simulacion de circuitos de molienda

8/3/2019 Simulacion de Circuitos de Molienda

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PREFACIO

La reduccin de tamao es una operacin de gran importancia en la industriaminera, la industria de energa, de la construccin y qumica, entre otras. En los pasesiberoamericanos indudablemente es la aplicacin en la industria minera y del cemento laque tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industriaminera del cobre por s sola gasta 100 millones de dlares anuales para moler 100 millones

de toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minera del fierro y la industria cementera,es fcil darse cuenta que las cifras involucradas en la operacin de reduccin de tamaoson gigantescas.

Si se considera que la ley de los minerales de cobre es slo del orden del 1%, lacantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Porotra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucranla fragmentacin de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados aestas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamao. Esto significa altoscostos de inversin. Un diseo adecuado de estos equipos es de importancia fundamentalsi no se quiere malgastar recursos econmicos siempre escasos.

El gran tamao y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos deoperacin. La conminucin, operacin bajo cuyo nombre genrico se incluye todas lasoperaciones de reduccin de tamao, esto es, la trituracin y molienda, consumeaproximadamente del 20 al 80% del costo total de energa para producir cobre oconcentrado de fierro, y en el caso especfico del cobre constituye la mitad del costo deprocesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto econmicoque la optimizacin del proceso de conminucin traera a la industria de materias primas.

A pesar de su antigedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, elconocimiento bsico en conminucin es precario. Falta mucho por saber respecto de lainfluencia de variables de operacin sobre el comportamiento de los molinos de bolas ybarras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientosde molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicacin delos molinos semi-autgenos se ha propagado mucho mas rpidamente que elconocimiento sobre ellos, de manera que lo que de stos se conoce es mas cualitativo quecuantitativo. Algo similar sucede con la clasificacin, donde los hidrociclones se utilizandesde hace mas de cincuenta aos, sin que el mecanismo de clasificacin se domine endetalle. Finalmente, los mecanismos de conminucin que se aplican en los equiposactuales siguen siendo la compresin y el impacto, aunque se ha demostrado que ellosson extraordinariamente ineficientes.

La importancia de la conminucin ha hecho que diversas instituciones deinvestigacin en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros seencuentran en los Estados Unidos de Norte Amrica, Canad, Europa, Australia, frica

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del Sur y recientemente, en Iberoamrica. Sin embargo, el volumen de esta actividad noguarda ninguna relacin con el tamao de los problemas de la industria minera de laregin, requirindose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer una

infraestructura estable para el desarrollo de tecnologa que, por un lado, oriente el esfuerzode investigacin en la direccin correcta y, por el otro, posibilite que los resultados lleguena los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la regin concentranimportantes esfuerzos en la seleccin de equipos, optimizacin y automatizacin de laoperacin. No obstante, el estado del conocimiento del rea exige un esfuerzo deinvestigacin mayor, que genere pautas mas precisas de cmo efectuar la optimizacin.

An as, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividadescientficas y tecnolgicas en el campo de la conminucin en los pases iberoamericanosy en el mundo en general.

En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemasde molienda, en Via del Mar, Chile, se cre la International Comminution ResearchAssociation, ICRA, institucin con sedes en Norteamrica, Iberoamrica, Europa, Asia,Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas paraorientar la investigacin y difundir informacin especializada del campo de laconminucin , para asegurar que la investigacin de alto nivel en el campo sea conocidapor sus miembros.

Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnologa para el Desarrollo CYTED, esun programa de cooperacin cientfica y tecnolgica creado en 1984 por iniciativa deEspaa, cuya finalidad es fomentar la cooperacin cientfica y tecnolgica entre los 21pases miembros. Su mbito de actuacin es la investigacin aplicada, el desarrollo

tecnolgico y la innovacin y su objetivo es la obtencin de resultados transferibles a lossectores productivos. En el ao 1991 el CYTED aprob la creacin de la Red XIII-A,Fragmentacin, cuyo objetivo es (1) promover la formacin de recursos humanos de altonivel, (2) promover la investigacin cientfica y tecnolgica, (3) promover el intercambiode informacin especializada y (4) promover la edicin de monografas, textos didcticosy capacitacin, todos en el campo de la conminucin.

ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misin en Iberoamricaen forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa direccin se han propuestoeditar y distribuir el libro que aqu presentamos.

Este libro es el resultado de muchos aos de experiencia del autor principal endocencia e investigacin en el tema de la conminucin, como tambin de una colaboracin

estrecha entre los autores en investigacin y en la dictacin de cursos de educacincontinuada para ingenieros de la industria minera. En las dos ltimas dcadas se haacumulado un gran caudal de nuevo conocimiento cientfico y tecnolgico en este campo,el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autorprincipal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografasobre molienda publicada en idioma ingls. La presente edicin quiere extender esteesfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avanceshabidos y la colaboracin de sus autores.

El texto pretende ser una revisin, en profundidad, de los principios sobre los quese basan las operaciones de conminucin y clasificacin y su aplicacin al anlisis de los

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circuitos de molienda-clasificacin. En l se da nfasis a la modelacin matemtica, a lastcnicas de anlisis experimental y a la simulacin de circuitos destinados al diseo y ala optimizacin. En el captulo 1 se hace una introduccin al campo de la conminucin

y se define los principales trminos involucrados. El captulo 2 est dedicado a researlos fundamentos de la mecnica de fractura aplicada a la ruptura de partculas demateriales frgiles. En el captulo 3 se trata los mtodos tradicionales de diseo demolinos. El captulo 4 comienza el estudio de la cintica de la molienda y forma la basede lo tratado en los captulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios paradeterminar los parmetros de molienda se describen en detalle en los captulos 5 y 6. Elcomienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el captulo 7 donde se analizael concepto de distribucin de tiempos de residencia. En el captulo 8 se analiza losmtodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la plantaindustrial. La clasificacin se estudia en el captulo 9 y su aplicacin a circuitos demolienda se analiza en el captulo 10. El captulo 11 corresponde a un estudio de casos

que integra todos los conocimientos vistos en los captulos anteriores. Finalmente elcaptulo 12 analiza la molienda semi-autgena, cuyo estudio ha ocupado gran parte deltiempo del autor principal en los ltimos aos.

Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una uotra forma a hacer realidad la publicacin de este libro. Sin duda que entre ellos estnnuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr.Jorge Menacho por su inters y aporte en la discusin de varios temas, en especial delcaptulo 12. Queremos agradecer a Sofa Barreneche de Austin por su asistencia en latraduccin de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enormetrabajo en la edicin del libro.

Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte de

recursos econmicos sin los cuales habra sido imposible materializar este proyecto.

L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A.

Concepcin, Chile

Abril de 1994.

