tarea unidad 5 dinamica civil b

MATERIA:

DINAMICA

CATEDRÁTICO:

JORGE ALEJANDRO GARCÍA MACAL

INVESTIGACIÓN:

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD V CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS

CARRERA:

INGENIERÍA CIVIL

4TO SEMESTRE

GRUPO B

PRESENTA:

BARRIOS MONTERROZA ANDERSON

COLMENARES TORRES ALBERTO

RAMÍREZ ESCOBAR MANUEL ISAÍ

VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN

ZARAGOZA ZAMORA ZAIDIEL

A 18 DE MAYO DEL 2015

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UNIDAD 5

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TAPACHULA“LIBERTAD DE ESPÍRITU EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA”

INGENIERÍA CIVILDINAMICA

RESUMEN

La Cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones existentes éntrelas fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslación y rotación de dichos cuerpos. En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación más para especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitará dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes. Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.

La Cinética esencialmente se realiza el análisis del movimiento de un cuerpo real, considerado que teóricamente tal cuerpo no se deforma y estableciendo las fuerzas que: propician (motriz), contrarrestan o se producen (en) el movimiento del cuerpo.

Cualquier cuerpo real posee masa, ocupa un lugar en el espacio y podrá ser considerado como un objeto tridimensional; implicando que, cualquiera de sus partes puede ser caracterizado por tres dimensiones: largo, ancho y espesor (profundidad); los cuerpos poseen dos propiedades esenciales, una es el centro de gravedad y la otra es el momento de masa de inercia, ambas definidas matemáticamente. Las coordenadas con respecto a un sistema de referencia (por ejemplo el cartesiano (x, y, z)) que definen la ubicación del centro de gravedad de un cuerpo se obtienen considerando la configuración geométrica del cuerpo, mediante el cociente de dos integrales cuyo dominio de integración es un volumen. Desde el punto de vista de la física se considera que en el centro de gravedad de un cuerpo se concentra toda la masa del cuerpo (sus unidades físicas son el kg en el sistema internacional, y el slug en el sistema inglés). La cantidad de masa y la configuración geométrica del cuerpo dificultan o facilitan el movimiento del cuerpo, para cuantificar las posibilidades de movimiento se utiliza el concepto de momento de masa de inercia definido matemáticamente por una integral.

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UNIDAD 5



ÍNDICEDESARROLLO.....................................................................................................................................4

5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO........................................................4

5.2 MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO...............................................13

5.3 TRABAJO Y ENERGIA DE UN CUERPO RIGIDO.......................................................................18

5.4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.............................................................................20

CONCLUSIONES................................................................................................................................27

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................................28

NOTAS..............................................................................................................................................29

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UNIDAD 5



DESARROLLO5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

A continuación se van a extender las leyes de Newton para poder cubrir el movimiento plano de un cuerpo rígido, proporcionando así ecuaciones que relacionen el movimiento acelerado lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos que lo originan.Dichas ecuaciones pueden utilizarse para determinar:1.- Las aceleraciones instantáneas ocasionadas por fuerzas y momentos conocidos, o2.- Las fuerzas y momentos que se necesitan para originar un movimiento prefijado.

Ecuaciones del movimiento plano

Como ya hemos estudiado “principio del movimiento del centro de masa” de un sistema de puntos materiales. Como un cuerpo rígido se puede considerar como un conjunto de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias mutuas, el movimiento del CDM G de un cuerpo rígido vendrá dado por la ecuación:

R maG

Escalarmente:

La ecuación anterior se obtuvo simplemente sumando fuerzas, con lo que no se tiene información de la situación de su recta soporte.

El movimiento real de la mayoría de los cuerpos rígidos consiste en la superposición de la traslación originada por la resultante R y la rotación debida al momento de esa fuerza cuando su recta soporte no pasa por el cdm G del cuerpo.

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UNIDAD 5



ANALISIS DE LA ROTACIÓN:

Consideremos un cuerpo rígido de forma arbitraria como el de la figura.

•El sistema de coordenadas XYZ está fijo en el espacio.•El sistema de coordenadas xyz es solidario al cuerpo en el punto A.•El desplazamiento de un elemento de masa dm respecto al punto A viene dado por el vector ρ y respecto al origen O del sistema de coordenadas XYZ viene dado por el vector R.•El desplazamiento del punto A respecto al origen O del sistema XYZ lo da el vector r.

Las resultantes de las fuerzas exteriores e interiores que se ejercen sobre el elemento de masa dm son F y f, respectivamente. Así, el momento respecto al punto A de las fuerzas F y f es:

La aceleración adm de un cuerpo rígido en movimiento plano puede escribirse:

Sustituyendo e integrando, tenemos:

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UNIDAD 5



El movimiento plano de un cuerpo rígido es un movimiento en el cual todos los elementos del cuerpo se mueven en planos paralelos, llamando plano del movimiento a un plano paralelo que contiene el cdm G.

Según la figura, los vectores velocidad angular y aceleración angular serán paralelos entre sí y perpendiculares al plano de movimiento. Si tomamos el sistema de coordenadas xyz de manera que el movimiento sea paralelo al plano xy, tendremos que:

Para el movimiento en el plano xy, los diferentes términos de la expresión de MA,cuando el punto A está situado en el plano de movimiento se desarrollan acontinuación:

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UNIDAD 5



Las integrales que aparecen en el desarrollo anterior son:

Como Z=0 ya que se trata de un movimiento plano en el plano xy que pasapor el cdm G (y por el punto A) tenemos:

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UNIDAD 5



Este sistema de ecuaciones relaciona los momentos de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo rígido con las velocidades angulares y las propiedades inerciales del cuerpo.

Los momentos de las fuerzas y los momentos y productos de inercia lo son respecto a los ejes xyz que pasan por el punto A y están fijos en el cuerpo. Si no estuvieran fijos en el cuerpo, los momentos y productos de inercia serían funciones del tiempo.

Las ecuaciones muestran que pueden ser necesarios los momentos MAx y MAy para mantener el movimiento plano en torno al eje z.En la mayoría de los problemas de Dinámica referentes al movimientoplano, se pueden simplificar las ecuaciones anteriores.

Principio de D‘ Alembert

El principio de D’ Alembert enunciado por Jean D’ Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:

momentum de la partícula i-ésima.

fuerza externa sobre la partícula i-ésima.

cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.

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UNIDAD 5



El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique.

Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:1. En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la

existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert.

2. En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange.

Finalmente debe señalarse que el principio de d‘ Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D‘ Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa más una fuerza de ligadura entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de momentum viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo.

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UNIDAD 5



Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.

Ecuaciones de Euler-Lagrange

El principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implícitamente incorporen dichas ligaduras.Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:

Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:

El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:

La última implacación se sigue de que ahora todas las son independientes. Además la fuerza generalizada Qj y el término Wj vienen dados por:

Expresando Wj en términos de la energía cinética T tenemos:

Y por tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange:

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UNIDAD 5



Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos decir que existe una función potencial U(Wj) y podemos definir el lagrangiano L = T - U, simplificando aún más la expresión anterior.

Sistemas en movimiento acelerado

Otra consecuencia del principio de D'Alembert es que conocidas las aceleraciones de un cuerpo rígido las fuerzas que actúan sobre el mismo se pueden obtener mediante las ecuaciones de la estática. Dicho de otra manera, si se conocen todas las aceleraciones un problema dinámico puede reducirse a un problema estático de determinación de fuerzas. Para ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:

Donde:

Es la aceleración conocida de un punto del sólido.

Es la velocidad angular conocida del sólido.

Son respectivamente la masa y el momento de inercia del sólido con respecto a un sistema de ejes que pase por el punto c.

En estas condiciones las ecuaciones del movimiento pueden escribirse como un problema de estática donde existe una fuerza adicional y un momento adicional:

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UNIDAD 5



Ecuaciones de movimiento según Hibbeler

Considere un cuerpo rígido sobre el que actúan varias fuerzas externas F1, F2, F3, . . .Fn (figura 16.1). Se puede suponer que el cuerpo está integrado de un gran número n de partículas de masa ∆ mi (i = 1, 2, . . . , n) para un sistema de partículas (figura 16.2). Considerando primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz, la ecuación se escribe:

donde m es la masa del cuerpo y a_ es la aceleración del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de referencia centroidal Gx_y_z_ la ecuación se escribe

Donde HG representa la razón de cambio de HG, la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forma el cuerpo rígido. En lo subsecuente, HG hará referencia simplemente a la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido en torno a su centro de masa G. Junto con las ecuaciones (16.1) y (16.2) expresa que el sistema de fuerzas externas es equipolente al sistema consistente en el vector ma_ fijo en G y al par de momento H · G (figura 16.3).

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UNIDAD 5



5.2 MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO

El momento angular o momento cinético es una magnitud

física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica

clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su

importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías

rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría

rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el

tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de

conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El

momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es

la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. En

el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento

lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud

exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que

se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se

conserva.

El nombre tradicional en español es momento cinético, pero por influencia del

inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes

como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto

vectorial de su momento lineal por el vector .

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http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Moglfm1202_momento_angular.jpg

UNIDAD 5



En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual

con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad

de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el

símbolo . Siendo el vector que une el punto O con la posición de la masa

puntual, será

El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada

por la regla del producto vectorialo regla de la mano derecha y su módulo o

intensidad es:

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo),

definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la

recta que contiene la velocidad de la partícula.

Momento angular y momento dinámico

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al

tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo

al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al

segundo paréntesis, tenemos:

Donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuerza que

actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es

el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que

actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos

momentos, y deberán estar referidos al mismo punto O.

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UNIDAD 5



Momento angular de un conjunto de partículas puntuales

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos

angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las

fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de

origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre

partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero

de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por

cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario

y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen

interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del

conjunto. Solo quedan los momentos externos:

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de

momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de

partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Momento angular de un sólido rígido

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

Donde:

es la velocidad angular del sólido.

es el tensor de inercia del cuerpo.

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UNIDAD 5



Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del

tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la

segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes

principales de inercia sucede que:

Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las

ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes

principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es

necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

Conservación del momento angular clásico

Cuando la suma de los momentos externos es cero , hemos visto que:

Eso quiere decir que . Y como es un vector, es constante tanto en

módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas,

su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de

forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de

masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular

cambiará de manera tal que:

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar.

Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la

velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene

mucha importancia. .

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UNIDAD 5



Por ejemplo:

En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. También es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencillez con que es posible mantener el equilibrio.

Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.

Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.

Debido a las mareas, la Luna ejerce un momento sobre la Tierra. Este disminuye el momento angular de la Tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la Luna aumenta. En consecuencia, la Luna aumenta su energía alejándose de la Tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La Luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

5.3 TRABAJO Y ENERGIA DE UN CUERPO RIGIDO.

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UNIDAD 5



Trabajo

El trabajo realizado por una fuerza es el producto entre la fuerza y el desplazamiento realizado en la dirección de ésta. Como fuerza y desplazamiento son vectores y el trabajo un escalar (no tiene dirección ni sentido) definimos el diferencial de trabajo como el producto escalar dW=F.dr . El trabajo total realizado por una fuerza que puede variar punto a punto a lo largo de la trayectoria que recorre será entonces la integral de línea de la fuerza F a lo largo de la trayectoria que une la posición inicial y final de la partícula sobre la que actúa la fuerza.

Energía cinética

Si realizamos un trabajo W sobre una partícula aislada, ésta varia su velocidad a lo largo de la trayectoria de modo que podemos relacionar el trabajo W con la variación de la energía cinética de la partícula mediante la expresión:

Fuerzas conservativas:

Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza a lo largo de una trayectoria cerrada, es decir regresando a la misma posición de la que parte, es cero. Esta afirmación es equivalente al hecho de que si el trabajo necesario para llevar a una partícula de una posición a otra del espacio es independiente de la trayectoria que une los dos puntos la fuerza que realiza este trabajo es conservativa.

Trabajo y energía en sistemas de partículas. Energía potencial

La energía potencial de un sistema es la energía asociada a la configuración espacial del mismo. Por definición la energía potencial es el trabajo de las fuerzas conservativas cambiado de signo es decir :

W = -U

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UNIDAD 5



El trabajo realizado por una fuerza conservativa está relacionado entonces con el cambio de energía potencial. Carece de sentido hablar de energía potencial como una variable absoluta.

Energía potencial y equilibrio en una dimensión

A partir de la definición de potencial es fácil demostrar que toda fuerza conservativa puede hallarse a partir de una potencia mediante el negativo del operador gradiente. Así, una partícula estará en equilibrio estable cuando se encuentre en una posición del espacio donde el potencial sea un mínimo; estará en equilibrio inestable si el potencial es un máximo e indiferente si el potencial es constante.

Conservación de la energía

Si sobre un cuerpo sólo se realizan fuerzas conservativas la suma de las energías potencial más cinética siempre permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía. Si además sobre este cuerpo actúan fuerzas disiparías, el trabajo total realizado sobre la partícula será igual al cambio de la energía del sistema. Este es el teorema generalizado de trabajo-energía.

Potencia

La potencia es la energía transferida por unidad de tiempo. Si una fuerza F actúa sobre una partícula que se mueve con una velocidad v la potencia puede calcularse como P=F.v

5.4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

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UNIDAD 5



Este método se basa en el principio del impulso y la cantidad de movimiento, y se usa para resolver problemas que implican fuerza, masa, velocidad y tiempo. Es de particular interés en la resolución de problemas que implican movimiento impulsivo e impacto.

Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. La segunda ley de Newton puede expresarse en la forma

Donde mv es la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Al multiplicar ambos lados de la ecuación (13.27) por dt e integrar a partir del tiempo t1 hasta el tiempo t2, se escribe

o, al trasponer el último término,

La integral en la ecuación (13.28) es un vector conocido como impulso lineal, o simplemente impulso, de la fuerza F durante el intervalo considerado. Al descomponer F en componentes rectangulares, se escribe

y se advierte que las componentes del impulso de la fuerza F son, respectivamente, iguales a las áreas bajo las curvas que se obtienen al graficar las componentes Fx, Fy y Fz en función de t (figura 13.16). En el caso de una fuerza F de magnitud y dirección constantes, el impulso se representa mediante el vector F(t2 - t1), que tiene la misma dirección que F.

Si se usan unidades del SI, la magnitud del impulso de una fuerza se expresa en N ∙ s. Sin embargo, al recordar la definición del newton, se tiene

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UNIDAD 5



que es la unidad que se obtuvo en la sección 12.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula. De tal modo, se verifica que la ecuación (13.28) es dimensionalmente correcta. Si se usan unidades de uso común en Estados Unidos, el impulso de una fuerza se expresa en lb ∙ s, la cual es también la unidad que se obtuvo en la sección 12.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula.

La ecuación (13.28) expresa que cuando sobre una partícula actúa una fuerza F durante un intervalo dado, la cantidad de movimiento final mv2 de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente su cantidad de movimiento inicial mv1 y el impulso de la fuerza F durante el intervalo considerado (figura 13.17). Se escribe

Adviértase que si bien la energía cinética y el trabajo son cantidades escalares, la cantidad de movimiento y el impulso son cantidades vectoriales. Para obtener una solución analítica, es necesario entonces sustituir la ecuación (13.30) por las correspondientes ecuaciones de componentes

Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, debe considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene

La ecuación que se obtuvo representa una relación entre cantidades vectoriales; en la solución real de un problema, ésta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones de las componentes. Cuando un problema incluye dos o más partículas, cada partícula puede considerarse por separado y la ecuación (13.32) se escribe para cada partícula. También es posible sumar vectorialmente las cantidades de movimiento de todas las partículas y los impulsos de todas las fuerzas implicadas. Se escribe entonces

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UNIDAD 5



Puesto que las fuerzas de acción y reacción ejercidas por las partículas entre sí forman pares de fuerzas iguales y opuestas, y puesto que el intervalo de t1 a t2 es común para todas las fuerzas implicadas, los impulsos de las fuerzas de acción y reacción se cancelan y sólo necesitan ser considerados los impulsos de las fuerzas externas.Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas o, de manera más general, si la suma de las fuerzas externas es cero, el segundo término en la ecuación (13.33) se anula y la ecuación (13.33) se reduce a

que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. Considere, por ejemplo, dos botes, de masa mA y mB, inicialmente en reposo, que están siendo jalados uno por el otro (figura 13.18).

Si se ignora la resistencia del agua, las únicas fuerzas externas que actúan sobre los botes son sus pesos y las fuerzas de flotación ejercidas sobre ellos. Puesto que estas fuerzas están equilibradas, se escribe

Donde v´A y v´B representan las velocidades de los botes después de un intervalo finito. La ecuación obtenida indica que los botes se mueven en direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades inversamente proporcionales a sus masas.

MOVIMIENTO IMPULSIVO

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UNIDAD 5



Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo que es lo suficientemente grande para producir un cambio definido en la cantidad de movimiento se conoce como fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Por ejemplo, cuando se golpea una pelota de béisbol, el contacto entre el bate y la pelota se realiza durante un intervalo Δt muy corto. Sin embargo, el valor promedio de la fuerza F ejercida por el bate sobre la pelota es muy grande, y el impulso resultante F Δt es lo suficientemente grande para cambiar el sentido de movimiento de la pelota (figura 13.19).

Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula, la ecuación (13.32) se convierte en

Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso de un cuerpo, la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequeña comparada con una fuerza impulsiva. Las reacciones desconocidas quizá sean o no impulsivas; sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuación (13.35) siempre que no se haya demostrado que se pueden ignorar.

En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas, es posible usar la ecuación (13.33), la cual se reduce a

Donde el segundo término implica sólo fuerzas impulsivas externas. Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las diversas partículas son no impulsivas, se anula el segundo término en la ecuación (13.36) y esta ecuación se reduce a la ecuación (13.34). Se escribe

Que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. Esta situación ocurre, por ejemplo, cuando dos partículas que se mueven

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libremente chocan entre sí. Sin embargo, se debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partículas, su energía total no se conserva en general. Los problemas que implican el choque o impacto de dos partículas se estudiarán en detalle en las secciones 13.12 a 13.14.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Estas ecuaciones expresan que la resultante y el momento resultante alrededor del punto fijo O de las fuerzas externas son, respectivamente, iguales a las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas.

Al integrar las ecuaciones (14.10) y (14.11) en t desde t1 hasta t2, se escribe

Al recordar la definición del impulso lineal de una fuerza, se nota que las integrales en la ecuación (14.32) representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. Hay que referirse de manera similar a las integrales en la ecuación (14.33) como los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. De tal modo, la ecuación (14.32) expresa que la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual al cambio en la cantidad de movimiento lineal del sistema. De manera similar, la ecuación (14.33) expresa que la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas es igual al cambio en el momento angular alrededor de O del sistema.

Para clarificar el significado físico de las ecuaciones (14.32) y (14.33), se rearreglan los términos en estas ecuaciones y se escribe

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UNIDAD 5

Figura 14.8



En los incisos a) y c) de la figura 14.8 están dibujadas las cantidades de movimiento de las partículas del sistema en los tiempos t1 y t2, respectivamente.

En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas y un momento de par igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. Por simplicidad, se ha supuesto que las partículas se mueven en el plano de la figura, aunque el análisis presente sigue siendo válido en el caso de partículas que se mueven en el espacio. Al recordar de la ecuación (14.6) que L, por definición, es la resultante de la cantidad de movimiento mi v i, se nota que la ecuación (14.34) expresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual a la resultante de los vectores indicados en el inciso c) de la misma figura. Si se recuerda de la ecuación (14.7) que HO es el momento resultante de las cantidades de movimiento mi v i, se advierte que la ecuación (14.35) expresa de manera similar que el momento resultante de los vectores en los incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual al momento resultante de los vectores en el inciso c).

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UNIDAD 5



Juntas, las ecuaciones (14.34) y (14.35) expresan entonces que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1 y los impulsos de las fuerzas externas desde t1 hasta t2 forman un sistema de vectores equipolente al sistema de las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t2. Esto se ha indicado en la figura 14.8 mediante el uso de signos de más y de igualdad en color azul.

Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema, las integrales en las ecuaciones (14.34) y (14.35) son cero, y estas ecuaciones producen

De este modo se verifica el resultado obtenido en la sección 14.6: si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas de un sistema, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas se conservan. El sistema de la cantidad de movimiento inicial es equipolente al sistema de la cantidad de movimiento final y, por lo tanto, la cantidad del movimiento angular del sistema de partículas alrededor de cualquier punto fijo se conserva.

