fasciculo4 el mundo de los movimientos y las simetrias

8/14/2019 fasciculo4 el mundo de los movimientos y las simetrias

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M a t e m t i c a p a r a t o d o sFascculo

Geomet r a I I I

Los que conocen a este seor deploraban y deploran que no se haya hecho uso de lasventajas que ofrece un joven venezolano que a una vasta ilustracin en las matemticasque ha estudiado por ms de catorce aos en Espaa y Francia, une la noble ambicin

de consagrarse al bien de su pas sin ms recompensa, adems de una mdica subsistencia,que el honor de tributarle sus servicios y merecer de este modo la estimacin pblica.Jos Mara Vargas, refirindose a Juan Manuel Cajigal (en el tope), en su informe del 3 de octubre de 1830 en

relacin con la creacin de la Academia de Matemtica, de la que Cajigal fue su primer maestro y primer director.

Juan Manuel Cajigal yOdoardo (1803-1856)Ingeniero, militar, matemticoy periodista venezolano

Wapa de la etnia panaredonde se observansimetras.

Fotografa: Cristina Pavn, Casa AlejoZuloaga. San Joaqun, estadoCarabobo.

El mundo de losmovimientosy de lassimetras


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La geometra no es slo el estudio de las figuras y sus propiedades, sino

tambin los movimientos de esas figuras. El deslizarse en una patineta o en

una pista de hielo, trasladarse en una escalera mecnica, girar en un auto

o en la rueda o verse en un espejo son movimientos fsicos. Algo interesante

en estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se

voltea no cambia de forma ni tamao. Esos movimientos inducen en la

geometra el estudio de las transformaciones de figuras. Traslacin, rotacin,reflexin de figuras son movimientos estudiados por la geometra. La geometra

describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de

la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.

s o m e t r a sICada imagen es la transformada de una figura. Observa en las imgenes de

abajo cmo a cada punto de la figura original (A) le corresponde un solo punto

de la imagen (A) y a cada punto de la imagen le corresponde un solo punto

de la figura original. Estas transformaciones tienen algo adicional: no cambian

el tamao ni la forma de la figura, slo cambian su posicin. Estas transformacio-

nes se llaman isometras. La palabra isometra (iso: igual, metra: medida)

describe muy bien estos movimientos. Las traslaciones, rotaciones y reflexionesson isometras. Veremos como estos movimientos son utilizados en los diseos

de papel tapiz, diseos de cermicas y en el arte en general.

sI

Original

Imagen

TRASLACIN

Original

ROTACIN

REFLEXIN

ImagenOriginal

050Fundacin POLAR M a t e m t i c a p a r a t o d o s Fascculo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetras - GEOMETRA 3

A

A

A

A

A A

Imagen

D e s c u b r i e n d o e l m u n d o d e l o s m o v i m i e n t o s


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S i m e t r a a x i a l o r e f l e x i n r e s p e c t o d e u n a r e c t a ( b i l a t e r a l )En la naturaleza, en el arte, en lascermicas, papeles de decoracinde las paredes (ornamentacingeomtrica) y otros, se encuentran

simetras bilaterales (reflexionesrespecto de rectas o ejes).

Ejedesimetra

Estrella de seis puntas(la estrella de David)simtrica segn diversosejes. Dibuja los otrosejes de simetra.

p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p

La secuencia de letras b essimtrica de la secuencia de

letras p respecto al eje t.

Eje t

Completa la figurasegn el eje de simetra

Eje

Torre EiffelPars, Francia.


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Iglesia de Santa TeresaCaracas, 27 de octubre de 1876

El hexgono regular y la flor conseis ptalos son simtricos res-pecto al eje r. Dibuja los otrosejes de simetra.

En diseos geomtricos hay gran variedad de simetras bilaterales.

Una reflexin o simetra axial es una isometra delplano que deja fijos los puntos de una recta r (el

eje de reflexin o de simetra).Si P es un punto que no pertenece al eje r, entoncessu imagen P, mediante la reflexin del eje r, es talque PP es perpendicular a r y las distancias delos puntos P y P a r son iguales (el eje r es mediatrizdel segmento PP).

Una forma prctica de realizar simetras axiales esla siguiente: Se dibuja una figura en un papel

transparente, se dobla en alguna parte(preferiblemente la recta del pliegue que no atraviesela figura) y se calca la figura. Al desplegar el papelresultan dos figuras simtricas respecto de la rectade pliegue. Esto tambin se puede realizar con dos

acetatos superpuestos.

