taller de repaso 10º cálculo

8/16/2019 Taller de Repaso 10º Cálculo

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NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ

REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASISAPLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO

NOMBRE___________________________________________________ junio 21 de 2013

Logro: Aplicar las razones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos.

CI identifica los datos para resolver de un triángulo rectánguloCA Sustenta la solución de un problema con ángulos de elevación y depresiónCP Propone interpretaciones trigonométricas para resolver problemas

1. Calcula el valor de a en cada figura

2. Resuelva los triángulos(determina todoslos lados que faltan y los ángulos)

X 6 2x x

X y

3. Halla los valores de a y b.

4. Halla el valor de y.

5. Halla el perímetro de un cuadradoinscrito en una circunferencia de radio

12cm.6. Desde la azotea de un edificio de 95 m.

de altura, se observa un automóvil conun ángulo e depresión de 25º. ¿cuál es ladistancia del automóvil a la base deledificio, medida horizontalmente?

7. ¿Cuál es la longitud de la sombra queproyecta un edificio de 120m de altura,cuando el sol presenta un ángulo deelevación de 35º desde la azotea de unedificio?

X sombra8. Un avión vuela sobre un observador a

350km/h. Un minuto después para ver elavión, debe mirar con un ángulo de

a

a

a a

1.6u56º

76º 1u

39º32.5º3.5u

a

b

100m

40º

20º

Grado DécimoTrigonometría

u11

x

y36º

4.5 x

y28º

65

y

40º30º

310

25º95m

TALLER DEREFUERZO

35º

120m


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NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ

elevación de 20º. ¿A qué altura viaja elavión?

9. Halla la altura de los árboles

10. Busca la medida de los lados y losángulos que hacen falta.

11. ¿Cuál es el ángulo que debe formar untecho, con la horizontal, si las vigas quelo contienen tienen una longitud de 5m yel pilote central de 0,6m y cuál l longitudde la viga horizontal?

12. Un muro de una casa tiene 2,1 m. Paraalcanzarlo es necesario una escalera queforme 42º con la horizontal. ¿cuál es lalongitud de la escalera?

13. Un edificio está en la orilla de un lago. Unobservador está ubicado en direcciónopuesta en la otra orilla y los separa elagua. Dispone de un utensilio para medirángulos y de escala para medirpequeñas distancias. Sobre el piso planomide una distancia de 1m y los ángulosque forman las visuales que van de losextremos del segmento a la parte masala del edificio son 45º y 40ºrespectivamente. ¿Cuál es la altura deledificio?

14. Los organizadores de una pruebaciclística ordenan a un constructor unarampa de 10m de largo y que se levantedel suelo una altura de 3m. ¿Cuál es elángulo de elevación de la rampa?

15. Un río tiene las dos orillas paralelas.Desde los puntosP y Q de unaorilla se observaun punto N en laorilla opuesta silas visuales

forman con la orilla ángulos de 40º y 50º,respectivamente y la distancia entre los

puntos P y Q es 30m.¿cuál es el anchodel río?

16. Con los datos dela figurademuestro

α β α tantan

tan−

=

l x

α β β α

tantantantan

−

=

lh

3.2m

30º

2,3m

45º

1.4

y

xw

z

10cm38º α

β

δ

θ

ε

1,1m

5mα 0 6m

1m

45º 40º

42º

2,1

N

P Q

x

h β

α

l

x


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REAL COLEGIO SANFRANCISCO DE ASISRAZONES TRIGONOMÉTRICAS


NOMBRE_______________________________________________________________ Enero 21 de 2013

Logro: Establecer las distintas Razones entre los lados de un Triángulo Rectángulo.

CI Reconozco las razones Trigonométricas de un triángulo rectánguloCA Sustenta la solución de triángulos rectángulos mediante la aplicación de razonesCP Soluciona problemas sobre triángulos rectángulos usando las razones Trigonométricas

1. Halla los valores exactos para seno, coseno y tangentedel ánguloθ y β en cada triángulo.

2. En cada uno de los triángulos rectángulos halla elvalor de cada una de las razones trigonométricaspara los ángulosα y β

3. Traza un triángulo para la razón trigonométricadada y encuentra las otras cinco razones restantes.

a) α cos =32 b)

21= β sen c) 2csc =φ

d)23tan =φ e)

52cot = β f) 3sec =α

4. Escribe todas las razones trigonométricas para losángulos agudos de un triángulo, cuyos lados son3cm, 4cm y 5cm.

5. Si108cos =α , busca las demás razones

trigonométricas para el ánguloα

6. Si43

=α sen , halla el valor de la expresión

sen α α sec.

