f´ısica ii cf-342 ingenier´ıa plan com un.´diferencia de potencial y potencial el´ectrico...

Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1

Contenidos

1 Diferencia de Potencial y Potencial ElectricoDiferencia de potencial


Diferencia de Potencial y Potencial Electrico

Potencial electrico

De la definicion de campo electrico, tenemos

~E =~FE

q0



Potencial electrico


~E =~FE

q0

Ahora, determinamos el trabajo realizado paramover una carga de prueba q0 desde el puntoA hasta el punto B,

dW (~FE ) = ~FE • d ~.



Potencial electrico


~E =~FE

q0

Ahora, determinamos el trabajo realizado paramover una carga de prueba q0 desde el puntoA hasta el punto B,

dW (~FE ) = ~FE • d ~= q0~E • d ~.

Dado que la fuerza electrica es conservativa, entonces eltrabajo de la fuerza electrica es igual a menos el cambio de laenergıa potencial U,

dW (~FE ) = −dU.



Potencial electrico

Luego, tenemosdU = −q0

~E • d ~.



Potencial electrico


~E • d ~.

Para un desplazamiento de la carga de prueba entre los puntosA y B, el cambio en la energıa potencial esta dado por

∆U = UB − UA = −q0

∫ B

A

~E • d ~.



Potencial electrico


~E • d ~.

Para un desplazamiento de la carga de prueba entre los puntosA y B, el cambio en la energıa potencial esta dado por

∆U = UB − UA = −q0

∫ B

A

~E • d ~.

y el trabajo de la fuerza electrica es

W (~FE ) = q0

∫ B

A

~E • d ~.

La integral se considera a lo largo de la trayectoria por la cualla carga q0 se mueve desde A hasta B. Como la fuerzaelectrica es conservativa esta integral no depende de latrayectoria tomada entre A y B.



Potencial electrico

La diferencia de potencial entre los puntos A y B se definecomo el cambio de la energıa potencial dividido por la carga deprueba q0.

VB − VA =UB − UA

q0= −

∫ B

A

~E • d ~,

la cual es independiente de q0.



Potencial electrico



q0= −

∫ B

A

~E • d ~,

la cual es independiente de q0. En el SI de unidades, elpotencial electrico se mide en Volt(V), donde

1V = 1JC.



Potencial electrico



q0= −

∫ B

A

~E • d ~,

la cual es independiente de q0. En el SI de unidades, elpotencial electrico se mide en Volt(V), donde

1V = 1JC.

Para considerar el potencial en un punto se debe escoger unpunto de referencia y a ese punto asignarle el valor cero. Ge-neralmente, se considera que A→∞ y VA = 0, y el punto B sele llama p,

Vp = −∫ p

∞~E • d ~.



Diferencia de potencial en un campo electricouniforme

Tenemos un campo electrico constante ~E = Eiy los puntos A y B estan sobre el eje x, talcomo aparece en la figura, luego

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~,




Tenemos un campo electrico constante ~E = Eiy los puntos A y B estan sobre el eje x, talcomo aparece en la figura, luego

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~,

= −∫ B

AEd` cos θ, θ = 0◦,

= −∫ B

AEd` = −E

∫ B

Ad`,

= −Ed .

Tenemos, VB − VA = −Ed , el signo menos nos indica que elpotencial en B es menor que el potencial en A.




Si ahora los puntos estan ubicados de lasiguiente manera. La diferencia de potencialentre los puntos A y B es

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~,




Si ahora los puntos estan ubicados de lasiguiente manera. La diferencia de potencialentre los puntos A y B es

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~,

= −∫ B

AEd` cos θ,

= −E cos θ∫ B

Ad`,

= −E` cos θ = −Ed .

Por lo tanto, obtenemos el mismo resultado anterior. Esto seproduce porque la integral de lınea o integral de trayectoria,∆V = VB − VA = −

∫ BA~E • d ~, no depende de la trayectoria.




Los puntos B y C tienen el mismo potencial, porque no serealiza trabajo

W = q0

∫ C

B

~E • d ~= 0,

al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C.





W = q0

∫ C

B

~E • d ~= 0,

al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C. Es decir

VB = VC ,

luego, para llegar al punto B desde el punto A, podemos tomarla trayectoria AB o ACB.





W = q0

∫ C

B

~E • d ~= 0,

al hacer pasar la carga q0 entre los puntos B y C. Es decir

VB = VC ,

luego, para llegar al punto B desde el punto A, podemos tomarla trayectoria AB o ACB.En general, una superficie equipotencial es cualquier superficieque contiene una distribucion continua de puntos que tienen elmismo potencial.