Las siguientes letras tienen ejes de simetra.Dibuja otras que tambin lo tengan.


Eje

r

S

M

N

Eje de reflexin r

PS

M

N

P

S i m e t r a a x i a l o r e f l e x i n r e s p e c t o d e u n a r e c t a ( b i l a t e r a l )


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S i m e t r a s d e t r a s l a c i n , r o t a c i n y a x i a l

Las que no tienen puntos fijosson las traslaciones (simetra

de traslacin).

Las que tienen un nico punto fijoO, son las rotaciones de centro O

(simetra rotacional). Lasrotaciones de ngulo 180 son lassimetras centrales.

Las que tienen ms de un punto fijo,por lo tanto tienen fijos todos los

puntos de una recta, son lasreflexiones cuyo ejees esa recta(simetra axial o bilateral).

Hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos deisometras, entre las que mencionamos las reflexiones condeslizamiento: es una reflexin seguida de una traslacinparalela al eje de reflexin (o en el orden contrario). Esetipo de isometra se manifiesta en las huellas que dejan los

pies al caminar sobre la arena de playa y en la disposicinde hojas de helechos, entre otros.

053Fundacin POLAR M a t e m t ic a p a r a t o d o s Fascculo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetras - GEOMETRA 3

INTERESANTELas isometras (movimientos rgidos o congruencias) de un plano, diferentes de la identidad, seclasifican segn la cantidad de puntos fijos que tienen.

A

A B

BO

A

B

A

B

B

A

A

B

Las simetras han sido utilizadas desde la

antigedad por diversas civilizaciones. Lossumerios fueron particularmente aficionados ala simetra bilateral, de esto hay gran variedadde ejemplos.Para H. Weyl La simetra, independientementede la amplitud con que se defina su significado,es una idea por medio de la cual el hombre, atravs de los tiempos, ha intentado comprendery crear orden, belleza y perfeccin.Tambin nuestras poblaciones indgenas se valende la simetra para la decoracin de diversosobjetos como las cestas. La fotografa nos da unexcelente ejemplo de ello.


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S i m e t r a y d e c o r a c i n

Palacio SaarbrckenAlemania

Utilizando un motivo (una figura) y por repeticin del mismo, mediante simetrasde diversos tipos, se obtienen diseos geomtricos con los cuales se puedenrealizar ornamentaciones (decoraciones). Cuando el motivo generador se repitea lo largo de una faja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas) y si se recubreuna parte del plano, sin dejar huecos ni superponerse (bien acoplados), seobtienen mosaicos o teselaciones. Tambin hay diseos denominados grupos

puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci) que son figuras concentro (un punto fijo: rotaciones con un centro en ese punto y reflexionesrespecto de ejes que pasan por ese punto).

Un friso con motivo generador

Partiendo de un (Motivo inicial o motivo generador) al que aplicamos sucesivasisometras bilaterales y rotacionales (un grupo puntual o deLeonardo).

Motivo generador Simetra axial Rotacin de 180(180 = 360/2)

Rotacin de 120(120 = 360/3)

Rotacin de 90(90 = 360/4)

Rotacin de 72(72 = 360/5)

Rotacin de 60(60 = 360/6)

Crea tu propiofriso


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El polihueso Primero se construye el hueso a partir de un cuadrado y luego se acoplan stos para construirel embaldosado.

G e o m e t r a y a r t e

Capilla de VillaviciosaCrdoba, Espaa.

El arte islmico es muy rico en diseos geomtricos. Entre estos, los rabesdecoraron sus palacios con una gran variedad de ornamentos construidos apartir de figuras geomtricas mediante su repeticin y acoplamiento. Este arteislmico tiene su mayor exponente en la Alhambra de Granada. Dos ejemplosde estos mosaicos son el polihueso y la pajarita.

La pajarita Se construye el motivo generador y luego se acoplan.

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A

BC

A

BC

C

A

B

Tringuloequiltero

Cuadrado


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El artista holands M. C. Escher, inspirado en el

embaldosado de La Alhambra en Espaa, aprendi

a usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para

cambiar la forma de los tringulos equilteros,paralelogramos y hexgonos regulares en figuras

como pjaros, peces y reptiles que tambin

sirvieran para embaldosar. A la izquierda est una

ilustracin donde utiliz rotaciones sobre el cambio

de forma de un polgono. Observa, abajo, la

creacin de la figura de un pato a partir del polgono

ABCD.

