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Simetrías Generalizadas de Ecuaciones Diferenciales

El concepto de simetría puntual de sistemas de ecuaciones diferenciales, introducido por Sophus Lie (1874), es un concepto útil para la construcción de soluciones particulares. Tales simetrías se puede interpretar como un cambio de variables, que depende continuamente de un parámetro y que deja el sistema dado intacto (invariante).

Una forma de generalizar la simetría puntual es introducir las derivadas dentro de este cambio de variables. Así aparecen simetrías de contacto, las cuales incluyen derivadas de primer orden y simetrías superiores, que dependen de las derivadas de cualquier orden.

Este mini-curso iniciaremos con el concepto de transformación de una ecuación diferencial; especificaremos las simetrías puntuales y su cálculo. Luego conoceremos la teoría de simetrías generalizadas y veremos algunos ejemplos.

Transformaciones

Sea dada una ecuación diferencial (sistema o una ecuación escalar)

�⃗�(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑠)) = 0,

donde �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) son 𝑛 variables independientes, �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚) son 𝑚 variables dependientes,

�⃗⃗�𝐽 =

{

�⃗⃗�(1) ≔ {

𝜕𝑢1

𝜕𝑥1,𝜕𝑢2

𝜕𝑥2, … ,

𝜕𝑢𝑚

𝜕𝑥𝑛} = {𝑢𝑖

𝑗} es el conjunto de primeras derivadas,

�⃗⃗�(2) ≔ { 𝜕2𝑢1

𝜕𝑥1𝜕𝑥1,𝜕2𝑢1

𝜕𝑥1𝜕𝑥2, … ,

𝜕2𝑢𝑚

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑥𝑛} = {𝑢𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛

𝑗} = {

𝜕2𝑢𝑗

(𝜕𝑥1)𝑖1(𝜕𝑥2)𝑖2 …(𝜕𝑥𝑛)𝑖𝑛} ,

donde 𝑖1 + 𝑖2 +⋯+ 𝑖𝑛 = 2, es el conjunto de segundas derivadas,…

�⃗⃗�(𝑠) = {𝑢𝐽𝑗} ,

𝐽 ≔ (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑛), se llama multi-índice, |𝐽| ≔ 𝑖1 + 𝑖2 +⋯+ 𝑖𝑛 = 𝑠.

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�⃗� = (𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑀) = 0 son 𝑀 ecuaciones diferenciales (para determinación consideremos sistemas, donde el número de ecuaciones 𝑀 = 𝑚 es igual al número de funciones incógnitas).

Para simplificar el proceso de búsqueda de soluciones del sistema �⃗� frecuentemente se usan diferentes cambios de variables (o transformaciones de variables). Es posible clasificar los cambios en tres siguientes clases. I. Transformaciones puntuales. Se llaman así, porque transforman un punto del espacio de variables dependientes e

independientes {�⃗�, �⃗⃗�} al punto del mismo espacio {�⃗̅�, �⃗⃗̅�} y se definen de la siguiente forma:

�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�), 𝑖 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅, �̅�𝑗 = 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�), 𝑗 = 1,𝑚̅̅ ̅̅ ̅̅ .

Como ejemplos típicos, podemos mencionar: a. En una ecuación para la función 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) pasar de coordenadas Cartesianas (𝑥, 𝑦) =(𝑥1, 𝑥2) a coordenadas polares (�̅�1, �̅�2) = (𝑟, 𝜙). En este caso:

�̅�1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, 𝑢) = √(𝑥1)2 + (𝑥2)2,

�̅�2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, 𝑢) = arctan𝑥2

𝑥1,

�̅� = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, 𝑢) = 𝑢. b. Cambiar el punto de una condición inicial 𝑢(𝑥)|𝑥=𝑥0 = 𝑢0 al punto cero 𝑢(�̅�)|�̅�=0 = 𝑢0

haciendo el translación �̅� = 𝑥 − 𝑥0. c. En una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes homogéneos introducir nueva función desconocida �̅� = 𝑔1(𝑥, 𝑢) = 𝑢/𝑥.

Esas transformaciones obviamente inducen un cambio en derivadas de acuerdo a la regla de cadena. Hay que notar, que las derivadas en variables nuevas tienen el mismo orden que derivadas en las variables anteriores.

Además, las transformaciones deben ser invertibles, para poder regresar al sistema original, es decir el Jacobiano de transformación debe ser diferente del cero:

|𝜕(𝑓, �⃗�)

𝜕(�⃗�, �⃗⃗�)| ≠ 0.

II. Transformaciones tangentes.

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Transformaciones tangentes de orden 𝑁 incluyen los cambios de las derivadas hasta el orden |𝑱| ≤ 𝑵:

(TT)

{

�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁)),

�̅�𝑗 = 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁)),…

�̅�𝑱𝒋= ℎ𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛

𝑗 (�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁)).

Debido a que se definen los cambios de las derivadas deben ser satisfechas relaciones

entre las diferenciales. Es decir se conserva la estructura tangente (sistema de Pfaff) compuesta de las formas diferenciales

𝛺: 𝜔0 = 0,… ,𝜔𝑁−1 = 0, donde

𝜔0𝑗= 𝑑𝑢𝑗 − 𝑢𝑥𝛼

𝑗𝑑𝑥𝛼 ,

𝜔1𝑗= 𝑑𝑢𝑖1

𝑗− 𝑢𝑖1,𝛼

𝑗𝑑𝑥𝛼 ,

⋮

𝜔𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛𝑗

= 𝑑𝑢𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛𝑗

− 𝑢𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛,𝛼𝑗

𝑑𝑥𝛼 , 𝑖1 + 𝑖2 +⋯+ 𝑖𝑛 = 𝑁 − 1.

Aquí estamos usando el “convenio de suma”: se suman los términos que tienen índices

repetidos, por ejemplo, 𝑢𝑥𝛼𝑗𝑑𝑥𝛼 = 𝑢

𝑥1𝑗𝑑𝑥1 + 𝑢

𝑥2𝑗𝑑𝑥2 +⋯+ 𝑢𝑥𝑛

𝑗𝑑𝑥𝑛 = ∑ 𝑢𝑥𝛼

𝑗𝑑𝑥𝛼𝑛𝛼=1 .

En otras palabras, las relaciones entre las derivadas parciales (o diferenciales totales) en

nuevas variables deben estar en congruencia con el cambio de variables. Las diferenciales totales se transforman de la siguiente manera:

𝑑�̅�𝑖 =𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑥𝛼𝑑𝑥𝛼 +

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢𝛽𝑑𝑢𝛽 +

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢𝐽𝛾 𝑑𝑢𝐽

𝛾,

𝑑�̅�𝑗 =𝜕𝑔𝑗

𝜕𝑥𝛼𝑑𝑥𝛼 +

𝜕𝑔𝑗

𝜕𝑢𝛽𝑑𝑢𝛽 +

𝜕𝑔

𝜕𝑢𝐽𝛾 𝑑𝑢𝐽

𝛾,

𝑑�̅�𝐽𝑗=𝜕ℎ𝐽

𝑗

𝜕𝑥𝛼𝑑𝑥𝛼 +

𝜕ℎ𝐽𝑗

𝜕𝑢𝛽𝑑𝑢𝛽 +

𝜕ℎ𝐽𝑗

𝜕𝑢𝐽𝛾 𝑑𝑢𝐽

𝛾,

donde igual, 𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑥𝛼𝑑𝑥𝛼 = ∑

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑥𝛼𝑑𝑥𝛼𝑛𝛼=1 . Así que el cambio de variable (TT) es una transformación

tangente si se cumple que

�̅� = 0 si 𝛺 = 0. Además, las (TT) deben ser también invertibles, es decir

|𝜕(𝑓, �⃗�, ℎ⃗⃗𝐽)

𝜕(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�𝐽)| ≠ 0.

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Como ejemplo consideremos transformaciones de Legendre (cambio de roles de las variables independientes y derivadas)

{

�̅�𝑖 = 𝑢𝑥𝑖 ,

�̅� = −𝑢 + 𝑢𝑥𝑖𝑥𝑖

�̅��̅�𝑖 = 𝑥𝑖 .

,

Las diferenciales se transforman así:

𝑑�̅�𝑖 = 𝑑𝑢𝑥𝑖 ,

𝑑�̅� = −𝑑𝑢 + 𝑢𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖 + 𝑥𝑖𝑑𝑢𝑥𝑖 ,

𝑑�̅��̅�𝑖 = 𝑑𝑥𝑖 .

Para estructura tangente 𝑁 = 1, 𝛺 = {𝜔0 = 𝑑𝑢 − 𝑢𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖 = 0}

�̅�: �̅�0 = 𝑑�̅� − �̅��̅�𝑖𝑑�̅�𝑖 = −𝑑𝑢 + 𝑢𝑥𝑖𝑑𝑥

𝑖 + 𝑥𝑖𝑑𝑢𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑑𝑢𝑥𝑖 = −𝜔0 = 0.

Además (considerando para simplicidad el caso de una sola variable independiente)

|𝜕(𝑓, �⃗�, ℎ⃗⃗𝐽)

𝜕(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�𝐽)| = |

0 0 1𝑢𝑥 −1 𝑥1 0 0

| = 1 ≠ 0.

Es decir que las transformaciones de Legendre son transformaciones tangentes.

En general, cuando se encuentra una sola función desconocida y las (TT) incluyen solamente derivadas de primer orden, tales transformaciones tienen un nombre específico: transformaciones de contacto y se usan ampliamente en óptica geométrica y en otras áreas de física y matemática. TAREA: 1. Aplicando las transformaciones de Legendre, demostrar que la ecuación de tercer orden no lineal

2𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥𝑥 − 3𝑢𝑥𝑥2 = 0

puede ser reducida a ecuación lineal 2�̅��̅��̅��̅��̅� + 3�̅��̅��̅� = 0. 2. Encontrar cómo se transforman las segundas derivadas bajo transformaciones de Legendre de una función 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) y aplicarlas para ecuación de dinámica de gases

(1 − 𝑢𝑥2)𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑢𝑦𝑢𝑥𝑦 + (1 − 𝑢𝑦

2)𝑢𝑦𝑦 = 0.

