solución numérica del flujo electroosmótico...

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A4 Termofluidos: Electrocinética

Solución numérica del flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos inmiscibles en un microcanal con potenciales zeta simétricos y asimétricos

Escandón Colin Juan Pablo*, Gómez López Juan Rolando, Hernández Roblero Clara Guadalupe

Instituto Politécnico Nacional,SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.

02250, México

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

La microfluídica estudia el comportamiento, control preciso y manipulación de fluidos en dispositivos construidos en una

escala geométricamente pequeña. Por lo tanto, y debido al requerimiento de los también pequeños volúmenes que van desde

micro- hasta femto-litros en estos dispositivos, el presente trabajo desarrolla un estudio del flujo electroosmótico en estado

transitorio para el análisis del transporte de dos fluidos inmiscibles newtonianos a través de un microcanal. Considerando

potenciales zeta simétricos y asimétricos en las paredes del conducto, las ecuaciones gobernantes de Poisson-Boltzmann y

cantidad de movimiento se resuelven de manera analítica y numérica, respectivamente. Los resultados exhiben

comportamientos interesantes sobre la evolución transitoria del flujo en relación con diferentes parámetros adimensionales

que rigen el fenómeno de transporte; de esta manera, se consigue la predicción de los perfiles de velocidad en formas

parabólicas, simétricas o asimétricas dependiendo de la magnitud y polaridad del potencial zeta. Con esta investigación,

se pretende extender el conocimiento del análisis numérico espacio-temporal de flujo de fluidos inmiscibles en micro-

dispositivos y que sirva para propuestas de diseño para el control preciso de inyección y transporte de muestras.

Palabras Clave: Flujo electroosmótico, estado transitorio, fluidos inmiscibles, potenciales zeta asimétricos.

A B S T R A C T

The microfluidics study the behavior, precise control and manipulation of fluids in devices built on a geometrically small

scale. Therefore, and due to the requirement of the also small volumes that go from micro- to femto-liters in these devices,

the present work develops a study of the electroosmotic flow in transient state for the transport analysis of two immiscible

Newtonian fluids through of a microchannel. Considering symmetrical and asymmetric zeta potentials at the channel walls,

the governing equations of Poisson-Boltzmann and momentum are solved in analytical and numerical form, respectively.

The results show interesting behaviors about the transitory evolution of the flow in relation to different dimensionless

parameters that govern the transportation phenomenon; in this way, the prediction of the velocity profiles in parabolic,

symmetric or asymmetric forms depending on the magnitude and polarity of the zeta potential is achieved. With this

research, it is intended to extend the knowledge of the spatio-temporal numerical analysis of the flow of immiscible fluids

in micro-devices and that serves for design proposals for the precise control of injection and transport of samples.

Keywords: Electroosmotic flow, transient state, immiscible fluids, asymmetric zeta potentials.