Ejercicio

Se suelta un proton desde el reposo en un campoelectrico uniforme de 8× 104 V

m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.



Ejercicio


m , dirigido a lo largodel eje x positivo. El proton se desplaza 0.5m enla direccion del campo electrico E.a) Determine el cambio en el potencial electricoentre los puntos A y B.En este caso tenemos,

VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],

el potencial VB es menor que el potencial VA.



Ejercicio



VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],


b) Determine el cambio en la energıa potencial del proton paraeste desplazamiento, considere qp = 1.6× 10−19C.



Ejercicio



VB − VA = −Ed = −4× 104[V ],


b) Determine el cambio en la energıa potencial del proton paraeste desplazamiento, considere qp = 1.6× 10−19C.

∆U = qp∆V = −6.4× 10−15[J].



Potencial electrico para cargas puntuales

Tenemos que la diferencia de potencial entrelos puntos A y B es

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~.




Tenemos que la diferencia de potencial entrelos puntos A y B es

VB − VA = −∫ B

A

~E • d ~.

El campo electrico que produce la cargapuntual es ~E = kq

r2 r , luego

VB − VA = −∫ B

A

kqr2 r • d ~,

donder • d ~= |r ||d ~|cosθ = dr .




Luego,

VB − VA = −∫ B

A

kqr2 dr = −kq

(− 1

r

)∣∣∣∣rB

rA

= kq(

1rB− 1

rA

).




Luego,

VB − VA = −∫ B

A

kqr2 dr = −kq

(− 1

r

)∣∣∣∣rB

rA

= kq(

1rB− 1

rA

).

Esta funcion no depende de la trayectoria. Si consideramosrA →∞ lo que implica VA = 0, tenemos que el potencialgenerado por una carga puntual a una distancia r es:

V =kqr.




Luego,

VB − VA = −∫ B

A

kqr2 dr = −kq

(− 1

r

)∣∣∣∣rB

rA

= kq(

1rB− 1

rA

).

Esta funcion no depende de la trayectoria. Si consideramosrA →∞ lo que implica VA = 0, tenemos que el potencialgenerado por una carga puntual a una distancia r es:

V =kqr.

Con lo cual el potencial es constante a una distancia r de lacarga q, es decir una esfera de radio r . Por lo tanto, en estecaso las superficies equipotenciales son esferas concentricascon la carga puntual.




Si tenemos varias cargas puntuales, elpotencial en un punto p es:

Vp = kn∑

i=1

qi

ri,

que se obtiene de aplicar el principio desuperposicion. Donde se considera qi con sumagnitud y signo, y ri es la distancia de lacarga qi al punto p.




Ejercicio: Calcule el potencial en el punto p, situado en elcentro del cuadrado de cargas puntuales que aparece en lafigura. Suponga que a = 1.3[m] y que las cargas son:q1 = 12[nC], q2 = −24[nC], q3 = 31[nC], y q4 = 17[nC].

Vp = 350[V ].



Ejercicio

Determinar el potencial electrico generado poruna esfera conductora aislada, con carga Q yradio R.



Ejercicio

Determinar el potencial electrico generado poruna esfera conductora aislada, con carga Q yradio R.

El potencial en un punto p, ubicado a una distancia r ≥ R, es:

Vp = −∫ p

∞~E • d ~,

el campo electrico generado por la esfera con carga Q parar ≥ R es ~E = kQ

r2 r y

~E • d ~= Ed`cos(180◦) = −Ed`,



Ejercicio

pero tenemos que d` = −dr , luego

Vp = −∫ p

∞~E•d ~= −

∫ p

∞

kQr2 dr = −kQ

∫ p

∞

drr2 = −kQ

(−1r

)∣∣∣∣p∞,

Vp =kQr, para r ≥ R.

Si consideramos un punto b al interior de la esfera, es decir,para r < R, tenemos

Vb = −∫ b

∞~E • d ~= −

[ ∫ R

∞~Ee • d ~+

∫ b

R

~Ei • d ~],

Dado que el campo electrico al interior de la esfera conductoraes ~Ei = 0, nos queda

Vb = −∫ R

∞~Ee • d ~=

kQR,



Ejercicio

Tenemos,

Vr =

kQr para r ≥ R

kQR para 0 ≤ r ≤ R

En este caso, todos los puntos al interior de la esfera de cargaestan al mismo potencial V = kQ

R . En el caso donde r ≥ R, lassuperficies equipotenciales son esferas concentricas a laesfera de radio R.



Ejercicio2

Determinar el potencial electrico generado poruna esfera no conductora, con carga Quniformemente distribuida y radio R.



