simetrias y leyes de conservacion en relatividad general

8/7/2019 simetrias y leyes de conservacion en relatividad general

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Simetrias , Leyes de Conservacion y no localizacion de la Energıa

Gravitacional en Relatividad General

Teorıa Clasica de Campos

Luis Giraldo Durand Bernald

Resumen

Hacemos una revision a la formulacion Lagrangeana de la Relatividad General para encontrar las

ecuaciones de campo de la teorıa. Analizamos el concepto de Diffeomorfismos desde el punto de vista

de la geometrıa moderna y su papel en la Relatividad General. Finalmente discutimos el concepto de

la no localizacion de la energıa gravitacional

1



1. Formulacion lagrangeana de la Relatividad General

En el formalismo Lagrangeano obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein a partir de un principiovariacional, esto nos permite dar una formula general para el tensor de energia-momento y mostrar quesu divergencia covariante se anula como consecuencia de las ecuaciones para los campos de materia

1.1. Medida CanonicaPara poder formular nuestro principio variacional necesitamos construir una integral de accion que

sea independiente del sistema coordenadoSea f ∈ F (M ) una funcion contınua y cuyo dominio de definicion esta contenido en V ⊂ M

M

f dΩ =

h o V

f (x)[W (x)d4x] (1)

La medida dΩ es naturalmente definida como sigue:Sea g la metrica de la variedad M , entonces en coordenadas locales tenemos

g,µν (x,) =

∂xα

∂x, µ

∂xβ

∂x,νgαβ(x) (2)

al tomar determinante a esta ecuacion tenemos

g, = det

∂x

∂x,

2

g (3)

Donde g denota el determinante de la metrica.Por otro lado tenemos:

d4x, = det

∂x,

∂x

d4x (4)

Luego se ve facilmete que el producto

−g(x)d4x es invariante y da la definicion de la medidacanonica de una variedad M en una representacion local , es decir

REPRESENTACIONCOORDENADA

(dΩ) = −g(x)d4x (5)

1.2. La Accion de Einstein-Hilbert

Definimos la accion de Einstien-Hilbert por

S EH[g] =

U

R(g)√−g d4x R : escalar de Riemann (6)

Ahora encontremos la ecuaciones de campo por medio de una variacion de S inducida por variacionesde la metrica

R√−g =

√−ggik[ Γlik,l − Γl

il,k

(∗∗)

+ΓlikΓm

lm − ΓlkmΓm

il ]

(∗∗) : Notemos que este termino contiene derivadas de la metrica de segundo orden , sin embargomediante una manipulacion adecuada de la expresion pueden eliminarse.

√−ggikΓlik,l = (

√−ggikΓlik),l − Γl

ik(√−ggik), l

√−ggikΓlil,k = (

√−ggikΓlil),k − Γl

il(√−ggik), k

Trabajemos en la ultima parte de ambas expresiones:

Γmim(

√−ggik),k = −Γmim

√−gΓiklgkl

−Γlik(

√−ggik),l =√−g(2Γl

ikΓimlgmk − gikΓl

ikΓmlm)

3



Con esto encontramos;

√−gR =√−ggik(Γl

mkΓmil − Γl

kiΓmlm) + (

√−gωs), s

Entonces el ultimo termino no contribuye a la accion . Luego tenemos que hallar la variacion:

δS = δ √−ggik(Γl

mkΓmil

−Γl

kiΓmlm)

F

d4x (7)

δ√−ggikΓm

lmΓlki

= Γl

kiδ(gik√−g, l) − Γm

lm[δ(glk√−g)], k − Γm

lmΓlkiδ(gik

√−g)...(1)

δ√−ggikΓl

mkΓmil

= 2δ(Γl

mkgik√−g)Γm

il − Γmil Γl

mkδ(gik√−g)...(2)

Ahora (2) − (1)

δF = (ΓmlmΓl

ki − Γmil Γl

km)δ(√−ggik) + Γm

lm[δ(√−gg lk)], k − Γl

ki[δ(√−ggik)], l

= (ΓmlmΓl

ki − Γmil Γl

km)δ(√−ggik) + Γl

ki,lδ(√−ggik) − Γm

im,kδ(√−ggik)

=

Γl

ki, l − Γmim, k + Γm

lmΓlki − Γm

il Γlkm

δ(√−ggik)

= −Rikδ(√−ggik

)

Finalmente

δS = −

Rikδ(√−ggik)d4x

=

Rik(gilgks − 1

2gikgls)

√−gδglsd4x

=

Rik − 1

2gikR

√−gδgikd4x = 0

Puesto que estamos considerando variaciones arbitrarias de la metrica :

Rµν

−1

2 gµν

R = 0 (8)

Que es la ecuacion de Einstein en el vacıo

1.3. El Tensor de Energıa-Momento

Sea L la densidad Lagrangeana para un conjunto de N campos ψ(i) i = 1,...,N en ausencia de uncampo gravitacional y donde por simplicidad vamos a considerar campos tensoriales. Asumamos queconocemos la forma de L en este espacio plano, entonces el principio de equivalencia nos muestra comodebemos implementar este sistema a un espacio que posee un campo gravitaqcional. Para esto debemosescribir gµν en lugar de ηµν y reemplazar las derivadas ordinarias por la derivada covariante

L(ψ, ∂ µψ)Fısica Local −→

L(ψ,

µψ, g)

Relatividad GeneralLuego las ecuaciones para los campos de materia se obtienen a partir de un principio variacional para

