tarea dinamica metodos numericos

TareaDINÁMICA DE ESTRUCTURAS

“Solución Numérica de la Ecuación de Movimiento

y Cálculo de Espectros de Respuesta”

INTEGRANTESJosué Larenas

Cristian Villalobos

PROFESORMarcos Valdenenito

FECHA21.08.2013

Departamento de Obras CivilesUniversidad Técnica Federico Santa María

INTRODUCCION

En clases anteriores, se ha estudiado y analizado la solución de la ecuación diferencial de movimiento, logrando aplicar distintas técnicas de solución para distintos casos que involucran desde solicitaciones del tipo constantes, armónicas, periódicas o que son una función explícita del tiempo.

Para el caso de solicitaciones arbitrarias, las soluciones se vuelven más complejas, y es aquí donde aparece la aplicación de métodos numéricos para la resolución de la ecuación de movimiento, debido a la posibilidad de implementación en algoritmos computacionales.

El concepto detrás de estos métodos es el conocimiento del estado estructural en un tiempo específico t del sistema a analizar, como son la posición y la velocidad. Mediante la implementación de estos métodos, es posible determinar el estado del sistema para un tiempo discretizado t+∆t.

Para desarrollar los cálculos se utilizó el software MATLAB

Tarea - Solución Numérica de la Ecuación de Movimiento y Cálculo de Espectros de Respuesta

Problema 1

Solución analítica.Se resolvió la ecuación de movimiento mediante Ecuaciones Diferenciales. Se sabe que la respuesta total del sistema es la suma de la solución homogénea con la particular. Las constantes de la solución homogénea se obtuvieron imponiendo las condiciones iniciales del problema (x(0) = x(0) = 0), y la solución particular se obtuvo aplicando la fórmula de las constantes determinadas previamente en el curso para el caso de Solicitaciones Armónicas.

El siguiente gráfico representa el desplazamiento real x(t) en función del tiempo que experimenta el sistema de un grado de libertad representado en la figura, al ser solicitada por una fuerza armónica F(t) = F0 sin( tω ) = 4π2

sin( tπ ) [N], con la masa inicialmente en reposo.

m

c

k

F(t)


x(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo [seg]

desp

laza

mie

nto

[m]

Debido a la configuración del sistema, la respuesta es de carácter oscilatorio con disipación de energía debido al amortiguamiento. Aunque es leve, del gráfico es posible notar como las crestas y valles van disminuyendo su amplitud con el tiempo, estabilizándose a medida que la solución homogénea va desapareciendo.

Esta solución analítica servirá para comparar la validez de los resultados de los métodos numérico siguientes.

Método de diferencia central. Considere los siguientes valores para el paso temporal ∆t: Tn, Tn/2, Tn/10, Tn/20.

Conocidas las características del sistema y de la solicitación, se resolvió la ecuación de movimiento para tiempos discretos. Para ello fue necesario calcular todos los valores necesarios según el procedimiento. Como este método es de dos pasos, es decir, requiere los dos valores anteriores de desplazamiento para poder calcular el siguiente, se debió calcular un dato en la posición -1 para iniciar el código.

Paso temporal: ∆t = Tn = 1 [seg]

0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo discretizado "tn" [1 seg]

desp

laza

mie

nto

[m]

Utilizando un paso de 1 [seg] el algoritmo es numéricamente inestable. El método se inicia con un valor erróneo provocando que todos los valores siguientes también lo sean.


Paso temporal: ∆t = Tn/2 = 0.5 [seg]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

36

tiempo discretizado "tn" [0.5 seg]

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.5 [seg], más pequeño que el anterior, el algoritmo sigue siendo numéricamente inestable.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo discretizado "tn" [0,1 seg]

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.1 [seg], el algoritmo es estable y converge a una solución muy parecida a la obtenida en la solución analítica


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo discretizado "tn" [0.05 seg]

desp

laza

mie

nto

[m]


Este gráfico demuestra que con valores menores al paso anterior la solución seguirá siendo estable. Además se logra una mayor exactitud del método. Se concluye del método, que si bien la solución logra asemejarse a la solución analítica, esta no refleja el efecto del amortiguamiento aunque haya sido incluido en los cálculos. Puede deberse a la naturaleza de la aproximación, ya que en este método se desprecian los términos cúbicos.

Método de Newmark, aceleración constante. Considere los siguientes valores para el paso temporal ∆t: Tn, Tn/2, Tn/10, Tn/20.

