talleres de matematicas para los chicos
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TALLERES DE MATEMATICASTRANSCRIPT
OBJETIVOS Entender la combinación de la belleza de una estructura matemática con el entretenimiento que aporta la resolución de un problema dado. • Desarrollar la creatividad y el ingenio. • Relacionar la capacidad recreativa con la realidad matemática. AZUZANDO AL INGENIO
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EN LA ISLA DE LOS ZOMBIES En una Isla cercana a Haití mitad de los habitantes fueron embrujados por un Budú y transformados en zombies, esos zombies no se comportan según las tipicas convenciones: Hablan y no se pueden distinguir de los seres humanos normales, la única diferencia es que los Zombies mienten siempre y los humanos siempre dicen la verdad. La situación es enormemente complicada por el hecho que aunque los nativos entiendan nuestro idioma a la perfección un antiguo tabú les prohibe de usar palabras extranjeras cuando hablan. Por lo cual al hacerle una pregunta que requiere una respuesta de si o no, ellos contestan “Bal” o “Da”, uno de los cuales significa si y el otro no. El problema es que no sabemos si “Bal” o “Da” es sí o no. Tú te encuentras en esa isla y quieres casarte con la hija del rey. El rey desea que su hija se case sólo con alguien muy inteligente. Así que tienes que superar una prueba. La prueba consiste en hacer al brujo del rey una sola pregunta. Si el contesta “Bal” entonces podrás casarte con la hija del rey, pero si contesta “Da” habrás fracasado en la prueba. El problema consiste en encontrar una pregunta tal que, independientemente del hecho de que el brujo sea humano o Zombie e independiente del hecho de que “Bal” signifique si o no, el brujo conste “Bal”. Solución Una posible solución sería preguntar al curandero: “¡Bal, és la respuesta a la pregunta de si eres humano!” ¿CÓMO SE ENCIENDE LA LUZ? Hay 2 habitaciones. En una de las habitaciones hay 4 interruptores y en la otra habitación hay una bombilla. El problema consiste en la siguiente: suponiendo que tú estás en la habitación de los interruptores, y que no puedes ver nada entre habitación y habitación, ¿cómo podríamos saber cuál es el interruptor que enciende la bombilla si solo podemos ir una sola vez a la habitación en la que está la bombilla? Solución Dejamos encendidos el primer y segundo interruptor durante un rato. A continuación apagamos el primero y encendemos el tercero. Inmediatamente después entramos en la habitación de la bombilla y procedemos a tocar la bombilla. Si la bombilla está encendida y además caliente, tenemos la certeza de que el interruptor es el segundo, porque lleva encendido desde hace rato. Si a pesar de estar encendida la bombilla, ésta está fría, el interruptor es el tercero, puesto que no le ha dado tiempo a calentarse ya que lo acabamos de encender. Si por el contrario la bombilla está apagada, la incógnita queda reducida a los interruptores primero y cuarto: si la bombilla está caliente, queda claro que el interruptor es el primero, pues lo hemos dejado un rato encendido, si está fría el interruptor es el último pues no se ha encendido en ningún momento. 1. ¿Cuántos palitos de fósforo se deben mover para formar ocho triángulos y un hexágono? Rpta.: ........................................... 2. Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que: Beto obtuvo un punto más que David. David obtuvo un punto más que Carola. Elmer obtuvo dos puntos menos que David. Beto obtuvo dos puntos menos que Araceli. ¿Quién obtuvo más puntos? Rpta.: ........................................... 3. Ocho estudiantes de diversas especialidades se sientan en una mesa circular. El de ingeniería esta frente al de educación y entre los de economía y farmacia. El de periodismo no está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Frente al de farmacia esta el de derecho, éste a su vez está a la siniestra del de arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre el de biología y educación? Rpta.: ........................................... 4. En una compañia el Sr, Alva, el Sr. Buendia, la Sra. Cáceres, la Srta. Díaz, el Sr. Fernández y la Srta. Gutiérrez tienen los cargos de gerente, subgerente, contador, taquigráfo, cajero y oficinista, aunque no necesariamente en ese orden, si: el subgerente es nieto del gerente: el subgerente es nieto del gerente. el contador es el yerno del taquígrafo. la Srta. Díaz es hermanastra del cajero. El Sr. Fernández es vecino del gerente. El Sr. Buendía tiene 22 años de edad. El Sr. Alva es soltero. ¿Quién es el gerente? ( ) Alva ( ) Buendía ( ) Cáceres ( ) Fernández
( ) Gutiérrez Rpta.: ........................................... 5. Tres personas A, B y C deben repartirse 21 vasos iguales, de los cuales 7 están llenos. 7 medios llenos y 7 vacíos. Si a cada una debe tocarle la misma cantidad de dicha chicha y el mismo número de vasos, ¿Cuál es el número de vasos vacíos que le toca a la persona que tiene 3 vasos llenos? Rpta.: ........................................... 6. En lugar de moneda, en Kurdistán se expresa por medio de longitudes de plata. Así, un albañil que trabajó 15 días para reparar una casa, pidió 3 cm. de plata como pago al final de cada día. El dueño de la casa, que tenía una barra de plata de 45 cm. se las compuso para pagar al obrero. ¿Cuántos cortes como mínimo realizó? Rpta.: ........................................... 7. Si: Cambiar de posición algunos números de la expresión M y determinar el máximo valor entero de dicha expresión Rpta.: ........................................... 8. Ubicar los números 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa de molino la suma sea la misma. Calcule el menor valor de (a + b + e + d). Rpta.: ........................................... 9. Colocar (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) uno en cada casillero vacío, sin repetir, de manera que se cumplan las igualdades dadas. Calcule el máximo valor de (a + b). Rpta.: ........................................... 10. Un tren, cinco personas en un departamento y uno de ellos amanece muerto. Lío, denuncia, policía y testimonios. Viejo: soy inocente. Pregúntenle a la rubia que hablaba con el finado. Rubia soy inocente, yo no hablé con el muerto. Joven: soy inocente, lo mato la anciana. Anciana: soy inocente, lo maté uno de los hombres. Si hay cuatro declaraciones verdaderas y cuatro falsas, ¿quién es el asesino? Rpta.: ........................................... 11. Un vendedor de abarrotes sólo tiene dos pesas: una de 2 kg. y otra de 5 kg. y una balanza de dos platillos. Si un cliente le pide un kilogramo de arroz, ¿cuántas pesadas como mínimo debe realizar el vendedor con la condición de utilizar siempre las dos pesas? Rpta.: ........................................... 12. Se desea medir 6 litros de agua. Pero sólo se cuenta con tres recipientes, uno de 12 litros lleno, otros de 9 y 4 litros vacíos. ¿Cuántos vaciados se realizarán? Rpta.: ........................................... 13. Teniendo 3 vasos, ¿cuantas monedas se necesitan como mínimo para que en los vasos se encuentren dos, cuatro y seis monedas respectivamente. Rpta.: ........................................... 14. Una determinada especie microscópica se duplica cada minuto. Se coloca un microbio en un recipiente y éste se llena en 20 minutos. Si colocamos 8 microbios en un recipiente de doble capacidad que el anterior, ¿en qué tiempo se llenará? Rpta.: ........................................... 15. ¿Qué parentesco tiene conmigo un hombre que es el único hijo del esposo de la única mujer que es hija de la madre del único hombre que es mi primo? Rpta.: ........................................... 1. En una reunión se encuentran 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 3 hermanos, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿Cuál es la menor cantidad de personas que satisface esta relación? A) 8 B) 6 C) 5 D) 9 E) 7 2. En una cierta comunidad, los políticos siempre mienten y los no políticos siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra con 3 nativos y pregunta al primero de ellos si el es político. Este responde a la pregunta; el segundo informa que el primero negó ser político, pero el tercer nativo informa que el primero es realmente político. ¿Cuántos son políticos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) F.D. 3. Jano, Luis y Marcos forman pareja con Mima, Susy y Ana, que tienen profesiones de enfermera, secretaria y profesora. Luis es cuñado de Mima, que no es enfermera. Marcos fue con la profesora al matrimonio de Susy. Hace 2 años, Ana peleó con Luis y desde entonces es secretaria. ¿Quién es la pareja de Luis y cuál es su profesión? A) Ana, secretaria B) Susy, profesora C) Susy, enfermera D) Susy, secretaria E) Ana, enfermera 4. Se desea que las personas A, B, C y D correspondan a los hombres: Víctor, José, Manuel y Jesús. No necesariamente en ese orden: Víctor, C, y D fueron al teatro el domingo pasado. José, A, y B trabajan en la misma fabrica A, C y Manuel concurren a los juegos mecánicos regularmente D, B y Jesús juegan en el mismo equipo C es pobre, en cambio José adinerado. ¿Quien es pobre?, ¿quien es A? A) Victor, Jesús B) Jesús. Victor C) José, Manuel D) Jesús, Manuel E) Manuel, Victor 5. Ningún científico admite la donación de seres humanos, pero algunos aficionados a la ciencia ficción lo admiten. En consecuencia: A) todos los aficionados a la ciencia son científicos. B) ningún científico es aficionado a la ciencia ficción. C) algunos aficionados a la ciencia ficción no son científicos. D) todos los científicos son aficionados a la ciencia ficción. E) ningún aficionado a la ciencia ficción es científico. OBJETIVOS Desarrollar conocimientos generalizados en base a “construcciones particulares”. Formar conceptos para determinar leyes. Entender que todo tipo de razonamiento nos hace ser ingeniosos y hábiles. AZUZANDO AL INGENIO 1. En la calle de una ciudad hay 10 postes de telégrafo si entre cada par de postes hay un cable. ¿cuántos cables hay en total? A) 10 B) 15 C) 20 D) 100 E) 45 Solución: En este tipo de problema se analiza de la siguiente manera. Del 1° al 2° poste [hay 1 cable (1)] Del 1° al 3° poste [hay 3 cables (1+2)] Del