:

S mat[ψ, g] =

Lmat(ψA, µψA, gµν )

√−gd4x (9)

Donde el caracter tensorial de los campos esta denotado en forma compacta por un solo ındice A. Lavariacion de S mat con respecto a los campos es:

δS matδψ =

δ√−gLmat

d4x

= ∂ (√−gLmat)

∂ψA

δψA +∂ (

√−gLmat)

∂ µψA

δ

µψA d4x

4



Es facil ver que la derivada covariante conmuta con la variacion: δν ψA = ν δψA

Para reducir esta expresion traba jaremos en el segundo termino del parentesis

∂ (√−gLmat)

∂ µψAµδψA = µ

∂ (

√−gLmat)

∂ µψAδψA

− µ

∂ (

√−gLmat)

∂ µψA

δψA (10)

A continuacion vamos a probar que el primer termino en esta expresion es realmente un termino dedivergencia y por lo tanto no contribuye a la accion

µ

∂ (

√−gLmat)

∂ µψAδψA

= (µ

√−g)∂Lmat∂ µψA

δψA +√−gµ

∂Lmat∂ µψA

δψA

(11)

El primer termino se anula debido a que µ

√−g es cero (lo cual es una consecuencia de que la derivadacovariante de la metrica sea nula). Para probar que el termino restante sea en verdad un termino dedivergencia bastara probar que la expresion entre parentesis se transforme como un vector contravariante.Veamos:

∂L

mat∂

µψ A

=∂Lmat

∂

µψ A

=∂Lmat

∂

ν ψ A

ν ψ A

µψ A

(12)

Ahora vamos a utilizar una notacion compacta para la ley de transformacion de los campos ψA

ψA = ...ψ

A

δψA = ...δψ

A

µψA =

∂xν

∂xµ... ν ψ

A

Reemplazando todo esto en la expresion anterior tenemos

∂L

mat∂ (

µψA)

δψA =

∂L

mat∂ (ν ψA)

× ...

∂xν

∂x

µ...

δψA

Por lo tanto∂Lmat

∂ (µψA)se transforma de la siguiente manera:

∂L

mat∂ (

µψA)

δψA

=

∂Lmat

∂ (ν ψA)δψA

× ∂x

µ

∂xν(13)

Que es la ley de transformacion de un vector contravarinate, entonces:

√−gµ

∂Lmat

∂ (µψA)δψA

=

√−gµBµ = (√−gB µ)µ (14)

es un termino de divergencia y no aporta a la accion.

Finalmente la expresion para las ecuaciones de Euler-Lagrange de los campos de materia queda:

∂Lmat∂ψ A

− µ

∂Lmat

∂ (µψA)

= 0 (15)

Por otro lado si consideramos la variacion de la integral inducida por una variacion de la metricadefinimos una expresion para el tensor de enregia momento de la materia:

δS matδg =

1

2

T µν δgµν

√−gd4x (16)

Es decir

T

µν

=

2

√−g δ(Lmat√

−g)

δgµν (17)

5



En componentes covariantes tiene la siguinete expresion:

1

2

T µν δgµν

√−gd4x =

1

2T µν

√−g(−gαµgβν δgαβ)d4x

= −1

2

T αβ

√−gδg αβd4x

= δ(Lmat√−g)δgµν

δgαβd4x

Entonces

T µν = − 2√−g

δ(Lmat

√−g)

δgµν

(18)

Ejemplo 1.1

En algunos casos luego de implementar el langrageano a un espacio curvo este tiene la siguiente forma:Lmat = Lmat(ψ, ∂ µ, gµν ) por lo que la expresion del tensor energia-momento queda:

T µν =2

√−g δ(Lmat

√−g)

δgµν =

2√−g

√−gδLmat

δgµν

+ Lmatδ(

√−g)

δgµν

= 2δLmat

δgµν

+ gµν Lmat

Y en componentes covariantes:

T µν = gµν Lmat − 2δLmat

δgµν(19)

1.4. Ejemplo 1.2

Sea

L = − 116π

F µν F αβgµαgνβ

el lagrangeano del campo electromagnetico, el tensor de energıa momento es:

T ργ = gργ L − 2[− 1

16πF µν F αβ]

∂ (gµαgνβ )

gργ

= gργ L +1

8πF µν F αβ(δµ

ρ δαγ gνβ + δν

ρ δβγ gµα)

=1

4π

F ρµF ν

γ − 1

4gργF µν F µν

1.5. Principio Variacional para sistemas acoplados

Para un sistema acoplado la accion total es :

S total[ψ, g] =

R

R

16πG+ Lmat

√−gd4x

Donde al variar la metrica obtenemos:

δS total =

R

−Gµν δgµν d4x +

R

1

2T µν δgµν d4x

FinalmenteGµν = 8πGT

µν(20)

6



2. El concepto de Diffeomorfismo

Sea φ una aplicacion entre dos variedades M y N

φ :M → N

p → φ(p)

Si tomamos una carta (U α, hα) en M y otra (U β, hβ) en N , φ tiene la siguiente representacion coor-denada:

hβ o φ o h−1α : m → n

Si hβ o φ o h−1α es invertible y tanto ella como su inversa son de clase C ∞ , entonces φ es llamdo un diffeo-

morfismo, ademas M se dice que es diffeomorfo a N y ambas representan la misma variedad abstracta.Tambien se muestra que ambas variedades deben de tener la misma dimensi on

Figura 1: Representacion coordenada de un diffeomorfismo

Si M = N , entonces el conjunto de Diffeomorfismos φ : M → M forman un grupo denotado porDiff(M )

Tomemos un punto p en una carta (V α, hα), tal que hα(p) = (x), bajo la accion de φ ∈ Diff(M ), p

es mapeado a φ(p) cuyas coordenadas son hα(φ(p)) = (x,). Podemos luego ver a x, como una funciondiferenciable de x. Este enfoque es conocido como una transformacion de cooordenas activa.

