MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALESBACHILLERATOMADRID - BARCELONA - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MXICO - NUEVA YORK - PANAMSAN JUAN - SANTAF DE BOGOT - SO PAULOAUCKLAND - HAMBURGO - LONDRES - MILN - MONTREALNUEVA DELHI - PARS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPURSAINT LOUIS - TOKIO - TORONTO2SOLUCI ONARI OMatemticas aplicadas a las Ciencias Sociales 2. BACHILLERATO SolucionarioNo est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamientoinformtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio,ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos,sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrfcos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra.Derechos reservados 2009, respecto a la tercera edicin en espaol, por:McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U.Edifcio Valrealty, 1.a plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)ISBN: 978-84-481-6289-4Depsito legal: Autores: Mnico Caada Gallardo, Julia Gmez Nadal, Manuel Gordillo Bardn, M.a Lourdes Moreno Halconero, Jos ngel Ortega Dato, Juan Francisco Ortega Dato, Ana J. Prez LpezRevisor tcnico: Juan Pablo Carrasco PascualEquipo editorial: Carmen Garca de la Llave, Sergio Nombela, Silvia Pascual Raquel MartnezDiseo de cubierta: McGraw-HillDiseo interior: McGraw-HillIlustraciones: Guillermo Dez Celaya, Arteds, S.L.L.Composicin: Arteds, S.L.L.Impreso en: IMPRESO EN ESPAA - PRINTED INSPAIN3 MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. SOLUCIONARIO01NDICEBLOQUE 1. lgebrajUnidad 1. MatricesSigue practicando 4Actividades propuestas 5jUnidad 2.Sistemas de ecuaciones. Mtodo de GaussSigue practicando 12Actividades propuestas 14jUnidad 3.Sistemas de ecuaciones. Teorema de RouchSigue practicando 23Actividades propuestas 25jUnidad 4.Inecuaciones lineales. Programacin linealSigue practicando 35Actividades propuestas 37Actividades de bloque 44BLOQUE 2. AnlisisjUnidad 5. FuncionesSigue practicando 70Actividades propuestas 71jUnidad 6.Lmites y continuidadSigue practicando 77Actividades propuestas 78jUnidad 7.Derivadas. Aplicaciones de las derivadasSigue praticando85Actividades propuestas 87jUnidad 8.Representacin grfca de funcionesSigue praticando95Actividades propuestas 96jUnidad 9.Integral. rea bajo una curvaSigue practicando108Actividades propuestas109Actividades de bloque121BLOQUE 3. Probabilidad y estadsticajUnidad 10. ProbabilidadSigue practicando143Actividades propuestas145jUnidad 11.Distribucin y probabilidadSigue practicando153Actividades propuestas153jUnidad 12. Muestreo e inferenciaSigue practicando161Actividades propuestas162jUnidad 13.Inferencia, estadstica. Test de hiptesisSigue practicando170Actividades propuestas171Actividades de bloque1764 MATRICES01 ( | | | | | |= = = (||| ( \ . \ . \ . | | | | | |= = |||\ . \ . \ .11 0 1 0 1 2(2 ) 21 1 1 1 3 11 0 3 2 3 21 1 1 1 4 1X A A B3Supongamos que A es una matriz 2 3 y B es una matriz 3 2 Tiene sentido escribir = 1 1 1( ) A B B A ?La respuesta es: No.La igualdad es cierta, pero siempre que existan las inversas de las matrices que aparecen en la frmula.Aunque A B es una matriz cuadrada de orden 2 y puede tener inversa, tanto A como B no son cuadradas por lo que no tienen inversa.4Dadas las matrices | | | | |= = | |\ . |\ .1 12 1 1, 2 01 0 12 1A Ba)Calcule= t tC B A A Bb)Halle la matriz X siendo | | =|\ .42A B X a)Tomando C = [B A] [At Bt] tenemos: ( | | | |(|= | (|\ . | (\ . ( | | | |(| = | (|\ . | (\ . | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .1 12 1 12 0 1 0 12 12 11 2 21 0 1 0 11 11 1 0 1 4 3 0 3 34 2 2 1 2 2 3 0 03 2 1 0 2 1 3 0 0Cb)Si | | =|\ .42AB Xentonces:| |= |\ .14( )2X ABComo: | | | | | | | = = || | \ . \ . |\ .1 12 1 1 6 3. 2 01 0 1 3 22 1ABentoncesutilizamoselmtodoGauss-Jordanparacalcular su inversa.| | | | || || \ . \ .1 1 12: 6 3 1 0 : / ( 6) 1 1 / 2 1 / 6 0: 3 2 0 1 3 2 0 1F F FF| ||

+ . \| | | |+ \ .2 2 12 1 21 1 / 2 1 / 6 0: 3 0 1 / 2 1 / 2 11 0 2 / 3 1: 0 1 / 2 1 / 2 1F F FF F Fj Sigue practicando1Hallar una matriz X tal que A1 X A = B, siendo: | | | |= = ||\ . \ .3 1 1 1y2 1 2 1A BDe la ecuacin =1A X A B , despejamos X mediante operacio-nes con matrices. Entonces: = = = 1 1A X A B X A AB X AB ASi | |=|\ .3 12 1A , calculamos A1 mediante el mtodo de Gauss-Jordan:| | | ||| || \ . \ .1 1 12: 3 1 1 0 : / 3 1 1 / 3 1 / 3 0: 2 1 0 1 2 1 0 1F F FF| | | |+\ .| | | |\ .2 2 12 21 1 / 3 1 / 3 0: 2 0 5 / 3 2 / 3 11 1 / 3 1 / 3 0: 3 / 5 0 1 2 / 5 3 / 5F F FF F| | | |\ .1 1 2: ( / 3) 1 0 3 / 15 1 / 50 1 2 / 5 3 / 5F F FDe donde: | | | |= = ||\ . \ .13 / 15 1 / 5 3 3 12 / 5 3 / 5 6 9 15AEntonces: | | | | | |= = = |||\ . \ . \ .13 1 1 1 3 3 12 1 2 1 6 9 15X AB A | | | | | |= = |||\ . \ . \ .5 2 3 3 3 33 1 10 3 6 9 18 27 15 152Resuelve la ecuacin matricial 2A = A X + B, siendo: | |=|\ .1 01 1Ay | |=|\ .1 23 1BDe la ecuacin= + 2A A X B , despejamos X mediante operacio-nes con matrices. Entonces:= + = = 12 2 (2 ) A A X B A B AX X A A BCalculamos 1A mediante el mtodo de Gauss-Jordan:| | | | || ||+ \ . \ .12 2 2 1: 1 0 1 0 1 0 1 0: : 1 1 0 1 0 1 1 1FF F F FDe donde | |=|\ .11 01 1AEntonces:5 MATRICES01 | | | | | | | |= = = ||||\ . \ . \ . \ .221 5 1 5 1 5 21 54 0 4 0 4 0 4 20Ay | | | |= = ||\ . \ .1 5 5 255 54 0 20 0AEntonces: | | | | | | + = + = |||\ . \ . \ . | |=|\ .2221 5 5 25 1 054 20 20 0 0 127 3024 21A A I2Dadaslasmatrices | |=|\ .1 30 4A y | |=|\ .2 51 1B ,comprue- ba que:a)(A + B)t = At + Bt.b)(5A)t = 5At.c)(A B)t = Bt At.a) 1 3 2 5 1 2 1 1( )0 4 1 1 1 5 2 5tttA B ( | | | | | | | |+ = + = = (|||| ( \ . \ . \ . \ . y 1 3 2 50 4 1 11 0 2 1 1 13 4 5 1 2 5t tt tA B | | | |+ = + = ||\ . \ . | | | | | |= + = |||\ . \ . \ .Por lo que es cierto que: ( )t t tA B A B + = +b)Es cierto, ya que: 1 3 5 15 5 0(5 ) 50 4 0 20 15 20tttA ( | | | | | |= = = (||| ( \ . \ . \ . y | | | | | |= = ||| \ . \ . \ .21 3 1 0 5 05 50 4 3 4 15 20tA | | | | | |= = ||| \ . \ . \ .21 3 1 0 5 05 50 4 3 4 15 20tA1 3 1 0 5 05 50 4 3 4 15 20ttA | | | | | |= = ||| \ . \ . \ .c)Como: 1 3 2 5 1 2 1 4( )0 4 1 1 4 4 2 4tttAB ( | | | | | | | | = = = (|||| ( \ . \ . \ . \ . y 2 5 1 31 1 0 42 1 1 0 1 45 1 3 4 2 4t tt tB A | | | | = = ||\ . \ . | | | | | |= = |||\ . \ . \ .Por lo que es cierto que: = ( )t t tAB B A| | |

+ .\| | | |+ \ .2 2 12 1 21 1 / 2 1 / 6 0: 3 0 1 / 2 1 / 2 11 0 2 / 3 1: 0 1 / 2 1 / 2 1F F FF F F| | | |\ .2 21 0 2 / 3 1: 2 0 1 1 2 F FEntonces: | | =|\ .12 / 3 1( )1 2ABy por lo tanto: | | | | | | | |= = = ||||\ . \ . \ . \ .14 2 / 3 1 4 2 / 3( )2 1 2 2 0X AB5Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz notenga inversa: | | |=| |\ .1 3 31 2 32 5MaLa matrizM , que es cuadrada de orden 3, no tiene inversa si < rg( ) 3 M . Utilizamos el mtodo de Gauss para calcular el ran-go de M en funcin de a. | | | | | | ||| ||| ||| \ . \ . \ .12 2 2 13 3 3 1 3 3 2: 1 3 3 1 3 3 1 3 3: 1 2 3 : 0 1 0 0 1 0: 2 5 : 2 0 1 6 : 0 0 6FF F F FF a F F F a F F F aPor lo tanto, si a 6 tenemos que= rg ( ) 3 M , si a = 6 entonces rg(M) < 3. En conclusin, el valor pedido es a = 6.j Actividades propuestas1Se consideran las matrices: | |=|\ .1 54 0A , | |=|\ .2 0 38 1 1B , | | |= | |\ .3 01 60 4C Calcula:a)3A B Cb)A2 5A + I2, si I2 es la matriz identidad de orden 2a)Nos piden determinar 3A BC . Entonces como: | | | |= = ||\ . \ .1 5 3 153 34 0 12 0Ay tambin: | | | | | | | = = || | \ . \ . |\ .3 02 0 3 6 121 68 1 1 23 20 4BCEntonces: | | | | | | = = ||| \ . \ . \ .3 15 6 12 3 27312 0 23 2 35 2A BCb)Nos piden determinar A2 5A + I2. Como:6 MATRICES01 = (4500 3500 1500) Vb) Indicandoencadacolumnalainformacinreferentealos tipos de juguetes 1T , 2Ty 3T , tenemos que:La matriz de costes anuales es el producto de la matriz de ventas por la matriz de costes:| | | = = | |\ .4 0 0(4500 3500 1500) 0 6 00 0 9V C= (18000 21000 13500)La matriz de ingresos anuales es el producto de la matriz de ventas por la matriz de ingresos:| | | = = | |\ .10 0 0(4500 3500 1500) 0 16 00 0 24V I= (45000 56000 36000)La matriz de benefcios anuales es la diferencia entre la ma-triz de ingresos y la matriz de costes, es decir:( ) ( ) (45000 56000 36000)(18000 21000 13500) (27000 35000 22500)V I V C = =En conclusin, el benefcio anual por los juguetes del tipo T1 es de 27 000 euros, por el tipo T2 es de 35 000 euros y por el tipo T3 es de 22 500 euros.5En un colegio privado se imparten los cursos 1, 2 y 3 deciertasenseanzasLosprofesorestienenasignadoun nmero de horas de clase (C), guardias (G) y tutoras (T) a cubrir de acuerdo con la siguiente matriz: | | |= | |\ .C G T1 20 5 32 18 6 53 22 1 2MEl colegio paga cada hora de clase a 30 euros, cada hora de guardia a 10 euros y cada hora de tutora a 15 euros, segn la matriz columna: | | |=| |\ .301015C

Sedisponede5profesoresparaprimercurso,4parase-gundocursoy6paratercero,representadosporlamatriz fla: P= (5 4 6) Calcular cada uno de los siguientes productos de matrices e interpretar los resultados:a)P Mb)M Cc)P M Ca) | | | = = | |\ .20 5 3(5 4 6) 18 6 5 (304 55 47)22 1 2P M3Dada la matriz | | |=| |\ .1 0 10 1 00 0 1A , halla A2, A3, A4, y obtn unafrmula para An, siendo n cualquier nmero naturalSiendo | | |=| |\ .1 0 10 1 00 0 1A entonces:| | | | | | |||= = ||| |||\ . \ . \ .| | | | | | |||= = = ||| |||\ . \ . \ .| | | | | | |||= = = ||| |||\ . \ . \ .23 24 31 0 1 1 0 1 1 0 20 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 2 1 0 30 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 3 1 0 40 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1AA AAA AAPor lo tanto, para todo nmero natural n se cumple que:| | |=| |\ .1 00 1 00 0 1nnA4Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3 El precio de coste de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido viene dado por la siguiente tabla T1T2T3Precio de coste 4 6 9 Ingreso 10 16 24 El nmero de ventas anuales es de 4 500 juguetes T1, 3 500 juguetes T2 y 1 500 juguetes T3 Sabiendo que la matriz de costes (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagona-les y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fla:a) Determina las matrices C, I y Vb)Obtn,utilizandolasmatricesanteriores,lamatrizde costes anuales, la matriz de ingresos anuales, y la matriz de benefcios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetesDel enunciado del problema se obtiene que:a)La matriz de coste es: | | |=| |\ .4 0 00 6 00 0 9C , la matriz de ingresoses: | | |=| |\ .10 0 00 16 00 0 24I y la matriz de ventas es:7 MATRICES01| | | | | | ||| = = ||| |||\ . \ . \ .5 0 0 0 3 3 0 15 150 5 0 3 2 2 15 10 100 0 5 0 3 3 0 15 15DBb) ComoD=5I,dondeI eslamatrizidentidaddeorden3, entonces, para cualquier matrizXcon tres flas se cumple que: = = = 5 5( ) 5 D X I X I X XPara cualquier matriz Y con tres columnas se cumple que: = = = = 5 ( )5 5 5 Y D Y I Y I Y YLuego,multiplicarunamatrizporDescomomultiplicarla por 5.7Dada la matriz | |=|\ .1 01 1A , donde se cumple queA2 = 2A I.a) Halla las matrices A3 y A4

b) Da la forma de A3 y A4 en funcin de A y de I.a)= = = (| | | | | |= = (||| ( \ . \ . \ . (| | | | | |= = (||| ( \ . \ . \ . | | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .3 2(2 )1 0 1 0 1 021 1 0 1 1 12 0 1 0 1 02 2 0 1 1 11 0 1 0 1 02 1 1 1 3 1A A A A I A| | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .4 31 0 1 0 1 03 1 1 1 4 1A A Ab)= = = = =3 2 2(2 ) ( ) 2 2(2 ) A A A AA I A A A A I A= = 4 2 3 2 A I A A I= = = = =4 3 2(3 2 ) (3 ) (2 ) 3 2 A A A A I A AA I A A A= = = 3(2 ) 2 6 3 2 4 3 A I A A I A A I8Calcula el rango de las siguientes matrices: | | |= | |\ .2 110 56 3A | | |= | | \ .1 4 0 73 2 4 11 10 4 15BCalcularemos sus rangos mediante el mtodo de Gauss.ParaAtenemos: | | | | || + || || \ . \ .12 2 2 13 3 3 1: 2 1 2 1: 10 5 : 5 0 0: 6 3 : 3 0 0FF F F FF F F FEn defnitiva, rg(A) = 1 ya que tenemos 2 flas de ceros.Otra forma sera observar que=2 15 F F , por lo que la primera y la segunda fla son combinacin lineal,=3 13 F F , por lo que la De manera que, como P est formada por el nmero de profe-sores en cada curso y M recoge el nmero de clases, guardias y tutoras de cada profesor, entonces P Mproporciona el nmerototaldeclases,guardiasytutorasentrelostres cursos.Es decir, entre los tres cursos del colegio se imparten 304 horas de clase, se realizan 55 horas de guardias y se cubren 47 horas de tutoras.b) | | | | | | ||| = = ||| |||\ . \ . \ .20 5 3 30 69518 6 5 10 67522 1 2 15 700MCComoMrecogeelnmerodehorasdeclases,guardiasytu-toras de cada profesor y C los pagos del colegio por hora de clases,guardiasytutorasdecadaprofesor,entonces MCproporciona lo que paga el colegio a todos los profesores por curso.Es decir, el colegio paga 695 euros por las horas de clase, guardias y tutoras en el primer curso, paga 675 euros por las horas de clase, guardias y tutoras en el segundo curso y paga 700 euros por las horas de clase, guardias y tutoras en el tercer curso.c) | | | | || = = || ||\ . \ .20 5 3 30(5 4 6) 18 6 5 1022 1 2 15P MC| | |= = | |\ .695(5 4 6) 675 10375700euros. = ( ) P MC P MC eslacantidadquepagaelcolegioen total, ya que multiplicamos la matriz del nmero de profeso-res por curso (P) por la matriz de pagos por curso ( ) MC .Por lo tanto, el colegio paga en total 10 375 euros.6Se pide:a)Considera la matriz | | |=| |\ .5 0 00 5 00 0 5D; escribe dos matri-ces de orden 3 diferentes y multiplica cada una de ellas por Db) Cmo acta D al multiplicarla por una matriz cualquiera A?a)Si, por ejemplo, | | |=| |\ .1 3 21 1 05 8 8Ay | | |=| |\ .0 3 33 2 20 3 3BEntonces: | | | | | | ||| = = ||| |||\ . \ . \ .5 0 0 1 3 2 5 15 100 5 0 1 1 0 5 5 00 0 5 5 8 8 25 40 40D A8 MATRICES01Por el mtodo de Gauss-Jordan.| | | | |\ .| | |+ | |+ \ .1232 2 13 3 1: 1 1 2 1 0 0: 3 4 0 0 1 0: 1 6 1 0 0 11 1 2 1 0 0: 3 0 7 6 3 1 0: 0 7 1 1 0 1FFFF F FF F F| | | | | \ . 3 3 21 1 2 1 0 00 7 6 3 1 0: 0 0 5 2 1 1 F F F| | | | | \ . 3 31 1 2 1 0 00 7 6 3 1 0: / 5 0 0 1 2 / 5 1 / 5 1 / 5 F F| | + |+ | | \ .1 1 32 2 3: 2 1 1 0 1 / 5 2 / 5 2 / 5: 6 0 7 0 3 / 5 1 / 5 6 / 50 0 1 2 / 5 1 / 5 1 / 5F F FF F F| | | | | \ .2 21 1 0 1 / 5 2 / 5 2 / 5: / 7 0 1 0 3 / 35 1 / 35 6 / 350 0 1 2 / 5 1 / 5 1 / 5F F| | | | | \ .1 1 2: 1 0 0 4 / 35 13 / 35 8 / 350 1 0 3 / 35 1 / 35 6 / 350 0 1 2 / 5 1 / 5 1 / 5F F FEntonces, | | | | ||= = || || \ . \ .14 / 35 13 / 35 8 / 35 4 13 813 / 35 1 / 35 6 / 35 3 1 6352 / 5 1 / 5 1 / 5 14 7 7A11 Se pide: a) Despejar la matriz X en la ecuacin:A X A = I A X.b)Siendo I la matriz identidad, halla la matriz X, sabiendoque: | | |=| |\ .1 1 00 1 21 0 1A a)Es cierto que: = + = + A X A I A X A X A X I A = + = + 1(2 ) (2 ) ( ) A X I A X A I A = + = + ( 1 1 11 1( ) ( ) ( )2 2X A I A X A I A A = +11( )2X A IEn defnitiva: = +11( )2X A Iprimera y tercera fla son combinacin lneal y= 2 3( 10 / 6) F F , siendo la segunda y la tercera fla tambin combinacin lneal. En conclusin, solo hay una fla linealmente independiente en A(si cogemos 2, estas no son linealmente independientes) por lo que rg (A) = 1.Para B tenemos: | | | | | \ . | | |+ | |+ \ .1232 2 13 3 1: 1 4 0 7: 3 2 4 1: 1 10 4 151 4 0 7: 3 0 10 4 22: 0 6 4 22FFFF F FF F F2 21 4 0 7: / 10 0 1 4 / 10 22 / 100 6 4 22F F | | | | | \ .3 3 21 4 0 70 1 4 / 10 22 / 10: 6 0 0 64 / 10 352 / 10 F F F | | | | |+ \ .En defnitiva, rg (B) = 3 ya que no tenemos ninguna fla de ceros.9Halla la inversa de la matriz

| | |= | |\ .2 1 03 4 11 5 1ACalculemos la inversa por el mtodo de Gauss-Jordan.| | | | |\ .123: 2 1 0 1 0 0: 3 4 1 0 1 0: 1 5 1 0 0 1FFF| | | | |\ .1 1 3: 1 5 1 0 0 13 4 1 0 1 02 1 0 1 0 0F F F| | |+ | | \ .2 2 13 3 11 5 1 0 0 1: 3 0 11 2 0 1 3: 2 0 11 2 1 0 2F F FF F F| | |+ | |\ .2 3 21 5 1 0 0 1: 0 11 2 0 1 30 0 0 1 1 1F F FEntonces, como obtenenemos una fla de ceros (la tercera), con-cluimos que A no tiene inversa. 10 Calcula la inversa de la matriz | | |= | |\ .1 1 23 4 01 6 1Apor el mtodo de Gauss-Jordan9 MATRICES01Por lo tanto: | |+ =|\ .11 / 4 1 / 12( )0 1 / 3B IEn conclusin:| | | |= + = = ||\ . \ .| |=|\ .16 0 1 / 4 1 / 122 ( )2 4 0 1 / 33 / 2 1 / 21 / 2 7 / 6tA B B I 13 Encuentra una matriz X que verifque la igualdad:A X = B, con | |=|\ .4 62 4A , y | |=|\ .2 24 2B Verifca tambin la matriz X la igualdad X A = B?Es cierto que: = = 1A X B X A B , entonces, utilizando el mtodo de Gauss-Jordan para calcular 1A , tenemos:| | | ||| ||\ . \ .1 1 12: 4 6 1 0 : / 4 1 3 / 2 1 / 4 0: 2 4 0 1 2 4 0 1F F FF| | | | \ .| | | | \ .2 2 11 1 21 3 / 2 1 / 4 0: 2 0 1 1 / 2 1: (3 / 2) 1 0 1 3 / 20 1 1 / 2 1F F FF F FPor lo tanto: | |=|\ .11 3 / 21 / 2 1AEn conclusin: | | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .11 3 / 2 2 2 4 51 / 2 1 4 2 3 3X A BPor otro lado, nos preguntan si = X A A X , es decir, si el pro-ducto es conmutativo para las matrices A y X. Sabemos que el producto de matrices no es conmutativo, en general.En este caso: | | | | | | = = |||\ . \ . \ .4 5 4 6 6 43 3 2 4 6 6X APor lo que = X A B A X14 Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que: | | | |+ = = || \ . \ .4 5 3 02 32 1 1 2A B A BTomemos | |=| \ .4 52 1Cy | |=|\ .3 01 2DEntonces tenemos el sistema matricial:+ = ` =)2 3 A B CA B Db) Siendo | | |=| |\ .1 1 00 1 21 0 1A necesitamossuinversa,queporel mtodo de Gauss-Jordan es:| | | | || || || \ . \ .123 3 1 3: 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0: 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0: : 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1FFF F F F3 3 21 1 0 1 0 00 1 2 0 1 0: 0 0 3 1 1 1 F F F| | | | |+ \ .| | | | |\ .2 3 21 1 0 1 0 0(2 / 3) 0 1 0 2 / 3 1 / 3 2 / 30 0 3 1:1 1F F F| | | | |\ .1 1 23 3: 1 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 30 1 0 2 / 3 1 / 3 2 / 3: / 3 0 0 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3F F FF FEntonces, | | |= | |\ .11 / 3 1 / 3 2 / 32 / 3 1 / 3 2 / 31 / 3 1 / 3 1 / 3A , y en la ecuacintenemos que: ( | | | | (||= + = + (|| || (\ . \ . 11 / 3 1 / 3 2 / 3 1 0 01 1( ) 2 / 3 1 / 3 2 / 3 0 1 02 21 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 1X A IEn conclusin: | | |= | |\ .4 1 212 4 261 1 4X 12 Determina la matriz A que verifque la ecuacin A B + A = 2Bt, donde | |=|\ .3 10 2By Bt representa la matriz transpuesta de B + = + = = +12 ( ) 2 2 ( )t t tAB A B A B I B A B B Ientonces:| |=|\ .3 01 2tB , por lo que| |=|\ .6 022 4tB .Por otro lado: | | | | | |+ = + = |||\ . \ . \ .3 1 1 0 4 10 2 0 1 0 3B Ide manera que, utilizando el mtodo de Gauss-Jordan para cal-cular su inversa tenemos:| | | | || ||\ . \ .12 2 2: 4 1 1 0 4 1 1 0: : / 3 0 3 0 1 0 1 0 1 / 3FF F F| | | | + || || \ . \ .1 1 2 1 1: 4 0 1 1 / 3 : / 4 1 0 1 / 4 1 / 120 1 0 1 / 3 0 1 0 1 / 3F F F F F10 MATRICES01 | | | |= = = || \ . \ .13 2 2 11 14 1( )1 1 11 11 11 5X B C A | |= | \ .16 11 20 113 22 25 516 Se consideran las matrices: | |=|\ .2 13 1Ay | |=|\ .4 2016 5Ba)Calcula A2 y (A2)1

b)Despeja X de la ecuacin matricial A2 X = Bc)Calcula Xa) | | | | | |= = ||| \ . \ . \ .22 1 2 1 7 13 1 3 1 3 4ACalculemos 2 1( ) Apor el mtodo de Gauss-Jordan:| || |\ .| | | | \ .122 2 1: 7 1 1 0: 3 4 0 17 1 1 0: (3 / 7) 0 25 / 7 3 / 7 1FFF F F| | | |\ .| | | | \ .2 21 1 27 1 1 0: 7 0 25 3 7: ( / 25) 7 0 28 / 25 7 / 250 25 3 7F FF F F| | | |\ .1 12 21 0 4 / 25 1 / 25: / 70 1 3 / 25 7 / 25: / 25F FF FEntonces: | | | |= = || \ . \ .2 14 / 25 1 / 25 4 1 1( )3 / 25 7 / 25 3 7 25Ab)De la ecuacin matricial: =2A X B tenemos que: = 2 1( ) X A Bc)Utilizando el apartado b) tenemos: | | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .2 14 1 4 20 0 3 1( )3 7 16 5 4 1 25X A B17 DeterminalamatrizXqueverifcalaecuacinmatricial A X + B = C, donde: | |=| \ .3 51 2A , | |=|\ .1 0 12 1 0B , | |=|\ .1 1 20 1 3C Justifca la respuestaDelaecuacinmatricial: + = A X B C sedespejaXdelasi-guiente forma: + = = = 1( ) A X B C A X C B X A C BUtilizando el mtodo de Gauss-Jordan, calculemos primero 1A . Multiplicando por 3 la segunda ecuacin y sumndola a la pri-mera se obtiene:= + 5 3 A C D , por lo que= +1( 3 )5A C Dy entonces: ( | | | |= + = + = (|| ( \ . \ . 4 5 3 0 1 1( 3 ) 32 1 1 2 5 5A C D= ( | | | | + = (|| ( \ . \ . 4 5 9 0 12 1 3 6 5| | | | = || \ . \ .5 5 1 1 15 5 1 1 5Ahora, despejando B de la segunda ecuacin tenemos= B A D , y entonces: | | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .1 1 3 0 2 11 1 1 2 0 1B A DEn defnitiva, las matrices pedidas son: | | | |= = || \ . \ .1 1 2 1y1 1 0 1A B15 Halla la matriz X que verifca la ecuacin matricial: | | | | | |+ = ||| \ . \ . \ .2 1 1 1 2 0 12 151 0 1 1 3 12 11 10XTomemos: | | | | | |= = = ||| \ . \ . \ .2 1 1 1 2 0 12 15, y1 0 1 1 3 12 11 10A B CDe donde la ecuacin planteada es:+ = ( ) A BX COperando entre matrices tenemos que:+ = = ( ) ( ) A B X C B X C APor lo que: = 1( ) X B C ACalculemos 1Bpor el mtodo de Gauss-Jordan:| | | | || ||+ \ . \ .12 2 2 1: 1 2 1 0 1 2 1 0: : 1 3 0 1 0 5 1 1FF F F F | | | \ .1 1 2: (2 / 5) 1 0 3 / 5 2 / 50 5 1 1F F F | | | | \ .1 2(2 / 5) 1 0 3 / 5 2 / 50 5 1 1F F| | | | \ .2 12 21 0 3 / 5 2 / 5:0 0 1 / 5 1 / 5: / 5F FF FEntonces: | | | |= = || \ . \ .13 / 5 2 / 5 3 2 11 / 5 1 / 5 1 1 5BPor otra parte: | | | | | | = = |||\ . \ . \ .0 12 15 2 1 1 2 11 1412 11 10 1 0 1 11 11 11C AEn conclusin:11 MATRICES01valores cualesquiera deaycnmeros reales (es decir,R , a c ) cumplen la condicin pedida. 19 Dadalamatriz | | |= | | \ .1 1 22 0 16 1 0A ,calcula,siexisten,las matrices siguientes:a)Una matriz X tal que X A = (101)b)Una matriz Y tal que A Y = | | |\ .1 0 10 1 0

