia es la media geométrica de las pulsaciones de potencia mitad.Nótese que en general w1 y w2 no son simétricas alrededor de la pulsación de resonancia w0, debido a que larespuesta en frecuencia no es simétrica.

Aunque la altura de la respuesta en frecuencia está determinada por R, el ancho de la misma depende de otrosfactores. El ancho de la curva de respuesta denominado ancho de banda B, que se dene como la diferenciaentre las dos pulsaciones de potencia mitad

B = w2 − w1 (3.34)

Capítulo 4

INSTALACIONES TRIFÁSICAS

4.1. Terminología.

4.1.1. Obtención de tensiones trifásicas.

Las tensiones trifásicas se producen normalmente en los alternadores trifásicos. Un alternador está compuestobásicamente por un imán, que se puede mover (se denomina rotor) rodeado de un sistema compuesto de tresarrollamientos o bobinas (denominado estator). Cada arrollamiento tiene dos terminales (gura ).

Figura 4.1: Alternador trifásico

Tendremos los terminales a-a', b-b', c-c', respectivamente por arrollamiento. Conforme el rotor gira a velocidadw, su campo magnético corta el ujo que concatena un arrollamiento e induce fuerza electromotriz en bornesdel arrollamiento. Si el rotor tiene una forma que la inducción electromagnética B tenga forma senoidal a lolargo del entrehierro (es el espacio entre rotor y estator) y la velocidad w es constante, la fuerza electromotrizinducida es senoidal. Como tenemos tres arrollamientos, tendremos que:

ea−a′ =√

2Easen(wt+ ϕa)

eb−b′ =√

2Ebsen(wt+ ϕb) (4.1)

ec−c′ ==√

2Ecsen(wt+ ϕc)

Si se situan los tres arrollamientos separados 120º y el número de espiras y la longitud es la misma para los tresarrollamientos, tendremos que:

ea−a′ =√

2Esen(wt+ ϕ)

eb−b′ =√

2Esen(wt+ ϕ− 120º) (4.2)

ec−c′ ==√

2Esen(wt+ ϕ− 240º)

Si ocurre esto último tendremos lo que se denomina un sistema trifásico de tensiones equilibradas; sino será unsistema trifásico de tensiones desequilibradas.

Un sistema trifásico de tensiones equilibrado está formado por tres tensiones de igual magnitud y desfasadasentre sí 120º.

40

CAPÍTULO 4. INSTALACIONES TRIFÁSICAS 41

4.1.2. Noción de fase y secuencia de fases.

De momento podemos considerar cada arrollamiento de los anteriores como una fuente monofásica por sí sola.

Cuando nos referimos a lo que sucede en una de las fuentes (f.e.m.) hablaremos de una fase. Tendremos la faseA, la fase B y la fase C (f.e.m. ea−a′ , eb−b′ , ec−c′ respectivamente).

Si se representan las tensiones de cada una de las tres fuentes en un diagrama temporal (tensión-tiempo),observamos que:

1. Si en la fase A la tensión alcanza el máximo en primer término, luego la tensión de la fase B y posterior-mente la tensión de la fase C, tendremos la denominada secuencia directa.

2. Si en la fase B la tensión alcanza el máximo en primer término, luego la tensión de la fase A y posterior-mente la tensión de la fase C, tendremos la denominada secuencia inversa.

La secuencia de fases es importante en la distribución de potencia trifásica. Ésta determina la dirección derotación de un motor trifásico conectado a un sistema de tensiones trifásicas.

4.1.3. Conexiones de fuente en estrella y en triángulo.

Las tres f.e.m. se pueden conectar en estrella o en triángulo.

4.1.3.1. Fuente en estrella.

Figura 4.2: Fuente en estrella

Cada una de las fuentes de tensión ea, eb, ec se colocan topológicamente formando una conguración de-nominada estrella (Y) (gura 4.2). Cada fuente está conectada entre una fase (a, b, c) y el centro de estrella(n).

Las tensiones suminstrada por cada fuente de tensión se denominan tensiones de fase.