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e l o s m o v i m i e n t o sMauritz Cornelis Escher

(1898-1972)

Rotaciones y embaldosar

Observa, abajo, la creacin de un pezvolador (M.C. Escher) a partir de untringulo equiltero.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

bserva las modificaciones y rotaciones de un

ngulo equiltero. Recorta el modelo y tesela el

ano como se ve a la derecha. Nombra todas las

otaciones con centro en el punto P que aplica

sta tesela sobre s misma.

Observa cmo con pequeas variaciones en las curvas aparecer la figurade un pjaro en vez de pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano.

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

RetoP


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P


RotacionesGirar, como deslizar, es un movimiento fsico que hemos experimentado desde

temprana edad, abrir la puerta de un cuarto, ver girar las agujas de un reloj,

en un engranaje, las ruedas de una bicicleta o de un automvil, en un tiovivo,

en muchas obras de arte.

Smbolo Shinto: representa larevolucin del Universo

Movimiento perpetuo deLeonardo da Vinci

Dibuja un punto P y un punto O en elcuaderno y copia el punto P en una hojade papel transparente. Fija en el punto Oel papel transparente, con un alfiler, y girael papel hacia la derecha. Marca con P lanueva posicin de P. P es la imagen rotadadel punto P.En una rotacin, los puntos de cualquierfigura original giran una cantidad constantede grados alrededor de un punto fijo. As:un punto fijo, el punto O (centro de rotacin)y el punto rotado definen una rotacin.

O

P

O

P P

O

P

ngulo

OBSERVA ROTACIONES CON EL GEOPLANO

G i r a r u ncuar to devuelta o 90a l r e d e d o rde l puntocentro.

Girar mediavuelta o 180alrededor delpunto centro.

El mundo de los movimientosy de lassimetras

FascculoM a t e m t i c a p a r a t o d o s


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Embaldosar o teselar un plano consiste en cubrir el

plano con figuras de tal forma que no queden huecos

entre las figuras ni que las figuras se solapen.

Observa cmo la traslacin de un octgono y de uncuadrado constituye el embaldosado de la derecha

(mosaico semirregular)

D e s c u b r i e n d o e l m u n d o d e l o s m o v i m i e n t o sTrasladar y embaldosar

B

A

Observa un embaldosado especial: El salto d el sap o , creacin de Robert Canete,

un estudiante de geometra. Observa la creacin de la figura que se traslada por

cambio de los lados opuestos de un cuadrado.

A B

CD

A B

CD

A B

CD


Corta el rectngulo segn el

modelo y tesela el plano.

Observa que lo que quitas

en un lado lo agregas en el

lado opuesto.

Reto


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Traslaciones

Observa modelos fsicos de traslaciones: montarse

en un ascensor o en una escalera mecnica y pasar

de un piso a otro de un edificio, el deslizarse por

un tobogn recto, el caminar de un punto a otro en

una calle.

Original

Dibuja un tringulo o una media luna en tu cuaderno

y cpialos en una hoja de papel transparente. Desliza

la hoja una cierta distancia, en cualquier direccin,

sin que gire y copia las figuras en el cuaderno: la

nueva figura es la imagen trasladada de la original.

A

B

C

A

B

C

Imagen

Los puntos de la figura original se movieron la mismadistancia a lo largo de trayectorias paralelas (lamisma direccin) dando origen a la imagen. As,

una distancia y una direccin definen una traslacin.Se utiliza una flecha, llamada vector traslacin.La longitud de la flecha define la distancia, y su

direccin, la direccin de traslacin.

Original

Imagen

En papel cuadriculado o en papelpunteado, el vector traslacinpuede definirse usando un parordenado: el primer nmeroexpresa la distancia en la queun punto de la figura se muevehorizontalmente y el segundonmero cunto se mueveverticalmente. La primera figurase movi ocho unidades a laderecha y tres unidades haciaarriba: vector traslacin (8,3).Segunda figura, vector traslacin

(4,1).

Existen muchas mquinas que combinan movimientos de

rotacin y traslacin. Una de ellas es el motor de los

automviles: los pistones se trasladan y con el rbol de

levas generan un movimiento de rotacin que al final hace

que el automvil se traslade. Averigua qu otras cosas

utilizan estos dos movimientos simultneamente y

disctelas con tus amigos y profesor o maestro.

