CALCULO DIFERENCIAL.TALLER 1

1. Determine si cada una de las curvas dadas en la figura 1 son la grafica de una funcion de x. Silo es diga cual es el dominio y el recorrido.

Figura 1

Figura 2

2. Encuentre el dominio y recorrido de las funciones que aparecen en la figura 2.

3. Encuentre la grafica de la funcion f(x) = x− [x]

4. Encuentre el dominio de:

a) f(x) =x

3x− 1b) f(x) =

5x + 4

x2 + 3x + 2

c) f(x) =√x +√

4− x d) f(x) =1

4√x2 − 5x

e) f(x) =√|x| − 5 f) f(x) =

3x + |x|x

5. Exprese el area de un rectangulo de perımetro 20cm como funcion de la longitud de uno de suslados. Encuentre el dominio y el recorrido.

6. Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion de la longitud de uno de sus lados.Encuentre el dominio y el recorrido.

68 Dimensiones de un acuario Un acuario de 1.5 pies de altura

debe tener un volumen de 6 pies. Con x denote la longitud

de la base y y el ancho (vea la figura).

(a) Exprese y como función de x.

(b) Exprese el número total S de pie cuadrado de vidrio ne-

cesario como función de x.

Ejercicio 68

69 Reglamento de construcción El ayuntamiento de una ciu-

dad está proponiendo un nuevo reglamento de construcción,

el cual requiere que el rebajo S para cualquier edificio desde

una residencia sea un mínimo de 100 pies, más otros 6 pies

por cada pie de altura arriba de 25 pies. Encuentre una fun-

ción lineal para S en términos de h.

Ejercicio 69

S�h� � 6h � 50

x

1.5�

y

S�x� � 4 � 3x � �12�x�

y�x� � 4�x

71 Crecimiento en la infancia Para niños entre 6 y 10 años, la

estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función li-

neal de la edad t (en años). La estatura de cierto niño es de

48 pulgadas a los 6 años de edad y 50.5 pulgadas a los 7.

(a) Exprese y como función de t.

(b) Trace la recta de la parte (a) e interprete la pendiente.The yearly increase in height

(c) Prediga la estatura del niño a la edad de 10 años. 58 in.

72 Contaminación radiactiva Se ha estimado que 1000 curies

de sustancia radiactiva, introducida en un punto en la super-

ficie del mar abierto, se extendería sobre un área de 40,000

en 40 días. Suponiendo que el área cubierta por la sus-

tancia radiactiva sea una función lineal del tiempo t y es

siempre de forma circular, exprese el radio r de la contami-

nación como función de t.

73 Distancia a un globo de aire caliente Un globo de aire ca-

liente se lanza a la 1:00 p.m. y sube verticalmente a razón

de 2 m/s. Un punto de observación está situado a 100 me-

tros de un punto en el suelo, directamente abajo del globo

(vea la figura). Si t denota el tiempo (en segundos) después

de la 1:00 p.m., exprese la distancia d entre el globo y el

punto de observación como función de t.

Ejercicio 73

km2

y�t� � 2.5t � 33

3 . 4 D e f i n i c i ó n d e f u n c i ó n 193

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70 Impuesto de energía Un impuesto T propuesto de energía

a la gasolina, que afectaría el costo de conducir un vehículo,

se ha de calcular al multiplicar el número x de galones de

gasolina que una persona compra por 125,000 (el número

de las BTU por galón de gasolina) y luego multiplicar el

total de las BTU por el impuesto, 34.2 centavos por millón

de las BTU. Encuentre una función lineal para T en térmi-

nos de x.T�x� � 0.04275x

Rebajo

h

100 m

d

Punto de

observación

Swokowski_03A_3R.qxd 15/1/09 1:59 PM Page 193

Figura 3

43 44

45 46

Ejer. 47-48: Simplifique el cociente de diferencias

si .

47 48

Ejer. 49-50: Simplifique el cociente de diferencias

si .

49 50

Ejer. 51-52: Simplifique el cociente de diferenciassi .

51 (Sugerencia: Racionalice el numerador.)

52

Ejer. 53-54: Si una función lineal f satisface las condicionesdadas, encuentre .

53 y

54 y

Ejer. 55-64: Determine si el conjunto W de pares ordenadoses una función en el sentido de la definición alternativa defunción de la página 188.

