taller no 2 de calculo
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TALLER DE CALCULO INTEGRAL
Nº 2
INTEGRACIÓN NUMERICA Y AREA
CLAUDIA PAOLA QUINTO ALFARO
ESTUDIANTE
WILSON VELASQUEZ BASTIDAS
ESPECIALISTA EN MATEMÁTICAS
2
GRUPO
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
SANTA MARTA
D. T. C. H
2010
TALLER DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y ÁREA.
1. Calcule el valor aproximado de la integral definida dada por medio de la regla del trapecio y la regla de Simpson para el valor n que se indica. Exprese el resultado con tres cifras decimales. Determinar el valor exacto de la integral definida y compare el resultado con la aproximación. Calcula el error que se produce en cada una de las anteriores al estimar la integral. En cual regla el error es menor?
SOLUCION:
Por la regla del trapecio se sabe que:
Se obtiene entonces lo siguiente:
Con n = 4 es aproximadamente igual a:
Para organizarlos de una mejor forma se resumen los datos en la siguiente tabla:
0 0 1,000 1 1,000
1 0.5 0,888 2 1,776
2 1 0,500 2 1,000
3 1.5 0,228 2 0,456
4 2 0,111 1 0,111
∑ = 4,343
Como entonces:
Ahora calculando el error de aproximación obtenemos:
Como se tiene que y
El valor de en el intervalo [0,2] alcanza su valor máximo en y se obtiene:
Aplicando la regla de estimación de error de la regla trapezoidal con
M= 2 se puede obtener que:
Calculando la integral definida utilizando la regla de Simpson se obtiene que:
Ahora se tiene que:
;
Resumo los resultados en la siguiente tabla:
0 0 1,000 1 1,000
1 0.5 0,888 4 3,552
2 1 0,500 2 1,000
3 1.5 0,228 4 0,912
4 2 0,111 1 0,111
∑ = 6,575
Como , entonces tenemos que:
Calculando el error de aproximación tenemos:
Como se tiene que
El valor de en el intervalo [0,2] alcanza su valor máximo en x = 0 lo cual nos indica que:
Aplicando la estimación de error para la regla de Simpson con M= 24 se obtiene que:
Calculando ahora la integral obtenemos:
2. Estimar el número de intervalos necesarios para que el cálculo de la integral
mediante la regla del trapecio, tenga un error menor a 10-3.
SOLUCION:
por la regla del trapecio tiene un error inferior a
F(x)=
F´(x)= -2
F´´(x)= 4
El valor de F´´(x) en el intervalo [0,5] alcanza su máximo en x = 0
F´´(x)= 4
F´´(x)= 4 = 4 (1)
M = 4
Despejando n tenemos que el número de intervalos necesarios sería:
3. Calcule el área de la región acotada por la grafica de 2( ) 9f x x
entre x= 0 y x= 3, usando rectángulos inscritos y circunscritos. Dibuje la
figura que indique la región y el i-ésimo rectángulo. R/ 18 unds cuadradas.
SOLUCION:
9 – x2 = 0
(3 – x) (3 + x ) = 0
3 – x = 0 v 3 + x = 0
x = 3 v x = -3
29f x x Con 0x
0x A 3x .
Las áreas de la región se dan por:
1
*1Lim n
in
A f x x
, donde 0 3a b
3 03/
b ax x x n
n n
2
1 1
*1 9 1 Lim Limn n
i in n
Area f x x i x x
18 unidades cuadradas
4. Represente la región limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas, y calcule el área de la región.
SOLUCION:
Encontrando los interseptos:
Reemplazando el valor de y :
Encontramos el vértice de la parábola:
b) 3 21 3 2y x x x
Y 3 22 4 3y x x x
SOLUCION:
3 2 3 23 2 4 3x x x x x x
3 2
2
2 7 5 0
2 7 5 0
2 5 2 20 0
20 2 5 0 1 0
0 5/ 2 1
x x x
x x x
x xx
x x x
x x x
51 2
1 2 2 10 1Area y y dx y y
1,0
3 24 3y x x x
51 23 2 3 2 3 2 3 2
0 1
51 23 2 3 2
0 1
51 24 3 2 4 3 2
0 1
3 2 4 3 3 2 4 3
2 7 5 2 7 5
2 7 5 2 7 54 3 2 4 3 2
1 7 5 1 625 7 125 5 25 1 7 52 3 2 2 16 3 8 2 4 2 3 2
2 63
A x x x x x x dx x x x x x x dx
A x x x dx x x x dx
A x x x x x x
A
A
25 875 125 2 25332 24 8 3 96
c) ,x xy e y e y 1x (integrando respecto a y) R/ 1.086
SOLUCION:
Para encontrar los límites de integración, reemplazamos el valor que tenemos para x, y se obtiene que:
y= y=
y= y=
1
1
1/
y e y e
y e y e
1
1
1/
y e y e
y e y e
d) 2 3,y x x y y 2x y
SOLUCION:
En primer lugar se estima el valor de la zona comprendida entre -2 y 0 y luego
se calcula la zona comprendida entre 0 y -1.