C

B

A

C

B

A


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D e s c u b r i e n d o e l m u n d o d e l o s m o v i m i e n t o sINTERESANTE

Las isometras (movimientos rgidos o congruencias) del espacio, diferentes de la identidad,

se clasifican segn los puntos fijos que tienen:

Las que no tienen puntos fijosson las traslaciones.

Las que tienen una recta depuntos fijos (un eje) son lasrotaciones en torno de esarecta.

En un cilindro se pueden observar estos tres tipos de isometras:

Las que tienen un plano de puntos fijos,son las simetras especulares (simetrarespecto a un espejo).

Eje

Eje

Plano o espejo

Eje

Tambin hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos de isometras.

SemejanzasAdems de las isometras, bien sea de un plano o del espacio, hay otras transformaciones geomtricas como las semejanzas.

stas conservan las formas de las figuras pero alteran su tamao, tal como se hace al reducir o ampliar en fotocopias

alguna figura o texto.

A

B

C

A

B

C

Una homotecia de centro O y razn igual a2. Los lados del tringulo ABC, imagendel tringulo ABC, aumentaron el doble enlongitud. El rea del tringulo ABC es cuatroveces el rea del tringulo ABC. Por qu?

O

Con las isometras se definen las figurascongruentes.

Con las semejanzas se definen las figurassemejantes.

Ampliacin en 150%

Tamao real

Reduccin al 50%



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G e o m e t r a y c i e n c i a - t e c n o l o g a

Entrada de airey combustible

Al inicio, el pistn baja y elrbol de levas abre la vlvu-la de admisin. El combus-tible (gasolina) y el aire son

asp i rados den t ro de lcilindro.

Subida del pistny compresin de la mezcla

El pistn sube. El aire y elcombustible son comprimi-dos y se recalientan. Seenciende la buja.

Entrada deaire

Entrada decarburante

Vlvula deadmisin

rbol de levas

Vlvula deescape

Salida degases

Pistn

Biela

Contrapeso

Aceite

Cigeal

Buja de encendido

La mezcla se enciende y elpistn es empujado hacia abajo

Se enciende el combus-tible y el pistn es empu-

jado hacia abajo.

Expulsin de gasesLa vlvula de escape seabre por la rotacin delrbol de levas, y los gases

residuales son expulsadosal exterior.

Uno de los primeros automviles propulsadospor un motor de combustin interna fueconstruido por Karl Benz en 1885. En diez aos,su fbrica cre y comercializ numerososautomviles. El modelo Benz Velo (Fotografa,1898) fue el primer vehculo vendido en grandescantidades.

Modelo de vehculo utilizado en las carreras Fr-mula 1. Estos automviles alcanzan velocidadeshasta de 320 km/h, pero sus motores deben serreconstruidos al final de cada carrera.

Motor de combustin internaEl motor de combustin interna es un mecanismo inventado para la facilidad del

transporte. Creado por el escocs Dugald Clerk, en 1878 y modificado por JosephDay, en 1891, ha sido el motor por excelencia de vehculos y motocicletas. Elmotor tiene cilindro, pistn, cigeal y buja. Sus fases de funcionamiento sonadmisin, compresin, combustin y escape de gases, y se cumple en unmovimiento completo del pistn hacia arriba y hacia abajo: un movimiento detraslacin del pistn y se generan as movimientos de rotacin del cigeal queal final hace que las ruedas giren. El ciclo de trabajo se inicia cuando el pistnse traslada del punto muerto inferior al punto muerto superior. Este movimientode traslacin del pistn en el cilindro genera el movimiento de rotacin delcigeal. Observa esto en el diagrama aqu ilustrado.


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A

Un astrnomo est construyendo un mapa deestrellas para demostrar la posicin de laconstelacin Casiopea. El mapa muestra suposicin respecto al Polo Norte a las 9:00 p.m.Cul es la posicin de la constelacin a las3:00 de la maana?

T e n g o q u e p e n s a r l o

Cul de estas figuras ser la mismadespus de una rotacin de 1/4 devuelta? Y de 1/2 vuelta?

Polo Norte

Casiopea

Esta figura recibe el nombre de Polimino.Construye un rectngulo con cuatro destas.

Cules de estas figuras son rotaciones, simetras o traslacionesde la figura A?

B

E

C

D

Coloca un espejo plano en posicinvertical sobre la lnea AB del siguientedibujo. Qu ves?

1380803

A B

Completa un cuadrado con cada una de las figuras deabajo, utilizando para ello un espejo plano.

0 0

00

R e s u l t a d o s 1. A, B y C son las mismas rotndolas o vuelta. D vara al rotarla de vuelta, yqueda igual rotndola vuelta.

A B

C D

14

121

2

14

Polo Norte

Casiopea

2. 3.

1 2

3 4

5 6

De 9:00 p.m. a 3:00 a.m. transcurren6 horas. La Tierra da una vuelta enteraen 24 horas, por lo que 6 horas = devuelta, es decir, una rotacin con centrode rotacin en el Polo Norte y un ngulode 90.

14

4. B es resultado de traslacin y rotacin de 90. C y D son traslaciones de A. E esresultado de traslacin y simetra segn el eje vertical.


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La Simetra se propone en los Programas Oficiales de Matemtica a partir del 1er Gradode la Educacin Bsica en Venezuela. Se trabaja en los tres primeros Grados de la 1

Etapa de una manera intuitiva, mediante trazados, dobleces, recorte y completacin defiguras para obtener unas imgenes simtricas. Por medio de variados procedimientosse va desarrollando el concepto, y en la 2 Etapa se sistematizan algunas de sus nocioneshasta llegar al 6 Grado, donde se considera logrado el concepto de simetra bilateral oaxial.

Las experiencias previas que los nios han logrado en su entorno (cuando, por ejemplo,construyen el "barquito de papel" y hacen numerosos dobleces, que son simtricos;superponen las alas de la mariposa al capturarla; observan las hojas de las plantas consu nervadura central y sus dos partes iguales de ambos lados, que pueden juntarsequedando del mismo tamao) y una oportuna y efectiva motivacin del docente que loslleve al recuento y a la reflexin, los enfrenta a una situacin problema que les interesaresolver.

Por ejemplo, en el 4 Grado:

Determinar y dibujar los ejes de simetra en el hexgono regular que construyeron para

hacer una Pica (papagayo de forma hexagonal amarrado sobre los tres supuestos ejesde simetra).

Los estudiantes se preguntan cmo lo vamos a lograr? La bsqueda de la resolucinlos conduce a la accin y a la creacin de variadas formas de hacer. Se organizan enequipos e intercambian ideas. La maestra incentiva la actividad con algunas preguntasy les facilita el material: espejos, comps, tijeras, reglas y lpices de color.

Observan el hexgono regular que construyeron y est dibujado en hojas de trabajo paracada equipo.

Poliedro con floresMaurits Escher

Hexgono regular

Determinan las propiedades del hexgono: cuntos lados? cuntos vrtices? cuntosejes de simetra le podemos trazar?

La maestra pregunta: Cmo saben que el segmento trazado es un eje de simetra?Prubenlo usando el espejo. Colquenlo verticalmente de vrtice a vrtice pasando siemprepor el centro. Qu observan? Cuntos ejes de simetra encontraron en el hexgono?Slo tiene esos? Avergenlo con el espejo, dibjenlos y digan el resultado. Cuntosejes de simetra deben trazar ahora en el hexgono para hacer la Pica? Los estudiantespiensan, usan los espejos que aplican verticalmente sobre la lnea punteada en rojo, y venreflejada la otra mitad de la figura.

Cada vez que lo rotan hacia el prximo vrtice y van trazando un eje de simetra, cuntosejes trazaron?

La maestra les dice: Estn seguros de que esos segmentos son ejes de simetra? Losnios intervienen, hacen preguntas.

Proceden a armar una "PICA" en cada equipo, colocando un pedazo de verada sobrecada uno de los ejes de simetra dibujados.

Comparan su papagayo con otros que ensea la maestra. Se dan cuenta de que todosson simtricos.

Finalmente proyectan hacer la coleccin completa de papagayos. La maestra se propone

aprovechar esa oportunidad para que los nios determinen los ejes de simetra de otrospolgonos regulares usando libros de espejos" (dos espejos que se unen con cinta adhesiva).PICA

BibliografaBaena Ruiz, Julin y otros (1998), La esfera, Edit. Sntesis,Madrid, Espaa.Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano de EducacinMatemtica, Caracas, Venezuela.National Council of Teachers of Mathematics (NCTM-2000).Christine Kinsey y Teresa Moore (2002), S ymme try, shapes andspace. Key College Publishing & Springer, EE.UU.