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UNIDAD 5



CONCLUSIONES

La energía cinética de un cuerpo es una energía que surge en el fenómeno

del movimiento. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo

de una masa dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez

conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía

cinética salvo que cambie su rapidez. Para que el cuerpo regrese a su estado de

reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía

cinética.

Energía cinética de una partícula En mecánica clásica, la energía cinética

de un objeto puntual (un cuerpo tan pequeño que su dimensión puede ser

ignorada), o en un sólido rígido que no rote, está dada la ecuación donde m es la

masa y v es la rapidez (o velocidad) del cuerpo. En mecánica clásica la energía

cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una

fuerza F dada por la segunda ley de Newton: La energía cinética se incrementa

con el cuadrado de la rapidez. Así la energía cinética es una medida dependiente

del sistema de referencia.

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UNIDAD 5



BIBLIOGRAFÍA FERDINAND P. BEER, E. RUSSELL JOHNSTON, JR. PHILLIP J. CORNWELL,

“MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DINÁMICA Novena edición”, McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V..

http:www.dinamica/paraingenieros.com

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UNIDAD 5



NOTASLOS EJERCICIOS AÑADIDOS DE CADA SUBTEMA DE LA UNIDAD AQUÍ ESTÁN PRESENTADOS

5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO

#1 Ejercicio 1 Cuando la velocidad hacia adelante de la camioneta que se muestra era de 30 ft/s, se aplicaron repentinamente los frenos, lo que provocó que las cuatro ruedas dejaran de girar. Se pudo observar que la camioneta patinó 20 ft antes de detenerse. Determine la magnitud de la reacción normal y de la fuerza de fricción en cada rueda cuando la camioneta patinó.

Cinemática de movimiento. Eligiendo el sentido positivo hacia la derecha y utilizando las ecuaciones de movimiento uniformemente acelerado, se escribe

Ecuaciones de movimiento.

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UNIDAD 5



Reacciones en cada rueda. Hay que recordar que los valores calculados representan la suma de las reacciones de las dos ruedas frontales o las dos ruedas traseras, por lo que se obtiene la magnitud de las reacciones en cada rueda al escribir

Nfrontal=12

NB=0.325W Ntrasera=12

NA=0.175W

Nfrontal=12

FB=0.227W Ntrasera=12

FA=0.122W

EJERCICIO # 2 La placa delgada ABCD de 8 kg de masa se mantiene en la posición indicada mediante el alambre BH y dos eslabones AE y DF. Ignorando la masa de los eslabones determine a) la aceleración de la placa, b) la fuerza de cada eslabón inmediatamente después de que se corta el alambre BH.

Cinemática de movimiento. Después de que se ha cortado el alambre BH se observa que las esquinas A y D se mueven a lo largo de círculos paralelos de 150 mm de radio centrados, respectivamente, en E y F, por lo que el movimiento de la placa es una traslación curvilínea. Las partículas que la forman se mueven a lo largo de círculos paralelos de 150 mm de radio. En el instante que se corta el alambre BH, la velocidad de la placa es cero. Así, la aceleración a_ del centro de masa G de la placa es tangente a la trayectoria circular que se describirá mediante G.

Ecuación de movimiento. Las fuerzas externas consisten en el peso W y las fuerzas FAE y FDF ejercidas por los eslabones. Puesto que la placa está en traslación, las fuerzas efectivas se reducen al vector ma_ fijo en G y dirigido a lo largo del eje t. Se dibuja una ecuación de diagrama de cuerpo libre para mostrar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas.

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EJERCICIO # 3 Una polea de 12 lb y de 8 in. de radio de giro se conecta a dos bloques en la forma indicada. Suponiendo que no hay fricción en el eje, determine la aceleración angular de la polea y la aceleración de cada bloque.