4
3
0 12 23 3
2 0
0 12 3 2
2 0
2 2 2 2
1 1 1 3 8 1 32 2 4 2 2
2 3 2 4 3 2 4
47 14
12 12
dA x x dx x x dx A x x dx x x dx
A x x x x x x A
A A
e)
SOLUCION:
Encontrando los vertices de la parabola se tiene que:
Ahora se encuentran los vertices, de los que se obtiene:
Reemplazando los valores en la ecuación:
Utilizando la fórmula cuadrática, hallamos los máximos y mínimos:
Reemplazando los valores en la ecuación obtenemos:
Sea A el área limitada por las gráficas:
A=
Entonces:
f) , el eje x, y las rectas x=4 y x=6
SOLUCION:
El área es:
dA ydx
2
1 . 4 y . 6
5 6
xdA dx L I L S
x x
6
24
2
1
5 61
5 6 3 21 2 3
xA
x xx A B
x x x xx A x B x
6
24
2
1
5 61
5 6 3 21 2 3
xA
x xx A B
x x x xx A x B x
6
24
2
1
5 61
5 6 3 21 2 3
xA
x xx A B
x x x xx A x B x
6 6
4 4
6
4
3, 2
2, 1
2
3 2
2ln 3 ln 2
si x A
si x B
dxA dx
x x
A x x
2
2
2ln 6 3 ln 6 2 2ln 4 3 ln 4 2
2ln 3 ln 4 2ln 1 ln 2
3 *2ln
4*1
9ln o ln 4.5
2
A
A
A
A
g)
SOLUCION:
Hallando los interseptos tenemos que:
Sea A el área acotada por las funciones:
; Pero como son figuras isométricas tenemos que:
Pero
5. Determine el área de la región limitada por las dos curvas y= senx ^ y= cosx entre dos puntos consecutivos de intersección. R/ 2.82 uc.
SOLUCION:
Para encontrar las intersecciones hacemos sen
sen cos 1 tan 1cos
xx x x
x
54 4
x x
El área total es:
21 AAAt
xgAxfA 21
El área del rectángulo es:
hbdA .
xgxfhdxb
dxxgxfdA
Reemplazando:
dxxsenxdA cos
El área es:
L.I. . . 54 4
I L x x
5
4
4
sen costA x x dx
54
4
sen costA x x
54
4
sen costA x x
2.82 uc.
6. Hallar el área de la superficie limitada por una arcada de la cicloide,
sen ; 1 cosx a y a y el eje de las x. R/ 23 a
SOLUCION:
YdxdA
El área de la región es:
L.I.. . 0 2I L x X a
aydxA
2
0
Cuando x = 0 ɵ = 0
22 aX
Pero, cos1ay
dadx cos1
Por lo tanto:
adaaA
2
0cos1cos1
2 222 2
0 0
1 11 cos 1 2cos cos2
2 2
a aA a d A a d
22 2
0
3 12sen sen2 3
2 4
a
A a a
7. Calcular el área limitada por la grafica de y =ln x, el eje x y dentro del
intervalo cerrado 1,e Integrando con respecto a y. R/ 1.
SOLUCION:
b
aA Bh f y dy
1
0
1 0
0
1
1
y
y
A e e dy
A e e e e e
A
1
0
1 0
0
1
1
y
y
A e e dy
A e e e e e
A
1
0
1 0
0
1
1
y
y
A e edy
A e e e e e
A
8.