Cuando las fuentes son equilibradas, se verica que:

ea(t) + eb(t) + ec(t) = 0 o Ea + Eb + Ec = 0 (4.3)

Si calculamos las tensiones entre las fases tendremos que:

Uab = Ea − EbU bc = Eb − Ec (4.4)

U ca = Ec − Ea

Estas tensiones se denominan tensiones de línea.

Si la fuente en estrella es equilibrada y la secuencia es directa tendremos que:

Uab =√

3Ea 1∠30º

U bc =√

3Eb 1∠30º (4.5)

U ca =√

3Ec 1∠30º


Figura 4.3: Tensiones fuente en estrella

Es decir, resulta un sistema de tensiones de línea equilibradas, donde:

Uab, U bc = Uab 1∠− 120º, U ca = Uab 1∠120º (4.6)

Si la fuente en estrella es equilibrada y la secuencia es inversa tendremos que:

En la fuente:

Tensiones de línea: Coinciden con la carga:

Uab U bc = Uab1∠120º U ca = Uab1∠− 120º (4.7)

Tensiones de fase: Son las que suministran las fuentes.

Corriente de fase: Son las que circulan por las tres fuentes y coinciden con la de línea.

Uab =√

3Ea 1∠− 30º

U bc =√

3Eb 1∠− 30º (4.8)

U ca =√

3Ec 1∠− 30º

Es decir, resulta un sistema de tensiones de línea equilibradas, donde:

Uab, U bc = Uab 1∠120º, U ca = Uab 1∠− 120º (4.9)

Cuando las tensiones de fase y de línea son equilibradas, tienen la misma magnitud, de forma que tendremos:

Ea = Eb = Ec = UF Uab = Ubc = Uca = UL (4.10)

Secuencia directa : UL =√

3UF 1ejπ6 (4.11)

Secuencia inversa : UL =√

3UF 1e−jπ6 (4.12)

En una fuente equilibrada conectada en estrella. la tensión de línea es√

3 mayor que la tensión de fase.

Cuando las fuentes se conectan en estrella, tendremos tres fases (a, b y c) y un centro de estrella (n). Comoel centro de estrella es accesible, podremos conectarnos a él, mediante un conductor denominado conductorneutro. Cuando esto ocurre se dice que la fuente trifásica tiene 4 hilos.


Figura 4.4: Fuente en triángulo

4.1.3.2. Fuente en triángulo.

Cada una de las fuentes se conectan formado una disposición denominada triángulo. Cada una de las tres fuentesse encuentra entre dos fases.

Se observa entonces que las tensiones de línea son iguales que las tensiones de las fuentes, puesto que cada fuenteestá conectada entre dos fases.

Uab = Eab

U bc = Ebc (4.13)

U ca = Eca

4.1.4. Cargas en estrella o en triángulo.

Al igual que las conexiones de las fuentes, las cargas se pueden conectar en estrella o en triángulo. Si se conectaen estrella puede ser mediante 3 hilos (sin neutro) o 4 hilos (con neutro). La conexión en triángulo tiene queser a 3 hilos únicamente.

Una carga conectada en estrella o en triángulo se dice que estará desequilibrada si las impedancias que laconforman son distintas (en magnitud, en fase, o las dos cosas a la vez).

Una carga se dice que es equilibrada si las tres impedancias que la forman son iguales (ZY , Z4).

Recordemos que una carga conectada en estrella tiene su equivalente en triángulo (Z4 = 3ZY ) y una carga

conectada en triángulo tiene su equivalente en estrella (ZY =Z43 ).

4.1.4.1. Relaciones entre las corrientes y tensiones en cargas equilibradas en sistemas de secuen-cia directa.

Vamos a analizar que sucede en las conguraciones de cargas cuando la carga es equilibrada.

Se denen los siguientes términos:

1. Tensiones de fase: será cada una de las tensiones suministrada por cada una de las fuentes, o las quesoportan cada una de las impedancias de la carga.

2. Tensiones de línea: será las diferencias de potencial entre las fases, UAB , UBC , UCA.

3. Corriente de fase: será cada de las corrientes que circulan por cada fuente o por cada una de las impedanciasde carga.