3. Verificar que la transformación que depende de un parámetro 𝑎

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{

�̅� = 𝑥 + 𝑎𝑢𝑥,

�̅� = 𝑢 +𝑎

2𝑢𝑥2

�̅��̅� = 𝑢𝑥 .

es una (TT). III. Transformaciones generales.

Existen transformaciones todavía mas generales, en las cuales nuevas derivadas dependen de las derivadas de orden mayor, o no satisfacen las condiciones de tangencia, o no son invertibles, pero de todos modos son útiles para solución de ecuaciones. Sustituciones diferenciales. a. Transformación de Ricatti,

�̅� = 𝑥, �̅� =𝑢𝑥𝑢

permite reducir una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables

𝑢𝑥𝑥 = 𝑎(𝑥)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥)𝑢 a una ecuación de Ricatti de primer orden:

�̅��̅� =𝑢𝑥𝑥𝑢− (

𝑢𝑥𝑢)2

=𝑢𝑥𝑥𝑢− �̅�2 ⇒ 𝑢𝑥𝑥 = (�̅��̅� + �̅�

2)𝑢 = 𝑎(𝑥)�̅�𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑢 ⇒

�̅��̅� + �̅�2 = 𝑎(𝑥)�̅� + 𝑏(𝑥).

b. Transformación de Hopf-Cole (parecida a la transformación de Ricatti)

�̅� = 𝑥, 𝑡̅ = 𝑡, �̅� =2𝑢𝑥𝑢

relaciona ecuación de calor 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 con ecuación de Burgers (no lineal)

�̅��̅� = �̅��̅��̅� + �̅��̅��̅�. Tenemos:

�̅��̅� =2𝑢𝑥𝑥𝑢

− 2 (𝑢𝑥𝑢)2

, �̅��̅��̅� =2𝑢𝑥𝑥𝑥𝑢

−6𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥𝑢2

+4𝑢𝑥

3

𝑢3, �̅��̅� =

2𝑢𝑥𝑡𝑢

−2𝑢𝑥𝑢𝑡𝑢2

,

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por lo tanto, partiendo de la ecuación de calor

(1

𝑢(𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥))

𝑥

=𝑢𝑥𝑡𝑢 − 𝑢𝑡𝑢𝑥

𝑢2−𝑢𝑥𝑥𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝑥𝑢𝑥

𝑢2= 0,

se obtiene

�̅��̅� = 2𝑢𝑥𝑡𝑢−2𝑢𝑡𝑢𝑥𝑢2

= 2𝑢𝑥𝑥𝑥𝑢

−2𝑢𝑥𝑥𝑢𝑥𝑢2

= �̅��̅��̅� + �̅��̅��̅�.

En general las sustituciones diferenciales no son invertibles, pero permiten obtener las

soluciones de una ecuación partiendo de las soluciones de la otra. Así, cualquier solución de ecuación de calor es una solución de ecuación de Burgers, pero lo contrario no es válido, porque solución de ecuación de Burgers genera solución de la ecuación

𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑢,

donde 𝑓(𝑡) es una función arbitraria. Transformaciones de Backlund para ecuaciones de segundo orden (1880).

Sea 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) solución de una ecuación de segundo orden

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢(1), 𝑢(2)) = 0,

y �̅� = �̅�(�̅�, �̅�) es solución de una ecuación de segundo orden

�̅�(�̅�, �̅�, �̅�, �̅�(1), �̅�(2)) = 0.

Dicen que las dos ecuaciones 𝐹 = 0 y �̅� = 0 están relacionadas por medio de una

transformación de Backlund:

𝛷1(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢(1); �̅�, �̅�, �̅�, �̅�(1)) = 0,

𝛷2(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢(1); �̅�, �̅�, �̅�, �̅�(1)) = 0

si de la compatibilidad del sistema 𝐹 = 0, 𝛷1 = 0,𝛷2 = 0 sigue la ecuación �̅� = 0 y de la compatibilidad de �̅� = 0, 𝛷1 = 0,𝛷2 = 0 sigue la ecuación 𝐹 = 0.

Así que si se tiene una solución 𝑢 = 𝑢0(𝑥, 𝑦) de ecuación 𝐹 = 0 y es posible resolver las ecuaciones de primer orden 𝛷1 = 0,𝛷2 = 0 respecto a la función �̅� = �̅�(�̅�, �̅�), entonces se obtiene solución de la ecuación �̅� = 0. Sistema 𝛷1 = 0,𝛷2 = 0 también se llama relaciones diferenciales.

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En el caso, cuando 𝐹 = �̅�, las transformaciones de Backlund se llaman transformaciones

auto-Backlund, porque relacionan soluciones de la misma ecuación (la dejan invariante).

Como ejemplo, es fácil de verificar que si 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) es una solución de ecuación sine-Gordon

𝐹: 𝑢𝑥𝑡 = sin 𝑢, entonces de la compatibilidad de 𝐹 = 0 con la transformación de Backlund (𝜆 es un parámetro diferente de cero)

𝛷1: �̅�𝑥 = 𝑢𝑥 + 2𝜆 sin𝑢 + �̅�

2,

𝛷2: �̅�𝑡 = −𝑢𝑡 −2

𝜆sin

𝑢 − �̅�

2

sigue la misma ecuación para la función �̅� . Efectivamente, calculando 𝜕𝑡(𝛷1)−𝜕𝑥(𝛷2) ⇒ �̅�𝑥𝑡 = sin �̅�. Es decir son transformaciones auto-Backlund. Así, por ejemplo, partiendo de la solución trivial 𝑢 = 𝑢0(𝑥, 𝑦) = 0, integrando el sistema de ecuaciones de primer orden

𝛷1: �̅�𝑥 = 2𝜆 sin�̅�

2,

𝛷2: �̅�𝑡 = −2

𝜆sin

−�̅�

2

se obtiene solución particular �̅� = 4 arctan (𝑐𝑒𝜆𝑥+ 𝑡

𝜆) de la misma ecuación de sine-Gordon.

También podemos mencionar transformaciones de Euler (que es un caso particular de

transformaciones de contacto), las de Mises, transformaciones de hodograph, etc. [3]

Simetrías

El concepto de una simetría de una ecuación diferencial informalmente es posible definir como una transformación que no cambia esa ecuación o transforma una solución de la ecuación dada a otra solución de ésta.

Por ejemplo, podemos decir que la transformación de auto-Backlund de la sección

anterior es una simetría de ecuación de sine-Gordon. Además, en ocasiones, es posible considerar el conjunto de transformaciones como una

estructura algebraica respecto a la operación de la composición de transformaciones. Por ejemplo, la transformación de Legendre forma un grupo discreto, porque la composición de dos transformaciones es una transformación idéntica (unidad del grupo 𝑒):

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𝑇: {

�̅�𝑖 = 𝑢𝑥𝑖 ,

�̅� = −𝑢 + 𝑢𝑥𝑖𝑥𝑖

�̅��̅�𝑖 = 𝑥𝑖 .

⇒ 𝑇 ∘ 𝑇 = 𝑇2: {

�̿�𝑖 = �̅��̅�𝑖 = 𝑥𝑖 ,

�̿� = −�̅� + �̅��̅�𝑖�̅�𝑖

�̿��̿�𝑖 = �̅�𝑖 = 𝑢𝑥𝑖 .

= 𝑢 − 𝑢𝑥𝑖𝑥𝑖 + 𝑥𝑖𝑢𝑥𝑖 = 𝑢 ,

así que la transformación inversa a 𝑇 es la misma transformación 𝑇, por lo tanto el conjunto 𝐺 = {𝑇, 𝑇−1 = 𝑇, 𝑒 = 𝑇2} es un grupo finito, porque satisface todas las propiedades de un grupo.

Entre todas las transformaciones se destacan las transformaciones puntuales continuos,

que dependen de un parámetro real [1] - [6]. Tales transformaciones forman un conjunto (una familia), el cual bajo ciertas condiciones representa un grupo continuo (mono-paramétrico) respecto a la operación de composición de transformaciones de ese conjunto.

El ejemplo más sencillo es la transformación de translación (la cual hemos visto en la

sección anterior): 𝑇𝑎: �̅� = 𝑥 − 𝑥0 = 𝑥 + 𝑎, donde 𝑎 ≔ −𝑥0 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ es un parámetro real (el intervalo 𝐼 debe contener el cero).

Obviamente 𝑇𝑎 ∘ 𝑇𝑏 = 𝑇𝑎+𝑏 = 𝑇𝑐: �̿� = (𝑥 + 𝑎) + 𝑏 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑐, es decir la composición de dos transformaciones de translación es una translación (cerradura del grupo). Además: transformación idéntica (unidad del grupo) es 𝑒 = 𝑇0, transformación inversa es 𝑇𝑎−1 = 𝑇−𝑎, porque 𝑇𝑎 ∘ 𝑇−𝑎 = 𝑇0, y asociatividad del grupo es debido a asociatividad de la suma

de dos números reales. Si la ecuación diferencial no contiene explícitamente la variable independiente 𝑥,

entonces la translación �̅� = 𝑥 + 𝑎 será una simetría puntual de ésta, porque 𝑑�̅� = 𝑑𝑥 y por lo tanto en las nuevas variables la ecuación tendrá la misma forma. Se dice que tal transformación puntual es admitida por la ecuación.

Simetrías puntuales

Consideremos una familia uniparamétrica {𝑇𝑎} de transformaciones inversibles de un

punto 𝑧 ∈ ℝ𝑛 a otro punto �⃗⃗� ∈ ℝ𝑛

𝑇𝑎: 𝑧𝑖= 𝑓𝑖(𝑧, 𝑎), 𝑎 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ.

El parámetro 𝑎 toma valores numéricos de un intervalo real 𝐼 y vector-función 𝑓(𝑧, 𝑎) es diferenciable respecto a 𝑎. Si para cualquier 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 se cumplen las siguientes propiedades:

1. Existe un parámetro 𝑐 ∈ 𝐼: 𝑇𝑏𝑇𝑎 = 𝑇𝑐=𝜑(𝑎,𝑏) (es decir la composición de dos

transformaciones es también una transformación de la misma familia);

2. Existe 𝑎0 = 0 ∈ 𝐼: 𝑇0 = 𝐸 (existencia de transformación idéntica que deja cualquier punto en su lugar);

3. Existe 𝑎−1 ∈ 𝐼: 𝑇𝑎−1 = 𝑇𝑎−1 (existencia de la transformación inversa);

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4. 𝑇𝑐(𝑇𝑏𝑇𝑎) = (𝑇𝑐𝑇𝑏)𝑇𝑎 (asociatividad de transformaciones)

entonces {𝑇𝑎} es un grupo uniparamétrico 𝐺𝑎 de transformaciones puntuales continuas y el parámetro 𝑎 se llama parámetro grupal.

