análisis de la trayectoria de un mecanismo paralelo tipo...

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A3b Mecanismos y Robótica: Singularidades

“Análisis de la trayectoria de un mecanismo paralelo tipo pantógrafo mediante su matriz jacobiana”

Gerardo Miguel Lucarioa y Yahve Abdul Ledezma Rubiob

a y b UNAM,Facultad de Ingeniería, Cd. Mx., CP 04510, México

* Dirección de correo electrónico: a) [email protected] b) [email protected]

RESUMEN

La matriz jacobiana (J) relaciona las velocidades angulares de entrada de los pares cinemáticos actuados, con las

velocidades lineales de salida del efector final (punto de trabajo) de cualquier mecanismo. Esta matriz también es utilizada

para definir índices de rendimiento de un mecanismo [4, 8, 12]. En el presente artículo se propone utilizar la gráfica del

determinante de J cuando es cero para describir el espacio de trabajo teórico de un mecanismo paralelo planar tipo

pantógrafo simétrico, ubicando las trayectorias en las que el mecanismo presenta una configuración con singularidades

(paralelas y/o seriales) mediante las gráficas del determiante de la parte simétrica y asimétrica de J.

Palabras Clave: Mecanismo paralelo planar, matriz jacobiana, singularidades seriales, singularidades paralelas, trayectoria, espacio de trabajo.

ABSTRACT

The Jacobian matrix (J) relates the input angular velocities of the active kinematic pairs, with the output linear velocities

of the end effector (point of work) of any mechanism. This matrix is also used to define performance indices of a mechanism

[4, 8, 12]. We propose to use the plot of the determinant of J when it is zero to describe the theoretical workspace of a

symmetric pantograph planar parallel mechanism, showing the trajectories in which the mechanism is in a singular

(parallel and/or serial) configuration by the plots of the determinant of symmetric and asymmetric part of J.

Keywords: Planar parallel mechanism, jacobian matrix, serial singularities, parallel singularities, trajectory, workspace.

Nomenclatura:

𝑽𝒑𝒂𝒑𝒃𝒙: Componente en x del vector formado del punto a al punto b

𝑽𝒑𝒂𝒑𝒃𝒚: Componente en y del vector formado del punto a al punto b

{X3, Y3}: Coordenadas del efector final

{𝜽�̇�, 𝜽�̇�}: Velocidad angular de las juntas actuadas

{𝑿�̇�, 𝒀�̇�}: Velocidad lineal del efector final

Jps: Parte simétrica de la matriz jacobiana

Jpas: Parte asimétrica de la matriz jacobiana

Ln: Longitud de la barra n. Donde n=1,2,3,4,5

1. Introducción

Durante los últimos años ha aumentado la necesidad de tener

robots dedicados a realizar tareas generales; es decir, que

puedan tener varias aplicaciones con mínimas o nulas

modificaciones en su estructura. Adicionalmente, estos

robots tienen que hacer las tareas con la mayor precisión y

prestaciones dinámicas posibles (velocidad, inercia y

potencia) [1]. Una solución a esta necesidad es el uso de

mecanismos paralelos, ya que tienen diversas ventajas

mecánicas respecto a los mecanismos seriales [2] como: alta

rigidez, poca inercia, altas frecuencias naturales, mejor

precisión, construcción mecánica modular simple y buena

relación potencia/masa [3,4]. Sin embargo, también

presentan desventajas relacionadas con el espacio de trabajo

como lo son: un espacio de trabajo útil muy reducido

respecto al espacio de trabajo teórico, demasiadas

trayectorias con singularidades dentro del espacio de

trabajo, su rendimiento está altamente relacionado con sus

parámetros geométricos [5], entre otras. Estas desventajas

son resultado de su espacio de trabajo cartesiano complejo y

de la alta relación no lineal de las variables de entrada con

las variables de salida [6].

Los mecanismos paralelos pueden ser espaciales o

planares, con diferentes grados de libertad (GDL). Los

mecanismos paralelos planares han sido utilizados en

dispositivos hápticos [7] o para realizar ejercicios de

rehabilitación [8]. Las configuraciones de estos mecanismos

pueden variar, pero el mecanismo tipo pantógrafo ha tenido

un gran interés de estudio, a pesar de ser el mecanismo

paralelo con menores grados de libertad (2 GDL) [9].

