sesion 3 - simulacion

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SIMULACIÓN

Javier Emilio Sierra

[email protected]

Maestría en Ingeniería área Telecomunicaciones

[ [ 22 ]]Javier [email protected]

SIMULACIÓN

Contenido

SESIÓN 3Modelamiento por medio de variables aleatorias.

Variables aleatorias continuasVariables aleatorias discretasModelamiento aleatorio, ajuste de modelos aleatoriosPrueba de Kolmogorov SmirnovGeneración de variables aleatoriasEjemplo de aplicación

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SIMULACIÓN

Generación de variables aleatorias

La generación de variables aleatorias es el corazón de los procesos de simulación ya que evitan un sesgo en los resultados obtenidos y le dan el peso apropiado a cada uno de los datos necesarios.

Mayor frecuencia de datos “Normales”.

Esporádicos datos “Extremos”.


SIMULACIÓN


Probabilidad: es una medida numérica de la cantidad de veces que un evento ocurre entre una cantidad grande de eventos posibles.

La expresión siguiente es válida si el número de sucesos medidos tiende a infinito:

#( )

#

sucesos tipo aP a

total de sucesos=

Punto muestra: un elemento del espacio muestral

Espacio muestral: todos los valores posibles del experimento

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SIMULACIÓN


Todo valor de probabilidad está entre 0 y 1.

La suma de todas las probabilidades de un espacio muestral es 1.

Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados de un evento.

Punto muestral: un valor del espacio muestral.

Ejemplo: lanzamiento de un dado.

Espacio muestral S={1,2,3,4,5,6}

Punto muestral a={1}

Evento: es un conjunto de puntos muestrales. Ejemplo: evento de lanzamiento de un número par e={2,4,6}


SIMULACIÓN


Complemento: los puntos muestrales de un evento y no pertenecientes a un evento suman una probabilidad de 1.

Intersección:puntos muestrales que pertenecen a dos eventos son excluyentes, la intersección es vacía.

Unión: puntos muestrales que pertenecen a cualquiera de dos eventos.

1)e(P)e(P =+ )ba(P ∩ )ba(P)b(P)a(P)ba(P ∩−+=∪

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SIMULACIÓN


Dos eventos son excluyentes si no comparten puntos muestrales (si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente).

Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia de otro.

Dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.


SIMULACIÓN

Generación de variables aleatoriasejemplo

Excluyentes: espacio muestral del lanzamiento de un dado.

Evento 1: compuesto por los resultados pares.

Evento 2: compuesto por los resultados impares.

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SIMULACIÓN


Dependientes: en el mismo espacio muestral.P(4)=1/6

Probabilidad de que se obtenga un 4, dado que se conoce que se lanzó un número par:

P(4|par)=1/3.

La probabilidad cambia.


SIMULACIÓN


Independientes: en el mismo espacio muestral.P(4)=1/6

Probabilidad de lanzar un cuatro, dado que en el lanzamiento anterior cayó un 4:

P(4|4 en el anterior) = P(4)=1/6.

No cambia la probabilidad.

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SIMULACIÓN

Axiomas de la probabilidad

Generales

)ba(p)b()a(p)ba(p

)a(p1)a(p,1)S(p,1)a(P0

∩−+=∪−==≤≤

Eventos dependientes

)a(p)a|b(p)ba(p

)b(p)b|a(p)ba(p

)ba(p)b(p)a(p)ba(p

=∩=∩

∩−+=∪

Eventos independientes

)b(p)a(p)b(p)a(p)ba(p

)b(p)a(p)ba(p

)a(p)b|a(p

−+=∪=∩

=

)b(p)a(p)ba(p

)ba(p

+=∪∅=∩Eventos excluyentes


SIMULACIÓN


Distribuciones de probabilidad: son funciones matemáticas que asignan probabilidad a puntos (regiones) muestrales de un espacio muestral.

Distribuciones de probabilidad discretas:corresponden a puntos muestrales discretos.

Distribuciones de probabilidad continuas:corresponden a valores continuos de variables aleatorias.

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SIMULACIÓN

Función de Densidad de Probabilidad

La función de densidad se utiliza en estadística con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un evento en relación al resultado del evento. En este caso se llama función de densidad de probabilidad .


SIMULACIÓN


Media o esperanza matemática: es el valor ponderado de los valores del espacio muestral por sus probabilidades. Es el Valor Esperado

Varianza: medida de dispersión de los puntos muestrales respecto a la media.

)()( ii

i xPxxE ⋅== ∑µ

)()()( 22i

ii xPxxVar ⋅−== ∑ µσ

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SIMULACIÓN

Algunas distribuciones de probabilidad importantes

Distribución continua uniforme

Una variable aleatoria puede tomar cualquier valor entre dos límites a y b.