Se puede notar lo siguiente:

1. Si 𝑇𝑎0 = 𝐸, para algún 𝑎0 ≠ 0, entonces es posible ”reparametrizar” el parámetro

𝑎 = 𝑎 + 𝑎0 para que 𝑇𝑎=0 = 𝐸;

2. La ley de multiplicación 𝜑 se puede reducir a 𝜑(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏, por lo tanto es diferenciable suficiente número de veces y 𝑎−1 = −𝑎.

Si además las operaciones de composición y de tomar el inverso son diferenciables, entonces 𝐺𝑎 es un grupo local de Lie.

Ejemplo. Grupo de escalamiento (estiramiento, homotecia) en ℝ2:

�⃗⃗� = (𝑧1, 𝑧2) = 𝑓(𝑧, 𝑎) = {

𝑧1 = 𝑒𝑎𝑧1

𝑧2 = 𝑒2𝑎𝑧2

Transformación idéntica: 𝑎 = 0 → 𝑧 = 𝑧;

Transformación inversa: 𝑎−1 = −𝑎: 𝑓(�⃗⃗�, −𝑎) = {𝑧1= 𝑒−𝑎𝑒𝑎𝑧1

𝑧2= 𝑒−2𝑎𝑒2𝑎𝑧2

= {𝑧1

𝑧2= 𝑧;

Ley grupal: 𝜑(𝑎1, 𝑎2) = 𝑎1 + 𝑎2 : {𝑒𝑎2𝑒𝑎1𝑧1

𝑒2𝑎2𝑒2𝑎1𝑧2= {𝑒

𝑎1+𝑎2𝑧1

𝑒2(𝑎1+𝑎2)𝑧2.

Ejemplo. Grupo de rotación con respecto al ángulo 𝛼:

�⃗⃗� = (𝑧1, 𝑧2) = 𝑓(𝑧, 𝛼) = {

𝑧1= 𝑧1cos𝛼 + 𝑧2sin𝛼;

𝑧2= −𝑧1sin𝛼 + 𝑧2cos𝛼.

Desarrollando 𝑓𝑖(𝑧, 𝑎) en serie de Taylor en 𝑎 = 0

𝑧𝑖= 𝑓𝑖(𝑧, 𝑎) = 𝑧𝑖 +

𝜕𝑓𝑖(𝑧, 𝑎)

𝜕𝑎|𝑎=0

𝑎 + 𝑜(𝑎)

se puede definir la relación 𝜉𝑖(𝑧) =𝜕𝑓𝑖(𝑧,𝑎)

𝜕𝑎|𝑎=0

la cual determina el campo vectorial tangente

en el punto 𝑧 para la curva �⃗⃗�.

El siguiente teorema relaciona el grupo de Lie con el campo vectorial.

TEOREMA (de Lie) Sea el grupo de transformaciones que está dado por la función 𝑓(𝑧, 𝑎), la cual tiene el desarrollo

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𝑧𝑖= 𝑓𝑖(𝑧, 𝑎) = 𝑧𝑖 +

𝜕𝑓𝑖(𝑧, 𝑎)

𝜕𝑎|𝑎=0

𝑎 + 𝑜(𝑎).

Entonces esta función es la solución del problema de Cauchy:

𝑑𝑓𝑖

𝑑𝑎= 𝜉𝑖(𝑓), 𝑓𝑖|𝑎=0 = 𝑧

𝑖 ∼𝑑𝑧

𝑖

𝑑𝑎= 𝜉𝑖(�⃗⃗�), 𝑧

𝑖|𝑎=0 = 𝑧

𝑖

y viceversa.

Ejemplo. Sea 𝜉 = (𝑧1, 2𝑧2), entonces

𝑑𝑧1

𝑑𝑎= 𝑧

1,  𝑧

1|𝑎=0 = 𝑧

1 → ln𝑧1= 𝑎 + 𝐶 → 𝑧

1= 𝑘𝑒𝑎 → 𝑧

1= 𝑒𝑎𝑧1;

𝑑𝑧2

𝑑𝑎= 2𝑧

2,  𝑧

2|𝑎=0 = 𝑧

2 → ln𝑧2= 2𝑎 + 𝐶 → 𝑧

2= 𝑘𝑒2𝑎 → 𝑧

2= 𝑒2𝑎𝑧2;

lo que representa el grupo de estiramiento del ejemplo anterior.

Así que el grupo de Lie 𝐺𝑎 se define por su campo tangente 𝜉.

Nota: a solución de las ecuaciones de Lie impone el carácter de local al grupo de Lie: los valores del parámetro grupal 𝑎 se toman de los subintervalos de 𝐼 suficientemente pequeños: 𝑎 ∈ 𝐼1 ⊂ 𝐼 ∈ ℝ.

Una función 𝐹(𝑧) es un invariante del grupo 𝐺𝑎: �⃗⃗� = 𝑓(𝑧, 𝑎), si para todos valores (permitidos) de 𝑧 y 𝑎 se tiene:

𝐹 (�⃗⃗�) = 𝐹(𝑓(𝑧, 𝑎)) = 𝐹(𝑧).

Criterio de invariancia: 𝐹 es el invariante ⇔ 𝑋𝐹 = 0, donde

𝑋 =∑𝜉𝑖𝑛

𝑖=1

(𝑧)𝜕

𝜕𝑧𝑖.

Ejemplo. Como ya lo sabemos, para el grupo de estiramiento se tiene:

𝐺: 𝑧1= 𝑒𝑎𝑧1,  𝑧

2= 𝑒2𝑎𝑧2 ↔ 𝜉 = (𝑧1, 2𝑧2) → 𝑋 = 𝑧1𝜕𝑧1 + 2𝑧

2𝜕𝑧2.

Para determinar el invariante 𝐹 = 𝐹(𝑧1, 𝑧2) de este grupo es necesario resolver la ecuación

𝑋𝐹 = 0 ⇒ 𝑧1𝜕𝐹

𝜕𝑧1+ 2𝑧2

𝜕𝐹

𝜕𝑧2= 0.

𝑑𝑧1

𝑧1=𝑑𝑧2

2𝑧2→ 2ln𝑧1 − ln𝑧2 = 𝑘 →

(𝑧1)2

𝑧2= 𝐽 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.→ 𝐹(𝐽) = 𝐹 (

(𝑧1)2

𝑧2).

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El operador diferencial 𝑋 se llama el operador infinitesimal (generador) del grupo de transformaciones 𝐺𝑎.

Ya hemos definido las acciones: grupo de transformaciones continuas 𝐺𝑎. Ahora veremos el objeto, el cual queda ”intacto” con respecto a las acciones. es decir es ”simétrico” con respecto a esas acciones.

Se considera una superficie (𝑁 −𝑚)-dimensional 𝑀 en el espacio ℝ𝑁, dada por un sistema de 𝑚 ecuaciones:

𝑀:𝐹1(𝑧) = 0,… , 𝐹𝑚(𝑧) = 0.

La superficie 𝑀 es invariante con respecto al 𝐺𝑎 (o lo admite) si para cualquier punto

𝑧 ∈ 𝑀 ⇒ �⃗⃗� ∈ 𝑀.

TEOREMA (el criterio de invariancia) Sea 𝑋 el generador del grupo 𝐺𝑎. Entonces 𝐺𝑎 es simetría de la 𝑀 si y sólo si

𝑋𝐹𝑘|𝑀 = 0,

donde el símbolo |𝑀 significa que hay que tomar en cuenta ecuaciones las cuales definen la 𝑀.

Ejemplo. Es fácil de verificar que un hiperboloide de una hoja

𝐹:−(𝑧1)2 + (𝑧2)2 + (𝑧3)2 = 𝑅2

admite las siguientes simetrías (grupo de isometría): 𝑋1 = 𝑧2𝜕𝑧3 − 𝑧

3𝜕𝑧2 (rotación respecto al eje 𝑂𝑧1), 𝑋2,3 = 𝑧

2,3𝜕𝑧1 + 𝑧1𝜕𝑧2,3 (rotaciones hiperbólicas).

Consideremos �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, . . . 𝑥𝑛) como variables independientes, �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2, . . . 𝑢𝑚)

como variables dependientes, �⃗⃗�(1) = {𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖}, �⃗⃗�(2) = {

𝜕2𝑢𝑗

(𝜕𝑥1)𝑖1(𝜕𝑥2)𝑖2…(𝜕𝑥𝑛)𝑖𝑛},... son las derivadas

orden 1, 2,..., entonces un sistema de 𝑚 ecuaciones diferenciales de orden 𝑠

�⃗�:  𝐹1(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑠)) = 0,  . . . , 𝐹𝑚(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑠)) = 0,

determina una superficie 𝑀 en el espacio {�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑠)}.

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Sea 𝑧 = (�⃗�, �⃗⃗�) ∈ ℝ𝑛+𝑚 un punto en el espacio {�⃗�, �⃗⃗�}. Un grupo de Lie 𝐺𝑎 de

transformaciones continuas 𝑧̅⃗ = 𝑓(𝑧, 𝑎) tendrá la forma

𝑥𝑖= 𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, 𝑎), 𝑓𝑖|𝑎=0 = 𝑥

𝑖 ,  𝑖 = 1, 𝑛

𝑢𝑗= 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, 𝑎),  𝑔𝑗|𝑎=0 = 𝑢

𝑗 ,  𝑗 = 1,𝑚

y su operador infinitesimal es

𝑋 =∑𝜉𝑖𝑛

𝑖=1

(�⃗�, �⃗⃗�)𝜕

𝜕𝑥𝑖+∑𝜂𝑗

𝑚

𝑗=1

(�⃗�, �⃗⃗�)𝜕

𝜕𝑢𝑗.

