Circunferencia La circunferencia slo poseelongitud. Se distingue delcrculoen que ste es el lugar geomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es elpermetrodel crculo cuyasuperficiecontiene.Puede ser considerada como unaelipsedeexcentricidadnula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. Tambin se puede describir como la seccin, perpendicular al eje, de una superficiecnicaocilndrica, o como unpolgono regularde infinitos lados, cuyaapotemacoincide con suradio.La interseccin de un plano con una superficie esfrica puede ser: o bien el conjunto vaco (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llamaecuador1Elementos de la circunferenciaCentro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del dimetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2. Dimetro. El dimetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El dimetro mide el doble del radio. El dimetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre ; Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El dimetro es la cuerda de longitud mxima. Recta secante. Es la lnea que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta tangente. Es la lnea que toca a la circunferencia en un slo punto; Punto de Tangenciaes el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia;Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el smbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Lamediatrizde una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

cent ro de la circunferenciaLongitud de la circunferencia[editar]El inters por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia ( actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el dimetro o radio con la circunferencia.8 La longitudde una circunferencia es:

dondees la longitud del radio.Pues(nmero pi), por definicin, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y eldimetro:

Arco capaz: los cuatro ngulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Arco capaz: los cuatro ngulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Ecuaciones de la circunferencia[editar]Ecuacin en coordenadas cartesianas[editar]

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadasEn un sistema decoordenadas cartesianasx-y, la circunferencia con centro en el punto (a,b) yradiorconsta de todos los puntos (x,y) que satisfacen laecuacin.Cuando el centro est en el origen (0, 0), la ecuacin anterior se simplifica al.La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamadacircunferencia goniomtrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.De la ecuacin general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un dimetro:,la ecuacin de la circunferencia es:

Ecuacin vectorial de la circunferencia[editar]La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuacinvectorial:. Dondees el parmetro de la curva, adems cabe destacar que. Se puede deducir fcilmente desde la ecuacin cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuacin da como resultado un cilindro, dejando el parmetro Z libre.Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de 2, la ecuacin |P - C|= r es laecuacin vectorialde la circunferencia de centro C y radio r.Ecuacin en coordenadas polares[editar]

Circunferencia unitaria.Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio esc, se describe encoordenadas polarescomo

Cuando el centro no est en el origen, sino en el puntoy el radio es, la ecuacin se transforma en:

Ecuacin paramtrica de la circunferencia[editar]La circunferencia con centro en (a,b) y radiocseparametrizacon funciones trigonomtricas como:y confunciones racionalescomo, donde t recorre todos los valores reales y se llamaparmetro

parbola(del griego ) es laseccin cnicaresultante de cortar unconorecto con unplanocuyo ngulo de inclinacin respecto al eje de revolucin del cono sea igual al presentado por sugeneratriz. El plano resultar por lo tanto paralelo a dicha recta.nota 1nota 2Se define tambin como ellugar geomtricode los puntos de un plano que equidistan de una recta llamadadirectriz,nota 3y un punto exterior a ella llamadofoco. Engeometra proyectiva, la parbola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homlogos en unaproyectividadsemejante osemejanza.La parbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las grficas de lasecuaciones cuadrticas. Por ejemplo, son parbolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de lagravedad(vermovimiento parablicoytrayectoria balstica).Se denominaparbolaal lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco

Diferentes elementos de una parbola.

Lado recto[editar]

El lado recto mide 4 veces la distancia focalAl segmento de recta comprendido por la parbola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce comolado recto.La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

SiendoD,Elos extremos del lado recto yT,Ulas respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando porWla proyeccin del focoFsobre la directriz, se observa queFEUWyDFWTson cuadrados, y sus lados midenFW=2FV. Por tanto el segmentoDEes igual a 4 veces el segmentoFV(la distancia focal).Las tangentes a la parbola que pasan por los extremos del lado recto forman ngulos de 45 con el mismo, consecuencia de queFEUWyDFWTsean cuadrados, junto con la construccin mencionada en la seccin anterior. Adems, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyeccinWdel foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximacin geomtrica del foco y la directriz cuando stos son desconocidos.

El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Semejanza de todas las parbolas[editar]Dado que la parbola es una seccin cnica, tambin puede describirse como la nica seccin cnica que tieneexcentricidad. La unicidad se refiere a que todas las parbolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.Desafortunadamente, al estudiar analticamente las parbolas (basndose en ecuaciones), se suele afirmar errneamente que los parmetros de la ecuacin cambian la forma de la parbola, hacindola ms ancha o estrecha. La verdad es que todas las parbolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusin de que hay parbolas de formas diferentes.Un argumento geomtrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construccin descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.Todas las parbolas son semejantes, es nicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Tangentes a la parbola[editar]

La tangente biseca el ngulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyeccin.

Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parbola mediante dobleces en papel.Un resultado importante en relacin a las tangentes de una parbola establece:L la tangente biseca el ngulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyeccin.

La tangente biseca el ngulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyeccin

Aplicaciones de parbolas

La parbola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Anlogamente, un emisor situado en el foco, enviar un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de seales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena deradar.

Los faros de los automviles envan haces de luz paralelos, si la bombilla se sita en el foco de una superficie parablica.

Cocina solar de concentrador parablico. El mismo mtodo se emplea en las grandes centrales captadoras deenerga solar

Elipse Una elipse es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definicin excluye el caso en que el punto mvil est sobre el segmento que une los focos.Designemos por F y F (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el trmino deeje focalpara designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos,v y v,llamadosvrtices

Construccin por afinidadPartimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujan dos circunferencias concntricas cuyos dimetros sean los de la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cualquiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desde el extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralela al eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde el punto donde el radio corta la circunferencia menor trazamos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce la lnea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde se cortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.Repitiendo la operacin se obtienen todos los puntos que sean necesarios; la elipse se completa a mano o con plantillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistematiza; en lugar de los radios dibujamos dimetros completos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacen de una vez mediante paralelas a los ejes.