1° al 4° poste [hay 6 cables (1+2+3)] Del 1° al “n” poste [hay cables (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ........ + (n – 1))] entonces: Del 1° al 10° poste [hay cables (1+2+3+4+5+6+7+8+9)] Se denomina Razonamiento Inductivo al tipo de razonamiento que partiendo de situaciones particulares (de menor a mayor complejidad) obtiene una conclusión, una veracidad el de tipo probable. 2. Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (a+b)10 Conclusión En (a+b)10 la respuesta es: 210 = 1024 3. Calcule el número total de palitos en: No olvidemos que para demostrar matemáticamente un problema que se ha analizado por inducción se debe utilizar la deducción matemática 1. Calcule el número total de triángulos en la figura F(n). Rpta.: ........................................... 2. Calcule la suma de los números ubicados en los casilleros sombreados de la figura 30. Rpta.: ........................................... 3. Calcule el número de palitos necesarios para construir la siguiente figura: Rpta.: ........................................... 4. Calcule la suma de cifras del resultado final de: Rpta.: ........................................... 5. Calcule la suma de cifras del resultado de multiplicar: Rpta.: ........................................... 6. ¿En qué cifra termina el resultado de N? N = 444...44555..55 + 999...999888...88 Rpta.: ........................................... 7. ¿Cuántas palabras “PASCUAL” se pueden leer en el siguiente arreglo literal? Rpta.: ........................................... 8. ¿Cuántos cuadraditos unitarios blancos se podrán contar en la configuración x10? Rpta.: ........................................... 9. ¿Cuántos palitos de fósforoS internos en las circunferencias se podrán contar en la siguiente figura? Rpta.: ........................................... 10. Calcule la suma de cifras de: Rpta.: ........................................... 11. Indicar de cuantas líneas consta el pedestal del lugar 100: Rpta.: ........................................... 12. ¿Cuántos asteriscos hay en la siguiente figura: Rpta.: ........................................... 13. Calcule el número de triángulos en F40 Rpta.: ........................................... 14. Simplificar: Rpta.: ........................................... 15. ¿Cuántos puntos de corte se podrán contar en la ubicación N(n)? Rpta.: ........................................... 1. En el siguiente arreglo numérico dar como respuesta la suma de las 20 primeras columnas y dar como respuesta la cuarta potencia de la suma de las cifras del resultado obtenido. A) 2080 B) 3080 C) 5080 D) 780 E) 8080 2. Calcule la suma de cifras del resultado de la siguiente multiplicación: A) 1548 B) 1774 C) 2332 D) 9288 E) 8514 3. ¿Cuántas palabras PERUANO se pueden contar en el siguiente arreglo? A) 64 B) 128 C) 256 D) 512 E) 1024 4. Cuántos palitos hay en la siguiente figura? A) 210 B) 190 C) 420 D) 750 E) 610 5. Indica cuántos palitos se han empleado en la construcción del siguiente castillo: A) 2550 B) 3675 C) 1225 D) 1275 E) 2550 1. Hace dos años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 5 años? Rpta.: ........................................... 2. El año en que nació Patty representa el cuadrado de la edad que tenía en 1892. ¿Qué edad tenía en 1875? Rpta.: ........................................... 3. El 30 de junio de 1988 le preguntaron a Miguel por su edad y el contestó que la suma de los años más todos los meses vividos es 229, ¿en qué mes y en que año nació Miguel? I. octubre de 1970 II. junio de 1971 III. octubre de 1971 IV. junio de 1970 V. agosto de 1971. Rpta.: ........................................... 4. Artemió nació en el siglo XIX, y en el año 1984 su edad será igual al número formado por las últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de las cifras del año de su nacimiento? Rpta.: ........................................... 5. La edad de mi esposo, dice Rosa, es un número formado por las dos cifras de mi edad,pero dispuestos en orden invertido. El es mayor que yo, y la diferencia entre nuestras edades es un onceavo de su suma. ¿Qué edad tenía Rosa? Rpta.: ........................................... 6. Calcule la edad en que murió una persona, si se sabe que la raíz cuadrada del año en que nació, más la raíz cuadrada del año en que murió es igual a la edad en que murió, siendo las raíces cuadradas enteras y positivas y además se sabe que murió en el siglo XX. Rpta.: ........................................... 7. La edad de mi padre es el mayor en 10 años que el cuadrado de la edad de mi primo y menor en 5 años que el cuadrado de la edad de mi primo en el próximo año. ¿Cuántos años tiene mi padre? Rpta.: ........................................... 8. Javier nació x años antes de Corina. Hace p años sus edades estaban en la relación de 3 a 2, y dentro de 2p años la relación de sus edades será de 5 a 4. La relación actual de sus edades es: Rpta.: ........................................... 9. Rocio le dice a Ana: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo nuestras edades sumaran 95 años ¿Qué edad tiene? Rpta.: ........................................... 10. Alex le dice a Betty: “la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. ¿Cuál es la edad de Alex? Rpta.: ........................................... 11. La edad que tendrá Periquito dentro de 15 años y la edad que tenía hace x años están en relación de 17 a 11; mientras que la edad que tendrá dentro de x años y la edad que tenía hace 10 años están
en la relación de 3 a 2. Calcule x. Rpta.: ........................................... 12. Una persona nacida en el siglo XX, tiene en 1988, tantos años como la suma de cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tuvo en el año 2004? Rpta.: ........................................... 13. Una ciudad fue fundada en el siglo XX. En el año en que se escribe con las mismas cifras del año de su fundación pero con las dos últimas cifras invertidas, celebraron tantos años como la suma de las dos últimas cifras del año de su fundación ¿Cuántos años celebraron en aquella fecha? Rpta.: ........................................... 14. La diferencia de los cuadrados de las edades de Lucy y Mary es 49; si Mary le lleva por una año a Lucy, ¿Cuántos años deben pasar para que la edad de Lucy sea un cuadrado perfecto por setima vez en su vida? Rpta.: ........................................... 15. La suma de las edades actuales de dos hermanos es de 60 años, dentro de cinco años el mayor tendrá el doble de la edad de que tenía el menor hace cinco años. ¿Determine la suma de cifras de la edad actual del mayor? Rpta.: ........................................... 1. Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo si hace 2 años la edad del padre era el triple de la de su hijo? A) 20 años B) 15 años C) 16 años D) 18 años E) 14 años 2. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la tercera parte de la suma de la edades actuales si ahora el hijo tiene 35 años, ¿qué edad tenía cuando la edad de los tres sumaba 74 años? A) 13 B) 15 C) 12 D) 14 E) 10 3. Cuando a Manuel se le pregunta por la edad de su hermana Carla, responde “Cuando yo tenía 14 años mi hermana tenía la mitad de la edad de mi padre, actualmente sucede igual con mi edad y la edad actual de mi padre; en cambio hace 16 años mi edad era la mitad de la que tenía mi hermana”. ¿Cuántos años tiene Carla? A) 20 B) 13 D) 15 D) 16 E) 18 4. Cuando Alex le preguntó a Rocío por la edad que tenía, está respondió: tengo el triple de la edad que tù tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como la edad que tendrás dentro de ocho años. La edad de Rocío es: A) 32 años B) 34 años C) 36 años D) 40 años E) 72 años 5. Las cifras de las edades de Roberto y su hijo Héctor son las mismas pero dispuestas en orden inverso. ¿Cuál es la edad actual de Roberto, si cuando éste tenía el doble de la que tenía su hijo, Héctor tenía la mitad de la edad que tendrá dentro 1 año? Indicar la suma de la cifra de la solución? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 OBJETIVOS Desarrollar el pensamiento creativo en base al análisis. Comprender la información contenida en un enunciado. Elaborar una nueva información con el fin de producir resoluciones en distintos contextos. AZUZANDO AL INGENIO EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo un a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura? Solución: El prisionero pregunta a uno de los dos servidores: “Si le dijera a tu compañero que me señale la puerta de la libertad, ¿qué me contestaría?” En los dos casos, el guardián señala la puerta de la esclavitud. Por supuesto elegiría la otra puerta para salir de la celda. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1) El director de una prisión llama a tres de sus presos, las enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: “Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad”. Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? Solución: El primer preso (el que no ve ninguna boina) averigua el color de su boina: Como el tercer preso, que ve las dos boinas, no dice nada, no puede ver dos boinas negras. Si el segundo viera una boina negra en el primero, sabría que él tiene una blanca ya que no oye al tercero decir que tiene una blanca. Entonces el primer preso tiene una boina blanca. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2) El Director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: “Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad”. Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? Solución Si uno cualquiera de ellos tuviera una boina negra, los otros dos sabrían que tiene una boina blanca; si no, el tercero diría inmediatamente que tiene una boina blanca. Luego cada preso tiene una boina blanca. EL REY Y EL MINISTRO Un rey quería destituir a un ministro. Le hizo llamar, puso dos papeletas en un saco, y le dijo: “En el saco hay dos papeletas, en una pone CESADO y en otra SEGUIR. El papel que Ud. coja decidirá su suerte”. El ministro estaba