Para el sistema �⃗� las relaciones anteriores significa un cambio de variables, las cuales inducen un cambio de las derivadas hasta el orden 𝑝 (|𝐽| ≤ 𝑝):

𝑢𝐽𝑗= ℎ𝐽

𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1),… �⃗⃗�(𝑝),, 𝑎), ℎ𝐽

𝑗|𝑎=0 = 𝑢𝐽

𝑗.

Las transformaciones forman un grupo 𝐺𝑎𝑝

que actúa en el espacio ℝ𝑛+𝑚+𝑛𝑚+...

considerando ahora las derivadas como variables independientes. Este grupo se llama la 𝑝-ésima prolongación de 𝐺𝑎 y tiene como su operador infinitesimal el operador prolongado

𝑋𝑝= 𝑋 +∑ ∑ 𝜁𝐽

𝑗𝜕𝑢𝐽𝑗

𝑝

|𝐽|=1

𝑚

𝑗=1

,

donde

𝜁𝐽,𝑖𝑗= 𝐷𝑖(𝜁𝐽

𝑗) − 𝑢𝐽,𝛼

𝑗𝐷𝑖(𝜉

𝛼):

|𝐽| = 0: 𝜁𝑖𝑗= 𝐷𝑖(𝜂

𝑗) − 𝑢𝛼𝑗𝐷𝑖(𝜉

𝛼), 𝛼 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅,

|𝐽| = 1: 𝜁𝑘𝑖𝑗= 𝐷𝑖(𝜁𝑘

𝑗) − 𝑢𝑘𝛼

𝑗𝐷𝑖(𝜉

𝛼), 𝑘 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅,

…

Así, según el criterio de invariancia: una simetría (un grupo de transformaciones

continuas 𝐺𝑎) admitida por el sistema �⃗�, es el cambio de variables tal que deja �⃗� en la misma

forma, es decir la superficie 𝑀 dada por �⃗� satisface la ecuación:

𝑋𝑝𝐹𝑘|𝑀 = 0.

Los operadores infinitesimales que cumplen la igualdad anterior se llaman operadores admisibles por el sistema dado y forman un álgebra de Lie 𝐿𝑙 = 〈𝑋1, . . . , 𝑋𝑙〉 de dimensión 𝑙 con respecto a la operación de conmutación:

[𝑋𝑎, 𝑋𝑏] = (𝑋𝑎(𝜉𝑏𝑖 ) − 𝑋𝑏(𝜉𝑎

𝑖 ))𝜕

𝜕𝑧𝑖= ∑𝑐𝑎𝑏

𝛼

𝑙

𝛼=1

𝑋𝛼,

13

donde 𝑐𝑎𝑏𝛼 se llaman las constantes estructurales de álgebra de Lie.

Si en lugar de 𝑙 grupos uniparamétricos, admitidos por un sistema dado vamos a considerar un grupo 𝑙-paramétrico 𝐺𝑙 construido como la composición de transformaciones uniparamétricos, podemos relacionar 𝐺𝑙 con 𝐿𝑙. El álgebra de Lie es un objeto lineal lo que permite un análisis más sencillo que el análisis del grupo de Lie correspondiente.

El conocimiento de las simetrías de un sistema de ecuaciones diferenciales proporciona mucha información útil sobre sus soluciones. De entre la amplia variedad de las aplicaciones de las simetrías, mencionaremos solo las siguientes:

• Para una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =0: si se conoce una simetría 𝑋 = 𝜉𝜕𝑥 + 𝜂𝜕𝑦 → la EDO se reduce a cuadraturas, pues su

factor integrante es 𝜇(𝑥, 𝑦) =1

𝜉𝑄−𝜂𝑃. Es necesario notar que determinar la simetría en este

caso tiene la misma dificultad que resolver la EDO original, pero en ocasiones es posible intuir sobre la forma de la simetría.

• Una EDO de orden mayor que uno: si admite un álgebra 𝐿𝑙 → se reduce el orden de la ecuación.

• Para una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) de primer orden: si admite un álgebra 𝐿𝑙 → la EDP se reduce a una EDO.

• EDPs de orden mayor que uno: si admite un álgebra 𝐿𝑙 → se reduce el orden de la EDP o se reduce el número de variables independientes (soluciones invariantes).

Entre los problemas actuales relacionados con la teoría de simetrías podemos mencionar:

• Cálculo de los grupos de simetrías para sistemas de EDP.

• Clasificación de los subálgebras de las algebras de Lie.

• Construcción de soluciones invariantes, parcialmente invariantes.

• Reproducción de soluciones.

• Análisis de simetrías condicionales, ”hidden”, variacionales, ...

• Descripción de leyes de conservación.

• Uso de simetrías en separación de variables.

En la sección siguiente vamos a calcular simetrías puntuales para algunas EDOs.

14

Algoritmo de construcción del álgebra de Lie de simetrías, admisibles por la ecuación (o sistema de ecuaciones).

1. Determinar la forma del operador (dependiendo del número de las variables independientes y funciones desconocidas de la ecuación). En caso de una EDO, usar la fórmula

𝑋 = 𝜉(𝑥, 𝑦)𝜕

𝜕𝑥+ 𝜂(𝑥, 𝑢)

𝜕

𝜕𝑢 .

2. Hacer la prolongación del operador (el orden de la ecuación, determina el orden de la

prolongación). En caso de una EDO de segundo orden, utilizar la fórmula

𝑋2=:𝑋(2) = 𝜉(𝑥, 𝑢)

𝜕

𝜕𝑥+ 𝜂(𝑥, 𝑢)

𝜕

𝜕𝑢+ 𝜁 1

(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥)𝜕

𝜕𝑢𝑥+ 𝜁11

(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥, 𝑢𝑥𝑥 )

𝜕

𝜕𝑢𝑥𝑥 .

3. Calcular los coeficientes 𝜁 𝑖

𝛼, 𝜁𝑖𝑗 𝛼, … de la prolongación, pero no sustituir en este

momento. 𝜁1 = 𝐷1(𝜂) − 𝑢𝑥𝐷1(𝜉)

𝐷1 =𝜕

𝜕𝑥+ 𝑢𝑥

𝜕

𝜕𝑢+ 𝑢𝑥𝑥

𝜕

𝜕𝑢𝑥 +⋯

𝜁11 = 𝐷1(𝜁1

) − 𝑢𝑥𝑥 𝐷1(𝜉

)

4. Aplicar la prolongación del operador sobre la ecuación dada.

5. Sustituir 𝜁 1 , 𝜁11

, … al resultado del paso 4.

6. Pasar a la variedad dada por la ecuación 𝐹 = 0, sustituyendo (por lo general) la derivada superior expresada de la ecuación dada a la ecuación del paso 5.

7. Efectuando procedimiento de separación en potencias de 𝑢𝑥

, 𝑢𝑥𝑥 , … para la ecuación del

paso 6, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales para determinar las funciones 𝜉 y 𝜂 (en caso de EDO). Estas ecuaciones se llaman ecuaciones definitivas. Notaremos que, dicho sistema obtenido, siempre es compatible y sobredeterminado.

8. Resolver el sistema de ecuaciones definitivas del paso 7.

9. Calcular la base del espacio de soluciones (usando el método de la unidad corriente, número de constantes arbitrarias determina la dimensión de la base). Para cada vector de la base calcular 𝜉𝑖, 𝜂𝑖.

10. Para cada conjunto 𝜉𝑖, 𝜂𝑖 , construir el operador 𝑋𝑖. Los operadores 𝑋𝑖 forman la base del

álgebra de Lie de simetrías puntuales admisibles.

15

11. Calcular los conmutadores de esta álgebra de Lie: si 𝑋𝑖 = 𝜉𝑖𝜕𝑥 + 𝜂𝑖𝜕𝑢, 𝑋𝑗 = 𝜉𝑗𝜕𝑥 +

𝜂𝑗𝜕𝑢, entonces

[𝑋𝑖, 𝑋𝑗] = (𝑋𝑖(𝜉𝑗) − 𝑋𝑗(𝜉𝑖))𝜕

𝜕𝑥+ (𝑋𝑖(𝜂𝑗) − 𝑋𝑗(𝜂𝑖))

𝜕

𝜕𝑢 .

Ejemplo Calcular el álgebra de simetrías admisibles por la ecuación diferencial

𝑢′′ =𝑢′

𝑢2−1

𝑥𝑢. (2.1)

Solución Paso 1 La ecuación dada tiene una variable independiente 𝑥 y una función desconocida 𝑢, por tal razón el operador infinitesimal tiene la forma

𝑋 = 𝜉(𝑥, 𝑢)𝜕

𝜕𝑥+ 𝜂(𝑥, 𝑢)

𝜕

𝜕𝑢 (2.2)

Paso 2 La ecuación dada es de segundo orden (orden más alto de la derivada), entonces hay que construir la segunda prolongación de este operador. Usando fórmula correspondiente, obtenemos

𝑋(2) = 𝜉(𝑥, 𝑢)𝜕

𝜕𝑥+ 𝜂(𝑥, 𝑢)

𝜕

𝜕𝑢+ 𝜁 1

(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥)𝜕

𝜕𝑢𝑥+ 𝜁11

(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥, 𝑢𝑥𝑥 )

𝜕

𝜕𝑢𝑥𝑥 . (2.3)

Paso 3 Determinaremos los coeficientes de la segunda prolongación, usando las fórmulas correspondientes obtenemos:

𝜁1 = 𝐷1(𝜂) − 𝑢𝑥𝐷1(𝜉). Calculando los componentes de esta fórmula obtenemos:

𝐷1(𝜂) =𝜕

𝜕𝑥(𝜂) + 𝑢𝑥

𝜕

𝜕𝑢(𝜂) + 𝑢𝑥𝑥

𝜕

𝜕𝑢𝑥 (𝜂) +⋯ = 𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 + 0,

𝐷1(𝜉) =𝜕

𝜕𝑥(𝜉) + 𝑢𝑥

𝜕

𝜕𝑢(𝜉) + 𝑢𝑥𝑥

𝜕

𝜕𝑢𝑥 (𝜉) +⋯ = 𝜉𝑥 + 𝑢𝑥

𝜉𝑢 + 0.