Figura 2: Transformacion de coordenadas activa

Por otro lado si (V α, hα) y (V β , hβ) son dos cartas que se intersectan tenemos dos valores para lascoordenadas de un mismo punto p (que pertenece a V α ∪ V β): hα(p) = (x) y hβ(p) = (y). Luego laaplicacion xµ = xµ(y) es diferenciable por el caracter suave de la variedad. A este enfoque se le conocecomo una transformacion de coordenada pasiva.

7



Figura 3: Transformacion de coordenadas pasiva

3. Aplicaciones Inducidas: El Pullback y la Aplicacion Tangente

Consideremos dos variedades M y N , si tenemos un diffeomorfismo φ : M

→N y una aplicacion

f ∈ F (N ) , el conjunto de todas las funciones que van de N a los reales, φ induce naturalmente laaplicacion φ∗ : F (N ) → F (M ), φ∗f es denominado el pullback de f definido por :

φ∗f = f oφ (21)

Figura 4: El pullback de una funcion f

La aplicacion φ no solo induce el pullback, sino tambien la aplicacion lineal φ∗ : T pM → T φ(p)N

denominada la aplicacion tangente (o aplicacion diferencial) y definida por :

φ∗ : T pM → T φ(p)N (22)

X → φ∗X = Xoφ∗ (23)

Por lo tanto la accion de la aplicacion tangente sobre una funcion f ∈ F (N ) es:

(φ∗X )φ(p)[f ] = X (p)oφ∗[f ] (24)

(φ∗X )φ(p)[f ] = X (p)[f oφ] (25)

8



φ∗

∂

∂xµ

φ(p)

[f ] =

∂

∂xµ

(p)

[f oφ]

= Deµx

[f o φ o ψ−1α ](ψα(p))

= Deµx

[f o φ o ψ−1α ](x)

= Deµx [f o ψ−1β o ψβ o φ o ψ−1

α ](x)

Pero:

ψβ o φ o ψ−1α : U α ⊂ n → n ≡ φi(x) = yi (26)

f o ψ−1β : U β ⊂ n → ≡ F = F (yi) = F (φi(x)) (27)

luego tenemos: φ∗

∂

∂xµ

φ(p)

[f ] = DeµxF (φi(x)) = Deνy

F ∂φν

∂xµ= Deνy

F ∂y ν

∂xµ

φ∗ ∂

∂xµ

φ(p)

[f ] = ∂yν

∂xµ

∂ ∂y ν

φ(p)

[f ]

Por lo tanto encontramos que φ∗

∂

∂xµ

φ(p)

=∂y ν

∂xµ

∂

∂y ν

φ(p)

(28)

Ahora si V ∈ T pM , entonces

φ∗V φ(p) = φ∗

V

µ

(p)

∂

∂xµ

(p)

= V

µ

(p)φ∗

∂

∂xµ

(p)

(φ∗V )ν

φ(p) ∂

∂y ν φ(p) = V

µ

(p) φ∗ ∂

∂xµφ(p) = V

µ

(p)

∂y ν

∂xµ ∂

∂y ν φ(p)

Finalmente:

(φ∗V )νφ(p) = V

µ(p)

∂y ν

∂xµ(29)

Figura 5: la aplicacion tangente

Tambien es posible definir el pullback de una 1−forma por:

φ∗ : T ∗φ(p)N → T ∗p M

ω → φ∗ω

9



donde la accion del pullback sobre un vector es:

(φ∗ω)(p)[V (p)] = ωφ(p)[(φ∗V )φ(p)] = ω , φ∗V (30)

En particular si ω = (dyµ)φ(p) y V = ( ∂ ∂xν

)(p)tenemos:

(φ∗dyµ

)(p)[ ∂

∂xµ(p)

] = dyµ

, φ∗ ∂

∂xν

(φ∗dyµ)ν (dxν )(p)[

∂

∂xµ

(p)

] = dyµ ,∂y ρ

∂xµ6

∂

∂y ρ

(φ∗dyµ)ν =

∂y µ

∂xν

Entonces

φ∗ω = φ∗(ωα φ(p)(dyα)φ(p))

= ωα φ(p)φ∗(dyαφ(p))

= ωα φ(p)∂y µ

∂xν(p)(dxν )(p)

Por otro lado

φ∗ω = (φ∗ω)µ (p)(dxν(p))

Por lo tanto encontramos

(φ∗ω)µ (p) =∂y µ

∂xνων φ(p) (31)

Finalmente podemos extender la definicion de pullback a un campo tensorial arbitrario(Esto solopuede hacertse cuando φ es un diffeomorfismo, en general si φ fuera una aplicacion entre variedadespodemos generalizar el pullback a tensores del tipo T 0l mas no a un tensor mixto).