Nomenclatura

Ex campo eléctrico en la coordenada x, V m-1

e carga del electrón, C

F vector de fuerza de cuerpo N m-3

H altura del microcanal, m

ISSN 2448-5551 TF 21 Derechos Reservados © 2018, SOMIM


j posición espacial transversal de la malla

discretizada

kB constante de Boltzmann, J K-1

L longitud del microcanal, m

n posición temporal discretizada

n0 número de concentración iónica, m-3

p presión, N m-2

t tiempo, s

T dominio de la variable temporal

Tf temperatura, K

u velocidad del fluido, m s-1

uc velocidad característica, m s-1

v vector de velocidad, m s-1

x,y coordenadas cartesianas

Y dominio de la coordenada transversal

y1 posición de interfase, m

1y posición adimensional de la interfase

z valencia del electrolito

Símbolos griegos

constante dieléctrica, C V-1 m-1

razón de constantes dieléctricas

-1 longitud de Debye, m

parámetro electrocinético

µ viscosidad dinámica, N m-2 s

razón de viscosidad

densidad del fluido, kg m-3

e densidad de carga eléctrica, C m-3

razón de densidades

potencial eléctrico, V

potencial eléctrico adimensional

potencial zeta en las paredes, V potencial zeta adimensional en las paredes

Subíndices

i fluido, i=1,2

1. Introducción

Las tecnologías de fabricación en sistemas micro-

electromecánicos se han convertido en un importante tema

de investigación debido a las técnicas, métodos y efectos

empleados para controlar y manejar fluidos en micro-escala

[1]; es aquí en donde la atención a estos dispositivos está

motivada por una gran cantidad de aplicaciones novedosas,

particularmente en bioingeniería, electrónica y campos

electromecánicos [2]. En este sentido los micro y nano

sistemas han revolucionado los métodos de manipulación de

volúmenes de líquidos al consumir una pequeña cantidad de

muestras, así como reducir el tiempo y costo de ensayos [3].

Como consecuencia, y desde un punto de vista fluido-

mecánico, la reducción de escalas en estos sistemas

promueve la generación de fenómenos interfaciales para

reducir la importancia del efecto gravitacional y de la

presión [4].

Con respecto al transporte de fluidos en micro-escala, en

los últimos años parte de la comunidad científica ha centrado

su atención a mecanismos de transporte a través del

fenómeno electroosmótico, cuyo principio consiste en la

aplicación de un campo eléctrico que permite el movimiento

de fluidos con una alta concentración iónica dentro de una

doble capa eléctrica, la cual surge en una interacción de un

electrolito y una pared cargada eléctricamente [5]. Debido a

este fenómeno, es que los efectos electroosmóticos

presentan mayor eficiencia en la construcción de

dispositivos microfluídicos, ya que evitan la fabricación de

partes móviles para el bombeo de líquidos [6].

Por otro lado, el transporte de fluidos en sistemas

microfluídicos abarca tareas específicas que involucran el

movimiento de fluidos paralelos multifase relacionando

interfases líquido-líquido, gas-líquido, sólido-líquido y otras

[7]. Dichas tareas se encargan de realizar operaciones como

extracción de anfetaminas en orina [8], extracción de

solventes [9] y en general [10], conducción de suspensiones

en multicapa para la separación de células de sangre de

moléculas de urea [11], separación de eritrocitos y

leucocitos en sangre [12], detección de drogas [13], enfoque

de flujo para detección de nanopartículas [14], fabricación

de liposomas [15], micro-reactores [16, 17] y generación de

microcápsulas [18].

En esta dirección, se han llevado a cabo diversas

investigaciones acerca del flujo electroosmótico en estado

permanente tal como el desarrollado por Ngoma et al. [19],

quienes realizaron un estudio sobre el bombeo por arrastre

viscoso de dos fluidos inmiscibles en un microcanal

considerando a uno de estos fluidos como eléctricamente

conductor; en sus resultados, se encontró que el flujo

volumétrico disminuye cuando aumenta la relación de

viscosidad dinámica para ambos fluidos. También se han

desarrollado investigaciones en el transporte de fluidos

inmiscibles que involucran distintas condiciones

interfaciales [20], cambios de geometría a conductos

rectangulares [21], manejo de fluidos no newtonianos [22] y

análisis para sistemas multi-capa [23].

Respecto a la implementación de una solución para la

determinación del campo de flujo de un fluido o una serie de

fluidos no siempre es analítica, Gao et al. [24] propusieron

una simulación numérica para el análisis del movimiento de

dos capas de fluidos bajo efectos electroosmóticos, donde

uno de los fluidos se considera con una alta conductividad

eléctrica en comparación con el otro. Las simulaciones se

realizan especificando la velocidad del flujo de entrada y las

fuerzas electroosmóticas se aplican para el control de la

posición de la interfase, lo cual tiene una aplicación

potencial para el cambio y la clasificación de células en

sistemas bioanalíticos.

Adicionalmente, se han realizado investigaciones que

involucran el análisis de la distribución de temperatura en

flujo de fluidos inmiscibles como el abordado por Shit et al.

[25], acerca del flujo electroosmótico y transferencia de

calor en un microcanal hidrofóbico. El estudio revela que el

aumento de la temperatura depende en gran medida del

parámetro de calentamiento Joule, así como de la disipación

viscosa.

Además, el estudio del transporte de fluidos inmiscibles

se ha extendido a la exploración de nuevas predicciones en

la solución del campo de flujo en sistemas microfluídicos

tomando en cuenta el régimen transitorio. Jian et al. [26],



investigaron la evolución transitoria de un flujo

electroosmótico de fluidos de Maxwell a lo largo de un canal

de placas planas paralelas, en donde obtuvieron una solución

semi-analítica y además encontraron que las condiciones

eléctricas en las interfases generan saltos de velocidad y que

se magnifican dependiendo de la polaridad de los

potenciales zeta en las paredes. Por su parte, Gao et al. [27],

desarrollaron un estudio en estado transitorio aplicado a un

conducto rectangular transportando fluidos inmiscibles, y

obtuvieron que es factible el método de bombeo

electroosmótico de dos líquidos bajo la influencia de un

potencial zeta relativamente pequeño en la interfase entre los

fluidos.

Por otra parte, la elaboración de investigaciones

relacionadas al transporte de fluidos inmiscibles en

microcanales rectangulares, se ha extendido a tres capas de

fluidos, como el realizado por Haiwang et al. [28], en donde

se estableció que el fluido intermedio no es eléctricamente

conductor y, por consiguiente, resulta en una disminución de

la velocidad en la región central del conducto. En este

contexto también se han realizado estudios sobre el manejo

de fluidos por medio de fuerzas combinadas

electroosmótico/presión como el elaborado por Su et al. [29]

para el estudio del transporte de dos fluidos newtonianos

dentro de un microcanal de placas planas paralelas. Aquí, los

autores utilizan el método de la transformada de Laplace

para resolver el modelo matemático planteado y encontrar la

velocidad del flujo. En sus resultados, se encuentra que la

velocidad de los fluidos se incrementa con el aumento de la

constante dieléctrica y que, debido a los efectos

interfaciales, se presentan importantes saltos en la velocidad

cuando se incrementa la densidad de cargas eléctricas en la

interfase líquido-líquido.

El análisis de flujos electroosmóticos en estado

transitorio se ha convertido en un tema importante por

brindar información sobre su tiempo de respuesta y

configuración bajo diversos efectos de campo [30, 31] y

geométricos [32-34]. Adicionalmente, el estudio de la

dinámica de flujos electroosmóticos es útil para mejorar la

eficiencia de separación electroforética, ya que es altamente

dependiente de la duración de la inyección de la muestra y a

su vez a la evolución del flujo [35].

Como se ha revisado anteriormente, la comunidad

científica ha estado mostrando interés por la realización de

investigaciones que permitan desarrollar nuevas plataformas

para diferentes sistemas analíticos en el área de

microfluídica. Por esta razón y para dar continuidad a los

trabajos antes mencionados, el presente trabajo contribuye

primeramente en la implementación de una metodología

numérica que se basada en un esquema de diferencias

finitas, la cual no había sido utilizada aun para la solución

de problemas relacionados al manejo de fluidos inmiscibles

en estado transitorio; en segundo lugar, en la predicción de

la evolución temporal de flujos electroosmóticos bajo

diversos efectos de campo eléctricos en interfases sólido-

líquido y líquido-líquido.

2. Formulación del problema

2.1. Descripción del modelo físico

El presente trabajo analiza el transporte en estado transitorio

de dos fluidos inmiscibles a través de un microcanal de

placas planas paralelas con altura H y largo L. El origen del

sistema de coordenadas Cartesianas (x, y) se localiza en la

parte inferior del conducto y la posición de la interfase

liquido-liquido entre los fluidos en una posición y1, como se

muestra en la Fig. 1. Los potenciales zeta en las paredes

superior e inferior son considerados asimétricos, lo que

implica que 1 2 . Se tiene una alta concentración de

cargas eléctricas que se sitúan en la longitud de Debye -1

dentro de la doble capa eléctrica. Cada capa de fluido está

formada por un electrolito, y son impulsadas por fuerzas

electroosmóticas generadas debido al movimiento de cargas

eléctricas adyacentes a las paredes cuando se aplica el

campo eléctrico externo Ex a lo largo del eje x.