SIMULACIÓN


De los axiomas de la probabilidad se encuentra el valor de k, tal que se defina la función de densidad de probabilidad.

También se pueden calcular otras cantidades como:

( )

( )

ab

1k

1abkkdx

1dxxf

b

a

−=

=−=

=

∫

∫∞

∞−

( )22 ab12

12

ba

−=σ

+=µ

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SIMULACIÓN


Distribución discreta uniforme

Una variable aleatoria puede tomar cualquier valor entre dos límites a y b, pero solamente ciertos valores discretos.


SIMULACIÓN


De los axiomas de la probabilidad se encuentra el valor de k, tal que se defina la función de masa de probabilidad o función de probabilidad simplemente

También se pueden calcular otras cantidades como:

n

1k

1kn

1pn

1ii

=

=⋅

=∑=

( )1n12

12

ba

22 −=σ

+=µ

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SIMULACIÓN

Distribución Binomial

Suposiciones:Se realiza una serie de N ensayos.En cada ensayo puede haber un resultado a o b con probabilidades P(a) y P(b) complementarias.Los eventos son independientes entre sí en cada ensayo.Las probabilidades permanecen constantes durante la realización del experimento.


SIMULACIÓN


Determina la probabilidad de obtener n veces el resultado a en los N ensayos.

Se debe lograr que ocurran

nNn nPaPavecesnP

bPbPaPaPavecesnP

−=

⋅⋅⋅⋅⋅=

)()()(

)(...)()(...)()(n veces N-n veces

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SIMULACIÓN


Dado que los eventos pueden ocurrir en cualquier orden, realmente

nNn

nNn

ppnnN

NnP

pbP

paP

bPaPnnN

NnPavecesnP

−

−

−−

=

−==

−==

)1(!)!(

!)(

1)(

)(

)()(!)!(

!)()(


SIMULACIÓN


La distancia Binomial mide la ocurrencia de n eventos del tipo a en un conjunto N de ensayos. La varianza y la media se calculan por medio de las expresiones anteriores y se obtiene:

)1(

)1(!)!(

!)(

2 pNp

Np

ppnnN

NnP nNn

−==

−−

= −

σµ

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SIMULACIÓN


Una aplicación muy importante es la de determinar los errores en una trama cuando la probabilidad de error de bit es constante. Suponiendo que se tienen tramas de longitud N con capacidad de corrección de errores de 5 bits, la probabilidad de que la trama llegue buena es:

...)1(1

)1(0

)5(

)5()4()3()2()1()0()5(

1100 +−

+−

=≤

+++++=≤

−− NN ppN

ppN

nP

ppppppnP


SIMULACIÓN

Distribución de Poisson

Esta distribución mide la probabilidad de que ocurran neventos en un intervalo de tiempo T.Suposición: el tiempo T se puede dividir en n intervalos pequeños de tiempo dt=T/n.Suposición: La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo de duración dt es

P=λdtLa probabilidad que no ocurra un evento en el mismo

intervalo es1-p=1- λdt

No puede ocurrir más de un evento

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SIMULACIÓN


Aplicando la distribución Binomial, se encuentra que la probabilidad que ocurran n eventos en los N intervalos es:

Reemplazando el valor de N por T/dt y extrayendo el límite cuando dt tiende a cero se obtiene:

nNn dtdtnnN

NnP −−

−= )1()(

!)!(

!)( λλ


SIMULACIÓN


La distancia de Poisson mide la ocurrencia de n eventos en un intervalo de tiempo T.

!

)()(

)1()(!!

!)(

)1()(!)!(

!)(

0

n

eTnP

dtdtnn

dt

Tdt

T

LimnP

dtdtnnN

NnP

Tn

ndt

T

n

dt

nNn

λλ

λλ

λλ

−

−

→

−

=

−

−

=

−−

=

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SIMULACIÓN


Esta distribución permite modelar el número de llamadas que llegan a una central en un tiempo determinado.λ se conoce como rata o frecuencia de ocurrencia de eventos y tiene unidades de eventos/seg.λ = 10 llamadas/seg.

T

Tn

eTnP

Tn

λσλµ

λ λ

==

=−

2

!

)()(


SIMULACIÓN

Distribuciones de probabilidad continuas

Son funciones matemáticas que permiten encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria se encuentre en una región del espacio muestral.

∫=≤≤b

aduufbxaP )()(

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SIMULACIÓN

Función de probabilidad acumulada

Es una expresión matemática que permite determinar la probabilidad que una variable aleatoria sea menor a un valor cualquiera.