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INDICE

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii

CAPITULO 1

INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAREL DISEADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 CONDICIONES DE OPERACIN DE MOLINOSROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAO

2.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 BREVE RESEA DE LA MECANICA DE FRACTURA . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACIONDE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Concentracin de Esfuerzo: Teora de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Materiales Dctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA:

ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CAPITULO 3

ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEO DEMOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEO DE MOLINOS DE BOLAS . 45

3.2.1. Ecuaciones de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46

ETAPA 2: Clculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ETAPA 4: Correccin para otras condiciones de operacin . . . . . . . . . 50

ETAPA 5: Clculo de la energa especfica consumidapara una razn de reduccin determinada . . . . . . . . . . . . . . 51

ETAPA 6: Clculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52

3.2.2 Procedimiento de Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Discusin del Mtodo de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEO DE MOLINOS DE BARRAS 57

3.4.1 Ecuaciones de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58

ETAPA 2: Clculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ETAPA 4: Correccin para otras condiciones de operacin . . . . . . . . . 59

ETAPA 5: Clculo de la energa especfica consumidapara una razn de reduccin determinada . . . . . . . . . . . . . . 60

ETAPA 6: Clculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60

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3.4.2 Procedimiento de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEO . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPITULO 4

CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASAPOR TAMAOS

4.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA,O DISTRIBUCION DE TAMAO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAOS: ECUACION DE LA MOLIENDADISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . 75

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77

4.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

CAPITULO 5INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAO DE LASPARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDADISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CAPITULO 6

DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DEFRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123

6.2 TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA

DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURADESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPITULO 7

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

7.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2 EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139

7.3 MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3.2 Mtodo experimental de inyeccin y medicinde un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.3 Medicin de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3.4 Medicin de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.5 Medicin de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.4 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIADE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

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7.5.4 Modelo de Dispersin Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.6 MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA

ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CAPITULO 8

ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DEBOLAS Y TRANSPORTE DE MASA

8.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2 POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.1.Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.3 OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARAMOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.4 DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186

8.5 DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190

8.6 CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.7 OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.8 EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.9 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

CAPITULO 9

CLASIFICACION E HIDROCICLONES

9.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.2 PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . 208

9.3 CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3.1.Mtodo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.3.2.Mtodo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3.3.Mtodo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

(1) Ecuacin de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

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(2) Ecuacin Logaritmo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(3) Ecuacin de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(4) Ecuacin Logstica en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.5 HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.5.1.Variables que afectan la operacin de un hidrocicln . . . . . . . . . . . . . . 226

(1) Variables de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

(2) Parmetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

(3) Variables de Operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

(4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclonesy su incorporacin a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Mtodo de Diseo y Simulacin basado en el Modelo de Arterburn . . 234

Objetivo 1 : Diseo Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Objetivo 2 : Simulacin de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Objetivo 3 : Simulacin de Operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.6 OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.1. Clasificadores mecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.6.4. Separadores mecnicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.7 CLASIFICACION EN DOS ETAPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

CAPITULO 10

APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA

10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACIONDE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA:MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

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10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDADE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE. . 25910.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.1.Descripcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.5.3. Discusin de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

CAPITULO 11

SIMULACIONES DE CIRCUITOS

11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOSCON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEOSDE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.2.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.5. Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.2.6. Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2.7. Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.2.8. Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.2.9. Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR . . . . . . . . . . . . 295

11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.1. Formulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.2. Ejemplos Tpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

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CAPITULO 12

MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG)

12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

12.2 ENSAYOS CONVENCIONALESPARA EL DISEO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA:ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG 326

12.4.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337

12.5.1. Abrasin Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.5.2. Combinacin con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURADE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.1 Distribucin de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.2. Fractura rpida y lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA YDENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DEAUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DEMOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36712.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando. . . . . . 374

12.10.4 Tratamiento de una alimentacin consistenteen una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378

12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

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12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

12.12 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

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CAPITULO 1

INTRODUCCION:FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEADOR DE CIRCUITOS

DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA

La reduccin de tamao por trituracin y molienda es una operacin importante

en las industrias minera, metalrgica, de energa y qumica. La cantidad de materiales

frgiles, tales como rocas, minerales, carbn, productos del cemento u otros, molidos

actualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (109) de toneladas [1.1], con

un gran consumo de energa asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individuales

tratando 10 millones o ms de toneladas por ao.

Sorprendentemente, para una operacin unitaria de importancia tan fundamental

para la tecnologa industrial, no existan, hasta hace poco, textos actualizados sobre los

principios de diseo de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varioslibros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequibles

en los ltimos aos [1.3, 1.4 y 1.5], y el captulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmente

bueno como una gua condensada para el diseo convencional de molinos utilizando el

mtodo Bond. A esto se agrega el que la operacin unitaria de molienda tenga ahora una

base terica ms elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos ltimas dcadas [1.6].

Aun cuando no est completa todava, ser sin duda utilizada ms y ms en el futuro.

Esta base terica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para la

transferencia de calor y la destilacin y, en particular, tiene gran similitud con la teora

del diseo de reactores qumicos, usando muchos conceptos en comn con la

terminologa utilizada en este campo. Los principales objetivos de este texto son presentar

con profundidad este enfoque ms elaborado y mostrar las correlaciones y divergenciasde sus resultados con mtodos ms antiguos.

Este libro es una introduccin compacta al tratamiento matemtico de la

operacin unitaria de reduccin de tamao por medios mecnicos, sto es, el

dimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usando

molinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniera mecnica de los molinos de bolas

sern mencionados solamente cuando se relacionen al diseo de procesos. Se espera que

el libro sea apropiado como texto avanzado en la enseanza de la ingeniera metalrgica,

ingeniera de minas e ingeniera qumica, ya que enfatiza los conceptos fundamentales y

procedimientos de clculo de la reduccin de tamao en molinos ms que la seleccin

de equipo o el diseo mecnico.

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1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBEENFRENTAR EL DISEADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA.

Al disear cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso es

dimensionar el reactor de acuerdo a la produccin requerida de producto de la calidad

deseada, usando coeficientes cinticos, balances trmicos y de masa, y coeficientes de

transferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extraccin de suficiente energa para

producir la reaccin deseada y se debe disear para minimizar reacciones indeseables.

El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con una

variedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada de

producto en la forma ms eficiente posible, con el mnimo de costo de capital, de gastos

de energa y de costos de mantenimiento y mano de obra.

Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseo de molinos.

Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino ms usado en la actualidad, el molino

rotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en uno

de los extremos pasa por el molino fracturndose debido a la accin de la carga de bolas,

produciendo un material en la descarga con una distribucin de tamao ms fina. Este

equipo puede ser considerado como un reactor continuo donde la energa suministrada

es convertida en accin mecnica de ruptura y la reaccin obtenida es una reduccin

ALIMENTACION

Figura 1.1: Ilustracin de un molino de bolas detenido, que poseedescarga de parrilla.

