Espín y relatividad (especial)

Seminario de grupoTutor: J. Jesús Hernández-Trujillo

Ulises Torres HerreraUNAM Facultad de Química

17 de octubre, 2014

Objetivo general

Encontrar una formulación de la mecánica cuántica que incluya al espín.

UNAM-FQ-DFyQT

Objetivos particulares

• Cambiar la ecuación de Schrödinger para expresar la energía relativista en notación de operadores. (Para partícula libre).

• Realizar la formulación de Dirac.

• Estudiar dos casos de interés:– Partícula en una caja relativista.– Partícula libre relativista.

• Verificar que los resultados sean congruentes con la formulación no relativista del espín.

UNAM-FQ-DFyQT

IntroducciónEn la perspectiva no relativista, la ecuación de

Schrödinger para una partícula libre es:

Donde se ha definido a los operadores como:

Definición clásica de Energía:

ψψ 22

2∇−=

∂∂

mti

hh

tiE

∂∂≡ hˆ ∇−≡ hip

m

pp

m

pE

22

2 ⋅== ppm

E ˆˆ21ˆ ⋅=

UNAM-FQ-DFyQT

En relatividad especialLa energía está dada por

Donde

Al aplicar los operadores

Se obtiene la expresión relativista

22422 pccmE +=

ppp ⋅=2 v

c

v

mp

2

2

1−=

tiE

∂∂≡ hˆ ∇−≡ hip

Ψ+Ψ∇=∂

Ψ∂ 422222

22 cmc

thh

UNAM-FQ-DFyQT

• Ecuación de Klein-Gordon

Dificultades:No contiene información del espín.Su interpretación probabilística, admite probabilidades negativas.

Ψ+Ψ∇=∂

Ψ∂ 422222

22 cmc

thh

( )

∂Ψ∂Ψ−

∂Ψ∂Ψ=

ttimctr *

*

22,

hρUNAM-FQ-DFyQT

Dirac propone un tratamiento distinto

• Formulación en términos de primeras derivadas.

Procedimiento: Linealización del radical. Encontrar coeficientes

Tales que

22422 pccmE += 2242 pccmE +=

RR ∈∈ βα ,3

24222 mcpccmpcE βα +⋅=+=2ˆˆˆ mcpcE βα +⋅= UNAM-FQ-DFyQT

• El operador debe recuperar el resultado clásico

• Al efectuar esto, resulta

• Efectuando los productos entre paréntesis

• Al comparar este resultado con el esperado

• Igualando término a término, se obtiene

( )( )222 ˆˆˆˆˆˆˆ mcpcmcpcEEE βαβα +⋅+⋅==

22422 ˆˆ pccmE +=2ˆˆˆ mcpcE βα +⋅=

( )( ) ( )( )

2ˆˆˆˆˆˆ mcpcpcpc βααα ⋅+⋅⋅=2E

( )( ) ( ) ( ) 422222 ˆˆˆˆˆˆˆˆ cmpcmcmcpcppc βαββααα +⋅+⋅+⋅⋅=2E42cm22 pc=2E +

( )( ) 2ˆˆˆˆˆ ppp =⋅⋅ αα ( ) ( ) 0ˆˆˆˆ =⋅+⋅ pp αββα 12 =β

UNAM-FQ-DFyQT

E =

( ) 4222 ˆˆ cmpcmc βαβ +⋅+

2E

+0

( )( ) 2ˆˆˆˆˆ ppp =⋅⋅ αα ( ) ( ) 0ˆˆˆˆ =⋅+⋅ pp αββα 12 =β

0ˆˆ =+ ii αββα

No existen números que anticonmuten.¿Qué estructura algebraica sí puede anticonmutar?

