taller examen final matemática b

TALLER - FINALNIVELACIÓN EN MATEMÁTICA B - 2016-01

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

01. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a) De 20 dólares se gastan el 15% en golosinas, es decir se gastan 5 dólares.

b) Si al comprar un producto me hacen un descuento del 17% del precio, entonces solo pago el 73% de dicho

precio.

c) El polinomio es divisible entre .

d) Uno de los factores primos de es .

e) Al multiplicar el resultado, usando notación científica, se expresa como .

f) El desarrollo de es un trinomio cuadrado perfecto.

g) Dos triángulos isósceles siempre son semejantes.

h) El conjunto solución de la ecuación es

i) En un triángulo equilátero de lado 6 cm, el área es cm2.

j) El lado de un rombo cuyas diagonales miden 72 y 54 cm es 45 cm.

Resolución

a) Gasta :

ˆ

b) Si le hacen un descuento del 17%, entonces pagó 100% - 17% = 83%

ˆ

c) Como el polinomio está factorizado, entonces el polinomio es divisible entre cada uno

de sus factores.

ˆ

d) , por aspa simple

ˆ

Nivelación en matemática 2e)

ˆ

f)

ˆ

g) Dos triángulos isósceles tiene dos ángulos congruentes, que no son datos suficientes para determinar si son

semejantes

Ejemplo

Cada triángulo son isósceles por tener dos ángulos

iguales pero los dos triángulos no son semejantes

ˆ

h) , entonces

entonces

ˆ

i) El área de todo triángulo equilátero de lado , es

entonces

ˆ

Nivelación en matemática 3j) En un rombo las diagonales se cortan perpendicular y se bisecan

Sea el lado del rombo

De la gráfica

ˆ

2. Al factorizar la siguiente expresión

un estudiante de Nivelación en Matemática procedió así:

Paso 1 :

Paso 2 :

Paso 3 :

Paso 4 :

Paso 5 :

¿Está usted de acuerdo con su procedimiento? ¿Por qué? Justifique su respuesta

Resolución

Hasta el Paso 2 está bien resuelto

El Paso 3 comitió el error la cambiar de signo a los dos últimos términos, debería ser:

Paso 3 :

ˆ

2. Al resolver la siguiente inecuación , ,un estudiante de Nivelación procedió de la

siguiente manera:

EJERCICIO

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Nivelación en matemática 4

Paso 4

Paso 5

Paso 6


Resolución

El procedimiento está correcto hasta el Paso 2

En el Paso 3 existe un error al efectuar la suma

ˆ

4. A continuación se muestra el procedimiento utilizado por un estudiante del ciclo de “Nivelación en Matemática

B” para resolver un problema sobre triángulos.

En el triángulo ABC recto en B, calcule el valor de la

altura

Solución

Por relaciones métricas en un triángulo rectángulo

se cumple


Resolución

Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo

ˆ

MATEMATIZACIÓN

5. Por temporada de invierno en una reconocida tienda comercial he comprado una chalina, con el 20% de

descuento, y una sacón con el 10% de descuento, pagando en total S/.223,2. Antes de las rebajas habría tenido

que pagar S/.254. Si se sabe que el precio inicial de la chalina es S/.x, y el precio inicial del sacón es de S/.y.

Modele un sistema de ecuaciones que represente la situación enunciada.

Nivelación en matemática 5Resolución

Precio inicial de la chalina :

Precio inicial del sacón :

como “Antes de las rebajas habría tenido que pagar S/.254”, entonces

como “he comprado una chalina, con el 20% de descuento, y una sacón con el 10% de descuento, pagando

en total S/.223,2”, entonces

ˆ

6. En una fiesta infantil se invitaron a 25 niños. Al momento que se inició la hora loca se contaban con

globos pencil y serpentina, en ese momento se notó que habían ingresado niños.

Modele la cantidad de globos que recibirá cada niño si se repartirá a todos por igual.

Resolución

Cada uno recibirá :

7. Un microempresario productor de mochilas escolares puede vender mochilas cada semana a un precio de

soles cada mochila, donde . Se sabe que tiene costos fijos semanales de S/.2 800 y producir cada

mochila le cuesta S/.45, modele una expresión matemática que permita calcular para obtener una utilidad

semanal no menos de S/.3 200.

Resolución

Cantidad ( ) :

Precio de venta ( ) :

Costo fijo ( ) :

Costo unitario ( ) :

Costo total ( ) :

Nivelación en matemática 6Ingreso ( ) :

Utilidad ( ) :

como se desea “obtener una utilidad semanal no menos de S/.3 200”

ˆ

8. El plan municipal de mejoramiento urbano incluye construir un

parque de diversiones en una de las zonas más populares de

Lima. Para esto se debe hacer una losa circular de radio

, ( ) en el centro de un terreno rectangular y

el resto del terreno se cubrirá con césped, como se muestra en la

figura. Modele una expresión matemática que permita calcular el

valor de , si se sabe que el área del terreno destinado al césped es de 215 u2.