Sentido del movimiento. Aunque puede suponerse un sentido arbitrario del movimiento (ya que no intervienen fuerzas de fricción) y después verificarse mediante el signo de la respuesta, es preferible determinar primero el sentido de rotación real de la polea. Se determina primero el peso del bloque B que se requiere para mantener el equilibrio de la polea cuando éste actúa sobre el bloque A de 5 lb. Se escribe

Cinemática del movimiento. Suponiendo ∝ en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y advirtiendo que aA ∝=rA∝ Y aB∝=rA∝ se obtiene

Ecuaciones de movimiento. Se considera un sistema simple compuesto de la polea y los dos bloques. Las fuerzas externas a este sistema consisten en los pesos de las poleas y de los dos bloques y en la reacción en G.(Las fuerzas que ejercen los cables sobre las poleas y sobre los bloques son internas al sistema considerado y se cancelan.) Puesto que el movimiento de la polea es una rotación centroidal y el movimiento de cada bloque es una traslación, las fuerzas efectivas se reducen al par I∝ y los dos vectores maAy maB. El momento centroidal de inercia de la polea es

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UNIDAD 5



Puesto que el sistema de fuerzas externas es equipolente al sistema de fuerzas efectivas se escribe

EJERCICIO # 4 Se enrolla una cuerda alrededor de un disco homogéneo de radio r = 0.5 m y masa m =15 kg. Si la cuerda se jala hacia arriba con una fuerza T de 180 N de magnitud, determine a) la aceleración del centro del disco, b) la aceleración Angular del disco, c) la aceleración de la cuerda.

Ecuaciones de movimiento. Se supone que las componentes ax y ay de la aceleración del centro están dirigidas, respectivamente, hacia la derecha y hacia arriba, y que la aceleración angular del disco es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Las fuerzas externas que actúan sobre el disco consisten en el peso W y la fuerza T que ejerce la cuerda. Este sistema es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas, las cuales consisten en un vector de componentes max y may fijo en G y un par I∝. Se escribe

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UNIDAD 5



Puesto que T = 180 N, m = 15 kg y W = (15 kg)(9.81 m/s2) = 147.1 N, seTiene

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UNIDAD 5



Aceleración de la cuerda. Puesto que la aceleración de la cuerda es igual a la componente tangencial de la aceleración del punto A sobre el disco se escribe

EJERCICIO # 5 Una esfera uniforme de masa m y radio r se lanza a lo largo de una superficie horizontal rugosa con una velocidad lineal v0 y sin velocidad angular. Al denotar por Uk el coeficiente de fricción cinética entre la esfera y el piso, determine a) el tiempo t1 en el cual la esfera empezará a rodar sin deslizar, b) la velocidad lineal y la velocidad angular de la esfera en el tiempo t1.

Ecuaciones de movimiento. El sentido positivo se elige hacia la derecha para a y el sentido de las manecillas del reloj para ∝. Las fuerzas externas que actúan sobre la esfera consisten en el peso W, la reacción normal N y la fuerza de fricción F. Puesto que el punto de la esfera en contacto con la superficie se está deslizando hacia la derecha, la fuerza de fricción F apunta hacia la izquierda. Mientras la esfera se desliza, la magnitud de la fuerza de fricción es F =UkN. Las fuerzas efectivas consisten en el vector ma fijo en G y el par I∝. Expresando que el

sistema de fuerzas externas es equivalente l sistema de fuerzas efectivas se escribe

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Cinemática de movimiento. Conforme la esfera gira y se desliza, sus movimientos lineal y angular son uniformemente acelerados.

La esfera empezará rodando sin deslizarse cuando la velocidad vC del punto de contacto C sea cero. En el tiempo, t =t1, el punto C se vuelve el centro instantáneo de rotación, y se tiene

Al sustituir en (3) los valores obtenidos para v1 y w1 al hacer t = t1 en (1) y (2), respectivamente, se escribe

Al sustituir t1 en (2) se encuentra

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5.2 MOMENTO ANGULAR

#1 Ejercicio Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.

¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?.

Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

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UNIDAD 5



Conservación del momento angular

I1=1210⋅1.32+2(25⋅1.32) ω1=5⋅2π60=π6 rad/sI2=1210⋅1.32+2(25⋅0.72)I1ω1=I2ω2 ω2=1.48 rad/s

Variación de la energía cinética

ΔE=Ek2−Ek1=12I2ω22−12I1ω21=27.2 J

5.3 TRABAJO Y ENERGIA

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5.4 CANTIDAD DE IMPULSO Y MOVIMIENTO

EJERCICIO #1- Una pelota de béisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s hacia un bateador. Después de que la bola es golpeada por el bate B, adquiere una velocidad de 120 ft/s en la dirección que se indica. Si el bate y la bola están en contacto 0.015 s, determine la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto.