AplicacionesElipse de inercia en el slido rgido

Las flechas representan la carga sobre la vigaEn el estudio del slido rgido aparece la llamadaElipse de Inercia. Supongamos una placa a la que podemos hacer girar en torno a ejes de rotacin contenidos en la misma placa y que pasan por su centro de masas (o centro de gravedad, c.d.g.). Los puntos sobre los distintos ejes y cuya distancia alcentro de masas es inversamente proporcional al cuadrado de su momento de inercia forman una elipse, la Elipse de Inercia. Esta elipse es muy importante para determinar la resistencia de los materiales (vigas,etc) a la flexin. Una barra es ms resistente a la flexin en la direccin del eje mayor de la elipse de inercia de su seccin transversal.Elipsoides de revolucin

Elipsoides en pticaEl elipsoide es un cuerpo generado por la revolucin de una elipse en torno a uno de susejes: el mayor o el menos; exagerando un poco, diramos que es la elipse en tres dimensiones. Pues bien, el elipsoide es el lugar geomtrico que recorre el extremo del vector velocidad angular en la rotacin de un cuerpo libre de fuerzas externas(ocon fuerzas solamente aplicadas en su centro de masas) entorno a un eje que no sea eje principal. Por ejemplo, un baln de rugby cuando se encuentra en el aire, despus de haberle dado un puntapi; o nuestro planeta Tierra, en su movimiento de rotacin.Si la Tierra fuera una esfera perfecta no habra ningn movimiento de precesin de w, pues cualquier eje de giro sera un eje principal, pero en la realidad no lo es.Elipsoides en ptica

Encontramos, tambin, al elipsoide en la ptica, en el estudio del fenmeno de la Doble Refraccin. Ciertos cristales: el cuarzo, calcita, presentan esta propiedad. En ellos, la luz se refracta en dos direcciones diferentes; de manera que el rayo de luz incidente se desdobla en un rayo ordinario (O) y otro extraordinario (E). El frente de onda del rayo extraordinario forma un elipsoide dentro del cristal, o una elipse en el plano de incidenciaHiprbola Unahiprbolaes unaseccin cnica, unacurvaabierta de dos ramas obtenida cortando unconorecto por un plano oblicuo al eje de simetra, y con ngulo menor que el de lageneratrizrespecto del eje de revolucin.1Unahiprbolaes el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es igual a la distancia entre los vrtices, la cual es una constante positiva.

las asntotas de la hiprbola se muestran como lneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hiprbola (curvas rojas),C. Los dos puntos focales se denominanF1yF2, la lnea negra que los une es el eje transversal. La delgada lnea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos lneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices,D1yD2. La excentricidade(e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un puntoPde la hiprbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vrtices se encuentran en el eje transversal a una distancia acon respecto al centro.

Ecuaciones de la hiprbola[editar]Ecuaciones encoordenadas cartesianas: Ecuacin de una hiprbola con centro en el origen de coordenadasyecuacinde la hiprbola en su formacannica.

Ecuacin de una hiprbola con centro en el punto

Ejemplos:a)

b)

Eje mayor o realEl eje mayor es la recta de la hiprbola donde pertenecen los focos y los vrtices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginarioEje menor o imaginario.El eje menor o imaginario no tiene puntos en comn con la hiprbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asntotas.AsntotasSon las rectas r y r' que pasan por el centro de la hiprbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto ms cuanto ms nos alejamos del centro de la hiprbola.Las ecuaciones de las asntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a xVrticesLos vrtices de una hiprbola son los puntos donde sta corta a sus ejes.FocosSon dos puntos,, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto,, de dicha hiprbola.

CentroPunto medio de los vrtices y de los focos de la hiprbola.TangentesLa tangente a una hiprbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ngulo formado por los radios vectores de ese punto.aplicaciones

FuncinesEl concepto de funcin es tan extenso y tan general que no es sorprendente encontrar una inmensa variedad de funciones que se presentan en la naturaleza. Lo que s es sorprendente es que un corto nmero de funciones especiales rijan una multitud de fenmenos naturales totalmente diferentes.Estudiaremos aqu algunas de estas funciones, o sea la funcin exponencial y su inversa, la funcin logartmica.Es importante para todo aquel que estudie Matemtica, ya sea como una disciplina abstracta o como instrumento en otros dominios cientficos, tener un conocimiento prctico y terico de estas funciones y sus propiedades.Para comprender ms extensamente estas funciones hemos de remontarnos un poco y repasar algunas definiciones, como ser la de exponenciacin, logaritmo y funcin; as como algunas de sus propiedades ms relevantes.

Cada funcin consta de tres elementos: Dominio de definicin: conjunto de objetos cuales quiera, en nuestro caso, nmeros reales. Una ley de correspondencia que nos permite asociar un elemento del dominio de definicin con uno del recorrido. Recorrido: conjunto en el cual se encuentran los correspondientes objetos del dominio.

DOMINIOEl dominio de definicin de una funcinf:XYse define como elconjuntoXde todos los elementosxpara los cuales lafuncinfasociaalgnyperteneciente al conjuntoYde llegada, llamadocodominio. Esto, escrito de manera formal:

RANGO

est determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una funcin. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). Tambin se puede expresar como todos los valores de salida de la funcin.Por ejemplo: