CONTROL MODERNO

TAREA 1Controlador basado en realimentacin de estado

ALUMNO:JOSSET ALDRIDGE AGUILA

Desarrollo

La Figura 1 muestra un conversor DC-DC tipo fuente de corriente, representada por la fuente controlada de corriente , y un filtro C-L-C para minimizar el riple de tensin en la salida. Para este sistema se pide disear un esquema de control basado en realimentacin completa de estados asumiendo que se miden todas las variables de estado.

Figura 1. Conversor DC-DC

La entrada de este sistema corresponde a la seal de control de la fuente de corriente, representada por . La dinmica de este conversor PWM fuente de corriente se puede representar como un sistema de primer orden de ganancia unitaria y constante de tiempo .

La salida del sistema corresponde a la tensin en la carga y se controlar en lazo cerrado.

1.- Escriba un modelo en variables de estado del sistema anterior usando como variables de estado tensiones y corrientes en los capacitores e inductores, respectivamente. Note que el conversor tambin debe modelarlo en variables de estado.

Del esquema anterior se tienen las siguientes ecuaciones:(1) iu=iL+ic1 iL= iu-ic1(2) ic1=c1(3) ic2=c2(4) iL= iRL+ ic2 iRL=iL-ic2(5) vL=vc2(6) vL= RLiRL(7) vc2= vc1-vx vx= vc1-vc2(8) vx=L +iLR

Combinando las ecuaciones se obtiene:iu= iL + C1 = iL + iu

vL= vc2 = RL iRL = RL (iL-ic2) = RL (iL- C2) vc2 = RL iL - RLC2 = iL

vx =L +iLR = vc1-vc2 = vc1 - vc2 - iL

Del modelo del conversor de obtiene lo siguiente: + = / L-1 + iu = = iu +

SiendoEntrada:u= Variables de estado:x1=vc1x2 = vc2x3= iLx4=iuSalida:v=vL

Se obtiene el siguiente modelo en variables de estado:= x3 + x4 = x3= x1 - x2 - x3 = x4 + v = x2Matricialmente: =

Reemplazando con los valores entregados:C1=C2 = 20 F; L= 480 mH ; R= 12 ; RL= 120 ; = 1 ms

=

2.- Implemente un modelo del sistema en Simulink y muestre la respuesta del sistema (salida y cada una de las variables de estado) a una entrada escaln unitario. Note que esto corresponde a la respuesta escaln del sistema, pero en lazo abierto.Se tienen las siguientes ecuaciones:= x3 + x4 = (-x3+x4)=50000 (-x3+x4) = x3 = = 50000= x1 - x2 - x3= =2.0833 = x4 + = (-x4+u) = 1000(-x4+u)v = x2Se implement el siguiente modelo en simulink:

A continuacin se presentan las respuestas obtenidas

Entrada u

Variable de estado x4

Se puede apreciar que la variable x4, correspondiente a la corriente de salida del conversor, sigue a la entrada.

Variable de estado x1

Variable de estado x3

Variable de estado x2, tambin salida del sistema

A continuacin se presentan todas las variables en una misma grfica, de color amarillo la entrada, rosado x4, celeste x1, rojo x3 y verde la variable x2

De las imgenes anteriores se puede apreciar que todas las variables se estabilizan a cierto valor, y que las variables x1 y x2 presentan oscilaciones al inicio. 3.- Los filtros de un conversor de potencia se disean para que ocasionen muy bajas perdidas de potencia (L y C son prcticamente ideales), por lo que la dinmica del conversor exhibir tpicamente una respuesta oscilatoria pobremente amortiguada (modos de oscilacin). Esto se puede verificar calculando los auto-valores del sistema donde aparecern polos complejos conjugados con un bajo factor de amortiguacin. a) Calcule los auto-valores del sistema y determine las frecuencias de oscilacin y los coeficientes de amortiguacin de estas oscilaciones.Para calcular los autovalores se procede a realizar lo siguiente| I A | , A= Obtenindose que la ecuacin caracterstica a lazo abierto es:

Cuyos autovalores son: = = = = -1000Como todos los polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo se puede confirmar tericamente que el sistema es estable.