a)Si = (1 0 1) X A , entonces X es una matriz de una fla y tres columnas, es decir, de la forma = ( ) X a b c .Entonces: | | | = | | \ .1 1 2( ) 2 0 1 (1 0 1)6 1 0a b cOperando se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:+ = =` = )2 6 102 1a b ca ca bPorelmtododesustitucin,despejandoenlasegunda ecuacin= c a yenlatercera= + 2 1 b a ysustituyendo en la primera, tenemos:+ + = 2(2 1) 6 1 c c c= 1 cLa solucin del sistema es = 1 a ,= 3 by= 1 c .En conclusin,= (1 3 1) Xb) NoesposibleencontrarunamatrizYquecumpla, | | =|\ .1 0 10 1 0AY yaqueelproductodeAporunamatriz cualquiera Y dara como resultado una matriz de 3 flas, y nos piden que el resultado sea una matriz de 2 flas. 20 Dadaslasmatrices | |=|\ .2 31 2A y | |=|\ .1 32 6B ,averiguasiexiste una matriz C que cumpla B C = A y, si es el caso, calclalaEs cierto que = = 1BC A C B APara calcular C tenemos que calcular primero B1. Para ello va-mosautilizarque:existeB1 = rg( ) 2 B yaqueBesuna matriz cuadrada de orden 2.Estudiemos el rango de B mediante el mtodo de Gauss-Jordan: | | | | ||\ . \ .12 2 2 1: 1 3 1 3: : 2 2 6 0 0FF F F FPor lo que rg (B) = 1, de manera que la matriz B no tiene inversa.Endefnitiva,noexisteunamatriz C quecumplalaecuacin = B C A .| | | ||| || \ . \ .1 1 12: 3 5 1 0 : / 3 1 5 / 3 1 / 3 0: 1 2 0 1 1 2 0 1F F FF| | | |+ \ .2 2 11 5 / 3 1 / 3 0: 0 1 / 3 1 / 3 1 F F F| | | | + || || \ . \ .1 1 22 2: 5 1 0 6 / 3 5 1 0 6 / 3 5: 3 0 1 / 3 1 / 3 1 0 1 1 3F F FF FPor lo tanto: | |=| \ .12 51 3APor otro lado: | | | | | | = = |||\ . \ . \ .1 1 2 1 0 1 2 1 10 1 3 2 1 0 2 0 3C BEn conclusin: | | | |= = = || \ . \ .12 5 2 1 1( )1 3 2 0 3X A C B | |=|\ .6 2 174 1 10 18 Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, dis-tintas de la matriz identidad, tales que:A| | |\ .1 01 1=| | |\ .1 01 1 ACuntasmatriceshayconestacondicin?Razonatures-puestaSe pide encontrar la matriz A que cumpla: | | | | = ||\ . \ .1 0 1 01 1 1 1A A con A I .Tomemos | |=|\ .a bAc d.Entonces: + | | | | | | | | = = ||||+\ . \ . \ . \ .1 0 1 01 1 1 1a b a b bAc d c d dY por otro lado:| | | | | | | | = = ||||+ +\ . \ . \ . \ .1 0 1 01 1 1 1a b a bAc d a c b dPor lo que, para que ambas matrices sean iguales se debe cumplir: + = =`+ = += +)a b ab bc d a cd b dDe la primera y la cuarta ecuacin= 0 by de la tercera ecua-cin= a d .En conclusin, todas las matrices de la forma: | |=|\ .0 aAc a, para 12 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02 + = + = `+ + + = )4 2 11(2 2) 6x ay zx y azx y a z aVeamos para qu valores deael sistema es compatible. Utili-zando el mtodo de Gauss tenemos:| | | | |+ \ .| | | + | | + \ .| | | + | | + \ .1232 2 13 3 13 3 2: 4 2 1: 1 1 1: 1 1 (2 2) 64 2 1: ( / 4) 0 1 ( / 4) (1 / 2) 3 / 4: ( / 4) 0 1 ( / 4) 2 (5 / 2) (25 / 4)4 2 10 1 ( / 4) (1 / 2) 3 / 4: 0 0 3 2 7E aE aE a aaE E E a aE E E a a aaa aE E E a a Por lo tanto, el sistema es equivalente a:+ = + + = `+ = )4 2 1[1 ( / 4)] [ (1 / 2)] 3 / 4(3 2) 7x ay za y a za z aPor lo que tenemosque estudiar los valores deaque afectan al despejar las variablesyyz , que son:= 2 / 3 aparaz(en la ltima ecuacin) y= 4 aparay(en la segunda ecuacin).La incgnita x de la primera ecuacin se puede despejar sin pro-blemas, porque su coefciente no incluye el parmetro.Entonces: Si= 2 / 3 a elsistemaesincompatible,alserlatercera ecuacin: = 0 23 / 3 Si= 4 ael sistema es:+ = = `=)4 4 2 1( 7 / 2) 3 / 414 3x y zzzDemaneraque,delaterceraecuacintenemos= 3 / 14 z ; sustituyendo este valor en la segunda ecuacin, tenemos una igualdad; y de la primera ecuacin tenemos+ = 1 / 7 x y .Porlotanto,elsistemaescompatibleindeterminado,con soluciones:= = = ( 1 / 7) , , 3 / 14 x k y k z para cualquier k R . Si 2 / 3 ay 4 aentonces, para cada valor deapode-mos resolver el sistema escalonado:+ = + + = `+ = )4 2 1[1 ( / 4)] [ (1 / 2)] 3 / 4(3 2) 7x ay za y a za z aDe la tercera ecuacin tenemos:=+73 2azaj Sigue practicando1Seanlasmatrices | |=|\ .31A ,= ( ) B x m , | |=|\ .15C, | |=|\ .19D, + + | |=| +\ .2 22 5y mEx my

a)Si = ( ) (2 ) A B C D E , plantea un sistema de dos ecua-cionescondosincgnitas(representadasporx,y)en funcin de mb) Para qu valores de m el sistema tiene solucin?, cun-do es nica? Resuelve el sistema si m = 4 a)Nos piden plantear el sistema de ecuaciones resultante de la ecuacin matricial: = ( ) (2 ) AB C D EComo: (( | | | | | | = = ((||| (( \ . \ . \ . 3 1 1( ) (2 ) ( ) 21 5 9AB C D x m+ | | | | | |= = |||+\ . \ . \ .3 3 1 3 31x m x mx m x mIgualando a la matrizEtenemos el sistema:+ = + + `+ = +)3 3 2 22 5x m y mx m x myb) El sistema, ordenando las variables, es:+ = `+ = )3 23 5x y mx my mDe donde, aplicando el mtodo de Gauss tenemos:| | | | || || \ . \ .12 2 2 1: 3 1 2 3 1 2: : 3 5 0 1 3E m mE E E E m m mPor lo que el sistema equivalente es:+ = ` =)3 2( 1) 3x y mm yEl sistema tiene solucin si 1 m , ya que en caso contrario no podramos despejaryde la segunda ecuacin. Si 1 m elsistemaesescalonadocontodaslasflas distintasdecero,porloqueelsistematienesolucin nica. Para= 4 mel sistema es:+ = `=)3 23 3x yyde donde la solucin es:= = 1, 1 x y .2Discutayresuelvaelsiguientesistemaparatodoslosva-lores del parmetro a (Utilice el mtodo de Gauss para su resolucin)13 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02Tenemos28monedasde5cntimos,21de10cntimosy12 monedas de 50 cntimos.4La suma de las tres cifras de un nmero es 6, y si se intercam-bian la primera y la segunda, el nmero aumenta en 90 uni-dades Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el nmero aumenta en 9 unidades Calcular dicho nmero (Nota: un nmero se puede descomponer en sus unidades, decenas y centenas de la siguiente forma:583 = 5 100 + 8 10 + 3)Consideremos el nmero de tres cifras, conxcentenas,yde-cenas yzunidades, es decir, el nmero:+ + 100 10 x y zEntonces se debe cumplir que:+ + = 6 x y z (La suma de las cifras es 6).+ + = + + + 10 100 (100 10 ) 90 x y z x y z(El nmero+ + 100 10 y x ztiene intercambiadas la primera y la segunda cifra).+ + = + + + 100 10 (100 10 ) 9 x y z x y z(El nmero+ + 100 10 x z ytiene intercambiadas la primera y la segunda cifra).Endefnitiva,ordenandolasvariables,dividiendolasegunda ecuacin por 90 y la tercera por 9, el sistema es:+ + = + =` + =)611x y zx yy zSiendo la matriz del sistema: | | | | |\ .1 1 1 61 1 0 10 1 1 1, vamos a resolver por el mtodo de Gauss.| | | | ||+ || || \ . \ .| | | | |+\ .12 2 1 233 3 1: 1 1 1 6 1 1 1 6: : 1 1 0 1 0 2 1 7: 0 1 1 1 0 1 1 11 1 1 60 2 1 7: ( / 2) 0 0 3 / 2 9 / 2EE E E EEE E EPor lo tanto, el sistema equivalente es:+ + = + =`=)62 7(3 / 2) 9 / 2x y zy zzDe donde su solucin, resolviendo de abajo arriba, es:= = = 1; 2; 3 x y zEl nmero buscado es 123. 5>Lostresmodelosdeunamarcadeautomvilescuestan 12 000, 15 000 y 22 000 euros, respectivamente Un conce-sionario ha ingresado 1 265 000 euros por la venta de auto-mviles de esta marca Cuntos coches ha vendido de cada de la segunda ecuacin: ++=7( 3 / 4) [ (1 / 2)]3 21 ( / 4)aaayay de la primera:7( 3 / 4) [ (1 / 2)]1 73 21 24 1 ( / 4) 3 2aaaax aa a( + (+= + + ( + ( por lo que es un sistema compatible determinado.3Se tienen 9,50 euros en monedas de 5 cntimos, de 10 cn-timos y de 50 cntimos El nmero de monedas de 10 cn-timosexcedeen9unidadesalnmerodemonedasde50 cntimos, y por cada 3 monedas de 10 cntimos se tienen 4 de 5 cntimos Cuntas monedas hay de cada valor?Consideremos como incgnitas del problema a: xnmero de monedas de 5 cntimos. ynmero de monedas de 10 cntimos. znmero de monedas de 50 cntimos.Entonces se debe cumplir que:+ + = 0,05 0,10 0,50 9,50 x y z= + 9 y z= 4 3 y xMultiplicando la primera ecuacin por 100, el sistema es:+ + = =` + =)5 10 50 95093 4 0x y zy zx ydonde la matriz ampliada del sistema es:| | | | |\ .5 10 50 9500 1 1 93 4 0 0Resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | | | || || ||+ \ . \ .1 1 1233 3 1 3 3 2: 5 10 50 950 : / 5 1 2 10 190: 0 1 1 9 0 1 1 9: 3 4 0 0 3 4 0 01 2 10 190 1 2 10 1900 1 1 9 0 1 1 9: 3 : 10 0 10 30 570 0 0 40 480E E EEEE E E E E EPor lo tanto, el sistema equivalente escalonado es:+ + = =`=)2 10 190940 480x y zy zzdemaneraquelasolucindelsistema,resolviendodeabajo arriba, es: = = = 28; 21; 12 x y z .14 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02Se han vendido 44 coches de los baratos, 33 de los intermedios y 11 de los caros.j Actividades propuestas1Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo que quieras:a) + = + + = `+ =)4 2 53 22 4 7 1x y zx y zx y zb) + = =`+ + =)62 72 11x y zx y zx y zc) + = ` + = )5 03 1x y zx y zd) + + + = + =`+ = + + =)1012x y z tx y z tx y z tx y z ta) Para resolver el sistema:+ = + + = `+ =)4 2 53 22 4 7 1x y zx y zx y zutilizamos el mtodo de reduccin. Multiplicando la segunda ecuacin por 4 y sumndole la primera tenemos:+ = 6 11 3 y zAhora, multiplicando la tercera ecuacin por 2 y sumndole la primera tenemos: + = 6 13 3 y zSumando estas dos ecuaciones obtenemos:z = 0De donde sustituyendo en cualquiera de estas:= 1 / 2 ySustituyendolosvaloresdeyyzenlasegundaecuacin tenemos:= 3 / 2 xEn defnitiva, la solucin del sistema de ecuaciones es:= = = 3 / 2; 1 / 2; 0 x y zb) Nos dan el sistema: + = =`+ + =)62 72 11x y zx y zx y zSi sumamos la segunda y la tercera ecuacin tenemos 0 = 17, porloqueelsistemaesincompatible,esdecirnotienen solucin.c) El sistema: + = ` + = )5 03 1x y zx y zmodelo si del ms barato ha vendido tantas unidades como delosotrosdosmodelosjuntosydelmscarolatercera parte de los coches que cuestan 15 000 euros?Sean: x nmerodecochesvendidosdeltipomsbarato,de 12 000 euros. y nmerodecochesvendidosdeltipomedio,de15 000 euros. z nmerodecochesvendidosdeltipomscaro,de22 000 euros.Entonces, nos dicen que:12 000x + 15 000y + 22 000z = 1 265 000 (Igualamos los ingresos por ventas).= + x y z(Del ms barato se venden la suma de los otros dos).= (1 / 3) z y(Los vendidos ms caros son un tercio de los in-termedios).En defnitiva, dividiendo la primera ecuacin por 1 000 y orde-nando las variables, el sistema es:+ + = =` + =)12 15 22 126503 0x y zx y zy zDonde la matriz del sistema es: | | | | |\ .12 15 22 12651 1 1 00 1 3 0Resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | | | |\ .| | | | |\ .| |

+\1 1 1 2232 2 12 2 33 3 2: 12 15 22 1265 : 1 1 1 0: 1 1 1 0 12 15 22 1265: 0 1 3 0 0 1 3 01 1 1 0: 12 0 27 34 12650 1 3 01 1 1 0: 0 1 3 00 27 34 12651 1 1 00 1 3 0: 27 0 0 115 1265E E E EEEE E EE E EE E E|||.Por lo tanto es equivalente a: = + =`=)03 0115 1265x y zy zzDonde su solucin, resolviendo de abajo arriba es:= = = 44; 33; 11 x y z .15 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02| | | | || || || \ . \ .| | | | |\ .12 2 2 13 3 3 13 3 2: 2 1 1 3 2 1 1 3: 2 3 1 1 : 0 4 2 4: 2 7 3 5 : 0 8 4 82 1 1 30 4 2 4: 2 0 0 0 0EE E E EE E E EE E EPor lo tanto el sistema equivalente es: + = =`=)2 34 2 40 0x y zy zComo la tercera ecuacin es 0 = 0, sabemos que el sistema es compatibleindeterminado,conunnmerodesolucionesinf-nitas.Entonces,despejandozdelasegundaecuacinqueda: = 2 2 z y ysustituyendoenlaprimeraecuacinobtenemos= +1(1 )2x y .Tomando tR las soluciones del sistema son:= +1(1 )2x t ;= y t ; = 2 2 z t3Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:+ + = + =` + = )12 3 4 91x y zx y zx y zLa matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales es:| | | | | \ .1 1 1 12 3 4 91 1 1 1Resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | |+ | |\ .12 2 2 13 3 3 12 3 2: 1 1 1 1 1 1 1 1: 2 3 4 9 : 2 0 1 6 7: 1 1 1 1 : 0 2 0 21 1 1 1: 2 0 1 6 70 0 12 12EE E E EE E E EE E EDe donde un sistema equivalente:+ + = =` =)16 712 12x y zy zzCuya solucin resolviendo de abajo arriba es: = = = 1; 1; 1 x y z4Sea el sistema: = ` + + = )2 13 2x y zx y za) Aade una ecuacin de forma que el sistema resultante sea incompatiblePor sustitucin, despejando y de la primera ecuacin tene-mos:= + 5 y x zSustituyendoelvalordelayenlasegundaecuacinob-tenemos + + = 3( 5 ) 1 x x z z ,dedondedespejandox tenemos:= ( 1 / 2) 14 x zSi tomamos z como el parmetro t se llega a que las solucio-nes del sistema son:= = +=( 1 / 2) 145x ty x tz t tR d) Nos dan el sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas: + + + = + =`+ = + + =)1012x y z tx y z tx y z tx y z tPara resolverlo utilizamos el mtodo de reduccin, operando entre las ecuaciones para conseguir, en cada paso, quedar-nos con la ecuacin donde aparezca una nica variable.Restando la primera ecuacin con la cuarta tenemos 2t = 1, de donde: t = 1/2Sumando la segunda y la tercera ecuacin y sustituyendo t por su valor tenemos 2x 2(1/2) = 1, de donde: x = 1Ahora,sumandolaprimeraylaterceraecuacinysusti-tuyendo x por su valor tenemos 2(1) + 2y = 0, de donde: y = 1Por ltimo, sustituyendo x, y y t en la primera ecuacin por sus valores tenemos (1) + 1 + z + (1/2) = 1, de donde: z = 3/2En conclusin la solucin del sistema es:= = = = 1; 1; 3 / 2; 1 / 2 x y z t2Resuelve por el mtodo de Gauss el sistema: + = + =`+ =)2 32 3 12 7 3 5x y zx y zx y zLa matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales es:| | | | |\ .2 1 1 32 3 1 12 7 3 5Resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | | | |\ .12 2 2 13 3 3 13 3 2: 2 1 1 3 2 1 1 3: 2 3 1 1 : 0 4 2 4: 2 7 3 5 : 0 8 4 82 1 1 30 4 2 4: 2 0 0 0 0EE E E EE E E EE E E16 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02b) El sistema de ecuaciones lineales homogneo cuya ma-triz de coefcientes estA A Nota: un sistema se llama homogneo cuando todos sus tr-minos independientes son nulosa) | | | | | | || = = | ||\ . ||\ . \ .1 2 5 2 11 0 10 1 2 1 12 1 11 1 1 1 2tA A ,queeslama-triz de coefcientes del sistema homogneo:+ + = + + =`+ + =)5 2 02 02 0x y zx y zx y zResolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || ||\ . \ .