2.2. Ecuaciones gobernantes

El campo de flujo de los fluidos inmiscibles está gobernado

por la ecuación de Poisson-Boltzmann, que describe la

distribución del potencial eléctrico dentro de la doble capa

eléctrica

, 0,22

sinh ,e i i i i i

i

i i B f i

n z e z e

k T

= − =

(1)

así como la ecuación de continuidad para fluidos

incompresibles

0,i =v (2)

y la ecuación de cantidad de movimiento

Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos

inmiscibles en un microcanal de placas planas paralelas.



2 ,i

i i i i

Dp

Dt = − + +

vv F (3)

donde es el potencial eléctrico, e es la densidad carga

eléctrica libre, es la constante dieléctrica, n0 es la densidad

de iones, z es la valencia del electrolito, kB es la constante de

Boltzmann y Tf es la temperatura absoluta del fluido.

Adicionalmente, v es el vector de velocidad, es la densidad

del fluido, t es el tiempo, p es la presión, es la viscosidad

dinámica y F es el vector de fuerza de cuerpo.

Adicionalmente, el subíndice i indica la capa de fluido

i=1,2.

2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes

El modelo matemático para resolver el flujo electroosmótico

de los fluidos inmiscibles puede ser simplificado tomando

en cuenta las siguientes hipótesis:

• No existe gradiente de presión externo aplicado.

• Las propiedades físicas de los fluidos son independientes

del campo eléctrico local, la concentración de iones y la

temperatura [21].

• Los potenciales zeta en las paredes son suficientemente

bajos (≤ 25 mV) para considerar la aproximación de

Debye-Hückel ( )sinh / / ,B Bze k T ze k T [6, 36].

• La interfase líquido-líquido se define estable [37] y plana

[19].

• El microcanal es lo suficientemente largo (𝐿 ≫ 𝐻). Por

lo tanto, en análisis se centra en una región donde se

desprecian los efectos de entrada y salida, asumiendo un

flujo unidireccional [6, 38].

En consecuencia, las ecuaciones gobernantes (1)-(3) de

Poisson-Boltzmann, continuidad y de cantidad de

movimiento pueden ser reescritas de la siguiente manera:

2 ,i

i i

d

dy

= (4)

y

2

2

2.i i

i i i i i x

u uE

dt dy

= − (5)

2.4. Condiciones iníciales y de frontera

Las condiciones de frontera para la ec. (4) son las

condiciones de potencial en las paredes inferior y superior

del canal como:

1 1 2 2( 0) , ( ) ,y y H t = = = =

(6)

y en la interfase líquido-líquido se tiene la continuidad de

potencial y de gradiente de potencial, como:

1 1

1 1

1 1 1 1( ) ( ), , .y y y y

d dy y y y t

dy dy

= =

= = = =

(7)

Respecto a la ecuación de cantidad de movimiento, la

condición inicial para la ec. (5) está definida como:

1 2( 0) ( 0) 0, 0 ,u t u t y H= = = =

(8)

en conjunto con las condiciones de frontera de no

deslizamiento en las paredes del microcanal expresadas

como:

1 2( 0) ( ) 0, 0u y u y H t= = = =

(9)

y con las condiciones de interfase líquido-líquido de

continuidad de velocidad y balance de esfuerzos viscosos

como:

1 1

1 2

1 1 2 1 1 2( ) ( ), , 0.y y y y

u uu y y u y y t

y y

= =

= = = =

(10)

2.5. Modelo matemático adimensional

Para adimensionalizar el modelo matemático dado en la

sección anterior, se introducen las siguientes variables

adimensionales:

1

2

1

, , , , ,i i i i i

i i i

c B fi B fi

u z e z etyy t u

H u k T k TH

= = = = =

(11)

donde 1 1 1 1/c B xu k T E z e = − es la velocidad característica

de un flujo electroosmótico. Por lo tanto, las ecs. (4)-(10)

quedan en forma adimensional para las dos capas de fluido

como:

Ecuación de Poisson-Boltzmann

21

1 1

d

dy

= (12)

y

22

2 2 .d

dy

= (13)

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

2

21 1

1 12

u u

t dy

= +

(14)

y



2

22 2

2 22.

u u

t dy

= +

(15)

Con sus condiciones de frontera para el potencial

1 1 2 2( 0) , ( 1) ,y y t = = = =

(16)

1 1

1 2

1 1 2 1( ) ( ), , .y y y y

d dy y y y t

dy dy

= =

= = = =

(17)

Adicionalmente, las condiciones iníciales y de frontera para

la velocidad son

1 2( 0) ( 0) 0, 0 1,u t u t y= = = = (18)

1 2( 0) ( 1) 0, 0,u y u y t= = = = (19)

11

1 2

1 1 2 1( ) ( ), , 0.y y y y

u uu y y u y y t

y y

= =

= = = =

(20)

Los parámetros adimensionales que surgen en esta sección

se presentan a continuación:

1 2 2 2

1

1 1 1

, , , , ,i i

yH y

H

= = = = =

(21)

donde, i es el parámetro electrocinético que representa la

razón entre el alto del microcanal y la longitud de Debye, 1y

es la posición adimensional de la interfase, es la razón de

densidades, es la razón de constantes dieléctricas y es

la razón de viscosidades.

3. Metodología de solución

3.1. Solución analítica del potencial eléctrico

Las ecuaciones de Poisson-Boltzmann mostradas en las

ecs. (12) y (13) se integran dos veces respecto a la

coordenada transversal adimensional y , obteniéndose las

siguientes soluciones para cada capa de fluido

respectivamente como

1 1

1 1 2 ,y y

C e C e −

= +

(22)

y

2 2

2 3 4 ,y y

C e C e −

= +

(23)

donde 21 3, ,C C C y 4C son constantes de integración las

cuales se determinan al sustituir las condiciones de frontera

dadas por las ecs. (16) y (17) en las ecs. (22) y (23), para

obtener que

1

1

2

1

1 ,C e

Ce

−−

=

(24)

( ) ( )2 1 11 1 1 1

1 1 1 1

1 2 1

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1

2 2

2

2

1 1

1,

y y y y

y y y y

A e e e B e e eC

Be e Be A e Ae e

− −

− − − −

− − −=

− − −

(25)

23 4 ,C C= −

(26)

y

( )

1

2 1 1

1

1 1 11 2

4

12

2 2

,2sinh

y y yC ee e C e

eC

y

−

− −− −

=

(27)

donde

( ) ( )2 2 21 12sinh , 2cosh .A y yB = =

(28)

3.2. Solución numérica de la velocidad

En el caso de los perfiles de velocidad, se realiza la

discretización de los modelos matemáticos de la cantidad de

movimiento para cada capa de fluido, basada en el esquema

theta ( ) de diferencias finitas [39]; por lo tanto, a partir de

las ecs. (14) y (22), se tiene que para la capa de fluido 1

( )

( )( )1 1

1 1 1 1

1; 1; 1; 1 1; 1; 1

2

1; 1 1; 1; 1 2

1 1 22

2

2(1 ) ,

n n n n n

j j j j j

n n n

j j j j y j y

u u u u u

t y

u u uC e C e

y

+ + + +

+ −

+ − −

− − + = +

− + − + +

(29)

y a partir de las ecuaciones (15) y (23) se tiene

respectivamente que para la capa de fluido 2

( )

( )( )2 2

1 1 1 1

2; 2; 2; 1 2; 2; 1

2

2; 1 1; 1; 1 2

2 3 42

2

2(1 ) ,

n n n n n

j j j j j

n n n

j j j j y j y

u u u u u

t y

u u uC e C e

y

+ + + +

+ −

+ − −

− − + = +

− + − + +

(30)



donde j define una posición espacial particular de la malla

trasversal discretizada y n denota una posición temporal

particular en el dominio temporal discretizado. Por otra

parte, el paso espacial y y el paso temporal t se definen

matemáticamente como sigue

, 0,1..., ,Y

y j NN

= =

(31)