A continuacin se calcula el coeficiente de amortiguacin y la frecuencia natural del par de polos complejos conjugados= , w= =tg-1() = 1,3415 rad= cos = 0,227= wn wn=413,97

b) Verifique tambin que el sistema es completamente controlable y completamente observable.

La matriz de Controlabilidad para el sistema est dada por:

Con:

A= ; B=

Por lo que la matriz de controlabilidad es

El rango de la matriz de controlabilidad es 4, y el orden del sistema es 4. Por lo tanto el sistema es controlable

La matriz de observabilidad para el sistema est dada por:P= = OT ; O= PT

Con:

A = ; C =

Por lo que la matriz de observabilidad es

P= , O =

El rango de la matriz de observabilidad es 4, y el orden del sistema es 4. Por lo tanto el sistema es observable

4.- Los modos de oscilacin (resonancias) tambin se pueden identificar examinando la respuesta de frecuencia del sistema. Verifique esto en matlab mediante el comando bode (). Previamente debe determinar la funcin de transferencia entre la entrada (corriente de salida del conversor) y la salida (tensin en la carga). Para ello evale la funcin de transferencia en forma matricial.Mediante el diagrama de bloques implementado en simulink se obtendrn las ecuaciones de estado para posteriormente obtener la funcin de transferencia.

Las ecuaciones obtenidas son:= (-x3+x4)=50000 (-x3+x4) = = 50000= =2.0833v=x2la entrada en este caso corresponde a la variable X4, reemplazando:= (-x3+x4)=50000 (-x3+u) = = 50000= =2.0833v=x2matricialmente queda: =

Luego, reemplazando con los valores entregados el modelo queda: =

Para obtener la funcin de transferencia entre la entrada y la salida utiliza lo siguiente:

Con: A= , B= , C=

Obtenindose la siguiente funcin de transferencia

=

El diagrama de bode dicha funcin de transferencia se muestra a continuacin

5.-disee un controlador basado en realimentacin completa de estados para mejorar la dinmica del sistema. Site los polos del sistema para tener una frecuencia natural en lazo cerrado de 333 rad/s de acuerdo a un criterio ITAE para respuesta a escaln.

En este criterio de diseo se minimiza el ndice definido como:

En este mtodo, lasnraces de la ecuacin caracterstica se ubican en lugares que optimizan el ndice. La solucin a este problema usan tcnicas de optimizacin que requieren la aplicacin de mtodos numricos. La ubicacin ptima de los polos ya ha sido determinada y se escribe tpicamente en forma de polinomio normalizado por la frecuencia natural . El polinomio normalizado, de acuerdo al orden del sistema, para una respuesta ptima a una entrada escaln se da en la siguiente tabla: nUbicacin de los polos segn el criterio ITAE

1

2

3

4

5

Del modelo del sistema se tienen las siguientes matrices

A= ; B=Para obtener las ganancias el modelo se pasa el modelo a la forma cannica de control, se tiene que los autovalores son:

= , = = = -1000Por lo que la ecuacin caracterstica a lazo abierto es:(s +)()(s+ )(s+1000)s4+1441,6598s3+660460,2173s2+262147734,7s+43401355720,4762Por lo que las matrices en la forma cannica de control quedan:

Ac= ; Bc=

El polinomio caracterstico a lazo cerrado, dado por el criterio ITAE es:

( + 0.424 j1.263) ( + 0.626 j0.414) =( + 0.424 j1.263) ( + 0.626 j0.414 )=

s4+699.3s3+377012,9526s2+99696082,7988s+12293626017,5636

Por lo tanto las ganancias son

Kc1 =699.3 - 1441,6598 = -742.3598KC2=377012,9526 - 660460,2173 = -283447.2647KC3=99696082,7988 - 262147734,7 = -162451651.9KC4=12293626017,5636 -43401355720,4762 = -31107729710

Kc=[-742.3598 -283447.2647 -162451651.9 -31107729710 ]

Ahora se deben obtener las ganancias reales:

U=-Kc xc , xc=Tx u=-KcTx K= KcT , T=

Se tiene que:

=

=

=

T= =

Por lo tanto las ganancias en trminos reales son:K=

Utilizando el comando place en Matlab se obtiene que las ganancias son:

K=Se puede apreciar una pequea diferencia entre las ganancias obtenidas tericamente y las entregadas con el comando en Matlab. En el modelo implementado en simulink se usaran las ganancias entregadas por el comando place.