| | | | || || || \ . \ .1 1 1 3232 2 13 3 1 3 3 2: 5 2 1 0 : 1 1 2 0: 2 1 1 0 2 1 1 0: 1 1 2 0 5 2 1 01 1 2 0 1 1 2 0: 2 0 1 3 0 0 1 3 0: 5 0 3 9 0 : 3 0 0 0 0E E E EEEE E EE E E E E Ey por lo tanto el sistema equivalente es:+ + = + =`=)2 03 00 0x y zy zque es un sistema compatible indeterminado, con solucio-nes R tde la forma = x t ; = 3 y t ; = z tb) | | | | | | | = = || |\ . \ . |\ .1 21 0 1 2 10 12 1 1 1 61 1tAA , que es la matriz de coefcientes del sistema homogneo:+ = `+ =)2 06 0x yx yY resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || ||\ . \ .12 1 1 2: 2 1 0 0 11 0: : 2 1 6 0 1 6 0EE E E E(Hemos dejado la segunda ecuacin fja para hacer ceros en la primera).El sistema equivalente es: = `+ =)11 06 0yx y, con solucin trivial= = 0 x y6Se considera el sistema lineal: + = =`+ + + =)3 2 112 2 ( 1) 0x y zx zx y m zb) Haz lo mismo para lograr un sistema compatible indeter-minadoc) Haz lo mismo para que el sistema sea compatible deter-minadoEl sistema es compatible indeterminado; sumando ambas ecua-ciones obtenemos= 1 yy mediante sustitucin las soluciones son:= 1 x t ; = 1 y ; = z t t Ra) Para conseguir un sistema incompatible, aadimos una ecua-cin que sea el resultado de una transformacin elemental de las dadas en la parte izquierda de la igualdad de la ecua-cin, pero cuyo resultado en la parte derecha de la igualdad sea diferente.Porejemplo,sumandolasecuacionestenemos= 1 y ,si tomamos como tercera ecuacin: = 0 y , el sistema sera: = + + = `=)2 13 20x y zx y zyque es incompatible, ya que sumando las dos primeras ecua-cionesobtendramosque= 1 y ydelaterceraecuacin = 0 y .b) El sistema ya es compatible indeterminado.An as, si aadimos una ecuacin que sea el resultado de una transformacin elemental de las dadas, seguira siendo compatible indeterminado.Porejemplo,sumandolasecuacionestenemos= 1 y ,si tomamos esta como tercera ecuacin el sistema sera: = + + = `= )2 13 21x y zx y zyEl sistema es compatible indeterminado.c) Para conseguir un sistema compatible determinado, aadi-mos una ecuacin que no sea combinacin de las dadas.Por ejemplo, utilizando que el sistema es compatible inde-terminado,con= 1 y ,fjamosunvalordexdemanera queobtengamosunanicasolucindelsistema.Tomamos = 0 x , entonces el sistema es: = + + = `=)2 13 20x y zx y zxcon solucin = = = 0; 1; 1 x y zy el sistema es compatible determinado. 5>Considera la matriz | |=|\ .1 0 12 1 1A Resuelve por el mtodo de Gauss:a) El sistema de ecuaciones lineales homogneo cuya ma-triz de coefcientes estA A 17 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02 + = =`+ =)2 3 03 05 2 0x y zx ky zx y zSe pide:a) Discutir el sistema para los distintos valores de kb) Resolver el sistema en los casos en los que sea posiblea) Alserunsistemahomogneo,siempresercompatible,y tiene la solucin trivial:= = = 0 x y z .Veamos si encontramos ms soluciones dependiendo del pa-rmetrok .La matriz del sistema es: | | | | |\ .2 3 1 01 3 05 2 1 0kResolviendo por el mtodo de Gauss:1232 2 13 3 12 23 3: 2 3 1 0: 1 3 0: 5 2 1 02 3 1 0: (1 / 2) 0 (3 / 2 ) 7 / 2 0: (5 / 2) 0 19 / 2 7 / 2 02 3 1 0: 2 0 3 2 7 0: 2 0 19 7 0EE kEE E E kE E EE E kE E| | | | |\ .| | | | | \ .| | | | |\ .Siendo el sistema equivalente:2 3 0(3 2 ) 7 019 7 0x y zky zy z + = =` =)Estesistemaescompatibleindeterminadocuando = 3 2 19 k (las dos ltimas ecuaciones iguales), de donde se obtiene que= 8 k .En defnitiva: Si= 8 kel sistema es compatible indeterminado. Si 8 kel sistema es compatible determinado.b) Si 8 kel sistema es compatible determinado, con solu-cin nica la trivial= = = 0 x y z . Si= 8 kel sistema es compatible indeterminado, con so-lucin la resultante del sistema: + = ` =)2 3 019 7 0x y zy zdonde,despejandoz delasegundaecuacinqueda = (19 / 7) z y ,ysustituyendoenlaprimeraecuacinob-tenemos= 7 y x .Enconclusin,lassolucionesson:= x t ; = 7 y t ; = 19 z t ; t RDiscute el sistema segn los valores del parmetro m, y re-sulvelo cuando sea compatibleLa matriz asociada al sistema es: | | | | |+\ .3 2 1 11 0 1 12 2 ( 1) 0 my resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || ||+ +\ . \ .| | | | || || || + +\ . \ .1 1 1 2232 2 13 3 2 3 3 1: 3 2 1 1 : 1 0 1 1: 1 0 1 1 3 2 1 1: 2 2 ( 1) 0 2 2 ( 1) 01 0 1 1 1 0 1 1: 3 0 2 2 2 0 2 2 2: : 2 0 2 3 2 0 0 ( 1) 0E E E EEE m mE E EE E E E E E m m el sistema equivalente es: = + = `+ =)12 2 2( 1) 0x zy zm zde donde: Si 1 mel sistema es compatible determinado, con solu-cin:= = = 1; 1; 0 x y z Si= 1 mentonces la tercera ecuacin es 0 = 0, y el sistema es compatible indeterminado. Tomando z =t , las soluciones del sistema son:= + 1 x t ; = 1 y t ; = z t ,t R7Estudiaparaquvaloresdekescompatibleelsistema = + = `+ = )2 41222x yx yx kyyresulveloparalosvaloresdekquelohacen compatible indeterminadoEnelsistemalasdosprimerasecuacionessonproporcionales ( = 1 22 E E ), por lo que podemos eliminar una (la segunda deellas), quedando: = `+ =)2 42x yx kyDe esta forma, el valor a estudiar es k = 1/2, ya que es el valor de k para que ambas ecuaciones sean proporcionales. Si 1 / 2 kel sistema es compatible determinado. As, de la primera ecuacin tenemos y = 2x 4 de manera que sus-tituyendo en la segunda ecuacin y despejando x tenemos: + + | |= = = |+ +\ .2 4 1 22 21 2 1 2k kxk ky entonces:= = = 2 4 2 2 4 0 y x Si= 1 / 2 k , el sistema es compatible indeterminado con soluciones: x = t; y = 2t 4; t R.8Seconsideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales, dependiente del parmetro real k: 18 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02 y n.o de collares de 75 perlas (medianos). z n.o de collares de 85 perlas (grandes).a) Entonces se debe cumplir que:+ + = 240 x y z (Collares que se fabrican con cierres).+ + = 50 75 85 17500 x y z(Perlas que se utilizan).+=2x zy(Media de collares pequeos y grandes es igual al nmero de collares medianos).Operando y ordenando las variables tenemos el sistema de ecuaciones lineales:+ + = + + =` + =)24050 75 85 175002 0x y zx y zx y zdonde su matriz es: | | | | |\ .1 1 1 24050 75 85 175001 2 1 0Resolviendo por el mtodo de Gauss:12 2 2 13 3 3 1: 1 1 1 240 1 1 1 240: 50 75 85 17500 : 50 0 25 35 5500: 1 2 1 0 : 0 3 0 240EE E E EE E E E| | | | || || || \ . \ . Por lo tanto el sistema equivalente es:+ + = + =` = )24025 35 55003 240x y zy zycuya solucin es:= = = 60; 80; 100 x y z .Luego, en el taller se fabrican 60 collares de 50 perlas (pe-queos), 80 collares de 75 perlas (medianos) y 100 collares de 85 perlas (grandes).b) Sin considerar el apartado a) y suponiendo que= = x y z , elnmerodecollaresfabricadosseran3x ,ycomotene-mos240cierresentonces= 80 x .Peroporotraparte,si = = x y zentonces el nmero de perlas usadas seran (50 + + 75 + 85)x mientras que el nmero de perlas que tenemos es 17 500, por lo que entonces x = 83,33, diferente al valor anterior por esta incgnita.Enconclusin,noesposiblefabricarelmismonmerode collares de cada tipo. 11 Sean las matrices: | | | | | | | |= = = = ||||\ . \ . \ . \ .6, , ,0 1 1x y a y ayA B C Dy ay aa) Si = A B C D , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas (representadas por x e y) en funcin de ab) Paraquvaloresdeaelsistematienesolucin?,es siemprenica?Encuentraunasolucinpara= 1 a con 1 y9Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 /kg, de alubias a 1,20 /kg y de lentejas a 0,80 /kg En total com-pra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 euros Sabiendo queelpesodelaslentejaseseldoblequeloquepesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcula qu can-tidad de semillas ha comprado de cada legumbreLlamemos: x kilos comprados de semillas de garbanzos. y kilos comprados de semillas de alubias. z kilos comprados de semillas de lentejas.Entonces, se debe cumplir que:+ + = 45 x y z(Compran 45 kg).+ + = 1,3 1,2 0,8 43 x y z(Pagan por todo 43 ).= + 2( ) z x y (Dobledelentejasquelasumadegarbanzosy alubias).Operando con las incgnitas y multiplicando por 10 la segunda ecuacin, nos queda el sistema de ecuaciones lineales:+ + = + + =`+ =)4513 12 8 4302 2 0x y zx y zx y zCon matriz asociada: | | | | |\ .1 1 1 4513 12 8 4302 2 1 0Resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .12 2 2 13 3 3 1: 1 1 1 45 1 1 1 45: 13 12 8 430 : 13 0 1 5 155: 2 2 1 0 : 2 0 0 3 90EE E E EE E E EPor lo tanto el sistema equivalente es:+ + = = ` = )455 1553 90x y zy zzcuya solucin, resolviendo de abajo arriba es:= = = 10; 5; 30 x y zEl agricultor ha comprado 10 kg de semillas de garbanzos, 5 kg de semillas de alubias y 30 kg de semillas de lentejas.10 En un taller de joyera se fabrican collares con 50, 75 y 85 perlas, y para ello se utilizan en su totalidad 17 500 perlas y 240 cierresa)Cuntos collares de cada tamao se han de fabricar si se desean tantos collares de tamao mediano como la media aritmtica del nmero de collares grandes y pequeos?b) Sintenerencuentalacondicindelapartadoanterior, es posible fabricar el mismo nmero de collares de cada tamao?Sean: x n.o de collares de 50 perlas (pequeos).19 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02De donde planteamos el sistema de ecuaciones:3 1mx my my m+ = `= )b) Si= 0 mla primera ecuacin nos queda de la forma 0 = 0, luego tenemos dos casos: Si= 0 m elsistemaquedareducidoalaecuacin: = 3 1 yPor lo que es compatible indeterminado, con soluciones:= x t ; = 1 / 3 y , t R . Si 0 mentonces podemos dividir por m en la primera ecuacin, donde nos quedara+ = 1 x y . En este caso, el sistema es compatible determinado con solucin:+=2 13mx ;=13my . 13 Discute en funcin del parmetro p el sistema de ecuaciones lineales: + = + + =` =)3 2 8( 5) 7 5( 1) 0x y zp y zp zLos valores a estudiar del parmetropson:= 1 p , ya que para este valor no es posible despejarzen la tercera ecuacin (por nopoderdividirporcero);y= 5 p ,yaqueparaestevalor no es posible despejar y en la segunda ecuacin (por la misma razn).Entonces, tenemos tres casos: Si= 1 pel sistema queda de la forma:+ = + =`=)3 2 86 7 50 0x y zy zDonde despejando de la segunda ecuacin:=5 76zyy sustituyendo en la primera: | |= + = + |\ .5 7 118 2 3 (1 )6 2zx z zLas soluciones son:= +11(1 )2x t ;=5 76ty ; R = , . z t t Si p = 5 el sistema queda de la siguiente forma:+ = =` =)3 2 87 56 0x y zzzPor lo que el sistema es incompatible, ya que de la segunda ecuacin= 5 / 7 z y de la tercera= 0 z . Si 1 py 5 p , el sistema es compatible determinado. La nica solucin se obtiene en funcin del parmetro p de la a) Operando con las matrices, obtenemos: | | | | = = || \ . \ .6( )1ax ayAB C Dy ay ade donde se tiene el sistema de ecuaciones:6(1 ) 1ax aya y a= ` = )b) Ordenando las variablesxey en el sistema anterior, tene-mos:6(1 ) 1ax aya y a+ = ` = )Delaprimeraecuacinvemosquesi= 0 a entoncesesta queda como= 0 6 , lo que indica que el sistema es incom-patible.De la segunda ecuacin si= 1 a entonces esta queda como = 0 0 , lo que indica que el sistema es compatible indeter-minado.Por ello, los valores a estudiar para a son el 0 y el 1.Tenemos los siguientes casos: Si = 0 ael sistema es incompatible. Si= 1 ael sistema quedara reducido a una sola ecuacin+ = 6 x y , y resulta compatible indeterminado. Si 0 ay 1 ael sistema es compatible determinado.Resolvemos para= 1 a . El sistema queda de la forma:+ = `=)60 0x yDe donde= 6 y x , siendo las soluciones:= x t ; = 6 y t; t t RComo no queremos que y sea 1, las soluciones para= 1 ae 1 yson: = = ; 6 , x t y t R { 6} t R {6}. 12 Sean las matrices: | |=|\ .xAy,= ( 1) B m , | |=|\ .11C , + | |=|+\ .x mDmy m, | |=|+\ .2 1myEy