RevistasResources in Education (RIE)Superintendent of Documents. U.S. GovernmentPrinting Office. Washington DC 20402-9371

Software (programas informticos)Logo, Sketchpad (EE.UU.) y Cabri (Francia).Programas que permiten dibujar figuras geomtricasy estudiar sus propiedades.

V e n t a n a d i d c t i c aEstrategias sugeridas al docente


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Ana Mara Font

L a m a t e m t i c a y e l P r e m i o L o r e n z o M e n d o z a F l e u r y *Naci en Anaco, estado Anzotegui, en

1959. Curs estudios superiores en laUniversidad Simn Bolvar, donde obtuvosu licenciatura en Fsica (cum laude), en1980. Realiz estudios doctorales en laUniversidad de Texas en Austin, EE.UU.,

la cual le confiri el ttulo de PhD en1987. Es especialista en teoras

unificadoras de la Fsica, particularmenteen teoras de supercuerdas. Ha hechocontribuciones significativas en

compactificacin y fenomenologa decuerdas, as como en el estudio de

simetras de dualidad y simetras espejoen cuerdas. La doctora Font es profesora

visitante frecuente de universidades ycentros cientficos del exterior. Obtuvo

el Premio Lorenzo Mendoza Fleury dela Fundacin Polar en 1991. Actualmente

es profesora titular de la Escuela deFsica, de la Facultad de Ciencias, de la

Universidad Central de Venezuela ymiembro del Sistema de Promocin al

Investigador (Nivel III).

Fotografa: Carlos Rivod

Segn nos cuenta con entusiasmo la doctora Font, "... en la bsqueda de una teora delas interacciones de las partculas fundamentales, los fsicos se guan por el principio desimetra. Se entiende por simetra la invariancia al realizar ciertas transformaciones. Porejemplo, sabemos que la dinmica de un sistema de partculas debe ser independientede cmo se definen las direcciones en el espacio. La teora debe ser entonces invarianteal realizar una rotacin. Existe un teorema maravilloso, demostrado por la matemticaalemana Emmy Noether, el cual establece que a cada simetra o invariancia le correspondeuna cantidad conservada".

En este fascculo trataremos entre otros temas del concepto de simetra, su relacin conel arte, la naturaleza y diversas manifestaciones del intelecto humano. Lo expresado porla doctora Font est estrechamente relacionado con estas ideas. La nocin de simetraen Matemticas y Fsica es importante por las propiedades que preservan las figurasque son simtricas, es como cuando uno se mira en el espejo a diario, ah est uno, laimagen nos muestra cmo lucimos. Nuestra imagen es una figura simtrica a nosotrosy nos vemos iguales a como somos, es decir, aparecemos del otro lado del espejo demanera invariante, no hay variacin en nuestra imagen. Esto sucede en los espejosplanos como los que tenemos en casa, no as en espejos curvos, alabeados, como losque podemos encontrar en circos o ferias; al mirarnos en ellos nos hemos deformado,

nuestra imagen no es invariante con respecto a nosotros.Estas consideraciones sobre la nocin de simetra y lo expresado por la doctora Fontnos motivaron para comenzar este fascculo con una pequea resea de ella, ganadoradel Premio Lorenzo Mendoza Fleury en su edicin del ao 1991, por sus trabajos enFsica Terica. Trabajos que muestran la estrecha y profunda relacin entre la Matemticay la Fsica y en los cuales los conceptos de simetra e invariancia bajo transformacionesjuegan un papel determinante. Finalizamos citando al gran sabio Galileo Galilei: El granlibro de la Naturaleza es t es crito e n lenguaje m atem tico . (Galileo: Saggiatore, OpereVI, p. 232).

* El Premio Lorenzo Mendoza Fleury fue creado por Fundacin Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los cientficos venezolanos. Se otorga cada dos aos a cinco de nuestros msdestacados investigadores y en el ao 2003, su undcima edicin, lo recibieron los qumicos Scrates Acevedo

y Yosslen Aray, el fsico Jess Gonzlez, el bilogo Jos R. Lpez Padrino y el matemtico Lzaro Recht.