SOLUCIÓN

Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a la pelota. Puesto que el peso de esta misma es una fuerza no impulsiva, puede ignorarse.

m v1+∑ Imp1→2=m v2

¿

− 41632.2

(80 ft /s)+Fx (0.015 s )=

41632.2

(120 ft / s)cos 40 °

F x=+89.0 lb

(+↑ ) componente y :0+F y Δt=m v2 sen 40°

F y (0.015 s )=

41632.2

(120 ft /s)sen 40 °

F y=+39.9 lb

A partir de sus componentes Fx y Fy se determina la magnitud y dirección de la fuerza F:

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UNIDAD 5

x

5 Lb

y



F=√ ( Fx )2+( F y )2

F=√ (89 )2+(39.9 )2

F=97.53 lb

Dirección

⦨=arctan (F y

Fx)

⦨=arctan (39.989 )=24.14⦨=24.14 °

EJERCICIO #2 – A un bloque de 5 lb se le imparte una velocidad inicial de 10 pies /seg hacia arriba por una pendiente lisa de 45 °. Determine el tiempo durante el cual se mueve hacia arriba antes de detenerse.

(+↗ )m (v x )1+∑ Fx dt=m ( vx )2

532.2

(10 )+(−5 sen 45 ° )t=0

t=−1.553.53

=0.439 seg

t=0.439 seg

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UNIDAD 5



EJERCICIO #3-– El gabinete de 20 lb se somete a la fuerza F=(3+2 t ) lb, donde t está en segundos. Si el gabinete inicialmente se mueve hacia abajo del plano con una rapidez de 6 pies/seg, determine cuanto tiempo le lleva a la fuerza detener el gabinete. F siempre actúa paralela al plano.

(+↙ )m (v x )1+∑ Fx dt=m ( vx )2

2032.2

(6 )+20 sen20 ° t−∫0

t

(3+2 t ) dt=0

3.72+6.84 t−(3 t+ 2 t2

2 )=03.72+6.84 t−3 t−t 2=0

−t 2+3.84 t+3.72=0

t=−b ±√b2−4 ac2a

t=−(3.84 )+√(3.84)2−4 (−1)(3.72)

2(3.72)=−0.80 seg

t=−(3.84 )−√ (3.84 )2−4 (−1 ) (3.72 )

2 (3.72 )=4.64 seg

t=4.64 seg

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UNIDAD 5

SA SB

10 Lb

2 T

Bloque A

50 Lb

T

Bloque B



EJERCICIO #4-– Determine la velocidad de cada bloque 2 seg después de que los bloques se sueltan del punto de reposo. Ignore la masa de las poleas y la cuerda.

2S A+SB=l

2V A+V B=0

V A=−V B

2

(+↑ ) m v1+∑∫Fdt=m v2

0+2T (2 )−10 (2 )= 1032.2

V A

4 T−20=0.31V A ---- 1

(+↓ ) m v1+∑∫Fdt=m v2

0−(2 )T +50 (2 )= 5032.2

V B

−2T+100=1.55V B ---- 2

Sustituyendo V A=−V B

2 en ecuación 1

4 T−20=0.31 (−V B

2)

4 T−20=−0.155V B

V B=4T−20−0.155

V B=−25.80T+129.03

V B En ecuación 2

−2T+100=1.55(−25.80T +129.03) .

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UNIDAD 5



−2T+100=−39.99T+199.99

−2T+39.99=199.99−100

37.99T=99.99

T=99.9937.99

T=2.63

T en ecuación 1

4 (2.63)−20=0.31V A

10.52−20=0.31V A

V A=−9.480.31

=−30.48 ft /seg

V A=30.48 ft /seg

T en ecuación 2

−2(2.63)+100=1.55V B

−5.26+100=1.55V B

V B=94.741.55

V B=61.12 ft /seg

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tarea unidad 5 dinamica civil b

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