convencido de que la palabra CESADO estaba escrita en las dos papeletas. A pesar de todo, ¿cómo consiguió no obstante conservar su puesto? Solución: El ministro cogió uno de los papeles sin mirarlo, hizo con él una bola y se lo tragó. Como el papel que quedaba decía CESADO, el rey quedó obligado a reconocer que el papel elegido, y tragado, contenía la opción SEGUIR. Enunciado I El director de un colegio desea formar un equipo de cinco personas que se encarguen de elaborar el periódico mural del colegio. Para tal fin, el director cuenta con ocho candidatos: Ana, Blas, Carlos, Dora, Enma, Franco, Gualdo y Héctor. La constitución del equipo debe realizarse de acuerdo a las siguientes condiciones: Si Ana es parte del equipo, entonces Blas no lo será De los siguientes candidatos: Emma, Dora y Carlos, solo dos serán seleccionados Franco y Héctor no pueden, ambos a la vez, ser parte del equipo Dora no será parte del equipo a menos que Blas lo sea. 1. ¿Cuál de los siguientes es un posible equipo? I. Ana, Dora, Enma, Franco y Gualdo II. Ana, Carlos, Dora, Gualdo y Héctor III. Ana, Blas, Dora, Enma y Franco IV. Blas, Carlos, Dora, Franco y Héctor V. Blas, Carlos, Enma, Franco y Gualdo. Rpta.: ........................................... 2. Si Carlos y Dora son parte del equipo, ¿cuáles de las iguientes afirmaciones no pueden ser verdaderas? I. Ana es parte del equipo II. Gualdo y Héctor son parte del equipo. III. Blas es parte del equipo Rpta.: ........................................... 3. Si Franco y Blas no pueden estar en el equipo, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Ana es parte del equipo. II. Dora no es parte del equipo. III. Gualdo es parte del equipo. Rpta.: ........................................... 4. Si Ana es parte del equipo, ¿cuántos equipos diferentes podrían formarse? Rpta.: ........................................... 5. Para determinar con seguridad quiénes conforman el equipo, es suficiente saber que: I. Dora y Héctor están en el equipo. II. Enma es parte del equipo si y solo si Franco lo es: A) el dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) el dato II es suficiente y el dato I no lo es. C) es necesario utilizar I y II conjuntamente. D) cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E) se necesitan más datos. Rpta.: ........................................... Enunciado II Un cocinero está experimentando con ocho ingredientes para crear nuevos platos de comida. Los ingredientes son J, K, L, M, N, O, P y Q. Los ingredientes deben ser usados de acuerdo con las siguientes condiciones: si M es usado en un plato, entonces Q también debe ser usado en dicho plato si P es usado en un plato, entonces N también debe ser usado en dicho plato si J no es usado en un plato, entonces K debe ser usado en dicho plato si J es usado en un plato, entonces N también debe ser usado en dicho plato L y P no pueden estar ambos en el mismo plato P es usado en un plato si y solo si M también es usado en dicho plato. 6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ( ) O no puede ser usado con cualquiera de los otros ingredientes en un mismo plato ( ) O no formará parte de ningún plato ( ) un plato puede tener como máximo siete ingredientes ( ) O será usado en todos los platos ( ) L no formará parte de ningún plato. Rpta.: ........................................... 7. Si P es usado entonces ¿cuáles de los siguientes ingredientes deben ser usados en el mismo plato? I. M y N II. Q y J III. O y K Rpta.: ........................................... 8. Si N no es usado, ¿cuál es la lista completa de los ingredientes que deben ser usados en dicho plato? I. K II. K y Q III. K, Q y M IV. Q y O V. Q, O , K y L Rpta.: ........................................... 9. Si M y J son usados en el mismo plato, ¿de cuántas maneras se pueden combinar los ingredientes? I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4 V. más de 4 Rpta.: ........................................... 10. Si el cocinero debe usar exactamente cinco ingredientes, ¿cuáles de las siguientes son combinaciones aceptables? I. P, M, N, Q y O II. K, L, N, O y Q III. J, K, L, N y Q Rpta.: ........................................... Enunciado III El administrador de un zoológico desea seleccionar un grupo de animales para exhibirlos en su hábitat dentro del zoológico. Los animales disponibles pertenecen a una especie diferente cada uno y son P, Q, R, S, T, U, V y W. Teniendo en cuenta la naturaleza de estas especies, deben cumplirse las siguientes condiciones: si los animales van a pelear, entonces no podrán ser puestos juntos en el hábitat los animales de la especie V pelearán con los animales de las especies S, T y U un animal de la especie R peleará con un animal de la especie Q si y solo si un animal de la especie V está presente. si un animal de la especie W está presente, entonces un animal de la especie P no peleará con ningún otro animal. si un animal de la especie W no está presente, entonces un animal de la especie P peleará con aquellos de las especies Q y R. ninguna otra pelea, salvo las mencionadas anteriormente, podrá ocurrir. 11. Si V es elegido para la exhibición, ¿cuál de los siguientes no puede también ser elegido para dicha exhibición? I. P II. Q III. T IV. R V. W Rpta.: ........................................... 12. Si Q y V son dos de los cuatro animales elegidos para la exhibición, ¿cuáles de los siguientes podrían ser los otros dos animales? I. W y R II. R y P III. S y W IV. W y P V.U y R Rpta.: ........................................... 13. Si el administrador decide realizar dos exhibiciones simultáneas, una con los animales P, Q, W y V, y la otra con los animales S, U, R y T, ¿qué animales podrían intercambiarse sin provocar ninguna pelea? I. W y
U II. Q y R III. P y R IV. V y S V. W y T Rpta.: ........................................... 14. ¿Cuál es el máximo número de animales que podría exhibirse en el hábitat? I. 4 II. 5 III. 6 IV. 7 V. 8 Rpta.: ........................................... 15. ¿Cuáles de los siguientes son grupos de animales aceptables para la exhibición? I. R, Q, V y W II. U, R, T yV III. W, P, Q y R. Rpta.: ........................................... Enunciado IV Un código secreto está constituido por palabras, las cuales sólo pueden obtenerse por las combinaciones de las letras A, B, C, D y E. Todas las palabras del código deben cumplir las siguientes reglas: las palabras deben tener al menos tres letras, pero no más de cinco letras. en una misma palabra, las letras pueden repetirse, excepto la letra A. Ninguna palabra debe terminar con la letra D. Si E es la última letra de la palabra, entonces la palabra también debe tener al menos una D. Si B es la segunda letra de la palabra, entonces B también debe ser la última letra. Todas las palabras del código deben empezar con la letra A. 16. ¿Cuál de las siguientes es una posible palabra del código? I. ACCB II. ADAD III. ABBC IV. DACE V. ACEE Rpta.: ........................................... 17. ¿Cuáles de las siguientes no pueden ser las únicas letras usadas en una palabra del código de tres letras? I. A y B II. A, B y D III. A, B y E IV. A y E V. A y C Rpta.: ........................................... 18. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras del código pueden formarse sin usar las letras D y E? Rpta.: ........................................... 19. Si una palabra del código termina con la letra E, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. la palabra debe contener al menos cuatro letras. II. B no es la segunda letra. III. C no es la tercera letra. IV. A es la cuarta letra. V. D figura dos veces en la palabra. Rpta.: ........................................... 20. Si una palabra del código es de cuatro letras y está formada solo por las letras A, B y D, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. la palabra es ABDB. II. la palabra tiene dos letras D. III. la palabra tiene dos letras B. IV. la última letra es B. V. la segunda letra es B. Rpta.: ........................................... 21. ¿Cuántas palabras diferentes de cinco letras diferentes del código pueden formarse, si C es la cuarta letra de la palabra? Rpta.: ........................................... Enunciado V Siete congresistas, F, G, H, I, U, W y X, están pensando conformar un nuevo bloque parlamentario. Por razones de afinidad política, dicha agrupación se constituirá de acuerdo a las siguientes condiciones: H no participará con F I participa, solo si U participa X participará si y solo si ni W ni G participan de la agrupación I participará de la agrupación si y solo si X no participa si G no participa, entonces F participará. 22. Si el congresista X participa de la nueva agrupación, ¿quién más participará? Rpta.: ........................................... 23. Si X no participa de la nueva agrupación, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) I y U participarán de la agrupación B) F y U participarán de la agrupación C) H e I participarán de la agrupación D) G y W no participarán de la agrupación E) G y U no participarán de la agrupación. Rpta.: ........................................... 24. Si los congresistas W y G conforman la nueva agrupación, entonces ¿cuántos como máximo la conforman? Rpta.: ........................................... 25. Si alternamos la condición: “H no participará con F”, por esta otra: “Ni W ni G participarán”, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ( ) X no participará de la agrupación ( ) X y F participarán de la agrupación ( ) H y U participarán de la agrupación ( ) sólo I participará de la agrupación ( ) I y X no participarán de la agrupación. Rpta.: ........................................... 26. Si I no participa de la nueva agrupación y deben ser como mínimo tres miembros, ¿de cuántas maneras podrá conformarse dicha agrupación? Rpta.: ........................................... Enunciado I El profesor de aula de un colegio debe seleccionar a los delegados de su salón. Los estudiantes elegibles son P, Q, R, S, T, U y V. La selección de los estudiantes debe realizarse de acuerdo a las siguientes condiciones: si V es seleccionado, entonces R debe ser seleccionado. si T no es seleccionado, entonces V debe ser seleccionado. si Q es seleccionado, entonces T no puede ser seleccionado. si P es seleccionado, entonces o S o R debe ser seleccionado, pero no ambos con respecto a S y T, solo uno de los dos debe ser seleccionado. 6. Si S y U no son seleccionados, ¿cuál es el máximo número de estudiantes que pueden ser seleccionados? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. Si P y V son seleccionados, ¿cuál es el menor número de estudiantes que pueden ser seleccionados? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Si P y U son seleccionados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Q debe ser seleccionado. B) S debe ser seleccionado. C) T debe ser seleccionado. D) R no debe ser seleccionado. E) V no debe ser seleccionado. 9. Si solo tres estudiantes son seleccionados, ¿cuál de las siguientes es una lista aceptable de delegados? A) R, V y S B) P, Q y T C) P, R y V D) R, S y T E) R, S y U 10. Si P y T son seleccionados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es imposible? I. R es elegido II. Q es elegido III. U no es elegido. A) sólo I B) sólo II C) sólo III D) sólo II y III E) todas 11. Si U y otros tres estudiantes son elegidos, ¿cuál de las siguientes puede ser la relación de esos tres estudiantes elegidos junto con U? A) P, Q y T B) P, R y T C) P, Q y V D) P, V y S E) R, S y