Sea T

∈ T r

s (N ) un campo tensorial arbitrario ,la aplicacion

φ∗ : T rs (N ) → T rs (M )

t → (φ∗T )

es denominada el pullback y se define mediante :

(φ∗T )(p)(X (1), . . . ,X (s), ω(1), . . . , ω(r)) = T φ(p)(φ∗X (1), . . . , φ∗X (s), [φ−1]∗ω(1),..., [φ−1]∗ω(r)) (32)

En particular , si:

X (i) =

∂

∂xµi

(p)

→ φ∗X (i) =∂y κi

∂xµi

∂

∂y κi

φ(p)

ω(i) = (dxνi)(p) → [φ−1]∗ω(i) =∂xνi

∂y λi (dyλi)φ(p)

Entonces tenemos:

[campos] =

∂

∂xµ1

,...,

∂

∂xµs

, (dxν1),..., (dxνr)

(φ∗T )(p)[campos] = (φ∗T )α1,... ,αr

β1,... ,βs(p) (dxβ1)(p) ⊗ ... ⊗ (dxβs)(p) ⊗

∂

∂xµi

(p)

⊗ ... ⊗

∂

∂xµi

(p)

[campos]

= (φ∗T )α1,... ,αr

β1,... ,βs(p)δβ1

µ1...δβs

µsδν1

α1...δνr

αr= (φ∗T )ν1,... ,νr

µ1,... ,µs(p)

10



Por otro lado , de la definicion tambien se tiene:

[campos∗] =

∂y κ1

∂xµ1

∂

∂y κ1

,...,

∂y κs

∂xµs

∂

∂y κs

,...,

∂xν1

∂y λ1

(dyλ1), ...∂xνr

∂y λr(dyλr)

(φ∗T )(p)[campos] = T γ1...γrρ1...ρs

(φ(p))(dyρ1)(p) ⊗ ... ⊗ (dyρs)(p) ⊗

∂

∂y γi

(p)

⊗ ... ⊗

∂

∂y γi

(p)

[campos∗]

= T γ1...γrρ1...ρs

(φ(p)) × ∂y κ1

∂xµ1

...∂y κs

∂xµs

∂xν1

∂y λ1

...∂xνr

∂y λr× δρ1

κ1...δρs

κsδλ1

γ1...δλr

γr

= T λ1...λrκ1...κs

(φ(p)) × ∂y κ1

∂xµ1

...∂y κs

∂xµs

∂xν1

∂y λ1

...∂xνr

∂y λr

Finalmente las componentes del pullback quedan:

(φ∗T )ν1,... ,νrµ1,... ,µs

(p) = T λ1...λrκ1...κs

(φ(p)) × ∂y κ1

∂xµ1

...∂y κs

∂xµs

∂xν1

∂y λ1

...∂xνr

∂y λr(33)

De forma similar es posible generalizar la aplicacion tangente de la siguiente manera:

φ∗ : T sr (M )

→T sr (N ) verifica

(φ∗T )φ(p)(X (1), . . . , X (s), ω(1), . . . ,ω(r)) = T (p)([φ−1]∗X (1),..., [φ−1]∗X (s), φ∗ω(1), . . . , φ∗ω(r))

Si en particular tenemos:

X (i) =

∂

∂y µ1

φ(p)

→ [φ−1]∗X (i) =∂xθi

∂y µ1

∂

∂xθi

(p)

ω(i) = (dyνi)φ(p) → φ∗ω(i) =∂y νi

∂xλi(dxλi)(p)

Y por un procedimiento analogo al anterior encontramos las componentes de la aplicacion tangente:

(φ∗T )ν1,... ,νrµ1,... ,µs(φ(p)) = T λ1...λrκ1...κs (p) × ∂x

κ1

∂y µ1... ∂x

κs

∂y µs∂y

ν1

∂xλ1... ∂x

νr

∂y λr (34)

Ahora si φ ∈ Diff(M ), entonces la inversa φ−1 tambien pertenece al grupo de diffeomorfismos e induceuna aplicacion tangente que actua en los campos tensoriales de M , en particular para un punto q = φ(p)tenemos

([φ]−1∗ T )ν1...νr

µ1...µs[φ−1(q) = p] = T (q = φ(p))λ1...λr

κ1...κs× ∂xκ1

∂y µ1

...∂xκs

∂y µs

∂y ν1

∂xλ1

...∂xνr

∂y λr= (φ∗T )ν1...νr

µ1...µs(p) (35)

Lo cual muestra que si φ ∈ Diff(M ) entonces φ∗ = [φ−1]∗

Figura 6: Ilustracion grafica de la relacion φ∗ = [φ−1]∗

11



Un aspecto importante del grupo Diff(M ) es que nos permite comparar campos tensoriales en cadapunto de la variedad. Dado un diffeomorfismo φ ∈ Diff(M ) y un campo tensorial T podemos tomarla diferencia entre el valor del tensor en algun punto p y φ∗[T φ(p)] = (φ∗T )(p), es decir el valor delcampo tensorial en φ(p) y llevado hacia atras hasta el punto p. Esto sugiere que podemos definir otraclase de operador derivada, el cual categoriza la taza de cambio de un campo tensorial bajo la accionde diffeomorfismos. Sin embargo para que esta operacion este bien definida un diffeomorfismo discreto

es insuficiente .En su lugar vamos a requerir una familia uniparametrica de diffeomorfismos la cualdefiniremos a continuacion

4. Flujo y curvas integrales

Una curva en una variedad diferenciable M es una aplicacion γ : J (0) ⊂ → M . Para dicha curvaexiste un vector tangente en cada punto γ (t) , ∀t ∈ J (0) definido por :

γ (t)[f ] =d

dt(f oγ )(t) , f ∈ F (M ) (36)

Ademas si X es un campo vectorial entonces γ es llamada una curva integral de X con punto de partidap

∈M si verifica :

γ (t) = X (γ (t)) para ∀ t ∈ J (0) y γ (0) = p (37)

Los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias nos garantizan que paracualquier p ∈ M , existe una unica curva integral(inextensible) que pasa por p y que vamos a denotarpor φp : J (0) → M . Si ademas cosideramos variedades compactas la curva integral existe para todo t , esdecir J (0) = .