55 Yes

56 Yes

57 No

58 No

59 Yes 60 No

61 62No Yes

63 64No No

65 Construcción de una caja De una pieza rectangular de car-

tón que tiene dimensiones de 20 pulgadas � 30 pulgadas,

una caja abierta se ha de construir al cortar un cuadrado

W � ��x, y�: y x W � ��x, y�: y � x

W � ��x, y�: x � y � 0 W � ��x, y�: xy � 0

W � ��x, y�: x � 3 W � ��x, y�: y � 3

W � ��x, y�: y2 � x2 � 1

W � ��x, y�: x2 � y2 � 4

W � ��x, y�: x � 3y � 2

W � ��x, y�: 2y � x 2 � 5

f �x� � �32 x � 4f �4� � �2f ��2� � 7

f �x� �16 x �

32f �3� � 2f ��3� � 1

f (x)

x 2 � ax � a2f �x� � x 3 � 2

f �x� � 2x � 3

x � a

f (x) � f (a)x � a

f �x� � 1�x22x � hf �x� � x 2 � 5

h � 0f (x � h) � f (x)

h

�2h � 8f �x� � �2x 2 � 3h � 1f �x� � x2 � 3x

h � 0f (2 � h) � f (2)

h

f �x� � 216 � x 2f �x� � �236 � x 2

f �x� � 3f �x� � �2

66 Construcción de un tanque de almacenamiento Consulte el

ejemplo 8. Un tanque de acero, para almacenamiento de gas

propano, se ha de construir en forma de cilindro circular

recto de 10 pies de altura con una semiesfera unida en cada

extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el área

superficial S del tanque como función de r.

67 Dimensiones de un edificio Una pequeña unidad para ofici-

nas debe contener 500 pies de espacio de piso. Un modelo

simplificado se ilustra en la figura.

(a) Exprese la longitud y del edificio como función del

ancho x.

(b) Si las paredes cuestan $100 por pie del piso, exprese el

costo C de las paredes como función del ancho x. (No

considere el espacio de pared arriba de las puertas ni el

grosor de las paredes.)

Ejercicio 67

3�

3�

y

xSALA DEESPERA

OFICINA

192 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S

idéntico de área de cada esquina y voltear hacia arriba los

lados (vea la figura). Exprese el volumen V de la caja como

función de x.

Ejercicio 65

V�x� � 4x�15 � x��10 � x�

x2

20

?x x

? 30

x

x

?

x

?

Swokowski_03A_3R.qxd 15/1/09 1:59 PM Page 192

Figura 4

7. Un globo de aire caliente se lanza a la 1:00pm y sube verticalmente a razon de 2m/s. Un puntode observacion esta situado a 100 metros de un punto en el suelo, directamente debajo del globo(Figura 3). Si t denota el tiempo (en segundos) despues de la 1:00pm, exprese la distancia dentre el globo y el punto de observacion como funcion de t.

8. De una pieza rectangular de carton que tiene dimensiones 20cm × 30cm, se quiere construiruna caja abierta cortando cuadrados identicos de area x2 en cada esquina (Figura 4). Expreseel volumen V de la caja como funcion de x

9. El propietario de una franquicia de helados debe pagar a la casa matriz $1000 por mes mas 5 %de los ingresos mensuales R. El costo de operacion de la franquicia incluye un costo fijo de $2600por mes por conceptos como utilidades y mano de obra. El costo de helados y abastecimientoses del 50 % del ingreso. Exprese el gasto mensual E del propietario en terminos de R. Expresela utilidad mensual P en terminos de R. Determine el ingreso mensual necesario para no perderni ganar.

Ejer. 17-18: Determine el dominio D y el rango R de la fun-ción que se muestra en la figura.

17 18

Ejer. 19-20: Para la gráfica de la función f trazada en la fi-gura, determine(a) el dominio (b) el rango (c)

(d) toda x tal que

(e) toda x tal que

19

20

Ejer. 21-32: Encuentre el dominio de f.

21 22

23 24

25 26 f �x� �4x

6x2 � 13x � 5f �x� �

x � 1

x3 � 4x

���, �5� � �5, ����3, 3�f �x� � 2x 2 � 25f �x� � 29 � x2

���,83 ���

72 , ��

f �x� � 28 � 3xf �x� � 22x � 7

y

x(�5, �1)

(�3, 1)

(�2, 2)

(�1, 1)

(1, �1) (7, �1)

(4, 2)(3, 1) (5, 1)

y

x

(�3, �2)

(�1, 1)

(q, 1)

(1, 0)

(2, 1)

(4, 2)

f (x) > 1

f (x) � 1

f (1)

y

x

(4, �3)

(�2, �1)

(�4, 3)

(�2, 1)

y

x(�4, �3)

(4, 3)

(1, 2)

(2, �1)

27 28

29 30

31

32

Ejer. 33-34: (a) Encuentre el dominio D y rango R de f. (b)Encuentre los intervalos en los que f sea creciente, sea de-creciente o sea constante.

