tecnicas estadisticas aplicadas a la calidad

7/26/2019 Tecnicas Estadisticas Aplicadas a La Calidad

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Tc ni c as estad st i c as

apl i c adas a la cal idad

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5.1 Introducc in

La estadstica es la ciencia que estudia los fenmenos alea-torios. Proporciona herramientas muy potentes para anali-zar conjuntos de datos y la relacin existente entre ellos.

Tiene aplicaciones en la mayora de los campos, no slo enel plano social y cientfico sino tambin en el industrial, y,entre ellos, en el marco de la calidad.

La aplicacin ms conocida es el anlisis de encuestas paraobtener informacin referente a una poblacin humana, talcomo el porcentaje de personas que usan el tren habitual-mente, la intencin de voto en unas elecciones, el nmerode espectadores de un programa de televisin, la estaturamedia de los soldados del ejrcito, el consumo medio deagua por habitante y ao, etc.

La obtencin de todos estos parmetros no es inmediata,

sino que se parte de un conjunto de datos y se procede aoperar matemticamente con ellos para obtener la infor-macin deseada.

Una rama de la estadstica muy usada en las aplicacionesde la calidad es la llamada inferencia estadstica. Consis-te en la obtencin de conclusiones basadas en datos expe-rimentales.

La importancia de la estadstica en el campo de la calidades enorme; en esta Unidad se van a exponer los conceptosbsicos que ms se usan. Algunos se han introducido en laUnidad 4 (Tcnicas bsicas de calidad) al analizar el his-tograma. Ahora se desarrollan ms ampliamente.

5. 2 No ci ones de poblac iny muestr a

A . P obl ac i n

Engloba todos los elementos de una determinada clase. Ela recopilacin de toda la informacin posible que caracteriza a esos elementos. Normalmente no se puede obtenetoda esa informacin debido a diversos motivos: escasezde tiempo, alto coste o, simplemente, porque la informacinse consigue mediante algn tipo de ensayo destructivo deforma que, si se prueban todos los individuos, al final sedispondra de una informacin muy precisa de una pobla-cin inexistente.

Por ejemplo, si en una fbrica de bombillas se dedicasen aprobar todas las bombillas hasta que se fundieran, la produccin neta de la fbrica sera nula.

Debido a estos motivos, lo que se hace habitualmente es tomar un subconjunto (llamado muestra) de la poblacinpara, a partir de l, obtener la informacin. As, aunquese destruyan los elementos del subconjunto, su informacinpodr ser extrapolable a los elementos del resto de la poblacin.

B. Mue st ra

M uestra es un subconjunto representativo de una poblacines la parte que se selecciona para analizar los datos quequeremos controlar.

En estadstica, uno de los objetivos es asegurar que cuando se toma una muestra de una poblacin cada observa-cin, cada dato, tiene una oportunidad igual a los demsde ser incluido en la muestra. La muestra as obtenida reci

be el nombre de muestra aleator ia.

La funcin principal de las muestras aleatorias es la de seutilizadas para obtener informacin sobre la naturaleza dela poblacin de la cual se obtuvo la muestra. A esto se ledenomina inferencia estadstica.

Por ejemplo, conocida la media de una muestra se puedeestimar, con un grado de aproximacin concreto, la mediade una poblacin.


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En algunos casos se encuentra disponible informacin sobrela poblacin completa (la muestra coincide con la poblacin).

5. 3 Con juntos de datosPara poder aplicar las tcnicas estadsticas es necesario te-ner datos obtenidos de mediciones, ensayos, etctera.

A. Datos no agrupados

La informacin que se obtiene al hacer una encuesta, rea-lizar medidas en un laboratorio o una sala de ensayos, overificar un proceso concreto, consiste en una serie de da-tos. Dichos datos pueden ser todos distintos o aparecer re-petidos varias veces, y no suele ser corriente que presenten

ningn orden aparente.Al principio, los datos se recogen en tablas; posteriormen-te, es habitual agrupar dichos datos segn el procedimien-to que se presenta en el siguiente ejemplo.

Los datos de la estatura de diez personas son:

A continuacin estos datos se pueden representar grfica-mente mediante un histograma. Sobre el eje horizontal gra-duado se colocan los valores y sobre el eje vertical el nmerode veces que se repiten (frecuencias) (Fig. 5.1).

B. Datos agrupados

En estadstica, una de las primeras labores que se realizaen el tratamiento de datos es la de agruparlos.

Se parte de la informacin de datos no agrupados y se ex-presa el valor de cada dato y cuntas veces aparece repe-tido (frecuencia) (Tabla 5.2):

Los datos (un total de n) han sido agrupados en kvaloredistintos, cada uno con una frecuencia de aparicin f.

La frecuencia de cada dato indica cuntas veces aparece

Se llama tabla de frecuencias a la representacin agrupada de los datos. As, para el ejemplo anterior, obtenemoslos datos de la Tabla 5.3.

Persona Esta tura (m etros)

A 1,65

B 1,68

C 1,70

D 1,70

E 1,75

F 1,75

G 1,75

H 1,78

I 1,78

J 1,80

Tabla 5.1

Fig. 5.1. Histograma de los datos de la Tabla 5.1

4

0

3

2

1

1,65 1,68 1,70 1,75 1,78 1,80

Estatura

Nmerodepersonas

Va lo r Fre cuencia (nm er o d e veces q ue ap a rece )

x1 f1

x2 f2

x3 f3

. .

. .

. .

xk fk

Tabla 5.2


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La frecuencia tambin puede representarse en forma de por-centaje: es la frecuencia relativa. Por ejemplo, el porcenta-

je de personas con una altura de 1,75 metros es:

3 =0,3 30 %1 +1 +2 +3 +2 +1

As, la Tabla 5.3 se transforma en:

A la representacin agrupada de los datos expresados enforma porcentual se le denomina tabla de frecuencias re-lativas.

Esta forma de expresar los datos agrupados es bastante ha-bitual.

Su representacin grfica es la de la Fig. 5.2.

5.4 Agrupaci n de dat o spor c la ses

Al hacer el histograma de los datos y sus frecuencias relativas se obtiene la distribucin de frecuencia relativa.

De esta distribucin, de su forma, se puede obtener infor-macin muy til de cara a conocer los patrones de un con-

junto de datos.