La aplicacion φ definida por:

φ : × M → M

(t, p) → φ(t, p) = φp(t)

es llamada el flujo de X y tiene las siguientes propiedades:

1. Si mantemos fijo p formamos la aplicacion φp : → M , es decir la curva integral de X con puntode partida p , entonces:

φp(t) = X (φp(t)) (38)

2. Ahora si mantenemos fijo t formamos la aplicacion

φt : M → M

p → φt(p)

la cual es un diffeomorfismo.

3. Si t, s ∈ y p ∈ M entonces se cumple :

φs+t(p) = φs(φt(p)) es decir φs+t = φs o φt (39)

Esta ultima afirmacion puede probarse de la siguiente forma:

φt o φs(p) = φ(t, φ(s, t)) y por definicion verfica:

d

dtφ(t, φ(s, p)) = X (φ(t, φ(s, p))) ...(∗)

Con la condicion inicial φ(0, φ(s, p)) = φ(s, p)

Por otro lado :φ

s+t(p) = φ(t + s, p) y por definicion verfica:

12



d

dtφ(t + s, p) =

d

d(t + s)φ(t + s, p) = X (φ(t + s, p)) ...(∗∗)

Con la condicion inicial φ(0 + s, p)) = φ(s, p)

Tanto (∗) y (∗∗) cumplen la misma ecuacion diferencial con la misma condicion inicial, luego por launicidad de la solucion se sigue:

φt o φs = φt+s (40)

Figura 7: El flujo de un campo vectorial X

Es facil ver que los diffeomorfismos φt forman un grupo denomindado grupo uniparametrico de

diffeomorfismos

φs o φt = φ(s+t)

φ(0) = Id (elemento neutro)

φs o φ−s = φ(0) entonces [φs]−1 = φ−s

Figura 8: Accion de un diffeomorfismo infinitesimal

Ahora sea x(µ) la µ-esima funcion coordenada, es decir x(µ)(p) = xµ donde xµ es la µ-esima componetede la coordenada de p en un sistema coordenado local

x

. Vamos a estudiar la accion de un diffeomorfismo

infinitesimal φ( parametro infinetesimal)

13



x(µ) o φ(p) = x(µ) o φ(, p) = x(µ) o φp() donde x(µ) o φp : → Dado que x(µ) o φp es una funcion real de variable real podemos realizar una expansion de taylor para

ella alrededor de cero:

x(µ) o φp() = x(µ) o φp(0) + d

dt

x(µ) o φp(0)

x(µ)[φ(p)] = x(µ)(p) + X (φp(0))[x(µ)]

recordemos que X (p) = X µ(p)

∂

∂xµ

p

entonces X (p)[x(µ)] = X ν (p) δµν

x(µ)[φ(p)] = x(µ)(p) + X µ(p)

Por esta razon el campo vectorial X es llamado el generador de φt

Con esto hemos completado todas las herramientas necesarias par podr definir un nuevo operador dederivada el cual veremos a continuacion

5. La Derivada de LieSea X un campo vectorial y φ el flujo de X , definimos la derivada de Lie del campo tensorial T con

respecto a X como:

LX T = lımt→0

φ∗t T − T

t(41)

Figura 9: Derivada de Lie

Veamos ahora la expresion de las componentes de la derivada de Lie. De la definici on tenemos:

lımt→0

(φ∗t T )ν1...νrµ1...µs

(p) = T λ1...λrκ1...κs

(φ(p))∂y ν1

∂xµ1

...∂y νs

∂xµs

∂xν1

∂y λ1

...∂xνr

∂y λr

Donde yµ = xµ +tX µ o h−1(x), debido a que estamos tomando lımite para t. En adelante vamos a cometerun abuso de notacion y omitiremos escribir h para las representaciones coordenadas de los campos.

Como yµ = xµ + X µ(x) , tenemos las expresiones para las derivads parciales:

∂y µ

∂xν= δµ

µ + tX ν, ν y∂xµ

∂y ν= δν

µ − tX ν, µ (42)

14



Luego las componentes del pullback de T (en el lımite) quedan:

(φ∗t T )ν1...νrµ1...µs

(x) = T λ1...λrκ1...κs

(x + tX )

δκ1

µ1+ tX ν1, λ1

...

δκrµr

+ tX νr, λr

δν1

λ1− tX ν1, λ1

...

δνrλr

− tX νr, λr

=

T λ1...λrκ1...κs

(x) + tT λ1...λrκ1...κs ,ρ(x)X ρ

δκ1

µ1δκ2

µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsδν1

λ1δν2

λ2...δ

νr−1

λr−1δνr

λr+

t X κ1

, µ1δκ2

µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsδν1

λ1δν2

λ2...δ

νr−1

λr−1δνr

λr+

t δκ1

µ1X κ2

, µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsδν1

λ1δν2

λ2...δ

νr−1

λr−1δνr

λr+

......

