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FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO

MÓDULO DE TRABAJO No :

TALLER No : 01

TÍTULO: FUNCIONES VECTORIALES

DURACIÓN:

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA CALCULO, JAMES STEWART CALCULO , THOMAS FINNEY

OBJETIVO Utilizar las funciones vectoriales en el estudio del movimiento en el plano y en el espacio para resolver problemas propuestos. PREGUNTAS CONCEPTUALES

5. Qué es una función vectorial? 6. Qué diferencias encuentra entre funciones vectoriales y funciones escalares? 7. Cómo se determina una curva espacial? 8. Qué aplicaciones encuentra de las funciones vectoriales en Física? 9. Cómo determina la longitud de una curva espacial?

EJERCICIOS 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones

ketjittF t513tan)1ln()( , kt

tjsenitttF12

13)( 12

2. Calcular los siguientes límites si existen.

ktt

jt

ti

ttt

t

112

4534103

2

2

2lim

kt

tj

tt

itttt

t 52134

2453

183734 2

2

2

lim

3. Hallar las derivadas de las siguientes funciones

ktt

jttsenitttF3512

353)( 22

, kxjtitF t 35logsec3)( 14

4. Evalué la integral

dtkttjeti t 532tan 27 , 4

0

2 3tancos

dtktjtit

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. La posición de una partícula está dada por la función

kt

jtitttF 32 2

1633)( , determinar: la posición, velocidad, aceleración y

rapidez de la partícula cuando 3t

2

2. La aceleración de una partícula en cualquier instante t está dada por

kt

jtittta2

35)( 2 , la velocidad y posición de la partícula cuando

1t

Son kjiv 432)1( , y kis 2)1( , respectivamente. Determinar las

funciones velocidad y posición en cualquier instante t.



MODULO DE TRABAJO No.:

TALLER No. 02

TITULO: DERIVADAS PARCIALES

DURACIÓN: 2 HORAS

BIBLIOGRAFÍA: CALCULO DE JAMES STEWART CALCULO DE THOMAS FINNEY

OBJETIVO Interpretar en funciones de varias variables el proceso de derivación parcial y utilizar sus propiedades en la solución de problemas de ingeniería. PREGUNTAS CONCEPTUALES

1. Cómo se calculan límites en funciones de varias variables? 2. Cómo se determinan las primeras y segundas derivadas parciales de f con

respecto a x y a y.? 3. Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones de varias variables?

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Evaluar: lim (x3 – 4xy + 5y – 7)

(x,y) (2, -3)

x2 – y2 2. Demostrar que el lim --------- no existe

(x,y) (o,o) x2 + y2 3. Obtenga las primeras derivadas parciales de

(x,y) = 2x4y3-xy2+3y+1

w 4. Use la regla de la cadena para encontrar ----- y

y

w/x en w = senv, = x2 + y2 , v = xy

3

4. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto aumentan a razón de 0.01 cm/min y 0.02 cm/min, respectivamente. Use la regla de la cadena para calcular la tasa de crecimiento del volumen con respecto al tiempo, cuando r = 4 cm y h = 7 cm. Con qué rapidez varia el área de la superficie curva?

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

TALLER


MODULO DE TRABAJO No.:

TALLER No. 03

TITULO: DERIVADAS PARCIALES

DURACIÓN: 2 HORAS

BIBLIOGRAFÍA: CALCULO DE JAMES STEWART CALCULO DE THOMAS FINNEY

OBJETIVO Interpretar en funciones de varias variables el proceso de derivación parcial y utilizar sus propiedades en la solución de problemas de ingeniería. PREGUNTAS CONCEPTUALES

5. Qué son derivadas direccionales 6. Qué es el vector gradiente y cómo se emplea en la determinación de

planos tangentes y rectas normales a superficies? 7. Cómo se calculan máximos y mínimos en función de varias variables? 8. Cómo se emplean los multiplicadores de Lagrange en el cálculo de

máximos y mínimos de funciones de varias variables. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Calcular la derivada direccional de f (x,y) = x2 – 5xy + 3y2 en el punto P(3, -1) en la dirección u = 2i + 3j

2. Encontrar el gradiente de f (x,y) = 7y – 5x en el punto P (2,6) 3. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la Gráfica de ecuación 4x4-y2+3z2 = 10 en el punto P(2, -3,1) 4. Halle los máximos y mínimos de f (x,y) = x2 + 2xy + 3y2 5. Calcular el volumen máximo del paralelepípedo rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que se puede inscribir en el elipsoide 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144

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TALLER No : 04

TÍTULO: INTEGRACIÓN MULTIPLE

DURACIÓN:


OBJETIVO Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales dobles. PREGUNTAS CONCEPTUALES

10. ¿Cómo determina las integrales iteradas para calcular una integral múltiple? 11. Establezca las diferencias y las semejanzas entre integrales con una variable

e integrales múltiples. 12. ¿Cómo utiliza las gráficas en el plano xy, para hallar las regiones de

integración? 13. Si f es una función constante kyxf ),( y R={(x,y):a dycbx ; } ¿será

que R

cdabkkdA ),)(( es decir el volumen de un paralelepípedo?

EJERCICIO

1. Sea R = {(x,y):0 40;6 yx } , calcular R

yx dA

2. Sea R = {(x,y):-2 20;2 yx } , evalué dAxyxR

)(cos2 .

3. Evalúe la integral iterada

1

0

1

0 21dxdy

xyy

4. Trace la región de integración y cambie el orden de integración 1

0

2

2,

y

ydxdyyxf

5. Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración 1

0

2 2cos1cos

arcsenydxdyxx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Si f es una función constante kyxf ),( y R={(x,y):a dycbx ; } ¿será que

R

kdA, es el volumen de un paralelepípedo?. En caso afirmativo determine las

dimensiones y el volumen.

5

2. Calcule el volumen del sólido comprendido entre la superficie

1,,222 zyyxz y arriba de la región 10,11:, yxyxR

3. Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro 122 yx y los planos

,zy ,0x 0z en el primer octante.




TALLER No : 05


DURACIÓN:


OBJETIVO Desarrollar integrales dobles utilizando el cambio a coordenadas polares. PREGUNTAS CONCEPTUALES 1. ¿Cuál es la expresión de la diferencial de área en coordenadas polares? 2. ¿En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas polares para evaluar integrales dobles? EJERCICIOS

1. Evalúe la integral R

xdA donde R es el disco con centro en el origen y radio 5.

2. Utilice una integral doble en coordenadas polares para hallar el área de la región de un pétalo de Rosa .3cosr

3. Evalúe la integral dydxex yx 1

0

1

0

222

pasando a coordenadas polares.

4. Evalúe la integral iterada pasando a coordenada polares

2

0

2

0

222

.xx

dydxyx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Utilice coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por los

paraboloides ,33 22 yxz y, .4 22 yxz

2. Hallar el área de la superficie del paraboloide 22 yxZ que se encuentra

bajo el plano 4Z .