Hay ocasiones en que el nmero de datos a analizar es muyamplio, de tal manera que se agrupan en pequeos subconjuntos denominados clases. Cada clase engloba datocomprendidos dentro de un intervalo definido por dos va-lores.

Por ejemplo, al hacer anlisis estadsticos de grupos de ciu-dadanos por edades se suelen agrupar de 5 en 5 aos o

de 10 en 10 aos, como se ve en la Tabla 5.5 de la pgina siguiente.

La primera clase engloba a todos los ciudadanos que tienende 0 a 10 aos de edad, la segunda a todos los quetienen de 11 a 20 aos, y as sucesivamente.

Cada columna del histograma correspondera a una clasey el nmero total de clases es lo suficientemente reducidocomo para poder trabajar con l.

Esta tura Frecuencia

(metros) (nmero de persona s)

1,65 1

1,68 1

1,70 2

1,75 3

1,78 2

1,80 1

Tabla 5.3

Esta tura (m etros) Porcenta je (%)

1,65 10

1,68 10

1,70 20

1,75 30

1,78 20

1,80 10

Tabla 5.4

Fig. 5.2. Histograma de los datos de la Tabla 5.4

40

0

30

20

10

1,65 1,68 1,70 1,75 1,78 1,80

Estatura

Porcentaje


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5. 5 Valores caracter st i cosde un con junto de dato s

En estadstica, la obtencin del conjunto de datos suele serel proceso ms complejo y laborioso, pero esta informa-cin, que ha sido difcil de conseguir, no sirve de nada sino se analiza convenientemente.

De este anlisis se obtendrn conclusiones que ayudarn

en la toma de decisiones tendentes a modificar un proce-so industrial, mejorar la calidad de un producto, mejorarla calidad de un proceso, firmar acuerdos de suministroentre empresas, reorientar la estrategia comercial de unacompaa, variar los proyectos de inversin de una em-presa, etc.

El primer proceso de anlisis consiste en obtener las medi-das de tendencia central y de dispersin.

A. Medidas de tendencia centra l

Las medidas de tendencia central sirven para dar una ideaorientativa sobre los valores de los datos contenidos en unconjunto. Las principales son: media, mediana y moda.

Media o esperanza

Se llama media de una muestra al valor medio de los da-tos obtenidos. Representa el valor que tendra cada dato sitodos fuesen iguales.

Cuando los datos no estn agrupados su valor es:

n

xii =1 x1 +x2 +x3 +...+xnx = =

n n

donde:

xi: valor de cada uno de los datos.n: nmero total de datos.

Si los datos estn agrupados, su valor es:

k k

fi xi fi xii =1 i =1x = =

n k fii =1

donde:

xi: valor de cada uno de los datos.

fi: frecuencia de cada uno de los valores.

n: nmero total de datos.

La media se indica colocando una barra sobre la letra querepresenta los datos.

En el ejemplo anterior la media de estaturas ser:

1,65 1 +1,68 1 +1,70 2 +1,75 3 +estatura =

1 +1 +2 +

+1,78 2 +1,80 1 =1,734 m

+3 +2 +1

Mediana

Es el valor del dato central. Para datos no agrupados y or-denados de menor a mayor se calcula de la siguiente ma-nera:

Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato

central.

Si el nmero de datos es par, la mediana es el promedioaritmtico de los dos datos centrales.

En el ejemplo del Apartado 5.3 A, como se trata de un n-mero par de datos, la mediana de estaturas es:

1,75 +1,75 =1,75 m

2

Cla ses Frecuencia s rela tiva s

0-10 fr1

11-20 fr2

21-30 fr3

31-40 fr4

41-50 fr5

51-60 fr6

61-70 fr7

71-80 fr8

81-90 fr9

91-100 o ms fr10

Tabla 5.5


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Moda

Es el valor de la muestra que aparece con ms frecuencia,o dicho de otra forma, es el valor del dato que ms vecesse repite.

En el ejemplo de estaturas la moda es 1,75 m, porque estedato se repite ms veces (tres).

B. Med idas de d i sp er s i n

De todas las medidas de tendencia central, la media es lams utilizada pero, sin embargo, no da informacin sobrecmo estn agrupados los datos, ni tampoco el resto de me-didas de tendencia central. Las medidas de dispersin s nosvan a dar informacin sobre cmo estn agrupados.

Comparando estos dos conjuntos de datos:

1 - 2 - 3 - 4 - 5

2,8 - 2,9 - 3 - 3,1 - 3,2

vemos que en ambos casos la media es tres, pero en el pri-mer conjunto los datos estn mucho ms dispersos que enel segundo. Hay muchos casos en los que, a pesar de quela media de dos conjuntos de datos coincide, los conjuntostienen una distribucin muy diferente.

Por ejemplo, supongamos que a un conjunto de tres perso-nas que trabajan en una empresa les suben el sueldo demanera que la subida media por persona es de 30 almes. A priori debiera parecer que todos estuvieran conten-tos, pero si dicha subida ha sido de 1 para dos personasy 88 para una de ellas, slo esta ltima se sentir real-mente satisfecha. Otro caso muy distinto sera el de quea cada una de las tres personas les subieran el sueldo en30 al mes. Sin embargo, en ambos casos la subida me-dia habra sido de 30 .

La situacin del ejemplo se da en muchos otros casos y, so-bre todo, en los procesos industriales. Por eso es necesariodisponer de informacin que nos oriente sobre cmo estn

distribuidos los datos. La valoracin de la dispersin delos datos nos dar una idea sobre la calidad del productoo del proceso.

Las principales medidas de dispersin son: desviacin tpi-ca, varianza y recorrido.

Desviacin tpica

Tambin se denomina desviacin estndar. Se representapor S o .

Para datos no agrupados su valor es:

n

(xi x)2i =1

= n 1

N ota : sta es la frmula de la desviacin tpica para unamuestra; cuando se trata de obtener la desviacin tpicade una poblacin, se ponenen el denominador en lugar den 1. Como en materia de calidad se suele trabajar conmuestras y no con poblaciones, en esta unidad se ha elegi-do la frmula con n 1 en el denominador.

