simetrÍas multipolares y soluciones exactas

SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS

I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 SOLUCIONES MULTIPOLARES EN RG vs GNI.2 SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANASI.3 GENERALIZACIÓN RELATIVISTA. COORDENADAS MSAI.4 ECUACIÓN DE BINET Y CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES

II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA

SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS

I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUALII RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA

¿Existe algún tipo de simetría que nos permita caracterizar las soluciones con simetría axial de las ecuaciones de Einstein de vacío que posean un número finito de Momentos Multipolares ?

Toda solución de vacío, con simetría esférica es necesariamente estática.

TEOREMA:

CUESTIÓN:

Si una fuente restringida a la región r<a es esféricamente simétrica, entonces la solución para r>a debe ser la solución exterior de Schwarzschild.

SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y

SOLUCIONES EXACTAS

José Luis Hernández Pastora

I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN

I.2 Simetrías multipolares newtonianas

I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA

I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales


Potencial Gravitatorio

Momentos Multipolares Newtonianos

DEFINICIÓN: Soluciones de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que poseen un número finito de Momentos Multipolares.

Momentos Multipolares Relativistas (Geroch-Hansen,Thorne): an=an(Mn)

• Solución M-Q (J. Martín, E. Ruiz, J.L.H-P) / Solución Cuadrupolar

• Soluciones puras -polo (M. Herberthson, T. Bäckdahl) Dipolo gravitacional / Monopolo- -polo

SOLUCIONES MULTIPOLARES PURAS EN RG vs GN








SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS

Sistema de ecuaciones diferenciales sobre M

Generador infinitesimal de un grupo local G de transformaciones actuando sobre la variedad M

G es un grupo de simetría

TEOREMA 1:

Simetría Monopolo-Dipolo

TEOREMA 2:

Simetría de orden -polar

Ecuación de Laplace (simetría axial):

Ecuaciones suplementarias ,

[Class. Quantum Grav. 25 (2008) 165021] (http://stacks.iop.org/CQG/25/165021)

Simetría de un sistema de ecuaciones









Grupos de transformaciones

Caso N=2 (Solución Monopolo-Dipolo-Cuadrupolo)

Grupo Monopolo-Dipolo

Grupo de orden -polar

=0









Soluciones invariantes por un grupo

A)

B)

Función escalar invariante de un campo vectorial

Soluciones invariantes por el grupo









Soluciones invariantes por un grupo

A) Caso N=2

B) Las soluciones de las ecuaciones son invariantes por la acción del grupo si y solo si la característica del campo vectorial asociado (evolutionary vector field) se anula sobre dichas soluciones








SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS

Coordenadas MSAMSA

DEFINICION: ACMC-TRF (Asymptotically Cartesian and Mass Centered Thorne’s Rests Free) o coordenadas MSA (Multipole Symmetry Adapted)

Coordenadas Standard de Schwarzschild

CONJETURA: Existen coodenadas MSA para cualquier solución estática de Weyl con un número arbitrario y finito de Momentos









Coordenadas MSAMSA

TEOREMA 1: Las soluciones con buen comportamiento asintótico del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales resultan ser las Soluciones Multipolares Puras in RG.

Coordenadas MSA

TEOREMA 2: Existen Grupos de Simetría de ese sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones invariantes por la acción de dichos grupos son las Soluciones Multipolares Puras en RG.

O equivalentemente

La única solución de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que posee un conjunto finito de Momentos Multipolares viene dada por la solución invariante por la acción del Grupo de Simetrías Multipolares

2









Cálculo de las coordenadas MSAMSA

[Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-

9381/27/4/045006)

LEMA: Es posible calcular un sistema de coordenadas en el que se verifica:










Ecuación de Ernst










•Se preserva estructura axisimétrica

•Buen comportamiento asintótico

•Buen comportamiento en el eje

•Standard de Schwarzschild

•No armónicas

•Convergencia de la serie

[Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-

9381/27/4/045006)

=0









Interpretación y caracterización de las coordenadas MSAMSA

CUESTIONES: 1. ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein?

2. ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones?

3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?TEOREMA 1:

Simetría Monopolar

TEOREMA 2:

Simetría Monopolo-Dipolo

0












3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?

COORDENADAS MSAMSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA ESFÉRICA

Coordenadas Standard de Schwarzschild












3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?