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TALLER No : 06


DURACIÓN:


OBJETIVO Desarrollar integrales triples utilizando el cambio de coordenadas. PREGUNTAS CONCEPTUALES 1. ¿Cuál es la expresión de la diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas? 2. ¿Cuál es la expresión de la diferencial de volumen en coordenadas esféricas? 3. ¿En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas cilíndricas para evaluar integrales triples? 4. ¿En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas esféricas para evaluar integrales triples? EJERCICIOS

1. Evalúe E

zdv, donde E es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos ,0x

,0y ,0z y .1 zyx

2. Evalúe la integral triple 21

0 0 0

z y yze dxdydz .

3. Evalúe la integral triple E

xdv donde E esta limitado por el paraboloide

2 24 4x y z y el plano 4.x

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

3. Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por el

cilindro elíptico 2 24 4x z y los planos 0y , y, 2.y z

4. Halle el volumen del solido acotado por arriba por la esfera .2 y por abajo

por el cono .3

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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

GUIAS DE APRENDIZAJE

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS: CRITERIOS DE EVALUACION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:

CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO

07 CAMPOS VECTORIALES, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA Vectores e integrales múltiples La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.

CALCULO, JAMES STEWART

CALCULO, THOMAS FINNEY

TEMA: CAMPOS VECTORIALES, CAMPOS CONSERVATIVOS, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA

OBJETIVO

- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y

aplicar modelos matemáticos con el uso de los campos vectoriales, el rotacional y la divergencia.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.

TIEMPO: HORAS

TEMATICA

CAMPOS VECTORIALES, CAMPOS CONSERVATIVOS, ROTACIONAL Y

DIVERGENCIA Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F cuyo dominio D es un

subconjunto de 3R , y cuyo contradominio es un subconjunto de 3V . Si Dzyx ),,( ,

entonces kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( , donde M, N y P son

funciones escalares de tres variables y cuyo contradominio constituye un

subconjunto de 3V .

8

Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F cuyo dominio D es un

subconjunto de 2R , y cuyo contradominio es un subconjunto de 2V . Si Dyx ),( ,

entonces jyxNiyxMyxF ),(),(),( , donde M y N son funciones escalares de dos

variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de 2V . Por ejemplo,

podemos representar la velocidad ),,( zyxV de un fluido mediante un vector dibujado

en cada punto ),,( zyx del dominio del fluido, y la colección de vectores que resulta

es un campo de velocidades. Para hacerse una idea visual de un campo vectorial, se dibujan vectores ),,( zyxV

en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de este tipo es la gráfica del campo. EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo xjyiyxF ),( , para esto

hallamos el valor de F en varios puntos:

jiF 34)4,3( ; jiF 2)2,1( ; jiF 10)0,1( ; jiF 0)1,0(

Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField` y PlotVectorField[{y,-x},{x,-1,1},{y,-1,1}, Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->15, Frame->True, ScaleFunction->(.5#&)]

Gráfica del campo vectorial xjyiyxF ),(

Parece que cada vector es tangente a un círculo con centro en el origen. Para confirmar esto, tomamos el producto punto del vector de posición yjxi con el

vector xjyiyxF ),( el cual da cero. Observe que el radio del círculo es igual a la

magnitud del vector xjyiyxF ),( .

9

La gráfica de un campo vectorial suministra información interesante sobre las propiedades del campo. Por ejemplo supongamos que F representa la velocidad de un fluido compresible, por ejemplo un gas, en un punto (x , y) del plano. Entonces F asigna un vector velocidad a cada punto (x , y) del plano, y la gráfica de F es una imagen del flujo del gas. Para un flujo constante como jiyxF 35),( ,

Y un flujo circular como xjyiyxF 35),( tenemos las siguientes gráficas:

jiyxF 35),( xjyiyxF 35),(

EJEMPLO. La siguiente gráfica representa el campo vectorial de flujo del aire.

Campo vectorial de flujo del aire

EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo zkjizyxF 00),,( , para esto

hallamos el valor de F en varios puntos: kjiF 00)1,4,3( ; kjiF 300)3,2,1( ; kjiF 000)0,0,1( ;

kjiF 500)5,1,0( . Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La

siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField3D` y PlotVectorField3D[{0,0,z}, {x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}, Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->8, Frame->True, VectorHeads->True, AxesLabel->{x,y,z}];

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zkjizyxF 00),,(

El campo vectorial anterior se puede graficar a mano gracias a la sencillez de su fórmula, pero resulta prácticamente imposible trazar a mano la mayor parte de los campos vectoriales tridimensionales y es necesario emplear un sistema algebraico de cómputo. EJEMPLOS

xkzjyizyxF ),,( xkjyizyxF 2),,( kz

jzx

izy

zyxF4

),,(

Nótese que las fórmulas de los dos primeros campos vectoriales tienen formulas semejantes, pero los vectores de la segunda figura, en general, apuntan en la dirección negativa del eje Y, porque su segunda componente es siempre –2. Si el campo vectorial de la tercera figura representara un campo de velocidades, entonces el movimiento de una partícula seria hacia arriba, en forma de espiral alrededor del eje Z, y, visto desde arriba, en el sentido de las manecillas del reloj.

EJERCICIOS

1. Dibuje algunos vectores representantes del campo vectorial dado

(A) yjxiyxF ),( ; (B) yjixyxF 2),( ;

(C) xjyiyxF ),( ;

(D) kjizyxF 32),,( ; (E) zkjizyxF 2),,( ;

(F) kyjxizyxF 3),,( ; (G) zkyjxizyxF ),,( .

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CAMPO DE VARIACION INVERSA AL CUADRADO DE LA DISTANCIA

Sea zkyjxir el vector de posición de un punto ),,( zyxk . Se dice que un

campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia

sí ur

czyxF 2),,( donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la

misma dirección que r y está dada por rr

u .

EJEMPLO

Describamos el campo ur

czyxF 2),,( con c < 0.

Como rr

u y zkyjxir entonces ur

czyxF 2),,( = 3r

cr=

23

222 )(

)(

zyx

zkyjxic

Observamos que ),,( zyxF es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de

),,( zyxF es hacia el origen. Además 2),,(

r

czyxF la magnitud de F es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto ),,( zyxk al origen.

Esto significa que cuando el punto ),,( zyxk se aleja del origen, la longitud del vector

asociado ),,( zyxF disminuye. En la figura siguiente se indican algunos vectores

típicos de este campo.

La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m localizada en ),,( zyxk

es ur

MmGzyxF 2),,( donde G es la constante de gravitación universal, r es el

vector de posición del punto ),,( zyxk y rr

u .

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También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulombs) se encuentra en el origen, entonces la fuerza ),,( zyxF que ejerce

sobre otra carga q (en coulombs) localizada en ),,( zyxk es ur

QqczyxF 2),,( donde

c es una constante, rr

u y zkyjxir . Observe que la ley de coulomb tiene la

misma forma que la ley de gravitación universal de Newton.

CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO (independencia del camino)

Si ),,( zyxfw , entonces el gradiente de la función ),,( zyxfw ,

kzyxfjzyxfizyxfw zyx ),,(),,(),,( es un campo vectorial. Por un teorema

anterior la dirección del vector w en cualquier punto ),,( zyxk es normal a la

superficie de nivel S de f que pasa por ),,( zyxk , además la magnitud de w es igual

a la razón máxima de cambio de f en el punto ),,( zyxk . Se dice que un campo

vectorial ),,( zyxF es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una

función escalar, es decir, si ),,(),,( zyxfzyxF para una función f. Si ),,( zyxF es

conservativo, entonces la función f es una función de potencial para ),,( zyxF , y

),,( zyxfw se llama potencial en el punto ),,( zyxk .

EJEMPLO

Comprobemos que el campo vectorial jxxyiyxF 22),( es conservativo y tiene

potencial escalar yxyxf 2),( . En efecto jxxyif 22 el cual coincide con F.

Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa.

Sea jyxNiyxMyxF ),(),(),( donde M y N tienen primeras derivadas parciales

continuas en una región D abierta y simplemente conexa, entonces

jyxNiyxMyxF ),(),(),( es conservativo en D, si y solo si xN

yM

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EJEMPLO

Dado el campo vectorial jxyeiyyeyxF xx )2cos()sen(),(

Sea )sen( yyeM x y )2cos( xyeN x , entonces xN

yM

luego F es

conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que Ff , observemos

que debe ser ),(),( yxfyxM x y ),(),( yxfyxN y hacemos una integración parcial,

es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante:

)(sen)sen(),(),( ycyxyedxyyedxyxMyxf xx , como también debe ser

),( yxNfy calculamos la derivada parcial con respecto a y, así obtenemos:

dydc

xyeycyxyey

yxf xxy

cos))(sen(),( igualando a

2cos),( xyeyxN x y despejando dydc

tenemos 2coscos xyedydc

xye xx

así 2dydc

integrando hallamos que cyyc 2)( , luego

cyxyyeyxf x 2sen),( . Cualquier función de esta familia es un potencial

escalar de F, luego podemos tomar yxyyeyxf x 2sen),(

EJERCICIO

2. Demuestre que todo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo.

3. Demuestre que el campo vectorial F es conservativo y halle un potencial escalar f.

(A) jxxyiyxF 22),( (B) jxyiyxyxF )()2(),( 2

(C) jSenxyxeiySenxyCosxyexCosyxF xx )())(22(),(

Definimos el operador diferencial vectorial z

ky

jx

i

. Si actúa sobre

una función escalar f, da como resultado el gradiente de f.

kzf

kjyf

ixf

ffgrd

ROTACIONAL DE F

Sea Funa función vectorial en tres dimensiones dada por kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( donde M, N y P tienen derivadas

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parciales en alguna región. El Rotacional de F está dado por

kyM

xN

jxP

zM

izN

yP

XFrotF )()()(

Se usará el símbolo XFrotF para denotar el vector ),,( zyxrotF o ),,( zyxXF ,

asociado a (x, y, z).

La fórmula para ),,( zyxrotF se puede considerar como el desarrollo de un

determinante con respecto al primer renglón.

PNMzyx

kji

XFFrot

EJEMPLO

Encontremos el rotacional de kzyjzyxizxyzyxF 23242 )2(),,(

kxyzxyjzxyizy

zyzyxzxyzyx

kji

XFFrot )24(4)13(

2

43222

23242

Si F es el campo de velocidades en un fluido (líquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces XFrotF da información

acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto ),,( zyxk alrededor del cual el fluido gira, entonces XFrotF coincide con el eje de

rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo.

INTERPRETACION FISICA DEL ROTACIONAL

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Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto ),,( zyxk en el que se coloca

la rueda con aspas en la dirección de su eje.

El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea

kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( la velocidad de un fluido incompresible

y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del líquido:

Alrededor del eje x es proporcional a )(zN

yP

Alrededor del eje y es proporcional a )(xP

zM

Alrededor del eje z es proporcional a )(yM

xN

Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por XFrotF . Si

XFrotF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional.

DIVERGENCIA DE F

Sea kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( donde M, N y P tienen derivadas

parciales en alguna región. La Divergencia de F está dado por

zp

yN

xM

FDivF

Se usa el símbolo F para la divergencia por que la formula puede establecerse

tomando lo que parece ser el producto escalar de Fy .

EJEMPLO

Encontremos la divergencia kzyjzyxizxyzyxF 23242 )2(),,(

zyxzyzzy

yzyx

xzxy

FDivF 324243242

22)()2()(

Si F es el campo de velocidades en un fluido, entonces FDivF da información

acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si 0DivF en un punto ),,( zyxk

entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un sumidero en ),,( zyxk . Si

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0DivF , entonces la masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en

),,( zyxk . La condición 0DivF es característica de los fluidos incompresibles.

EJERCICIOS

Sea f una función escalar y F una función vectorial. Probar que

4. FfFffF

5. GFGF

6. GFGF

7. FfFffF

8. FGGFGF

En un campo vectorial, kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( , donde M, N y P

son funciones escalares de tres variables pueden definirse limites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las componentes de

kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( tal como se hizo para las funciones

vectoriales de una variable.

EJERCICIOS

Halle la divergencia y el rotacional de: 09. CosyjSenxiyxF ),(

10. kzjyixyxF 222),(

11. kxzjzyiyxzyxF )()()(),,(

12. kejeiezyxF yzxzxy ),,( en )0,2,3(

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08 INTEGRALES DE LINEA Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, rotacional y divergencia. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.



TEMA: INTEGRALES DE LINEA

OBJETIVO

- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales de linea.


TIEMPO: 2 HORAS

TEMATICA

INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES CURVILINEAS

Definición de Integral curvilínea. Para construir modelos matemáticos de ciertas nociones físicas, como trabajo o potencial, hay que generalizar el concepto original de integral considerando límites de sumas cuyos sumandos dependen de una cierta forma de una curva, llamada camino de integración. Esto nos lleva al concepto de integral curvilínea, que es realmente la integración a lo largo de una curva en el espacio. Comenzamos definiendo la integral curvilínea de una función f sobre una curva C con respecto a x. Las integrales correspondientes respecto de y o de z se definen de manera análoga.