)()()( bFduufbxPb

==≤ ∫ ∞−


SIMULACIÓN


Función de densidad de probabilidad (fdp)

Función de probabilidad acumulada

∫=≤≤b

aduufbxaP )()(

)()()( bFduufbxPb

==≤ ∫ ∞−

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SIMULACIÓN


Media o esperanza matemática: para la distribución continua queda

Varianza

∫∞

∞−⋅== dxxfxxE )()( µ

∫∞

∞−⋅−== dxxfxxVar )()()( 22 µσ


SIMULACIÓN

Distribución Exponencial

Determina la probabilidad de que transcurra un intervalo de tiempo determinado entre dos eventos cualquiera.Probabilidad que entre dos eventos cualquiera, transcurra entre 5 minutos y 15 minutos:

Probabilidad que entre dos eventos transcurra más de 1 hora:

∫=≤≤min15

min5)(min)15min5( duuftP

∫∞

=≤hr

duufthoraP1

)()1(

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SIMULACIÓN


Suponga la distribución de Poisson y calcule la probabilidad que no ocurra ningún evento durante el tiempo T

La cantidad anterior mide la probabilidad que no ocurra ningún evento entre 0 y T, debido a que n=0.

TT

eeT

eventosP λλλ −

−

==!0

)()0(

0


SIMULACIÓN


El evento complementario al anterior es la probabilidad que ocurra al menos un evento entre 0 y T, uno o más de uno….

Esto indica la probabilidad que el tiempo de ocurrencia del siguiente evento sea menor a T, lo que equivale a una distribución acumulada de probabilidad .

TeeventounmenosalP λ−−= 1)(

TTeTFduufTtP λ−

∞−−===≤ ∫ 1)()()(

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SIMULACIÓN


Su función de densidad de probabilidad es

Que se llama distribución de probabilidad exponencial y mide la probabilidad que el siguiente evento ocurra entre dos tiempos cualquiera.

Su aplicación es en el manejo de tiempos entre eventos.MUY APLICADA EN SIMULACIÓN

Tetf λλ −=)(


SIMULACIÓN

Distribución Normal

Se conoce como distribución Normal o gaussiana a la curva que modela el comportamiento de los errores, pues originalmente fue creada para analizar los errores que se cometen en las mediciones

−−

=2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

x

exf

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SIMULACIÓN

Generación de números aleatorios

Los computadores no pueden generar números completamente aleatorios.

Se genera una secuencia de números aparentemente aleatorios que se llaman seudoaleatorios (parecen aleatorios pero se parecen entre si al largo plazo).


SIMULACIÓN


Los generadores lineales congruenciales LCG, funcionan a partir de una serie recursiva de números así:

Los valores de a, b y M determinan las características del generador, así como el valor inicial de Xo, llamado semilla (seed). % operación mod.

( ) MbXaX nn %1 +⋅= −

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SIMULACIÓN


Por ejemplo con parámetros cualquiera se obtienen series muy cortas de números:

Caso a b M Xo1 6 2 13 1 8 11 3 7 5 6 12 9 4 0 2 1 8 112 7 3 13 10 8 7 0 3 11 2 4 5 12 9 1 10 8 73 5 5 13 5 4 12 0 5 4 12 0 5 4 12 0 5 4 124 7 6 11 5 8 7 0 6 4 1 2 9 3 5 8 7 0 65 6 1 11 3 8 5 9 0 1 7 10 6 4 3 8 5 9 0

SalidasConstantes del generador

Ver Matlab: Generador.m


SIMULACIÓN


Pero con los parámetros apropiados se obtienen series de período muy extenso

Caso a b M Xo6 16807 0 2E+09 2

Constantes del generador

33614 564950498 1097816499 1969887316 140734213 940422544 202055088229615974 127561359 735081007 33063458 1646757680 287085224 1793088606

1786703632 864107023 1762314547 1126132005 1127227024 203858534 1013963973956319139 1088155025 650767323 312183490 565366809 1652304535 1171280388

2089576248 1707920745 1757535413 260121806 1737971797 19425685 699734513036949 1649877962 1190057270 1777332379 127764083 1994779628 1893994479

1581609387 556384743 1014576563 968137161 2145155255 1668904949 10015643761156708876 1784106288 160219355 2009689794 1233567742 765911656 660222274234435843 1678204703 536223623 1469048949 686196284 913760798 922172289

1880754579 1030409060 776942012 1363821924 1662112237 653087083 645684164387013533 1955966015 241145829 636306114 2075779585 1755639580 609111280

1371166908 555206799 544224578 649629873 522414163 1301688605 10644722461921941085 1762281068 563450452 1656347141 395882726 696637476 3052156881326906897 1854027431 651314847 924484770 771343345 1756306123 10742812461938608437 570108375 1886909358 1394564657 811666841 868470943 2092273989329495459 1617337447 1889951650 986758773 1585975677 926176775 1291583969916641887 2099994878 720176101 781895015 857081112 1789428955 1571454097

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SIMULACIÓN


Con los generadores anteriores se pueden generar números aleatorios uniformes entre 0 y M como valor máximo. Los demás números aleatorios se obtienen a partir de estos generadores.

