sistema segundo medio

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de

verificarse a la vez

Se escribe

''' cybxa

cybxa

Se llaman coeficientes

Se llaman términos independientes


Una SOLUCIÓN del sistema

''' cybxa

cybxa

es cualquier pareja de valores (x, y)que verifique las dos ecuaciones

Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones

14

32

yx

yx

2.1- 5 = -3

4.1- 5 = -1

Ejem

plo

El par (1, 5) es una solución de este sistema

porque:

1x

5y


''' cybxa

cybxa

• Si ''' c

c

b

b

a

a SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO

Infinitas soluciones

• Si

• Si

''' c

c

b

b

a

a SISTEMA INCOMPATIBLE

No tiene solución

'' b

b

a

a

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Tiene una única solución

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN-Se despeja una incógnita en una ecuación-Se sustituye esa expresión en la misma incógnita de la otra ecuación

Ejemplo

643

82

yx

yx

yx 28

64)28(3 yy 3y

328 x

2x

-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.-El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba despejada la otra incógnita.

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE RESOLUCIÓN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE IGUALACIÓN-Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones-Se igualan esas dos expresiones

Ejemplo

643

82

yx

yx yx 28

3

4628

yy

3y328 x 2x

-Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.-El valor de esa incógnita se sustituye en cualquiera de las dos expresiones, para calcular el valor de la otra.

3

46 yx

yx 28


MÉTODO DE REDUCCIÓN (Eliminación de una incógnita)-Se multiplican una o las dos ecuaciones por números de manera que los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos

Ejemplo

643

82

yx

yx

3y832 x 2x

-Se suman esas dos ecuaciones, eliminando así una de las incógnitas

-Se resuelve la ecuación resultante.

643

2463

yx

yx 3por

3010 y

-Se sustituye ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el valor de la otra incógnita.


MÉTODO DE DOBLE REDUCCIÓN-Consiste en aplicar el método de reducción a ambas incógnitas

Ejemplo

643

82

yx

yx

3y

2x

b

643

2463

yx

yx 3por

3010 y

643

82

yx

yx

643

1642

yx

yx2por

x5 10


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00.

¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón?

¿Qué harías para resolver este problema?

9


Si leíste con atención el problema, sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de cada cuaderno y el costo de cada plumón.Si representamos con:

p costo de un plumón

c costo de un cuaderno

10


c - p = 6 (diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón)

Esta información la podemos traducir al lenguaje de las ecuaciones.

5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00)

El resultado es: un Sistema de Ecuaciones

11


Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de

primer grado con dos variables cada una.

12


Resolver un sistema de ecuaciones

significa encontrar los valores de las variables que satisfacen

simultáneamente dichas ecuaciones.

13


Para resolverlo existen varios métodos:

Por determinantes

14

De sustituciónDe igualación

De suma y resta o Reducción

Gráfico

Con calculadora


Veamos cómo resolver el problema anterior utilizando algunos de ellos.

15

Haz < clic > en cualquiera de las opciones

Gráfico

De sustitución

De igualación

De suma y resta o Reducción

Salir


Escribimos el sistema de ecuaciones

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituir en la

otra.

5c + 4p = 84 ..........

ecuación 1

c - p = 6 .......... ecuación

216


a)Despejamos la variable “c” (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). c – p = 6

c = 6 + p ...... ecuación 3

5 (6 + p) + 4p = 84

b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1

17


c) Resolvemos la ecuación resultante.

SimplificamosReducimos

Despejamos

p = 6

5 (6 + p) + 4p = 84 30 + 5p + 4p = 84

30 + 9p = 84 9p = 84 – 30 9p = 54 p = 54 9

18


d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3.

c = 6 + pc = 6 + 6

c = 12

19


e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos.

Ecuación 1 Ecuación 2

20

5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84

84 84

c + p = 612 + 6 = 6 6 6

Nota Idéntico a


Esto quiere decir que a Luis le costó $ 12.00 cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón.De manera general:Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente.

1) Se despeja cualquiera de las variables

en cualquiera de las ecuaciones,

generalmente la más sencilla. 21


2) Se sustituye la variable despejada

en la otra ecuación.3) Se resuelve la ecuación que

se obtuvo para encontrar el valor de

una variable.4) Una vez encontrado ese valor

se sustituye en la ecuación

despejada y se encuentra el valor de la otra

variable.5) Se comprueba el resultado

obtenido sustituyendo los valores en

las ecuaciones originales. 22Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir


MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla.

Tomaremos como referencia el problema de

Luis.

23


a) Escribimos las dos ecuaciones.

5c + 4p = 84 ....... ecuación 1 c - p = 6 ........ ecuación 2

24


c - p = 6 c = 6 + p ............... ecuación 4

b) Despejamos la variable (incógnita) “c” en las 2 ecuaciones.

25

5c + 4p = 84 5c = 84 – 4p c = 84 – 4p ............. ecuación 3 5

ecuación 1

ecuación 2


c) Se igualan las 2 expresiones.

84 – 4p = 6 + p 5

26


d) Resolvemos la ecuación.

84 – 4p = 6 + p 5 84 – 4p = 5(6 + p) 84 – 4p = 30 + 5p-4p – 5p = 30 – 84

-9p = -54

p = -54 -9

p = 627


c = 6 + pc = 6 + 6

e)Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas (inciso b). Generalmente la más sencilla.

28

c =c = 12


Nota

f) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo en las ecuaciones originales estos valores. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos.

Ecuación 1 Ecuación 2

29

5c + 4p = 845(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84

c + 4 = 612 + 6 = 6 6 6Idéntico

a


Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón.

Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones lineales por el método de igualación seguimos estos pasos.

De manera general:

30

1) Despejamos la misma variable en cada

ecuación.


5) Se comprueban los resultados

sustituyéndolos en las ecuaciones

originales.

2) Igualamos las expresiones que resultan.

3) Se resuelve la ecuación para obtener

el valor de una variable.4) Se sustituye el valor anterior

en cualquiera de las 2 ecuaciones

que se despejaron para encontrar el valor

de la otra variable.

31Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir


Se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable, se resuelve y se comprueba.

MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN.

Tomando como referencia el problema de Luis, tenemos:

32


a) Escribimos el sistema de ecuaciones.

5c + 4p = 84 ....... ecuación 1

c – p = 6 ....... ecuación 2

33


b) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable “p” tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones:

34


5c + 4p = 844c - 4p = 24

c – p = 6 /x44c – 4p = 24

ecuación 2 por 4

Entonces

35


d) Resolvemos la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita “c”

c) Cancelamos “p” al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones.

5c + 4p = 844c - 4p = 249c = 108

9c = 108 c = 108 9

c = 12

36


e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos.

c - p = 6 12 - p = 6 - p = 6 - 12 - p = - 6 -1 (-p = - 6)

sustituimos en la ecuación 2resolvemos

37

p = 6


f) Comprobamos las 2 soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son correctos.

Ecuación 1

Ecuación 2

38

5c + 4p = 845(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84

c - p = 612 - 6 = 6 6 6

Nota Idéntico a


En el siguiente diagrama se señalan los pasos para resolver un sistema de 2 ecuaciones por el método de suma y resta o reducción.

Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón.

39

De manera general:


INICIO

Observa los coeficientes de las variables.

¿Alguna variable tiene

coeficientes simétricos?

Suma las ecuaciones.

Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable.Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable.

FIN

¿Alguna variable tiene

coeficientes iguales?Resta las

ecuaciones.

Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables.

NO

SÍ NO

SÍ

¡Es muy fácil! Sólo sigue las

flechas y encontrarás la

solución

40


** El método gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión.

MÉTODO GRÁFICO

Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con 2 variables significa encontrar el punto (x, y) en el cual se intersectan las 2 rectas. Ese punto (x, y) es la solución.

41


Compró 5 cuadernos y 4 plumones pagando $84.00. La diferencia de costos entre un cuaderno y un plumón es de $6.00. ¿Cuánto costó cada artículo?

42

Para ver este método recordaremos el problema de Luis:


a)Traducimos a lenguaje algebraico esta

información. (en este caso x = costo de un cuaderno, y = costo de un plumón).

5x + 4y = 84 ...... ecuación 1 x - y = 6 ...... ecuación 2

43


x - y = 6 -y = 6 – x (-y = 6 – x) (-1) y = -6 + x

b) Despejamos “y” en las 2

ecuacionesEcuación 1 Ecuación 2 5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4

44


Ecuación 2

y = - 6 + x

c) Asignamos valores a la “x” en ambas ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación.

Ecuación 1 y = 84 – 5x 4

45


y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 =

1

Ecuación 1 y = 84 – 5x 4

x y

613.5

8 11

10 8.5

12 6

14 3.5

16 1

46

y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 =

13.5y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4

= 11y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4

= 8.5y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 =

24/4 = 6y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4

= 3.5


Ecuación 2

y = - 6 + x

x y

6 0

8 2

10 4

12 6

14 8

16 10 y = -6 + 16 = 1047

y = - 6 + 6

= 0y = -6 + 8 =

2y = -6 + 10 =

4y = -6 + 12 =

6y = -6 + 14

= 8


Intersección

Punto (12, 6)

d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano.

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Ecuación 1

Ecuación 2

8

9

10

11

12

13

141516 y

x48


49

El punto de intersección es (12, 6), esto significa que x=12 y y=6; por lo tanto el costo de un cuaderno (x) es $ 12.00 y el costo de un plumón (y) es $ 6.00.


50

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:

1)Determinado o compatible La solución es un punto (x, y), en

que las rectas se cortan. Como el caso anterior.


y

x51

Ecuación 1

Ecuación 2

x + y = 4

x + y = 6

ec. 1

ec. 2

2) Incompatible No tiene solución, es decir, no hay intersección porque las rectas son paralelas.


3) Indeterminado o dependiente. Tiene infinitas soluciones, pues las rectas coinciden en todos los puntos.

x

y

1 2 3 4 5

1

2

3

-3

-2

-1-1

x - y = 3

2x - 2y = 652

x - y = 3

2x - 2y = 6

sistema segundo medio

Documents