33

34

35 Trace la gráfica de una función que sea creciente en

y y sea decreciente en .

36 Trace la gráfica de una función que sea decreciente en

y y sea creciente en y .

Ejer. 37-46: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el domi-nio D y rango de R de f. (c) Encuentre los intervalos en losque f sea creciente, sea decreciente o sea constante.

37 38

39 40

41 42 f �x� � 24 � xf �x� � 2x � 4

f �x� � x 2 � 1f �x� � 4 � x 2

f �x� � �2x � 3f �x� � 3x � 2

�4, ����2, 1��1, 4����, �2�

��3, 2��2, �����, �3�

y

x

(2, �3)(�5, �3)

(�3, 3)

(3, �2)

(0, 3) (4, 1)

(5, 1)

(�2, 4)

(�1, 4)

y

x

(4, 4)

(2, 2)

(3, 0)

(1, �3)(�1, �3)

(�4, �1)

(�3, 1)

(�5, 3)

���, 2� � �6, ��f �x� � 2�x � 2��x � 6�

��2, 2�f �x� � 2x � 2 � 22 � x

��3, 3� � �3, ���2, ��

f �x� �1

�x � 3�2x � 3f �x� �

x � 4

2x � 2

�34 , 2� � �2, ���3

2 , 4� � �4, ��

f �x� �24x � 3

x 2 � 4f �x� �

22x � 3

x 2 � 5x � 4

3 . 4 D e f i n i c i ó n d e f u n c i ó n 191

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Figura 5

Ejer. 17-18: Determine el dominio D y el rango R de la fun-ción que se muestra en la figura.

17 18

Ejer. 19-20: Para la gráfica de la función f trazada en la fi-gura, determine(a) el dominio (b) el rango (c)

(d) toda x tal que

(e) toda x tal que

19

20

Ejer. 21-32: Encuentre el dominio de f.

21 22

23 24

25 26 f �x� �4x

6x2 � 13x � 5f �x� �

x � 1

x3 � 4x

���, �5� � �5, ����3, 3�f �x� � 2x 2 � 25f �x� � 29 � x2

���,83 ���

72 , ��

f �x� � 28 � 3xf �x� � 22x � 7

y

x(�5, �1)

(�3, 1)

(�2, 2)

(�1, 1)

(1, �1) (7, �1)

(4, 2)(3, 1) (5, 1)

y

x

(�3, �2)

(�1, 1)

(q, 1)

(1, 0)

(2, 1)

(4, 2)

f (x) > 1

f (x) � 1

f (1)

y

x

(4, �3)

(�2, �1)

(�4, 3)

(�2, 1)

y

x(�4, �3)

(4, 3)

(1, 2)

(2, �1)

27 28

29 30

31

32

Ejer. 33-34: (a) Encuentre el dominio D y rango R de f. (b)Encuentre los intervalos en los que f sea creciente, sea de-creciente o sea constante.

33

34

35 Trace la gráfica de una función que sea creciente en

y y sea decreciente en .

36 Trace la gráfica de una función que sea decreciente en

y y sea creciente en y .

Ejer. 37-46: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el domi-nio D y rango de R de f. (c) Encuentre los intervalos en losque f sea creciente, sea decreciente o sea constante.

37 38

39 40

41 42 f �x� � 24 � xf �x� � 2x � 4

f �x� � x 2 � 1f �x� � 4 � x 2

f �x� � �2x � 3f �x� � 3x � 2

�4, ����2, 1��1, 4����, �2�

��3, 2��2, �����, �3�

y

x

(2, �3)(�5, �3)

(�3, 3)

(3, �2)

(0, 3) (4, 1)

(5, 1)

(�2, 4)

(�1, 4)

y

x

(4, 4)

(2, 2)

(3, 0)

(1, �3)(�1, �3)

(�4, �1)

(�3, 1)

(�5, 3)

���, 2� � �6, ��f �x� � 2�x � 2��x � 6�

��2, 2�f �x� � 2x � 2 � 22 � x

��3, 3� � �3, ���2, ��

f �x� �1

�x � 3�2x � 3f �x� �

x � 4

2x � 2

�34 , 2� � �2, ���3

2 , 4� � �4, ��

f �x� �24x � 3

x 2 � 4f �x� �

22x � 3

x 2 � 5x � 4

3 . 4 D e f i n i c i ó n d e f u n c i ó n 191

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Figura 6

10. Para las funciones de las figuras 5 y 6, determine

a) el dominio b) el recorrido

c) toda x tal que f(x) = 1 d) toda x tal que f(x) > 112 Chapter 1: Functions

12. A point P in the first quadrant lies 00 the graph of the functioo I(x) ~ Vx. Express the coordinates of P as functions of the slope of the line joining P to the origin.