Sean Matrices n x n que sean hermitianas. (Diagonalizables)

Convención: Sea la matriz diagonal (sólo uno de los operadores puede ser diagonal)

• Con ello, surgen dos retos:– Problema 1: Determinar la dimensión de la matriz– Problema 2: Determinar las matrices

1ˆˆ =iiαα

0ˆˆˆˆ =+ ijji αααα zyxji ,,, =

De lo anterior se concluye que

βα ,ˆi

βα ,ˆi

β

UNAM-FQ-DFyQT

βα ,ˆi

Es diagonal y (matriz unitaria de nxn)por tanto los elementos de la matriz sólo pueden ser

Por la anticonmutatividad, se tieneMultiplicando a la derecha por daLa traza de esta matriz, resultaPero la traza de un producto posee la propiedad

Al igualar ambos, Todas estas pistas arrojan que es como sigue

TieneDimen sión par

β nxnI=2β

( ) 1±=iiβii βαβα −=

βααββαα −=−= iiii

( ) ( ) ( )βββαα TrTrTr ii −=−=

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )ββααβαααβαβαα TrTrTrTrTr iiiiiiii ====

( ) ( ) 0=−= ββ TrTr

−=

−−

=I

I

0

0

10...00

01

......00

0...010

0...001

MMM

Oβ

βαα i

β

se escribió en cuatro bloques previamente

Por analogía y para igualar notación

Pero como donde el índice• Al sustituir en esta ecuación, se tiene

• Por tanto,Por simplicidad de notación

−=

I

I

0

0β

=

ii

iii

,22,21

,12,11

ˆˆ

ˆˆˆ αα

ααα

0ˆˆ =+ ii αββα

=

− 00

00

ˆ20

0ˆ2

,22

,11

i

i

αα

0ˆˆ ,22,11 == ii αα

zyxi ,,=

iii σαα ≡= ,21,12 ˆˆ

=

0ˆ

ˆ0ˆ

x

xx σ

σα

=

0ˆ

ˆ0ˆ

y

y

y σσ

α

=

0ˆ

ˆ0ˆ

z

zz σ

σα

UNAM-FQ-DFyQT

β

β

zyxi ,,=

Ahora se buscan que cumplan condicionesCondición 1:Condición 2:¿Cuál es la mínima dimensión m de ?• m=1, NO, porque los números no anticonmutan• m=2, puede ser, por ejemplo, las matrices de Pauli

• Con esas es posible recuperar la matriz

Nota: Matrices de dimensión superior representan partículas de espín ±1, ± 3/2, ± 2, etc.

0ˆˆˆˆ =+ ijji αααα 0ˆˆˆˆ =+ ijji σσσσ

nii I=αα ˆˆ2

ˆˆ nIii =σσ

iσ

=

01

10ˆ xσ

−=

0

0ˆ

i

iyσ

−=

10

01ˆ zσ

−−

=

1000

0100

0010

0001

β

=

0001

0010

0100

1000

xα

−

−

=

000

000

000

000

i

i

i

i

yα

−

−=

0010

0001

1000

0100

yα

−=

I

I

0

0β

UNAM-FQ-DFyQT

iσ

iσ α

Ya conocemos la ecuación de onda

Pero son matrices 4x4Por tanto, la función de onda es una matriz

columna 4x1, llamada espinor

Y el adjunto de la función de onda es

( ) Ψ+Ψ⋅=Ψ 2ˆˆˆ mcpcE βαβα ,ˆi

( )( )( )( )

=Ψ

tr

tr

tr

tr

,

,

,

,

4

3

2

1

ψψψψ

( )),(),(),(),( *4

*3

*2

*1 trtrtrtr ψψψψ=Ψ ŧ

UNAM-FQ-DFyQT

Interpretación probabilística

• Ecuación de onda para

• Multiplico por

• Ecuación de onda para

• Multiplico por

• Al sumar ambas ecuaciones, se tiene

Ψ+Ψ⋅−=∂Ψ∂ 2ˆˆ mcpcit

i βαhh

( ) ΨΨ+Ψ∇⋅Ψ−=∂Ψ∂Ψ− 2ˆ mc

ic

ti βαhh

( ) ΨΨ+Ψ∇⋅Ψ−=∂Ψ∂Ψ 2ˆ mccit

i βαhh

( ) Ψ+Ψ∇⋅−=∂Ψ∂− 2ˆ mccit

i βαhh

( )Ψ∇⋅Ψ+Ψ∇⋅Ψ−=

∂Ψ∂Ψ+

∂Ψ∂Ψ αα ˆˆhh ic

tti

Ψ

Ψ

ŧ ŧ ŧ

ŧ

ŧ

ŧ ŧ

ŧŧ ŧ

ŧ

ŧŧ ŧ

UNAM-FQ-DFyQT

Ψ ŧ

Ψ

• Es análoga a ecuación de continuidad (conservación de masa o de carga).