7. Si25tan =θ , encuentre el valor de

θ θ θ θ sec.coscot.tan +

8. Si 3csc =α y423sec = β escribe los valores

de:a) senα b) α sec c) β tan

d) )º90tan( β −

e) )º90( β −sen

9. Con base

en eltriángulorectánguloACB,resuelve:

a) Si a=44 y b=5 halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B

b) Si a=5 y c=16, halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B

c) Si b=6 y c=10, halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B

10. Relaciona las funciones trigonométricascomplementarias

Sen30º cot20ºTan20º sen55ºCos35º cos60º11. Uso la calculadora científica para comparar los

valores de las funciones trigonométricas (escribo >


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A E # 3 EA C EGI A F A CI C DE A IA E IG ICA A A G EGA I

FE : A EJA D DE GAD

B E J I 21 2013

: D .

CI I CA E C

.

1. H .

) ( 60 ) ) )4

3(

π −sen

) ( 250 ) ) )3

5cos(

π −

) ( 120 ) ) )2

11tan(

π −

) ( 186 ) ) )3

5cot(

π −

) ( 175 )) ( 330 )

2. D .

30 , 45 60

)

( 60 ) ( 120 )+ ( 60 ) ( 120 )) ( 150 ) ( 30 ) ( 150 ) ( 30 )

) )º60tan()º30tan(1

)º60tan()º30tan(−−−

−+−

) C ( 90 ). ( 60 ) 3) 2( 45 ) 2( 210 )) 2 2( 60 )+2 2( 60 )

3. E 2( α )= 2 α

4. A =30 , B = 150 C = 120 , ( 30 , 45 60 )

) ( A) B) ( C) ( B) ( B) ( C)) (A B)) (A B)) (C B A)

5. C

F 120 2103

π 300 1300

6. I . J

:

) ( 87 ) = 87) ( 312 )= 312) ( 246 ) = 246) ( 123 ) = 123) C ( 235 )= 55) ( 126 ) = 54

7. E

. .

) ( 87 ) ) ( 124 )) ( 235 ) ) ( 1004 )) ( 2315 ) ) ( 1256 )) ( 895 ) ) ( 827 )) ( 2856 )


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EA C EGI A F A CI C DE A IIDE IDADE IG ICA

FE : A EJA D DE GAD

B E J I 21 2013

: I FCI .CA A .C .

1. D ,3

4tan =θ

20

π θ ≤≤ ,

:

) θ sec ) θ cos 2. ,

2

0 π

θ ≤≤ ,

, :

) 2

3=θ sen )

4

1cos =θ

) 3

32csc =θ ) 3tan =θ

) 3

3cot =θ

3. E :) α tan α sen ) α sen α 2sec ) α csc α 2cos

4. , .

) . ) 2 2

) C (1 2 )) ( )

) 1

cos 2

−seny y )

x2tan1

1+

) x x

x tansec

tan

2

− ) senxsenx −++ 11

1

1

5. E

.) 2 2 2

) 1 2 φ+ 4 φ) 3φ 2φ φ+1) 4φ+3 2φ 2φ+2 4φ) 3ψ 1

) 4ψ+ 2ψ 36.

x x x x

tansec

tansec−

+

( + ) 2. E

7.

.) α α 2α) C 2α 2α 1) )1)(1( α α sensen +− α

) α α csc

11−

sen 1 2 2α

) C α + α. α α α

8. E ( ) .

a) . = + b) x x

k x

csc.secsec 2

=

c) senxsenx

xk

+=2cos1

d) 1cos1csc

2+=

− x

xk

e) k x

k =

−

−

cos1

1

f) senx x xk

−= cscsec

1

9.

) = .) + . =

) 1sec

tan12

2=

+

x

α

) xsenx

senxcsc1

)1(+=

+

) 2 +2= 2 +1

G : D

A E 4


6/17

) 4 2 = 3 2

) 4 4 = 2 2 1)