4. Corriente de línea: será cada una de las corrientes que circulan por las fases.

Caso 1. Carga en triángulo (secuencia directa).

En la carga:

Suponemos que las tensiones de línea están equilibradas:

Uab, U bc, U ca están equilibradas (4.14)


Figura 4.5: Carga triángulo

Uab U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º están equilibradas (4.15)

Tensiones de fase: Son las que soportan las tres impedancias. Coinciden con las tensiones de línea.

Corriente de fase: Son las que circulan por las tres impedancias.

Iab =UabZ4

Ibc =U bcZ4

Ica =U caZ4

(4.16)

Iab Ibc = Iab 1∠− 120º Ica = Iab 1∠ + 120º están equilibradas (4.17)

Corriente de línea: Son las que circulan por las tres fases.

Ia = Iab − Ica =√

3Iab 1∠− 30º

Ib = Ibc − Iab =√

3Ibc 1∠− 30º (4.18)

Ic = Ica − Ibc =√

3Ica 1∠− 30º

Ia Ib = Ia 1∠− 120º Ic = Ia 1∠ + 120º están equilibradas (4.19)

Se pueden relacionar las corrientes de línea con las corrientes de fase:

Ia = Ib = Ic = IL Iab = Ibc = Ica = IF (4.20)

IL =√

3IF 1e−jπ6 (4.21)

Caso 2. Carga en estrella (secuencia directa).

Existe un centro de estrella (O').

Supongamos que las corrientes fase, que son las que circulan por las tres impedancias, están equilibradas.

Ia Ib = Ia 1∠− 120º Ic = Ia 1∠ + 120º están equilibradas (4.22)

Corriente de línea: Son las que circulan por las tres fases. Coinciden con las corrientes de fase.

Ia =UaO′

ZYIb =

U bO′

ZYIc =

U cO′

ZY(4.23)

Tensiones de fase: Son las que soportan las tres impedancias.

UaO′ = ZY Ia U bO′ = ZY Ib U cO′ = ZY Ic (4.24)


Figura 4.6: Carga estrella

UaO′ , U bO′ , U cO′ están equilibradas (4.25)

Tensiones de línea:

Uab = UaO′ − U bO, U bc = U bO′ − U cO, U ca = U cO′ − UaO′ (4.26)

Uab =√

3UaO′ 1∠30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º están equilibradas (4.27)

Se pueden relacionar las tensiones de línea con las tensiones de fase:

UaO = UbO = UcO = UF Uab = Ubc = Uca = UL (4.28)

UL =√

3UF 1ejπ6 (4.29)

4.2. Circuitos trifásicos equilibrados.

4.2.1. Circuitos trifásicos equilibrados. Cálculo por reducción a un circuito monofási-co.

Existen cuatro topologías según el tipo de conexión de la fuente y la carga: Y-Y, 4−4, Y-4, 4-Y.

Estudiaremos la topología Y-Y como la clave para analizar los circuitos trifásicos equilibrados. Los restantes seanalizarán reduciéndolos a la Y-Y equivalente.

1. Conexión Y-Y equilibrada.

Consideremos un sistema trifásico con una fuente en estrella (fuente real), una carga en estrella y 4 hilos deconexión (con impedancia).

El circuito es equilibrado cuando sucede que:

Las tres impedancias de la carga son iguales ZC .

Las tres fuentes son equilibradas (Ea Eb = Ea 1∠− 120º Ec = Ea 1∠120º).

Las tres impedancias de línea de las fases son iguales ZG.

Las tres impedancias de línea de las fases son iguales ZL.


Figura 4.7: Conguración estrella-estrella

Normalmente las impedancias ZG, y ZL son muy pequeñas en comparación con ZC . Como las impedanciasZG, ZL, ZC están en serie, asociando tendremos que ZY = ZG + ZL + ZC .

Tendremos dos centros de estrella (O fuente, O' carga). Aplicando nudos, por ejemplo, obtenemos que la difer-encia de potencial entre los centros de estrella es nula UOO′ = 0.