Q ¿Y cómo se hace la traducción? Para esto analicemos juntos las siguientes situaciones: Reseña Histórica DIOFANTO (Grecia, siglo III a.C.) Considerado como el inaugarador del álgebra sincopada (empleo de asignaturas y signos, además de símblolos). Con Diofanto se inicia aunque no muy nítidamente un nuevo concepto del número, necesario para el desarrollo del álgebra. Antes de él los enunciados de los problemas y su solución eran largos procesos a bases de lenguaje corriente, procedimiento que además servía sólo para ese problema resuelto; no existía pues el concepto generalización. En cambio los problemas de Diofanto se refieren a los números abstractos. Además, además es quien inicia en el álgebra el empleo algunas abreviaturas para simplificar el razonamiento Diofanto tuvo predilecciones por las ecuaciones indeterminadas. Inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas Por todo eso se considera a Diofanto como el padre del álgebra. AL – KUWARIZMI(Arabia) Antiguamente el Álgebra de los árabes representado por el célebre Abuaddalá Mohamed, conocido como Al – Kuwarizmi, era de carácter retórico (resolución de problemas con el lenguaje corriente). Designaron a la incógnita con el nombre de la “cosa”, que en árabe es “xai” y cuya letra inicial “x” se tomó posteriormente para representar la incognita, y así es como llegó más tarde hasta nosotros. Problema 1 Un devoto rogó a Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenía en el bolsillo y que por ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro y pagó 8 monedas; finalmente rogó a Mercurio que le duplicará el número de monedas y le pago 8 monedas, así se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenía al inicio? Resolución Antigua Llamemos “cosa” al capital inicial; lo duplicó y tuvo dos cosas; pagó 8 monedas y le quedaron 2 cosas menos ocho monedas. Duplicó la segunda vez y tuvo cuatro cosas menos dieciséis monedas, pero como pagó ocho monedas le quedaron cuatro cosas menos veinticuatro monedas. Lo duplicó la tercera vez y tuvo ocho cosas menos cuarenta y ocho monedas, pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron ocho monedas menos cincuenta y seis monedas. Por consiguiente: “8 cosas = 56 monedas” “de donde: cosa = 7 monedas” Resolución Actual ........................................................................................ ........................................................................................ ............................................................................................. ............................................................................................. Problema 2. Una secretaria en una oficina contable recibe el día lunes una apreciable cantidad de informes, de los cuales ordena en el archivador sólo una parte, el martes recibe tantos informes como había ordenado el día lunes, pero sólo pudo ordenar 25, el miércoles recibe 5 informes más que el lunes, y ordena tantos como lunes; el jueves recibe la mitad de los que ordenó el miércoles y ordena 23 informes; el miércoles recibe un informe menos que el jueves, y ordena 20, el sábado no recibe informes y ordena los 16 que quedan, el domingo descansó. ¿Cuántos informenes recibe el día lunes? Resolución: ........................................................................................ ........................................................................................ ............................................................................................. ............................................................................................. 1. Homero lavando autos es más rápido que Pericles en la proporción de 4 a 3. Cuando Pericles lava “n” autos en una hora. Homero lava “n + 2” autos en el mismo tiempo. ¿Cuántos autos lava Pericles en 4 horas? Rpta.: ........................................... 2. Los ahorros de Jorge son: (x + 1); (3x – 5) y (x + 3) billetes de 50; 100 y soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden los ahorros de Jorge si al cambiarlos en billetes de 10 soles, el número de billetes obtenidos es 44 veces más que el número de billetes de 50 soles? Rpta.: ........................................... 3. Un salón está iluminado por 48 focos y otro salón está a oscuras. Si en el primer salón se apagan 4 focos y el segundo se encienden 2, y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es: Rpta.: ........................................... 4. Un gavilán cruza en vuelo con lo que aparece un centenar de palomas pero una de ellas lo saca del error; no somos cien, le dice si sumamos las que somos, más tantos como las que somos, más la mitad de los que somos y la mitad de la mitad de los que somos, en ese caso, contigo; gavilán seríamos 100. ¿Cuántas palomas había en la bandada? Rpta.: ........................................... 5. Se tienen dos cilindros conteniendo cerveza, del primero se echa al segundo tantos litros como litros habían en el segundo; luego del segundo se hecha al primero tantos litros como había en el primero después de la primera operación y finalmente del primero se hecha al se hecha al segundo tantos litros como había quedado en este después de la segunda operación. Si ambos terminan con 40 litros. Determinar, ¿Cuántos litros tenía cada uno en un comienzo?
Rpta.: ........................................... 6. En una isla desierta hay 11 personas que pueden consumir sus viveres en 20 días, luego del primer día del siguiente mes llega a la isla un naufrago, al segundo día dos, al tercer día tres, y así hasta que la cantidad de náufragos puedan consumir la cantidad de víveres que consumieron las once personas en 20 días. ¿Para cuántos días alcanzó los víveres a los náufragos’? Rpta.: ........................................... 7. Una señorita muy enamorada quiere plantar en un terreno en forma cuadrada rosales a igual distancia unos de otros, tanto a lo largo coma a lo ancho. La primera vez que lo intenta le faltan 15 rosales, pero la segunda vez pone una menos en todo el sentido y entonces le sobran 32. Si de todas las rosas que obtuvo regaló todas menos las que regaló ¿Cuántas regaló si cada rosal tenía solamente 2 rosas? Rpta.: ........................................... 8. Un hombre compró cierto número de libros, si hubiera comprado 5 libros más por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 soles menos, si hubiera comprado 5 libros menos por el mismo dinero cada libro le habría costado 4 soles más ¿Cuántos libros compró cuanto pago por cada uno? Rpta.: ........................................... 9. Tres equipos de fútbol “A” “B” y “C” después de tres partidos, en los cuales cada uno jugó con los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor (G.F) y goles en contra (G.C.) ¿Cuál fue el resultado del partido del equipo “A” con “B”, si “A” ganó por máxima cantidad de goles a “C”? Entonces: I. “A” gana 6 – 4 II. “A” gana 3 – 1 III. “A” gana 5 – 1 IV. “A” gana 7 – 3 V. “A” gana 6 – 5 Rpta.: ........................................... 10. Un padre reparte entre sus hijos una suma de dinero de la siguiente manera, al primero le da 1000 soles y la décima parte del resto, al segundo 2000 soles y la décima parte del resto, al tercero 3000 soles y la décima parte del resto y así sucesivamente, al final se da cuenta que cada uno de ellos recibió la misma cantidad, que es igual a: Rpta.: ........................................... 11. Jaimito estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio, 9 vacas y 9 conejos. Decide comprar el mismo número de animales con el mismo dinero. ¿Cuántos animales compró? Rpta.: ........................................... 12. Un alumno ha de multiplicar un número un número con 50, pero al hacerlo se olvida del cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuánto se obtiene si divide dicho número con 50? Rpta.: ........................................... 13. En dos factores, donde uno de ellos posee dos cifras, si a este factor se le disminuye la suma de sus cifras, el producto se reduce a la mitad. Indicar la suma de las dos cifras Rpta.: ........................................... 14. Dos personas trabajan juntos, ganando diariamente uno 2 soles más que el otro. Después de igual número de días trabajados reciben 240 soles uno y 210 soles el otro. ¿Cuánto gana por día uno de ellos? Rpta.: ........................................... 15. De un grupo de obreros se sabe que la cuarta parte de ellos cobra un jornal de S/. 50; la mitad cobra S/. 30 y el resto un jornal de S/. 20. Si por 15 días de trabajo cobraron un total de S/. 39000. Calcule el número de obreros de la fábrica. Rpta.: ........................................... 1. Fiorella quiere plantar sus árboles igualmente espaciados en un terreno cuadrado de 288 m de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuese do 3 m le faltaría 2400 árboles. Determinar la distancia que debe haber entre ellos de manera que lo sobren 1680 árboles? A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m 2. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean locetones de 5 0×50 cm. Si el patio tuviera un metro más por cada lado, se habría necesitado 140 locetones más, ¿Cuánto mide cada lado del patio? A) 14,5 m B) 16 m C) 12,50 m D) 15,50 m E) 17 m 3. Un jugador “A” le da ventaja a otro “B” 40 carambolas para 100 y “B” le da ventaja a otro “C” 60 carambolas para 100, ¿Cuántas carambolas debe dar “A” y “C” en un partido de 100? A) 73 B) 74 C) 75 D) 76 E) 77 4. En un corral hay cierto número, de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si los gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más? A) 361 B) 363 C) 356 D) 367 E) 369 5. Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, se posó sobre un jazmín habiendo dejado a 8/9 del enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba entorno a un loto, atraída por el zumbido de sus amigas que cayo imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia. ¿Cuántas abejas forman el enjambre? A) 69 B) 72 C) 71 D) 88 E) 83 1. ¿Recuerda el año en que Guttemberg inventó la imprenta? pues si no, encuéntrelo, sabiendo que la cifra de las unidades es el doble de la de las decenas; la de los millares es igual a la diferencia entre la de las centenas y la de las decenas y la suma de las cuatro cifras es igual a catorce. Además si al año se le suma 4905, resulta el mismo número pero invertido. Rpta.: ........................................... 2. En una “combi pirata”, el pasaje de los adultos de S/. a y el de los niños es de S/. b, si en total subieron 5(a + b) pasajeros y la recaudación de S/. (3a2 + 2b2 + 5ab), ¿Cuántos adultos más que niños subieron al mencionado transporte?. Rpta.: ........................................... 3. Hallar un número sabiendo que su raíz cuadrada da por