ISSN 2448-5551 MT 55 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


El diseño de un mecanismo paralelo tipo pantógrafo es

complicado y complejo, ya que se tienen cinco parámetros

de diseño (longitudes de las barras) que pueden tomar

cualquier valor desde cero hasta infinito. En consecuencia,

para obtener un mayor espacio de trabajo útil, mejorando las

dimensiones del mecanismo se utilizan métodos de

optimización numéricos, ya que es un problema no lineal.

Algunos autores proponen optimizar el mecanismo

mediante el índice de condicional global y el índice de

condicional local [9]. Otros autores proponen utilizar,

adicionalmente, los índices de velocidad global, de carga

global y de rigidez (deformación) global. En general, estos

métodos consumen un gran tiempo de cómputo y son

complicados de usar en la práctica [10].

Este artículo presenta una propuesta para analizar el

espacio de trabajo teórico de un mecanismo paralelo planar

tipo pantógrafo simétrico o mecanismo planar RRRRR 1

simétrico, con base en las gráficas del determinante de las

matrices resultantes de dividir J en su parte simétrica y

asimétrica, cuando estas se aproximan a cero. También, se

usó la gráfica del determinante de J para obtener

información del área de trabajo teórica del mecanismo. Estas

gráficas muestran las trayectorias en las que el mecanismo

alcanza una configuración con alguna singularidad.

La separación de J, en su parte simétrica (Jps) y en su

parte asimétrica (Jpas), se propone como una herramienta

para simplificar el análisis de J y lograr identificar el tipo de

singularidades de cada matriz.

2. Descripción del mecanismo

Figura 1– Mecanismo tipo pantógrafo

El mecanismo planar RRRRR simétrico cuenta con cinco

barras o brazos (L1, L2, L3, L4, L5), conectadas entre sí

mediante cinco pares cinemáticos inferiores tipo revoluto

(P1, P2, P3, P4, P4 y P5). Una de estas barras está fija (L5)

y los pares cinemáticos inferiores activos (JA) son P1 y P5,

1 R, se refiere al par cinemático inferior tipo revoluto.

mientras que, los pares cinemáticos inferiores pasivos (JP)

son P2, P3 y P4.

Las coordenadas del efector final son las coordenadas

del punto P3 (punto de trabajo). En la Fig. 1 se puede

observar la disposición de los JA, los JP y de las barras del

mecanismo.

Las ecuaciones que describen al mecanismo han sido

presentadas en diferentes artículos [9-13]. La metodología y

resultados presentados por [11] se utilizaron como guía para

deducir las ecuaciones que describen al mecanismo.

Las ecuaciones que describen al mecanismo se

plantearon con el sistema de referencia colocado a la mitad

de la barra L5. En estas ecuaciones se utilizaron como

parámetros las dimensiones de las cinco barras, es decir, las

ecuaciones serán válidas para un mecanismo 5R no

simétrico y para un mecanismo 5R simétrico (L3=L2 y

L4=L1).

2.1. Grados de libertad

Un criterio para determinar los grados de libertad de un

mecanismo de cadenas cinemáticas seriales abiertas o

cerradas, es la fórmula de Grübler-Kutzbach:

1

( 1)g

i

i

M d n g f=

= − − + (1)

Donde:

• d: El orden del sistema tornillo. Para movimientos

planares d = 3.

• n: Número de eslabones.

• g: Número de juntas.

• fi: Grados de libertad asociados a la i-ésima junta.

Para el mecanismo en análisis, donde n=5 y g=5 se

obtiene que M=2. Se consideran únicamente pares

cinemáticos tipo revoluto. Este resultado muestra que el

efector final tendrá únicamente dos grados de libertad.

Los lugares geométricos en los que la cadena cinemática

presenta una configuración donde la ec. (1) no describe los

grados de libertad se le denomina singularidades:

concurrentes, seriales, de paralelismo, etc. Esto debido a que

la ecuación únicamente considera las relaciones geométricas

de los elementos.

2.2 Cinemática directa

La cinemática directa se basa en describir las coordenadas

del efector final en función de los ángulos de entrada en las

juntas actuadas.

Ocupando las ecuaciones de lazo que describen a los

eslabones pasivos



2 2 2

2 2 2

2 3 2 3 2 0

4 3 4 3 3 0

X y

X y

Vp p Vp p l

Vp p Vp p l

+ − =

+ − = (2)

se obtuvo el sistema de ecuaciones que relaciona los puntos

P2, P4 y P3.

A partir del sistema de ecuaciones, ec. (2), se obtuvieron

las coordenadas del punto de trabajo

2

3 3

43

2

X Y g f

b b acY

a

= +

− + −=

(3)

Donde:

( )

( )

( )

( )

2

2 2 2

2 2 2 2

2

2 5 2 4 cos 4 2 4 sin 4

53 4 5 4 2 5 cos 4

4

1 2 3 4 1 5 cos 1 4 5cos 4

2 5 1cos 1 4 cos 4

2 1sin 1 2 4sin 4

2 5 1cos 1 4 cos 4

1

fg gL gL L

Lc f L L fL L f L

L L L L L L L Lf

L L L

L Lg

L L

b

L

a g

+ − −

= − + + + − +

− + − + +=

+ −

− +=

=

+ −

+=

De la ec. (3) se puede observar que “X3” y “Y3” pueden

tomar dos resultados, 𝜇 = 1 y 𝜇 = −1. Esto se refiere a la

configuración brazos arriba y brazos abajo. En la Fig. 2 se

pueden observar estas dos configuraciones.

Figura 2 – Configuración brazos arriba y brazos abajo.

2.3. Cinemática inversa

La cinemática inversa busca definir los ángulos que deberían

de tener los pares cinemáticos activos, en función de las

coordenadas del efector final.

En la ec. (2) se sustituyeron las siguientes identidades

trigonométricas tanto para 𝜃1 como para 𝜃4:

2

2

1 tan2

cos

1 tan2

−

=

+

2

2 tan2

sin

1 tan2

+

= (4)

Realizando el álgebra correspondiente, se obtuvieron las

siguientes expresiones:

( )2

1 1 1 4 1 11 2 arctan

2 1

b b a c

a

+ −=

(5)

( )2

2 2 2 4 2 24 2 arctan

2 2

b b a c

a

+ −=

(6)

Donde: 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

51 1 2 1 5 2 1 3 5 3 3 3

4

1 4 1 3

51 1 2 1 5 2 1 3 5 3 3 3

4

52 3 4 4 5 2 4 3 5 3 3 3

4

2 4 4 3

52 3 4 4 5 2 4 3 5 3 3 3

4

La L L L L L X L X X Y

b L Y

Lc L L L L L X L X X Y

La L L L L L X L X X Y

b L Y

Lc L L L L L X L X X Y

= − − + + − + +

=

= − + + − − + +

= − + + + + + + +

=

= − + − + − + + +

En las ecs. (5) y (6) se observa que cada ángulo puede

tomar dos posibles valores. Para 𝜃1 , 𝜎1 puede tomar el

valor de +1 o de -1. Para 𝜃4, 𝜎2 puede tomar el valor de +1

o de -1.

De estos resultados, se puede decir que existen cuatro

posibles soluciones de trabajo para la cinemática inversa.

Estas soluciones son:

• Configuración “+ +”

• Configuración “- +”

• Configuración “- -”

• Configuración “+ -”



Figura 3 – Configuración a) “+ +”; b) “- +”; c) “- -”; d) “+ -”.

En la Fig. 3 se observan las diferentes configuraciones

del mecanismo con dimensiones y coordenadas de prueba.

De estas configuraciones, los arreglos “+ +” y “- -”, uno

de los brazos podría chocar con otro, complicando el área de

trabajo. La configuración “+ -” presenta la complicación en

la que los brazos se cruzan; a pesar de que se logre la

coordenada, físicamente sería imposible tener esta

configuración. Por ello se ocupa la configuración “- +”, ya

que logra la coordenada deseada sin la interferencia entre los

eslabones.

Las dimensiones que se usaron para graficar la Fig. 2 y

Fig. 3, se pueden consultar en los apéndices C y D.

2.4. Matriz Jacobiana (J)

En este artículo se realizó el análisis con la configuración de

brazos arriba (μ=1) y con la configuración “- +”, usando

dimensiones simétricas (L4=L2 y L3=L2).

La matriz jacobiana; en general, no es constante ni

isotrópica y, en consecuencia, el rendimiento del mecanismo

(como velocidades máximas o rigidez), varía dependiendo

de las coordenadas que tenga el efector final en el espacio

de trabajo cartesiano y de la dirección con la que se llegó a

ese punto [5]. La trayectoria que siguió el efector final para

llegar a una coordenada en el espacio de trabajo determina

si el punto de trabajo supera una singularidad o no.

La matriz jacobiana se puede obtener derivando la ec. (2)

respecto al tiempo, ya que las coordenadas están en función

del tiempo. La ec. (7) es el resultado de derivar la ec. (2)

respecto al tiempo, presentada en un arreglo matricial.

A Bp•

= (7)

Donde:

2 1 3cos 1 1 5sin 1 2 1 3sin 1

2 4 3cos 4 4 5sin 4 2 4 3sin 4

T

L Y L L L X

L Y L L L Xdiag

− − +

− + +=A

5 2 3 2 1cos 1 2 3 2 1sin 1

5 2 3 2 4cos 4 2 3 2 4sin 4

L X L Y L

L X L Y L

− + − +=

− − + − +

B

3

3

Xp

Y

•

•=

• 1θ

4

•

•=

Al despejar θ̇ de la ec. (7) se obtiene la relación de las

variables de entrada con las variables de salida, es decir, se

obtiene la matriz jacobiana.

-1J = A B (8)

La matriz Jacobiana, ec. (8), se puede utilizar para

describir la trayectoria y el espacio de trabajo de una cadena

cinemática, ya que los elementos de esta matriz son los

parámetros que definen a la cadena cinemática (longitudes

de las barras). Cuando el determinante de la matriz jacobiana

se acerca a valores nulos, el efector final tiene coordenadas

donde se presenta una singularidad.

La matriz jacobiana se puede separar en su parte

simétrica y asimétrica para simplificar el análisis de las

singularidades.

En la siguiente sección se muestra cómo se pueden

interpretar las gráficas que se obtienen del determinante de

J y de las matrices resultantes de separar J en parte simétrica

y asimétrica.

3. Análisis de caso

Existen diferentes tipos de singularidades. Las

singularidades seriales se presentan cuando el punto de

trabajo alcanza los límites del espacio de trabajo y pierde

uno o más grados de libertad; esto sucede cuando los brazos

están completamente extendidos o completamente

doblados; se presentan principalmente en robots seriales.

Las singularidades paralelas se presentan cuando el

punto de trabajo puede moverse a pesar de que las juntas

activas están bloqueadas, en este tipo de configuraciones las

juntas activas no pueden soportar cargas o momentos

aplicados en el efector final; se presentan principalmente en

robots paralelos.

Singularidades mixtas, se presentan cuando ocurren las

dos anteriores. Estas pueden ser: singularidades por



concurrencia, cuando dos o más juntas pasivas del

mecanismo convergen, perdiendo el control de los

elementos posteriores (sus polos de Euler coinciden);

singularidades por simetría, dos o más elementos del

mecanismo realizan la misma función, entre otras.

Para observar el espacio de trabajo teórico (área en el

plano de trabajo donde el efector final tiene una determinada

posición alcanzable) se propone graficar el determinante de

J cuando sus valores se acerquen a cero.

La Fig. 4 es el resultado de graficar el determinante de la

ec. (8) cuando se aproxima a valores nulos. El rango de

valores en la coordenada z, valores del determinante de J, es

de -0.001 a 0.001, el rango de valores en la coordenada x es

de -2 a 2 y el rango en la coordenada y es de -2 a 2. El área

blanca corresponde al área donde el mecanismo puede tener

una configuración sin singularidades, está zona es el espacio

de trabajo útil, mientras que, las líneas que se observan sobre

el área blanca son los límites de esta área.

Figura 4 – Gráfico 3D de la matriz Jacobiana con los valores de barras

mostradas en el apéndice C.

Para observar las singularidades del mecanismo se

utilizó un plano de corte (Z=0) para obtener el contorno que

forma la superficie de la Fig. 4 cuando el determinante de J

es cero (Fig. 6).

Figura 5 – Gráfico 3D del determinante de J y el plano de corte z=0.

Figura 6 – Contorno formado por la superficie del determinante de J

en el plano de corte Z=0

De la gráfica anterior se observa que el límite exterior no

se logró graficar. Esto se debe a que el determinante de J

llega a tener valores complejos cuando se aproxima al plano

de corte. La siguiente figura muestra el resultado de graficar

la parte real (contorno azul) y la parte imaginaria (contorno

rojo) de los valores complejos, correspondientes al plano de

corte.

Figura 7 – Contorno formado por la superficie del determinante de J

en el plano de corte Z=0, considerando los valores complejos.

Para simplificar el análisis de las singularidades del

mecanismo se dividió J en su parte simétrica ec. (9) y

asimétrica ec. (10). Las gráficas del determinante de cada

una de las matrices aportaron información del área de trabajo

del mecanismo y se buscó una relación entre estas matrices

y el tipo de singularidades.