, 0,1..., ,T

t n MM

= =

(32)

donde Y es el dominio de la coordenada transversal

adimensional y T es el dominio de la variable temporal

adimensional. El número total de nodos en el dominio

computacional, espacial y temporal están dados por N y M,

respectivamente. De la discretización en el esquema de

diferencias finitas, se derivan los siguientes métodos de

solución: con 0 = , corresponde al método explícito de

Euler, con 1 = , corresponde al método implícito de Euler

y finalmente para 1/ 2 = se tiene el método implícito de

Crank-Nicholson. Tomando en cuenta que lo anterior, para

las ecs. (29) y (30) se considera que 0 = , simplificándose

de la siguiente forma respectivamente como:

( )( )1 1

1

1; 1; 1; 1 1; 1; 1 2

1 1 22

2n n n n n

j j j j j j y j yu u u u u

C e C et y

+

+ − − − − + = + +

(33)

y

( )

( )2 2

1

2; 2; 2; 1 1; 1; 1

2

2

2 3 4

2

.

n n n n n

j j j j j

j y j y

u u u u u

t y

C e C e

+

+ −

−

− − + = +

+

(34)

En el caso de los métodos explícitos, la estabilidad, depende

del tamaño de los pasos espaciales y temporales, mientras

que los métodos implícitos son incondicionalmente estables.

Por otra parte, en un esquema explícito, el valor de 1nu +

se

puede obtener directamente conociendo los valores en el

instante anterior, lo cual significa que la implementación de

los métodos será más sencilla que los implícitos.

Despejando 1

1,2;

n

ju + de las ecuaciones anteriores, se tiene que

( )

( )1 1

1; 1 1; 1; 1

21

1; 1;

2

1 1 2

2

,

n n n

j j j

n n

j j

j y j y

u u u

yu t u

C e C e

+ −

+

−

− + + = +

+

(35)

y

( )

( )2 2

2; 1 1; 1; 11

2; 2

2

2 3 4 2;

2

.

n n n

j j jn

j

j y j y n

j

u u utu

y

C e C e u

+ −+

−

− + = +

+ +

(36)

Las condiciones de frontera de no deslizamiento en las

paredes del microcanal de la ec. (19), se asumen de la

siguiente forma:

1; 0n

ju = en ; 0y j y j= = y 0,...., ,n M= (37)

2; 0n

ju = en ;y j y j N= = y 0, ...., ,n M= (38)

y las condiciones de interfase líquido-líquido a la mitad del

alto del microcanal, de la ec. (20) quedan

1; 2;

1; 1; 1 2; 1 2;

; /2 ; /2

( ; / 2) ( ; / 2),

, .

n n

j j

n n n n

j j j j

y j y j N y j y j N

u y j y j N u y j y j N

u u u ut

y y

− +

= = = =

= = = = =

− −=

(39)

De forma complementaria, la condición inicial de la ec. (18)

1;

2;

( ) 0; 1,..., / 2 1, 0

( ) 0; / 2,..., 1, 0.

n

j

n

j

u t n t j N n

u t n t j N N n

= = = − =

= = = − =

(40)

La estabilidad del método numérico se impone con la

siguiente condición / 1t y .

Con el objetivo de determinar el tiempo que emplea el

flujo electro-osmótico para alcanzar el régimen permanente,

en la solución numérica se implementó un criterio de

convergencia de la siguiente manera:

1) Para los casos con valores positivos de los

potenciales zeta, 1 y 2 , el criterio de

convergencia se evalúa en la posición central del

microcanal, expresada como:

1

/2 /2 ,n n

j N j Nu u tol+

= =−

(41)

2) Para los casos en que alguno de los valores de los

potenciales zeta, 1 y 2 sea negativo, la

evaluación se llevó a cabo en la posición /4

n

j Nu =,

debido a que la evolución de los perfiles de

velocidad no permite una evaluación en una

posición central del canal. Para estos casos el

criterio de convergencia se expresa de la siguiente

forma:

1

/4 /4 ,n n

j N j Nu u tol+

= =− (42)

Donde tol, es la magnitud del criterio de convergencia del

método, y se compara con la diferencia de velocidades en el

punto nodal analizado, a la cual se le asignó un valor de



0.0001. Las ecs. (35)-(42) fueron implementadas en el

método numérico FTCS (Forward in the Time Central in

Space) [39] en lenguaje de programación de Fortran

PowerStation 4.0.