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de tamao. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Un

paso bsico en el diseo de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molino

para obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentacin

especfica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado,lo que envuelve una correcta seleccin de las condiciones de molienda tales como

velocidad de rotacin, peso de la carga de bolas, y tamao de las mismas.

Asociado con el paso bsico de determinacin del tamao del molino, est la

especificacin de la energa necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energa

por tonelada del producto. Obviamente el diseador desea ser capaz de especificar las

condiciones de molienda que produzcan un consumo mnimo de energa por tonelada del

producto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mnima energa no son

necesariamente aquellas para una mxima capacidad o para la ms alta rentabilidad de

la planta. En general, el molino debe ser diseado para funcionar con la ms eficiente

molienda posible, definida por la mayor capacidad especfica de molienda y el ms bajo

consumo de energa, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento ycontaminacin del producto. Adems es usualmente muy deseable el saber cmo

reaccionar el circuito ante cambios en las condiciones de operacin, de tal manera que

se pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplir

especificaciones.

Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de molienda

combinadas con recirculacin puede ser ventajoso. Es una prctica comn pasar el

material que sale del molino a travs de un clasificador de tamao, el cual divide el

producto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partculas ms gruesas

(sobretamao) y el otro partculas muy finas (bajotamao). El flujo de partculas gruesas

es recirculado al punto de alimentacin del molino. El proceso de separacin selectiva

de tamaos se conoce como clasificacin, existiendo varios tipos de equipos que

producen esta accin de clasificacin: harneros continuos, clasificadores de espiral y de

rastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseo del circuito debe incluir una

especificacin de la cantidad ptima de recirculacin y cmo obtenerla.

Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculacin,

o puede haber recirculacin y remolienda de material proveniente desde una etapa

posterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotacin. Por lo tanto, a menudo

es necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamao

de un nmero de componentes para lograr el sistema ms eficiente para un determinado

trabajo. Por ejemplo, el diseador puede confrontar la seleccin entre un circuito que

contiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barras

y molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autgeno.

Varios circuitos pueden ser tcnicamente factibles y la seleccin es entonces, una cuestin

de economa global.

Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados:

(I) Tamao del molino

(II) Potencia del molino, energa especfica de molienda

(III) Condiciones de molienda eficiente

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(IV) Recirculacin, eficiencia de clasificacin

(V) Desempeo del circuito de molienda bajo condiciones variables

(VI) Seleccin de molinos para circuitos complejos

(VII) Optimizacin econmica

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS

Un molino es esencialmente unreactor que esttransformando partculas grandes

a partculas ms pequeas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a las

partculas y causar fractura, pero el ingeniero metalrgico est interesado principalmente

en equipos de gran tamao que procesen en forma continua grandes flujos de materialesfrgiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del da. Los molinos ms

utilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y los

molinos semiautgenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos de

construir, seguros, fciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos de

energa por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda.

Elreactivo en el molino es la alimentacin que en l entra, la que raramente es de

un solo tamao y normalmente tiene una distribucin granulomtrica completa, de

manera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribucin de

tamaos puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de nmeros

P(x) que representan la fraccin acumulativa en peso bajo el tamao x. A menudo es

conveniente usar una escala log-log para la representacin grfica de P(x), tal como semuestra en la Figura 1.2.

El mtodo de anlisis granulomtrico ms sencillo y seguro es el tamizado, de

modo que el tamao se refiere por lo general al tamao de la malla de cada tamiz utilizado

(ver Tabla 1.1) La fraccin en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaos de

tamices, denotada por w, contiene la misma informacin que la Figura 1.2, de manera

que un conjunto de nmeros w tambin representa la distribucin de tamao. Es

conveniente usar intervalos de tamao en una progresin geomtrica correspondiente a

la secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convencin arbitraria de designar

el tamao del intervalo mayor como 1, el prximo ms pequeo como 2, etc., como se

muestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamao, por ejemplo el

intervalo i, la fraccin en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fcilextender la distribucin granulomtrica a tamaos muy pequeos, menores a 38 m (400mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamaos

pequeos. El intervalo de tamao final, que contiene el peso del material ms pequeo,

es definido como la fraccin en peso wn de tamaos menores al ms pequeo tamiz

utilizado. Este intervalo se denominasumidero ya que l recibe material fracturado de

todos los tamaos mayores, pero no entrega material a ningn otro intervalo.

Elproducto es la distribucin de tamao del material que va saliendo del molino.

Nuevamente, sta no es nunca un tamao individual y debe utilizarse una curva o un

conjunto de nmeros para caracterizar su distribucin granulomtrica, de la misma

manera que se indic para el material de alimentacin. Para definir un sistema de

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Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada

Tamaonormalizado Designacinmalla U.S. Tamaonormalizado Designacinmalla U.S.

125 mm 5" 850 m 20106 mm 4.24" 710 m 25100 mm 4 600 m 30

90 mm 312 500 m 3563 mm 212 355 m 4553 mm 2.12 300 m 5050 mm 2 250 m 6045 mm 134 212 m 70

37.5 mm 112 180 m 8031.5 mm 114 150 m 10026.5 mm 1.06 125 m 12025.0 mm 1 106 m 14022.4 mm 7/8 90 m 17019.0 mm 3/4 75 m 20016.0 mm 5/8 63 m 23013.2 mm 0.530 53 m 27012.5 mm 1/2 45 m 325

11.2 mm 7/16 38 m 4009.5 mm 3/8 8.0 mm 5/16"

6.7 mm 0.265

6.3 mm 1/4

5.6 mm N 3124.75 mm 4

4.00 mm 5

3.35 mm 6

2.80 mm 7

2.36 mm 8

2.00 mm 101.70 mm 12

1.40 mm 14

1.18 mm 16

1.00 mm 18

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molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no es

posible especificar la distribucin de tamao completa, por lo tanto se utiliza una de las

formas que siguen: (a) un slo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menor

a 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y no

ms de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie especfica determinada.

Otro ejemplo de aplicacin de la especificacin del tamao de un producto se

relaciona con la liberacin de un material valioso desde un trozo de roca en operaciones

de metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingeniero

metalrgico llega a la deseadafineza de molienda para obtener una liberacin suficiente,

especificndola luego al diseador del molino.

En la concentracin por flotacin del componente valioso, se sabe que partculas

muy finas, por ejemplo menores que 5 m, flotan muy pobremente y que con partculasgrandes, por ejemplo mayores a 300 m, tambin sucede lo mismo. Este es un ejemplode una especificacin en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamao

especificado, pero debe adems tener un mnimo de lamas.

Como se mostrar ms adelante, y como se espera por sentido comn, la velocidad

a la cual las partculas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamao de las

partculas. A diferencia de un reactor qumico simple que convierte A en B, un molino

opera con un conjunto completo de tamaos de alimentacin produciendo un conjunto

Figura 1.2: Grfico log-log de la distribucin de tamao acumulativa. El tiempo demolienda es t.

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de tamaos finales. En forma semejante a un reactor qumico, el conocimiento de la

velocidad a la cual cada tamao se fractura permite la prediccin de la rapidez de

desaparicin de estas partculas de la carga del molino.

Sin embargo, a diferencia de la simple reaccin qumica A B, an lafragmentacin de partculas de un slo tamao produce una completa variedad de tamaos

de producto. Si el rango de tamaos se divide en un nmero de intervalos, la fraccin de

material fracturado desde un tamao fijo que cae dentro de un intervalo de tamao menor

puede ser considerado como unproducto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro que

la comprensin razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra el

conocimiento de ladistribucin de tamao de la progenie, sto es, de lafuncin de distribucin de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que un

determinado tamao se fractura y en qu tamao aparece su producto, constituye la

descripcin elemental del balance de masa por tamaos o balance de poblacin del

molino.

Figura 1.3: Ilustracin de la fraccin de material fracturado desde un monotamaoque queda en un intervalo de tamao determinado.

Figura 1.4: Ilustracin de la distribucin de tiempos de residencia (DTR) para unmolino de bolas.

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Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede considerar

ste como una caja negra con un volumen Vque contiene una masa de polvo W. Si se

mira un intervalo de un tamao particular i, la fraccin de Wque es de tamao i es wi,

por lo tanto la masa de tamao i ser wiW. La velocidad especfica de ruptura de este

tamao, Si, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilgramos de tamao i

fracturados por unidad de tiempo por kilgramo de tamao i presente. Las unidades de

Si son (kg/t)/kg=t-1

. De este modo Si queda definido por:

Velocidad de ruptura de un tamao i = SiwiW (1.1)

y es equivalente a una constante de velocidad de reaccin qumica de primer orden. La

operacin de molienda ms eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores de

Sison mximos. Si la geometra del molino o las condiciones de carga de bolas cambian,

la intensidad y estadstica de la fractura por unidad de volumen del molino tambin

cambian y como consecuencia, cambian los valores de Si. Esto es equivalente a cambiar

la temperatura en un reactor qumico.

Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto.

Si la velocidad de alimentacin de un molino de bolas de determinado tamao se

Figura 1.5: Ilustracin del rango de las distribuciones de tamao con un punto comnfijo en 80% menos de 75 m, obtenido variando la razn de recirculacin.

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alimentacin del molino. El beneficio de esta accin es que la distribucin de tamao

de las partculas que han sido trituradas en el molino contiene ahora ms partculas gruesas

y menos partculas finas. Si no hay finos presentes, stos no son retriturados. El cuociente

(Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulantey se la expresa como porcentaje. La raznT/Q=C se denominarazn de recirculacin.

Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo,

que recibir el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el prrafo anterior. El

molino puede fracturar eficientemente, pero la energa se gasta en sobremoler material

que ya est suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficiencia

directa, sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de ruptura

deficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partculas de tal manera que

la energa cintica de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda una

ruptura de las partculas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la accin de las

bolas sobre las partculas es amortiguada por la presencia de exceso de estas ltimas;

(iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda hmeda, la que produce una

pulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura.

Finalmente, est claro que el trminocapacidad de molienda, que a menudo es

expresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo nmero todas las velocidades

especficas de ruptura, la distribucin de ruptura primaria, las distribuciones de tiempo

de residencia, las especificaciones de tamao del producto en relacin con la alimentacin

del molino y el tamao de ste. Este nmero slo puede ser constante para condiciones

constantes precisas.

1.4 CONDICIONES DE OPERACIN DE MOLINOS ROTATORIOS

DE BOLAS: DEFINICIONES

El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que est siendo fracturada

y la fineza de la molienda depende de cunto tiempo el material permanece retenido. El

producto se torna ms grueso cuando se aumenta el flujo de alimentacin al molino, como

se discuti anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato deretencin.

Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotacin a la cual

las bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en el

interior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza

centrfuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crtica resulta ser:

Velocidadcrtica= 76.6 Dd RPM;D, denpies (1.2a)

= 42.2 Dd RPM;D, d, enmetros (1.2b)

dondeD es el dimetro interno del molino y des el dimetro mximo de las bolas. Es

razonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino depender de la

fraccin de velocidad crtica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad de

rotacin de ste normalmente se especifica por medio de c, la fraccin de velocidadcrtica.

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La accin de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependern claramente

de qu proporcin del volumen del molino est lleno con bolas. La medida ms precisa

de sto es la fraccin de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos en

molinos de gran tamao, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y porlo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero s es posible parar el molino y

medir la altura desde la superficie de las bolas a la parte ms alta del molino, lo que

permite la estimacin de la fraccin del volumen que est lleno con el lecho de las bolas;

Figura 1.6. Por lo tanto la fraccin de llenado con bolas, J, se expresa,

convencionalmente, como la fraccin del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo.

Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o vice

versa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. La

porosidad del lecho vara ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaos de bolas, el

relleno de polvo, etc., sin embargo, se define unaporosidad nominalconstante para todos

los clculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos de

porosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valor

de Jde:

J =Volumen real de las bolas Fraccinen volumen de acero en el lecho

Volumen del molino

J =

masa de bolasdensidad de bolasvolumen del molino

1.0

1 porosidad del lecho

J = masa de bolasdensidad de bolas

volumen del molino

1.00.6

Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce una

densidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cbico (4.70 ton mtrica/m3).

Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fraccin del

volumen del molino ocupada por el lecho de polvo,fc. Usando nuevamente una porosidad

nominal del lecho de polvo de 0.4:

fc=

masa del polvodensidad delpolvo

volumendelmolino

1.0

0.6

A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente de

la carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante la

variable U, que expresa la fraccin de huecos entre las bolas en reposo ocupada por el

lecho de partculas.

U =

volumendel lecho de partculasvolumen de huecosen el lecho debolas

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=fc ( volumen del molino)

J ( volumen del molino)( porosidaddel lecho de bolas)

=fc

0.4J(1.5)

Empricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporcin

de polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino.