Para datos agrupados, la frmula aproximada es:

k k k

fi(xi x)2 n fixi2 fixi2

i =1 i =1 i =1 = o =

n 1 (n 1) n

En el ejemplo que hemos visto de las estaturas, el valor dela desviacin tpica es:

1 7,056 103 +1 2,916 103 +2 1,156 103 + =

9

+30,256103 +22,116103 +14,356103 =

=4,90 102 m

Varianza

La varianza es el cuadrado de la desviacin tpica. Se simboliza como 2 o S2.

Para el ejemplo que estamos viendo:

2 =2,40 103 m2

Recorrido

El recorrido (R)de un conjunto de d atos es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

En el ejemplo inicial de la estatura:

R=1,80 1,65 =0,15 m

5.6 Distribucin de probabilidad

En la industria, al fabricar un componente o una mquinala calidad final que se obtiene depende de muchos parmetros: desgaste de las herramientas con que se fabrica


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pericia de los operarios, estado o calidad de las mate-rias primas, temperatura y grado de humedad del entornode trabajo, etc. Algunos de estos parmetros se conocen deforma exacta, mientras que otros se sabe que siguen unacierta tendencia o comportamiento genrico (aunque no seconozca su valor particular exacto). La estadstica nos pro-porciona una herramienta muy potente para poder traba-

jar con estos casos en los que se conoce slo el comporta-miento pero no el valor preciso: se trata de las variablesaleatorias.

Var iable a leatoria es la funcin que asigna una probabili-dad de ocurrencia a unos sucesos. Cada variable aleatoriaresponde a un tipo de distribucin de probabilidad.

Para conjuntos de valores que pueden ser enumerados unoa uno (aunque sean infinitos) las variables aleatorias se de-nominan discretas, y para el resto (valores que varan deforma continua) se llaman continuas.

En calidad, la que ms se usa es la variable aleatoria con-tinua.

A. Variab le aleator ia cont inua

En ocasiones, el tipo de dato a estudiar puede variar de for-ma continua, como, por ejemplo, sucede con la longitud, lasuperficie, el volumen, el tiempo, la masa, etc. En estos ca-sos, como opcin ms adecuada frente al histograma debarras, tenemos la representacin por medio de una funcin

del tipoy=f(x) (Fig. 5.3).

La superficie contenida entre f(x) y el segmento de eje ho-rizontal acotado por dos puntos representa la probabilidadde ocurrencia de un suceso (a mayor superficie, mayor pro-babilidad, y viceversa). A efectos de clculo se supone que

la probabilidad asociada a un punto concreto es 0, pues lasuperficie asociada a un punto de la grfica es 0.

A f(x) se le denomina funcin de densidad de probabil idad.

El rea total bajo la funcin f(x) es, por tanto, equivalenteal 100 % de la probabilidad.

En la Fig. 5.3 se observa que la probabilidad que tienexde estar contenida en el segmento (a, b) es el rea encerrada bajo la curva entre los puntos a y b. Corresponde ala zona rayada.

Se puede hacer un smil entre la densidad de una masa yla densidad de probabilidad:

Si la funcin de densidad representa la distribucin dela densidad de una pieza metlica a lo largo del ejexla masa de esa pieza entre a y b ser el rea rayada

Si la funcin de densidad representa la distribucin dela probabilidad de un suceso a lo largo del ejex, la probabilidad de ese suceso entre a yb ser el rea rayada

La probabilidad del intervalo a


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La funcin de distribucin continua ms utilizada en cali-dad es la llamada funcin normal.

La distribucin normal

Es la ms importante y la de mayor uso de entre todas lasdistribuciones continuas. Tambin es la ms utilizada en ca-lidad.

La experiencia demuestra que las distribuciones de la ma-yora de muestras tomadas en el campo de la industria seaproximan a la distribucin normal si el tamao de la mues-tra es grande.

La curva es simtrica, con forma de campana, y se extien-de sin lmite desde menos infinito a ms infinito en el ejex.

Tambin se conoce como campana de Gauss.

La distribucin normal se ajusta muy bien a las distribucio-nes de gran cantidad de variables fsicas, tales como: con-

centracin de sustancias en la sangre, vida media de algu-nos equipos electrnicos, dimensiones de componentesmanufacturados, valores de resistencias, condensadores,etctera.

Su funcin de densidad de probabilidad es la siguiente:

f(x) = e

para:


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La Fig. 5.9 corresponde a la curva normal N (0, 1).

La funcin de distribucin acumulativa de la normal es:

F(x) = e dt

para:


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El rea comprendida entre (4, 4) corresponde a (4, 4)para N (0, 1): F(4) F( 4) =0,9999 que en porcentaje es99,99 % (Fig. 5.13).

Normalmente se considera que la zona (4, 4) cubre el100 % de la probabilidad asociada a esta distribucin.

Mtodo para calcular probabilidades de

distribuciones normales distintas a la N (0, 1)

La normal N (0, 1) (llamada normal estndar) est tabula-da, como ya se ha indicado, y en la tabla del Anexo I sepuede identificar la probabilidad acumulada correspon-diente a cada punto. Pero no existen tablas para otras nor-males, ya que, al tener la misma forma, se puede aprove-char la tabla de valores de la normal estndar para obtener

los de las otras.Si se tiene una curva normal con 0 y/ o 1, como sue-le ser habitual, se puede realizar el siguiente cambio:

x P(Xx) =PZ

a b P(ax b) =Pz

es decir, la probabilidad de quexest entre a y b es igual

a la probabilidad de quezest entrea b y

con Z=N (0, 1)

X=N (, ) N (0, 1) para cualquier {, }.

Por ejemplo, sea la curva normal N (100, 10); se desea ha-llar la probabilidad de quextome un valor entre 90 y 110.

1 . Se transforma el primer punto:

90 100z= =1

10

2 . Se transforma el segundo punto:

110 100

z= =110

3 . Se busca en la tabla de la normal la probabilidad asociada a (1, 1), que es

F(1) F(1) =0,8413 0,1587 =0,6826

y en porcentaje: 68,26 %.

5. 7 E s t ima c i n

Una de las principales aplicaciones de la estadstica es lade identificar, con una aproximacin tan buena como se desee, parmetros de una poblacin, principalmente su media y su desviacin tpica.