A partir de este resultado se deduce que la impedancia del neutro ZN no soporta tensión y la corriente quecircula por ella es nula (IN = 0). Como entre los centros de estrella no hay diferencia de potencial, podremosunirlo en cortocircuito. Cada una de las impedancias ZY soportan la tensión de la fuente correspondiente a sufase (ver el tema anterior).

Las corrientes de línea tienen por valor:

Ia =EaZY

=Ea

ZG + ZL + ZC

Ib =EbZY

=Ea 1∠− 120º

ZG + ZL + ZC= Ia 1∠− 120º (4.30)

Ic =EcZY

=Ea 1∠120º

ZG + ZL + ZC= Ia 1∠120º

Las corrientes de línea suman cero Ia + Ib + Ic = 0 = In.

Se observa que para calcular las corrientes de línea con calcular la de una fase (por ejemplo la A) es suciente,puesto que las otras son iguales desfasadas 120º. Por esta razón, para analizar un circuito Y-Y equilibrado sereduce a un circuito monofásico equivalente, el cual sería considerar todos los elementos existentes en la fase Ay unir todos los centros de estrella entre sí (tanto de fuentes como de cargas).

A partir del circuito equivalente monofásico, se calculan las corrientes de línea (que coinciden con las de fasepor las estrellas) y las tensiones de fase que existen en la carga y en las fuentes reales.

IA =Ea

ZG + ZL + ZC(corriente de línea) (4.31)

Ua′O′ = IAZC (tensión fase carga) (4.32)

UaO′ = Ea − IAZG (tensión fase fuente real) (4.33)

Posteriormente se calcularían las tensiones de línea utilizando las ecuaciones:


UL =√

3UF 1ejπ6 (secuencia directa) (4.34)

Uab =√

3UaO′ 1∠30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º (fuente) (4.35)

Ua′b′ =√

3Ua′O′ 1∠30º U b′c′ = Ua′b′ 1∠− 120º U c′a′ = Ua′b′ 1∠ + 120º (carga) (4.36)

2. Conexión Y-4 equilibResonancia.rada.

Para analizarlo, se sustituye la carga en 4 por su equivalente en estrella ZY =Z43 . Una vez así tendremos

un circuito Y-Y, que lo podemos analizar como en el caso 1. Una analizado el circuito equivalente monofásico,habremos calculado las corrientes de línea. Las corrientes de fase por el4 se calcularían, a partir de las tensionesde línea en el 4 (UL/Z4).

3. Conexión 4 -Y equilibrada.

Para analizarlo, se transforma la fuente real conexión 4 a su equivalente conexión Y.

Si las fuente real en 4 tiene como impedancias ZG y las fuentes son Eab, Ebc, y Eca, las fórmulas a utilizar sonlas siguientes (suponiendo secuencia directa):

Impedancias fuente estrella ZG′ =ZG3

(4.37)

F.e.m. fuente estrellaEA′ =

Eab√3

1∠− 30º

EB′ = EA′ 1∠− 120ºEC′ = EA′ 1∠ + 120º

(4.38)

Una vez hecha las transformación tendremos una conguración Y-Y, que se analiza como en el caso 1.

Las corrientes de fase que circulan por la fuente real conexión 4 se calcularían a partir de las corrientes delínea, que suministraria la fuente en estrella (IL =

√3IF 1e−j

π6 ):

I1 =IA√

31∠30º

I2 = I1 1∠− 120º (4.39)

I3 = I1 1∠ + 120º

4. Conexión 4 - 4 equilibrada.

Se transforma todos las 4 tanto de fuentes como de cargas a sus Y equivalentes, y los analizamos como secomentó en los casos anteriores.

cuando las corrientes slas cuatro posibles conguraciones que existen al conectar una fuente trifásica a una cargatrifásica: Y − Y, Y −4, 4− Y,4−4. Consideramos que la carga es equilibrada y la fuente también.

4.3. Potencia en los circuitos trifásicos.

4.3.1. Potencia en los circuitos trifásicos: activa, reactiva, aparente, compleja.

Vamos a considerar la potencia instantánea absorbida por un circuito trifásico. Vamos a considerar dos casos,uno cuando tenemos un circuito a 3 hilos y otro cuando existen circuitos a 4 hilos. Vamos a analizar la potenciaen circuitos equilibrados.