Si hay agua presente, ladensidad de la suspensin se puede cuantificar mediante

la fraccin en peso de los slidos en la mezcla cp. En realidad, las propiedades reolgicas

de una suspensin quedan mejor definidas por la fraccin de slido en volumen cv:

cv =cps

cps+ [(1cp)l)] (1.6)

donde cp es la fraccin en peso del slido y s y l son las densidades del slido y dellquido. La viscosidad de una suspensin depende tambin de la distribucin granu-

lomtrica de las partculas.

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS

Al describir un sistema de molienda, incluso el ms sencillo, existen un nmero

de niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, enorden ascendente de complejidad, de la siguiente manera:

1) Mtodo de la energa especfica global

2) Mtodos globales Bond/Charles

3) Mtodo de balance de tamao-masa

La esencia del Mtodo 1 es el determinar experimentalmente la capacidad de

molienda de un material desde una alimentacin conocida a un producto determinado en

el laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba son

seleccionadas lo ms similares posibles a las del molino industrial y el tiempo de molienda

es ajustado para obtener el tamao deseado del producto. La energa del molino se usa

para calcular la energa especfica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinada

alimentacin hasta un producto del tamao deseado. Se supone luego, que la energa

especfica de molienda para obtener el producto sealado desde la alimentacin dada es

independiente del diseo del molino o de su operacin (o se escala mediante una relacin

de escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potencia

mp1utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelaje

de descarga estacionario Q1 desde una alimentacin a un producto determinado, la energa

especfica es obtenida de:

Energa especfica E =mp1

Q1(1.7)

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Figura 1.6: Geometra de la carga de bolas en un molino.

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Entonces, si se necesita un tonelaje de produccin Q2 de cualquier otro molino, y se

supone una energa especfica constante, su potencia ser de:

mp2 =EQ2 = mp1

Q2

Q1

(1.8)

Como la potencia mp2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseada

puede ser calculada mediante ecuaciones empricas usando las dimensiones del molino

y su carga de bolas, se puede seleccionar un tamao apropiado de molino para dar una

potencia mp2.

Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicacin sin

experiencia previa est llena de peligros. No existe una razn fundamental de por qu la

energa especfica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parmetro

termodinmico y adems, es fcil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningnmodo ser constante, especialmente si el sistema de produccin seleccionado es ms, o

menos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas de

limitaciones en flujo msico a travs del molino, la correcta seleccin de recirculacin,

las condiciones ptimas de operacin, etc.

El Mtodo 2 utiliza elementos del Mtodo 1 y agrega relaciones empricas, como

las de la ley de Bond [1.8] o la ley de Charles [1.9], las que describen cmo la energa

especfica de molienda vara con cambios en el tamao de la alimentacin o el tamao

del producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer una

serie de correcciones empricas basadas en experiencias previas para obtener resultados

correctos.

Los mtodos arriba mencionados se denominan mtodos globales porque son

usualmente aplicados a la alimentacin y al producto que sale del circuito y no a la

distribucin real de stos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factores

cinticos en un nico parmetro descriptivo, por ejemplo, el ndice de Trabajo de Bond.

Estos mtodos sern discutidos en ms detalle en el Captulo 3.

El Mtodo 3 consiste en realizar un balance de tamao y de masa completo para

todos los tamaos de partculas del molino, utilizando los conceptos de velocidad

especfica de fractura, distribucin de fractura primaria, distribucin de tiempos de

residencia y una descripcin matemtica de la accin de clasificacin. El escalamiento

desde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de produccin, o a otras

condiciones del molino, se efecta por medio de un conjunto de relaciones que describencomo cada elemento en el balance de tamao-masa vara con las condiciones y el tamao

del molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas y

apropiadas para la optimizacin y anlisis del proceso. La ventaja de esta tcnica es que

pueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente un

diseo. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados de

sofisticacin. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales para

realizar los clculos para un nmero razonable de intervalos de tamao (por ejemplo 10

a 20), es uno de los tpicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Captulo

4.

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1.6 REFERENCIAS

1.1 Rumpf, H., Powder Technol.,7 (1973) 145-159.

1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37.

1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M.,Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu,eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278.

1.4 Lynch, A.J., et al.,Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977.

1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of ComminutionCircuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324.

1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling,AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp.

1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962).

1.8 Bond, F.C.,Brit. Chem. Eng., 6 (1960) 378-391, 543-548.

1.9 Charles, R.J., Trans. AIME,208 (1957) 80-88.

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CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCIONDE TAMAO

2.1 INTRODUCCION

Es obvio que la ciencia bsica involucrada en la conminucin es la mecnica de

fractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseo de procesos de molienda queutilicen conceptos de mecnica de fractura. Es ms, cuando las leyes de la mecnica de

fractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes de

diseo, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manera

han creado una gran confusin. En este captulo se resean los conceptos bsicos de

fractura desde el punto de vista de la reduccin de tamao por molienda y se muestra el

por qu es tan difcil efectuar clculos de diseo desde un razonamiento terico a priori.

2.2 BREVE RESEA DE LA MECANICA DE FRACTURA

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energa

Para producir una reduccin de tamao en colpas o partculas slidas, se les debe

aplicar esfuerzos y producir fractura. Un anlisis terico cuantitativo es solamente

posible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgen

de estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejas

condiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales.

Cuando un material slido es sometido a un esfuerzo sufre una deformacin. El

estudio de este fenmeno corresponde a la mecnica del medio continuo. La descripcin

del comportamiento del slido requiere la postulacin de una ecuacin constitutiva que

relacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentacin con el

material. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensin conocidos, es posible

medir cada deformacin producida y clasificar su comportamiento como elstico oinelstico.

El comportamiento elstico de un material se caracteriza porque la respuesta a los

esfuerzos es afectada slo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria que

comprometan la respuesta posterior del material. La energa acumulada durante la carga

del slido es recuperada ntegra e instantneamente durante la descarga. Si la ecuacin

constitutiva de un material slido elstico es lineal, se dice que su comportamiento es

elstico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuacin constitutiva de un material elstico

lineal en una dimensin. Esta ecuacin constitutiva se denomina ley de Hooke y es:

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=Y (2.1)

donde =(ddo)do y dy doson el tamao actual y tamao inicial de la muestra. Elparmetro Y, que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denominamdulo

de Young . El material se comporta elsticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzo

y de la deformacin unitaria en este punto se denota por c y c . El mdulo de Youngqueda expresado por:

Y= ,


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denomina comportamiento elasto-plstico y comportamiento visco-elstico. El

comportamiento elasto-plstico (Fig. 2.2) lleva a una deformacin permanente del

material, que no desaparece con el tiempo, por lo que se la trata como independiente de

ste. La descripcin se basa en el lmite de fluencia como constante del material, adems

del mdulo de Young. La energa disipada corresponde al rea bajo la curva versus .El comportamiento visco-elstico se caracteriza por su gran dependencia de la velocidad

con que se lleva a efecto. Mientras ms lenta la carga, ms inelsticamente se comporta

el material (Fig. 2.3). Un material se puede comportar elsticamente en tiempos cortos,y visco-elsticamente en tiempos mayores, dependiendo el rango de comportamiento

elstico de la temperatura. Por esta razn cuando se desea romper materiales

visco-elsticos, tales como el cloruro de polivinilo, se debe controlar la temperatura y la

velocidad de aplicacin de los esfuerzos para que el material se comporte elsticamente.