La nica forma de conocer exactamente un parmetro deuna poblacin sera muestrear todos sus individuos, peroesto normalmente no se puede hacer. Lo que s es posiblees tomar una muestra aleatoria de esa poblacin con objeto de, una vez tratados los datos de la muestra, poder esti

mar el parmetro que se buscaba de la poblacin. Esta es-timacin de un parmetro a partir de la muestra recibe enombre de estimador. La estadstica nos permite afirmaque en un intervalo en torno a ese estimador se hallar evalor real del parmetro de la poblacin con una probabi-lidad determinada; a esa probabilidad se le da el nombredenivel de confianza.

Al intervalo en donde se espera se encuentre el parmetrode la poblacin se le denomina intervalo de confianza .

Por ejemplo, la fbrica de componentes elctricos El Chis

pazo S. A. ha comprado una mquina para hacer fusiblesEl departamento tcnico desea conocer el valor medio de laintensidad capaz de destruir el fusible para toda la poblacin de fusibles.

Si para conocer este dato deciden ensayar todos los fusiblesque produce la mquina, la produccin neta ser 0, ya queel ensayo es de tipo destructivo.

Deciden, por tanto, tomar una muestra de 100 unidades yensayarla; la media muestral (media de la muestra)x es 9,5

Fig. 5.13

rea correspondiente a(4, 4) =99,99 %

4 3 2 2 3 4X


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amperios. Realmente sta no es la media de la poblacin,sino de la muestra, pero pueden afirmar que la media dela poblacin est entre 8,5 A y 10,5 A con un nivel de con-fianza del 95 %? Para ello hay que utilizar los mtodos deestimacin por intervalos de confianza.

A. Estimac i n por intervalos de confianza

La notacin que se emplea es la siguiente:

: parmetro a estimar.

: riesgo de error (fijado de antemano).

1 : nivel de confianza.

(h1, h2): intervalo de confianza.

El problema planteado consiste en hallar los valores (h1, h2)

que hacen que la probabilidad de que se encuentre entreellos sea 1 , es decir:

P(h1


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5.8 Plane s de muestre o

Todas las empresas reciben algn tipo de suministro de susproveedores. Es importante que estos suministros tengan uncierto nivel de calidad, y ese nivel debe estar asegurado dealguna manera.

Las tendencias actuales de calidad van encaminadas a loque se denomina calidad concertada, donde el proveedoracuerda con el comprador un sistema de suministro de pro-ductos que cumple ciertos requisitos de calidad (concerta-dos en un contrato) y que son verificados por el proveedor.De esta forma, cuando los suministros llegan al comprador,ste no realiza ningn tipo de inspeccin de entrada.

Sin embargo, todava es habitual encontrar casos donde elcomprador tiene un filtro de entrada de materias primasdonde controla su calidad. En otros casos, el filtro se co-loca internamente dentro del proceso de produccin, a la sa-lida de algn proceso crtico.

Habitualmente, los suministros se realizan por lotes de pro-ductos. Para aceptar un lote de suministros un compradortiene tres opciones:

a) Inspeccin total, es decir, la inspeccin de todos los pro-ductos del lote recibido.

b) Muestreo, si slo se inspeccionan partes de los productos del lote tomando una muestra.

c) No se inspecciona ningn producto del lote.

La opcin a)suele ser muy cara, y si el mtodo de inspec-cin es destructivo, supondra la prdida de todo el lote

La opcinc)slo es recomendable en un sistema de calidad

concertada.

En general, la opcinb)es la ms extendida. Se trata de inspeccionar una parte del lote (muestra), y en funcin de lacalidad de sta, aceptar o rechazar todo el lote completo

La Tabla 5.6 muestra para qu casos es ms apropiada latoma de datos por muestreo o inspeccin total.

Estos mtodos para controlar la calidad de lotes de productos estn basados en anlisis estadsticos. El consumi-dor desea asegurarse de que el producto que adquiere tiene un cierto nivel de calidad.

Si en la muestra se mide una variable fsica continua, se tra-ta de una inspeccin por variables.

Si lo que se hace es contabilizar una serie de defectos, hablamos de una inspeccin por atributos.

El proceso estadstico de muestreo de lotes ha sido amplia-mente estudiado y analizado. Su mtodo y conclusiones sehan recogido en varias normas realizadas aplicando la estadstica. Su utilizacin radica en la aceptacin o rechazode lotes de productos de los cuales se extrae una muestra

En general, se establece un cierto nivel de calidad que debesatisfacer el lote. En funcin del nmero de unidades defectuosas halladas en las muestras se puede estimar el nive

Hay que encontrar el valor que hace que la funcin dedistribucin acumulada de la normal valga 0,995; esdecir, F() =0,995.

Buscando en la tabla se ve que esto se cumple para =2,57.

Por tanto, el intervalo de confianza al 99 % ser:

I =x ;x + n n

200 200I =7 000 2,57 ; 7 000 +2,57 36 36

I =(6 914,34 ; 7 085,66)

Hay un 99 % de posibilidades de que la media de lapoblacin pertenezca a ese intervalo.

C a s o pr c t i c o 1 ( c on t i n u a c i n )

TO M A DE DATO S

M uestreo Inspeccin tota l

Inspeccin de una muestraque pertenece a unapoblacin.

Para lotes de gran tamaoresulta ms econmico y msrpido que la inspeccintotal.

Imprescindible en casos deensayos destructivos.

Tabla 5.6

Examen de todos losindividuos de la poblacin.

Para lotes muy pequeos opara lotes donde no sontolerables los defectos.


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de calidad que tiene el lote y determinar si debe ser acep-tado o rechazado.

Hay que tener en cuenta que, como no se inspeccionan to-das las unidades del lote, existe el riesgo de aceptar un loteno apto o rechazar un lote apto. As, aparecen los concep-tos de riesgo del comprador y riesgo del vendedor.

Riesgo d el comp rad or es la probabilidad que hay de acep-tar un lote de calidad inferior a la estipulada.

Riesgo d el vendedor es la probabilidad que hay de recha-zar un lote que cumpla la calidad estipulada.

Al comprador le interesa minimizar no slo su riesgo, sinotambin el del vendedor, ya que rechazar un lote de cali-dad aceptable supone unos costes extras para el vendedorque a la larga repercutirn en el comprador. Los planes demuestreo tienden a minimizar ambos riesgos.

La norma UNE 66 020 recoge la informacin relativa a larealizacin de muestreos de lotes.

Sus equivalentes son:

ISO/ DIS 2 859.