α

α

α

α

cos1

cot

sec1

csc+

=+

) . =1 ) α α = α) C ( + ) = +1) θ θ

θ

θ cossec

cot−=

sen

) x x

xcsc

sectan =

) (1 2 )(1+ 2 )=1) 1

sec

cos

csc=+

x x

xsenx

) x x

senx 2coscsc

1 =−

) (1+ )(1 )=2 2

) (1+ )(1 ) = 2

) 4 2 = 4 + 2

) δ

δ

δ

δ δ

sn

sen cos1

cos1csc2

++

+

=

) xsenx x cot.cos =

) θ θ θ θ cos21)cos( 2 sensen +=+

) 1)cos1(csc 22 =− θ θ

) senx

x x

senx+

=−

1

cos

cos

1

) 2)cos()cos( 22 =−++ θ θ θ θ sensen

) 1cotcostan 2222 =+ x xsen x x

) xsenx x x sec1 costan =

++

) x xec x x 2224 tansecsec =−

) 1cos2cos 222 −=− x xsen x

) x

senx xsenx x x

cos

1

1cos

1costan +=

−+

+−

) x

x

xsenx

senx xcos1

sectan3 +

=−

) 1cotcsctan 2222 =θ θ θ θ sen

) x x xsenx seccostan =+

) xsenx xsenx

x xsencos1

cos

cos 33−=

+

+


7/17

:

23

cos −= x

1=senx 0cos 22 =− xsen x 0cos2 =α 02 =φ sen

2sec = x

7.2

12cos −= x

8. 04cot 2 =− x

9. 1tan3 = x

10. 2sec3 −= x

11. 34 −=ω sen 12. 3cos2 = x

13. 5tan4 =α 14. 1csc3 = x 15. 1.cos2 =senx x

16.2

12cos −= x

17. 04cot 2 =− x 18. 3cos2 = x 19. 5tan4 =α 20. 1csc3 = x

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

3738

57.

2π

φ =

5

:

21

. .

. 12csc = x

.2

12 = xsen

. 14

tan =α

. 13

cos −=α

. α α sensen =2

. ο ο cos2

1cos 2 =

. 0cos. = xsenx

. 1sec

−=

α α

csx

. 1tan3 2 =α

. 2sec 2 =ε

.1cos.4

= xsenx

. α α sensen2

13=

. 0cos =− xsenx

. x x csctan =

. 06 =+ sensen

. x x 22 sec3tan4 =

. 1cos3cos2 2 =− x x

. x xsen cos2 =

39. tan2 −= x

40. 3senx=-241. Cos2x+cosx42. Sen4x-2sen2

43. )º30( + xsen

44. Sen 2x+5cos 2

45. Sen 2x=1+se46. Cot 2x-4=047. 2sen 2t+3sent48. 2cos 2x+2sen49. 2sen 3x+sen 2

50. Cos 2x-sen 2x

51. 2cotx.secx+52. tanx+cotx=s53. 2csc 2x+cot 2x54. Cos2x+cosx55. σ 2 sensen =

56. Senx-2cscx=

, , : )cos(125 φ −= wt V π 120=W

.

= 60. ?

013

-1 x=0

23

)º60cos( −=+ x

x=3x

+1=0x-12=0+senx-1=00

secx+cotx+1=0cx.cscx-3=0-1

σ 2 -1


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A C A A C C AA AC

: A A A

B 21 2013

: A

C CA C

1. , , ( ),

.

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

2. .

3. C .

( )=

1

0 0

) C = ( )

( )?) C

( ) ( )?) = , ( ) ( )

.

4. C .

1 1 1

1

1 1 0

0

) C ?

) C ?) C

?)

.)

: A

6


9/17

5. ( ) ( )

:

) C 15?

) 30?)

?

6. .


10/17

EE

B E

: A

C CA A C

1. E

2. C ,

.

cma 10º60º40 === β α cmbcmc 11,12,º80 ===θ

cma 10,º60,º40 === β α cacmc 6.43,3.57,º5.34 ===α

cma 10,º60,º40 === β α cma 5.23,º70,º50 === β α

cccmb 36.1,92.2,º6.84 === β cmccmb

20,15,º45 ===

α cmacmb 12,10,º60 ===θ cmbcma 3,11.2,º55 ===α

cmccmbcma 6,5.7,5 === cmccmba 7,10,10 ===

3. 5 7 .

A E 7

5u

60

4u

x

3.5

30 x

x

20

10u

15

90u

100

1

x

α α

θ

β

b a

c

C EG A F A C C DE ADE E E DE C E

FE : A E A D DE GAD 21 2

. .

.

4 ,?

: , .

F2

.hb A =

4. C .

5. D

15 /

6. 40

B 30

G

30

0u

10.2 cm8.4c

15.4cm

13

75.4

. 22 / ,

?

D

C 250 ,

. C

10


11/17

A C .

7. 10 , 15

. 25 . C .

8.

,

.C

?

9.

100 .

20 68 , AB.

10.

, 250 30 25 . C

?

11. D

80 . 60 / 100 / ,

?

12. 10 12 , 48 15'. C .

13. E

25 . C ,

36 .