La densidad de energa acumulada por el material durante unadeformacin

elstica se denomina energa de deformacin y se puede expresar por unidad de volumen

Ev ,o por unidad de reaEs. Para una deformacin unidimensional ella es:

1

2

3

4

5

Figura 2.2 : Esfuerzo versus deformacin para la deformacin elasto-plstica de unapartcula mineral de aproximadamente 4 m de dimetro.

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Ev=E

doA= 1

doA F

do

d

dx= do

dF

Adx

do=

0

d (2.3a)

dondeEv es la energa de deformacin por unidad de volumen, do es el largo inicial del

material,A su seccin transversal y del largo deformado al aplicar la fuerza F. Usando

(2.1) e integrando resulta:

Ev=1

2Y2

y reemplazando de (2.2), se obtiene la energa de deformacin cuando se aplica unesfuerzo


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Es=1

2do

2

Y(2.3c)

El valor dado por las expresiones (2.3b) y (2.3c) corresponde a una deformacin reversible

(Teora de Hertz).

Por otro lado, si el slido es cargado inmediatamente a , el trabajo realizado serEv =2Y o Es=do2Y. La mitad de esta cantidad es energa de deformacin y laotra mitad es utilizada en acelerar el slido y lo har oscilar hasta que la amortiguacin

por friccin convierta la energa cintica en calor (Fig. 2.4). En forma similar, si un slido

se expande rpidamente a un valor "d" mediante un esfuerzo constante , el trabajoefectuado por unidad de volumen es 2Y y otra vez solamente la mitad es energareversible de deformacin.

La ruptura de un cuerpo slido requiere la aplicacin de esfuerzos suficientes sobre

el material para romper los enlaces entre los tomos de la red cristalina. Si a un material

ideal, considerando como tal aqul que posee una red cristalina perfecta, se le aplican

esfuerzos homogneos, ste no puede romperse. Al aumentar las solicitaciones, tal

material deformara isotrpicamente aumentando las distancias entre sus tomos en forma

homognea. Cuando los esfuerzos sobrepasaren la resistencia del material, ste sera

separado en sus componentes. Si lo anterior no ocurre en la prctica se debe sencillamente

Figura 2.4 : Ilustracin de vibracin amortiguada para la carga irreversible en unensayo de tensin simple.

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a que los materiales ideales no existen. Los slidos siempre contienen inhomogeneidades

que cambian su comportamiento. Particularmente, los minerales estn compuestos de

granos de diversas especies mineralgicas y cada una de stas, de muchos cristales. Esto

significa que los minerales son intrnsecamente materiales inhomogneos.

Si se aplican esfuerzos en un cierto plano del material, ste se romper, ocurriendo

fractura cuando lastensiones locales sobrepasan las fuerzas interatmicas. La fracturase denominar quiebrecuando la tensin local es mayor que la resistencia cohesiva del

material y el plano de fractura sea perpendicular al plano de esfuerzos. Si la tensin localse hace mayor a la resistencia de cizalle cohesivo, el material se fracturar en un plano

que no es perperdicular al de los esfuerzos y la fractura se denominar cedencia(Fig.2.5). El tipo de fractura producido en un material depende principalmente del tipo de

esfuerzo aplicado. En la conminucin, los esfuerzos normales son ms importantes como

forma de aplicacin de fuerzas para la ruptura de los minerales, sin embargo, la

importancia relativa del cizalle depender de la magnitud de las solicitaciones a las que

es sometido el material.

Figura 2.5 : Tipos de fractura segn la ubicacin de enlaces rotos en relacin al planode solicitaciones, en una red cbica.

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2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle

Considere un slido en estado de esfuerzo en el equilibrio. En un plano que pasa

por cualquier punto del slido, no existe fuerza neta (ya que no hay movimiento de una

parte del slido con respecto a otra), como se ilustra en la Figura 2.6, y la fuerza con

que el material A de un lado del plano acta sobre el material B del otro lado debe igualar

la fuerza del material B actuando sobre el material A. La fuerza por unidad de rea con

que A acta sobre B es llamada esfuerzo. El esfuerzo es entonces latransmisin de

fuerzas a travs del slido.

El esfuerzo en un punto puede ser resuelto en dos componentes, la componente

normal, perpendicular a la superficie considerada y la componente tangencial, el

esfuerzo de cizalle. El esfuerzo normal tiende a separar A de B (tensin) o forzar a A

Figura 2.6 : Ilustracin de los esfuerzos en un plano que pasa a travs de un puntoen un slido en equilibrio.

Figura 2.7 : Ilustracin del estado de esfuerzo en un slido desde el punto de vistamolecular.

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sobre B (compresin), mientras que el esfuerzo de cizalle tiende a hacer deslizar a A sobre

B. La Figura 2.7 ilustra los tres estados de esfuerzos, si se esquematiza estas fuerzas

operando como resortes. Obviamente, una compresin o tensin desigual a travs deun slido debe producir esfuerzos de cizalle.

Para describir el proceso de fractura es necesario conocer los esfuerzos normales

y tangenciales , y sus direcciones en el slido. Las relaciones entre esfuerzos ydireccin de esfuerzo pueden ser desarrolladas rpidamente para un slido plano

(bidimensional). Considere un esfuerzo en un plano actuando en un punto, como se

muestra en la Figura 2.8a. El espesor del plano es el pequeo plano mostrado en la Figura

2.6, donde las molculas han sido comprimidas, estiradas o cortadas. El esfuerzo puede

resolverse en dos componentes perpendiculares,x y y, para cualquier ngulo arbitrario. Un balance de fuerzas muestra que, para un valor particular de =

__, el valor de se

convierte en cero. Definiendo los nuevos ejesx_

e y_

paralelos y perpendiculares a la

direccin de __

(llamados ejes principales de esfuerzos) se tiene los resultados de la

Figura 2.8c. Los esfuerzos en las direcciones dex

_ey

_son llamados esfuerzos principales.

Entonces, se puede demostrar que para cualquier ngulo arbitrario con respecto a esos

ejes, como se muestra en la Figura 2.8d, los esfuerzos y estn dados por:

=x_

cos2+y_ sen

2 (2.4)

=

x_y_

2

sen2 (2.5)

Figura 2.8 : Equilibrios de esfuerzo en un punto de un elemento plano slido.