NM-1-125 MA (1 R) 2 A.

La UNE 66-020 recoge con todo detalle el proceso aseguir.

A. Principales concepto s de un proceso de mu estreo

A continuacin se detallan los conceptos ms importantesy el proceso a seguir en un sistema de inspeccin por atri-butos.

En la inspeccin por atributos cada unidad se clasifica comodefectuosa o no defectuosa, o bien se contabiliza el nme-ro de defectos que la unidad presenta.

La inspeccin por atributos se puede aplicar a:

Productos terminados.

Componentes y materias primas.

Operaciones.

Materiales en curso de fabricacin.

Productos almacenados.

Operaciones de mantenimiento.

Las definiciones de los principales conceptos de un procesode muestreo son:

Lote

Es un conjunto de unidades de producto del que se extraeuna muestra para realizar una inspeccin.

Tamao del lote (N)

Nmero de unidades de producto de que consta el lote.

Muestra

Conjunto de una o varias unidades de producto extrada aazar de un lote.

Nivel de calidad aceptable (NCA)

Es el porcentaje mximo de unidades defectuosas que se

desea tengan los lotes que son admitidos en el proceso demuestreo. Por ejemplo, si un comprador quiere que de cada1 000 unidades haya como mximo 4 defectuosas, el NCAes 4/ 1 000; expresado en porcentaje es 0,4 %.

Muestreo

Accin que consiste en sacar una muestra de un lote.

Niveles de inspeccin

Determinan la relacin que guardan el tamao del lote y etamao de la muestra.

Existen siete niveles de inspeccin: cuatro para usos especiales, que son S-1, S-2, S-3, S-4, y tres para usos generales, que son nivel I, nivel II y nivel III.

En el nivel I la relacin entre el tamao de la muestra y etamao del lote es menor que en el nivel II, y ste a su vezofrece una relacin menor que la del nivel III.

Para los niveles de uso general, a mayor nivel de inspeccinms grande es la muestra en relacin al lote.

Si no se indica lo contrario en el procedimiento de muestreodel Manual de Procedimientos, se usar el nivel II de usosgenerales. ste es el nivel que se va a utilizar en el desarrollode esta unidad.

Inspeccin normal, rigurosa y reducida

Son tres tipos de inspeccin que se seleccionan segn el nmero de lotes que se van aceptando o rechazando.


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Planes de muestreo

Un plan de muestreo indica el nmero de unidades de pro-ducto de cada lote que debern ser inspeccionadas, ascomo el criterio para aceptar o rechazar el lote.

Hay tres tipos de planes de muestreo: simple, doble ymltiple.

Plan de muestr eo simple

En este plan se toma una sola muestra del lote. Consiste enestablecer, en funcin del tamao del lote y del nivel de ca-lidad aceptable, el tamao de la muestra y los nmeros deaceptacin y rechazo.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra es menor o igual que el nmero de aceptacin,el lote se acepta.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra es mayor o igual que el nmero de rechazo, ellote se rechaza.

Pla n d e m ue str eo d o ble

En este plan se toman una o dos muestras del lote. Consis-te en establecer, en funcin del tamao del lote y del nivelde calidad aceptable, el tamao de la primera muestra, loscriterios de aceptacin y rechazo para la primera muestra,

el tamao de la segunda muestra y los criterios de acepta-cin y rechazo para la suma de la primera y la segundamuestra.

El nmero de unidades de la primera muestra ser el in-dicado por el plan de muestreo.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en la pri-mera muestra es menor o igual que el primer nmero deaceptacin, el lote se acepta.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en la

muestra es mayor o igual que el primer nmero de re-chazo, el lote se rechaza.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra est entre el primer nmero de aceptacin y elprimer nmero de rechazo, se tomar la segunda mues-tra del tamao indicado por el plan de muestreo.

Se sumar el nmero de unidades defectuosas halladasen la primera y en la segunda muestra.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es menor o igual que el segundonmero de aceptacin, el lote se acepta.

Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es mayor o igual que el segundonmero de rechazo, el lote se rechaza.

Plan de muestr eo mltiple

Se toman entre una y varias muestras del lote. Este plan essemejante al plan de muestreo doble, pero mientras que eplan de muestreo doble tiene dos niveles de toma de mues-tras, ste puede tener un nmero de toma de muestras superior a dos, con sus correspondientes criterios de aceptacin o rechazo.

B. Proceso de real i zac in de muestreo s imple

En la norma UNE 66 020 aparece una gran cantidad de tablas para elegir tamaos de muestra, y nmeros de aceptacin en funcin de tamaos de lote, niveles de inspeccintipos de inspeccin y tipos de muestreo. En esta unidad se

Se desea realizar un plan de muestreo para lotes de

10 000 unidades. El objetivo es el de no aceptar nin-gn lote con ms de 40 unidades defectuosas.

Solucin:

Se har una inspeccin de nivel II normal.

El nivel de calidad aceptable es:

40/ 10 000 =0,004 =0,4 %.

El tamao de lote de 10 000 corresponde al grupo de

3 201 a 10 000; su tamao de muestra es 200.

Para un nivel de calidad aceptable de 0,4 % y un ta-mao de muestra de 200, el nmero de aceptacin (A)es 2 y el de rechazo (R) es 3.

Si se toma una muestra de 200 unidades y salen dosartculos defectuosos, el lote ser aceptado.

C a s o pr c t i c o 2


15/22

presentan los datos resumidos para una inspeccin de ni-vel II de tipo normal, que es la ms utilizada.

Para otros niveles y tipos de inspeccin habr que consul-tar la norma.

1 . Los datos de partida son el tamao del lote y el nivelde calidad aceptable.

2 . Con los criterios de inspeccin se acude a las tablas co-rrespondientes (Anexo II).

3 . Se busca en la columna de la izquierda la posicin co-rrespondiente al tamao del lote (N). A su derecha seencuentra indicado el tamao de muestra que se de-ber tomar (n).

4 . En la fila superior de la tabla estn los niveles de cali-dad aceptable del lote. Se busca el correspondiente al

nivel fijado. Si no es exacto, se busca el inmediatamenteinferior.

5 . En el lugar donde se cruzan la fila del tamao de mues-tra elegido con la columna del nivel de aceptacin,aparecen dos nmeros. El que est bajo la columna delaA es el nmero de aceptacin; el que est bajo la le-tra Res el nmero de rechazo.