( )1

2

TJps += J J (9)



( )1

2

TJpas −= J J (10)

La Fig. 8(a) muestra la gráfica del determinante de la

parte simétrica de J y el plano de corte Z=0. Se utilizó un

plano de corte para obtener el contorno que forma la

superficie cuando el determinante de la matriz toma el valor

cero. Este contorno son las trayectorias en las que el

mecanismo presenta una singularidad.

El área blanca delimitada por las líneas rojas, Fig. 8(b),

corresponde al área donde el efector final podría tener una

posición libre de singularidades. La circunferencia

representa el límite exterior del área de trabajo del

mecanismo.

La Fig. 9(a) muestra la gráfica del determinante de la

parte asimétrica de J y el plano de corte Z=0. De igual

manera, como en la gráfica anterior, en este plano es donde

el mecanismo presenta singularidades. Por lo que se grafica

el contorno que forma esta superficie en el plano de corte

(Fig. 9(b)) para obtener el área de trabajo.

El área blanca delimitada por las líneas rojas

corresponde al área donde el mecanismo tendría una

configuración libre de singularidades, mientras que, las

líneas que delimitan el área blanca son las trayectorias con

singularidades.

En ambas gráficas, Fig. 9(b) y Fig. 8(b), el límite de

trabajo externo coincide, mientras que las trayectorias

internas varían. Parte de estas trayectorias mostradas en la

Fig. 8(b), corresponden a las singularidades paralelas.

Figura 8 – a) Gráfico 3D del determinante de Jps y el plano de corte;

b) Contorno formado en el plano de corte.

Figura 9 – Gráfico 3D del determinante de Jpas y el plano de corte; b)

Trayectoria de las singularidades seriales.

4. Comparación de resultados con [11]

[11] plantean analizar las singularidades mediante las

matrices A y B de la ec. (8). Estos autores mencionan que

cuando el determinante de A es cero, se presentan las

singularidades seriales y cuando el determinante de B es

cero, se presentan las singulares paralelas. Las

singularidades mixtas se presentan cuando ambos

determinantes, tanto de la matriz A como de la matriz B son

cero.

En la Fig. 10, se muestra una comparación de la gráfica

obtenida con el determinante de Jps y la gráfica obtenida del

determinante de la matriz B, cuando estos se aproximan a

cero. Mientras que, la Fig. 11 muestra el contorno formado

por las superficies de la Fig. 10 en el plano de corte Z=0.

En la Fig. 12 se muestra la comparación de las gráficas

obtenidas cuando el determinante de Jpas y A se aproximan

a cero. La Fig. 13 es la comparación de los contornos

formados por estas superficies en el plano de corte.

Figura 10 – Gráfico 3D del determinante de la matriz a) Jps y de la

matriz b) B.

Figura 11 – Contorno en el plano Z=0 de la matriz a) Jps y la matriz b)

B.

Figura 12 – Gráfico 3D del determinante de la matriz a) Jpas y la

matriz b) A.



Figura 13 – Contorno en el plano Z=0 de la matriz a) Jpas y la matriz

b) A.

De las figuras anteriores se puede hacer una relación

entre el tipo de singularidades y la matriz utilizada para

describirlas. En la Fig. 13, se observa que los límites del área

de trabajo son muy similares, por lo que se afirma que la

parte asimétrica de la matriz jacobiana puede describir las

singularidades seriales del mecanismo.

Basados en la Fig. 13(a), el determinante de Jpas cuando

es igual a cero define el límite exterior (circunferencia

externa) y el límite interior (circunferencias internas) del

área de trabajo del mecanismo en análisis.

En la Fig. 11 se puede observar que no tienen ninguna

similitud los contornos del determinante de las matrices Jpa

y A cuando son cero, pero se puede relacionar la parte

simétrica de J con las singularidades paralelas y las

singularidades seriales (Fig. 13(a)).

Tanto en la Fig. 13(a) como en la Fig. 11(a) se puede

observar que ambas gráficas representan las trayectorias en

las que el mecanismo presenta singularidades, por lo que se

decidió sobreponer una gráfica sobre otra para representar

de una mejor manera el área de trabajo teórica (Fig. 14).

Figura 14 – Contornos del determinante de Jps (contorno) y Jpas

(contorno azul) cuando son cero.

El tiempo de computo necesario para obtener los

contornos de la Fig. 14 (área de trabajo teórica) fue de

1172.72 segundos, en una computadora portátil con las

características mostradas en el apéndice E.