6.- Verifique la respuesta del sistema en lazo cerrado para una entrada escaln en la referencia (tensin de referencia en la carga). Para esto debe incluir el controlador en el modelo de Simulink. Note que debe introducir la referencia de la tensin de salida (carga) en el lazo de realimentacin de la variable de estado correspondiente. Presente oscilogramas de todas las variables de inters, no solo de la entrada y salida del sistema.Note que un controlador basado en realimentacin de estados corresponde bsicamente a un controlador proporcional, por lo tanto, si el sistema es de tipo 0 (es decir que no incluye un integrador entre la entrada y salida) este exhibir error en estado estacionario. Para reducir el error en estado estacionario se puede dividir K como se sugiere en los apuntes de clases, esto es con una parte de la ganancia en el lazo directo y otra en el lazo de realimentacin. Determine el valor de para neutralizar el error en estado estacionario.

La tensin de referencia en la carga corresponde a 120 V. Primero se mostraran los resultados obtenidos sin dividir la ganancia K2, a continuacin se muestra el esquema implementado en simulik.

Entrada,u

Variable de estado x4

Al igual que anteriormente se apreciar que la variable x4 sigue a la entrada u del sistema

Variable de estado X1

Variable de estado X3

Variable de estado X2 y tambin salida del sistema

Salida y tensin de referencia en la carga

Se puede apreciar que la salida se estabiliza en cierto valor pero que no alcanza a la referencia.

A continuacin se presentan todas las variables en una misma grfica, de color amarillo la entrada, rosado x4, celeste x1, rojo x3, verde la variable x2 y de azul la tensin de referencia en la carga

Luego se procede a dividir la ganancia K2 en dos ganancias, para esto se ve a que valor se estabilizo anteriormente la salida.

De la imagen anterior se puede apreciar que la salida se estabiliza aproximadamente en 41.25, y el valor de las ganancias en que se divir k2 sern:

K2*K5=K2

K2=

K5=

el esquema en simulink es el siguiente

A continuacin se presentan las respuestas obtenidas para este caso

Entrada u

Variable de estado x4

Variable de estado X1

Variable de estado X3

Variable de estado X2, tambin salida del sistema

Salida y referencia

Se puede apreciar que ahora la salida del sistema si alcanza a la referencia

A continuacin se presentan todas las variables en una misma grfica, de color amarillo la entrada, rosado x4, celeste x1, rojo x3 ,verde la variable x2 y azul la referencia.

Tambin se puede ver que la entrada, x4 y x3 se estabiliza en 1.

7.- La solucin anterior logra cumplir el objetivo pero es sensible a los parmetros del sistema (solucin no muy robusta). Verifique esto mostrando nuevamente la respuesta al escaln de entrada de referencia pero considerando que la resistencia de carga aumenta un 20% respecto a su valor original. Note que solo debe modificar la resistencia del modelo en un Simulink, los parmetros del controlador son los mismos del punto anterior

El valor de resistencia de carga ahora es de:120*1.2=144

A continuacin se muestran las respuestas obtenidas:

Entrada u

Variable de estado X4

Variable de estado X1

Variable de estado X3

Variable de estado X2 que corresponde a la salida

Salida y referencia

De la imagen anterior se puede notar que la salida ya no sigue a la referencia, siendo un poco mas elevada que sta.