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Eliminando entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) se obtiene la ecuacin de un crculo,de manera tal que las relaciones entre y , para cualquier ngulo , pueden ser

representadas mediante el crculo de Mohr , como se muestra en la Figura 2.9. Elmximo esfuerzo de cizalle ocurre en la direccin de = 45 (o 135), siendo:

max =

x_y

_

2

=

xy2

2

+xy

12

(2.6)

max

=

x_+y_

2

(2.7)

El esfuerzo normalmximo es claramente el mayor de los esfuerzos principales.

Tambin, es fcil demostrar que en las coordenadas originales, los esfuerzos principales

estn relacionados a los esfuerzos normales mediante:

x_

, y_ = x+y

2 max , tg 2__= 2xy(xy)

(2.8)

Entonces, conociendo x, y y xy en cualquier punto en el slido, las direcciones ymagnitudes de los esfuerzos mximos de cizalle, traccin y compresin pueden sercalculadas fcilmente.

Considerando las seis componentes de los esfuerzos, un tratamiento similar en tres

dimensiones conduce a crculos de Mohr para los tres planos de esfuerzos principales,

como se ilustra en la Figura 2.10, donde 3 , 2 , 1 son los esfuerzos principales en orden

Figura 2.9 : Crculo de esfuerzos de Mohr para un punto de un elemento plano de unslido.

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de magnitud creciente. Se puede concluir que el mximo esfuerzo de tensin tiene la

magnitud y direccin del mayor valor de los tres esfuerzos principales y que el mximo

de cizalle ocurre a 45 entre las direcciones de 1 y2 , con magnitud dada por la ecuacin(2.6).

El segundo paso en la descripcin de la fractura es encontrar los valores de

x , y y xy en todos los puntos en un slido, ya que stos pueden ser convertidos a

esfuerzos mximos y direcciones de mximo esfuerzo. Esto se hace solucionando elconjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas que relacionan los esfuerzos con la

deformacin unitaria, el coeficiente de Poisson y el mdulo de rigidez G(G=Y 2(1+)) en tres dimensiones en todos los puntos de la superficie del slido,usando como condicin de contorno la ecuacin constitutiva para esfuerzo-deformacin

unitaria. Las soluciones son complicadas excepto para casos de geometras sencillas y

para condiciones de contorno tambin sencillas. Un ejemplo utilizado ms adelante es

la carga compresiva simple de una esfera entre platos rgidos y sin friccin,

correspondiendo a una prueba de esfuerzo compresivo.

La energa reversible de deformacin, por sobre el estado sin esfuerzo, est dada

por:

EV=1

2 (xx+yy+zz+xyxy+xzxz+yzyz)dxdydz (2.9)

donde xy es la deformacin angular en el plano x,y.

Figura 2.10 : Crculo de esfuerzos de Mohr para un punto para un slido tridimen-sional.

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2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DEESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal

El concepto deresistencia cohesiva idealpuede ser ilustrado mediante un slido

constituido por planos de molculas sujetos a una tensin unidimensional simple. La

tensin estira los enlaces entre las molculas, como se ilustra en la Figura 2.11a, donde

las flechas indican las fuerzas intermoleculares de atraccin y repulsin. En el estado

deformado (estirado) cualquier molcula cumple todava un balance de fuerzas pero,

como se muestra en la Figura 2.11b, el alejamiento del equilibrio venciendo las fuerzas

de atraccin requiere una adicin de energa (integral de la fuerza por la distancia),

alcanzando el slido un nuevo equilibrio en un estado de energa ms alto (energa de

deformacin almacenada).

La mxima fuerza de atraccin que el slido puede ejercer sobre la capa de la

superficie corresponde al punto de inflexin de la curva de energa potencial, ya que

(fuerza) = d(energa)/d(distancia de separacin) y una tensin externa que exceda este

mximo, causa un desequilibrio de fuerzas y la aceleracin de un plano de molculas

respecto a otro. El slido se desintegrara en cada uno de sus planos interiores.

Suponiendo que la ley de Hooke es aproximadamente aplicable hasta el punto de

inflexin, la energa de deformacin por unidad de volumen del slido ser, de acuerdo

a la ecuacin (2.3), 22Y. Por otra parte, si se supone que esta energa se utiliza paragenerar una nueva superficie por ruptura del material, podemos igualar la energasuperficial con la energa de deformacin hasta el lmite de ruptura. Como el rea

producida por unidad de longitud es 2N, dondeNes el nmero de planos por unidad de

longitud,N=1/a, ya es la distancia entre los planos atmicos. Entonces:

2a=c

2

2Y

y por lo tanto:

Figura 2.11 : Ilustracin de las fuerzas entre molculas en un slido :(a) fuerza cohesiva, (b) energa potencial.

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cideal= 4Ya (2.10)

donde es la energa superficial especfica, definida como la energa necesaria para crearuna unidad de rea de la superficie de un slido no deformado. Claramente2=Es(doa). La ecuacin (2.10) debe subestimar la resistencia ideal, ya que la leyde Hooke subestima la fuerza para llegar al punto de inflexin.

Los valores del esfuerzo c calculados mediante la expresin (2.10) son siempremuy grandes comparados con los esfuerzos que se aplican a los materiales para romperlos.

Tres son las razones de discrepancia entre realidad y modelo. En primer lugar, en los

materiales existen medios mediante los cuales se produce concentracin de esfuerzos

localmente, los que as llegan a sobrepasar la resistencia cohesiva del material. La

concentracin de esfuerzos se producir en las puntas de grietas microscpicas en el

material, la propagacin de las cuales producira ruptura. En segundo lugar, los

materiales contienen inclusiones que debilitan las uniones de ciertos planoscristalogrficos disminuyendo la resistencia cohesiva original. Finalmente es probable

que en muchos casos la ruptura se produzca a esfuerzos pequeos debido a grietas

macroscpicas en el material.

2.3.2 Concentracin de Esfuerzo: Teora de Grietas de Griffith

La teora de la fractura estudia la iniciacin de grietas a partir de fallas (grietas

microscpicas) y su propagacin en el material. De acuerdo al comportamiento en este

sentido, la fractura puede ser frgilodctil. La fractura frgil se caracteriza por unadeformacin elstica antes de la ruptura y por una rpida velocidad de propagacin de la

grieta. La fractura dctil va acompaada de una gran deformacin plstica alrededor delas grietas antes y durante su propagacin.

El anlisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado por

Griffith [2.1] en 1920. La suposicin fundamental fue que el material es un slido elstico

y frgil conteniendo un gran nmero de grietas microscpicas, que posteriormente

tomaron el nombre defallas de Griffith. Al someter tal material a una tensin, losesfuerzos se concentran en las puntas de las fallas establecindose un frente deruptura por donde se propaga la grieta.