a) Si (A B) C = D E, plantea un sistema de dos ecuacio-nes y dos incgnitas (representadas por x e y) en funcin de m b) Para qu valores de m el sistema tiene solucin? Cun-do es nica?a) Como A es una matriz de dimensin 21 y B es una matriz dedimensin12,resultaque AB esunamatrizde dimensin 22. Operando las matrices se obtiene:+ + | | | | = = ||+ + \ . \ .( )2 1xm x x m myAB C D Eym y my m y20 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02Por lo tanto, el sistema equivalente es: + + = + + =` = )2 110 7 112(55 / 2) 165x y zy zzOperando resulta la solucin: = = = 6; 7; 6 x y z .Es decir, se han utilizado 6 monedas de 1 , 7 monedas de 50 cntimos de y 6 monedas de 20 cntimos de . 15 Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un re-galo a sus padres Despus de una larga discusin han deci-dido que el mediano debe poner el doble que el pequeo, y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el mediano Cunto debe poner cada uno?Sea x el dinero que pone el pequeo, y el dinero que pone el mediano,yzeldineroqueponeelmayor.Entoncessedebe cumplir que:+ + = 26 x y z (Dinero que ponen entre los tres para la compra del regalo).= 2 y x(El mediano pone el doble de lo que pone el pequeo).= (2 / 3) z y (El mayor pone 2 / 3 de lo que pone el mediano).En defnitiva, el sistema es:+ + = + =` + =)262 0(2 / 3) 0x y zx yy zComoesunsistemamuysencillo,sepuederesolverporel mtododesustitucin.Delasegundaecuacin= 2 y x, sustituyendoestevalorenlaterceraecuacintenemosque = = (2 / 3)2 (4 / 3) z x x ,yporltimosustituyendoambasva-riablesenlaprimeraecuacinseobtiene= 6 x ,yentonces = 12 yy= 8 z .La respuesta al problema es que el hermano pequeo pone 6 , el mediano 12 y el mayor 8 .16 Tres hermanas, Aine, Clara y Marta, decidieron regalar a su padre un libro que vale 24,8 euros Renen esta cantidad de forma que Marta aporta una tercera parte de lo que aporten las otras dos juntas y Aine aporte 3 cntimos de euro por cada 2 que aporte Clara Qu cantidad aporta cada una de las hermanas?Llamamos x al dinero que pone Aine, y al dinero que pone Clara y z al dinero que pone Marta. Entonces, se debe cumplir que:+ + = 24,80 x y z (Dinero que ponen entre las tres para la com-pra del regalo).= +1( )3z x y(Marta pone un tercio (1 / 3) de lo que ponen en-tre las otras dos).= (3 / 2) x y (SiClarapone2(y=2)entoncesAinedebe poner 3 (x = 3)).El sistema es:siguiente forma: De la tercera ecuacin= 0 z . De la segun-da=+55yp. Y de la primera= = +58 3 85x yp. Luegola solucin es:= = =+ +5 58 ; ; 0.5 5x y zp p 14 Para la compra de un artculo de precio 10,70 euros se uti-lizan monedas de 1 euro, de 50 cntimos de euro y de 20 cntimosdeeuroElnmerototaldemonedasexcedeen unaunidadaltripledemonedasde1euroEl30 %dela sumadelnmerodemonedasde1euroconeldobledel nmero de monedas de 50 cntimos coincide con el nmero demonedasde20cntimosHallaelnmerodemonedas que se utilizan de cada clase Consideremos como incgnitas del problema las siguientes: xnmero de monedas de 1 . ynmero de monedas de 50 cntimos de . znmero de monedas de 20 cntimos de .Entonces se debe cumplir que:+ + = 0,50 0,20 10,70 x y z (Dinerousadoparalacompradel artculo).+ + = + 1 3 x y z x(La totalidad de las monedas exceden en una unidad al triple de las de 1 ).+ = 0,3( 2 ) x y z(El 30% de+ ( 2 ) x yesz ).El sistema es:+ + = + + =`+ =)0,50 0,20 10,702 10,3 0,6 0x y zx y zx y zLa matriz del sistema es: | | | | |\ .1 0,50 0,20 10,702 1 1 10,3 0,6 1 0Resolviendo por el mtodo de Gauss: | | | | || || || \ . \ .| | | | |\ .| | |+ | |+ \ .1 1 123 3 31 1 22 2 13 3 13 3: 1 0,50 0,20 10,70 : 10 10 5 2 107: 2 1 1 1 2 1 1 1: 0,3 0,6 1 0 : 10 3 6 10 0: 2 1 1 110 5 2 1073 6 10 02 1 1 1: 5 0 10 7 112: (3 / 2) 0 15 / 2 17 / 2 3 / 22 1 10: 2E E EEE E EE E EE E EE E EE E| | | | |\ .| | | | | \ . 3 3 2110 7 1120 15 17 32 1 1 10 10 7 112: (3 / 2) 0 0 55 / 2 165 E E E21 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02| | | | |\ .1 2 3 292 1 0 73 4 1 25Y resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | | | || || || \ . \ .12 2 2 13 3 3 12 23 3 3 3 2: 1 2 3 29 1 2 3 29: 2 1 0 7 : 2 0 3 6 51: 3 4 1 25 : 3 0 2 8 621 2 3 29 1 2 3 29: / 3 0 1 2 17 0 1 2 17: / 2 0 1 4 31 : 0 0 2 14EE E E EE E E EE EE E E E Esiendo el sistema equivalente: + + = = ` = )2 3 292 172 14x y zy zzcon solucin, resolviendo de abajo arriba: = = = 2; 3; 7 x y z .Se utilizan 2 pastillas del tipo A, 3 pastillas del tipo B y 7 pas-tillas del tipo C. 18 Encuentra tres nmeros a, b y c tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del ltimo ms la cuarta parte del otro sea 95, y la media de los dos ltimos sea 80 Con los nmeros a, b y c se debe cumplir que:+ + = 210 a b c (suman 120)+ + =1( ) 952 4ba c (Lamitaddelasumadea yc,mslacuar-ta parte de b es 95)+= 802b c (La media deby ces+ ( )/2 b c )Entonces el sistema es:+ + = + + =`+ =)2102 2 380160a b ca b cb cCon matriz: | | | | |\ .1 1 1 2102 1 2 3800 1 1 160De manera que resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || || ||\ . \ .| | | | |+\ .12 2 1 233 3 2: 1 1 1 210 1 1 1 210: 2 : 2 1 2 380 0 1 0 40: 0 1 1 160 0 1 1 1601 1 1 2100 1 0 40: 0 0 1 120EE E E EEE E EEl sistema equivalente es:+ + = + =` =)24,803 02 3 0x y zx y zx yResolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || + || || \ . \ .| | | | |\ .12 2 2 13 2 3 13 2 3: 1 1 1 24,80 1 1 1 24,80: 1 1 3 0 : 0 0 4 24,80: 2 3 0 0 : 2 0 5 2 49,601 1 1 24,800 5 2 49,60: 0 0 4 24,80EE E E EE E E EE E EPor lo tanto, el sistema equivalente es:+ + = = `=)24,805 2 49,604 24,80x y zy zzOperando se obtiene la solucin: x = 11,16; y = 7,44; z = 6,20.En conclusin, Aine pone 11,16 , Clara 7,44 y Marta 6,20 para la compra del regalo. 17 Los tres componentes que inciden en la agresividad de los cobayas son el magnesio, el sodio y el potasio La agresivi-dad ms baja en estos animales se consigue con una dieta diaria con 290 miligramos de magnesio, 70 de sodio y 250 de potasioMagnesio Sodio PotasioA 10 mg 20 mg 30 mgB 20 mg 10 mg 40 mgC 30 mg 0 mg 10 mgEnelmercadohaytrestiposdepastillasA,ByC,cuyos contenidos en miligramos de magnesio, sodio y potasio se dan en la tabla Calcula cuntas pastillas de cada tipo habra que aadir a la comida de los cobayas para que su compor-tamiento sea el menos agresivo posible Llamamos x al nmero de pastillas utilizadas del tipo A, y al n-mero de pastillas utilizadas del tipo B, y z al nmero de pastillas utilizadas del tipo C. Entonces se debe cumplir que:+ + = 10 20 30 290 x y z(Contenido de magnesio).20x + 10y = 70(Contenido de sodio).+ + = 30 40 10 250 x y z(Contenido de potasio).Ordenandolasvariablesobtenemoselsistemadeecuaciones lineales:+ + = + =`+ + =)10 20 30 29020 10 7030 40 10 250x y zx yx y zDondelamatrizdelsistema,dividiendotodaslasecuaciones por 10, es: 22 SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS02 20 Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propagan-dasobrelosparabrisasdeloscochesaparcadosenlacalle Pedrorepartesiempreel20%deltotaldelapropaganda, Juanreparte100hojasmsqueElenayentrePedroyEle-nacolocan850hojasenlosparabrisasPlanteaunsistema de ecuaciones que permita averiguar cuntas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcula estos valoresLlamemos:x nmero de hojas de propaganda que coloca Elena.y nmero de hojas de propaganda que coloca Pedro.z nmero de hojas de propaganda que coloca Juan.Que deben cumplir:= + + 0,2( ) y x y z= + 100 z x(Juan reparte 100 ms que Elena).+ = 850 y x(Entre Pedro y Elena colocan 850).Entonces el sistema es: + = + =`+ =)0,2 0,8 0,2 0100850x y zx zx yDonde su matriz, una vez multiplicada la primera fla por 5, es: | | | | |\ .1 4 1 01 0 1 1001 1 0 850Y resolviendo por el mtodo de Gauss:| | | | || + || || \ . \ .| | | | |+\ .12 2 2 13 3 3 13 3 2: 1 4 1 0 1 4 1 0: 1 0 1 100 : 0 4 2 100: 1 1 0 850 : 0 5 1 8501 4 1 00 4 2 100: (5 / 4) 0 0 6 / 4 975EE E E EE E E EE E EPor lo tanto el sistema equivalente es:4 04 2 100(6 / 4) 975x y zy zz + = + =`=)Cuya solucin, resolviendo de abajo arriba, es: = = = 550; 300; 650 x y z .De forma que Elena coloca 550 hojas de propaganda, Pedro co-loca 300 y Juan coloca 650.+ + = = `=)21040120a b cbcPorlotanto,lasolucindelsistema,yconellolosnmeros buscados, es: a = 50, b = 40 yc = 120. 19 LaedadenaosdeJuaneseldoblequelasumadelas edades de sus dos hijos: Pedro y Luis A su vez, Pedro es 3 aos mayor que Luis Si dentro de 10 aos la edad del padre sobrepasa en 11 aos a la suma de las edades de los hijos:a) Plantea el correspondiente sistema de ecuacionesb) Determina la edad de cada uno de ellosVamosallamarxalaedadenaosdeJuan,yalaedaden aos de Pedro, y z a la edad en aos de Luis. Entonces se debe cumplir que:= + 2( ) x y z(Juan tiene el doble que la suma de las de Pedro y Luis).y = 3 + z (Pedro tiene 3 aos ms que Luis).+ = + + + + ( 10) 11 ( 10) ( 10) x y z(Fjate que+ 10 xes la edad de Juan dentro de 10 aos).a) El sistema resultante es: = =` =)2 2 0321x y zy zx y zb) La matriz del sistema es| | | | | \ .1 2 2 00 1 1 31 1 1 21, y resolviendo porel mtodo de Gauss:| | | | || || || \ . \ .| | | | |\ .12 3 1 233 3 2: 1 2 2 0 1 2 2 0: : 0 1 1 3 0 1 1 3: 1 1 1 21 0 1 1 211 2 2 00 1 1 3: 0 0 2 18EE E E EEE E EPor lo tanto, el sistema equivalente es: = =`=)2 2 032 18x y zy zzcuya solucin es:= = = 42; 12; 9 x y z .Luego, Juan tiene 42 aos, Pedro tiene 12 aos y Luis tiene 9 aos.23 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03y | | | | ||= = || || \ . \ .4 6 2 4 2 4[adj( )] 2 2 1 6 2 64 6 1 2 1 1ttAtenemos que: | | |= = | |\ .14 2 4[adj( )] 16 2 622 1 1tAAAc)De la ecuacin A X = B tenemos que: = 1X A Bde donde: | | | | | | |||= ||| |||\ . \ . \ .12 1 2 53 2 0 5,11 0 2 2,9xyzPor lo tanto: | | | | | | |||= = = ||| |||\ . \ . \ .14 2 4 5 0,916 2 6 5,1 1,222 1 1 2,9 1X A BEn conclusin, el precio del caf es de 0,9 , el del cortado 1,2 y el descafeinado de 1 .2Mediante clculo matricial, discuta y resuelva el sistema: + = + =+ =2 32 3 12 7 3 5x y zx y zx y zLa matriz de coefcientes y matriz ampliada del sistema de ecua-ciones lineales son, respectivamente:| | | | | |= = | | || \ .\ .2 1 1 2 1 1 32 3 1 2 3 1 12 7 3 2 7 3 5A AParadiscutirelsistema,estudiemoselrangodelasmatrices A y A .Para el rango de A, nos damos cuenta de que el menor (eligiendo laprimeraysegundaflasylaprimeraysegundacolumnas)= 2 18 02 3, por lo que rg (A) 2.Ahora,veamossielrangodeestamatrizes3calculandosu determinante:= = + + + = + =2 1 12 3 1 ( 18 2 14) (6 6 14) 2 2 02 7 3AEntonces al ser |A| = 0 tenemos que rg (A) = 2.Para el rango de A , orlando el menor de orden 2 no nulo utili-zado para el clculo del rango de A con la tercera fla y la cuarta columna tenemos: = + = + =2 1 32 3 1 (30 2 42) ( 18 10 14) 14 14 02 7 5Por lo que rg( ) A= 2.j Sigue practicando1TresfamiliasvanaunacafeteraLaprimerafamiliatoma 2cafs,1cortadoy2descafeinados;lasegundafamilia toma 3 cafs y 2 cortados; y la tercera familia toma 1 caf y 2 descafeinados A la primera familia le cobran 5 , a la segunda 5,1 y a la tercera 2,9 Se denotan por x, y, z las incgnitasquerepresentan,respectivamente,elpreciode un caf, de un cortado y de un descafeinadoa) D la matriz A que expresa el nmero de cafs, de cor-tados y de descafeinados que toma cada una de las tres familias, de manera que = A X B , con | | | | ||= = || ||\ . \ .5y 5,12, 9xX y Bz

