Matemática para ingenieros 1

01. A continuación se presentan cuatro proposiciones. Justifique, a través de las propiedades de los vectores en

y , por qué dichas proposiciones son falsas.

I. En , si es paralelo a entonces y tienen el mismo vector unitario.

II. En , al calcular producto se obtiene un vector en la misma dirección de .

III. Los vectores , forman un ángulo agudo.

IV. El punto pertenece a la recta cuya ecuación vectorial es .

Resolución

I. Si

sea , entonces

, entonces

II.

para que tenga la mima dirección

no existe valor de que cumpla la igualdad

Matemática para ingenieros 2

III.

, entonces es obtuso

IV. Si pertenece a la recta

entonces

no existe valor de que cumpla la igualdad

02. A continuación se presentan cuatro proposiciones falsas:

I. El sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado.

II. El sistema de ecuaciones lineales es incompatible.

III. No existe un valor del conjunto que haga a un sistema incompatible.

IV. El sistema es compatible indeterminado para todo . Según esto efectúe lo siguiente:

a) Justifique, sin usar las propiedades del rango de una matriz, por qué dichas proposiciones son falsas.

b) Justifique, a través de las propiedades del rango de una matriz, por qué dichas proposiciones son falsas.

Resolución

a) I. dividiendo entre cuatro la segunda ecuación

,

Matemática para ingenieros 3

II. , sumando todas las ecuaciones

reemplazando en (1) la primera ecuación

reemplazando en la segunda ecuación

entonces

entonces existe una única solución

III. restando la segunda ecuación menos la primera ecuación

entonces será incompatible si

IV.

si el sistema de ecuaciones tiene una única solución

b) I. efectuando

entonces

Por el Teorema de Rouche Frobenius

Si , el sistema es incompatible

Matemática para ingenieros 4

II. efectuando

efectuando

entonces

Por el Teorema de Rouche Frobenius

Si , el sistema es compatible determinada

III. efectuando

entonces

• Si

entonces

Por el Teorema de Rouche Frobenius

Si , el sistema es compatible determinada

• Si

entonces

Por el Teorema de Rouche Frobenius

Si , el sistema es incompatible

Matemática para ingenieros 5

IV. efectuando

Si

entonces

Por el Teorema de Rouche Frobenius

Si , el sistema es compatible determinada

03. Dos rectas y tienen vectores direccionales y respectivamente. Su intersección es

el punto . ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por y determina con

y un triángulo de 6 unidades de área?

Resolución

a

a

b

b

a t(4;0;3)

b r(-3; 11;4) (31

5;2;17

5)

L1

L2

L3

Matemática para ingenieros 6De los datos

,

... (1)

,

,

como y están en la misma recta, entonces

de la primera igualdad

reemplazando en (1)

entonces

Matemática para ingenieros 704. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas y que es

perpendicular e intersecta a la recta ,

Resolución

El punto tiene la forma

entonces

como y son perpendiculares, entonces

entonces

entonces y

05. Dada la matriz , calcule:

a) La matriz de cofactores de la matriz

b) La matriz

c) La matriz

Resolución

Matemática para ingenieros 8a) Los cofactores son:

b) Sea

entonces

c)

Matemática para ingenieros 9

06. Dada la recta , y el punto que se encuentra a unidades de distancia

a la recta . Halle las coordenadas de que es el simétrico de respecto tal como se muestra en la figura.

Resolución

Sea en punto de corte de la recta y el segmento , entonces tiene la forma

es perpendicular a , entonces

entonces , entonces

es el punto medio de y

entonces

Matemática para ingenieros 1007. Se sabe que, una función es impar cuando satisface que y que es par cuando satisface

. A continuación se presentan tres proposiciones, justifique a través de las propiedades descritas de

las funciones pares e impares, por qué dichas proposiciones son verdaderas.

I. La función representada por es par.

II. La función representada por , es par e impar a la vez.

III. La función representada por es impar.

Resolución

I.

entonces es par

II.

entonces es par

entonces es impar

entonces es par e impar a la vez

Matemática para ingenieros 11

III.

entonces es impar

08. Dada la matriz donde

a) Determine la matriz inversa de

b) Use el resultado obtenido en el ítem anterior para determinar el conjunto solución de

Resolución

a)

como

Matemática para ingenieros 12

b)

es equivalente a

sea ; ;

entonces

entonces

09. A continuación se presentan tres proposiciones. Justifique a través de las propiedades de las funciones, por qué

dichas proposiciones son verdaderas.

I. La inversa de una función impar es también impar.

II. La composición de funciones impares es una función impar.

III. Si es par, la composición es par.

Resolución

I. es impar, entonces

entonces es impar

Matemática para ingenieros 13II. es impar, entonces

es impar, entonces

, porque es impar

, porque es impar

entonces es impar

III. es par, entonces

, porque es par

entonces es par

10. A partir del sistema de ecuaciones:

se modeló la matriz ampliada

y luego de un proceso de escalonamiento se obtuvo

a) Calcule el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado.

b) Calcule el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales sea incompatible.

Resolución

a)

Matemática para ingenieros 14

b)

15. Dada la función definida por , , , ¿cuál es el máximo valor de para que

exista?

Resolución

Para que tenga inversa debe de ser inyectiva

es una parábola de vértice y se abre hacia abajo

por lo que no es inyectiva, porque al trazar horizontales corta en más de un punto

Será inyectiva en el intervalo o o

como la función está determinada en el dominio , entonces el máximo valor de “ ” para que sea

inyectiva es