3. Análisis de resultados

Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de

los parámetros adimensionales en este trabajo son::

1 10H m , 11 100i− nm,

i ~ 1010− 1 1CV m− − , 310i−= Nm-2s,

410xE Vm-1, 1000i kgm-3, T=300 K,

25i mV y iz ~ 010 . Adicionalmente, en esta sección de

análisis de resultados, se considera que 1 = = = .

En la Fig. 2 (a)-(d), muestra la evolución temporal de los

perfiles de velocidad de dos fluidos inmiscibles newtonianos

a través de un microcanal de placas planas paralelas

impulsados por fuerzas electroosmóticas como función de la

coordenada transversal adimensional y . Los parámetros

electrocinéticos utilizados son 1 2 20 = = . La evolución

transitoria muestra el arranque del flujo desde un tiempo 0t , hasta alcanzar el régimen permanente en un tiempo

adimensional t = . La posición de la interfase liquido-

liquido se encuentra a la mitad del microcanal con1 0.5y = ,

mientras que los potencias zeta en las paredes 1 y 2 varían

para cada caso en particular.

La Fig. 2(a) muestra el crecimiento temporal del perfil de

velocidad para dos capas de fluidos newtonianos bajo los

efectos de potenciales zeta simétricos 1 2 1 = = . En un

tiempo adimensional corto de 0.00125t = , se observa que

el movimiento de las capas de fluido inicia dentro de las

regiones de la doble capa eléctrica en las cercanías de las

paredes del microcanal, mientras que en la región central del

conducto permanece en reposo. Este comportamiento se

repite hasta que en un tiempo más avanzado en 0.0125,t =

el efecto electroosmótico se ha transmitido hacia la parte

central de las capas del fluido por arrastre viscoso. Para un

tiempo adimensional de 0.1t = , el flujo casi se ha

desarrollado, alcanzando el régimen permanente en un

tiempo de t = . Por otro lado la posición de interfase

liquido-liquido es el punto más alejado de las paredes, lo que

significa que carecerá de fuerza de cuerpo de impulso y

únicamente podrá moverse por medio de efectos de arrastres

viscoso simultáneos.

Figura 2 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo electroosmótico en un microcanal, con el parámetro electrocinético y

diferentes valores del potencial zeta: (a) ; (b) ,, ; (c) , ; (d) , .



En la Fig. 2(b) se observa que debido a que los

potenciales zeta en las paredes son antisimétricos, i.e.,

1 1 = − y 2 1 = el comportamiento de las líneas de

crecimiento del perfil de velocidad van en sentidos

contrarios, y la región en 0 0.5y el flujo es inverso.

Con este arreglo de los potenciales zeta en las paredes del

microcanal, se provoca un punto de estancamiento o

movimiento nulo en la posición de la interfase entre los

fluidos.

La Fig. 2(c), representa la aplicación de potenciales zeta

asimétricos, siendo el potencial zeta de la pared inferior

mayor en magnitud que el establecido en la pared superior

1 2 . Aquí en contraste con el caso anterior existe una

diferencia de distribución de cargas eléctricas lo que exhibe

un predominio del flujo en la capa del fluido 1, donde la

magnitud de cada línea tiene la tendencia de duplicar lo

obtenido en la capa de fluido 2; además, la influencia que

ejerce la capa de fluido 1 sobre la otra se puede notar a través

de la posición de interfase en 1 0.5y = , predominando los

valores negativos de la velocidad o bien, del llamado flujo

inverso.

En la Fig. 2(d) se desarrolla la evolución del perfil de

velocidad para dos fluidos newtonianos bajo la influencia de

potenciales zeta de diferentes magnitudes pero igual

polaridad,1 1 = y 2 0.5 = , de ahí que el comportamiento

del flujo se reproduce hacia una misma dirección del

microcanal, sin embargo la percepción al movimiento que

recibe la capa de fluido 1 es mayor y con esto se consigue la

velocidad más alta, mientras que del lado de la capa de

fluido 2, la concentración iónica es menor y la generación

de impulso electroosmótico resulta inferior al de la capa de

fluido 1.