......

......

......

t δκ1

µ1δκ2

µ2... δκs−1

µs−1X κs, µs

δν1λ1

δν2λ2

...X νr−1

, λr−1δνr

λr−

t δκ1

µ1X κ2

µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsX ν1, λ1

δν2λ2

...δνr−1

λr−1X νr, λr

−...

......

......

......

...

t X κ1

, µ1δκ2

µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsδν1

λ1δν2

λ2... X

νr−1

, λr−1δνr

λr−

t δκ1

µ1X κ2

µ2... δκs−1

µs−1δκs

µsδν1

λ1δν2

λ2...δ

νr−1

λr−1X νr, λr

+ O(t2)

Finalmente las componentes de la derivada de Lie quedan:

LX T ν1...νsµ1...µr

(x) = lımt→0

(φ∗t T )ν1...νs

µ1...µr(x) − T ν1...νs

µ1...µr(x)

t

= T ν1...νs

µ1...µr ,ρ(x)X ρ + T ν1...νsλ...µr

(x)X λ, µ1+ (todos los ındices inferiores de T)

− T λ...νsµ1...µr

(x)X ν1, λ − (todos los ındices superiores de T)

Ejemplo 5.1

1. Campo Escalar φ(x)

LX φ(x) = ∂ µφ(x)X µ(x)

2. Campo Vectorial Aµ(x)

LX Aµ(x) = ∂ ν Aµ(x)X ν (x) − Aν (x)∂ ν X µ(x)

3. Campo Tensorial covariante de rango 2 (por ejemplo la metrica)

LX gµν (x) = ∂ λgµν (x)X λ(x) + gλν (x)∂ µX λ(x) + gµλ(x)∂ ν X λ(x)

5.1. Propiedades de la derivada de Lie

1. LX (T 1 + T 2) = LX T 1 + LX T 2

2. LX (T ⊗ S ) = (LX T ) ⊗ S + T ⊗ (LX S )

3. LX f = X [f ] , si f ∈ F (M ) = T 00 (M )

4. L(X1+X2) = LX1+ LX2

5. LX Y = [X, Y ] donde [X, Y ] es el bracket de Lie definido por: [X, Y ] = X o Y − Y o X

6. L[X,Y ] = LX o LY − LY o LX

15



6. Simetrıas y Cantidades Conservadas

Diremos que φ ∈ Diff(M ) es una simetrıa de algun campo tensorial T si el campo es invariante bajola accion del pullback de φ, es decir :

φ∗T = T (43)

Aunque las simetrıas puden ser discretas , es mas comun tener una familia uniparametrica de simetrıas

φt . Si la familia es generada por un campo vectorial X esto implica :

LX T = 0 (44)

Esto implica que si T posee una simetrıa bajo alguna familia de diffeomorfismos siempre podemoshallar un sistema coordenado local(ver seccion 6.2) en el cual las componentes de la representacion co-ordenada de T son todas independientes de una de las coordenadas (la cual es el par ametro de la curvaintegral definida por el campo vectorial X ). Lo inverso tambien es verdadero , si todas las componentesson independientes de una de las coordenadas entonces el campo vectorial asociado a esa coordenadagenera una simetrıa.

De todas las simetrıas, la mas importante es la de la metrica y motiva la siguiente definicion.

Sea (M, g) una variedad , un diffeomorfismo φ es una isometrıa si preserva la metrica , es decir:

φ∗[gφ(p)] = (φ∗g)(p) = g(p) (45)

Esto es , si X (1), X (2) ∈ T pM tenemos gφ(p)(φ∗X (1), φ∗X (2)) = g(p)(X (1), X (2)) y si en particular X, Y

son elementos de la base canonica la expresion en componentes queda:

∂y α

∂xµ

∂y β

∂xνgαβ(φ(p)) = gµν (p) (46)

Donde x y y son las coordenadas de p y φ(p) respectivamente.

La aplicacion identidad , la composicion de isometrıas y la inversa de una isometrıa son todas

isometrıas, entonces las isometrıas forman un grupo

6.1. Ecuacion de Killing

Si la isometrıa φ es el flujo de un campo vectorial K entonces la ecuacion (41) adopta la forma

LK gµν = ∂ λgµν K λ + gλν ∂ µK λ + gµλ∂ ν K λ

= K µ;ν + K ν;µ = 0

Esta ultima ecuacion es conocida como la ecuacion de Killing y muestra que la geometrıa local no

cambia mientras nos movamos a lo largo de las lıneas del flujo φ. En este sentido los vectores K (denom-inados vectores Killing) representan la dirreccion de la simetrıa en una variedad

Una de las aplicaciones de los campos Killing es que implican cantidades conservadas asociadas conel movimiento de particulas libres. Si γ (t) es una geodesica vamos a mostrar que la cantidad γ.K seconserva a lo largo de la geodesica

γ (K · γ ) = (γ γ ) · K + γ · (γK )

= γ · (γ X ) = γ · (xµ( ∂∂xµ

))

K ν (

∂

∂xµ)

= xν xµ K ν; µ

= 2xν xµ K (ν; µ) = 0

16



Otra importante aplicacion es la siguiente: Si K es un campo Killing T es el tensor de Energıa-Momentoentonces J µ = T µν K ν es una cantidad conservada

J µ = T µν K ν → J µ; µ = (T µν K ν ),µ

= T µν;µ K ν

0

+T µν K ν;µ

=12

T µν X (µ ; ν) = 0

Ejemplo 6.1: Vectores Killing en el espacio de Minkoski

La ecuacion de Killing en el espacio-tiempo de Minkowsky , es:

∂ µX ν + ∂ ν X µ = 0 (47)

Es facil ver que los campos X (i) =

∂

∂xi

, cuyas componentes son X (i) µ = δ

µi , cumplen la ecuacion de

Killing y generan las traslaciones espacios temporales.