resto tres y que sumando 1410 al número, la raíz cuadrada de la suma es el doble, más uno, de la raíz anterior, y el resto cinco. Rpta.: ........................................... 4. Un niño nació en noviembre, y el 10 de diciembre, tiene una edad igual al número de días transcurridos del 11 de noviembre al día de su nacimiento. Calcule la fecha de nacimiento de dicho niño: Rpta.: ........................................... 5. Un comerciante posee una máquina que pone la etiqueta a 500 envases en 8 minutos. Desea adquirir otra máquina de tal manera que cuando ambas funcionen simultáneamente, puedan hacer el mismo trabajo en solo 2 minutos ¿Cuánto tiempo emplea la segunda máquina para ponerle las etiquetas a 500 envases? Rpta.: ........................................... 6. Si compró b artículos a b + 2 dólares cada uno, me sobran 3b – 1 dólares. Sin embargo, si cada artículo costara 2 dólares más, sólo me sobrarían 60 dólares, ¿Cuánto cuesta cada artículo en el primer caso? Rpta.: ........................................... 7. Carlos tiene S/. 28.25 entre monedas de 1 sol, 50 centavos y 25 centavos. Si todas las monedas se colocan en contacto por sus bordes perfectamente alineados, forman una longitud de 1057 m. Determine cuántas monedas de cada clase hay, si se sabe que por cada moneda de 50 centavos hay tres de 1 sol. Considere que los diámetros de las monedas son de 28 mm, 22 mm y 21 mm en cada caso. Rpta.: ........................................... 8. Se tiene dos toneladas de vino de precios diferentes, conteniendo el primer tonel a litros y el segundo b litros. Se saca de cada tonel la misma cantidad de vino y se echa en el primero lo que se ha sacado del segundo y lo del segundo al primero, ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un tonel al otro si el contenido de vino de los dos ha resultado de igual cantidad? Rpta.: ........................................... 9. Calcule la cantidad de dinero que tienen tres personas sabiendo que si se añade a la primera la mitad de lo que tienen las otras dos resultan 150 soles; si se añade a la segunda la mitad de lo de las demás, tiene 165 soles; y añadiendo a la tercera la mitad de lo de las otras, tiene 185 soles. Rpta.: ........................................... 10. Calcule un número de tres cifras sabiendo que la cifra de las unidades es igual al producto de las otras dos; que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas, más el doble de la inversa de la cifra de las unidades Rpta.: ........................................... 11. Preguntado Filogonio por el número de ovejas de su rebaño, contesta: “Este número multiplicado por dos veces el mismo resulta ¿cuántas ovejas tiene Filogonio? Rpta.: ........................................... 12. De cada vértice de un cartón rectangular de 54 cm2 de área, se cortó un cuadrado de 2 cm de lado para luego formar una caja de 44 cm3 de volumen, ¿Cuál era el perímetro, expresado en centímetros, del cartón original? Rpta.: ........................................... 13. De dos velas de igual calidad diámetro, una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la vela menor, ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor en centímetros, si duró 270 minutos? Rpta.: ........................................... 14. Un inspector diariamente, de lunes a sábado, se dedica a visitar colegios. Por visitar colegios particulares gana S/. 20 más que por visitar colegios nacionales. En 5 semanas ha ganado S/. 350. ¿Cuántos colegios nacionales ha visitado sabiendo que por visitar 4 colegios particulares gana S/. 50 más que por visitar 10 colegios nacionales? Rpta.: ........................................... 15. Hace 5 minutos, la cantidad de minutos que han pasado desde las 8.00 a.m. es 15 veces del número de meses que han pasado del año. Si la cantidad de minutos que han pasado desde las 8:00 a.m. hasta el momento excede en 117 a los meses transcurridos del año. ¿Qué hora es? Rpta.: ........................................... 1. Si sumas las edades que tuve, tengo y tendré, obtendrás el triple de la edad que tengo; si mi edad es ocho años mayor que la edad que tuve, ¿cuántos años más tendré, pasados diez años de la edad que cumpliré con respecto a la edad que tuve diez años antes de la edad que ya te dije que tuve? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 2. En una fiesta a la cual concurrieron menos de 2000 personas se observó en un momento que el número de mujeres que bailaba era k3 y el número de las que no lo hacían era k; el número de varones que bailaba era n2 y el número de los que no lo hacían era n, ¿Cuál fue el número exacto y total de asistentes, si éste fue el mayor posible? A) 1500 B) 817 C) 811 D) 929 E) 999 3. Un vendedor de frutas tiene cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que formen un cuadrado. Si el cuadrado fuera compacto, sobrarían 88 naranjas; pero, si el centro estuviera vacío podría colocar 4 naranjas más en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadrado vacío se necesitan 144 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene el vendedor? A) 825 B) 817 C) 811 D) 929 E) 949 4. Se tienen tres grupos de clavos, cuyas cantidades son números consecutivos crecientes; si del segundo y del tercero se pasan al primero igual número de clavos, resulta que lo que hay ahora en el primero y lo que queda en el tercero están
en la relación de 14 es a 9 y lo que queda en el segundo con el tercero, en la relación de 17 es a 18. ¿Cuántos clavos hay ahora en el primero? A) 20 B) 21 C) 23 D) 22 E) 28 5. En un autobús el pasaje adulto, universitario y escolar cuestan S/. 4; S/. 2 y S/. 1 respectivamente. En su viaje de ida subieron un determinado número de adultos, universitarios y escolares, recaudando una cierta cantidad de dinero. Si en su viaje de regreso subieron un adulto menos, dos universitarios más y el doble de escolares con relación a su viaje anterior, racaudando 3 soles más que en el viaje anterior. ¿Cuántos escolares subieron en el primer viaje? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 MEDICIÓN DEL TIEMPO (RELOJES Y CALENDARIOS) En ésta oportunidad desarrollaremos diversos problemas referidos al reloj tales como tiempo transcurrido y por transcurrir, adelantos y atrasos y finalmente ángulo formado por las agujas del reloj (principalmente horario y minutero). No olvidar que en éste capítulo también haremos uso de lo aprendido en el capítulo de planteo de ecuaciones, además de ciertas observaciones propias del tema para una mejor comprensión del capítulo lo dividiremos en 3 subtemas principales: Tiempo transcurrido y por transcurrir. Adelantos y atrasos. Relación entre el ángulo y la hora. ¿Qué indican las manecillas del reloj? I. Tiempo transcurrido y que falta transcurrir Considerar sobre qué tiempo de referencia se va a trabajar. Puede ser: .............. entre las 7 y las 9 ............ .............. sobre el día (24 h) ............ .............. sobre el mes (30 d) ............ .............. sobre el año (365 d) ............ .............. etc, etc. Identificar correctamente el tiempo transcurrido y lo que falta transcurrir Plantear el problema. Ejemplo: Han transcurrido del día 8 h más de las que faltan por transcurrir. Hora: (x + 8)h Planteo de ecuaciones Rpta.: 16 h = 4:00 p.m. I. Adelantos y Atrasos H.R= Hora Real H.M = Hora marcada (ficticia) Ejemplo: A las 3:00 a.m. un reloj empieza adelantarse 2’ cada 3 horas. ¿Qué hora marcará a las 9:00 p.m.? Se sabe: 8:60’–12’ = H.M Rpta: Ejemplo: Hace 15 h que un reloj se atrasa 2’ cada hora. Si son exactamente las 15 h, ¿qué hora marca? Rpta: III. Relación entre el ángulo y la hora que indica las manecillas del reloj Minutero ( ’ ) Horario ( ° ) 60’ 30° 40’ 20° 100’ 50° 15’ 7,5° x’ Ejemplo: A. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 8:20? \ a = 10° + 60° + 60° = 130° B. ¿Qué ángulo forman las agujas a las 2:40’? \ a = 10° + 90° + 60° = 160° C) 1. Un reloj indica la hora que es con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 4:00 demoró 5 segundos, ¿qué hora habrá señalado en otro momento sabiendo que demoró 10 s. en indicarla? Rpta.: ........................................... 2. Ana pregunta por la hora y Álex responde: “Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12, además, dentro de trece mininutos faltará para la 1 a.m. la misma cantidad de minutos que habían pasado desde las 11 hasta hace 7 min., según esto, ¿qué hora es? Rpta.: ........................................... 3. Si fueran 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas más temprano. ¿Qué hora es? Rpta.: ........................................... 4. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas, si en este momento marca las 6:35, ¿qué hora marcará dentro de 12 horas? Rpta.: ........................................... 5. Un reloj se adelanta 4 minutos cada 6 h. ¿Cada cuánto tiempo marca la hora correcta? Rpta.: ........................................... 6. Un reloj se adelanta 2 minutos cada hora y otro reloj se atrasa 5 minutos cada hora. Si ambos se sincronizan a las 12:00, ¿después de cuántas horas el segundo estará adelantado 35 minutos respecto del primero? Rpta.: ........................................... 7. Cuando en realidad son las 11:00 a.m. un reloj marca las 10:45 a.m. y luego marcó las 11:15 a.m., cuando en realidad son las 12:00, ¿qué hora será en realidad cuando este reloj haya marcado las 10:53 a.m.? Rpta.: ........................................... 8. Han transcurrido 120 días para que un reloj marque nuevamente la hora correcta. Para que esto suceda, ¿cada cuántas horas tendrá que adelantarse 6 minutos? Rpta.: ........................................... 9. Supongamos que en el planeta RM el año dura 15 horas y cada hora tiene 45 minutos. ¿Qué hora será en un reloj de este planeta cuando un reloj de la Tierra marque las 18:20h? Rpta.: ........................................... 10. En este reloj son las 3 horas por segunda vez, sabiendo que su horario marca las horas completas de un día dando 2 vueltas alrededor de su propio eje, ¿qué hora marca un reloj normal en este mismo momento? Rpta.: ........................................... 11. Un reloj de campanadas se demora 1 segundo en dar 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las 5 horas? Rpta.: ........................................... 12. Un campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos. Si se está escuchando tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada, ¿cuánto tiempo empleará este campanario para tocar 7 campanadas? Rpta.: ........................................... 13. El duplo de las horas que han transcurrido en un día es igual al cuadrado de las que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es? Rpta.: ........................................... 14. ¿Qué hora es, si hace 4 horas faltaba para acabar el día el triple del tiempo que faltará para acabar el día dentro de 4 horas? Rpta.: ........................................... 15. Son más de las 4, pero aún no son las