b) Calcule 1A c) Resuelva la ecuacin matricial = A X B Consideremos:x = precio del caf en .y = precio del cortado en .z = precio del descafeinado en .Entonces se debe cumplir que:2x + y + 2z= 5 (lo que consume la primera familia).3x + 2y = 5,1 (lo que consume la segunda familia).x + 2z = 2,9 (lo que consume la tercera familia).En defnitiva, el sistema a resolver es:+ + = + =`+ =)2 2 53 2 5,12 2,9x y zx yx za) LlamandoAalamatrizdecoefcientes,Balamatrizde trminos independientes y X a la matriz de las incgnitas, el sistema en forma matricial es:| | | | | | ||| = = ||| |||\ . \ . \ .2 1 2 53 2 0 5,11 0 2 2,9xy A X Bzde donde:| | |=| |\ .2 1 23 2 01 0 2Ab) Se calcula 1A con la frmula: =1[adj( )]tAAAEntonces, como:= = + = 2 1 23 2 0 8 (4 6) 21 0 2A24 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03nante es el producto de los elementos en su diagonal principal, es decir:= + = + 1 3 20 5 7 ( 5)( 1)0 0 1A p p ppentonces |A| = 0 siempre que p = 1 o p = 5 Por lo tanto, si p = 1 o p = 5 entonces rg (A) = 2, mientras que para otro valor de p diferente tenemos rg (A) = 3.Estudiemos el rango de A en estos casos. Si p = 1 tenemos:| | |=| |\ .1 3 2 8 0 6 7 50 0 0 0Adonde su rango es 2, ya que tiene dos flas distintas de cero yenellasencontramosunmenordeorden2nonulo;por ejemplo, el anterior utilizado para el rango de A. Si p = 5 tenemos:| | |=| |\ .1 3 2 8 0 0 7 50 0 6 0Adonde, utilizando el menor de orden 2 usado para el estudio del rango de A, podemos decir que rg (A) 2.Orlando el anterior menor con la tercera fla y la cuarta co-lumna, y desarrollando por la primera columna, tenemos:| |= =1 2 80 7 5 1 (0) ( 30) 300 6 0por lo que hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo en A, donde no existe ningn menor de orden mayor. Entonces rg (A) = 3. Si p 1 y p 5 entonces rg (A) = rg (A) = 3, ya que rg(A) rg (A) siempre y en este caso rg (A) 3 al tener esta matriz 3 flas.Como conclusin: Si= 1 p tenemos= = = = rg( ) 2 rg( ) 2 rg A A< 3 (n.o incgnitas), y el sistema es compatible indeterminado. Si= 5 p tenemos= < = rg( ) 2 3 rg( ) A A , por lo que el siste-ma es incompatible. Si 1 py 5 p entonces= = rg( ) 3 rg A(A) = n.o incg-nitas, y el sistema es compatible determinado.4Discutir y resolver el siguiente sistema segn los valores del parmetro k: + = =+ =2 3 03 05 2 0x y zx ky zx y zComo conclusin: rg (A) = 2 = rg (A) por lo que el sistema es compatible indeterminado al ser el nmero de incgnitas 3.Para resolverlo, se elimina la ecuacin tercera, al no ser utiliza-da para formar el menor de mayor orden no nulo. As, pasando la incgnita z a la derecha de la igualdad, al ser una incgnita libre(esdecir,noserunaincgnitaprincipal),elsistemaa resolver es: = `+ = +)2 32 3 1x y zx y zAplicando la regla de Cramer tenemos: + = = =3 11 3 8 2 42 1 8 42 3zz z zx + + += = =2 32 1 8 4 22 1 8 22 3zz z zyLas soluciones del sistema son: += = =4 2, ,4 2k kx y z k , k R3Discute, en funcin del parmetro p, el sistema de ecuacio-nes lineales de matriz ampliada: | | |+ | |\ .1 3 2 80 5 7 50 0 1 0ppSilamatrizampliadaasociadaaunsistemadeecuacionesli-neales es:| | |= + | |\ .1 3 2 80 5 7 50 0 1 0 ppAla matriz de coefcientes ser:1 3 20 5 70 0 1ppA | | |= + | |\ .Para discutir el sistema estudiemos los rangos de A y de A.Para el rango de A, nos damos cuenta de que el menor formado por la primera y segunda flas y la primera y tercera columnas, que no contiene el parmetro p, es: = 1 27 00 7, por lo que rg (A) 2. Ahora, veamos cuando el rango de esta matriz es 3 calculando su determinante. Como A es una matriz triangular, su determi-25 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCHEn defnitiva, las soluciones del sistema son:= = =19, ,7 7t tx y t z , t R.j Actividades propuestas1Calcula el valor de los siguientes determinantes:a) 1 53 6b) 0 34 1c) 2 44 5d) 2 00 4e) 5 3 01 1 21 4 1f) 2 5 16 8 38 3 4g)3 0 00 2 00 0 7Calculemos los determinantes propuestos:a) = = 1 56 15 213 6b) = + =0 30 12 124 1c) = = 2 410 16 64 5d)=2 080 4e) = + = = 5 3 01 1 2 5( 1 8) ( 3)(1 2) 0 45 3 481 4 1f) Mediante la regla de Sarrus:= + + =2 5 16 8 3 (64 120 18) (64 120 18) 08 3 4Otra forma de calcularlo es observar que la primera columna es el doble de la tercera (C1 = 2C3), por lo que el determi-nante es 0.g) Mediante la regla de Sarrus: = 3 0 00 2 0 420 0 7Como es una matriz diagonal, su determinante es el produc-to de los elementos de la diagonal principal.2Sabiendo que= 5 0 3 11 1 1a b c, y teniendo en cuenta las pro-piedadesdelosdeterminantes,calculaelvalordelossi-guientes determinantes de orden 3:Elsistemaeshomogneoyporlotantocompatibleindepen-dientemente del valor de k. Esto es as porque siendo A su ma-triz de coefcientes y A su matriz ampliada, en estos sistemas siempre ocurre que rg (A) = rg (A).Veamos cundo es compatible determinado y cundo compatible indeterminado, estudiando el rango de A.Su matriz de coefcientes es: | | |= | |\ .2 3 11 35 2 1A kdonde nos damos cuenta de que el menor formado por la primera y segunda flas y la primera y tercera columnas, que no contieneel parmetro k, es:= 2 17 01 3, por lo que rg (A) 2.Ahora, veamos cundo el rango de esta matriz es 3 calculando su determinante. Mediante la regla de Sarrus tenemos:= = + + + == + = +2 3 11 3 (2 45 2) ( 5 3 12)5 2 17 56 7( 8)A k k kk kentonces |A| = 0 siempre que k = 8.Por lo tanto, ya que el nmero de incgnitas es 3, tenemos que: Si 8 kentonces rg (A) = 3 = (A), por lo que el sistema es compatible determinado. Si= 8 kentonces rg (A) = 2 = rg (A), por lo que el sistema es compatible indeterminado.Para resolver, tenemos: Si 8 k , el sistema es compatible determinado, la solucin es la trivial x = y = z = 0. Si= 8 k , el sistema es compatible indeterminado, nos que-damos con las dos primeras ecuaciones (ya que estas fueron las que nos ayudaron a construir el menor de orden 2 no nulo en A) donde la variable libre es y (al no utilizarse la segunda columna en el citado menor de orden 2 no nulo). Pasando la variable libre a la derecha de la igualdad en las primeras dos ecuaciones, el sistema a resolver es:+ = ` = )2 33 8x z yx z ydonde por la regla de Cramer: = = = = = =3 18 32 1 7 71 32 31 8 19 192 1 7 71 3yy y yxyy y yz = = = = = =3 18 32 1 7 71 32 31 8 19 192 1 7 71 3yy y yxyy y yz0326 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03 = + + + = 5 14 1 1 (5 3 4 ) ( 3 4 5) 7 73 1 1kk k kPor lo que el determinante es 0 si k = 1.b) Calculamoseldeterminantedesarrollandoporlaprimera fla: =+= + == + = +1 3 01 0 11 6 2( 1)[0 ( 1)( 6)] 3[2( 1) ( 1)]( 1)( 6) 3( 1) ( 1)( 3)k kkk k k kk k k k kPor lo que el determinante es 0 si k = 1 o k = 3.5Halla el rango de las siguientes matrices:a) | | | | | \ .1 2 32 4 03 6 9b) | | | | |\ .1 0 4 13 2 2 51 2 6 0a)Dada | | | | | \ .1 2 32 4 03 6 9 entonces: Surangoesmayoroiguala1,yaquenoeslamatriz nula. Eligiendo la primera y segunda fla (F1 y F2) y la segunda y tercera columna (C2 y C3) podemos construir el menor de orden 2: 2 304 0, por lo que el rango de la matriz esal menos 2. Veamos si el rango llega a ser 3 calculando el nico me-nor de orden 3, es decir, el determinante de la matriz.Ya que C2 = 2C1 entonces = 1 2 32 4 0 03 6 9 por lo queel rango no es 3.En defnitiva, el rango de la matriz es 2.b) Dada | | | | |\ .1 0 4 13 2 2 51 2 6 0 su rango no es superior a 3 (el me-nor nmero de flas y columnas).Entonces: Su rango es mayor o igual a 1, ya que no es la matriz nula. Eligiendo F1 y F2, y C1 y C2 podemos construir el menor deorden 2: 1 003 2, por lo que el rango de la matriz esal menos 2.a) 3 3 35 0 31 1 1a b cb) 5 5 51 0 3 / 51 1 1a b ca) Aplicando la propiedad 5 de los determinantes en la primera fla (F1):= =3 3 35 0 3 3 5 0 3 31 1 1 1 1 1a b c a b cb) Aplicando la propiedad 5 de los determinantes, primero en F1 y luego en F2, tenemos:= = =5 5 51 0 3 / 5 5 1 0 3 / 5 5(1 / 5) 5 0 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c3Silamatriz | | |=| |\ .a b cA d e fg h itienedeterminantek,calculacules son los valores de los siguientes determinantesa) 222d e fa b cg h ib) +++222a b b cd e e fg h h ia) Aplicando la propiedad 5 de los determinantes en la segunda columna (C2), y despus la propiedad 3 entre la primera y la segunda fla:= = = 22 2 2( 1) 22d e f d e f a b ca b c a b c d e f kg h i g h i g h ib) Aplicando la propiedad 5 de los determinantes en C3, luego la propiedad 7 en C1 y, por ltimo, la propiedad 4: + ++ = + =+ + ( (= + = + = ( ( 22 222 2[ 0] 2a b b c a b b cd e e f d e e fg h h i g h h ia b c b b cd e f e e f k kg h i h h i4Halla el valor de k que anula los siguientes determinantes de orden 3:a) 5 14 1 13 1 1kb) +1 3 01 0 11 6 2k kka) Por la regla de Sarrus:27 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03 1 1 42 2 43 3 44 11 1 23 3 22 12 1 3 1 : 2 0 1 1 75 1 0 2 : 5 0 1 10 134 2 6 1 : 4 0 2 14 131 0 2 3 1 0 2 31 1 7 1 1 71( 1) 1 10 13 1 10 132 14 13 2 14 13: 0 11 201 10 13: 2 0 34 3911 20(1)( 1) (429 680) 25134 39F F FF F FF F FF F FF F F++ = + = = + = = = = 7Estudiaelrangodelassiguientesmatricessegnelvalor del parmetro a: | |=|\ .19aAa | | |= | |+\ .1 11 11 1 0aB aa | | |=| |\ .1 11 11 2aC aa | | |= | |+\ .1 1 13 11 2 2D aaDada | |=|\ .19aAa,surangoesalmenos1paracualquiervalor de a, ya que no es la matriz nula.Veamoscundosurangoes2(elmximoposible).Sabemos que rg (A) = 2 si y slo si |A| 0. Calculemos el determinante de A.