Entonces 𝜁1 = 𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢 , (2.4)

𝜁11 = 𝐷1(𝜁1

) − 𝑢𝑥𝑥 𝐷1(𝜉

) (2.5) Calculando los componentes de esta fórmula obtenemos

16

𝐷1(𝜁1 ) =

𝜕

𝜕𝑥(𝜁1 ) + 𝑢𝑥

𝜕

𝜕𝑢(𝜁1 ) + 𝑢𝑥𝑥

𝜕

𝜕𝑢𝑥 (𝜁1 ) =

=𝜕

𝜕𝑥(𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢)

+ 𝑢𝑥 𝜕

𝜕𝑢(𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢)

+ 𝑢𝑥𝑥𝜕

𝜕𝑢𝑥 (𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢) =

Calculando estas derivadas vamos a tomar en cuenta que las funciones 𝜉 y 𝜂 dependen de las variables 𝑥 y 𝑢. La 𝑢𝑥 para este procedimiento se toma como variable independiente. Obtenemos:

= 𝜂𝑥𝑥 + 𝑢𝑥 𝜂𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥 − (𝑢𝑥

)2𝜉𝑥𝑢 + 𝑢𝑥 (𝜂𝑥𝑢 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑢 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢𝑢)

+ 𝑢𝑥𝑥(𝜂𝑢 − 𝜉𝑥 − 2𝑢𝑥 𝜉𝑢)

= 𝜂𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥 𝜂𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥 − 2(𝑢𝑥

)2𝜉𝑥𝑢 + (𝑢𝑥 )2𝜂𝑢𝑢 − (𝑢𝑥

)3𝜉𝑢𝑢+ 𝑢𝑥𝑥(𝜂𝑢 − 𝜉𝑥 − 2𝑢𝑥

𝜉𝑢). Sustituyendo 𝐷1(𝜁1

) y 𝐷1(𝜉) a la fórmula (2.5), obtenemos finalmente 𝜁11 = 𝜂𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥

𝜂𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥 − 2(𝑢𝑥 )2𝜉𝑥𝑢 + (𝑢𝑥

)2𝜂𝑢𝑢 − (𝑢𝑥 )3𝜉𝑢𝑢

+ 𝑢𝑥𝑥(𝜂𝑢 − 2𝜉𝑥 − 3𝑢𝑥 𝜉𝑢) (2.6)

Paso 4 Aplicando la segunda prolongación del operador infinitesimal (2.3) a la ecuación dada (2.1), obtenemos

𝑋(2) (𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢) =

= 𝜉𝜕

𝜕𝑥(𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢) + 𝜂

𝜕

𝜕𝑢(𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢) + 𝜁 1

𝜕

𝜕𝑢𝑥(𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢)

+ 𝜁11

𝜕

𝜕𝑢𝑥𝑥 (𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢)

= 𝜉 (−1

𝑥2𝑢) + 𝜂 (

2𝑢𝑥𝑢3

−1

𝑥𝑢2) + 𝜁 1

(−1

𝑢2) + 𝜁11

(1) =

= −𝜉

𝑥2𝑢+2𝑢𝑥𝜂

𝑢3−

𝜂

𝑥𝑢2−𝜁 1

𝑢2+ 𝜁11

.

Paso 5 Sustituimos 𝜁 1

(2.4) y 𝜁11 (2.5) a la última expresión y obtenemos

𝑋(2) (𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢) =

= −𝜉

𝑥2𝑢+2𝑢𝑥𝜂

𝑢3−

𝜂

𝑥𝑢2−1

𝑢2(𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢) + 𝜂𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥

𝜂𝑥𝑢

− 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥 − 2(𝑢𝑥 )2𝜉𝑥𝑢 + (𝑢𝑥

)2𝜂𝑢𝑢 − (𝑢𝑥 )3𝜉𝑢𝑢 + 𝑢𝑥𝑥(𝜂𝑢 − 2𝜉𝑥 − 3𝑢𝑥

𝜉𝑢). Paso 6 Pasamos a la variedad dada por la ecuación, sustituyendo en última ecuación la expresión para la segunda derivada

𝑢′′ =𝑢′

𝑢2−1

𝑥𝑢 o 𝑢𝑥𝑥 =

𝑢𝑥𝑢2−1

𝑥𝑢 .

17

Como resultado tenemos:

𝑋(2) (𝑢′′ −

𝑢′

𝑢2+1

𝑥𝑢)|𝑢𝑥𝑥=

𝑢𝑥𝑢2−1𝑥𝑢

= 0

sustituyendo obtenemos

−𝜉

𝑥2𝑢+2𝑢𝑥𝜂

𝑢3−

𝜂

𝑥𝑢2−1

𝑢2(𝜂𝑥 + 𝑢𝑥

𝜂𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥 − (𝑢𝑥 )2𝜉𝑢) + 𝜂𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥

𝜂𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥

− 2(𝑢𝑥 )2𝜉𝑥𝑢 + (𝑢𝑥

)2𝜂𝑢𝑢 − (𝑢𝑥 )3𝜉𝑢𝑢 + (

𝑢𝑥𝑢2−1

𝑥𝑢) (𝜂𝑢 − 2𝜉𝑥 − 3𝑢𝑥

𝜉𝑢) = 0

simplificando

−𝜉

𝑥2𝑢+2𝑢𝑥𝜂

𝑢3−

𝜂

𝑥𝑢2−𝜂𝑥𝑢2−𝑢𝑥 𝜂𝑢𝑢2

+𝑢𝑥𝜉𝑥𝑢2

+(𝑢𝑥

)2𝜉𝑢𝑢2

+ 𝜂𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥 𝜂𝑥𝑢 − 𝑢𝑥𝜉𝑥𝑥 − 2(𝑢𝑥

)2𝜉𝑥𝑢

+ (𝑢𝑥 )2𝜂𝑢𝑢 − (𝑢𝑥

)3𝜉𝑢𝑢 +𝑢𝑥𝜂𝑢𝑢2

−2𝑢𝑥𝜉𝑥𝑢2

−3(𝑢𝑥)

2𝜉𝑢𝑢2

−𝜂𝑢𝑥𝑢+2𝜉𝑥𝑥𝑢

+3𝑢𝑥

𝜉𝑢𝑥𝑢

= 0 (2.7) Paso 7 Procedimiento de separación. En (2.7) todas las magnitudes 𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 juegan papel de las variables independientes. Las funciones 𝜉 y 𝜂 dependen sólo de las variables 𝑥 y 𝑢, entonces para que se cumple (2.7) es necesario que todos los coeficientes de todas potencias de 𝑢𝑥 sean iguales a cero

(𝑢𝑥 )3: 𝜉𝑢𝑢 = 0

(𝑢𝑥 )2 :

𝜉𝑢𝑢2− 2𝜉𝑥𝑢 + 𝜂𝑢𝑢 −

3𝜉𝑢𝑢2

= 0

(𝑢𝑥 )1 :

2𝜂

𝑢3−𝜂𝑢𝑢2+𝜉𝑥𝑢2+ 2𝜂𝑥𝑢 − 𝜉𝑥𝑥 +

𝜂𝑢𝑢2−2𝜉𝑥𝑢2

+3𝜉𝑢𝑥𝑢

= 0

(𝑢𝑥 )0 : −

𝜉

𝑥2𝑢−

𝜂

𝑥𝑢2−𝜂𝑥𝑢2+ 𝜂𝑥𝑥 −

𝜂𝑢𝑥𝑢+2𝜉𝑥𝑥𝑢

= 0

tercera ecuación multiplicando por 𝑢3 y cuarta por 𝑢2 y simplificando obtenemos 𝜉𝑢𝑢 = 0 (2.8)

𝜂𝑢𝑢 − 2𝜉𝑥𝑢 −2𝜉𝑢𝑢2

= 0 (2.9)

2𝜂 + 2𝑢3𝜂𝑥𝑢 − 𝑢3𝜉𝑥𝑥 − 𝑢𝜉𝑥 +

3𝑢2𝜉𝑢𝑥

= 0 (2.10)

−𝑢𝜉

𝑥2−𝜂

𝑥− 𝜂𝑥 + 𝑢

2𝜂𝑥𝑥 −𝑢𝜂𝑢𝑥+2𝑢𝜉𝑥𝑥

= 0 (2.11)

Es decir, obtenemos sistema de ecuaciones diferenciales parciales para determinar las funciones 𝜉 y 𝜂. Las ecuaciones (2.8) – (2.11) se llaman ecuaciones definitivas de la ecuación (2.1). Paso 8 Resolvemos el sistema de ecuaciones definitivas (2.8) – (2.11). Integrando la ecuación (2.8) respecto a variable 𝑢, obtenemos

𝜉𝑢 = 𝑓1(𝑥)

⇒ 𝜉 = 𝑓1(𝑥)𝑢 + 𝑓2(𝑥). (2.12)

18

Sabiendo esta expresión, calcularemos que 𝜉𝑢 = 𝑓1(𝑥) y 𝜉𝑥𝑢 = 𝑓𝑥

1(𝑥). Sustituyendo estas expresiones a la ecuación (2.9) obtenemos

−2𝜉𝑢𝑢2

− 2𝜉𝑥𝑢 + 𝜂𝑢𝑢 = 0 ⇒ 𝜂𝑢𝑢 = 2𝜉𝑥𝑢 +

2𝜉𝑢𝑢2

⇒ 𝜂𝑢𝑢 = 2𝑓𝑥

1(𝑥) +2𝑓1(𝑥)

𝑢2

𝜂𝑢 = 2𝑢𝑓𝑥1(𝑥) −

2𝑓1(𝑥)

𝑢+ 𝑓3(𝑥)

⇒ 𝜂

= 𝑢2𝑓𝑥1(𝑥) − 2𝑓1(𝑥) ln|𝑢| + 𝑓3(𝑥)𝑢 + 𝑓4(𝑥). (2.13)

Calcularemos componentes de (2.10), tomando en cuenta (2.12) y (2.13) 𝜂 = 𝑢2𝑓𝑥

1(𝑥) − 2𝑓1(𝑥) ln|𝑢| + 𝑓3(𝑥)𝑢 + 𝑓4(𝑥),

𝜂𝑥𝑢 = 2𝑢𝑓𝑥𝑥1 (𝑥) −

2𝑓𝑥1(𝑥)

𝑢+ 𝑓𝑥

3(𝑥),

𝜉𝑥 = 𝑓𝑥1(𝑥)𝑢 + 𝑓𝑥

2(𝑥), 𝜉𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥

1 (𝑥)𝑢 + 𝑓𝑥𝑥2 (𝑥),

𝜉𝑢 = 𝑓1(𝑥).