Caso 1. Circuito a 4 hilos.

Como estamos en un circuito equilibrado tendremos que, las tensiones entre fase y neutro son equilibradas. Asímismo también son equilibradas las corrientes de línea:

Uan, U bn = Uan 1∠− 120º, U cn = Uan 1∠120º (4.40)


Ia, Ib = Ia 1∠− 120º, Ic = Ia 1∠120º (4.41)

Entonces la potencia activa sería:

P = UanIacos(ϕUan − ϕIa) + UbnIbcos(ϕUbn − ϕIb) + UcnIccos(ϕUcn − ϕIc) == 3UanIacosϕ = 3UbnIbcosϕ = 3UcnIccosϕ

(4.42)

siendo ϕ el desfase entre la tensión y corriente ϕ = ϕUan − ϕIaComo todas las tensiones de fase tienen igual magnitud Uan = Ubn = Ucn = UF , y las corrientes de línea tienenigual magnitud Ia = Ib = Ic = IL, tendremos que

P = 3UF ILcosϕ (4 hilos) (4.43)

De igual forma, tendremos que la potencia reactiva, compleja y aparaente son

Q = 3UF ILsenϕS = 3UanI

∗a

S = 3UF IL

(4 hilos) (4.44)

Como en un sistema trifásico equilibrado a 4 hilos, la tensiones de línea están relacionadas con las tensiones defase, tendremos que

Uab =√

3Uan 1∠− 30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º (4.45)

Uab = Ubc = Uca = UL (4.46)

P = 3UF ILcosϕ =√

3ULILcosϕ

Q = 3UF ILsenϕ =√

3ULILsenϕ

S =√P 2 +Q2 =

√3ULIL

S =√

3ULIL∠ϕ

(4.47)

Caso 2. Circuito a 3 hilos.

Como estamos en un circuito equilibrado tendremos que, las tensiones de línea son equilibradas. Así mismotambién son equilibradas las corrientes de línea:

UAN , UBN = UAN 1∠− 120º, UCN = UAN 1∠120º (4.48)

IA, IB = IA 1∠− 120º, IC = IA 1∠120º (4.49)

Además todas las tensiones de línea tienen igual magnitud UAB = UBC = UCA = UL, y las corrientes de líneatienen igual magnitud IA = IB = IC = IL.

Si la fuente trifásica conexión triángulo se sustituye por una fuente en estrella equivalente, de valores:

Fuente estrellaUAN =

UAB√3

1∠− 30º

UBN = EAN 1∠− 120ºUCN ′ = EAN 1∠ + 120º

(4.50)

estaríamos otra vez en el caso 1, pero con la salvedad de que el hilo neutro no existe, pero si un centro de estrellaen la fuente (N). Además la fuente sería equilibrada UAN = UBN = UCN = UF

La potencia activa, reactiva, aparente y compleja serían

P = 3UF ILcosϕ =√

3ULILcosϕ

Q = 3UF ILsenϕ =√

3ULILsenϕ

S =√P 2 +Q2 =

√3ULIL

S =√

3ULIL∠ϕ

(4.51)

donde ϕ = ϕUan − ϕIa


4.3.2. Factor de potencia en circuito equilibrados.

Si tenemos un circuito trifásico equilibrado, el factor de potencia sería el cos(ϕ = cos(ϕUan − ϕIa), es decir, elcoseno del ángulo que forma la tensión de fase Uan y la corriente de línea Ia.

4.3.3. Mejora del factor de potencia en los circuitos trifásicos equilibrados.

Igual que se analizó en el caso monofásico, en las cargas trifásicas se puede mejorar el factor de potencia conectan-do un grupo de condensadores, formado una carga en estrella o en triángulo en paralelo con la carga trifásicaoriginal. Utilizando el teorema de Boucherot, se podrá determinar el valor de los condensadores necesarios.