6. ¿Qué hora será cuando a partir de este momento transcurren tantos minutos como el triple del tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 40 minutos, si sabemos que el tiempo que falta para las 6 dentro de 20 minutos, es la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 10 minutos? Rpta.: ........................................... 1. Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas. Si hace ya 12 horas que viene funcionando y marca las 3:00 a.m., ¿qué hora será en realidad? A) 1:00 a.m. B) 2:00 a.m. C) 4:00 a.m. D) 2:48 a.m. E) 2:30 a.m. 2. El reloj de Ana se atrasa 6 minutos por cada hora que pasa. Si se sincroniza exactamente a las 00:00 horas, ¿qué hora marcará dicho reloj cuando realmente sean las 2:20 p.m. del mismo día? A) 15:32 p.m. B) 12:54 p.m. C) 11:32 p.m. D) 3:56 p.m. E) 12:26 p.m. 3. Se tiene un reloj que se atrasa 3 horas cada día. ¿Cada cuánto tiempo marcó la hora correcta? A) 12 días B) 10 días C) 6 días D) 4 días E) 3 días 4. Un reloj se adelanta 3 minutos cada x horas. Si empieza a faltar a las 10:29 p.m. y luego marca las 8:35 a.m., cuando en realidad son las 8:29 a.m., calcular x. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Dos relojes son sincronizados a las 8:00 a.m. y a partir de ese instante uno comienza a adelantarse a razón de 2 minutos por cada hora y el otro a atrasarse al mismo ritmo. ¿Después de cuánto tiempo ambos relojes volverán a marcar una misma hora? A) 75 días B) 34 días C) 30 días D) 20 días E) 60 días Nociones sobre Cinemática La mayoría de fenómenos naturales consiste en movimientos, el estudio de los mismos constituye el objeto de la Mecánica, de modo que definiremos esta ciencia diciendo que es la parte de la física que trata del movimiento de los cuerpos. CINEMÁTICA Estudia el movimiento en sí mismo, prescindiendo de las causas que lo producen. Partícula Cuando se estudie el movimiento de un cuerpo se le considerará a este como un punto, es decir como una partícula, siempre y cuando las dimensiones del cuerpo, las causas del movimiento (fuerza) actúen en un sólo punto de cuerpo. SISTEMA DE REFERENCIA Es el sistema desde el cual se está observando • La Partícula en movimiento Una persona observa el desplazamiento de un perro * Vector Posición: Determina la ubicación de un cuerpo a cada instante también llamado radio vector. y vector posición * Desplazamiento: Es un vector que indica el cambio de posición que experimenta un cuerpo. * Distancia: (d) Es el módulo o tamaño del vector desplazamiento. o también Movimiento: Una partícula se mueve respecto a un sistema de referencia, si su posición cambia respecto al sistema, a través del tiempo (también se conoce como Movimiento Mecánico). Reposo: Una partícula está en reposo respecto a un sistema de referencia, si su posición no cambia, respecto al sistema. Se llama así a todo cuerpo (partícula) en movimiento. * Trayectoria Espacial Es aquella línea que describe un cuerpo en movimiento. * Espacio Recorrido (e) Es la longitud de la trayectoria espacial. • Se puede observar que si la trayectoria es una línea recta coincide con el vector desplazamiento. En este caso: ___________________________________________________________________________ • Si la trayectoria no es una línea recta no coincide con el vector desplazamiento. En este caso: Dirección: ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Sentido: ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Es aquel movimiento que se realiza en una sóla dirección notándose que para intervalos de tiempos iguales los desplazamientos recorridos son iguales y que mantiene la misma velocidad durante el tiempo de observación. Ejemplo: Un auto recorre una carretera a 20 km/h. La siguiente tabla indica las distancias recorridas para varios tiempos. De la tabla se deduce lo siguiente: Luego: También puede representarse gráficamente en un diagrama d vs. t. De esta gráfica se puede observar lo siguiente: Se puede deducir esta relación también es la velocidad VELOCIDAD Es una magnitud vectorial física, cuyo módulo indica cuál es el espacio recorrido por un móvil en cada unidad de tiempo. Es decir, mide la rapidez del cambio de posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia. • En la siguiente gráfica se observa que la velocidad es la tga (pendiente de la recta) Velocidad = tg a ¿Cuál es la explicación para estos gráficos? Es una magnitud escalar, que se entiende como el módulo del vector desplazamiento (tamaño del vector). Para conocer su valor sólo es necesario conocer los vectores posición inicial y final. • Sobre un sistema referencial Velocidad vs Tiempo se puede observar • Observamos del gráfico ¿Cuál es el análisis para estos gráficos? Realizar los gráficos para cada caso (fenómeno físico) 1. Una hoja de papel cae desde la mesa (caída de papel). 2. Un niño lanza una piedra hacia arriba (recorrido de la piedra). 3. Un camión va con rapidez de 60 km/h y frena bruscamente . 4. Un niño viaja en un automóvil a 50 km/h y suelta por la
ventana un lápiz (recorrido del lápiz). 5. El aterrizaje normal de un avión en el aeropuerto. 1. Una persona dispone de 15 horas para salir de paseo, si la partida se hace en bicicleta a una rapidez de 14 km/h y de regreso lo hace en moto a una rapidez de 16 km/h. ¿Determine el espacio que recorrió la bicicleta? Rpta.: ........................................... 2. Dos móviles se desplazan en línea recta cada uno al encuentro del otro, indicar luego de cuanto tiempo la distancia entre ellos es 80 km, si las rapideces es de 50 km/h y 80 km/h si la distancia inicial entre ellos es 240 km. Rpta.: ........................................... 3. Tres móviles parten de un mismo punto y en la misma dirección con rapideces de 30 km/h; 50 km/h y 50 km/h. Indicar el espacio recorrido por el de mayor rapidez, cuando la distancia de separación de los otros dos es 70 km. Rpta.: ........................................... 4. Un roedor se encuentra 20 metros debajo de un balcón, al observarlo huye rectilíneamente y hacia un agujero 15 metros delante de él, con una rapidez constante de 3 m/s. Determine la rapidez del halcón si éste caza al roedor justo cuando ingresa al agujero. Rpta.: ........................................... 5. Un tren tarda en pasar delante de un árbol 7 segundos y 25 segundos en atravesar un puente en 378 m de longitud. Determine la longitud del tren. Rpta.: ........................................... 6. Lucy sale de su casa a las 8 a.m. caminando a razón de 50 m/min; después de 15 min sale a buscarla a su hermana a razón de 100 m/min. Determine a que hora nuevamente estarán en casa las dos, si cuando la hermana encuentra a Lucy ambos regresan inmediatamente caminando 50 m/min. Rpta.: ........................................... 7. Un corsario descubre un barco mercante a 10 millas de Sotavento a las 11:45 a.m. se dirige hacia él, con una rapidez de 11 millas por hora mientras que el mercante escapa a 8 millas por hora después de 2 horas de caza, el viento cambia de dirección y la rapidez del barco corsario a 17 millas por hora y el mercante a 15 millas por hora entonces el corsario alcanzará al mercante a las: Rpta.: ........................................... 8. En una pista circular de 240 m de longitud , dos jinetes July y Miguel parten de un mismo punto pero en direcciones opuestas se encontraron por primera vez 17 segundos después de la partida de July y 20 segundos más tarde por segunda vez, sabiendo que Miguel partió 6 segundos antes que July. Determine la rapidez de July en m/s. Rpta.: ........................................... 9. Un estudiante a borda todos los días un microbús, para llegar a su clase a las 8:00 pero hoy perdió el microbús y otro pasó 10 minutos después del primero y se demoró el doble del tiempo normal llegando a las 8:24 a.m. ¿A qué hora partió? Rpta.: ........................................... 10. Se tiene 3 automóviles A; B y C con rapideces 8 m/s; 4 m/s y 6 m/s respectivamente. El móvil B se encuentra a 400 m detrás de C. Las tres parten al mismo tiempo y en el mismo sentido A alcanza al móvil C y sin pérdida de tiempo cambia de dirección y va al encuentro de B ¿Qué tiempo total a transcurrido desde que partieron hasta el momento en que B se encuentra con A (A se encuentra 100 m detrás de B). Rpta.: ........................................... 11. Manolo y Miguel están separados por una distancia de 2400 m parten al mismo tiempo al encuentro uno del otro, justamente con Manolo parte “belsebu”, perro fiel a ambos “belsebu” al encontrar a Miguel regresa nuevamente inicia Manolo y así sucesivamente va de Manolo a Miguel y de Miguel a Manolo hasta que ella se encuentran. Se desea saber el espacio total recorrido por el perro si se sabe que la rapidez de Manolo es 373 m/h la rapidez de Miguel 227 m/h y la de “belsebu” 393 m/h. Rpta.: ........................................... 12. Un trailer que normalmente, utiliza sus 18 llantas para movilizarse, recorre esta vez 1600 km utilizando además 6 llantas de repuesto ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta? Rpta.: ........................................... 13. En el instante mostrado, el conductor del auto toca el claxón, si escucha el eco luego de 5 segundos ¿A cuántos metros de la pared escucho el eco? Rpta.: ........................................... 14. Un autobús recorre su ruta en tres etapas iguales usando en las dos últimas el doble de la rapidez que en la etapa anterior, demorando un total de 21 horas. Cierto día observó que 2/5 de lo recorrido es igual a los 7/5 de lo que falta por recorrer ¿Cuántas horas ha viajado hasta el momento? Rpta.: ........................................... 15. Dos trenes A y B de longitudes L1 y L2 se desplazan con rapideces constantes y tardan 8 segundos en cruzarse totalmente entre sí, pero si A duplica su rapidez, tardan 6 segundos en cruzarse. Determinar la razón de sus rapideces (vA/vB) Rpta.: ........................................... 1. Un hombre parado sobre una escalera mecánica en funcionamiento “sube” en 60 segundos, pero si caminara sobre la escalera en movimiento emplearía 20 segundos ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría caminando sobre la escalera en movimiento emplearía 20 segundos. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría caminando sobre la escalera en funcionamiento? A) 30 segundos B) 60 segundos C) 70 segundos D) 80 segundos E) 90 segundos 2. La rapidez de un hombre es a la rapidez de un ciclista como 1 es a 3, en una carrera alrededor de un circuito en la que intervienen los dos, además un motociclista este último le saca 6 vueltas