Sustituyendo estas expresiones a la ecuación (2.10) obtenemos 2𝑢2𝑓𝑥

1(𝑥) − 4𝑓1(𝑥) ln|𝑢| + 2𝑓3(𝑥)𝑢 + 2𝑓4(𝑥) + 4𝑢4𝑓𝑥𝑥1 (𝑥) − 4𝑢2𝑓𝑥

1(𝑥) + 2𝑢3𝑓𝑥3(𝑥)

− 𝑢2𝑓𝑥1(𝑥) − 𝑢𝑓𝑥

2(𝑥) − 𝑢4𝑓𝑥𝑥1 (𝑥) − 𝑢3𝑓𝑥𝑥

2 (𝑥) +3𝑢2𝑓𝑥

1(𝑥)

𝑥= 0.

Las funciones ln|𝑢| , 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4 son linealmente independientes, por eso su combinación lineal es igual a cero, si y sólo sí los coeficientes de estas funciones son iguales a cero.

ln|𝑢| ⇒ −4𝑓1(𝑥) = 0

⇒ 𝑓1(𝑥) = 0

𝑢0 ⇒ 2𝑓4(𝑥) = 0

⇒ 𝑓4(𝑥) = 0

𝑢1 ⇒ 2𝑓3(𝑥) − 𝑓𝑥

2(𝑥) = 0

𝑢3 ⇒ 2𝑓𝑥

3(𝑥) − 𝑓𝑥𝑥2 (𝑥) = 0

} son equivalentes (2.14).

Sustituyendo 𝑓1(𝑥) y 𝑓4(𝑥) a las fórmulas (2.12) y (2.13) obtenemos 𝜉 = 𝑓2(𝑥), (2.15) 𝜂 = 𝑓3(𝑥)𝑢. (2.16)

Calcularemos componentes de (2.11) 𝜉 = 𝑓2(𝑥) 𝜂 = 𝑓3(𝑥)𝑢 𝜂𝑥 = 𝑓𝑥

3(𝑥)𝑢 𝜂𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥

3 (𝑥)𝑢 𝜂𝑢 = 𝑓

3(𝑥) 𝜉𝑥 = 𝑓𝑥

2(𝑥) Sustituyendo estas expresiones a la ecuación (2.11) obtenemos

−𝑢𝑓2(𝑥)

𝑥2−𝑓3(𝑥)𝑢

𝑥− 𝑓𝑥

3(𝑥)𝑢 + 𝑢3𝑓𝑥𝑥3 (𝑥) −

𝑢𝑓 3(𝑥)

𝑥+2𝑢𝑓𝑥

2(𝑥)

𝑥= 0.

Las funciones 𝑢 y 𝑢3 son linealmente independientes, entonces sus coeficientes iguales a cero: 𝑢3

⇒ 𝑓𝑥𝑥

3 (𝑥) = 0 (2.17)

𝑢1 ⇒ −

𝑓2(𝑥)

𝑥2−2𝑓3(𝑥)

𝑥− 𝑓𝑥

3(𝑥) +2𝑓𝑥

2(𝑥)

𝑥= 0 (2.18)

19

Es decir, tenemos sistema de ecuaciones (2.14) – (2.18) para determinar la forma de las funciones 𝜉 y 𝜂. De la ecuación (2.17) se deduce que 𝑓𝑥

3(𝑥) = 𝐶1 ⇒ 𝑓3(𝑥) = 𝐶1𝑥 + 𝐶2. (2.19)

De la primera ecuación (2.14) se deduce que 2𝑓3(𝑥) = 𝑓𝑥2(𝑥)

⇒ 2𝐶1𝑥 + 2𝐶2 = 𝑓𝑥

2(𝑥) ⇒

⇒ 𝑓2(𝑥) = 𝐶1𝑥2 + 2𝐶2𝑥 + 𝐶3. (2.20)

Calcularemos componentes de (2.18) 𝑓2(𝑥) = 𝐶1𝑥2 + 2𝐶2𝑥 + 𝐶3,

𝑓3(𝑥) = 𝐶1𝑥 + 𝐶2, 𝑓𝑥3(𝑥) = 𝐶1,

𝑓𝑥2(𝑥) = 2𝐶1𝑥 + 2𝐶2.

Sustituyendo estas expresiones a la ecuación (2.18) obtenemos

−𝐶1 −2𝐶2

𝑥−𝐶3

𝑥2− 2𝐶1 −

2𝐶2

𝑥− 𝐶1 + 4𝐶1 +

4𝐶2

𝑥= 0

⇒ −

𝐶3

𝑥2= 0

⇒ 𝐶3 = 0.

Entonces 𝑓2(𝑥) = 𝐶1𝑥2 + 2𝐶2𝑥. Por eso de las fórmulas (2.15) y (2.16) se deduce la solución general del sistema (2.8) – (2.11) tiene la forma siguiente:

𝜉 = 𝐶1𝑥2 + 2𝐶2𝑥, 𝜂 = (𝐶1𝑥 + 𝐶2)𝑢.

Como solución general tiene dos constantes arbitrarias, entonces espacio de soluciones tiene dimensión dos. Paso 9 Construimos la base de espacio de soluciones del sistema (2.8) – (2.11). Si 𝐶1 = 1, 𝐶2 = 0, entonces primer vector de la base tiene coordenadas 𝜉1 = 𝑥

2 y 𝜂1 = 𝑥𝑢.

Si 𝐶1 = 0, 𝐶2 =1

2, entonces segundo vector de la base tiene coordenadas 𝜉2 = 𝑥 y 𝜂1 =

𝑢

2.

Paso 10 La base del álgebra de Lie de las simetrías puntuales admisibles por la ecuación (2.1) contiene los siguientes operadores

𝑋1 = 𝜉1𝜕

𝜕𝑥+ 𝜂1

𝜕

𝜕𝑢= 𝑥2

𝜕

𝜕𝑥+ 𝑥𝑢

𝜕

𝜕𝑢 y 𝑋2 = 𝑥

𝜕

𝜕𝑥+𝑢

2

𝜕

𝜕𝑢.

Paso 11 Construimos el conmutador de estos operadores

[𝑋1, 𝑋2] = (𝑋1(𝜉2) − 𝑋2(𝜉1))𝜕

𝜕𝑥+ (𝑋1(𝜂2) − 𝑋2(𝜂1))

𝜕

𝜕𝑢.

Determinaremos aparte los componentes de esta fórmula

𝑋1(𝜉2) = 𝑥2𝜕

𝜕𝑥(𝜉2) + 𝑥𝑢

𝜕

𝜕𝑢(𝜉2) = 𝑥

2 + 𝑥𝑢 ∙ 0 = 𝑥2,

𝑋2(𝜉1) = 𝑥𝜕

𝜕𝑥(𝜉1) +

𝑢

2

𝜕

𝜕𝑢(𝜉1) = 𝑥 ∙ 2𝑥 +

𝑢

2∙ 0 = 2𝑥2,

𝑋1(𝜂2) = 𝑥2𝜕

𝜕𝑥(𝜂2) + 𝑥𝑢

𝜕

𝜕𝑢(𝜂2) = 𝑥

2 ∙ 0 + 𝑥𝑢 ∙1

2=𝑥𝑢

2,

𝑋2(𝜂1) = 𝑥𝜕

𝜕𝑥(𝜂1) +

𝑢

2

𝜕

𝜕𝑢(𝜂1) = 𝑥𝑢 +

𝑢

2∙ 𝑥 =

3

2𝑥𝑢.

Sustituyendo, obtenemos

20

[𝑋1, 𝑋2] = (𝑥2 − 2𝑥2)

𝜕

𝜕𝑥+ (

𝑥𝑢

2−3

2𝑥𝑢)

𝜕

𝜕𝑢= −𝑥2

𝜕

𝜕𝑥− 𝑥𝑢

𝜕

𝜕𝑢= −𝑋1

El resultado coincide con el operador −𝑋1.

Simetrías superiores

Una vez conociendo el concepto de simetría puntual (grupo de transformaciones continuas) es posible pensar el su generalización. Comparando las transformaciones puntuales con transformaciones tangentes (vea la primera sección) podemos considerar las transformaciones continuas tangentes de orden 𝑁, que contienen un parámetro real.

Iniciaremos con el caso 𝑁 = 1. Sea 𝐺 el grupo continuo de transformaciones tangentes

de primer orden [1]:

�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 𝑎),

�̅�𝑗 = 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 𝑎),

�̅�𝑥𝑖𝑗= ℎ𝑖

𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 𝑎),

con el operador infinitesimal correspondiente

𝑋𝑐 ≔ 𝜉𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1))𝜕𝑥𝑖 + 𝜂

𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1))𝜕𝑢𝑗 + 𝜁𝑖𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1))𝜕𝑢𝑖

𝑗 ,

donde los coeficientes del operador están relacionados con las funciones 𝑓, �⃗�, ℎ⃗⃗ por medio de ecuaciones de Lie:

𝜉𝑖 =𝑑𝑓𝑖

𝑑𝑎, 𝜂𝑗 =

𝑑𝑔𝑗

𝑑𝑎, 𝜁𝑖

𝑗=𝑑ℎ𝑖

𝑗

𝑑𝑎,

𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 0) = 𝑥𝑖 , 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 0) = 𝑢

𝑗 , ℎ𝑖𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), 0) = 𝑢𝑖

𝑗.

TEOREMA: si el número de funciones 𝑚 > 1, entonces es grupo 𝐺 coincide con el grupo prolongado de una transformación puntual continua.

En otras palabras, las únicas transformaciones continuas de primer orden que son diferentes de prolongación de transformaciones puntuales existen en el caso de una sola función. Tal grupo lo vamos a llamar grupo de Lie de contacto.