Para estos campos las correspondientes cantidades conservadas son

P µ (i) = T µν X (i)ν = T µi (48)

Esto corresponde a la conservacion del tensor de energıa momento.

Ahora sea X µ = aµν xν , entonces la ecuacion de Killing implica que aµν es antisimetrica, por lo tantoexisten 6 soluciones independientes de esta forma, tres de las cuales son

Y (j)0 = 0 ; Y (j)

m = jmnxn (j,m,n = 1, 2, 3) (49)

Las cuales generan las rotaciones espaciales alrededor del eje xj , mientras las otras tres son:

Z (k)0 = x

k

, Z (k)m = −δkmx

0

(k, m = 1, 2, 3) (50)

que son los que generan los lorentz boost.Estos seis vectores Killing se pueden escribir en forma compacta como:

M (αβ) = ηαγxγ

∂

∂xβ

− ηβγ xγ

∂

∂xα

(51)

Que generan las transformaciones homogeneas de Lorent, y las correspondientes cantidades conservadasson:

J µ(αβ) = T µν M (αβ)ν

= T µβηαγxγ

−T µαηβγ xγ

= T µβxα − T µαxβ

Que corresponden a la bien conocida densidad de momento angular.

Los vectores Killing tambien nos permiten clasificar los espacio-tiempos como veremos enseguida.

6.2. Espacio-tiempos Estacionarios y Estaticos

Un espacio-tiempo es estacionario si y solo si admite un campo vectorial Killing K el cual es tipo-tiempo (la direccion temporal es

∂

∂t

)

Esta definicion implica la existencia de coordenadas locales para las cuales las componentes de la metricason independientes del tiempo . La construccion de este sistema es como sigue: Elijamos una hypersuperfi-

cie tipo-espacio S de M y consideremos las curvas integrales de K que pasan a traves de S e introducimos

17



Figura 10: Sistema coordenado adaptado a un campo Killing K

coordenadas locales en M de la siguiente manera:

Si p = φt(p0) donde p0 ∈ S y φt es el flujo de K las coordenadas para p son: h−1 o p = (t, l(1)(p) =x0, l(2)(p) = y0, l(3)(p) = z0). Debemos mencionar que aquı no estamos interesados en la forma de lafuncion l ya que lo importante es que las coordenadas espaciales para todos los puntos que se encuentranen una misma curva integral son constantes (ver grafico).

Sabemos que :

φpo(t) = K (φpo(t)) −→ φpo(t)[x(µ)] = K (φpo(t))[x(µ)]

d

dt

[x(µ) o φpo(t)] = K µ(φpo(t))

Pero por construccion tenemos:

x(0) o φpo(t) = t

x(i) o φpo(t) = l(i)(po) = cte

Por lo tantod

dt[x(µ) o φpo ] = δ

µ0 luego K =

∂

∂t

que como vemos es un vector tipo-tiempo. Ahora , dado que K es un campo Killing encontramos que lascomponentes de la metrica son todas independientes del tiempo.

LK gµν , = K ρ

gµν , ρ + gµρK ρ, ν + gνρK

ρ, µ

= gµν ,0 = 0

Un espacio-tiempo se denomina estatico si es estacionario y ademas cumple algunas de las siguientescondiciones(las cuales son todas equivalentes)

1. Es invariante ba jo inversion temporal

∂ ∂t

→ − ∂ ∂t

2. K =

∂

∂t

es ortogonal a una familia de hipersuperficies tipo-espacio.

3. g0i = 0 i = 1, 2, 3

18



6.3. Invariancia de la Relatividad General bajo Diffeomorfismos

La Relatividad general es una teorıa invariante ba jo diffeomorfismos , esto significa que si los elementosde nuestro universo estan representados por una variedad (M, gµν ) y campos de materia ψ, entonces siφ ∈ diff(M ) los conjuntos (M, gµν , ψ) y (M, φ∗gµν , φ∗ψ) son fısicamentes equivalentes. Esto trae comoconsecuencia el siguiente hecho importante: Si S total denota la accion total del sistema entonces estadebe ser invariante bajo diffeomorfismos, ahora si consideramos el caso de ausencia de materia la accion

de Einstein-Hilbert debe ser invariante. Esto ultimo es verdad puesto que la variacion de la accion EH con respecto a cualquier variacion arbitraria de la metrica es identicamente nula y por lo tanto validopara δg = φ∗g − g. Entonces por consistencia necesariamente la accion de la materia S mat debe ser porsı sola invariante bajo diffeomorfismos tambien. Esto significa que:

S mat[gµν , ψ] = S mat[φ∗gµν , φ∗ψ] (52)

δS mat =

R

Lmat[φ∗gµν , φ∗ψ]

φ∗(−g)d4x −

R

Lmat[gµν , ψ]√−gd4x

Obs: La region de integracion R no cambia ya que los diffeomorfismos no tocan el sistema coordenadoen el cual estamos representando los campos.

