Sistemas de unidades, analisisdimensional, medida y estimaciones

FyQIES Carmen Martın Gaite

Medidas y magnitudes

La medida y las magnitudes

Medir es comparar con una unidad arbitraria que se tomacomo patron

Las unidades elegidas pueden variar segun el sistema deestudio. P.ej: atomos, sistemas clasicos, galaxias...Grande o pequeno... ¡Depende de con que lo comparemos!

¡Cualquier magnitud fısico-quımica debe tener unidades!

Hay varios tipos de magnitudes (no es importante desdepunto de vista operativo)

Directa-IndirectaVectorial-EscalarFundamental-Derivada...

Sistema Internacional

Sistema que utilizaremos por defecto

Siete unidades fundamentales: m, kg, s, K, A, mol, cd

¡Cada una de ellas se define arbitrariamente (con cierta logica)!

P.ej: el metro.

Distancia recorrida por la luz en 1/299792458segundos

P.ej: el segundo

La duracion de 9,192,631,770 periodos de laradiacion correspondiente a la transicion entre losdos niveles hiperfinos del estado fundamental deatomo de cesio-133 medidos a 0K

Cuestiones ortotipograficas

Las unidades se escriben con minuscula: metro, kilogramo...

El grado Kelvin no lleva ◦ y siempre va en mayuscula:273 K vs 273◦ k¡lo mismo para los sımbolos de unidades que son nombrepropio: A, T, Sv...

Los sımbolos de las unidades NO llevan plural y no vanseguidos de punto:

35 m vs 35 ms.2000 Kg vs 2000 Kgs.

Ejemplo: expresando la constante de gases idealesR = 0,082 atm l/ mol K en un sistema arbitrario

Vamos a medir la presion en presonios, Prs. 1 prs= 4 atm

Vamos a medir el volumen en litronazos, ltrs. 1 ltrs= 2 l

¿Cuanto vale R en estas unidades?

0,082atm · lmol · K

· 1prs

4 atm· 1ltrs

2l= 1, 0 · 10−2 prs · ltrs

mol · K

Ejemplo: expresando la constante de gases idealesR = 0,082 atm l/ mol K en un sistema arbitrario

Vamos a medir la presion en presonios, Prs. 1 prs= 4 atm

Vamos a medir el volumen en litronazos, ltrs. 1 ltrs= 2 l

¿Cuanto vale R en estas unidades?

0,082atm · lmol · K

· 1prs

4 atm· 1ltrs

2l= 1, 0 · 10−2 prs · ltrs

mol · K

Ejemplo: expresando la constante de gases idealesR = 0,082 atm l/ mol K en un sistema arbitrario

Vamos a medir la presion en presonios, Prs. 1 prs= 4 atm

Vamos a medir el volumen en litronazos, ltrs. 1 ltrs= 2 l

¿Cuanto vale R en estas unidades?

0,082atm · lmol · K

· 1prs

4 atm· 1ltrs

2l= 1, 0 · 10−2 prs · ltrs

mol · K

Ejemplo: expresando la constante de gases idealesR = 0,082 atm l/ mol K en un sistema arbitrario

Vamos a medir la presion en presonios, Prs. 1 prs= 4 atm

Vamos a medir el volumen en litronazos, ltrs. 1 ltrs= 2 l

¿Cuanto vale R en estas unidades?

0,082atm · lmol · K

· 1prs

4 atm· 1ltrs

2l= 1, 0 · 10−2 prs · ltrs

mol · K

Analisis dimensional y estimaciones

Ecuaciones dimensionales

Una ecuacion fısico-quımica coherente tiene iguales unidadesen ambos miembros

Toda ecuacion fısico-quımica tiene una ecuaciondimensional asociada en la que cada magnitud se relacionacon su naturaleza: L (longitud), T (tiempo), M (masa), etc.

P.ej: F = ma → [F ] = [m][a]→ N = kg ·m/s2

Utilidad

para averiguar dimensiones de magnitudes desconocidas.P.ej: F = GM ·m

d2, ¿dimensiones de G en SI?

para saber si una ecuacion es correcta...

P.ej:T = 2π√

lg , T = 2π

√gl . ¿cual es correcta para el perıodo

de un pendulo?

Analisis dimensional y estimaciones

Ecuaciones dimensionales

Una ecuacion fısico-quımica coherente tiene iguales unidadesen ambos miembros

Toda ecuacion fısico-quımica tiene una ecuaciondimensional asociada en la que cada magnitud se relacionacon su naturaleza: L (longitud), T (tiempo), M (masa), etc.P.ej: F = ma → [F ] = [m][a]→ N = kg ·m/s2

Utilidad

para averiguar dimensiones de magnitudes desconocidas.P.ej: F = GM ·m

d2, ¿dimensiones de G en SI?

para saber si una ecuacion es correcta...

P.ej:T = 2π√

lg , T = 2π

√gl . ¿cual es correcta para el perıodo

de un pendulo?

Analisis dimensional y estimaciones

Ecuaciones dimensionales

Una ecuacion fısico-quımica coherente tiene iguales unidadesen ambos miembros

Toda ecuacion fısico-quımica tiene una ecuaciondimensional asociada en la que cada magnitud se relacionacon su naturaleza: L (longitud), T (tiempo), M (masa), etc.P.ej: F = ma → [F ] = [m][a]→ N = kg ·m/s2

Utilidad

para averiguar dimensiones de magnitudes desconocidas.P.ej: F = GM ·m

d2, ¿dimensiones de G en SI?

para saber si una ecuacion es correcta...

P.ej:T = 2π√

lg , T = 2π

√gl . ¿cual es correcta para el perıodo

de un pendulo?