Además, es posible demostrar que el grupo de las transformaciones de primer orden con el operador infinitesimal

𝑋𝑐 = 𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1))𝜕𝑥𝑖 + 𝜂(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1))𝜕𝑢 + 𝜁𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1))𝜕𝑢𝑖

21

coincide con prolongación de un grupo puntual con el generador

𝑋 = 𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢)𝜕𝑥𝑖 + 𝜂(�⃗�, 𝑢)𝜕𝑢,

es decir 𝑋𝑐 = 𝑋1

si

𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = 𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢), 𝜂(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = 𝜂(�⃗�, 𝑢),

𝜁𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = 𝐷𝑖(𝜂) − 𝑢𝛼𝐷𝑖(𝜉𝛼),

y son diferentes si existe una función (se llama función generadora o función característica)

𝑤 = 𝑤(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) tal que el operador 𝑋𝑐 tiene los coeficientes

𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = −𝑤𝑢𝑖 , 𝜂(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = 𝑤 − 𝑢𝑖𝑤𝑢𝑖 , 𝜁𝛼(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = 𝑤𝑖 + 𝑢𝑖𝑤𝑢.

Cómo lo hemos visto en la sección anterior, la transformación

�̅� = 𝑥 + 𝑎𝑢𝑥 ,

�̅� = 𝑢 +𝑎

2𝑢𝑥2,

�̅��̅� = 𝑢𝑥

es una transformación tangente. Además, se verifican las ecuaciones de Lie:

𝜉1 =𝑑𝑓1

𝑑𝑎= 𝑢𝑥 , 𝜂 =

𝑑𝑔

𝑑𝑎=𝑢𝑥2

2, 𝜁1 =

𝑑ℎ1𝑑𝑎

= 0,

por lo tanto el operador correspondiente tiene la forma

𝑋𝑐 = 𝑢𝑥𝜕𝑥 +𝑢𝑥2

2𝜕𝑢.

Es fácil de ver que es un grupo de Lie de contacto, y la función generadora 𝑤 tiene la forma

𝑤(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1)) = −𝑢𝑥2

2.

Ahora consideremos un grupo monoparamétrico 𝐺 de transformaciones continuos

tangentes de orden 𝑁 > 1, (|𝐽| ≤ 𝑁):

�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), 𝑎),

�̅�𝑗 = 𝑔𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), 𝑎),

�̅�𝑥𝑖𝑗= ℎ𝑖

𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), 𝑎),

…

�̅�𝑱𝒋= ℎ𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛

𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), 𝑎).

22

Las condiciones de que debe conservarse la estructura tangente son bastante fuertes y

ponen restricciones para las forma de funciones 𝑓, �⃗�, ℎ⃗⃗. Resulta que no existen transformaciones tangentes continuas de orden 𝑁 diferentes de

la prolongación de las transformaciones puntuales continuas o transformaciones de contacto. Teorema. (de Backlund) No existe el grupo de transformaciones continuas de orden 𝑁 que

conservan la estructura tangente y las cuales están cerradas en el espacio {�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁)} de

dimensión finita diferentes de transformaciones puntuales prolongadas (con número de funciones 𝑚 > 1) y transformaciones de contacto prolongadas (cuando el número de funciones 𝑚 = 1). Notaremos que ese teorema se aplica para transformaciones suaves y invertibles de manera única.

Una posibilidad de salir de la conclusión del teorema de Backlund es omitir la restricción

de que el espacio, donde actúan las transformaciones tangentes tiene dimensión finita. Es decir considerar que 𝑁 = ∞. En este caso aparece una dificultad fundamental: relacionar transformaciones con el concepto del grupo debido que ahora se tiene un número infinito de relaciones, y cada una depende de un número infinito de variables:

�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(𝑎, �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), . . . ),

�̅�𝑗 = 𝑔𝑗(𝑎, �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), . . . ),

�̅�𝑥𝑖𝑗= ℎ𝑖

𝑗(𝑎, �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), . . . ),

…

�̅�𝐽𝑗= ℎ𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑛

𝑗(𝑎, �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), … ),

… y el sistema de ecuaciones de Lie en ese caso es infinito. Eso representa un obstáculo para construcción de teoría analítica de grupos de ese tipo de transformaciones.

Hay ciertos intentos de resolver ese problema (aplicando, por ejemplo, series formales

de potencias [1]), pero nosotros vamos a “olvidar” por ahora sobre estructura grupal y nos quedaremos solamente con estructura de los operadores infinitesimales y sus conmutadores.

Def. El operador diferencial de la forma [3]

(𝐿𝐵) 𝑋 = 𝜉𝑖(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1), … )𝜕𝑥𝑖 + 𝜂𝑗(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1), … )𝜕𝑢𝑗 + 𝜁𝐽

𝑗(�⃗�, 𝑢, �⃗⃗�(1), … )𝜕𝑢𝐽

𝑗 ,

donde

𝜁𝐽,𝑖𝑗= 𝐷𝑖𝜁𝐽

𝑗− 𝑢𝐽,𝛼

𝑗𝐷𝑖𝜉

𝛼

23

se llama el operador de Lie-Backlund. Cuando |𝐽| = 0 es posible considerar 𝜁0𝑗= 𝜁𝑗 ≔ 𝜂𝑗 .

El operador (LB) es una serie infinita y está definido por la analogía con la prolongación

de un operador de una simetría puntual (hasta cualquier orden de la derivada). Se trunca cuando se aplica a un sistema de ecuaciones diferenciales. El conmutador de dos operadores de LB es un operador de LB, así que el conjunto de todos los operadores de LB forman un álgebra, llamada álgebra de Lie-Backlund respecto a la operación de conmutación

[𝑋1, 𝑋2] = 𝑋1𝑋2 − 𝑋2𝑋1 ≔ (𝑋1(𝜉2𝑖) − 𝑋2(𝜉1

𝑖)) 𝜕𝑥𝑖 + (𝑋1(𝜂2𝑗) − 𝑋2(𝜂1

𝑗)) 𝜕𝑢𝑗 +⋯

Los operadores de LB satisfacen la propiedad de conmutación con el operador de derivada total 𝐷𝑖

[𝑋, 𝐷𝑖] = −𝐷𝑖(𝜉𝛼)𝐷𝛼,

lo que determina las condiciones de equivalencia de dos operadores de LB. En particular, el operador

�̃� = 𝑋 − 𝜉𝑖𝐷𝑖 = (𝜼𝒋 − 𝝃𝜶𝒖𝜶

𝒋)𝜕𝑢𝑗 + (𝜁𝛽

𝑗− 𝜉𝛼𝑢𝛼𝛽

𝑗) 𝜕

𝑢𝛽𝑗 +⋯ ≔ 𝝓𝒋𝜕𝑢𝑗 + 𝐷𝑖(𝜙

𝑗)𝜕𝑢𝑖𝑗 +⋯

es equivalente al operador 𝑋 y se llama el operador canónico de LB. Se puede observar que la función

�⃗⃗� = (𝜙1, 𝜙2, … , 𝜙𝑚), la cual se llama función generadora (o característica) determina completamente el operador

canónico �̃� y como lo veremos mas adelante va a jugar el rol principal en la búsqueda de transformaciones admisibles por un sistema de ecuaciones diferenciales.

Ahora, consideremos otra vez el sistema de ecuaciones diferenciales de orden 𝑠

�⃗�(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑠)) = 0

junto con todas sus secuencias diferenciales:

𝐷𝑖𝐹𝑘 = 0, 𝐷𝛼𝛽𝐹𝑘 = 0, …,

donde 𝐷𝛼𝛽 ≔ 𝐷𝑥𝛼𝐷𝑥𝛽 .

Este conjunto infinito de ecuaciones diferenciales lo vamos a denotar [�⃗�] y llamarlo el marco

extendido del sistema �⃗� = 0. También es posible considerar el conjunto [�⃗�] como una variedad

diferencial (de dimensión infinita) en el espacio de variables {�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1), … , �⃗⃗�(𝑁), . . . }.

24

Es posible definir cuando una transformación con el operador de LB es una simetría del sistema

dado �⃗� = 0, haciendo analogía con el criterio de invariancia para simetrías puntuales. Definición: Dicen que un operador de LB es admitido por el sistema de ecuaciones diferenciales

�⃗� = 0 si se cumplen las relaciones

𝑋([�⃗�])|[�⃗�] = 0.

En este caso transformaciones tangentes se llaman simetrías generalizadas (simetrías de Lie-Backlund) del sistema.

Debido a que el operador canónico �̃� es equivalente a un operador admitido 𝑋, es posible formular el siguiente TEOREMA: Un operador de LB es un operador admisible si y sólo si el operador canónico lo es.

En otras palabras es suficiente determinar las funciones generadoras 𝜙𝑗 de las relaciones

�̃�([�⃗�])|[�⃗�] = 0.

El análisis de estas relaciones implica los siguientes pasos:

1. Escribir el operador canónico en la forma

�̃� = 𝜙𝑗𝜕𝑢𝑗 +𝐷𝑖(𝜙𝑗)𝜕

𝑢𝑖𝑗 +⋯

para una función generadora que depende de un fijo orden de las derivadas. 2. Aplicar el operador canónico a cada ecuación del marco extendido. Debido a que ahora

la función generadora depende de las derivadas de un orden fijo, en algún momento el

operador �̃� va a truncarse. Por lo tanto su aplicación al marco extendido tendrá un número finito de las ecuaciones.

3. Pasar a la variedad dada por el marco extendido. En ese paso, igual como en caso de las simetrías puntuales es necesario expresar algunas derivadas (llamadas externas) en términos de las derivadas (internas) relacionadas por el sistema dado y sus consecuencias diferenciales.

4. Resolver las ecuaciones resultantes respecto a funciones generadoras 𝜙𝑗 .

5. Aumentar el orden de las derivadas en 𝜙𝑗 y repetir los pasos 1-4.

6. Se recomienda empezar con 𝜙𝑗 = 𝜙𝑗(�⃗�), luego 𝜙𝑗 = 𝜙𝑗(�⃗�, �⃗⃗�), 𝜙𝑗 = 𝜙𝑗(�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�(1)),

etc. Este proceso consecutivo permite esperar la descripción completa de toda álgebra de simetrías de LB.