de ventaja al motociclista y 12 vueltas al hombre. ¿En qué relación se encuentran la rapidez del hombre y del motociclista? A) 1/3 B) 2/5 C) 3/7 D) 1/5 E) 1/3 3. Dos nadadores parten simultáneamente de los extremos opuestos de una piscina, después de un minuto y medio se cruzan en el centro de la piscina. Si no pierden tiempo en voltear y mantienen sus rapidezes constantes. ¿Cuántos minutos después de la partida tocaron sus respectivos extremos por n–ésima vez? A) 5n B) 7n C) 6n D) 4n E) 3n 4. Una hora después de la partida de un tren sufre un desperfecto por lo que se detuvo una hora, superado el desperfecto partió con una rapidez que es 3/5 de su rapidez anterior y llega a su destino con 3 horas de retraso, pero si el desperfecto hubiera quedado 150 km más adelante habría llegado solamente con dos horas de retraso. Determine la longitud del recorrido del tren. A) 1200 km B) 2000 km C) 1000 km D) 6000 km E) 2500 km 5. La distancia entre A y B es de 1 km. Una tortuga y una liebre parten simultáneamente desde A. La tortuga a razón de un metro por minuto y la liebre a 100 metros por minuto, la liebre llega al punto B y regresa al punto A en busca de la tortuga luego de encontrarla regresa al punto B ¿Cuál es el espacio total recorrido por la liebre? A) 100 km B) 10 km C) 100 km D) 10000 km E) 10000000 km 1. Si los 11/20 del volumen de un depósito están ocupado, por cierta sustancia química, para llenar el depósito, se necesita S/. 540. ¿Cuánto cuesta 5/3 de litro de dicha sustancia química sabiendo que el depósito tiene una capacidad total de 400 litros? Rpta.: ........................................... 2. Dos cilindros contienen un total de 680 galones. Si se saca 1/4 del contenido del primero y 2/5 del segando, quedan 30 galones más en el primero que el segundo ¿Cuántos galones hay en cada cilindro? Rpta.: ........................................... 3. Preguntando Luis por la fecha de su matrimonio éste contestó, la ceremonia se realizó en 1950 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir. La ceremonia tuvo lugar el. Rpta.: ........................................... 4. Toño sale de un huerto con naranjas y encuentra a Luis, a quien le da la mitad de las naranjas que lleva y media naranja más. Después se encuentra con Pedro, a quien le da la mitad de las naranjas que le quedan y media naranja más. Si Toño se queda con una naranja. ¿Con cuántas naranjas salió del huerto? Rpta.: ........................................... 5. Se tiene un cubo de 6 litros de capacidad, el cual se llena con 4 litros de ácido y 2 de agua. Inicialmente saco la quinta parte de la mezcla y lleno el cubo con agua. Ahora saco la mitad del total de mezcla y le vierto ácido hasta llenar el cubo, ¿En qué relación están el agua y el ácido finalmente? Rpta.: ........................................... 6. Un estanque tiene 2 caños, si estando vacío y el estanque y cerrado el desagüe; si se abre sólo una llave se tarda 5 horas en llenarse, y si sólo hubiera sido la otra tarda 7 horas. Si el estanque está lleno hasta los 2/7 de su capacidad ¿En cuánto tiempo se llenará si se abren ambas llaves a la vez? Rpta.: ........................................... 7. Una cañería llena una piscina con 4 horas y otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina si la cañería de desagüe se abre 1 hora después? Rpta.: ........................................... 8. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días. Pero trabajando por separado uno tardaría 9 días que el otro ¿Qué tiempo tardará este otro? Rpta.: ........................................... 9. Tres grifos proveen de agua a un estanque. Estando vacío el estanque; el primero y el segundo funcionando juntos los llenan en 6 horas el segundo y el tercero lo haría en tres horas; el primero y el tercero lo llenarían juntos en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si sólo funciona la tercera llave, estando el deposito inicialmente vacío? Rpta.: ........................................... 10. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días después de haber trabajando juntos durante 12 días se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 20 días. ¿En cuántos días puede hacer toda la obra el ayudante trabajando sólo? Rpta.: ........................................... 11. En un salón de x alumnos, 2/3 dieron examen los 3/7 de estos aprobaron, de los cuales sólo 1/4 tuvieron notas mayores de 15. ¿Cuántos dieron examen, si los que tienen nota arriba de 15 son 6? Rpta.: ........................................... 12. El número de vagones que lleva un tren A en los 5/11 del que lleva un tren B, el que lleva C los 9/23 de otro D. Entre A y B llevan tantos vagones como los otros dos. ¿Cuál es el número de vagones de cada tren, sabiendo que no pueden pasar de 25? Rpta.: ........................................... 13. Asumiendo que no se trata de un año bisiesto. ¿Qué día del año indicará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en 2 a los 3/8 del número de hojas que quedan? Rpta.: ........................................... 14. Un holgazán pasó su vida del modo siguiente los 3/8 durmiendo, 1/16 comiendo y bebiendo 1/4 paseando, los 3/6 jugando; 1/16 en su silla hamaca y el resto que son dos años trabajando. ¿Qué edad tuvo al morir? Rpta.: ........................................... 15. Se tiene una botella de vino, de la cual se bebe la quinta parte y se rellena con agua, y se vuelve a beberla cuarta parte y se vuelve a llenar
con agua pero sólo hasta los 7/8 de la botella. ¿Cuál es la relación final entre el vino y el agua? Rpta.: ........................................... 1. Tres grifos llenan una piscina, individualmente, 3; 4 y 6 horas, respectivamente. Si estando vacía la piscina se abre simultáneamente los tres grifos. ¿En cuánto tiempo lo terminaron de llenar la piscina? A) 2h10min B) 1h30min C) 2h08min D) 1h20min E) 1h38min 2. Álex, Beto y Jorge pueden construir una pared en 6 h, 8 h y 12 h respectivamente. Cierto día se inició la construcción de una pared similar con Jorge, que trabaja durante una hora y luego es reemplazado por Beto, quien trabaja también durante una hora y finalmente es reemplazado por Álex, quien terminó la construcción ¿Cuánto tiempo trabaja Álex? A) 3h30min B) 4h25min C) 3h35min D) 4h45min E) 3h75min 3. A puede hacer un trabajo en 12 días y B hace el mismo trabajo en 60 días, después de trabajar juntos durante dos días se retira ¿En qué tiempo terminará B la parte que falta? A) 25 días B) 14 días C) 36 días D) 48 días E) 50 días 4. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan sólo A y B pueden llenar todo el estanque en 10 horas y si funcionan B y C lo llenan en 15 horas ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería B si funciona sóla? A) 12 h B) 8 h C) 6 h D) 9 h E) N.A. 5. Un tanque cilindrico de radio 20 cm y altura 90 cm tiene un caño de llenado que fluye al 5p L/min y otro caño de vaciado que fluye (al exterior ) a 2p L/min. Estando vacío el tanque; se abre el caño de llenado y 3 minutos más tarde el caño de vaciado. ¿En qué tiempo, se habrá llenado tolalmente el tanque? A) 5 min B) 9 min C) 7 min D) 6 min E) 8 min REGLA DEL TANTO POR CUANTO El “tanto por cuanto” o “tanto por n” es el número de partes que se toma de una unidad (todo o total) dividida en “n” partes iguales. Forma General: Es decir que a una cantidad se le ha dividido en “n” partes iguales y de ella se toman “m” partes. Luego: m : tantas partes que se toman del total n : en cuantas partes se divide el total Entonces tenemos: “m” partes por cada “n” partes Ejemplo: El 6 por 80 < > .... El 7 por 14 < > .... El 9 por 90 < > .... ¡Prueba tu habilidad! ¿A cuánto equivale el 7 por 14 del 2 por 5 de 500? Resolución: .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. REGLA DEL TANTO POR CIENTO Es el número de unidades tomadas de una cantidad considerada como equivalente a 100. Completar: La región sombreada equivale al ..... del total del triángulo. Equivalencias Importantes 20 % < > < > 40% < > < > 50% < > < > 75% < > < > 100% < > < > 1 OPERACIONES CON PORCENTAJES 1. Adición: a%N + b%N = (a + b)%N 2. Sustracción: m% N – n% N = (m – n)% N 3. Toda cantidad es el 100% de sí misma N = 100% N 4. Disminución Porcentual N – a% N = 100%N – a%N = (100 – a)%N “De; del; de los” indican multiplicación. a% del b% del c% de ¡PRUEBA TU HABILIDAD! a. Calcula: A%N + B%N - C%N – D%N Resolución: b. Determina: El 3 por 15 del 20 por ciento del 500 por 1000 de 6250. Resolución: c. Reducir: 20% (6N) + 15% (4N) - 3%(5N) Resolución: 1. El año pasado el 90% de los clientes de cierto abogado fueron hallados inocentes. De los culpables, el 20% fue encarcelado, ¿qué tanto por ciento de sus clientes no fue encarcelado? Rpta.: ........................................... 2. El 95% de los alumnos de la UNI y el 30% de los de la UNFV son varones. Si las poblaciones estudiantiles de las respectivas universidades son entre sí como 3 es a 8, ¿qué porcentaje ocupan las mujeres de ambas universidades reunidas con respecto al total de alumnos? Rpta.: ........................................... 3. En las últimas elecciones el 38% de los sufragantes estaba formado por mujeres: se sabe que el 70% de las mujeres no ha votado por el partido “Sol” y el 35% de los varones si votó por dicho partido. ¿Qué tanto por ciento de la votación alcanzó el partido “Sol”? Rpta.: ........................................... 4. Tres descuentos sucesivos del 20% cada uno equivale a un único descuento de: Rpta.: ........................................... 5. Un aumento de 30% seguido de un descuento de 30%, ¿a qué aumento o descuento único equivalen? Rpta.: ........................................... 6. En la expresión: ¿En cuánto varía el valor de K si x aumenta en 10%, y disminuye en 20% y z aumenta en 125%? Rpta.: ........................................... 7. Si el área de la superficie esférica aumentó en un 44%, ¿en qué tanto por ciento aumentó su volumen? Rpta.: ........................................... 8. Jorge siempre ahorra el 80% de su sueldo mensual. Si este mes recibe un aumento igual a 3/8 de su sueldo, ¿qué porcentaje de su sueldo original ahorrará ahora Jorge? Rpta.: ........................................... 9. Un arrendador dispuso que cada dos meses el alquiler de su inmueble debe aumentar en un 10% del monto correspondiente al período inmediato anterior. Si finalizado el tercer período debe recibir S/. 6050, ¿cuánto fue el alquiler inicial que pagó el inquilino? Rpta.: ........................................... 10. Tú tienes S/. 10 más que yo. ¿En cuánto variará el promedio del dinero que tenemos si yo pierdo el 20% de lo que tengo y tú ganas el 20% de lo que tienes?