Ejercicio2

Determinar el potencial electrico generado poruna esfera no conductora, con carga total Quniformemente distribuida y radio R.

El calculo del potencial en un punto p, ubicado a una distanciar ≥ a, es equivalente al realizado anteriormente, con lo cual

Vp =kQr,para r ≥ R

El potencial electrico al interior de la esfera no conductora es

Vr =kQ2R

(3− r2

R2

)para 0 ≤ r ≤ R.



Potencial electrico debido a una distribucion continuade carga

El potencial dV en un punto p debido alelemento de carga dq esta dado por:

dV =kdq

r,

donde r es la distancia desde el elemento decarga dq al punto p.



Potencial electrico debido a una distribucion continuade carga

El potencial dV en un punto p debido alelemento de carga dq esta dado por:

dV =kdq

r,

donde r es la distancia desde el elemento decarga dq al punto p.Si sumamos las contribuciones de todas lascargas tenemos:

V = k∫

dqr,

el cual es el potencial electrico en el punto p.



Ejemplo

Determine el potencial electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo.



Ejemplo

Determine el potencial electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo.

En este caso el potencial se determina desde la relacionV = k

∫ dqr , donde la distancia r =

√x2 + a2. Dado que el

anillo tiene carga distribuida linealmente con λ = Q2πa

constante, tenemos

V = k∫

dqr

= k∫

dq√x2 + a2

=k√

x2 + a2

∫dq =

kQ√x2 + a2

,

⇒ V (x) =kQ√

x2 + a2.



Ejemplo 2

Determine el potencial electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco.



Ejemplo 2

Determine el potencial electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco.

En este caso el potencial se determina desde la relacionV = k

∫ dqr , donde la distancia r =

√x2 + r2. Dado que el disco

tiene carga distribuida uniformemente σ = Qπa2 constante,

dq = σdA donde dA = 2πrdr .

V = k∫

dqr

= k∫

σdA√x2 + r2

= kσ∫

2πrdr√x2 + r2

,



Ejemplo 2

V = 2πkσ∫ a

0

rdr√x2 + r2

= 2πkσ(√

x2 + r2)

∣∣∣∣a0,

= 2πkσ(√

x2 + a2 −√

x2),

= 2πkσ(√

x2 + a2 − |x |),

finalmente, tenemos

V (x) = 2πkσ(√

x2 + a2 − |x |).

Vemos que esta funcion es simetrica es decir, V (x) = V (−x).



Ejemplo 3

Determine el potencial electrico debido auna barra uniformemente cargada, concarga total Q y largo L, en un punto plocalizado sobre el eje x, tal como apareceen la figura.



Ejemplo 3

Determine el potencial electrico debido auna barra uniformemente cargada, concarga total Q y largo L, en un punto plocalizado sobre el eje x, tal como apareceen la figura.

En este caso, tenemos

dq = λdl = λdz ademas r =√

x2 + z2,

luego

V = k∫

dqr

= k∫

λdz√x2 + z2

= kλ∫ L/2

−L/2

dz√x2 + z2

,

= kλ[

ln(z +√

z2 + x2)

]∣∣∣∣L/2

−L/2,



Ejemplo 3

V = kλ[

ln(L2

+

√(L2

)2 + x2)− ln(−L2

+

√(−L2

)2 + x2)

],

V (x) = kλ ln[ L

2 +√

(L2)2 + x2

−L2 +

√(−L

2 )2 + x2

]= kλ ln

[ 1 +√

1 + 4x2

L2

−1 +√

1 + 4x2

L2

].

Notar que dado la simetrıa la integral se puede evaluar desde 0a L/2 considerando dos veces el resultado, es decir

V = 2kλ∫ L/2

0

dz√x2 + z2

= 2kλ[

ln(z +√

z2 + x2)

]∣∣∣∣L/2

0,

V (x) = 2kλ[

ln(

L2

+

√(L2

)2 + x2)− ln(|x |)

].

Notar que esta funcion es simetrica, es decir, V (x) = V (−x).Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 45


Obtencion del campo electrico a partir del potencialelectrico.

La diferencia de potencial dV entre dos puntos apartados unadistancia d` se puede expresar como:

dV = −~E · d ~




La diferencia de potencial dV entre dos puntos apartados unadistancia d` se puede expresar como:

dV = −~E · d ~

Si el campo electrico solo tiene componente x , tenemos

dV = −Exdx

luego

Ex = −dVdx

.




Si la distribucion de carga tiene simetrıa esferica y el campoelectrico solo tiene componente radial, tenemos

dV = −Er dr

luego

Er = −dVdr.