Capítulo 5

ELECTROMETRÍA

5.1. Aparatos comunes usados en electrometría.

Para medir la corriente eléctrica empleamos un aparato llamado amperímetro. El amperímetro deberá estarintercalado en el conductor para medir la cantidad de cargas que se mueven en el circuito en la unidad detiempo (gura 5.1).

Figura 5.1: Amperímetro

Para medir la tensión eléctrica se precisa un aparato de medida que sea capaz de captar la diferencia de potencial(diferencias de cargas entre un punto y otro). El voltímetro se conecta siempre entre los dos puntos entre losque se quiere determinar la tensión (gura 5.2). Esta forma de conectar el voltímetro se denomina conexión enparalelo o derivación.

Figura 5.2: Voltímetro

El aparato que mide la potencia eléctrica (potencia activa) es el vatímetro. Realiza la operación:

P = U.I.cos(ϕ) ϕ = ϕU − ϕI (5.1)

Este aparato consta de dos bobinas (gura 5.3), una amperimétrica y otra voltimétrica. La amperimétrica poseeunas características similares a la de un amperímetro (tiene una resistencia muy baja y se conecta en serie).La voltimétrica posee las mismas características que las de un voltímetro (tiene una resistencia muy alta y seconecta en paralelo).

El aparato que mide la energía eléctrica consumida es el contador. El contador se conecta exactamente igualque el vatímetro y nos da la lectura de la energía consumida, porque realiza la integral de la potencia eléctricaconsumida.

Existe otro aparato muy utilizado en el laboratio que se llama osciloscopio. El osciloscopio es un aparato demedida que lo que hace es mostrar un su pantalla la forma de onda que posee una determinada tensión ocorriente eléctrica. Es decir, representa en un eje de coordenadas variaciones de estas magnitudes en funcióndel tiempo. El osciloscipo solamente mide tensiones, por lo que para medir corrientes, tendremos que medirtensiones en bornes de resistencias muy pequeñas, o emplear convertidores corriente-tensión.

50

CAPÍTULO 5. ELECTROMETRÍA 51

Figura 5.3: Vatímetro

5.1.1. Errores.

Al realizar medidas se cometen errores.

El error absoluto es la diferencia entre el valor leído por el aparato de medida y el valor real.

errorabsoluto = V alorle − V alorre errorabsoluto( %) =V alorle − V alorre

V alorre100 (5.2)

Los aparatos de medida tienen una característica denominada precisión, que aparece inscrita en el aparato. Laprecisión es el error máximo absoluto que puede cometer un aparato de medida referido al valor máximo de laescala de medida.

Claseprecision =| errorabsoluto |V alormaximo

100 (5.3)

5.1.2. Instrumentos de medida analógicos y digitales.

Los instrumentos de medida analógicos son aquellos que presentan una medida mediante una aguja móvil, quese desplaza por una escala graduada. En los instrumentos de medida digitales el resultado de la medida se puedeleer como un cifra numérica (dígitos) en un pantalla.

La gura muestra el aspecto de una alternador elemental. Consta de un campo magnético jo producido porun imán, dentro del cual se hace girar un conductor eléctrico en forma de espira. Al cortar los conductores ensu movimiento giratorio el campo magnético, se produce en los mismos una fuerza electromotriz de inducciónque se muestra como una diferencia de potencia en los extremos de la espira. Se podría conectar esta espira conun receptor produciendose corriente eléctrica.

El polímetro es un aparatos de medida portátil que se puede utilizar para medir diferentes magnitudes eléc-tricas, como por ejemplo, tensión y corriente en corriente alterna y continua, resistencia, capacidad, prueba decontinuidad, prueba de diodos y transistores.

El avance experimentado en los últimos años en la fabricación de microprocesadores y microcomputadores haproducido un fuerte avance en el desarrollo de nuevos instrumentos de medida, mucho más versatiles y de tamañomás reducido. Gracias a estos avances se ha aumentado el número de parámetros que se pueden medir con unsolo instrumento a partir de las señales básicas de entrada (corrienes y tensiones). Además se le ha dotado deuna gran capacidad de comunicación con otros elementos de la instalación.