• Densidad Fluxde probabilidad de probabilidad

( )Ψ∇⋅Ψ+Ψ∇⋅Ψ−=

∂Ψ∂Ψ+

∂Ψ∂Ψ αα ˆˆc

tt

( )ΨΨ⋅∇−=∂

ΨΨ∂ αct

0=⋅∇+∂∂

jt

ρ

ΨΨ=ρ ΨΨ= αj

ŧŧ

ŧ ŧ

ŧ

ŧ

ŧŧ

UNAM-FQ-DFyQT

• Analicemos esta ecuación:

Interpretación probabilística

• En Mecánica Cuántica No relativista, partículas en potencial central cumplen:

Por tanto es const. de mov.- Lo anterior también se cumple en general, para

operadores hermitianos (ver el teorema hipervirialno relativista).

• En mecánica relativista, la partícula libre arroja.

( ) 2

4

2

3

2

2

2

1 ),(),(),(),(, trtrtrtrtr t ψψψψρ +++=ΨΨ=

[ ] 0ˆˆ,ˆ =× prH pr ˆˆ×

[ ] [ ]prmcpcprH ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ 2 ×+⋅=× βα[ ] [ ]prmcprpc ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ 2 ×+×⋅= βα[ ] prpc ˆˆ,ˆˆ ×⋅= α

UNAM-FQ-DFyQT

0

[ ] [ ] prpcLH ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ ×⋅= α

[ ] ( )[ ] prpppcLH zzyyxx ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ ×++= ααα[ ] [ ] [ ] [ ]( ) prpcrpcrpcLH zzyyxx ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ ×++= ααα[ ] [ ] [ ] [ ]( ) pkzpcjypcixpcLH zzyyxx ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ ×++= ααα

[ ]i

xp jj

h=,ˆ

[ ] pki

cji

cii

cLH zyx ˆˆˆˆˆ,ˆ ×

++= ααα hhh

[ ] ( ) pkjii

cLH zyx ˆˆˆˆˆ,ˆ ×++= αααh

[ ] 0ˆˆˆ,ˆ ≠×= pi

cLH αhUNAM-FQ-DFyQT

Desarrollando las matrices alfa, p se tiene

Al hacer el producto cruz

Por la relación de conmutadoresSe sustitu

Determinar la constante de movimiento asociada al momento

angular

Suponer momento angular “efectivo”donde k es constante

Por determinar k, tales que

∑→

+×= kprJ ˆˆˆ

∑→

[ ] 0ˆ,ˆ =JH

UNAM-FQ-DFyQT

• Es posible construir esto a partir de las matrices de Pauli, porque

[ ] 0,ˆˆ,ˆˆ, =

+×=

+× ∑∑

→→

kHprHkprH

0,ˆˆ =

+×= ∑

→

kHpi

c αh

=

=sucesivas j i, ,

si , I

kji i

ji

σσσ

∑=

+=zyxk

kijkijji iI,,

σεδσσUNAM-FQ-DFyQT

Pero

•Esto se usa para evaluar el conmutador

∑=

+=zyxk

kmnkmnnm iI,,

σεδσσ

∑=

+=zyxk

knmknmmn iI,,

σεδσσ mnnm δδ = mnknmk εε −=

∑=

−=zyxk

kmnkmnmn iI,,

σεδσσ

∑=

=−zyxk

kmnknmnm i,,

2 σεσσσσ

[ ] ( ) ( )ppp jjj ⋅−⋅=⋅ σσσσσσ ,

[ ]