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Una curva C de ecuaciones paramétricas ktzjtyitxtR )()()()( se llama lisa en

el intervalo 21 ttt si las tres derivadas )(' tx , )(' ty y )(' tz son continuas y no se

anulan simultáneamente en ningún punto t del intervalo. Más generalmente, C es lisa a trozos si se puede descomponer en un número finito de partes lisas. Se dice que C es orientable si es posible definir una dirección sobre C cuando t crece. Supongamos que C es una porción de una curva lisa a trozos, orientable, que

comienza en 0pp y termina en npq . Supongamos que se hace una partición de

C en n trozos mediante los puntos 0P , 1P, 2P ,..., 1kP , kP , ..., 1nP , nP y sean

),,( kkk zyx las coordenadas del punto kP , finalmente para k=1, 2, 3, ...,n elijamos

arbitrariamente un punto kP ( kx

, ky

, kz

) en el arco que va de 1nP hasta kP , y sean

1 kkk xxx , 1 kkk yyy , y, 1 kkk zzz . Al mayor kx lo llamaremos la x -

norma de la partición y la designaremos por x . Se pueden definir de manera

análoga, la y – norma y la z – norma. Para una función escalar dada f formamos la

suma

n

k

kPfS1

)( kx y se define la integral curvilínea

C

n

kkk

xxPfLimfdx

10)(

siempre y cuando exista este límite. De manera análoga se define:

C

n

kkk

yyPfLimfdy

10)( , y,

C

n

kkk

zzPfLimfdz

10)(

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Propiedades de las integrales curvilíneas

Sea f una función escalar dada, definida con respecto a x en una curva lisa a trozos y orientada C. Entonces se verifican las siguientes propiedades:

Regla del múltiplo constante: C C

fdxkkfdx , donde k es una constante.

Regla de la suma: CC C

dxfdxfdxff 2121 )( , donde 1f y 2f son funciones

escalares definidas respecto de x en C.

Regla de la dirección opuesta:

C Cfdxfdx , donde –C designa a la misma

curva C recorrida en sentido opuesto.

Regla de subdivisión: C C C

fdxfdxfdx1 2

, donde C esta subdividida en

subarcos 1C y 2C con 21 CCC y 21 CC . Esta propiedad se generaliza a un

número finito de subdivisiones.

Las integrales de la forma Cgdy , o, Chdz gozan de las mismas propiedades.

Demostración: La demostración se sigue directamente de la definición de integral curvilínea y de las propiedades de los límites. Calculo de integrales curvilíneas en paramétricas: En la práctica casi nunca se

calcula la integral C fdx mediante la definición. En lugar de eso observamos que, si

la función integrando ),,( zyxf es continua en C y si C se puede representar en

paramétricas por la función vectorial ktzjtyiyxtR )()()()( en la que existe la

derivada y es distinta de cero para todo bta , entonces

dtdtdx

tztytxffdxC

b

a ))(),(),(( . De manera análoga, si g y h son continúas en C,

dtdtdy

tztytxggdyC

b

a ))(),(),(( , y, dtdtdz

tztytxhhdzC

b

a ))(),(),((

Estas fórmulas nos permiten convertir las integrales curvilíneas en integrales de riemann ordinarias, que pueden ser calculadas por los métodos conocidos. Se tiene el mismo resultado independientemente de la parametrización de C elegida. EJEMPLO

Sea C el trozo de la parábola 2xy desde (0,0) a (2,4). Hallemos dxyxC )( 2 y

dyyxC )( 2

20

Sol:

Hacemos, tx luego 2ty , en el intervalo 20 t . Como 1dtdx

se tiene que

dxyxC )( 2 =

316

2)(2

0

22

0

22 dttdtdtdx

tt

Ahora tdtdy

2 , así 162.2)(2

0

22

0

222 ttdtdtdy

ttyxC

EJERCICIO

1. Calcule Cyzdzxe donde C es la curva de ecuaciones paramétricas tztytx ,,

para 21 t .

INTEGRALES CURVILINEAS DE CAMPOS VECTORIALES

Vamos a estudiar ahora que se entiende por calcular una integral curvilínea de un campo vectorial. Sea kzyxhjzyxgizyxfzyxF ),,(),,(),,(),,( un campo vectorial, y sea C la curva

definida por las paramétricas ktzjtyitxtR )()()()( , designamos a la integral de

F sobre C por C

dRF y la definimos, así:

C

dRF =

dtdtdz

tztytxhdtdy

tztytxgdtdx

tztytxfhdzgdyfdxC

b

a

)(),(),()(),(),()(),(),(

EJEMPLO

Calculemos C

dRF , donde kxjyzizyF 222 )2()( y C es la curva de

ecuaciones paramétricas tztytx ,2,2 para 10 t .

dttttdRF 423 86 , luego 30119

)86(1

0

423 dttttdRFC

EJEMPLO

Sea, yjxixyF 22 , calculemos la integral C

dRF entre los puntos 4,2,0,0 sobre

los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el arco de la parábola 2xy que une esos puntos.

(a). La recta que pasa por los dos puntos tiene como ecuación xy 2 , luego una

parametrización es tytx 2, para 20 t , así tjtitR 2)( y dtjdtidR 2 ,

luego jtitF 33 24 y dttdttdRF 33 44 y 2

0

3 328 dttdRFC

21

(b). La parábola xy 2 se parametriza por 2, tytx para 20 t , así

jttitR 2)( , luego jtityjxixyF 4522 y dttdttdttdRF 555 32 y

2

0

5 323 dttdRFC

En este ejemplo hemos visto que el valor de la integral es el mismo para los dos

caminos. Además se puede demostrar que, para yjxixyF 22 la integral curvilínea

C

dRF es la misma para cualquier camino que una 4,2,,0,0 con . OJO, que esto no

es cierto para cualquier F, pero cuando es cierto decimos que la integral curvilínea es independiente del camino. EJEMPLO

Calculemos C

xdyydx )( donde C es el camino cerrado de la siguiente figura

El camino cerrado se describe mejor usando tres ecuaciones distintas, 321 ,, CCC .

Sea xjyiF de tal manera que xdyydxdRF , luego

C

dRF = 1C

dRF + 2C

dRF + 3C

dRF .

22

Sobre 1C , la parametrización es SentyCostx , para 2

0

t , luego

jSentiCosttR )()()( y jCostdtiSentddR )()( , luego

jCostiSentxjyiF )()( y así 1C

dRF =2

)( 20

20

22

dttdtCostdtSen

Sobre 2C , la parametrización es tyx 1,0 para 10 t , luego jttR )1()( y

dtjdR y así 2C

dRF = 1

000

Sobre 3C , la parametrización es, 0, ytx para 10 t y 3C

dRF =0 de donde

C

dRF = 1C

dRF + 2C

dRF + 3C

dRF .= 002

2

EJERCICIO

2. Calcule C

dRF donde xjyiF y C es la semicircunferencia superior

122 yx recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj desde

0,1,0,1 hasta

3. Sea, xjiyxF )5( , calculemos la integral C

dRF entre los puntos 1,2,0,0

sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el segmento

rectilíneo desde 1,00,0 hasta seguido del segmento rectilíneo desde

1,21,0 hasta .