También es posible la conexión de los aparatos de medida con ordenadores personales a través de un bus decomunicaciones. De esta forma, se consigue procesar una gran cantidad de datos en un tiempo reducido. Existencomo ejemplo, analizadores de redes trifásicas, comprobadores de instalaciones eléctricas de bajo tensión.

Capítulo 6

Máquinas eléctricas.

6.1. El transformador.

El transformador se puede considerar como una máquina eléctrica estática (sin movimiento) que es capaz, decambiar los valores de tensión y corriente sin alterar la frecuencia ni la potencia de una forma signicativa.

Gracias a los transformadores se puede aumentar la tensión antes de transportar la energía a grandes distanciaspor las líneas de transporte de alta tensión, con el n de reducir la intensidad y con ello las pérdidas que sedan en los conductores por efecto Joule. Con ellos también se puede reducir la tensión, con el n de poderdistribuirla y consumirla en industrias y viviendas, a valores que sean seguros para las personas que manipulanlos sistemas eléctricos.

Aparte de estas aplicaciones, los transformadores también se utilizan para separar eléctricamente los circuitos,alimentar con pequeñas tensiones circuitos de mando de sistemas automáticos, o alimentar todo tipo de aparatoselectrónicos (televisores, equipos de sonido, ordenadores, ...), adaptar aparatos eléctricos a la tensión de redcuando ésta es superior o inferior a la tensión nominal de los mismos, acondicionar grandes tensiones y corrientespara poder se medidas sin dicultad.

6.1.1. Funcionamiento del transformador ideal en vacío.

Un transformador posee dos bobinas: un primario y un secundario. Las bobinas se arrollan sobre un núcleomagnético, formador por chapas magnéticas apiladas (gura 6.1).

Figura 6.1: Transformador ideal

Tendremos una tensión en el primario V1, otra tensión en el secundario V2 .

Al conectar el bobinado primario de N1 espiras a una tensión senoidal de valor V1 aparece una pequeña corrientepor dicho bobinado que produce en el núcleo magnético un ujo variable (Φ) de carácter senoidal. Al cortareste ujo a la bobina primaria, se induce en la misma una fuerza electromotriz de valor:

e1 = N1dΦ

dt= 4, 44fN1Φmax (6.1)

Se verica queV1 = e1 (6.2)

Este ujo variable se cierra por todo el núcleo magnético y corta los conductores del bobinado secundario deN2 espiras, en el cual se induce una fuerza electromotriz:

52

CAPÍTULO 6. MÁQUINAS ELÉCTRICAS. 53

e2 = 4, 44fN2Φmax (6.3)

Se verica queV2 = e2 (6.4)

Se verica que:

V1

V2=N1

N2= rt (6.5)

Las tensiones están relacionadas con la denominada relación de transformación rt. En el caso de que el número deespiras del primario sea mayor que las del secunadario, tendremos un transformador reductor. Si es al contrario,sería un transformadore elevador.

6.1.2. Funcionamiento del transformador ideal en carga.

Figura 6.2: Transformador ideal en carga

Si se conecta en el secundario una carga Z∠φ, la fuerza electromotriz e2 hace que aparezca una corriente quecircula por la carga. Esta corriente produce una fuerza magnetomotriz secundaria N2I2 que tiene a modicar elujo magnético Φ. Para que este ujo permaneza inalterable la corriente que circula por el primario aumentarápara equilibrar la fuerza magnetomotriz, de tal forma que

N1I1 = N2I2 (6.6)

Se obtiene queI2I1

=N1

N2= rt (6.7)

La relación de transformación de intensidades es inversa a la de las tensiones.

6.1.3. Transformador real.

La tensión que aparece en el secundario de un transformadore real disminuye a medida que aumenta la corrientesecundaria. Esto es debido a que al aumentar la corriente secundaria, aumenta la primaria. Estas corrientesproducen caídas de tensión en las resistencias y reactancias de los dos bobinados. Además el transformador alestar constituido por chapas de alta permeabilidad, tiene pérdidas debidas a los efectos de histéresis y corrientesparásitas o de Foucault.

