taller examen final matemática a

TALLER - FINALNIVELACIÓN EN MATEMÁTICA A - 2016-01

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

01. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a) De 20 dólares se gastan el 15% en golosinas, es decir se gastan 5 dólares.

b) Si al comprar un producto me hacen un descuento del 17% del precio, entonces solo pago el 73% de dicho

precio.

c) Dos descuentos sucesivos de 20% y 40% equivalen a un descuento único de 60%.

d) Todo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, tiene solución.

e) En la ecuación se puede afirmar que el discriminante es menor que cero.

f) Si el largo de un rectángulo disminuye en 30% y el ancho aumenta en 20% entonces, el área disminuye en

16%.

g) El polinomio factorizado tiene 2 factores cuadráticos primos.

h) Si el volumen de un cubo es 64 m3, entonces el área de una de sus caras es 16m2.

i) Si un polinomio de variable , se anula para , entonces un factor del polinomio es .

j) Algunos triángulos equiláteros son semejantes.

k) Los triángulos son semejantes

Resolución

a) Gasta :

ˆ

b) Si le hacen un descuento del 17%, entonces pagó 100% - 17% = 83%

ˆ

c) Si le hacen un descuento del 20%, entonces paga 80%

después le hacen un descuento del 40%.80%, entonces paga

entonces le descontarían 100% - 48% = 52%

ˆ

Nivelación en matemática 2

d) El sistema no admite solución

ˆ

e)

ˆ

f)

entonces el área disminuye 16%

ˆ

g) , tiene un solo factor cuadrático primo

ˆ

h) Volumen :

, entonces

Área de una cara :

entonces

ˆ

Nivelación en matemática 3i) Teorema del factor

Si un polinomio se anula para , entonces dicho polinomio tiene un factor

ˆ

j) Todos los triángulos equiláteros son semejantes

ˆ

k) Tomando los lados correspondientes

, cumple

ˆ

2. Al resolver la siguiente inecuación , ,un estudiante de Nivelación procedió de la

siguiente manera:

EJERCICIO

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

¿Está usted de acuerdo con su procedimiento? ¿Por qué? Justifique su respuesta

Resolución

El procedimiento está correcto hasta el Paso 2

En el Paso 3 existe un error al efectuar la suma

ˆ


MATEMATIZACIÓN

3. Modele la ecuación que permita calcular la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del

día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra

de 85 cm.

Resolución

Sea “ ” la altura de la casa, como se forma semejanza de triangulo

ˆ

4. Un comerciante minorista compra blusas a S/.30 cada una, para venderlo a S/.45, si tiene costos fijos de S/.200.

a) Modele la inecuación que permite calcular cuántas blusas “ ” debe de comprar para obtener un costo total

no mayor a S/.2 000.

b) Modele la inecuación que permite calcular cuántas blusas “ ” debe de comprar y vender para obtener una

utilidad de al menos de S/.2 000.

Resolución

De los datos

Costo unitario ( ) :

Costo fijos ( ) :

Precio de venta ( ) :

Cantidad compradas y vendidas ( ) :

a) Costo total ( ) :

como desea obtener un “costo total no mayor a S/.2 000"

ˆ

b) Utilidad ( ) :


Como desea obtener “una utilidad de al menos de S/.2 000”

ˆ

5. Modele el sistema de inecuaciones que permite calcular un número “ ” entero y positivo, sabiendo que la

tercera parte del que le precede, disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le

sigue, aumentada en una decena es menor que 29.

Resolución

“sabiendo que la tercera parte del que le precede, disminuida en una decena, es mayor que 14”, entonces

“la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor que 29”, entonces

ˆ

6. Un arquitecto quiere hacer una vereda de ancho uniforme igual a “ ” metros alrededor de una pequeña cabaña

cuyas dimensiones son 10 m por 6 m. Si el área de la vereda debe ser 36 m2.

Modele la expresión matemática que permita calcular el valor de “ ”.

Resolución

Área total :

Área de la cabaña :

Área de la vereda :

ˆ

Nivelación en matemática 67. El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo en dólares de “ ” bicicletas es y el ingreso

de vender “ ” bicicletas es . Modele la ecuación que permita calcular la cantidad de bicicletas que

se debe vender para no ganar ni perder.