El concepto de concentracin del esfuerzo , o factor de intensidad del esfuerzo,puede ser ilustrado considerando un slido plano con un pequeo agujero, bajo un

esfuerzo externo de tensin uniforme S en la direccinx, y cero en la direcciny. Sin el

agujero, la solucin es obvia x=S , y=xy= 0, par a todos los valores dex ey. Con unpequeo agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solucin [2.2] es:

x(r,)=S

21+a

2

r2

S

21+3a

4

r4

cos2

la cual da un esfuerzo mximo de 3S en la direccinx para = 90 y 270.

Como una fisura se abrir bajo tensin, es razonable esperar que el slido falle por

fisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la direccin

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y. La solucin para un pequeo agujero elptico es ms compleja, pero da [2.1] unesfuerzo mximo de:

maxS

= 1+2lb

(2.11)

donde b y l son los radios de la elipse en la direccinx ey respectivamente. Para un

agujero elptico con su eje largo perpendicular a la direccin del esfuerzo, l es mayor que

b y la concentracin del esfuerzo puede ser muy alta si l>>b.

Griffith [2.1],[2.3] argument que los slidos reales contienen muchas pequeas

fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elpticos discutidosanteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo

mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones

bsicas:

(i) que la concentracin de esfuerzos ocurre en la punta de la falla;

(ii) que el slido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta de

la falla son estirados hasta el lmite de ruptura;

(iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansin

infinitesimal de la falla, y

(iv) que la energa necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga,

est disponible ya que el slido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo

exterior aplicado.

La solucin de las ecuaciones de esfuerzo-deformacin para una elipse (ver Figura

2.12) da la energa de deformacin extra, debido a la presencia de la elipse, como:

w1=zl2

2Y

Figura 2.12 : Ilustracin de la concentracin de esfuerzos en un plano debido a unagujero circular en a) y a un agujero elptico en b. S es el esfuerzo de tensin exterior

aplicado.

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Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de

a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de

angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensin de varios rdenes demagnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta despus de la

iniciacin, dw3 /dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energa extra disponible para

acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se

expande rpidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la

ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para

romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado slo aquellos enlaces

alrededor de la punta de la grieta se estn rompiendo. Por otra parte, la ecuacin (2.12)

es vlida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente

juntos darn una reduccin adicional en la resistencia.

Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagacin de una

grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensin para que seproduzca la ruptura frgil. Se podra pensar que no existiran esfuerzos de tensin bajo

condiciones de compresin unidimensional simple. Sin embargo, un anlisis ms

detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se

producen esfuerzos de tensin en la punta de un elipse de orientacin adecuada, incluso

bajo condiciones de compresin global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos

globales normales 1 y 2 y fallas de un tamao tal que den un esfuerzo de tensin Tobajo una tensin unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), se

muestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresin unidimensional

es 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frgiles es alrededor de un orden

de magnitud mayor que la resistencia a la tensin.

Figura 2.14 : Ilustracin del efecto de la combinacin de esfuerzos de la teora defallas de Griffith con resistencia a tensin simple To : las ecuaciones son las del

lugar geomtrico.

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2.3.3 Materiales Dctiles

Los materiales dctiles, por otro lado, sufren deformaciones plsticas debido al

deslizamiento de unos planos del slido sobre otros, siendo el mecanismo fundamental

el movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo de

movimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultneamente, sino que

se rompen slo suficientes enlaces como para permitir que la dislocacin se mueva a la

prxima posicin, reponindose los enlaces tras la dislocacin, y as sucesivamente, de

manera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie de

pasos de baja energa. La mxima fuerza de cizalle ocurre a 45 de la direccin del

esfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecer como se

ilustra en la Figura 2.15.

El proceso de deslizamiento aparece como la regin de cedencia en la Figura 2.2

y es bien diferente a la iniciacin inestable de la fractura frgil. El deslizamiento puede

iniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentracin

del esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo un

esfuerzo de tensin. El deslizamiento plstico puede ocasionar que parte del slido acte

como una cua creando fuerzas de tensin, las que luego propagan la fractura frgil.

Figura 2.15 : Ilustracin de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frgil.

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El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta la

plasticidad mediante la inclusin de un trmino dw4, que representa la energa requerida

para la deformacin plstica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededor

de la punta de la grieta. Entonces, la condicin de iniciacin es dw3 - dw1 > dw2 + dw4.El valor depende del tamao y densidad de las dislocaciones en el slido y domina por

sobre la energa de enlace dw2 para materiales dctiles. Sin embargo, tan pronto como

la fractura comienza, el valor para la energa plstica disminuye debido a que la grieta se

mueve a una velocidad alta en relacin a la escala de tiempo para el movimiento de las

dislocaciones que dan plasticidad.

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS

En la discusin de la Figura 2.14 se defini unaresistencia a la tensin To, que se

obtendra de un ensayo simple de resistencia a la tensin de un material con una

determinada distribucin de tamao y de densidades de fallas de Griffith. Se puedesuponer que ese mismo material iniciara grietas en cualquier regin que desarrollara

esfuerzos de tensin mayores a To, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos.

Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformacin para la

compresin de discos, de cilindros al modo de prueba radial brasilera y de esferas,

muestran que hay presentes esfuerzos de tensin, con valores mximos a lo largo del eje

de carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la friccin entre el

plato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regiones

de esfuerzos de tensin. Entonces, la carga compresiva de trozos o partculas irregulares

producir ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensin y en consecuencia

producir fracturas frgiles.

En particular, la compresin de esferas elsticas entre dos platos sin friccin da lasolucin bien conocida:

= 2

9

161d

(1

2)

Y2 P

2

13

(2.13)

donde es la disminucin del dimetro dde la esfera producida por la aplicacin de unafuerza P. Para esta carga puntual el esfuerzo de tensinmximoen el slido est dadopor:

=1

(4)(21)28+20

P

d2

(2.14)

Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar la

fractura en aquella regin del slido en que ocurre el mximo, el valor de Pc que produce

fractura corresponde a un esfuerzo mximo crtico c que iguala a To. Como la seccinmxima de una esfera es d24, la ecuacin (2.14) se puede expresar en la forma(c=T0):

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c=

21

28+20C (2.14a)

donde Ces la resistencia compresiva definida por C=Pc(d24).

Como un ejemplo tomemos el valor de = 0.16 para el cuarzo, entoncesC=1.5c, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez ms resistente a lacompresin que una fibra del mismo material y dimetro sometida a tens

simulacion de circuitos de molienda

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