6 . Se toma una muestra del tamao indicado. Se inspec-cionan las unidades de la muestra.

7 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra es menor o igual que el nmero de aceptacin,el lote se acepta.

8 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra es mayor o igual que el nmero de rechazo,el lote se rechaza.

C. Proceso de realiz ac in de muestreo doble

En esta Unidad se presentan los datos resumidos para unainspeccin de nivel II de tipo normal, que es la ms utiliza-da. Para otros niveles y tipos de inspeccin habr que con-sultar la norma.

1 . Los datos de partida son el tamao del lote y el nivelde calidad aceptable.

2 . Con los criterios de inspeccin se acude a las tablas co-rrespondientes, que se adjuntan en el Anexo II.

3 . Se busca en la columna de la izquierda la posicin co-rrespondiente al tamao del lote. A su derecha se en-cuentra indicado el tamao de la primera muestra y se-gunda muestra a tomar.

4 . En la fila superior de la tabla estn los niveles de calidad aceptable del lote. Se busca el correspondiente anivel fijado. Si no es exacto, se busca el inmediatamenteinferior.

5 . En el lugar donde se cruzan la fila del tamao de muestra elegido con la columna del nivel de aceptacinaparecen cuatro nmeros. De los dos de arriba, el queest bajo la columna de laA es el primer nmero deaceptacin; el que est bajo la letra Res el primer nmero de rechazo. De los dos de abajo, el que est bajola columna de laA es el segundo nmero de acepta-

cin; el que est bajo la letra Res el segundo nmerode rechazo.

6 . Se toma una muestra del tamao indicado para la primera muestra. Se inspeccionan las unidades de lamuestra.

7 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en laprimera muestra es menor o igual que el primer nmero de aceptacin, el lote se acepta.

8 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en la

primera muestra es mayor o igual que el primer n-mero de rechazo, el lote se rechaza.

9 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lamuestra est entre el primer nmero de aceptacin y eprimer nmero de rechazo, se tomar una segundamuestra del tamao indicado.

1 0 . Se inspecciona la segunda muestra.

1 1 . Se sumar el nmero de unidades defectuosas halla-das en la primera y la segunda muestra.

1 2 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lasuma de la primera y la segunda muestra es menor oigual que el segundo nmero de aceptacin, el lote seacepta.

1 3 . Si el nmero de unidades defectuosas halladas en lasuma de las muestras es mayor o igual que el segundonmero de rechazo, el lote se rechaza.


16/22

Se desea realizar un plan de muestreo para lotes de1 500 unidades. El objetivo es el de no aceptar ningnlote con ms de 15 unidades defectuosas.

Se har una inspeccin de nivel II normal.

El nivel de calidad aceptable es: 15/ 1 500 =0,01 =1 %.

Se buscan los datos correspondientes en la tabla de mues-treo doble, inspeccin normal, nivel II.

El tamao de lote de 1 500 corresponde al grupo de1 201 a 3 200, el tamao de la primera muestra es 80.

Para un nivel de calidad aceptable del 1 % y una prime-ra muestra de 80, el primer nmero de aceptacin (A) es1 y el primer nmero de rechazo (R) es 4.

Si se toma una muestra de 80 unidades y salen dos art-culos defectuosos, el lote no ser aceptado ni rechazado.

Se saca una segunda muestra de 80 unidades y sale unartculo defectuoso. Se suma el nmero de artculos de-fectuosos de las dos muestras: 2 +1 =3.

Como 3 es inferior al segundo nmero de aceptacin (quees 4), se acepta el lote.

De una primera muestra de 80 unidades de otro lote saleun artculo defectuoso; como es igual al primer nmero de

aceptacin, se acepta el lote.Ahora, de una primera muestra de 80 unidades de otrolote salen cinco artculos defectuosos; como es mayor queel primer nmero de rechazo, se rechaza el lote.

En otro lote de una primera muestra de 80 unidades sa-len tres artculos defectuosos; el lote no ser aceptado nirechazado.

Se saca una segunda muestra de 80 unidades (que es lacantidad indicada en la tabla) y salen dos artculos de-

fectuosos. Se suma el nmero de artculos defectuosos delas dos muestras: 3 +2 =5. Como 5 es igual al segundonmero de rechazo, se rechaza el lote.

C a s o pr c t i c o 3

Astrnomo, matemtico y fsico alemn. Estudi mate-mticas en la Universidad de Gotinga y su carrera sedistingui por sus trabajos de aplicacin de las mate-mticas a la fsica, geodesia y astronoma. A los 22 aos(en 1799) se doctor en la Universidad de Helmstedt,con un trabajo en el que demostraba un teorema de l-gebra enunciado por Girard en 1629.

En 1801, public la obra Disquisitiones Arithmeticaeenla que expone sus teoras sobre los nmeros. Tras esta

obra comenz a dedicarse casi por completo a la as-tromoma. En este campo consigui determinar trayec-torias de cuerpos celestes (como Ceres) utilizando susteoras de clculo, que le hicieron conseguir la plaza dedirector del Observatorio Astronmico de Gotinga en1807.

En 1829 estudi fsica y, en 1839, public la obraTeora general del magnetismo terrestre. A l se debe

tambin la ley de Gauss de los flujos elctricos y mag-nticos y la ley o distribucin de Gauss de probabi-lidad.

F r i e d r i c h K ar l G au s s ( 1777 -1855 )

Fig. 5.14. Funcin normal o campaa de Gauss

x

y


17/22

Cada mes, el Instituto Nacional de Estadstica publica elvalor del IPC (ndice de Precios de Consumo) corres-pondiente al mes anterior. El IPC representa el incrementode precio que sufren los bienes de consumo.

Como no es posible analizar todos los precios de todoslos productos, se toma una muestra representativa debienes de consumo. Los productos se han agrupado enparcelas de consumo para cada una de las cuales se ha

elegido uno o varios artculos que representan, con suevolucin, la de los precios de todos los artculos quecomponen la correspondiente parcela.

El nmero de artculos seleccionados es de 484; todosellos forman lo que se conoce con el nombre de cestade la compra.