Resolución

De los datos

Costo total ( ) :

Ingreso ( ) :

Cantidad compradas y vendidas ( )

Utilidad ( ) :

Como no gana ni pierde

ˆ

HEURÍSTICA Y CÁLCULOS

8. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos

que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?.

Resolución

Del gráfico se observa semejanza de triángulos

entonces

ˆ

9. Calcule el o los valores de en:

a)

b)

c)

Nivelación en matemática 7Resolución

a)

w

por definición de logaritmos

ˆ

b)

entonces , desarrollando

, los dos valores cumplen la existencia del logaritmo

ˆ

c)


entonces , desarrollando

entonces w , los dos cumplen la existencia del logaritmo

ˆ

10. Factorice los siguientes polinomios.

a)

b)

c)

Resolución

a) , factorizando por aspa simple

ˆ

b) , factorizando por divisores binómicos

El polinomio se anula para , entonces un factor es

el otro factor es el cociente

, el último factor se puede factorizar por aspa simple

ˆ


c) , agrupando de dos en 2

, factorizando el factor común

, factorizando por diferencia de cuadrados

ˆ

11. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)

b)

c)

d)

d)

Resolución

a) , multiplicando por (-1) y ordenando

ˆ

b) , efectuando

, ordenando

, factorizando

representandolo los puntos críticos en la recta numérica y calculando el signo de la última zona, eso se

calcula evaluando los signos de los términos de mayor grado, así la última zona tiene signo

como la desigualdad es , entonces la solución son las zonas positivas


ˆ

c)

ˆ

d) , factorizando el numerador y como el denominador es positivo puede pasar a multiplicar

al otro miembro



como la desigualdad es , entonces la solución son la zona negativa

ˆ

e)

Factorizando el denominador por diferencia de cuadrados

, eliminando el factor , debemos de considerarlo diferente de cero porque esta en


el denominador, así , entonces

, eliminando todos los exponentes impares



como la desigualdad es , entonces la solución son las zonas positivas

ˆ

12. Del gráfico mostrado en el triángulo rectángulo , recto en , calcule:

a) El valor del lado

b) El valor del lado

c) El área de la región limitada por el triángulo

Resolución

a) Del gráfico

entonces

ˆ

b) Del gráfico


entonces

ˆ

c) Del gráfico

Área del triángulo :

ˆ

13. Simplifique las siguientes expresiones:

a)

b)

Resolución

a) Factorizando el denominador

, como

ˆ


b) , expresando en función de y

ˆ

14. Si se sabe que: . Determine el valor de

Resolución

, elevando al cuadrado

, desarrollando

, como

ˆ

15. Demuestre que

Demostración


ˆ

16. Reducir:

Resolución

ˆ

Nivelación en matemática 1517. Desde un punto P, una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 62º,

alejándose 75 m de edificio ahora lo observa con un ángulo de elevación de 34°. Calcule la altura del edificio.

Resolución

Del gráfico

entonces ..(1)

Del gráfico ... (2)

reemplazando (1) e (2)

ˆ

18. Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de largo por 24 de ancho.

Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará como se nuestra en la figura.

Nivelación en matemática 16a) Si se recortara en la lámina rectangular cuadraditos en cada esquina de 8 cm de lado cada uno, calcule el

área de la caja.

b) Calcule el valor de , para que la caja tenga volumen de 480 cm3

c) Con el valor de encontrado en el inciso (b), calcule el área lateral de la caja.

Resolución

a) Área de la caja :

ˆ

b)

factorizando por divisores binómicos

ˆ

c) Área lateral de la caja :

ˆ

19. Calcule el área de la región sombreada, sabiendo que es diámetro

Nivelación en matemática 17Resolución

El radio de la circunferencia mayor es 9, entonces el área del semicírculo es

El radio de la circunferencia mediana es 6, entonces el área del semicírculo es

El radio de la circunferencia menor es 3, entonces el área del semicírculo es

entonces el área sombreada es

ˆ

20. Una pista de perímetro de 400 m de longitud tiene lados

paralelos y cabeceras semicirculares como se observa en

la figura. (Considere el valor de ), calcule:

a) El valor de b.

b) El área de la región encerrada por la pista.

Resolución

a) Perímetro (P) :

ˆ

b) Área (A) :

taller examen final matemática a

Documents