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E

B E: C

C A CA A C

1. E ,

.. x y 162 = x ye 93)

2−=

. y x 252 = y x f 615)2

−=

. y x 122 −= y xg 369)2

=

. x y 32 −= x yh 16)2

−= 2. E , ,

. E (2,5). E (2,5). ( 2,0), (0,0). C (2,3), ( 2,3) (0,0). C ( 3,5),( 3, 5) (0,0). (0,7) (0,0). (0,1/5) (0,0). (0, 2) = 63.

.. 32 += x y 12)

2=+++ y x xe

. 22

−= x y / 1442

) −+−+ x y y f . 2)3( −= x y

. x y 100)3(36 2 =+ 4. A

.. 252 +−−= x x y

. 2710 x y −=

. y x x =−+− 5611 2

. y x x =−++− 5523 2 5. A

.

. )2(42)1( −−=− x y x yc +−= 72)

. x y +=+ 122)5( 28) =+− y xd

6. A

011542)1 =−−− y x x 2)22

+ y x

0133102)3 =+++ y x x 42

2)4 −− x y

A E 8

C E A A C C DE AA A B A

E : A E A D DE AD

. .

.

.

.

.

02 =

2+

.

0= 06 =+ y

D

a

b

c

d


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E

B E

: . E

CI CA C

1. H

.. =1 . 34=r . =2 . 7=r

=1/2 .3

22=r

. 2=r

. 53=r . 23=r

2. E

.

. C (0,1) =3 . C

−

21

,43

=r

. C ( 2, 3), =5 . C(2,3), =5

. C( 3, 4), 2=r

4),0,7(. =r c f

3. E .

. 2+ 2=25

. 2+ 2 4 +6 =0

. 2+ 2 10 +2 +22=0

. 36 2+36 2 48 36 25=0

. 5 2+5 2 8 4 121=0

. 36 2+36 2 36 +24 23=0

. 8 2+8 2+24 4 19=0

. 36 2+36 2 48 36 25=0

4. :. D (1, 2)

:9)2()1( 22 =++− y x

. H C (3,1)

. E C( 1,2),

A E 9

C EGI A F A CI C DE A ICI C FE E CIA EC ACIFE : A E A D DE GAD

. .

.

7

.

.

.

. H ,

. E

(2, 2) (2,2).

5. H :

. A(5, 1), B(3, 3) D (1, 1

. A(2,1), B( 2,5) D ( 6,1)

. A(0,4), B( 5,8) D ( 3,2

. A( 3,6), B(1,2) D (1, 1)

. A(1,1), B(7,7) D (13,1)

. A( 1,8), B(5, 2) D (11,

6. C

( ), A(0,2) B(0,8) 7. D

G

2.

)

AB

.

D


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REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASISGRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


NOMBRE ____________________________________________________Marzo 17 de 2012

Logro: Identificar las propiedades y características de las gráficas de las funcionesTrigonométricasCI Identifico las características de las gráficas de las funciones TrigonométricasCA Explico las propiedades de las funciones trigonométricas a partir de su gráficaCP Utilizo los valores y propiedades de las funciones seno y coseno para establecer otros valores y propiedades.

1. Determino en cada grupo cuales ángulos tienenel mismo lado terminal.a)

47

,4

5,

4

π π π − c)

413

,4

3,

45 π π π

−

b)4

,4

5,

47 π π π

− d)4

,4

11,

43 π π π −−−

2. Establece en cada grupo cuáles ángulostienen el mismo lado terminal. a) 25º,-335º,745º c) 15º,-345º,-15º b) 275º,-90º,270º d) 100º35´,-79º25´,

259º25´

3. Hallo el valor de verdad de las afirmacionesacerca de la función y = sen (justifica)a) Es una función periódica de periodoπ b) Su rango es el conjunto de los números

realesc) Es una función pard) Crece cuando aumenta de

2

π a π . e) Su máximo valor es 1

f) Su dominio es el conjunto de todos losnúmeros reales. g) Su máximo valor lo toma cuando es un

número real de la forma (2n+1) 2

π , con nun número entero.

4. Hallo el valor de verdad de las afirmacionesacerca de la función y = cos (justifica)a) Su dominio es el intervalo [-1,1]b) Es una función par.c) Es periódica de periodo principal 4π .d) Crece cuando aumenta de 0 a

2

π . e) No está definida en entero. =(2n+1)

2

π , con n un número f) Su rango es el intervalo[-1,1]g) Cos = 0 cuando = (2n+1)

2

π , con nun número entero.