= 2199aaaPor lo que: Si a = 3 o a = 3 entonces rg (A) = 1. Si a 3 y a 3 entonces rg (A) = 2.Dada | | |= | |+\ .1 11 11 1 0aB aa, su rango es al menos 1 para cual-quier valor de a, ya que no es la matriz nula.Tomando las flas F2 y F3 y las columnas C2 y C3 (donde no apareceel parmetro), tenemos que: 1 101 0 por lo que el rango deB es mayor o igual que 2.Veamos cundo es 3 (el mximo posible). Sabemos que rg (B) = 3 si y solo si |B| 0. Entonces desarrollando por la tercera fla: = + + + = + +1 11 1 ( 1)[ 1] ( 1)[1 ] ( 1)( 2)1 1 0aa a a a a aaLuego: Si a = 1 o a = 2 entonces rg (B) = 2. Si a 1 y a 2 entonces rg (B) = 3. Veamos si el rango llega a ser 3 orlando el menor anterior con la tercera fla y la tercera columna o la cuarta colum-na, respectivamente. = + + =1 0 43 2 2 ( 12 24) (8 4) 01 2 6porloqueestemenornovaleparajustifcarqueelrangodelamatriz es 3.Por la regla de Sarrus = = 1 0 13 2 5 (6) (2 10) 14 01 2 0. En defnitiva, el rango de la matriz es 3.6Calcula, mediante el mtodo del pivote, el valor de los si-guientes determinantes de orden 4:a) 1 1 2 03 2 4 15 0 1 31 1 7 2b) 2 1 3 15 1 0 24 2 6 11 0 2 3Utilizando el mtodo del pivote, tenemos que:a) Tomando como pivote, en todos los casos, el elemento situa-do en la primera fla y la primera columna: 2 2 13 3 14 4 11 12 2 11 11 1 2 0 1 1 2 0: 3 3 2 4 1 0 1 2 1: 5 5 0 1 3 0 5 11 3: 1 1 7 2 0 0 5 21 2 1 1 2 11( 1) 5 11 3 5 11 30 5 2 0 5 21 2 1: 5 0 1 20 5 21 2 1 21( 1) 2 10 125 2 5 2F F FF F FF F FF F F++ =+ = = + == = = = b) Primero tomamos como pivote el elemento situado en la pri- mera fla y primera columna, despus el situado en la segun-da fla y primera columna: ++ = + = = = + = = = = 1 1 42 2 43 3 44 11 1 23 3 22 12 1 3 1 : 2 0 1 1 75 1 0 2 : 5 0 1 10 134 2 6 1 : 4 0 2 14 131 0 2 3 1 0 2 31 1 7 1 1 71( 1) 1 10 13 1 10 132 14 13 2 14 13: 0 11 201 10 13: 2 0 34 3911 20(1)( 1) (429 680) 25134 39F F FF F FF F FF F FF F F 1 1 42 2 43 3 44 11 1 23 3 22 12 1 3 1 : 2 0 1 1 75 1 0 2 : 5 0 1 10 134 2 6 1 : 4 0 2 14 131 0 2 3 1 0 2 31 1 7 1 1 71( 1) 1 10 13 1 10 132 14 13 2 14 13: 0 11 201 10 13: 2 0 34 3911 20(1)( 1) (429 680) 25134 39F F FF F FF F FF F FF F F++ = + = = + = = = = 28 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03Por esto, para | | |= | |\ .2 1 03 4 11 5 1A , tenemos que:= = + + = =2 1 03 4 1 (8 1 0) (0 3 10) 7 7 01 5 1APor lo tanto no existe la inversa de A.Para | | |= | |\ .1 1 23 4 01 6 1B , tenemos que:= = + + + = =1 1 23 4 0 (4 0 36) (8 3 0) 40 5 351 6 1By | | | | ||= = || || \ . \ .4 3 14 4 13 8[adj( )] 13 1 7 3 1 68 6 7 14 7 7ttBde donde: | | |= = | | \ .14 13 8[adj( )] 13 1 63514 7 7tBBB9Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa: | | | | |\ .1 3 31 2 32 5 aLamatriz | | | | |\ .1 3 31 2 32 5 anotieneinversasisudeterminantees cero.Entonces como:= + + + + = 1 3 31 2 3 (2 18 15) (12 3 15) 62 5a a aala matriz no tiene inversa si a = 6.10 Dada la matriz | | |=| |\ .1 2 10 3 31 2Am, se pide:a) Para qu valor o valores de m no existe la matriz inversa de A?b)Determinar la matriz inversa de A cuando m = 2a) A no tiene inversa si su determinante es cero. ComoDada | | |=| |\ .1 11 11 2aC aa, su rango es al menos 1 para cualquier a,ya que no es nula.Tomando las flas F1 y F3 y las columnas C1 y C2 (donde no apareceel parmetro) tenemos que:1 101 2 por lo que el rango de Ces mayor o igual que 2.Veamos cundo es 3 (el mximo posible). Sabemos querg (C) = 3 si y solo si |C| 0. Entonces, por la regla de Sarrus:= + + + + = 2 2 21 11 1 ( 1 2 ) ( 2) 11 2aa a a a a aaEn defnitiva: Si a = 1 o a = 1 entonces rg (C) = 2. Si a 1 y a 1 entonces rg (C) = 3.Dada | | |= | |+\ .1 1 13 11 2 2D aa,surangoesalmenos1paracual-quier valor de a, ya que no es la matriz nula.Tomando las flas F1 y F3 y las columnas C1 y C2 (donde no aparece el parmetro) tenemos que:1 101 2 por lo que el rango de Des mayor o igual que 2.Veamos cundo es 3 (el mximo posible). Sabemos que rg (D) = 3 si y slo si |D| 0. Entonces, por la regla de Sarrus: = + + + + =+= + + = + + = + +2 21 1 13 1 [3( 2) 1 2 ] [3 ( 2) 2]1 2 2( 7) [ 2 5] 3 2 ( 1)( 2)a a a a aaa a a a a a aEn defnitiva: Si a = 1 o a = 2 entonces rg (D) = 2. Si a 1 y a 2 entonces rg (D) = 3.8Halla las inversas de las siguientes matrices mediante deter-minantes: | | |= | |\ .2 1 03 4 11 5 1A | | |= | |\ .1 1 23 4 01 6 1BSi M es una matriz cuadrada con |M| 0 entonces:=1[adj( )]tMMM29 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03Entonces: | | | | ||= = = || ||\ . \ . | | | | ||= = || ||\ . \ .13 1 1 2 2 01( ) 1 2 2 2 4 354 3 2 1 2 35 0 0 1 0 010 10 0 0 2 050 0 15 0 0 3X A I B C 12 a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuacin: = A X A I A X b) Halla la matriz X sabiendo que: | | |=| |\ .1 1 00 1 21 0 1A| | |=| |\ .1 0 00 1 00 0 1Ia) De la ecuacin A X A = I A X, tenemos:A X + A X = I + A (2A) X = I + ADe donde: X = (2A)1 (I + A)Tambin, operando en la expresin anterior se obtiene:X = (2A)1 + 2Ib) Conociendo la matriz A, se tiene:| | | | ||= = || ||\ . \ .1 1 0 2 2 02 2 0 1 2 0 2 41 0 1 2 0 2Ade donde:= = + =2 2 02 0 2 4 (8 16) (0) 242 0 2Ay tambin: | | | | ||= = || || \ . \ .4 8 4 4 4 8[adj(2 )] 4 4 4 8 4 88 8 4 4 4 4ttAde manera que: | | |= = | |\ .14 4 8[adj(2 )] 1(2 ) 8 4 82 244 4 4tAAATambin es cierto que: = =1 1 1 11(2 ) 22A A AEntonces:= + = ( | | | | | | (|||= + = (||| ||| (\ . \ . \ . | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .1(2 ) ( )4 4 8 1 0 0 1 1 018 4 8 0 1 0 0 1 2244 4 4 0 0 1 1 0 14 4 8 2 1 0 16 4 81 18 4 8 0 2 2 8 16 824 244 4 4 1 0 2 4 4 16X A I A= = + + = = 1 2 10 3 3 ( 6 6 ) (3 3) 9 9 9( 1)1 2A m m m mmla matriz no tiene inversa si m = 1.b) Para= 2 mnos piden la inversa de la matriz A. Sustituyen-do m por 2 en la matriz se tiene: | | |=| |\ .1 2 10 3 32 1 2A , y utili- zando el apartado a) sabemos que |A| = 9. Adems: | | | | ||= = || || \ . \ .9 6 6 9 3 9[adj( )] 3 0 3 6 0 39 3 3 6 3 3ttAy entonces: | | |= = | |\ .19 3 9[adj(A)] 16 0 396 3 3tAA 11 a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuacin: = + A X X B X C b) Halla la matriz X sabiendo que: | | |=| |\ .1 1 01 0 11 1 1A | | |= | |\ .2 0 01 1 20 0 1B | | |= | |\ .2 2 02 4 31 2 3Ca) A X X = B X + C A X X B X = C (A I B) X = Cde donde X = (A I B)1 Cb) A partir del apartado anterior:X = (A I B)1 C, donde:| | | | | | ||| = = ||| |||\ . \ . \ . | | |= | |\ .1 1 0 1 0 0 2 0 01 0 1 0 1 0 1 1 21 1 1 0 0 1 0 0 12 1 02 2 11 1 1A I B = = + = 2 1 0( ) 2 2 1 ( 4 1) ( 2 2) 51 1 1A I B | | | | || = = || || \ . \ .3 1 4 3 1 1[adj( )] 1 2 3 1 2 21 2 2 4 3 2ttA I B | | | = = | |\ .13 1 1[adj( )] 1( ) 1 2 2( ) 54 3 2tA I BA I BA I B30 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03 minante de la matriz de coefcientes es: = 3 411 01 5 por lo que el sistema s es de Cramer.Su solucin se obtiene mediante la regla de Cramer: = = = = = = 1 4 3 10 5 1 0 5 5 1 1;3 4 3 4 11 11 11 111 5 1 5x yb) Lamatrizdecoefcientesdelsistemaes | | |\ .1 23 6donde 1 203 6= por lo que el sistema no es de Cramer.c)La matriz ampliada del sistema es | | | | |\ .1 1 1 131 6 1 673 1 2 14El determinante de la matriz de coefcientes es: = + + = = 1 1 11 6 1 (12 3 1) (18 2 1) 8 21 13 03 1 2por lo que el sistema s es de Cramer. Su solucin se obtiene mediante la regla de Cramer: = = == = == = = 13 1 167 6 114 1 2 156121 1 1 131 6 13 1 21 13 11 67 13 14 2 10481 1 1 131 6 13 1 21 1 131 6 673 1 14 9171 1 1 131 6 13 1 2xyz = = == = == = = 13 1 167 6 114 1 2 156121 1 1 131 6 13 1 21 13 11 67 13 14 2 10481 1 1 131 6 13 1 21 1 131 6 673 1 14 9171 1 1 131 6 13 1 2xyz13 1 167 6 114 1 2 156121 1 1 131 6 13 1 21 13 11 67 13 14 2 10481 1 1 131 6 13 1 21 1 131 6 673 1 14 9171 1 1 131 6 13 1 2xyz = = == = == = = d)La matriz de coefcientes del sistema es | | | | |\ .3 1 21 6 1 .5 11 0 Apli-cando la regla de Sarrus:= + = ( | | | | | | (|||= + = (||| ||| (\ . \ . \ . | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .1(2 ) ( )4 4 8 1 0 0 1 1 018 4 8 0 1 0 0 1 2244 4 4 0 0 1 1 0 14 4 8 2 1 0 16 4 81 18 4 8 0 2 2 8 16 824 244 4 4 1 0 2 4 4 16X A I A 13 Hallar la matriz X que cumple =1A X A B , siendo: | | |=| |\ .1 3 31 4 31 3 4A| | |=| |\ .0 1 00 0 11 0 0BDe A1 X A = B tenemos que: X = A B A1Calculamos A-11 3 31 4 3 (16 9 9) (12 12 9) 11 3 4A= = + + + + = | | | | ||= = || || \ . \ .7 1 1 7 3 3[adj( )] 3 1 0 1 1 03 0 1 1 0 1ttALuego: | | |= = | |\ .17 3 3[adj(A)]1 1 01 0 1tAAAhora calculamos X: | | | | | | |||= = = ||| |||\ . \ . \ . | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .11 3 3 0 1 0 7 3 31 4 3 0 0 1 1 1 01 3 4 1 0 0 1 0 11 3 3 1 1 0 17 8 61 4 3 1 0 1 16 8 51 3 4 7 3 3 24 11 9X AB A14 Estudiar si los siguientes sistemas lineales son de Cramer y, en caso afrmativo, resolverlos por la regla de Cramera) = ` =)3 4 15 0x yx yb) = ` + =)2 33 6 1x yx yc) + + = + =` + =)136 673 2 14x y zx y zx y zd) + = + =` =)3 2 146 125 11 38x y zx y zx yUn sistema de ecuaciones lineales es de Cramer si tiene el mismo nmerodeecuacionesquedeincgnitasylamatrizdecoef-cientes es regular. Estas dos condiciones se resumen en que la matriz de los coef-cientes tenga determinante y este sea distinto de cero.a) La matriz ampliada del sistema es | | | |\ .3 4 11 5 0 donde el deter-31 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03Estudiemos primero el rango de A.Como:= = + + = =1 1 12 1 3 (3 24 10) (8 6 15) 17 17 08 5 3Ay su menor, formado por su primera y segunda flas con primeray segunda columnas 1 102 1, entonces rg (A) = 2. Calculamoselrangodelamatrizampliadautilizandoelnico posible menor, orlando a partir del anterior no nulo con la ter-cera fla y la cuarta columna:= = + =1 1 32 1 1 (19 8 30) (24 38 5) 19 19 08 5 19Entonces, rg (A) = 2 = rg (A) < 3 (nmero de incgnitas), por lo que el sistema es compatible indeterminado.Paracalcularsusolucin,desechamoslaterceraecuacin,ya que esta no se utilizaba para formar el menor de orden 2 no nulo que proporcionaba el rango de A. As, el sistema a resolver es:32 3 1x y zx y z + = `+ =)donde, de la primera ecuacin:y = x + z 3, y sustituyendo en la segunda ecuacin nos que-da:2x + (x + z 3) 3z = 1, por lo que: x = (2z + 4)/3y tambin podemos poner y en funcin de z de la forma:y = (5z 5)/3Enconclusin,tomandocomoparmetroz=k,lassoluciones del sistema son:= + = = (2 4) / 3, (5 5) / 3, , . x k y k z k k R17 Analizar mediante el teorema de Rouch y resolver, cuando sea posible, los siguientes sistemasa) + = + + =`+ =+ + =)2 323 2 54 3 1x y zx y zx zx y zb) + + = + =` + =)02 32 3 2 2 3x y z tx y z tx y z ta) La matriz de coefcientes y la matriz ampliada son, respecti-vamente:| | | | | | | |= =| | | | | |\ .\ .2 1 1 2 1 1 31 1 1 1 1 1 2;3 0 2 3 0 2 54 1 3 4 1 3 1 A A = + + + = =3 1 21 6 1 (0 5 22) (60 0 33) 27 27 05 11 0por lo que el sistema no es de Cramer.15 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utili-zando el mtodo de Cramer + = + =` =)2 652 11x y zx zx yVeamos si el sistema es de Cramer.La matriz de coefcientes del sistema es | | |=| |\ .1 1 21 0 12 1 0Adonde, por la regla de Sarrus:= = + + + =1 1 21 0 1 (0 2 2) (0 0 1) 52 1 0Apor lo que el sistema s es de Cramer, ya que |A| 0.Entonces, por la regla de Cramer: = = = = = = = = =6 1 25 0 111 1 0 15351 6 21 5 12 11 0 25551 1 61 0 52 1 11 1025xAyAzA = = = = = = = = =6 1 25 0 111 1 0 15351 6 21 5 12 11 0 25551 1 61 0 52 1 11 1025xAyAzA = = = = = = = = =6 1 25 0 111 1 0 15351 6 21 5 12 11 0 25551 1 61 0 52 1 11 1025xAyAzALa solucin del sistema es x = 3; y = 5; z = 2.16 Estudiar,utilizandoelteoremadeRouch,yresolversies posible el siguiente sistema lineal: + = + =` + =)32 3 18 5 3 19x y zx y zx y zLamatrizdecoefcientesymatrizampliadadelsistemason, respectivamente:| | | | | |= = | | || \ .