Figura 6.3: Transformador real en carga


6.1.4. Transformadores trifásicos.

El transformador trifásico es el de más extensa aplicación en los sistemas de transporte y distribución de energíaeléctrica.

Se puede decir que un transformador trifásico está constituido por tres transformadores monofásicos. Se sueleemplear un nucleo magnético común.

Figura 6.4: Transformador trifásico

Los bobinados del primario se pueden conectar en estrella o en triángulo. De igual manera ocurre con losbobinados del secundario.

Figura 6.5: Transformador trifásico

6.2. Máquina síncronas.

Las máquinas síncronas basan su funcionamiento en el principio general de la inducción electromagnética.Cuando se ponen a girar conductores en el seno de un campo magnético se produce una fuerza electromotriz enlos extremos de los conductores. En la práctica se más interesante hacer girar las piezas polares que producenel campo magnético inductor y dejar jos los conductores del inducido.

Hay que pensar que las corrientes y tensiones con las que trabaja una máquina síncrona puede ser bastanteelevadas.

La máquina consta de un circuito inductor y otro inducido.

Figura 6.6: Máquina síncrona


El inductor está constituido por un cierto número de electroimanes, constituidos de tal forma que los polospresenten alternativamente un polaridad norte y sur y su número es siempre par. La alimentación del inductorse realiza con corriente continua.

El circuito inducido está constituido por tres bobinas situadas a 120º una de otra y alojadas en ranuras prac-ticadas en el núcleo cilíndrico y hueco de chapas magnéticas. La conexión del devanado suele ser en estrella,pudiesendose conectar el neutro a tierra. El devanado de cada fase del inducido se compone de varias bobi-nas, conectadas de tal forma que las fuerzas electromotrices generadas en cada uno de los conductores que lascomponen se sumen.

Figura 6.7: Máquina síncrona

Para que una máquina síncrona produzca tensiones y corrientes de frecuencia ja, debe girar a velocidadconstante, conocidad como velocidad síncrona. La frecuencia de las tensiones inducidas es proporcional a lavelocidad de giro y al número de polos del circuito inductor. Se verica que

f = pn

60(6.8)

donde f es la frecuencia (Hz); p el número de polos del inductor; y n la velocidad en revoluciones por minuto(rpm).

6.3. Máquinas asíncronas.

Las máquinas asíncronas funcionan también gracias a los fenómenos de inducción electromagnética. Son utiliza-dos en la industria por su sencillez, robustez y fácil mantenimiento.

Estas máquinas basan su funcionamiento en la generación de un campo magnético giratorio en el estator,coincidente con la velocidad de sincronismo que corta a los conductores del rotor que los hace girar.

Figura 6.8: Máquina asíncrona

El campor giratorio se crea de la manera siguiente. El estator de una máquina asíncrona se construye de igualmanera que la de las máquina síncronas. En el estator se alojan tres bobinas desfasadas 120º. Cada una de estasbobinas se conecta a cada una de las fases de un sistema trifásico, de forma que por ellas circulan tres corrientestrifásicas, de igual valor y desfasadas 120º. Si se analiza en ujo magnético creado por estas tres corrientes encada instante de tiempo, se puede comprobar que es un campo magnético de carácter giratorio.

El rotor de una máquina asíncrona de jaula de ardilla es cilíndrico y en él se situan conductores alojados enranuras del núcleo y cortocircuitados por sus extremos mediante anillos conductores.

Cuando las bobinas del estator originan el campo magnético giratorio, los conductores de rotor, que estánparado son barridos por el campo magnético giratorio, por lo que se induce una fuerza electromotriz. Como


Figura 6.9: Máquina asíncrona

estos conductores están en cortocircuito, aparece una corriente por los mismos, que originara un par de fuerzasque ponen en movimiento al rotor, en el mismo sentido que el campo giratorio. La velocidad del rotor nuncaalcanza a la de sincronismo, ya que se fuesen iguales no se inducirían fuerzas electromotrices en el rotor (deaquí el nombre de asíncrono). El deslizamiento de un motor asíncrono, se dene como la diferencia de estasvelocidades en tanto por ciento

s =ns − nns

100 (6.9)

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