Los 484 artculos estn repartidos en 12 grupos:

E l I P C d e l m e s

G rupos N m ero de a r tculos

1 Alimentos y bebidas no alcohlicas 171

2 Bebidas alcohlicas y tabaco 12

3 Vestido y calzado 67

4 Vivienda 18

5 Menaje 60

6 Medicina 13

7 Transporte 31

8 Comunicaciones 3

9 Ocio y cultura 40

10 Enseanza 8

11 Hoteles, cafs y restaurantes 24

12 Otros 37

TO TAL 4 8 4

FUENTE: Instituto Nacional de Estadstica (2002).

La recogida de la informacin (los precios de los pro-ductos) se realiza por visita de un entrevistador al esta-blecimiento de venta. Adems, existen algunos artculoscuyo precio no se recoge en establecimientos, sino quese hace de forma centralizada (telfono, peridicos, re-vistas, medicamentos, etc.). Se tienen en cuenta las ofer-tas y las rebajas. Tambin se tienen en cuenta los cam-bios en la calidad del producto (especialmente enordenadores, electrodomsticos y vehculos), determi-nando qu parte del incremento del precio se debe a unamejora de las caractersticas del producto.

El nmero total de precios procesados mensualmente su-pera los 180 000.

Todos los grupos no tienen la misma influencia sobre elIPC, sino que se aplica un peso o ponderacin distinto a

cada uno en funcin de la importancia que tienen en elconsumo. Los valores con que se pondera cada grupovaran cada ao y dichos valores se establecen graciasa la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares. Lasponderaciones representan la importancia relativa quetiene cada artculo de la cesta de la compra frente a losdems; el parmetro que se utiliza para ello es el gastoque realizan las familias.

A travs de diversas operaciones matemticas, toman-do como dato los incrementos de los precios recogidosy la ponderacin de cada grupo, se obtiene el IPC, unaespecie de media ponderada de los incrementos de losprecios.

El IPC de cada mes se publica la primera quincena delmes siguiente.


18/22

A continuacin se proponen una serie de trminos que hanaparecido a lo largo de la Unidad. Intenta encontrar ladefinicin ms precisa de ellos y apntala en el cuaderno.

Estadstica.

Frecuencia. Moda.

Poblacin.

Muestra.

Intervalo de confianza.

Lote.

Riesgo del comprador.

Riesgo del vendedor.

Nivel de calidad aceptable.

V o c a b u l ar i o

La estadstica es la ciencia que estudia los fenmenosaleatorios. Proporciona herramientas muy potentes paraanalizar conjuntos de datos y la relacin existente entreellos. Trata de sacar conclusiones de una poblacin apartir de muestras tomadas en la misma.

La poblacin son todos los elementos de una determina-da clase, y la muestra es un subconjunto representativode una poblacin.

Los datos obtenidos de una muestra se pueden agruparpor frecuencias, que es el nmero de veces que aparece

cada dato.

Los principales valores caractersticos de un conjunto dedatos son:

M edida s de tendencia central

Media o esperanza

n

xii =1 x1 +x2 +x3 +...+xnx = =

n n

Mediana . Es el valor del dato central.

M o d a . Es el valor de la muestra que aparece con msfrecuencia.

M edida s de dispersin

Desviacin tpica. Tambin llamada desviacin es-tndar.

n

(xi x)2

i =1 = n 1

Var ianza. Es el cuadrado de la desviacin tpica.

Recorrido. El recorrido (R)de un conjunto de datos esla diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

La distribucin norm al es la ms utilizada en calidad.Su funcin de densidad de probabilidad es la siguiente:

f(x) = e

La funcin normal se suele indicar as: N(, ).

Para calcular probabilidades de distribuciones normalesdistintas a la N(0, 1) se emplea el siguiente mtodo:

Si se tiene una curva normal con 0 y/ o 1, sepuede realizar el cambio:

x P(Xx) =PZ

La estimacin se usa para determinar con una buenaaproximacin parmetros de una poblacin partiendode los datos tomados de una muestra de esa poblacin.

Un plan de muestreo indica el nmero de unidades deproducto de cada lote que debern ser inspeccionadas,as como el criterio para aceptar o rechazar el lote. Pue-de ser: simple, doble y mltiple.

1 x

2

2 1

2

C o n c e p t o s b s i c o s


19/22

1 . Halla la media y la desviacin tpica de esta serie dedatos:

a) 20, 22, 21, 23, 19, 24, 22, 21, 22, 22, 23.

b) 49,8 - 49,9 - 49,8 - 49,9 - 50 - 50 - 49,9 - 50 -49,9 - 50,1.

c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

2 . Halla la media y la varianza de este conjunto de da-tos: 198, 198, 199, 199, 199, 200, 200, 200, 200,200, 201, 201, 201, 202, 202.

3 . Las estaturas de los cinco titulares de un equipo de ba-loncesto son:

1,75 m; 1,80 m; 1,87 m; 1,97 m; 2,02 m.

Halla la estatura media del equipo.

4 . Las edades de los once titulares de un equipo de ftbolson:

38, 17, 19, 25, 24, 23, 24, 25, 26, 29, 25.

Halla la edad media del equipo.

5 . Con los datos 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12,13, 13, 13, 14, 15 realiza:

a) Una tabla de frecuencias.

b) Una tabla de frecuencias relativas.

c) Halla la media.

d) Calcula la desviacin tpica.

6 . Halla la media y la desviacin tpica de estos datosagrupados:

7 . Halla la media y la desviacin tpica de estos datosagrupados:

8 . Compara las caractersticas de precisin de dos mquinas (A y B) de taladrar agujeros de dimetro no-minal 1,2 mm.

Se han realizado 10 taladros con cada una y los resultados han sido:

A: 1,18 - 1,19 - 1,19 - 1,20 - 1,20 - 1,20 - 1,21 1,21 - 1,22.

B: 1,190 - 1,195 - 1,195 - 1,197 - 1,200 - 1,203 1,205 - 1,205 - 1,210.

9 . Una fbrica produce bombillas cuya duracin tieneuna distribucin N(2 200, 400). Determina qu por-centaje de bombillas se habrn fundido despus de

transcurridas 1 800 horas.

1 0 . En una empresa de torneado fabrican ejes para po-tencimetros. La distribucin de dimetros sigue unanormal N(6; 0,05). Si los ejes deben estar entre 5,90mm y 6,10 mm, determina el porcentaje de ejes quese desecharn.