a) Hallar el área limitada por cos3r a
SOLUCION:
Intervalo de integración 0
22
0 0
2 2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
2
Integration Interval 0
1 1cos3
2 2
1 1 1 cos6cos 3
2 2 2
1 1cos6
4 4
1 1 16
4 4 614
o o
A r d A a d
A a d A a d
A a d a d
A a a sen
A a
b) Calcular el área común a r = -6 cos ɵ y r = 2 – 2 cos ɵ R/ 5
SOLUCION:
1 2 3 4 1 22 2T TA A A A A A A A
drdA 21 2
1
Donde cos6r
ddA 21 cos6
2
1
2
. .2 3
I L
dA 3
2
2
21 cos6
2
1
Resolviendo obtenemos que:
dA 3
2
2
21 cos36
2
1
dA 3
2
2
21 cos18
dA
3
2
21 2
2cos118
ddA 3
2
2
3
2
21 2cos99
3
2
2
1 22
99
senA
4
3323 2
1
A
drdA 22 2
1
Donde cos22 r
ddA 22 cos22
2
1
dA
2
3
22 cos222
1
dA 3
22
2 cos4cos242
1
dA 3
22
2 coscos212
dA
3
22 2
2cos1cos212
3
22 2
243
sensenA
4
392 A
El área total es:
21 22 AAAT
Reemplazando obtenemos:
4
392
4
33232
TA
4
3942
4
33232
TA
4321 AAAAAT
1 3 2 4A A A A
21 22 AAAT
Para A1 tenemos:
21
1
2dA r d
cos22 r
2
1
12 2cos
2dA d
2
213
12 2cos
2A d
2213
14 2cos 4cos
2A d
2213
2 1 2cos cosA d
213
1 cos22 1 2cos
2A d
12
3
23 4
2
senA sen
1
9 3
4A
Para A2 tenemos:
22
1
2dA r d
cos6r
2
2
16cos
2dA d
2
232
2
16cos
2A d
2
232
2
136cos
2A d
2
232
2
18 cosA d
2
32
2
1 cos218
2A d
2 2
3 32
2 2
9 9 cos2A d d
2
3
2
2
99 2
2A sen
2
2
3 2 3 3
4A
El área total seria entonces:
21 22 AAAT
4
392
4
33232
TA
4
3942
4
33232
TA
2
394396
4
3942
4
33232
T
T
A
A
5
2
10TA
9. calcule las siguientes integrales definidas:
a.
SOLUCION:
Hacemos:
b.
SOLUCION:
1 0 1
1 1 0
1 0 1
1 01
1 1 1
1
1 1
1
1 1
2 2
x x x
x x x
x
x
e dx edx e dx
e dx e e
e dx e e
e dx e
c.
SOLUCION:
Remplazando
d. , si
SOLUCION:
=
=
=
=
=
10.Se quiere drenar y rellenar un pantano contaminado (ver figura). El pantano tiene una profundidad media de 5 pies. ¿aproximadamente cuantos pies cúbicos de tierra se necesitan para llenar el área después de drenar al pantano? R/ 40500 pies cúbicos
SOLUCION:
Para calcular el área del pantano, se estima el área de la superficie A y se multiplica por 5. Para calcular A, usamos la regla de Simpson con h = 20ft.
0 1 2 3 4 2 14 2 4 2 ...... 2 43
b
a
n n n
f x dx
b af x f x f x f x f x f x f x f x
n
Pies cuadrados
El volumen aproximado para llenar el pantano es:
Pies cuadrados
11.Halla el área total sombreada.
SOLUCION:
1 2 3
13 21 12 21 2 2
2
3 2 3 2
1
1
2 4 2 23 2
1 1 2 22 1 2 2
3 2 3 2
1 1 8 4 7 2 112 4
3 2 3 2 6 3 6
TA A A A
x xA x x dx x x dx x
A
A
2 0 22 2 22 1 1 0
0 22 3 2 3
2
1 0
2 3 2 3
2
2
4 2 2 2
2 22 3 2 3
1 1 2 20 2 1 2 2 0
2 3 2 3
7 10 96 3 2
A x x dx x x dx x x dx
x x x xA x x
A
A
33 23 32 23 2 2
2
3 2 3 2
3
1 2 3
2 4 2 23 2
3 3 2 2 3 10 112 3 2 2
3 3 3 2 2 3 6
11 9 11 496 2 6 6T
x xA x x dx x x dx x
A
A A A A
GRÁFICAS
Gráfica 1. Representación de
Gráfica 2. Representación de
Gráfica 3. Representación de ,
Gráfica 4. Representación de 3 2
1 3 2y x x x y 3 2
2 4 3y x x x
Gráfica 5. Representación de y
Gráfica 6. Representación de 2 3,y x x y y 2x y
Gráfica 7. Representación de
Gráfica 8. Representación de
Gráfica 9. Representación de
Gráfica 10. Representación de ;
Gráfica 11. Representación de sen ; 1 cosx a y a
Gráfica 12. Representación de
Gráfica 13. Representación de cos3r a
Gráfica 14. Representación de y