Calculo del trabajo mediante integrales curvilíneas

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales curvilíneas es el cálculo del trabajo. Recordemos que si un objeto se mueve sobre una línea recta un desplazamiento R en presencia de un campo de fuerzas constante F, el trabajo efectuado es, RF . El caso en que la fuerza F no es constante y el objeto se mueve sobre una curva lisa C requiere atención adicional. Supongamos que C esta parametrizada )(tR y orientada en el sentido del movimiento. Se hace una partición

de C por puntos 0P , 1P,..., nP , como se muestra en la siguiente figura:

23

Para nk ,...,2,1 sea kQ un punto elegido arbitrariamente en el k – esimo subarco kC

(Con extremos 1kP y kp ) y sea kF el valor del campo de fuerzas F en kQ . Si la

longitud del subarco kC es muy pequeña, Fserá, aproximadamente constante, con

valor kF sobre kC y el desplazamiento del objeto a lo largo de kC estará aproximado

por el vector secante kR que va desde 1kP hasta kp entonces el trabajo realizado

por la fuerza cuando el objeto recorre kC se puede aproximar por kW = )(t

RF k

k t

sumando los trabajos a lo largo de todos los subarcos tenemos una estimación del trabajo total realizado por F cuando el objeto se mueve sobre C. Cuando 0t , el

valor límite de esta suma es la integral de dtdRF / , es decir:

tn

k

kk

tW

tRFLim

t

100

= C

dtdtdR

F = C

dRF

Aquí F es un campo continuo de fuerza en un dominio D. EJEMPLO

un objeto se mueve en el campo de fuerzas yjxiyF )1(22 , en sentido contrario

a las agujas del reloj, desde el punto )0,2( , sobre el camino elíptico 44 22 yx

hasta )0,2( y luego vuelve al punto )0,2( moviéndose sobre el eje x. Vamos a

calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el objeto: Sea C el camino total descrito por el objeto. El Trabajo total W que realiza F sobre el

objeto al desplazarse este sobre C está dado por la integral C

dRF . Dividimos C en

dos partes 1C (elipse) y 2C (segmento del eje x). Se parametriza la curva 1C así:

SentyCostx ,2 t0 . Así jSentiCosttR )()2()( y

jCostdtiSentdttdR )()2()( .

Sustituyendo tenemos, jSentCostSentitSenF )24()( 2 ,

Así 1

1 CdRFW =

0

23 )242( dtSentCosttSentCostSen 0

La curva 2C tiene como ecuación 0y luego, sobre ella, 0F , y por tanto,

02

2 C dRFW , por consiguiente, 00021 WWW

24

EJERCICIO

4. Se da un campo de fuerzas plano por la expresión xyjiyxF 2)( 22 . Halle el

trabajo total realizado por esta fuerza al mover un punto material en sentido contrario a las manecillas del reloj por el perímetro del cuadrado de vértices

)2,0(),2,2(),0,2(),0,0(

Calculo de integrales curvilíneas respecto de la longitud de arco

Las integrales curvilíneas de la forma C

dRF se pueden expresar a menudo de

otras formas. Por ejemplo recordemos que dsdR

T es un vector tangente unitario a

la curva C en el punto ),,( zyxP donde S es el parámetro longitud de arco. Tenemos

que C

dRF = C C

TdsFdsdsdR

F .

En particular, el trabajo realizado por un campo de fuerzas F sobre un objeto que se

mueve sobre una curva C se puede expresar en la forma C C

TdsFdRFW .

Esta integral se llama integral curvilínea de la componente tangencial de F y se

puede escribir también en la forma C dszyxf ),,( . Existirá la integral si f es continua

en C y si C es lisa a trozos, con longitud finita. Se puede obtener una fórmula para calcular esta integral curvilínea observando que, si ktzjtyitxtR )()()()( ,

entonces

dtds

dtdz

dtdy

dtdx

kdtdz

jdtdy

idtdx

dtdR

222 )()()( de tal forma que

C Cdt

dtds

zyxfdszyxf ),,(),,( . Así si f es continua sobre la curva lisa C y C está

definida por ktzjtyitxtR )()()()( donde bta , entonces

dttztytxtztytxfdszyxfC

b

a 2'2'2' ))(())(())(())(),(),((),,(

EJEMPLO

Hallemos C

dszyx )( 2 donde C es la curva en paramétricas dada por

10,1,2, tparatztytx .

Como 1dtdx

, 2dtdy

, 1dtdz

,

tenemos que C

dszyx )( 2 631

)1()2()1())1()2((1

0

2222 dtttt .

25

EJERCICIO

5. Calcular C

dsyx )( donde C viene dado por jtSenitCostR )()()( 22 con

04

t

6. Calcular C dsxy )( 2 donde C viene dado por jtSenitCostR )()()( con 2

0

t

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS

Recuérdese que, en virtud del teorema fundamental del cálculo si la derivada 'f es

continua en bxa , entonces b

a

b

aafbfdxxfxfd )()()()]([ '

El siguiente teorema es una generalización para las integrales curvilíneas: Sea F un campo vectorial conservativo en la región D y sea f una función

potencial escalar de F, es decir, tal que Ff . Entonces, si C es una curva lisa a

trozos contenida completamente en D, con punto inicial P y final Q, se tiene

C

PfQfdRF )()(

Por tanto, la integral C

dRF es independiente del camino.

Demostración

Probaremos este teorema en el caso en que la curva C sea lisa en D, dejando el caso más general, en que C es lisa a trozos, como ejercicio.

Supongamos que C está definida por la función vectorial jtyitxtR )()()( para

bta , )(aRP , )(bRQ . Como jyxfiyxfyxfyxF yx ),(),(),(),( tenemos

que: dtdtdy

yxfdtdx

yxfdtdtdR

FdRFb

a yx

b

aC]),(),([

= dttytxfdtdb

a])(),(([ regla de la cadena al revés

= ))(),(())(),(( ayaxfbybxf teorema fundamental del cálculo.

)()())(())(( PfQfaRfbRf

EJEMPLO

Hallemos C

dRF donde jxCosyeiySenyeF xx )2()( y C es el camino dado

por jt

Cosit

SenttR ))22

(2

()2

()( 3 , para 10 t .

26

El cálculo de esta integral por métodos paramétricos es difícil y tedioso. Primero veamos que el campo vectorial

jxyeiyyeyxF xx )2cos()sen(),( es conservativo y hallemos una función potencial:

Sea )sen( yyeM x y )2cos( xyeN x , entonces xN

yM

luego F es

conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que Ff , observemos

que debe ser ),(),( yxfyxM x y ),(),( yxfyxN y hacemos una integración parcial,

es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante:

)(sen)sen(),(),( ycyxyedxyyedxyxMyxf xx , como también debe ser

),( yxNfy calculamos la derivada parcial con respecto a y, así obtenemos:

dydc

xyeycyxyey

yxf xxy

cos))(sen(),( igualando a

2cos),( xyeyxN x y despejando dydc

tenemos 2coscos xyedydc

xye xx así 2dydc

integrando hallamos que

cyyc 2)( , luego cyxyyeyxf x 2sen),( . Cualquier función de esta familia

es un potencial escalar de F, luego podemos tomar yxyyeyxf x 2sen),( . En

virtud del teorema fundamental de las integrales curvilíneas, el valor de esta integral solo depende de los valores de f en los extremos del camino C. Naturalmente hay que comprobar que se satisfacen las hipótesis del teorema para F y C.