Si la distribucion de carga tiene simetrıa esferica y el campoelectrico solo tiene componente radial, tenemos

dV = −Er dr

luego

Er = −dVdr.

En general, si el potencial electrico V (x , y , z) depende de lastres componentes, las componentes del campo electrico son:

Ex = −∂V∂x

, Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

,

donde, estas ahora son las derivadas parciales.



Ejemplo.

El potencial de una carga puntual Q, a una distancia r de lacarga es

V (r) =kQr,

luego el campo electrico a una distancia r de la carga puntualQ es

Er = −dVdr

= − ddr

kQr

=kQr2 ,

luego,

E(r) =kQr2 .



Obtencion del campo electrico a partir del potencial.

Determine el campo electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo, apartir del potencial electrico

V (x) =kQ√

x2 + a2.




Determine el campo electrico debido a unanillo uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del anillo, apartir del potencial electrico

V (x) =kQ√

x2 + a2.

En este caso, dado la simetrıa, el campo electrico solo tienecomponente x , luego

Ex = −dVdx

= − ddx

kQ√x2 + a2

=kxQ

(x2 + a2)3/2 .




Determine el campo electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco, a partir del potencial electrico(considere que el punto p esta a la derecha deldisco).

V (x) = 2πkσ(√

x2 + a2 − x).




Determine el campo electrico debido a undisco uniformemente cargado, con carga totalQ y radio a, en un punto p localizado sobre eleje del disco, a partir del potencial electrico(considere que el punto p esta a la derecha deldisco).

V (x) = 2πkσ(√

x2 + a2 − x).En este caso, dado la simetrıa, el campo electrico solo tienecomponente x , luego

Ex = −dVdx

= − ddx

2πkσ(√

x2 + a2 − x) = −2πkσddx

(√

x2 + a2 − x),

= 2πkσ(1− x√x2 + a2

).




Determine, a partir del potencial electrico, elcampo electrico debido a una barrauniformemente cargada, con carga total Q ylargo L, en un punto p localizado sobre y ala derecha del eje x, tal como aparece en lafigura.

V (x) = 2kλ[

ln(

L2

+

√(L2

)2 + x2)− ln(|x |)

].

Dado que el potencial solo depende de la componente x,tenemos

E(x) = −dV (x)

dx=

2kλx

1√1 + 4x2

L2

.



Energıa potencial electrica.

La energıa potencial tiene la siguiente forma U = qV .El potencial generado por q1 a una distanciar12 es

V1 = kq1

r12




La energıa potencial tiene la siguiente forma U = qV .El potencial generado por q1 a una distanciar12 es

V1 = kq1

r12

Ahora, si ubicamos una segunda carga q2 auna distancia r12 de la carga q1, la energıapotencial electrica sera

U = q2V1 = kq2q1

r12= k

q1q2

r12

y esta energıa potencial U es igual al trabajo realizado por unafuerza externa para mover la carga q2 desde el infinito(potencial cero) hasta la distancia r12.




Para determinar el trabajo, ubicamos elorigen sobre la carga q1. Luego, el trabajopara traer desde el infinito la carga q2 hastauna distancia r12 es:

W =

∫~F · d ~=

∫kq1q2

r2 r · (−dr)r = −kq1q2

∫ r12

∞

drr2

= −kq1q2

(−1r

)∣∣∣∣r12

∞=

kq1q2

r12.

El trabajo W es mayor que cero, si las cargas tienen igualsigno.




Si tenemos mas de dos cargas, laenergıa potencial total se obtiene por elcalculo de U por pares de cargas, porejemplo si tenemos tres cargas

U = k(

q1q2

r12+

q1q3

r13+

q2q3

r23

)

La energıa potencial U para las tres cargas, se interpreta comoel trabajo realizado para traer desde el infinito primero a q2 yluego a q3, dado que esta presente q1.



Ejercicio.

Demuestre que el trabajo requerido paracolocar cuatro cargas puntualesidenticas de magnitud Q en las esquinasde un cuadrado de lado a esta dado porU = 5,41kQ2/a.



Ejercicio.

Calcule la energıa necesaria paracomponer la configuracion de la figura,donde a = 0,2[m], b = 0,4[m] yq = 6[µC].



Ejercicio.

Calcule la energıa necesaria paracomponer la configuracion de la figura,donde a = 0,2[m], b = 0,4[m] yq = 6[µC].

U = −4[J]


f´ısica ii cf-342 ingenier´ıa plan com un.´diferencia de potencial y potencial el´ectrico...

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