Conocidas las características del sistema y de la solicitación, se resolvió la ecuación de movimiento para tiempos discretos. Para ello fue necesario calcular todos los valores necesarios según el procedimiento. La Ecuación (2) y (3) vienen de la cinemática, pero son las contantes gamma y beta las que generalizan si la aceleración varia lineal o es constante.


0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

desplazamiento [m]

tiem

po d

iscr

eto

"tn"

(1

[seg

])

Con un paso de 1 [seg] el método es numéricamente inestable.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-3

-2

-1

0

1

2

3

tiempo discreto "tn" (0,5 [seg])

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.5 [seg], más pequeño que el anterior, el algoritmo ahora es numéricamente estable, aunque el resultado es muy inexacto.



0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo discreto "tn" (0.1 [seg])

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.1 [seg], el algoritmo es estable y converge a una solución muy parecida a la obtenida en la solución analítica.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo discreto "tn" (0.05 [seg])

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.05 [seg], el algoritmo es estable y la solución, más exacta. Se concluye que este método es hasta el momento el más parecido a la solución analítica. También se incluye el efecto del amortiguamiento en la solución, ya que las crestas y valles van disminuyendo con el tiempo, detalle que no ocurría con el método de Diferencia Central.


Método de Runge-Kutta. Considere los siguientes valores para el paso temporal ∆t: Tn, Tn/2, Tn/10, Tn/20.


0 5 10 15 20 25-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

34

tiempo discreto "tn" (1 [seg])

desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 1 [seg] el método es numéricamente inestable.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

10


desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.5 [seg], más pequeño que el anterior, sigue siendo numéricamente inestable.



0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.1 [seg], el algoritmo es estable y converge a una solución muy parecida a la obtenida en la solución analítica.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


desp

laza

mie

nto

[m]

Con un paso de 0.05 [seg], el algoritmo es estable y la solución, más exacta.

Se concluye que este método es muy parecido a la solución analítica. También se incluye el efecto del amortiguamiento en la solución, ya que las crestas y valles van disminuyendo con el tiempo. La diferencia que existe, es que el Método Newmark converge más rápido, es decir, no requiere de un valor tan pequeño para converger comparado con el método Runge-Kutta

Problema 2

Departamento de Obras CivilesUniversidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Obras CivilesUniversidad Técnica Federico Santa María

Se procederá a calcular el espectro de desplazamiento (SD) asociado al registro de aceleraciones del terremoto del Maule de 2010, usando el método de Newmark - Aceleración Constante (parámetros gamma=1/4 y beta=1/2). El método resuelve la ecuación de movimiento para cada instante usando la información proporcionada por el paso anterior. La rutina implementada consiste en recorrer el registro de aceleraciones para el rango de períodos naturales entre 0.2 [s] y 5 [s] (discretizado cada 0.05 [s]) y para para razones de amortiguamiento d = 0 %, d= 2 %, y d= 5 %).Para ello las rutinas implementadas recorrerán 28338 datos (registro de aceleraciones), 97 datos (períodos naturales) y 3 datos (razones de amortiguamiento dadas). Es decir se realizarán 8246358 iteraciones del método de Newmark. Lo que es muy costoso computacionalmente y por ello toma un tiempo considerable para calcularlos. Además, se debe tener la precaución de cargar el archivo sismo.mat para poder realizar los cálculos.A continuación se muestra el espectro de respuesta para el rango de períodos naturales y razones de amortiguamiento indicados previamente.

CONCLUSION

La Solución Analítica del problema 1 también pudo haberse obtenido utilizando Convolución, ya que es un método general, pero se escogió resolverla mediante Ecuaciones Diferenciales por la naturaleza del problema, pues se tienen las fórmulas de las constantes de la Solución Particular para fuerzas armónicas.

La estabilidad del algoritmo indica para qué valor de paso ∆t la solución numérica se parece a la solución real. Conocer ese límite no indica si la solución estará correcta o no; solamente dice que si es superado ese límite, la solución tenderá a infinito.

Comparando los distintos métodos, se concluye que el Método de Newmark es el mejor, debido a que converge más rápido que los demás, es decir, la estabilidad se logró para un ∆t no tan pequeño.El criterio para que ∆t converja, es que el paso sea de valor << 1. Se ha demostrado con los gráficos anteriores que un buen criterio es utilizar el valor Tn/20, ya que todas las soluciones convergen exitosamente para ese valor.

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