En la Fig. 14 se observa que el límite exterior del espacio

de trabajo formado por el determinante de Jps y de Jpas son

similares, por lo que se considera que estos contornos

representan bien el espacio de trabajo teórico del

mecanismo.

El contorno de la Fig. 14, muestra las trayectorias en las

que el mecanismo tendrá una configuración con alguna

singularidad, ya sea una singularidad serial o una

singularidad paralela. En estas trayectorias se pierde el

control del mecanismo, por lo tanto, el control del efector

final. Es decir, el efector final no podrá salir de ese punto

con singularidad si éste no tiene la suficiente inercia como

para salir de esa trayectoria. Por lo que, la capacidad del

efector final para superar una singularidad depende de la

trayectoria que sigue al llegar a dicha singularidad, esto

dentro del espacio de trabajo.

5. Conclusión

La matriz jacobiana, al tener los parámetros de diseño del

mecanismo en sus elementos, contiene la información del

área de trabajo útil del mecanismo, pero es complejo

interpretar los resultados obtenidos con las gráficas

mostradas en la sección “Análisis de caso”, ya que su

determinante contiene valores complejos cerca del plano de

corte. Mientras que, la combinación de las gráficas del

determinante de la parte simétrica y de la parte asimétrica de

J cuando estas son cero, mostraron mayor información del

tipo de singularidades presentes en el área de trabajo. Por lo

que, separar J en su parte simétrica y asimétrica es una buena

herramienta para analizar las singularidades presentes en el

área de trabajo del mecanismo.

Con el método propuesto se pueden hacer diferentes

gráficas del determinante de la parte simétrica y asimétrica

de la matriz jacobiana, con dimensiones de barras

propuestas, para ir obteniendo el espacio de trabajo deseado

y mediante un método de prueba y error encontrar las

mejores dimensiones de las barras. Este punto se plantea

mejorar por medio de un modelado de optimización.

La principal ventaja del método propuesto, respecto a la

metodología tradicional propuesta en [11] es que al separar

la matriz J en su parte simétrica y asimétrica se logró obtener

mayor información de las singularidades (Fig. 14),

principalmente con la parte simétrica (Fig. 11).

La desventaja de la matriz jacobiana es que no tiene

información para determinar si se supera la singularidad con

la trayectoria que seguía o no. Para ello, es necesario

involucrar la energía cinética y potencial de los elementos

del sistema. Esta información se puede encontrar en las

ecuaciones inerciales del sistema.



6. Trabajo a futuro

Se requiere encontrar cuales son las mejores longitudes de

las barras, para ello se propone optimizar dichas longitudes

del mecanismo planteando la función objetivo y la función

restricción del mismo. La función objetivo sería la función

de Lagange o la función de Hamilton (estado energético del

sistema). La función restricción sería el determinante de la

matriz jacobiana o las dimensiones físicas del sistema. Esta

optimización, se aplicaría caracterizando el mecanismo para

el grupo de población deseado.

Agradecimientos

El presente artículo se desarrolló gracias al tema asignado

por el doctor Miguel A. Padilla del Instituto de Ciencias

Aplicadas y Tecnología (ICAT) de la Universidad Nacional

Autónoma de México (UNAM).

Apéndice A. Comparación cantidad de puntos con

tiempo de cómputo para Jps=0

Apéndice B. Comparación cantidad de puntos con

tiempo de cómputo para Jpas=0

Apéndice C. Dimensiones para la cinemática directa

• L1=L4=1.2

• L2=L3=1

• L5=0.8

• 𝜃1 = 85° • 𝜃4 = 95°

Apéndice D. Dimensiones para la cinemática inversa

• L1=L4=1.2

• L2=L3=1

• L5=0.8

• X3=0

• Y3=1.8



Apéndice E. Recursos de computo usados

• Procesador: Intel Core i7-7500U con 4

procesadores lógicos y 2 núcleos con una

frecuencia de reloj de 2.70 a 2.90 GHz.

• Memoria Ram: 16 GB

• Memoria GPU: 6.9 GB

• SSD: 250 GB

Apéndice F. Software usado

Las gráficas y el desarrollo de las ecuaciones se realizaron

con el software, Mathematica 11.1 versión estudiantil.

Disponible en:

http://www.wolfram.com/solutions/education/students/inde

x.es.html?footer=lang

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análisis de la trayectoria de un mecanismo paralelo tipo...

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