Analisis dimensional y estimaciones

Ecuaciones dimensionales

Una ecuacion fısico-quımica coherente tiene iguales unidadesen ambos miembros

Toda ecuacion fısico-quımica tiene una ecuaciondimensional asociada en la que cada magnitud se relacionacon su naturaleza: L (longitud), T (tiempo), M (masa), etc.P.ej: F = ma → [F ] = [m][a]→ N = kg ·m/s2

Utilidad

para averiguar dimensiones de magnitudes desconocidas.P.ej: F = GM ·m

d2, ¿dimensiones de G en SI?

para saber si una ecuacion es correcta...

P.ej:T = 2π√

lg , T = 2π

√gl . ¿cual es correcta para el perıodo

de un pendulo?

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!

¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Importantısimo: ESTIMACIONES

Podemos estimar valores para magnitudes aun sin saber queecuaciones las determinan...

P.ej: ¿Cual es la velocidad de un cuerpo que cae desde untercer piso?

¿Que magnitudes determinan el problema? ¡Gravedad y altura!¿Que unidades tienen?[v] = L/T [h] = L [g] = L/T 2

¿Como construir una velocidad con g y con h?L/T =

√L · L/T 2 → v ∼

√gh

v es mayor cuanto mayor es gv es mayor cuanto mayor es h

Notacion cientıfica y cifras significativas

Notacion cientıfica

Un numero con un solo guarismo delante de la coma y unapotencia de 10.P.ej: 344,6 · 107 vs 3,446 · 109

¡Utiles para hacer calculos aproximados sin calculadora! P.ej:

6, 9 · 10−11 · 6 · 1024

(6, 1 · 108)2≈ 7 · 6

62· 10−11+24−16 ≈ 1,1 · 10−3

¿Cuantos decimales? Redondeo

Cifras significativas: dıgitos de un numero que se consideranvalidos. Tienen que ver con la precision de los aparatos demedida

23, 4 · 102 tiene tres cifras significativas0,1 tiene una cifra significativa0,10000 tiene cinco cifras significativas

Si multiplicamos (dividimos) dos medidas el resultado se dejacon el numero de cifras significativas de la medida menosprecisaP.ej: 34, 9 · 0,01 = 0,3 (una cifra significativa)P.ej: 2, 4 · 10−3 · 1, 1456 · 1015 = 2, 8 · 1012.

Si sumamos (restamos) el numero cifras decimales (por detrasde la coma) viene marcado por la medida menos precisa.P.ej: 1, 2 + 0, 001 + 9, 1 =10, 301= 10,3P.ej: 24, 5 + 1− 5, 6784 =19, 822= 20

¿Cuantos decimales? Redondeo

Cifras significativas: dıgitos de un numero que se consideranvalidos. Tienen que ver con la precision de los aparatos demedida

23, 4 · 102 tiene tres cifras significativas0,1 tiene una cifra significativa0,10000 tiene cinco cifras significativas

Si multiplicamos (dividimos) dos medidas el resultado se dejacon el numero de cifras significativas de la medida menosprecisaP.ej: 34, 9 · 0,01 = 0,3 (una cifra significativa)P.ej: 2, 4 · 10−3 · 1, 1456 · 1015 = 2, 8 · 1012.

Si sumamos (restamos) el numero cifras decimales (por detrasde la coma) viene marcado por la medida menos precisa.P.ej: 1, 2 + 0, 001 + 9, 1 =10, 301= 10,3P.ej: 24, 5 + 1− 5, 6784 =19, 822= 20

¿Cuantos decimales? Redondeo

Cifras significativas: dıgitos de un numero que se consideranvalidos. Tienen que ver con la precision de los aparatos demedida

23, 4 · 102 tiene tres cifras significativas0,1 tiene una cifra significativa0,10000 tiene cinco cifras significativas

Si multiplicamos (dividimos) dos medidas el resultado se dejacon el numero de cifras significativas de la medida menosprecisaP.ej: 34, 9 · 0,01 = 0,3 (una cifra significativa)P.ej: 2, 4 · 10−3 · 1, 1456 · 1015 = 2, 8 · 1012.

Si sumamos (restamos) el numero cifras decimales (por detrasde la coma) viene marcado por la medida menos precisa.P.ej: 1, 2 + 0, 001 + 9, 1 =10, 301= 10,3P.ej: 24, 5 + 1− 5, 6784 =19, 822= 20

Nociones de calculo de erroresexperimentales

El error en la medida

¡Toda medida es un intervalo! → Siempre hay un errorP.ej: 3, 4± 0,1 mP.ej: 23,5433± 0,0234 s

Errores absoluto y relativo

Para cuantificar la bondad de una medida usamos erroresabsolutos y relativos

Error absoluto (exactitud): εabs = |valor real− valor medido|Error relativo (precision): εrel =

εabsvalor medido

Hay dos tipos de errores absolutos que pueden cometerse al medir:sistematicos (experimentales) y estadısticos

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatospara mejorarlo hay que mejorar el aparato...El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatospara mejorarlo hay que mejorar el aparato...El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatos

para mejorarlo hay que mejorar el aparato...El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatospara mejorarlo hay que mejorar el aparato...

El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatospara mejorarlo hay que mejorar el aparato...El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Problemas...

Nunca sabemos cual es el valor real→ Muestra vs Poblacion

¿Como aproximamos el error absoluto de una medida?

El error absoluto experimental es la mınima precision de losaparatospara mejorarlo hay que mejorar el aparato...El error absoluto estadıstico para N medidas tomadas con elmismo instrumento se toma como

εabs ≈s√N,

con s la desviacion estandar:

s2 =1

N − 1

∑i

(xi − x)2.

Va como ε ∼ 1√N

, luego disminuye cuantas mas medidas se

hagan!

Veamos como se hace...

Ejercicios