Rpta.: ........................................... 11. En cierta aula de un colegio mixto, el 33% del número de mujeres es el 17% del número de varones. ¿Qué porcentaje del 68% del total de estudiantes es el número de mujeres? Rpta.: ........................................... 12. De “n” alumnos de un colegio cuya estatura promedio es 1,65 m, el 30% son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,58 m, ¿cuál es el promedio de estatura de los varones en dicho grupo? Rpta.: ........................................... 13. A Periquito su mamá le dice: “De todos los caramelos que hay en este frasco sólo comerás el 20% diariamente”. Después de 3 días, ¿qué porcentaje del total de caramelos comió? Rpta.: ........................................... 14. De una mina A rica en plata al 70% y de otra mina B rica en plata al 85% se han extraído en total 54 toneladas con 80% de plata. ¿Cuántas toneladas de mineral se extrajeron de cada una de las minas? Rpta.: ........................................... 15. A un triángulo se triplica su base y se duplica su altura. ¿En qué porcentaje aumentó su área original? Rpta.: ........................................... 1. Si el largo de un rectángulo aumenta en 30%, ¿en qué porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9%? A) 25% B) 30% C) 42% D) 56% E) 38% 2. Si en un aula de la academia hay 7500 estudiantes y el 87% de las mujeres y el 12% de los varones se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se retitaron? A) 468 B) 375 C) 492 D) 282 E) 105 3. Periquito compra una manzana, al otro día compra otra y le cobran el 20% más, al día siguiente otra y también paga el 20% más que el día anterior. Si por las 3 manzanas Periquito gastó S/. 29,12; ¿cuál fue el precio de la primera manzana? A) S/. 7,50 B) S/. 11,50 C) S/. 8 D) S/. 9,50 E) S/. 6,40 4. Una persona tiene S/. 120000, colocada una parte al 3% y la otra al 5%, de este modo se logra un interés anual de S/. 5300. Calcule el menor de los capitales. A) S/. 7,50 B) S/. 11,50 C) S/. 8 D) S/. 9,50 E) S/. 6,40 5. Cuchito tiene invertido parte de sus S/. 2000 al 4% y el resto al 6%, siendo las ganancias anuales de cada inversión iguales. Si Cuchito decide invertir los S/. 2000 para obtener la misma ganancia total, ¿cuál sería la tasa de interés? A) 2,8% B) 3,8% C) 4,8% D) 5,8% E) 6,8% OBJETIVOS • Conocer las principales leyes de las operaciones matemáticas. • Aprender a relacionar las operaciones matemáticas simples y compuestas. • Analizar las operaciones para concluir en un procedimiento adecuado y riguroso. Concepto Dado un conjunto A, no vacío, se llama Ley de composición Interna u Operación Interna sobre A a cualquier aplicación de A×A en A a que todo par (a; b) de elementos de A, en un orden dado, le hace corresponder un único elemento C de A. Que se llamará resultado de haber operado con los elementos del par. Representación : a * b = c Se leerá : “a operador con b es igual a c” Una ley de composición interna es pues una aplicación. A×A ® A (a; b) ® (ab) Operador Matemático Es un símbolo que sirve para representar una operación u operaciones matemáticas. Algunas operaciones matemáticas: Operación Operador Matemática Matemático • Adición + • Sustracción – • Multiplicación × • División ¸ • Radicación • Valor Absoluto | | • Máximo Entero • Sumatoria S • Productoria p • Asterisco • Cuadrado ð • Triángulo D • Grilla # • Beta b • Omega w • Lambda l • Truc T • Anti truc Ejemplo: Se define Z: Calcular: 2 # 1 = 3 # 1 = REPRESENTACIÓN DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA.- a. Mediante fórmula La regla de definición estará representada mediante una fórmula. b. Mediante tabla de doble entrada: ab = ..... bd = ..... db = ..... 1. Calcule el valor de: 6 % [2 * (3 #1)], si han definido las siguientes operaciones: a % b = 2a2 – 3b + ab a * b = 6a – 3b – ab a # b = 4ab – 6a + 6b Rpta.: ........................................... 2. Calcule el valor de: Sabiendo que se cumple: Rpta.: ........................................... 3. Dadas las siguientes operaciones: a D b = 2a + 3b Calcule el valor de x en: Rpta.: ........................................... 4. Sabiendo que se cumple: Calcule: Rpta.: ........................................... 5. Se define el operador Además, se sabe que: Calcule por lo tanto: Rpta.: ........................................... 6. Si se sabe que: Calcule el valor numérico de: Rpta.: ........................................... 7. Se cumple lo siguiente: P(x) = P(x – 1) + P(x – 2) Además se sabe que: P(1) = 3 P(2) = 4 Encuentre el valor numérico de: Rpta.: ........................................... 8. Si se sabe que: Calcule el valor de: Rpta.: ........................................... 9. Dados los siguientes operadores Si el n–ésimo operador evaluado en tres es igual a 435, calcule el valor de "n". Rpta.: ........................................... 10. Dadas las siguientes relaciones Calcule el valor de: Rpta.: ........................................... 11. Se define en Determine a en: Rpta.: ........................................... 12. Si: Calcule: n; si: Rpta.: ........................................... 13. Si: Calcule: Rpta.: ........................................... 14. Si: además: m # n = n Calcule: Rpta.: ........................................... 15. Se define en Calcule el valor de: Rpta.: ........................................... 1. Si P(x/y) = P(x) – P(y) Calcule: P(4)/P(2) A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 1/2 2. Se define las siguientes operaciones: Calcule A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104 3. Si: . Donde: a = bc Calcule: x2 + x En 99x + 2 99x + 1 = 2(99x 99x – 1) A) 0 B) –1 C) –2 D) –2 E) –4 4. Si : Determine: 365 * 598 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. Si: Calcule: Si además: A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 54 1. Para fijar el precio a
sus patines, Flor aumenta su costo en S/. 50; pero, al momento de venderlos, otorga una rebaja del 20% y aún así gana el 30%, ¿Cuál fue el costo de los patines de FIor? Rpta.: ........................................... 2. José fija sus precios de tal modo rebajarlos un 20%, va ganando el 25%. Si a Rosa le hace un descuento especial adicional de S/. 120, y así sólo gana el 20%, ¿Cuál era el precio fijo de José?: Rpta.: ........................................... 3. Chochito vende una lavadora en $ 90 por debajo de su precio de costo. Sabiendo que esta venta le ocasionó una pérdida del 30% del precio de venta, ¿Cuánto le costó la lavadora a Chochito? Rpta.: ........................................... 4. Un artículo se vendió previó descuento del 25%, pero aún así se ganó el 20% del costo. Si el costo hubiera sido de 20% menos y se hubiera fijado pera la venta al público el precio de lista anterior, ¿Qué descuento se tendría que aplicar si se quisiera obtenerla la misma ganancia? Rpta.: ........................................... 5. Dos artículos se ofrecen a S/. 450 y S/. 480; sin embargo, ambos se vendieron al mismo precio. Si los porcentajes de descuentos realizados al momento de venderlos están en la relación de 4 es a 5, ¿A qué precio se vendieron los artículos? Rpta.: ........................................... 6. Un ganadero compró 64 carneros a S/. 200 cada uno. Una parte de ellos los vendió ganando el 20% y los restantes, ganando el 30%. Sí este negocio le ha ocasionado una ganancia de S/. 3360. ¿Cuántos carneros vendió ganando el 2096? Rpta.: ........................................... 7. Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 60%; pero al momento de realizar la venta se descontó un 20%. Sí en lugar de 60%, se hubiera aumentado el costo en 80%, haciendo el mismo porcentaje de descuento, se hubiera ganado S/. 36000 más. ¿A qué precio se vendió el artículo? Rpta.: ........................................... 8. Al vender un artículo pensé ganarla mitad de lo que me costó, pero al venderlo tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané S/. 600 menos de lo que me costó. ¿Cuánto me costó? Rpta.: ........................................... 9. El precio de venta de un artículo se reduce a la mitad obteniéndose una pérdida igual a la ganancia que se hubiera obtenido si no se modificaba el precio de venta, ¿Qué porcentaje del costo se pensaba ganar? Rpta.: ........................................... 10. Si se vende un artículo haciendo un descuento del 30%, se perdería el 16% del costo, ¿En qué tanto por ciento se debe incrementar el precio fijado, para que al hacer un nuevo descuento, igual el cuádruple de la ganancia, esta vez se gane la misma cantidad que se perdía anteriormente? Rpta.: ........................................... 11. Benito compró un televisor en $.630. ¿En cuánto debe aumentar este precio, para que durante la venta se realice una rebaja del 10% y aún así se gane el 40% del costo? Rpta.: ........................................... 12. Se vende un objeto ganando el 10% del costo. Si se quisiera ganar S/. 1320 más habría que aumentar el precio de venta en su 10%, ¿Cuál es el costo del objeto? Rpta.: ........................................... 13. Los 2/5 de una mercadería se venden con 20% de ganancia, los 4/9 de lo que queda con una pérdida del 10%. Para que al final no haya ni pérdida ni ganancia, el resto debe venderse ... Rpta.: ........................................... 14. ¿En cuánto se debe vender un objeto que costó S/. 360 para ganar el 20% del costo, más el 10% del precio de venta? : Rpta.: ........................................... 15. Se va a rifar un auto cuyo costo ha sido S/ .28800 para lo cual se han hecho 2000 boletos, de los cuales se piensa vender sólo el 90% ¿A cómo se debe vender cada boleto si se piensa obtener una ganancia igual a 20% del monto que se recaudaría? Rpta.: ........................................... 1. Si al precio de lista de un artículo se le hace 3 descuentos sucesivos del 20%, 10% y 5%, se observa que el descuento efectivo ha sido de S/. 632, ¿Cuál es el precio de lista de dicho artículo? A) S/. 1500 B) S/. 1200 C) S/. 1650 D) S/. 1800 E) S/. 2000 2. Se fija un precio a un artículo de manera que se gane el 25% de su costo. Si se hace un descuento del 25% del 16% sobre el precio de lista, ¿Cuál será la ganancia con respecto al precio de costo? A) 16% B) 17% C) 18% D) 18% E) 20% 3. El precio de lista de un objeto es de S/. 1200, al venderlo se hace dos descuentos sucesivos del 10% y 15%; si en esta venta se está ganando el 20%, ¿Cuál es el costo de dicho objeto? A) S/. 765 B) S/. 750 C) S/. 782,5 D) S/. 725 E) S/. 772,5 4. Se vendió un artículo con una ganancia de S/. n. Calcule el precio de venta de dicho artículo sabiendo que su costo representa n% de su precio de venta. A) B) C) D) E) 5. Un comerciante hace un descuento del 15% sobre el precio de un artículo de manera que si al cliente le diera una rebaja adicional de S/. 2000 aún ganaría S/. 1200. Sí el articulo le costó S/. 7000, ¿En cuánto ofrecía en un inicio el articulo? A) S/. 8500 B) S/. 11500 C) S/. 12800 D) S/.12000 E) S/. 10200