En el extremo para 0t se tiene que jijCosiR 00)]2

()2

[(0)0(

,

0000)0,0( 0 Senef

En el extremo correspondiente a 1t se tiene que

jijCosiSenR2

])2

[(]2

[)1(

23

22

22)

2,1( 1

eSenef

Aplicamos ahora el teorema fundamental de las integrales curvilíneas:

)()( PfQfdRFC

)2

,1(

f - )0,0(f =23

e -0=23

e

27

EJERCICIO

7. Demuéstrese que no se realiza trabajo cuando, en un campo conservativo de fuerzas, se hace recorrer a un objeto un circuito cerrado, partiendo de un punto y finalizando en el mismo.

TEOREMA DE LA CURVA CERRADA PARA UN CAMPO CONSERVATIVO

El campo vectorial continuo F es conservativo en una región D abierta y conexa si y

solo si 0C dRF para toda curva cerrada C, lisa a trozos, contenida en D.

Demostración

Si una integral curvilínea C

dRF es independiente del camino en la región D abierta

y conexa, entonces 0C dRF para toda curva cerrada C, lisa a trozos, contenida

en D. En efecto, si P y Q son dos puntos del camino y TC es el camino de P a Q por

la parte de arriba y BC es el camino de Q a P por la parte de abajo, se debe tener

BC

dRF TC

dRF y C dRF TC

dRF + BC

dRF = TC

dRF - TC

dRF =0 Recíprocamente,

si 0C dRF para toda curva cerrada C en D, (termine la demostración).

Resumiendo:

Supongamos que ),,( zyxF tiene derivadas parciales primeras continuas en una

región abierta y conexa D y sea C una curva lisa a trozos en D. Las condiciones siguientes son equivalentes:

I. C

dRF es independiente del camino en D

II. F es conservativo, es decir, fF , para una cierta función f definida en D

III. 0C dRF para todo camino cerrado C que encierra solo puntos de D.

28

EJEMPLO

Demuestre que jyxixyF )()( 22 es conservativo y calcule ydyxdxxyC

22 para la

curva:

21 xy , xy ; )22

,22

(P , )0,1(Q

Hallemos las derivadas cruzadas xyxyy

2)( 2

, xyyxx

2)( 2

por lo tanto F es

conservativo y ydyxdxxyC

22 =0.

EJERCICIO

8. Demuestre que jyxixyF )()( 22 es conservativo y calcule ydyxdxxyC

22 para

la curva:

(a). 21 xy , )22

,22

(P , )0,1(Q (b). )22

,22

(P , )0,1(Q

El ejemplo y el ejercicio anteriores sirve para mostrar que la integral curvilínea es cero si el campo F es conservativo y el camino es cerrado. Además, si la curva no es cerrada, entonces el valor de la integral es independiente de los caminos indicados.

29





09 TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, divergencia, e integrales curvilíneas. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.



TEMA: TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES

OBJETIVO

- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar los teoremas de green, divergencia y stokes.


TIEMPO: 4 HORAS

TEMATICA

TEOREMA DE GREEN

Sea D una región simplemente conexa con un borde C liso a trozos y orientado positivamente. Sí el campo vectorial jyxNiyxMyxF ),(),(),( Es continuamente

diferenciable en D tenemos que dAyM

xN

NdyMdxC D

)()(

30

Demostración

Una región estándar es una región en que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en más de dos puntos. Vamos a demostrar primero el teorema de Green para regiones estándar y luego indicaremos como tratar el caso general.

Supongamos que D es una región estándar con borde C. Comenzamos

demostrando que

D CMdxdxdy

yM

.

Como D es una región estándar, la frontera C se compone de una porción inferior

LC y una porción superior UC que son las gráficas de dos funciones )(),( 21 xfxf

respectivamente, en un cierto intervalo bxa . En esta situación podemos calcular

la integral doble por integración iterada:

Ddxdy

yM

Ddydx

yM

dxdyyMb

a

xf

xf)(

)(

)(

2

1

=

b

a

b

adxxfxMdxxfxM )(,())(,( 12 =

U LC CMdxMdx =

CC CMdxMdxMdx

U L

)( ; Análogamente tenemos que

CDNdydxdy

xN

, por lo tanto

dxdyyM

dxdyxN

dAyM

xN

D DD

)( = C C C

NdyMdxdxMNdy )()( . Esto

concluye la demostración en el caso de una región estándar.

Si D es una región no estándar, se puede descomponer en un número finito de subregiones estándar mediante cortes horizontales y verticales, se aplica entonces a cada una de estas la demostración para regiones estándar y se suman los resultados. Las integrales curvilíneas sobre los cortes cancelan a pares, y después de las cancelaciones la única integral curvilínea que eventualmente permanece es la

extendida a la frontera exterior C. Por tanto dAyM

xN

NdyMdxC D

)()(

31

EJEMPLO Comprobemos que se verifica el teorema de Green para la integral curvilínea,

C

xdyydx , donde C es la curva cerrada de la figura. Primero calculamos la

integral directamente. La curva C consta del segmento 1C del eje x desde (-1,0)

hasta (1,0) seguido de la semicircunferencia 2C desde (1,0) hasta retornar a (-1,0).

Parametrizamos esas dos curvas:

1C 0, ytx ; 11 t

2C SensyCossx , ; s0

Así: C C C

xdyydxxdyydxxdyydx1 2

)()()( =

1

1 0))()(()00(

dsCossCossSensdsSenstdt =

0

22 )( dssCossSen

Ahora calculemos esa misma integral utilizando el teorema de Green. Observese que la curva frontera es simple y yM , xN , luego xjyiyxF ),( es

continuamente diferenciable. El dominio D está definido por las relaciones, 210 xy , 11 x . Aplicamos ahora el teorema de Green:

1

1

1

0

2

2))(

()(x

C DdydxdA

yy

xx

xdyydx

2 AREA DEL SEMICIRCULO= 2)1()21

(2

EJERCICIO

1. Halle el trabajo realizado por la fuerza jSenyyyxixyxyxF )(2)(),( 222 sobre

un objeto que recorre el camino cerrado en el plano una vez , dibujado en la siguiente figura:

32

AREA COMO UNA INTEGRAL CURVILINEA

Sea D una región plana simplemente conexa con borde C liso a trozos. El área A de

la región D es igual a la integral C

xdyydxA )(21

Demostración

Sea xjiyyxF )),( . Como F es continuamente diferenciable en D, se puede

aplicar el teorema de Green.

D Dc

dAdAyy

xx

xdyydx 2))()(()( luego C

xdyydxA )(21

EJEMPLO

Demostremos que la elipse 12

2

2

2

by

ax

tiene área igual a ab

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son bSentyaCostx , , 20 t

C

xdyydxA )(21

= 2

0)))(())(((

21

bCostdtaCostaSentdtbSent = ab

EJERCICIO

2. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental

correspondiente: él circulo 422 yx

3. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: el trapecio de vértices, )3,1(),3,0(),0,4(),0,0( .