5. En un mismo sistema de coordenadas, trazacon diferente color, las graficas y = sen yy = cos para 0≤ ≤ 2π y define lo enunciado.

a) El intervalo en el cual ambas funciones soncrecientes.

b) El intervalo en el cual ambas funciones sondecrecientes.

c) Los valores de para los cuales sen =cos .

6. Analiza las gráficas y = sen y y = cos ,y realiza un cuadro comparativo que

muestre semejanza y diferencia de las dosfunciones.

7. Seguido al val valor de la función apareceel cuadrante de . Teniendo en cuenta estoy con la ayuda de una calculadora, hallacos si sen se da y sen si se da cos .a) Cos = 0.6, I d)sen = 0.8, II b) Cos = -0.75, III e) cos = -0.75, II c) Sen = -0.38.IV f) sen = 0.38,II

8. En cálculo se demuestra que si estámedido en radianes, entonces:

Cos =720242

1642 θ θ θ

++− y

sen =50401206

753 θ θ θ θ ++− . Esta

aproximación se hace más exacta si losvalores de se escogen cerca de 0.Utiliza estas fórmulas para aproximarsen y cos ; luego, usa la calculadorapara evaluar cada aproximación con seiscifras decimales y calcula el error en suaproximación (es decir, la diferencia entreel valor dado en la calculador y el halladoen la fórmula). Nota si la medida de estádada en grados, es necesario convertirlaprimero a radianes.a) =0.7 c) =35º d) 0.017b) = 0.5º

9. Dada una función real f, diremos que esuna función periódica si existe númeroreal positivo r tal que para todo númeroreal x se cumple que f(x)=f(x+r). Al menor

TrigonometríaGrado Décimo

TALLERNº 9


15/17

número real P, de tales r positivos paralos que se cumple la propiedad señalada,le llamaremos elperiodo principal de lafunción. A partir de lo anterior da razones quesustenten las afirmaciones siguientes.a) La función f(x) = senx es una función

periódica, su periodo principal es 2π . b) La función f(x) = cosx es una función

periódica, su periodo principal es 2π . 10. ¿Cuál es el periodo de las funciones

representadas en las gráficas dadas?

11. Completo la tabla las siguientes las tablas

Cuando aumenta

detan cot sec csc

0 a2

π

Crecede 0a ∞

2

π a π

Crecede 1 a+ ∞

π a2

3π decrecede -1 a+ ∞

23π

a π decrecede 0 a +∞

Cuando aumenta

desen cos

0 a2π Crece de 0 a 1

2

π a π

π a2

3π

23π a π

12. Determino el periodo de las seis funcionestrigonométricas.


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E

B E

: C

C CA C

1. (0,0) :

. (0,12) (0, 4)

. (5,0) ( 3 ,0)

. (0,5)

)15,2(

. (8,0) ( 8,0)

5

4=e

. (3,0) ( 3,0)

. (4,0) ( 4,0) 1

,3(

2. Hallo las coordenadas del foco y de loslongitudes de los ejes y la excentricidasiguiente elipses. Realizo las gráficas.

. 116925

22

=+ y x

425)22

=+ y xg

. 11625

22

=+ y x

169)22

=+ y xh

. 114449

22

=+ y x 125) 2

2

=+ y xi

. 44 22 =+ y x 22)22

++ y x j

. 0131624 22 =++−+ y x y x

. 0314369 22 =+−−+ y x y x

3. ,

91, 446,000 94, 560,000 ,

. ?

4. .

1. ( 3) 2+16( 2) 2=16

A E 1

C E A A C C DE AA E E

E : A E A D DE AD

..

.

3.

)2

vértices, lasde las

100

144

1= y

.

?

.

.

2. 9( 3) 2+4( 1) 2=36

.

3. 4 2+25 2=100

.

4. 13 2+4 2=52

.

5. 1

D

( +2) 2+4( +1) 2=6


17/17

:

A

1. (0,0) :

. (0,12) (0, 4)

. (5,0) ( 3 ,0)

. (8,0) ( 8,0) ( 6,0)

. (3,0) ( 3,0)

. (4,0) ( 4,0) 1

,3(

2. Hallo las coordenadas del foco y de loslongitudes de los ejes de las siguienteRealizo las gráficas.

. 116925

22

=− y x

. 116

)1(25

)1( 22=

−−

+ y x

0131624 22 =++−− y x y x

. 031436922 =+−−− y x y x

. ( 3) 2 16( 2) 2=16

. 16( +2) 2 4( +1) 2=6

. 144169) 22 =− y xh

A 11

A A AA

: A A A

.

.

, (6 , 0) 6.

)2

vértices, lasipérbola

taller de repaso 10º cálculo

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