A continuacin se presentan todas las variables en una misma grfica, de color amarillo la entrada, rosado x4, celeste x1, rojo x3 , verde la variable x2 y azul la referencia

Tambin se aprecia que anteriormente la entrada, la variable x4 y x3 se estabilizaban en 1, y ahora se estabiliza en un valor inferior a ste.

8.- La introduccin de compensacin integral es ms efectiva en este aspecto, aunque tiene la desventaja de aumentar un orden del sistema. Disee nuevamente un controlador en variables de estado incluyendo la compensacin integral como variable de las ganancias. Elija la misma frecuencia natural en lazo cerrado del punto 5 pero esta vez use un prototipo de quinto orden ITAE.Muestre nuevamente la respuesta a un escaln en la entrada de referencia del sistema.

El nuevo modelo con compensacin integral esta dado po:

Del nuevo modelo del sistema se tienen las siguientes matrices

A= ; B=Para obtener las ganancias el modelo se pasa a la forma cannica de control, se tiene que los autovalores son:

= , = = = -1000Por lo que la ecuacin caracterstica a lazo abierto es:s5+s4+660417s3+2.62152777777e08s2+4.340277777e10sPor lo que las matrices en la forma cannica de control del nuevo sistema quedan:

Ac= ; Bc=

El polinomio caracterstico a lazo cerrado, dado por el criterio ITAE es:( + 0.8955) ( + 0.3764 j1.292) ( + 0.5758 j0.5359) =

( + 0.8955) ( + 0.3764 j1.292) ( + 0.5758 j0.5359)

s5+9.323667s4+5.546656790909e5s3+2.032175742695175e8s2+4.187095452173696e10s+4.108614049318726e12

Por lo tanto las ganancias son

Kc1 =-5.093001862538426e2KC2=-1.057512272511274e5KC3=-5.893525565988295e7KC4=-1.531855319768951e9KC5=4.108614049318726e12

Ahora estas ganancias se deben pasar en funcin de las variables reales:

U=-Kc xc , xc=Tx u=-KcTx K= KcT , T= Con:

=

=

=

T= =

Por lo tanto las ganancias reales son:K=Utilizando el comando place en Matlab se obtuvo que las ganancias eran:

K=Se puede apreciar una pequea diferencia entre las ganancias obtenidas tericamente y las entregadas con el comando en Matlab. En el modelo implementado en simulink se usaran las ganancias entregadas por el comando place.El modelo implementado en simulink se muestra en la siguiente imagen

A continuacin se muestran las respuestas obtenidas Referencia y salida con RL=120

Referencia y salida con RL=144

Referencia y salida con RL= 200

De las imgenes anteriores se puede apreciar que la salida siempre sigue a la referencia independientemente de las valor de resistencia de carga, por lo que el control integral es efectivo. Pero la variacin de la resistencia en la carga provoca sobrepaso y oscilacin al comienzo del tiempo.

Entrada u

Variable de estado X4

Variable de estado X1

Variable de estado X3

A continuacin se presentan todas las variables en una misma grfica, de color amarillo la entrada, rosado x4, celeste x1, rojo x3 ,verde la variable x2 y azul la referencia.

9.- Para verificar que el sistema se comporta exactamente como prototipo ideal de quinto orden, compare la respuesta del punto anterior con la de un prototipo ideal, seleccionado de acuerdo al criterio ITAE y de la misma frecuencia natural que en el punto 8.

La funcin de transferencia de quinto orden ITAE, con frecuencia natural de 333, esta dada por

=

Para verificar que la salida del Sistema se comporta como Sistema de quino orden a la FT anterior se le aplica el escaln de referencia y luego se visualiza su salida junto a la salida del sistema

A continuacin s muestra la similar respuesta de ambas salidas, de color morado la respuesta de la FT y amarillo la salida del sistema.

Comparacin de las diferentes respuestas de la salida

A continuacin se muestra una tabla comparando las diferentes respuestas obtenidas de la salida ante la referencia introducida

Sin dividir k2K2 divididaCon Compensacin integral

A continuacin se compara la respuesta de la salida al aumentar el valor de la resistencia de carga a 144

k2 dividida Con Compensacin integral