Resolución

Área del césped es igual al área del terreno rectangular menos el

área del terreno circular

ˆ

HEURÍSTICA Y CÁLCULOS

9. Dada la expresión , calcule el valor de , para

Resolución


ˆ

10. Determine el conjunto solución en el conjunto de los números reales:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolución

a)

;

ˆ

b) , factorizando por aspa simple

ˆ


c)

ˆ

d) , multiplicando por (-1)

como no se puede factorizar, calculamos su discriminante

por lo que la expresión ( )es positiva siempre

ˆ

e)

eliminando todos los exponentes impares

eliminando todas las expresiones con exponentes pares, pero analizamos si pueden ser cero

, entonces ... (1)

Nivelación en matemática 9Los puntos críticos son: , representando los puntos críticos en la recta numérica

como la desigualdad es , entonces se toman como respuesta la zona negativa

entonces , pero de (1)

ˆ

11. Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23

viajes para transportar 80 toneladas de madera. Calcule cuántos viajes realizó cada camión.

Resolución

Sea el número de viajes del primer camión

el número de viajes del segundo camión

de los datos , multiplicando por (- 3) la segunda ecuación

, sumando las dos ecuaciones

, reemplazando en la segunda ecuación inicial

, entonces

ˆ

12. La empresa HOYOS dedicada a la confección y venta de vestidos para niñas puede vender vestidos

mensualmente a un precio de soles cada uno. Cuyo precio se expresa mediante la relación .

Calcule la cantidad de vestidos que la empresa HOYOS debe vender mensualmente para obtener ingresos que

superen los 10 500 soles.

Resolución

Cantidad ( )

Precio de venta ( ) :

Ingreso ( ) :


como se desea “obtener ingresos que superen los 10 500 soles”

ˆ

13. Dante que es un joven trabajador le dicen que su sueldo va a tener que disminuir en un 20%, debido al mal

momento que la empresa está atravesando; sin embargo, luego de 6 meses tendrá un aumento del 40%. Si su

sueldo actual es de S/. 3 500,

a) Calcule el sueldo inicial

b) Cuánto ganará luego de los 6 meses

c) Calcule en incremento porcentual del sueldo de Dante.

Resolución

Sea “ ” el sueldo inicial

a) como “su sueldo va a tener que disminuir en un 20%” y “Si su sueldo actual es de S/. 3 500", entonces

ˆ

b) como “luego de 6 meses tendrá un aumento del 40%”, entonces

ˆ

c) Sueldo inicial : S/. 4 375

Sueldo final : S/. 4900

entonces el incremento porcentual es

ˆ

14. Calcule el valor de la altura del triángulo rectángulo recto en , si y


Del gráfico

Por Pitágoras : , entonces

Del gráfico

Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo

entonces

ˆ

15. Del gráfico mostrado en el triángulo rectángulo , recto en .

a) calcule el valor del lado

b) calcule el valor del lado .

Resolución

a) Del gráfico

entonces

ˆ

b) Del gráfico


entonces

ˆ

16. En la figura, calcule si: y

Resolución

Del gráfico

entonces , entonces

Como es un triángulo rectángulo isósceles

ˆ

17. Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de largo por 24 de ancho.

Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará como se nuestra en la figura.

a) Si se recortara en la lámina rectangular cuadraditos en cada esquina de 8 cm de lado cada uno, calcule el

área de la caja.

b) Calcule el valor de , para que la caja tenga volumen de 480 cm3

c) Con el valor de encontrado en el inciso (b), calcule el área lateral de la caja.


a) Área de la caja :

ˆ

b)

factorizando por divisores binómicos

ˆ

c) Área lateral de la caja :

ˆ

18. Del siguiente cubo mostrado:

a) Determine la suma de las aristas en términos de

b) Si toma el valor de 15 cm, calcule el área lateral, total y el volumen del cubo.


a) Como el cubo tienen igual arista, entonces ÷

La arista mide

, entonces

ˆ

b) Si , entonces la arista mide

Área lateral ( ) : , entonces

ˆ

Área total ( ) : , entonces

ˆ

Volumen ( ) : , entonces

ˆ

19. Una pista de perímetro de 400 m de longitud tiene lados

paralelos y cabeceras semicirculares como se observa en la

figura. (Considere el valor de ), calcule:

a) El valor de b.

b) El área de la región encerrada por la pista.

Resolución

a) Perímetro (P) :

ˆ

b) Área (A) :

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