En particular si φ puede ser el flujo de algun campo vectorial X (el cual es arbitrario), por lo tantoes lıcito escribir:

δS mat = lımt→0

R

Lmat

√−g[φ∗gµν , φ∗ψ] − Lmat√−g[gµν , ψ]

t

d4x

=

R

LX (Lmat√−g)d4x

=

R

δ(Lmat

√−g)

δψLX ψ +

(δLmat√−g)

δgµν

LX gµν

d4x

= R

1

2 (T µν

√−g)LX gµν d4

x

=

R

1

2(T µν

√−g)(X µ;ν + X ν;µ)d4x =

R

T µν√−gX µ;ν d4x

=

R

√−g(T µν X µ ;ν )d4x −

R

√−gX µT µν;ν d4x

=

R

[√−gT µν X µ], ν d4x

0

−

R

√−gX µT µν;ν d4x

= −

R

√−gX µT µν;ν d4x = 0

Y debido a la arbitrariedad de X finalmente hallamos:

T µν;ν = 0 (53)

Luego el hecho de que la ”conservacion covariante” del tensor energia-momento de la materia es m as queuna simple consecuencia del principio de equivalencia ya que descansa en la invariancia de la teoria bajodiffeomorfismos.

6.4. No localizacion de la Energıa Gravitacional

Sin embargo T µν;ν = 0 en verdad no expresa una ley de conservacion y a menos que nuestro espacio-

tiempo admita vectores Killing, no podemos formar cantidades conservadas conservadas a partir de estarelacion .

19



En ausencia de un campo gravitacional (Relatividad Restringida) , La ley de conservacion del tensorde Energia-Momento es expresado por la ecuacion T µν

, ν y es consecuencia de la invariancia con respectoa traslaciones en el tiempo y espacio. Excepto para soluciones especiales, las traslaciones no actuan comoisometrıas en una variedad y por esta razon una ley general de conservacion para la energıa y momentono existe en relatividad general. Una forma de atacar este problema es introducir cantidades τ µν [1] detal manera que

√−g(T µν + τ µν ) = ∂ Ψµνλ

∂λ(54)

De esta definicion se ve que la cantidad τ µν no se transforma como un tensor por esta razon es denominadopseudotensor. Landau mostro que es posible encontrar una cantidad τ µν simetrica [ver 1] Sin embargo nohay una forma unica de definir estas cantidades pero son utiles porque nos permiten construir cantidadesconservadas

P µ =

R

(−g)(T µν + τ µν )dS ν (55)

Estas cantidades τ µν tienen una interpretacion asociadas a la energıa del campo gravitacional y se hablade una conservacion total de la energıa de la materia y el campo gravitacional.

Si el tensor T µν es cero en algun punto del espacio tiempo, entonces sigue siendo nulo para cualquier

sistema de referencia y podemos hablar con seguridad que en este punto no existen campos de materia.¿ Sucede lo mismo para τ µν ? La respuesta es no , puesto que τ µν no posee un caracter tensorial , estoes, si en cierto sistema de referencia τ µν se anula en algun punto no implica que este siga siendo nulo encualquier sistema arbitrario y por lo tanto no tiene significado el preguntarnos si en dicho punto existe ono energıa gravitacional.

Aunque esto parezca extrano , es una consecuencia directa del principio de equivalencia ya que estenos permite siempre eliminar localmente (mediante una eleccion apropiada de coordenadas) el campogravitacional (identificado con los sımbolos de Christoffel).Por lo tanto no existe un tensor de energıa-momento para el campo gravitacional y no hay manera de localizar su energıa.

Finalmente desde un enfoque matematico debemos mencionar que esto esta relacionado con la identi-ficacion de los campos con entidades geometricas ya que de todos los campos el gravitacional( identificado

con Γµνα) es el unico que se interpreta distinto al resto (los campos de materia se identifican con campostensoriales de la variedad)

7. bibliografia

1. The Classical Theory of Fields; L.D. Landau, E.M.Lifshitz ;4ta Ed. Pergamon Press

2. Geometry, Topology and Physics ; M. Nakahara; Graduate Student Series in Physics

3. Problem Book in Relativity and Gravitation ; Alan P. Lightman, Willian H. Press, Richard H.Price, Saul A. Teukolsky

4. Classical Fields: General Relativity and Gauge Theory ; M.Carmelli ; Willey-Intersciencie Publi-cation

5. General Theory of Relativity ; P.A.M. Dirac ;Willey-Intersciencie Publication

6. General Relativity: With Applications to Astrophysics ; N. Straumann

7. Tensors and Manifolds ; Wasserman

8. Lectures Notes on General Relativity ; Sean M. Carroll ; http://itp.ucsb.edu/ carroll/notes/.

20



Apendice

Relaciones utiles

1. δg = ggµρδgµρ = −ggµρδgµρ

2. g,κ = ggµρgµρ, κ

3. δ(√−g) = − 12

δg√ −g

4. Γµαµ = 1

2gµγ gµ γ , α = (ln

√−g),α

5. gµγ Γωµγ = − 1√

−g(√−g)gωρ

,ρ

6. Aµ; µ = Aµ

µ + (ln√−g)µ

, µ

7. (Aµ√−g), µ =

√−gAµµ

8. √−gAµ

; µd4x =

Aµ√−gdS µ

21

simetrias y leyes de conservacion en relatividad general

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