33

Forma alternativa del teorema de Green

El teorema de Green se puede expresar de una forma que se generaliza facilmente

a 3 . Para ello debe observarse que, si jyxNiyxMyxF ),(),(),( , entonces

0NMzyx

kji

XFFrot

= kyM

xN

jzM

izN

)()()(

Así podemos escribir el enunciado del teorema de Green en la forma

dAkrotFdRFC D )( . Cuando generalicemos este resultado lo llamaremos el

teorema de Stokes.

FORMULA INTEGRAL

Sea jyxNiyxMyxF ),(),(),( sobre una región D con borde C liso a trozos.

Entonces C D

divFdANdsF , donde N es el vector normal unitario a C hacia

afuera. En efecto, sea C definida por jsyisxsR )()()( ; el vector tangente unitario T a C

es: jsyisxT )()( '' , así el unitario normal hacia fuera es jsxisyN )()( '' .

Aplicando el teorema de Green

C

b

adsjsxisyNjMiNdsF ))()(()( ''

b

a CMdyNdxds

dsdx

Ndsdy

M )()(

DDdivFdAdxdy

yN

xM

)( . Cuando generalicemos este resultado lo

llamaremos el teorema de la divergencia.

EJERCICIO

4. Un Astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo del

lado oscuro de la fuerza, de ecuación

jCosyyxxeixyyeyxF xyxy )3()2(),( 223 . Suponiendo que el astronauta

esta en (0,0) y la puerta de salida está en el (5,4). Halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.

34

INTEGRALES DE SUPERFICIES

Una superficie es lisa si tiene un plano tangente en todo punto y es lisa a trozos si consta de un número finito de piezas que son superficies lisas. Por ejemplo una esfera es lisa y un cubo es liso a trozos, porque consta de seis caras lisas y dos caras adyacentes se cortan en una arista, donde la superficie no es lisa. Una superficie es orientable si es lisa con un vector normal unitario N que varía continuamente con el punto. Una superficie cerrada es la que limita un sólido. La región encerrada por S se llama el interior y la otra se llama el exterior. La normal N es una normal hacia fuera si apunta hacia el exterior; si apunta hacia el interior es una normal hacia adentro. No nos interesaran superficies lisas a trozos con una sola cara, como la banda de mobius, que se obtiene retorciendo media vuelta una tira de papel y pegando los extremos. De ahora en adelante la palabra superficie significara superficie orientable lisa a trozos.

Sea S un conjunto de puntos de 3 . Un punto frontera de S en un punto P tal que cualquier esfera de centro P contiene puntos de S y puntos que no están en S. La frontera de S es el conjunto de todos sus puntos frontera. El conjunto S es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Una región sólida es acotada si está contenida en una esfera. Vamos ahora a definir la integral de superficie de una función escalar g. Supongamos que g está definida y es continua sobre una superficie S. Se hace una

partición de S en n subregiones y designamos por kS el área de la k-esima de

ellas. Sea *kP un punto arbitrariamente elegido en la subregion k-esima, para

k=1,2,...,n Se forma la suma k

n

kk SPg

1

*)( y se toma el limite cuando la mayor kS

tiende a cero. Si este límite existe se llama integral de superficie de g sobre S, y se

designa por S dSzyxg ),,( . Cuando una superficie se proyecta en el plano xy en una

región xyR y S se representa por ),( yxfz , entonces xyyx dAffdS 122 ,

donde xydA es dxdy o dydx o rdrd si xydA está dada en coordenadas polares, Así

Si S es una superficie definida por ),( yxfz y xyR su proyección en el plano. Si

35

,,, yx fff son continuas en xyR y g es continua en S, entonces la integral de

superficie de g sobre S es:

S dSzyxg ),,( = xyR yx dAyxfyxfyxfyxgxy )1)),(()),(())(,(,,( 22

Si tomamos g=1, la integral da el área de la superficie: A. Superficie = SdS

EJEMPLO

Calculemos la S dSzyxg ),,( dónde xyxxzzyxg 32),,( 2 y S es la porción del

plano 632 zyx que se proyecta sobre el cuadrado unidad

10;10: yxRxy .

En la ecuación del plano despejamos z: yxz 326 y 2),( yxfx , 3),( yxfy ,

luego xyxy dAdAdS 141)3()2( 22 , por tanto

S dSzyxg ),,( = S xydAxyxxz 14)32( 2 =

xyxy RR

xdydxdydxxyxyxx 61414)32)326(( 2 = 1

0

1

0

143146 xdydx

Una aplicación útil de la integral de superficie es la de hallar el centro de masa de una lámina delgada cuya forma es la de una superficie S, como muestra la figura: Supongamos que ),,( zyx es la densidad (masa por unidad de área) en un punto

),,( zyx de la lámina, entonces la masa total, m de la lámina viene dada por una

integral doble, que es la siguiente:

S

dSzyxm ),,(

Si designamos por ),,(

zyxC al centro de masa de la lámina, se tiene:

SdSzyxx

mx ),,(

1 ,

SdSzyxy

my ),,(

1 ,

SdSzyxz

mz ),,(

1

36

EJEMPLO Hallemos la masa de una lámina de densidad zzyx ),,( que tiene la forma del

hemisferio 222 yxaz . Comenzamos calculando dS

)2()(21 2

1222 xyxazx

; )2()(21 2

1222 yyxazy

;

xyyx dAzzdS 122 = xydAyxaa 21

222 )(

. Así la masa del hemisferio S está dada

por S

dSzyxm ),,( =SzdS=

xyR xydAyxaayxa 2

12222

1222 )()( = 3a

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal, de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral de la

forma S

NdSF , donde N es el unitario normal exterior (hacia afuera) de la

superficie S. Consideremos el ejemplo siguiente: EJEMPLO

Calculemos S

NdSF donde kyxzjxyiF )( y S es la región triangular del

plano x+y+z=1 contenida en el primer octante. Supóngase que N es la normal que apunta en sentido opuesto al origen.

Sea, yxzyxg 1),( . Entonces 1,1 yx gg y el unitario normal buscado es

1)1()1(

)1()1(22

kjiN = )(

31

kji . Luego, )(31

yxzxyNF , luego

)1(31

yxyxxyNF = )1(31

xy ,y xyyx dAggdS 122 = xydA3

La pieza que necesitamos del rompecabezas antes de calcular la integral es hallar la proyección de S sobre el plano xy. En la figura vemos que es una región triangular, que designamos por T como el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que, para todo x, entre 0 y 1, la y varía entre 0 y 1-x, finalmente tenemos que

S

NdSF = xyTdAxy 3)1(

3

1 =

1

0

1

0)1(

xdydxxy =

2413

37

SUPEFICIES EN PARAMETRICAS

Si una superficie S se define parametricamente por la función vectorial kvuzjvuyivuxvuR ),(),(),(),( en la región D del plano uv, el área de S está

dada por dudvRRD vu , entonces si f es continua en D, la integral de superficie de

f sobre D está dada por dudvRRRfdSzyxfS D vu )(),,(

EJEMPLO

Calculemos S

dSzyx )( donde S es la superficie definida en paramétricas por

kvujvuivuvuR )3()2()2(),( , 20,10 vu

Si zkyjxiR , entonces vuzvuyvux 3,2,2 . Como zyxzyxf ),,(

tenemos que vuvuvuRf 322)( . También tenemos que

kjiRkjiR vu 32,2 , tenemos: kjikji

RR vu 555321112

. Así

S

dSzyx )( =

dudvRRRfdSzyxfS D vu )(),,( =

2

0

1

0)35)(24( dudvvu = 340

EJERCICIOS

5. Calcule la integral dada, donde S es el hemisferio 422 yx con 0z

(a). SzdS, (b). S

dSyx )2( , (c). S

zdSyx )( 22

6. Calcule la integral dSyxS

)( 22 donde S es la superficie limitada por arriba por

el hemisferio 221 yxz y por abajo0 por el plano z=0.