1 1 . De una poblacin de remaches se ha tomado al azaruna muestra de 15.

La fuerza de rotura, en Newtons, de los 15 remaches

ha sido: 498, 499, 499, 499, 500, 500, 500, 500500, 501, 501, 501, 502, 502, 503.

Se sabe que la desviacin tpica de la poblacin deremaches es de 1,2 N.

Halla el intervalo en el cual se halla la media dela poblacin con un nivel de confianza de 0,95(95 %).

A

ctivid

a

d

es

Da to Frecuencia

8 1

9 2

10 3

11 3

12 3

13 2

14 1

Da to Frecuencia

8 100

9 200

10 300

11 300

12 300

13 200

14 100


20/22

1 2 . Elabora un plan de muestreo simple para lotes de100 000 unidades que deban tener menos de 10 de-fectuosas.

1 3 . Elabora un plan de muestreo simple para lotes de2 000 unidades que deban tener menos de 13 de-fectuosas.

1 4 . Con el plan de muestreo del ejercicio anterior indicaqu haras con un lote cuya muestra tiene:

a) 2 unidades defectuosas.

b) 16 unidades defectuosas.

c) 3 unidades defectuosas.

1 5 . Elabora un plan de muestreo doble para lotes de1 000 unidades que deban tener menos de 150 de-

fectuosas.

1 6 . Con el plan de muestreo del ejercicio anterior, in-dica qu haras con un lote cuya primera muestratiene:



c) 15 unidades defectuosas y cuya segunda muestratiene 14 unidades defectuosas.

1 7 . Elabora un plan de muestreo doble para lotes de600 000 unidades que deban tener menos del 0,65 %de unidades defectuosas.

1 8 . Con el plan de muestreo del ejercicio anterior, in-dica qu haras con un lote cuya primera muestratiene:



c) 8 unidades defectuosas y cuya segunda muestratiene 7 unidades defectuosas.

1 9 . En la siguiente tabla se recoge el nmero de produc-tos defectuosos que salieron de un centro de mecani-zado en un ao.

Halla la media de productos defectuosos por mes.

2 0 . Halla la media de averas anuales de una mquinapartiendo de la informacin contenida en la siguiente tabla.

2 1 . a) Una empresa produce tubos de escape para automviles. La vida til de los tubos sigue unaNormal de media 3 aos y desviacin tpica 6meses.

Si la empresa garantiza sus productos por dosaos, determina qu porcentaje de los tubos seestropear estando en garanta.

N mero de productosM es

defectuosos

10 Enero

12 Febrero

9 Marzo

13 Abril

8 Mayo

10 Junio

9 Julio

0 Agosto

16 Septiembre

10 Octubre

9 Noviembre

11 Diciembre

N mero de a vera s Ao

10 1999

2 2000

2 2001

1 2002

3 2003

2 2004

4 2005

5 2006


21/22

b) Si la empresa produce 100 000 tubos de escapeanuales y reponer un tubo en garanta le cuesta50 , determina el coste anual de la empresapara cubrir su garanta.

c) La empresa realiza un plan de mejora de calidad.Consigue que la vida til de sus tubos de escape

siga una Normal de media 3,5 aos y desviacintpica 6 meses. En esta nueva situacin, determinaqu porcentaje de tubos de escape se estropearnantes de transcurridos los dos aos de garanta.

d) Con un coste de reposicin de 50 y una produc-cin de 100 000 unidades anuales, determina elcoste anual de la empresa para cubrir su garanta.

2 2 . Halla la media y la desviacin tpica de estos datosagrupados:



2 5 . Elabora un plan de muestreo doble para lotes de10 000 unidades que deban tener menos de 120 uni-dades defectuosas. Inspeccin normal. Nivel de inspeccin II.

2 6 . Elabora un plan de muestreo simple para lotes de10 000 unidades que deban tener menos de 120 uni-dades defectuosas. Inspeccin normal. Nivel de inspeccin II.

2 7 . Una planta de envasado produce sacos de 50 kg. La

distribucin de peso de los sacos sigue una funcinnormal N(50; 0,1).

a) Halla el porcentaje de sacos que pesar 50 kg omenos.

b) Halla el porcentaje de sacos que pesar 49,9 kgo menos.

c) Halla el porcentaje de sacos que pesar 49,8 kgo menos.

d) Halla el porcentaje de sacos que pesar 50,1 kg

o menos.

e) Halla el porcentaje de sacos que pesar 50,2 kgo menos.

f) Halla el porcentaje de sacos que pesar 50,3 kgo menos.

g) Halla el porcentaje de sacos que pesar entre49,9 kg y 50,1 kg.

A

ctivid

a

d

es

Da to Frecuencia

210 1

220 5

230 8

240 10

250 11

260 10

270 8

280 5

290 1

Da to Frecuencia

51 10

52 5053 80

54 100

55 110

56 100

57 80

58 50

59 10

Da to Frecuencia

51 1

52 5

53 8

54 10

55 11

56 10

57 8

58 5

59 1


22/22

h) Halla el porcentaje de sacos que pesar entre49,8 kg y 50,2 kg.

i) Halla el porcentaje de sacos que pesar entre49,7 kg y 50,3 kg.

2 8 . Una planta envasadora de aceite del Bajo Aragnproduce 100 000 botellas de aceite de oliva virgenextra. La cantidad de aceite que entra en cada bote-lla sigue una distribucin normal N(1; 0,01).

a) Halla el nmero de botellas que contendrn 1 li-tro de aceite o menos.

b) Halla el nmero de botellas que contendrn 0,99litros o menos.

c) Halla el nmero de botellas que contendrn 0,98litros o menos.

El gerente de la empresa desea que el 90 % de susbotellas contengan 1 litro de aceite o ms.

d) Sin modificar la desviacin tpica, cul debe sela media de la distribucin normal para que se al-cance ese objetivo?

e) Cuntos litros de aceite se necesitarn para producir 100 000 botellas?

Se mejora la precisin de la mquina de llenadoreduciendo la desviacin tpica a 0,005:

f) Cul ser la nueva media para cumplir el objetivo del 90 % con un litro o ms?

g) Cuntos litros de aceite se necesitarn para producir 100 000 botellas?

tecnicas estadisticas aplicadas a la calidad

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