COORDENADAS MSAMSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA MONOPOLO-DIPOLO








SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES

La solución Monopolo en coordenadas MSAMSA-Dipolo-Cuadrupolo









Geodésicas de la solución multipolar

Caso: =cte, [compatible con , ]

Potencial efectivo :









Ecuación de Binet [Problema de Kepler]

La ecuación de Binet :

Ecuaciones demovimiento:

Órbitas:

La órbita sobre una superficie constante

correspondiente a una

geodésica temporal del espacio-tiempo de Schwarzschild viene

dada por la

misma ecuación que la Ecuación de Binet correpondiente al

problema de

Kepler perturbado con un potencial del tipo con

Geodésicas de Schwarzschild:









Ecuación de Binet Relativista

Problema de Kepler perturbado equivalente









Ecuación de Binet Relativista

El problema clásico de Kepler para un objeto celeste de masa M , energía

total E

y momento angular orbital J, perturbado con el siguiente potencial:

El problema clásico de Kepler para un objeto celeste de masa M , energía

total E

y momento angular orbital J, perturbado con el siguiente potencial:

Problema de Kepler perturbado equivalente

proporciona la misma ecuación orbital para una partícula test de masa m que la

correspondiente a una geodésica temporal sobre el plano ecuatorial de la solución

multipolar pura con el número finito de momentos multipolares deseado.








SOLUCIONES EXACTAS RESULTADOS

• Determinación de simetrías de un sistema de ecuaciones

diferenciales

• Caracterización de soluciones clásicas (GN) de la

gravitación mediante simetrías.

• Generalización a RG de las Simetrías Multipolares.

• Introducción y cálculo de un nuevo sistema de coordenadas

adaptado a las simetrías (MSA)

• Determinación explícita de las métricas

correspondientes a las soluciones Multipolares Puras en

coordenadas MSA.

• Determinación de simetrías de un sistema de ecuaciones

diferenciales

• Caracterización de soluciones clásicas (GN) de la

gravitación mediante simetrías.

• Generalización a RG de las Simetrías Multipolares.

• Introducción y cálculo de un nuevo sistema de coordenadas

adaptado a las simetrías (MSA)

• Determinación explícita de las métricas

correspondientes a las soluciones Multipolares Puras en

coordenadas MSA.








SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS

• Aplicación de las coordenadas MSA al cálculo de

correcciones relativistas a las órbitas en torno a objetos

estelares compactos.

• Determinación del Momento Cuadrupolar de objetos


• Introducción de nuevas representaciones de la soluciones

de Weyl.

• Determinación de las transformaciones de coordenadas

asociadas a dichas representaciones y conexión con las

coordenadas MSA.

• Aplicación de las coordenadas MSA al cálculo de

correcciones relativistas a las órbitas en torno a objetos


• Determinación del Momento Cuadrupolar de objetos


• Introducción de nuevas representaciones de la soluciones

de Weyl.

• Determinación de las transformaciones de coordenadas

asociadas a dichas representaciones y conexión con las

coordenadas MSA.








SOLUCIONES EXACTAS RELEVANCIA CIENTÍFICA

• Caracterización de soluciones Multipolares Puras y su

relevancia en la física de objetos estelares no esféricos.

• Determinación de Simetrías de ecuaciones

diferenciales, tanto a nivel clásico como relativista, que

permiten caracterizar las soluciones multipolares puras.

• Determinación de las coordenadas estandar de

Schwarzschild (asociadas a la simetría esférica) mediante

un problema de Cauchy.

• Especie de generalización del Teorema de Birkhoff.

• Utilización de las coordenadas MSA para futuros estudios de

soluciones globales y problemas de enganche,

representaciones de las soluciones, correcciones

relativistas orbitales...

• Caracterización de soluciones Multipolares Puras y su

relevancia en la física de objetos estelares no esféricos.

• Determinación de Simetrías de ecuaciones

diferenciales, tanto a nivel clásico como relativista, que

permiten caracterizar las soluciones multipolares puras.

• Determinación de las coordenadas estandar de

Schwarzschild (asociadas a la simetría esférica) mediante

un problema de Cauchy.

• Especie de generalización del Teorema de Birkhoff.

• Utilización de las coordenadas MSA para futuros estudios de

soluciones globales y problemas de enganche,

representaciones de las soluciones, correcciones

relativistas orbitales...









PERTURBACIÓN POR FUERZA CENTRAL DEL PROBLEMA DE

KEPLER

Teoría de perturbaciones a 1er orden en variables de acción-ángulo

Valor promedio de la perturbación:

Caso n=3:

Término Monopolar

Término Cuadrupolar









Elemento de línea estacionario axisimétrico

Coordenadas de Weyl: J=Ecuaciones de campo (caso estático)

TEOREMA: Solución estática con simetría axial si y solo si

Condiciones asintóticas y de regularidad:









Elemento de línea estacionario axisimétrico

Ecuaciones de campo (caso estático)

Familia de soluciones:

Transformación de coordenadas (Weyl):

simetrÍas multipolares y soluciones exactas

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