7. Después de obtener las funciones generativas es necesario verificar cuáles de éstas representan simetrías puntuales y cuáles corresponden a simetrías de Lie-Backlund.

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Otra forma equivalente de búsqueda de simetrías superiores proviene de la observación siguiente (consideremos que operador de derivada total de orden cero 𝐷0 = 𝐼 es un operador idéntico):

�̃� = 𝜙𝑗𝜕𝑢𝑗 + 𝐷𝑖(𝜙𝑗)𝜕

𝑢𝑖𝑗 +⋯ = 𝐷𝐽(𝜙

𝑗)𝜕𝑢𝐽𝑗 , |𝐽| ≥ 0

y tomando en cuenta que la operación de producto dentro de la suma es conmutativo

�̃�(𝐹) = 𝐷𝐽(𝜙𝑗)𝜕

𝑢𝐽𝑗(𝐹) = 𝜕

𝑢𝐽𝑗(𝐹)𝐷𝐽(𝜙

𝑗) =: 𝑙𝐹(𝜙𝑗),

podemos introducir el operador de linealización universal [2]

𝑙�⃗� = 𝜕𝑢𝐽𝑗(�⃗�)𝐷𝐽.

Por lo tanto, el criterio de invariancia toma la forma

𝑙�⃗�(𝜙𝑗)|[�⃗�] = 0.

Ejemplo. Ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrogeno

∆𝑢 + 2 (−𝐸 +1

𝑟) 𝑢 = 0, 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝐸 > 0

admite el grupo de Fock que contiene tres simetrías puntuales de rotación en espacio (𝑥, 𝑦, 𝑧) o (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3):

𝐿1 = 𝑥2𝜕𝑥3 − 𝑥

3𝜕𝑥2 , 𝐿2 = 𝑥3𝜕𝑥1 − 𝑥

1𝜕𝑥3 , 𝐿3 = 𝑥1𝜕𝑥2 − 𝑥

2𝜕𝑥1 y simetrías de Lie-Backlund [1] de la forma

�̃�𝑘 = 𝜙𝑘𝜕𝑢, 𝑘 = 1,2,3,

𝜙𝑘 = (𝑥𝑘

𝑟− 𝐷𝑘 +∑(𝑥

𝑘𝐷𝑖 − 𝑥𝑖𝐷𝑘)

𝑖≠𝑘

𝐷𝑖)𝑢.

Funciones generadoras 𝜙𝑘 contienen �⃗⃗�(2) (derivadas de segundo orden) por eso no son

simetrías puntuales ni de contacto.

En la siguiente sección veremos un ejemplo de cálculo de simetrías de Lie-Backlind.

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Simetrías superiores de ecuación de Burgers

Para la ecuación de Burgers en forma [4]

𝐹: 𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 − 𝑢𝑥2 = 0

buscamos las simetrías generalizadas de tercer orden, es decir con la función característica

𝜙 = 𝜙(𝑡, 𝑥, 𝑢, 𝑢(1), 𝑢(2), 𝑢(3)).

Dado que es posible despejar 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥2, se puede excluir la dependencia con

respecto a 𝑢𝑡 y todas las derivadas de 𝑢 respecto a 𝑡. Por lo tanto buscamos el operador admisible de la forma

𝑋 = 𝜙(𝑡, 𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥, 𝑢𝑥𝑥, 𝑢𝑥𝑥𝑥)𝜕𝑢 +⋯.

Para determinar 𝑋 se aplica el operador prolongado �̃� a la ecuación 𝐹 (criterio de invariancia)

�̃�([𝐹])|[𝐹] = 0,

tomando en cuenta todas las secuencias diferenciales de 𝐹 y donde

�̃� =∑𝐷𝐽|𝐽|

(𝜙)𝜕𝑢𝐽 ,

con |𝐽| ≥ 0 y los operadores de derivada total

𝐷𝑡 = 𝜕𝑡 + 𝑢𝑡𝜕𝑢 + 𝑢𝑡𝑡𝜕𝑢𝑡 + 𝑢𝑡𝑥𝜕𝑢𝑥 + 𝑢𝑡𝑡𝑡𝜕𝑢𝑡𝑡 +⋯

𝐷𝑥 = 𝜕𝑥 + 𝑢𝑥𝜕𝑢 + 𝑢𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥 + 𝑢𝑡𝑥𝜕𝑢𝑡 + 𝑢𝑥𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥 +⋯

Debido que 𝜙 no depende de las derivadas de 𝑢 respecto a 𝑡 es posible eliminar estas derivadas de los operadores de derivada total

𝐷𝑡 = 𝜕𝑡 + 𝑢𝑡𝜕𝑢 + 𝑢𝑡𝑥𝜕𝑢𝑥 + 𝑢𝑡𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥𝑥 …

𝐷𝑥 = 𝜕𝑥 + 𝑢𝑥𝜕𝑢 + 𝑢𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝜕𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 …

Por lo tanto la ecuación para determinar la función generadora tiene la forma

𝐷𝑡(𝜙) − 𝐷𝑥(𝐷𝑥(𝜙)) − 2𝑢𝑥𝐷𝑥(𝜙) = 0.

Para resolverla es necesario expresar 𝑢𝑡𝑥, 𝑢𝑡𝑥𝑥 y 𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥 en términos de las derivadas de 𝑢 respecto a 𝑥 únicamente.

𝑢𝑡𝑥 = 𝑢𝑥𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥,

𝑢𝑡𝑥𝑥 = 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑥2 ,

𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥 = 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑢𝑥𝑥𝑢𝑥𝑥𝑥.

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Sustituyendo y separando a partir de los coeficientes con derivadas de los cuales no depende 𝜙 se forma el sistema de ecuaciones definitivas para determinar 𝜙.

Para resolver se utilizará un programa en Wxmaxima el cual es un software libre para cálculos matemáticos con énfasis en cálculo simbólico.

Reasignando las variables independientes como 𝑡 = 𝑥[1], 𝑥 = 𝑥[2] y las derivadas 𝑢𝑡 = 𝑢[1], 𝑢𝑥 = 𝑢[2], 𝑢𝑥𝑥 = 𝑢[2,2], 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 𝑢[2,2,2]…

Definiendo los operadores de derivada total y declarando la función característica

Dt(f):=diff(f,x[1])+u[1]*diff(f,u)+u[1,2]*diff(f,u[2])+ u[1,2,2]*diff(f,u[2,2])+u[1,2,2,2]*diff(f,u[2,2,2]); Dx(f):=diff(f,x[2])+u[2]*diff(f,u)+u[2,2]*diff(f,u[2])+ u[2,2,2]*diff(f,u[2,2])+u[2,2,2,2]*diff(f,u[2,2,2])+ u[2,2,2,2,2]*diff(f,u[2,2,2,2]); phi:phi(x[1],x[2],u,u[2],u[2,2],u[2,2,2]);

Declarando la ecuación 𝐹 y despejando 𝑢𝑡 en términos de las derivadas de 𝑢 respecto a 𝑥 y las derivadas de la ecuación se tiene

G:u[1]=u[2,2]+u[2]^2; G2:u[1,2]=Dx(u[2,2]+u[2]^2); G22:u[1,2,2]=Dx(Dx(u[2,2]+u[2]^2)); G222:u[1,2,2,2]=Dx(Dx(Dx(u[2,2]+u[2]^2)));

Reescribiendo la ecuación en el programa

E:Dt(phi)-2*u[2]*Dx(phi)-Dx(Dx(phi))=0;

Sustituyendo las derivadas de 𝑢𝑡 utilizando el comando subst

E2:subst([G,G2,G22,G222],E);

Separando con respecto a las potencias de 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑢𝑥𝑥𝑥, … se forma un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en 𝜙 el cual al resolverse se encuentra la forma de la función característica 𝜙 y se determinan los operadores de simetrías generalizadas de tercer orden admisibles por la ecuación.

Resolviendo finalmente se obtiene la base de los operadores de simetrías generalizadas admitidos por la ecuación:

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𝜙1 = 1,𝜙2 = 𝑢𝑥,

𝜙3 =𝑥

2+ 𝑡𝑢𝑥,

𝜙4 = 𝑢𝑡 ,

𝜙5 = 𝑡𝑢𝑡 +𝑥

2𝑢𝑥,

𝜙6 =𝑡

2+𝑥2

4+ 𝑡𝑥𝑢𝑥 + 𝑡

2𝑢𝑡 ,

𝜙7 = 𝑢𝑥𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥3,

𝜙8 = 𝑡(𝑢𝑥𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥3) +

𝑥

2𝑢𝑡 ,

𝜙9 = 𝑡2(𝑢𝑥𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥

2) + 𝑡𝑥𝑢𝑡 +𝑥

4(𝑥𝑢𝑥 − 1),

𝜙10 = 𝑡3(𝑢𝑥𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑥

3) +3

2𝑡2(𝑥𝑢𝑡 + 𝑢𝑥) +

3

4𝑡𝑥(𝑥𝑢𝑥 + 1) +

𝑥3

8,

𝜙∞ = 𝑓(𝑡, 𝑥)𝑒−𝑢,

donde 𝑓(𝑡, 𝑥) satisface la ecuación de calor unidimensional 𝑓𝑡 = 𝑓𝑥𝑥.

Dada la relación

𝜙 = 𝜂 − 𝜉𝑖𝑢𝑥𝑖 ,

es posible obtener los operadores de simetrías puntuales a partir de las funciones generadoras donde 𝑢𝑥𝑖 aparece de forma lineal y no hay derivadas de orden superior.

Tabla de simetrías puntuales

Referencias

[1] Ibragimov, Nail H., Transformation groups applied to mathematical physics, Springer, 1985.

[2] Krasilshchik, I.S. and Vinogradov A.M. (Editors), Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, American Mathematical Society, 1999.

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[3] Meleshko, S.V., Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analytical techniques with applications to engineering, Springer, 2005.

[4] Olver, P. J., Application of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag New York, 1993.

[5] Ovsyannikov, L.V., Group analysis of differential equations. Academic Press, New York, 1982.

[6] Senashov S., Yakhno, A., Aplicación de simetrías y leyes de conservación a la resolución de ecuaciones diferenciales de mecánica. Universidad de Guadalajara, México, 2008.