7. Calcular, S

NdSF y suponga que N es la normal hacia fuera.

(a). zkyjxiF 32 y S es la parte del plano 631215 zyx que yace sobre el

cuadrado unidad 10,10 yx

(b). kzjyixF 222 y S es el trozo del plano 1yz que está dentro del cilindro

122 yx

8. Calcule S

dSzyx )( 2 donde S es la superficie definida por

ukvjiuvuR 2),( , 1,0 vu

38

9. Calcule S

dSzyx )( 2 donde S es la superficie definida por

vkjuuivuR 2),( , 20 u , 10 v

10. Halle la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de la superficie S:

(a). S es la superficie z=10-2x-y, con 0,0 yz

(b). S es la superficie z= 221 yx , con 0z

(c). S es el triángulo con vértices )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(

EL TEOREMA DE STOKES

El teorema de Green se puede enunciar así, dAkrotFdRFC A )( . Donde A es la

región plana limitada por la curva cerrada C. El teorema de stokes es una

generalización de este resultado a superficies con borde en 3 .

ORIENTACION COMPATIBLE. La superficie S queda a la izquierda de alguien que camine sobre la curva C en el sentido contrario a las de las agujas del reloj. Es decir la orientación de la curva cerrada C trazada sobre la superficie orientable S es compatible con la orientación de S si la orientación de C es la del sentido contrario a las agujas del reloj respecto de la normal hacia fuera de la superficie. Si se apunta el pulgar derecho hacia la normal hacia fuera, los dedos se curvaran en el sentido de una curva C de orientación compatible.

Sea S una superficie orientada con vector normal unitario N y supongamos que S tiene un borde C, que es una curva cerrada, lisa a trozos, cuya orientación es compatible con la de S. Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en S se verifica que:

dSNrotFdRFC S )(

DEMOSTRACION

(ejercicio para el lector)

Interpretación física del teorema de Stokes

Recordemos que la densidad de fluido es el campo vectorial, VF , donde V es la

velocidad de un fluido con densidad . La densidad del fluido mide el volumen de

fluido que cruza la superficie S por unidad de tiempo y se llama también el flujo de F a través de S. Supongamos que la superficie S está en la región en la que el fluido fluye. Si N es el unitario normal a S, entonces NF es la componente del flujo en dirección normal a S.- Entonces la masa del fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo en la dirección normal a la superficie está dada por una integral de superficie, que se llama una integral de flujo. y está dada por

S

NdSF

39

Si V es el campo de velocidades del flujo de un fluido, entonces rot V mide la tendencia del fluido a rotar o formar remolinos. Normalmente si el fluido fluye a través de la superficie S, la tendencia rotacional variara de punto a punto en la

superficie y la integral de superficie dSNrotVS )( medirá la tendencia rotatoria

acumulada sobre toda la superficie S.

El teorema de stokes nos dice que esta tendencia rotatoria acumulada es igual a la

integral curvilínea, C

dRV . Para interpretar esta integral curvilínea recuérdese que

se puede escribir en la forma, C

TdsV , en función del parámetro longitud de arco s y

el vector unitario tangente T a la curva. Así la integral curvilínea suma la componente tangencial del campo de velocidades V sobre el borde C y es razonable interpretar

C

TdsV como una medida de la circulación del fluido sobre C. Lo que esto quiere

decir, S C

TdsVdSNrotV )( donde el miembro de la izquierda mide la tendencia

acumulada de un fluido a hacer remolinos a través de una superficie S y el de la derecha mide la circulación de un fluido a lo largo de una curva C. En física y otras áreas aplicadas se usa el teorema de stokes como una herramienta para enunciar propiedades generales.

EJEMPLO

Test de campo conservativo

Si F y Rot F son continuos en la región simplemente conexa D, entonces F es

conservativo en D si y solo si rot F=0 en D.

En efecto, Si F es conservativo, sea f una función potencial escalar o sea tal que fF , entonces por las propiedades de la rotacional 0 fFrotF .

Recíprocamente, si rot F = 0 sea C la curva borde de la superficie lisa S, el teo de

stokes dice 00)( C SSdSdSNrotFdRF luego la integral es independiente

del camino y F debe ser conservativo.

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea D una región del espacio limitada por una superficie orientable lisa y cerrada S. Si F es un campo vectorial continuo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces

S

NrotV )(

40

S D

divFdVNdSF

donde N es el unitario normal hacia afuera a la superficie S.

DEMOSTRACION

(ejercicio para el lector)

Aplicaciones del teorema de la divergencia

Si F(x,y,z) es la tasa de flujo por unidad de área la integral de superficie

S

NdSF representa la tasa neta de flujo hacia fuera por unidad de volumen. Esta es

la razón del nombre de divergencia, porque, S D

divFdVNdSF .

La integral de la izquierda es una integral de flujo y así determina el flujo total de fluido a través de la superficie S por unidad de tiempo. La integral de la derecha mide el mismo flujo de fluido calculando el fluido hacia fuera de pequeños cubos.

EJERCICIOS

11. Sea, yzkxyjiyF 2)23

( 2 , donde S es el triángulo de vértices (1,0,0),

(0,1,0), y, (0,0,1) que está contenido en el plano x+y+z=1 recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba. Compruebe que se verifica el teorema de stokes.

12. Calcule C

xdzzdydxy )21

( 2 donde C es la curva intersección del plano x+z=1

y el elipsoide, 12 222 zyx , orientada en el sentido de las manecillas del

reloj, tal como se ve desde el origen.

13. Demuestre que el campo vectorial xzkxzjyziF es conservativo en 3

14. Calcule S

dSNrotF )( donde kzejyxiF xy 2 y S es la porción de la

superficie 22 21 yxz con 0z

15. Sea zkyjxiF 532 y sea S el hemisferio 229 yxz , junto con el disco

922 yx en el plano xy. Compruebe que se verifica el teorema de la

divergencia.

16. Calcule S

NdSF donde kyxxyjixF 332 y S es la superficie del tetraedro

formado por el primer octante cortado por el plano x+y+z=1, con unitario normal N hacia afuera.

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