13. Consider the point (x, y) lying 00 the graph of the line a + 4y ~ 5. Let L he the distsnce from the point (x, y) to the origin (0, 0). WriteL as a functioo ofx.

14. Consider the point (x, y) lying on the graph of y = ~. Let L he the distsnce hetweeo the points (x,y) and (4, 0). WriteL as a function ofy.

Functions and Graphs Find the domain and graph the functions in Exercises 15-20.

15. I(x) = 5 - a 16. I(x) = I - a - x'

17. g(x) = '\J'Ix1 18. g(x) = h 19. F(t) = t/ltl 20. G(t) = !fit I

21. Find the domain ofy = x~. 4 - x' - 9

x' 22. Find the range of y ~ 2 + -,--. x + 4

23. Graph the following equations and explain why they are not graphs of functioos of x.

L Iyl=x b. y'=x'

24. Graph the following equations and explain why they are not graphs of functioos of x.

L Ixl + Iyl = I b. Ix + yl = I

Piece>rise-Defined Functions Graph the functions in Exercises 25-28.

25. I(x) = {x, 0 :5 x :5 I 2-x, 1 <x::S;2

{I - x

26. g(x) = 2 _ x:

{4 - x'

27. F(x) ~ , a' x + ,

28. G(x) ~ {I/X, x,

Osxsl

1<x:52

x:S 1 x> I

x<O OSX'

Find a formula for each function graphed in Exercises 2c}"32.

29. L Y b. Y

(1, 1) 2 r-1

I I I I I I

2 X

0 2 3 4

30. L b. Y

3

x 5

x

-3

31. a. Y b.

~x Y

I 3

32. a. Y

1

n+-~!'--~x OTT

1:

b.

2

---=---t-i---x (-2,-1)

A

o -A

Y

The Greatest and Least Integer Functions 33. For what values oh is

a.lxJ=O? b. rxl=O?

34. What real nwnhers x satisfY the equation l x J = r xl?

35. Does r -xl = -lxJ for all real x? Give reasons foryour answer.

36. Graph the function

I(x) = {f:~: x~o

x < O.

Why is I(x) called the integer part ofx?

Increasing and Decreasing Functions Graph the functioos in Exercises 37-46. What synnnetries, if any, do the graphs have? SpecifY the intervals over which the function is in­creasing and the intervals where it is decreasing.

37. y = -x'

39. y =-~

41. y = '\J'Ix1 43. y = x'/8 45. y = -x'/2

Even and Odd Functions

38.y=_I, x

I 40.y=~

42.y=h

44. y = -4Vx 46. y = (-x)'/3

In Exercises 47-58, say whether the function is even, odd, or neither. Give reasons for your answer.

47. I(x) = 3

49. I(x) = x' + I 51. g(x) = x' + x

I 53. g(x) = -,-­x - I

I 55. h(t) = t=1

57. h(t) = 2t + I

Theory and Examples

48. I(x) = x-s

SO. I(x) = x' + x

52. g(x) = x' + 3:x;' - I

x 54. g(x) ~ -,-­x - I

56. h(t) = It'l

58. h(t) = 21tl + I

59. The variable s is proportiooa1 to t, and s = 25 when t = 75. Determine t when s = 60.

Figura 7

11. Encuentre una formula para cada una de las funciones de la figura 7.

Figura 8

12. Cuales de las funciones de la grafica 8 son pares?, cuales son impares?

13. Decida si f es par o impar.

a) f(x) =x

x2 + 1b) f(x) =

x2

x4 + 1

c) f(x) = x|x| d) f(x) = 1 + 3x3 − x5

14. Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto A y satisface la condicion dada.

a) A = (5,−3); pendiente − 4 b) A = (0, 2); pendiente 5

c) A = (2,−4); paralela a 5x− 2y = 4 d) A = (−3, 5); paralela a x + 3y = 1

e) A = (7,−3); perpendicular a 2x− 5y = 8 f) A = (4, 5); perpendicular a 3x + 2y = 7