NOTA: para obtener números decimales entre 0 y 1 basta con dividir los números por M.


SIMULACIÓN


El método en forma general, depende de la distribución acumulada de probabilidadde la variable a generar.

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SIMULACIÓN


El método consiste en generar números aleatorios uniformes entre 0 y 1.

Ubicar estos números en el eje de probabilidad acumulada y leer la variable aleatoria en el eje horizontal.

Esto garantiza que se generen con mayor probabilidad los números que están en la zona de mayor densidad de probabilidad.


SIMULACIÓN


23


SIMULACIÓN



SIMULACIÓN

Transformada Inversa

El método anterior se llama en general como el de la transformada inversa.

X=F-1(U). Su aplicación es inmediata en las distribuciones de probabilidad continuas .

Por ejemplo para generar una variable aleatoria con distribución exponencial…

Donde U es una variable uniforme entre 0 y 1.

( )λ−−=

=−= λ−

U1Lnt

Ue1)t(F t

Ver Matlab - Exponencial

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SIMULACIÓN


En las distribuciones de probabilidad discretas el asunto es un poco más complejo puesto que es necesario acumular las probabilidades hasta que se supera la probabilidad acumulada, así:


SIMULACIÓN


Al generar un número aleatorio u=0.55, por ejemplo, se ve, siguiendo la distribución acumulada, que el primer valor superior ocurre en n=1, por lo tanto se genera este número.

Con u=0.98, se genera un 3 y así sucesivamente.

Variable Binomial, N=6, p=0,2

n P(n) F(n)

0 0,2621 0,2621

1 0,3932 0,6554

2 0,2458 0,9011

3 0,0819 0,9830

4 0,0154 0,9984

5 0,0015 0,9999

6 0,0001 1,0000

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SIMULACIÓN

Generación Distribución Poisson

En la distribución Poisson se puede simplificar el cálculo de la probabilidad acumulada así:

Con estos valores se calcula la probabilidad acumulada sin necesidad de calcular el factorial o el exponencial en cada paso.

( )

( )

( ))i(P

1i

t)1i(P

)!1i(

et)1i(P

!i

et)i(P

t1i

ti

+λ=+

+λ=+

λ=

λ−+

λ−


SIMULACIÓN

Ajuste de distribuciones de probabilidad

Cuando se tienen datos experimentales de una variable aleatoria, es necesario estimar el modelo para poder generar valores equivalentes.

Es necesario conocer varias curvas de distribución de probabilidad (experiencia).

Una vez se conoce, se ajustan los parámetros de la distribución y se chequea el ajuste.

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SIMULACIÓN


Ejemplo: número de llamadas que se hicieron en un PBX en un día:

µ=100.77

σ2=131.59

Datos con distribución Poisson

93 107 96 107 82 85 110 89 89 124

99 79 113 100 116 103 111 116 95 100

89 125 96 101 94 93 88 96 104 87

97 101 100 92 124 116 92 100 96 86

112 99 92 96 96 101 100 97 103 87

127 106 72 105 112 91 92 92 99 113

89 114 119 110 110 110 109 76 123 84

100 103 76 105 107 87 99 112 99 107

87 94 111 108 93 102 102 89 105 108

125 95 100 98 97 102 119 105 105 110


SIMULACIÓN

Ajuste de distribuciones de probabilidadEl histograma de los valores anteriores, muestran una curva que podría ser Poisson. La cercanía de la media y la desviación estándar, también muestran lo mismo

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

60 70 80 90 100 110 120 130

Probabilidad medida

Probabilidad calculada

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SIMULACIÓN


Se debe encontrar los parámetros de la distribución de manera experimental para calcular la distribución teórica.

Se aplica la prueba de Kolmogorov Smirnov para poder evaluar si la distribución corresponde a la supuesta.


SIMULACIÓN


Esta prueba exige calcular un estadístico igual a:

D=max(|F(xi)-Sn(xi)|)

Y compararlo con algún valor de tabla de acuerdo con el nivel de significación deseado (usualmente 0.05).

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SIMULACIÓN


El estadístico mide la diferencia de las funciones acumuladas experimental y teórica.


SIMULACIÓN

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SIMULACIÓN

Ejemplos

Ver ejemplos Excel.

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