\ .1 1 1 1 1 1 32 1 3 ; 2 1 3 18 5 3 8 5 3 19A A32 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03 Si orlamos con la tercera fla y la cuarta columna: = = 1 1 11 2 1 ( 4 2 3) ( 4 2 3) 02 3 2Por lo tanto rg (A) = 2, ya que todos los menores de orden 3 son nulos.Por otro lado, veamos el rango de la ampliada orlando el me-nor no nulo anterior con el nico menor de orden 3 que nos queda; el construido con la tercera fla y la quinta columna en esta matriz. Entonces: = + + = =1 1 01 2 3 (6 6) (3 9) 12 12 02 3 3Por lo que rg (A) = 2.Como conclusin, rg (A) = 2 = rg (A) < 3 (nmero de incgni-tas) por lo que el sistema es compatible indeterminado.Vamos a resolverlo. Ya que el mayor de los menores no nulo es el formado por las dos primeras flas, desechamos la ter-cera de las ecuaciones, quedando el sistema de la forma: + + = ` + =)02 3x y z tx y z tdonde aparecern dos parmetros en las soluciones (cuatro incgnitas menos dos ecuaciones).Sumando las dos ecuaciones tenemos que: y = 3. Sustitu-yendo este valor en las ecuaciones queda: x z + t = 3 y x + z t = 3, que son la misma ecuacin. Despejando x en funcin de z y t, en cualquiera de ellas, tenemos:x = z + t 3Entonces, las soluciones del sistema son:= + = = = 3, 3, , x u v y z ut v ,u, v R.18 Discutir segn los valores de m el siguiente sistema lineal: = + + =` =)32 13 2mx y zx y zx y zUtilizaremos para ello el rango de la matriz de coefcientes y la matriz ampliada, que son respectivamente:1 1 1 1 31 2 1 ; 1 2 1 11 3 1 1 3 1 2m mA A| | | | ||= =|| || \ . \ .Estudiaremos primero el rango de A. Su menor (donde no apa-rece el parmetro) formado por la primera y segunda flas y lasegunda y tercera columnas: 1 102 1 , entonces rg (A) 2.Adems, como:Para el rango de A, nos damos cuenta de que el menor (eli-giendolaprimeraysegundasflasylaprimeraysegundacolumnas) = 2 13 01 1,porloquerg(A)2.Ahora,orlando a partir de este menor tenemos: Si orlamos con la tercera fla y la tercera columna:= =2 1 11 1 1 (4 3) (3 2) 03 0 2 Si orlamos con la cuarta fla y la tercera columna:= + + = =2 1 11 1 1 (6 4 1) (4 3 2) 3 3 04 1 3Por lo tanto rg (A) = 2, ya que todos los menores de orden 3 son nulos.Porotrolado,calculamoselrangodelaampliadaorlando apartirdelmenornonuloanterioryutilizandolacuarta columna, ya que con la tercera hemos comprobado que los menores son nulos. Entonces: Si orlamos con la tercera fla tenemos:= = =2 1 31 1 2 (10 6) (9 5) 4 4 03 0 5 Si orlamos con la cuarta fla tenemos:= + + = = 2 1 31 1 2 (2 8 3) (12 1 4) 3 15 18 04 1 1( ) ( )= + + = = 2 1 31 1 2 2 8 3 12 1 4 3 15 18 04 1 1Por lo que, rg (A) = 3.Luego, rg (A) rg (A) por lo que el sistema es incompatible.b) La matriz de coefcientes y la matriz ampliada son, respecti-vamente:| | | | ||= = || || \ . \ .1 1 1 1 1 1 1 1 01 2 1 1 ; 1 2 1 1 32 3 2 2 2 3 2 2 3A APara el rango de A, nos damos cuenta de que el menor (eli-giendolaprimeraysegundaflasylaprimeraysegundacolumnas) = 1 11 01 2, por lo que rg (A) 2. Ahora,orlando a partir de este menor tenemos: Si orlamos con la tercera fla y la tercera columna: = + + + + =1 1 11 2 1 (4 2 3) (4 2 3) 02 3 233 SISTEMAS DE ECUACIONES. TEOREMA DE ROUCH03Por lo tanto: Si a = 1 entonces rg (A) = 2. Si a 1 entonces rg (A) = 3.Estudiemos ahora el rango de la matriz ampliada en estos casos. Si a = 1 tenemos | | |=| |\ .1 1 1 12 1 1 11 1 1 1 Adonde, orlando a partir del menor de orden 2 no nulo anterior, todos los menores de orden 3 que se pueden construir tienen al menos dos colum-nas iguales y sern nulos. Por ello, rg (A) = 2. Si a 1 entonces rg (A) = 3 y como el rango de A es como mximo 3 y sabemos que rg (A) rg (A) siempre, entonces podemos concluir que rg (A) = 3.Por lo tanto: Si a = 1 entonces rg (A) = 2 Si a 1 entonces rg (A) = 3En conclusin: Si a = 1 entonces rg (A) = 2 = rg (A) < 3 (nmero de incg-nitas), por lo que el sistema es compatible indeterminado. Si a 1 entonces rg (A) = 3 = rg (A) = 3 (nmero de incg-nitas), por lo que el sistema es compatible determinado.20 a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales se-gn los valores del parmetro k + = + =` + =)2 13 0x ky z kkx y kzx y zb) Resolverlo,siesposible,utilizandolaregladeCramer para el valor k = 1a) Discutmoslo utilizando el rango de la matriz de coefcientes y la matriz ampliada, que son respectivamente:| | | | | |= = | | || \ .\ .1 1 1 12 1 ; 2 1 13 1 1 3 1 1 0k k kk k k A A kEn A, tomando la primera y tercera flas y la primera y tercera columnas, encontramos un menor que no incluya al parme- tro que es: = + = 1 11 3 4 03 1, por lo que rg (A) 2. Adems, por la regla de Sarrus, tenemos:= = + + + = + 21 12 1 ( 1 3 2 ) (3 2 ) 3 43 1 1kA k k k k k k k k= = + + + = + 21 12 1 ( 1 3 2 ) (3 2 ) 3 43 1 1kA k k k k k k k kPor lo que: |A| = 0 si k2 + 3k 4 = 0, que se cumple cuando k = 1 y cuando k = 4.Por lo tanto: = = + + = + 1 11 2 1 ( 2 1 3) ( 2 1 3 ) 31 3 1mA m m mocurre que: Si m = 3 entonces |A| = 0, por lo que rg (A) = 2 Si m 3 entonces |A| 0, por lo que rg (A) = 3Estudiemos ahora el rango de la matriz ampliada. El rango de A es como mximo 3, al tener slo tres flas, y adems sabemos que rg (A) rg (A). Por otro lado, podemos construir un menor de orden 3 que no contenga al parmetro (no eligiendo la pri-mera fla), que es: = + + = + = 1 1 32 1 1 ( 2 3 6) ( 9 4 1) 5 12 73 1 2de manera que rg (A) = 3 para cualquier valor de m.En conclusin: Sim=3entoncesrg(A)=2 2 2. Tomando a bEc d| |=|\ ., tenemos: | | | | | | = = ||| \ . \ . \ . + + | | | | = || \ . \ .2 1 1 01 1 0 12 2 1 00 1a bD E Ic da c b da c b d7Dada la matriz | |=|\ .2 12 3A , calcular dos nmeros reales x ey tales que se verifque+ + = 0 A xA yI , siendo I la matriz unidad de orden 2 y 0 la matriz nula de orden 2| | | | | |+ + = + + = |||\ . \ . \ .| | | | | |= + + = |||\ . \ . \ .+ + + | |=|+ + +\ .2 1 2 1 1 02 3 2 3 0 12 1 2 02 3 2 3 02 2 12 2 3 3A x A y I x yx x yx x yx y xx x yPor lo que nos plantean la igualdad de matrices:2 2 1 0 02 2 3 3 0 0x y xx x y+ + + | | | |= ||+ + +\ . \ .Como nos piden que A + xA + yI = 0, deber ser:2 2 01 02 2 03 3 0x yxxx y+ + = + =`+ =+ + =)De la segunda (y tercera) ecuacin, tenemos1 x = . Sustitu-yendo este valor en la primera tenemos0 y = , que se confrma en la cuarta.Por lo tanto los valores pedidos son1 x = e0. y =(La comprobacin es muy rpida, ya que( 1) 0 0 A A I A A + + = = ).8Sabiendo que: | | =|\ .5 12 724 2 7A B | |+ =|\ .11 25 03 220 10 35A Ba) Cules son las dimensiones de A y B? b) Calcula las matrices A y BLlamemos | |=|\ .5 12 74 2 7Cy | |=|\ .11 25 020 10 35Dentonces nosplantean el sistema de ecuaciones matriciales:23 2A B CA B D = `+ =)a) Ya que las operaciones dadas son de sumas, restas y multipli-cacin por nmeros, las dimensiones de A y B coinciden con las de las defnidas C y D, y son de dimensin 2 3 > .b) En el sistema matricial, todas las operaciones son sumas, res-tas y multiplicacin por nmeros, por lo que las matrices se comportan como si fueran variables numricas. Entonces, por el mtodo de reduccin, si multiplicamos la primera ecuacin 47 LGEBRAB1 11 Sean las matrices: | |=|\ .1 22 3Ay | |=|\ .1 10 1B a) Halle el producto de A por B. b)Calcule la matriz inversa del producto de A por B.c) Halle el producto de la inversa de B por la inversa de A. Qu relacin existe entre esta matriz y la del apartado anterior? Justifque la respuestaa) | | | | | | = = |||\ . \ . \ .1 2 1 1 1 12 3 0 1 2 1ABb) Nos piden 1( ) AB , es decir 11 12 1| | |\ .. Por el mtodo Gauss-Jordan tenemos: | | | | || \ . \ .+ | | | | || \ . \ .12 2 2 11 1 22 2: 1 1 1 0 1 1 1 0: 2 1 0 1 : 2 0 1 2 1: 1 0 1 1 1 0 1 10 1 2 1 : 0 1 2 1FF F F FF F FF FPor lo tanto: | | =|\ .11 1( )2 1ABc)Nos piden: 1 1. B A Empecemos por 1B por el mtodo de Gauss-Jordan: + | | | | ||\ . \ .1 1 1 22: 1 1 1 0 : 1 0 1 1.: 0 1 0 1 0 1 0 1F F F FFPor lo tanto: 11 10 1B| |=|\ ..Ahoracalculamos 1AtambinporelmtododeGauss-Jordan: | | | | || \ . \ .+ | | | | || \ . \ .12 2 2 11 1 22 2: 1 2 1 0 1 2 1 0: 2 3 0 1 : 2 0 1 2 1: 2 1 0 3 2 1 0 3 20 1 2 1 : 0 1 2 1FF F F FF F FF FPor lo tanto: | |=|\ .13 22 1AEntonces: | | | | | | = = ||| \ . \ . \ .1 11 1 3 2 1 10 1 2 1 2 1B ANos preguntan cul es la relacin entre 1 1B A y 1( ) AB . Lo cierto es que, siempre que sean posibles los productos de matrices se cumple que:1 1 1( ) X Y Y X = En nuestro caso, tambin. Por lo que: | | = =|\ .1 1 11 1( )2 1B A AB | | | | | | = = ||| \ . \ . \ . + + | | | | = || \ . \ .2 1 1 01 1 0 12 2 1 00 1a bD E Ic da c b da c b dquedando el sistema:2 102 01a ca cb db d + = =` + = =)Sumando la primera y la segunda ecuacin, tenemos1 3 a = , y utilizando la segunda ecuacin de nuevo, tenemos1 3 c = . Ahora,sumandolaterceraylacuartaecuacin,tenemos 1 3 b = , y utilizando la tercera ecuacin tenemos2 3 d = . En conclusin: | |=|\ .1 3 1 31 3 2 3Ec) | | | | | | = = |||\ . \ . \ .2 1 1 11 0 1 1AC . 10 Halla el rango de las siguientes matrices mediante el mto-do de Gauss: | | |=| |\ .2 3 54 1 02 0 1A | | |= | | \ .1 4 3 22 1 0 33 12 9 6BUtilicemos el mtodo de Gauss:Para la matriz | | |=| |\ .2 3 54 1 02 0 1A : | | | | ||+ || || +\ . \ . | | | | | \ .12 2 2 13 3 3 13 3 2: 2 3 5 2 3 5: 4 1 0 : 2 0 7 10: 2 0 1 : 0 3 42 3 50 7 10: (3 7) 0 0 2 7FF F F FF F F FF F FEn conclusin rg( ) 3 rg A = , ya que la ltima matriz es escalonada con tres flas no nulas.Y para la matriz | | |= | | \ .1 4 3 22 1 0 33 12 9 6Btenemos: | | | | || + || || +\ . \ .12 2 2 13 3 3 1: 1 4 3 2 1 4 3 2: 2 1 0 3 : 2 0 7 6 7: 3 12 9 6 : 3 0 0 0 0FF F F FF F F FEn conclusin rg( ) 2 rg B = , ya que la ltima matriz es escalonada con dos flas no nulas.48 LGEBRAB1b) Como | | | | ||= = || ||\ . \ .1 1 0 2 2 02 2 0 1 2 0 2 41 0 1 2 0 2Aysabemosque =11(2 ) [adj(2 )]2tA AAentonces,desarro-llando por la primera fla tenemos:2 2 42 0 2 4 2(4) 2( 8) 242 0 2A= = =Y | | | | ||= = || || \ . \ .4 8 4 4 4 8[adj(2 )] 4 4 4 8 4 88 8 4 4 4 4ttAPor lo que: | | | | ||= = || || \ . \ .14 4 8 1 1 2(2 ) (1 24) 8 4 8 (1 6) 2 1 24 4 4 1 1 1AEntonces:= + =( | | | | | | (|||= + = (||| ||| (\ . \ . \ . | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .1(2 ) ( )1 1 2 1 0 0 1 1 0(1 6) 2 1 2 0 1 0 0 1 21 1 1 0 0 1 1 0 11 1 2 2 1 0 4 1 2(1 6) 2 1 2 0 2 2 (1 6) 2 4 21 1 1 1 0 2 1 1 4X A I AEn conclusin: | | |= | |\ .4 1 2(1 6) 2 4 21 1 4X14 Sean las matrices: | |=|\ .2 1 00 2 1A , | |=|\ .2 12 2B , | | |=| |\ .1 20 22 0C a) Calcule la matriz P que verifca =tB P A C b) Determine la dimensin de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A M Cc) Determine la dimensin de la matriz N para que tC Nsea una matriz cuadradaa) Delaecuacin tBP A C = ,despejamosP.Tenemos: 1( )t t tBP A C BP C A P B C A = = + = +1( )t t tBP A C BP C A P B C A = = + = +1( )t t tBP A C BP C A P B C A = = + = +Calculamos ahora B1 mediante la frmula 11[adj( )]tB BB= .Como: 12 Sea la matriz | | |=| |\ .0 0 11 0 00 1 0A a) Comprueba que A1 = At. b) Utilizando el resultado del apartado a), calcula1 998( )tA Aa) Calculamos 1 tA A= mediante la frmula:11[adj( )]tA AA=Entonces, desarrollando por la primera fla tenemos:0 0 11 0 0 10 1 0A= =Y se cumple, en este caso, queadj( ) A A = , por lo que:0 0 1 0 1 0[adj( )] 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0ttA| | | | ||= = || ||\ . \ .Entonces:10 1 00 0 11 0 0A| | |=| |\ .Por otro lado,0 0 1 0 1 01 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0ttA| | | | ||= = || ||\ . \ .Luego, s es cierto que 1 tA A= .b) Por la informacin del apartado a