En las Fig. 3 y 4, se desarrolla la evolución transitoria de

los perfiles de velocidad tomando en consideración que el

parámetro electrocinético para ambos casos es de 60 = .

Para el caso de la Fig. 3, se toman los mismo valores del

potencial eléctrico de la Fig. 2(a), en donde se puede

observar que el crecimiento del parámetro electrocinético

modifica el espesor de la doble capa eléctrica y el

comportamiento de las cargas eléctricas contenidas ahí. En

consecuencia, para cada lapso de tiempo, se tiene que los

bordes que aparecen en los extremos del perfil de velocidad

se van afinando o agudizando y pierden la forma redondeada

que aparece cuando 20 = . Al alcanzar el régimen

permanente ambas graficas en las Figs. 2(a) y 3, se

mantienen al margen de igual magnitud, sin embargo

cuando el parámetro electrocinético aumenta, también se

predice el aumento de la taza de flujo al incrementar la

velocidad en los extremos de cada capa de fluido.

Esto quiere decir que para la Fig. 4, ocurre lo mismo en

comparación con la Fig. 2(c), al tomar de referencia que para

la construcción de esta grafica se ocuparon los mismos

valores del potencial eléctrico. De acuerdo a esta tendencia

el parámetro electrocinético define la forma de los bordes

del perfil de velocidad, es decir, si este parámetro llegara a

alcanzar valores superiores a 60, las líneas de crecimiento

tenderán a perder su forma curveada y terminaran adoptando

una pendiente brusca para cada valor del tiempo y de igual

forma cuando la magnitud de este parámetro disminuya, se

podrían observar líneas con rasgos curvos o parabólicos.

4. Conclusión

En esta investigación se implementó un método numérico

para resolver el transporte de dos fluidos inmiscibles a través

de un conducto formado por placas planas paralelas,

impulsados por el fenómeno electroosmótico. Tomando en

consideración los efectos que producen los parámetros

adimensionales sobre el campo de flujo, a continuación se

enlistan los aspectos más importantes:

• La manipulación de los potenciales eléctricos, así como

sus polaridades, permiten conocer la tendencia o

dirección de flujo que tomara el perfil de velocidad en el

proceso de arranque hasta llegar al régimen permanente

• El impacto que generan la acumulación de cargas

eléctricas dentro de la doble capa eléctrica, repercute en

la magnitud de las fuerzas electroosmóticas de impulso,

en conjunto con las condiciones eléctricas de cada fluido. Figura 3 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo

electroosmótico, con valores de y .

Figura 4 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo

electroosmótico, con valores de , y .



• La forma de los perfiles de velocidad se ven afectados por

la magnitud del parámetro electrocinético, desde

construir formas curvas o parabólicas con valores

pequeños de este parámetro o hasta alcanzar velocidades

con pendientes bruscas con valores superiores.

• Los casos del flujo electroosmótico con potenciales zeta

asimétricos llegan en un tiempo más corto al régimen

permanente que el caso simétrico.

Con esta investigación, se pretende extender el

conocimiento del análisis numérico espacio-temporal de

flujo de fluidos inmiscibles en micro-dispositivos y que

sirva para propuestas de diseño para el control preciso de

inyección y transporte de muestras. Por lo tanto, para trabajo

futuro se recomiendo abordar lo siguiente:

• Solución del perfil de velocidad considerando

condiciones de frontera con interacciones eléctricas en la

interfase líquido-líquido.

• Geometrías rectangulares.

• Interfases móviles.

• Considerar el estudio en fluidos no newtonianos.

Agradecimientos

Este trabajo de investigación contó con el respaldo del

proyecto de investigación SIP-20181022 del Instituto

Politécnico Nacional en México.

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https://link.springer.com/journal/33

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solución numérica del flujo electroosmótico...

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