−

=⋅ ∑∑

== zyxrrrjj

zyxrrrj ppp

,,,,

, σσσσσσ

[ ]

−

=⋅ ∑∑

== zyxrrrj

zyxrjrrj ppp

,,,,

, σσσσσσUNAM-FQ-DFyQT

[ ]

−

=⋅ ∑∑

== zyxrrrj

zyxrjrrj ppp

,,,,

, σσσσσσ

( )∑=

−=zyxr

rrjjrr pp,,

σσσσ

( )∑=

−=zyxr

rrjrjr pp,,

σσσσ

( )( )∑=

−=zyxr

irjjr p,,

σσσσ

∑=

=−zyxk

kkmnnmnm i,,

2 σεσσσσRetomando

puesto que

[ ] ∑ ∑∑ ∑= == =

=

=⋅

zyxr zyxkrkkrj

zyxrr

zyxkkkrjj pipip

,, ,,,, ,,

22, σεσεσσ

( ) ∑∑=×m n

nmjmnj baba ε[ ] ( ) jj pip ×=⋅ σσσ 2,UNAM-FQ-DFyQT

• Se construye

=∑

→

σσ0

0

[ ] ( ) jj pip ×=⋅ σσσ 2, pi

ckH ˆˆ, ×−=

∑→

αh

=Σ

→

m

mm

σσ0

0zyxm ,,=

+

⋅=

+⋅=

∑∑∑∑→→→→

kmckpckmcpckH ,,,, 22 βαβα

[ ],,, pkcpkckH ⋅=

⋅=

∑∑→→

αα

⋅⋅

=

⋅

=

⋅ ∑

→

σσ

σσ

σσ

σσ

α0

0,

0

0

0

0,

0

0,

p

pkcpkcpkc

⋅⋅

−

⋅⋅

=

⋅ ∑

→

0

0

0

0

0

0

0

0,

p

p

p

pkcpkc

σσ

σσ

σσ

σσ

α

UNAM-FQ-DFyQT

( )( )

( )( )

⋅⋅

−

⋅⋅

=

⋅ ∑

→

0

0

0

0,

p

p

p

pkcpkc

σσσσ

σσσσ

α

[ ][ ]

⋅⋅

=

⋅ ∑

→

0,

,0,

σσσσ

αp

pkcpkc

• Por determinar [ ] ( )pip ×=⋅ σσσ 2,

[ ] ( ) ( )

−

=⋅−⋅=⋅ ∑∑

== zyxkkkmm

zyxkkkmmm ppppp

,,,,

, σσσσσσσσσσ

( ) ( )mzyxk

kzyxn

nnkmzyxk

kkmmkk pipipp ×=

=−= ∑ ∑∑

= ==

σσεσσσσ 22,, ,,,,

( )pikcpikcp

pikckH ×=×

=

××

=

∑→

ασ

σσ

σ2

0

02

0

02,

UNAM-FQ-DFyQT

Es una constante del sistema

pi

ckH ˆˆ, ×−=

∑→

αh ( )pikckH ×=

∑→

α2,

icikch−=2

2h=k

00

0

2ˆˆ, =

+×

σσh

prH

+×=

σσ0

0

2ˆˆˆ hprJ

Momento angular “clásico”debido

al movimiento

Momento angular intrínseco de la

partícula.Espín UNAM-FQ-DFyQT

Por tanto, el operador

Resultado• De la deducción previa:

Para cada término en el espinorJ asigna un momento angular intrínsecoorientado conforme a y de tamaño

+×=

σσ0

0

2ˆˆˆ hprJ

2h=k

=∑

→

σσ0

0

( )( )( )( )

=Ψ

tr

tr

tr

tr

,

,

,

,

4

3

2

1

ψψψψ

σσ0

0

UNAM-FQ-DFyQT

Propiedades del operador ∑→

2h

=∑

→

x

xx σ

σ0

0

22hh

=∑→

0100

1000

0001

0010

22hh

x

−

−

=∑→

000

000

000

000

22

i

i

i

i

y

hh

−

−=∑

→

1000

0100

0010

0001

22hh

z

=∑

→

y

y

y σσ0

0

22hh

=∑

→

z

zz σ

σ0

0

22hh

=

∑→

3

4

1

2

4

3

2

1

22

φφφφ

φφφφ

hhx

−

−

=

∑→

3

4

1

2

4

3

2

1

22

φφ

φφ

φφφφ

i

i

i

i

y

hh

−

−=

∑→

4

3

2

1

4

3

2

1

22

φφφ

φ

φφφφ

hhz

∑→

z2h Es operador propio con valor

2 ,

2hh −

UNAM-FQ-DFyQT

Partícula libre

• En la representación de moméntum.

• Expresar como onda plana E parámetro

( ) Ψ+Ψ⋅=Ψ 2ˆˆˆ mcpcE βα

( ) Ψ+Ψ⋅=Ψ∂∂ 2ˆˆ mcpct

i βαh

( )Etrpi

Ue−⋅

=Ψ h

( )( )UmcpcE 2ˆˆ βα +⋅=Ψ

( )EpUU ,=

UNAM-FQ-DFyQT

• Separar cuadrivector u en 2 bloques

=

2

1

u

uU

−+

⋅

=

2

12

2

1

0

0ˆ

0

0

u

umc

I

Ipc

u

uE

σσ

−+

⋅⋅

=

2

1

2

2

2

1

0

0

0

0

u

u

Imc

Imc

p

pc

u

uE

σσ

−⋅⋅

=

2

1

2

2

2

1

u

u

Imcpc

pcImc

u

uE

σσ

( )( )

−⋅⋅+

=

22

1

212

2

1

umcupc

upcumc

Eu

Eu

σσ ( )

( ) 22

12

212

1

umcupcEu

upcumcEu

−⋅=

⋅+=

σσ

UNAM-FQ-DFyQT

• Pero• Por tanto

( )( ) 2

212

212

1

umcupcEu

upcumcEu

−⋅=

⋅+=

σσ ( )

( ) 122

221

upmcE

cu

upmcE

cu

⋅+

=

⋅−

=

σ

σ

( ) ( )

( ) ( ) 22

222

1212

1

umcupmcE

cpcEu

upmcE

cpcumcEu

−

⋅−

⋅=

⋅−

⋅+=

σσ

σσ

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 2

22

22

12

122

uppcumcEmcE

uppcumcEmcE

⋅⋅=−+

⋅⋅=+−

σσσσ

( )( ) pppp ⋅=⋅⋅ σσ

( )( )( )( ) 2

222

22

122

122

upcumcEmcE

upcumcEmcE

=−+

=+−

UNAM-FQ-DFyQT

Ecuación con dos grados de libertad ya sea u1 o u2

( )( )( )( ) 2

222

22

122

122

upcumcEmcE

upcumcEmcE

=−+

=+−

22422 pccmE =−

4222 cmpcE +=+4222 cmpcE +−=−

+

=

=

1

0

0

121

2

1 ccc

cui

UNAM-FQ-DFyQT

Cuatro soluciones

( )

0

1

u ,)u(en 0 ,

2

212

++

+===

+

++

yx

z

ippEmc

c

pEmc

ccEE

( )

1

0

u ,)u(en 0 ,

2

211

+−

−+===

+

++

z

yx

pEmc

c

ippEmc

ccEE

UNAM-FQ-DFyQT

( )

0

1

u ,)u(en 0 , 2

2

22

++

−+

−

===+

+

+ yx

z

ippEmc

c

pEmc

c

cEE

( )

1

0

u ,)u(en 0 , 2

2

21

+

−+

−

===+

+

+ z

yx

pEmc

c

ippEmc

c

cEE

UNAM-FQ-DFyQT

Partícula en una caja unidimensional de longitud L

En la representación de posiciones.

Separación de variables:

Partícula en el eje x, ecuación indep. de t

( ) Ψ+Ψ⋅=Ψ 2ˆˆˆ mcpcE βα

( ) Ψ+Ψ∇⋅=Ψ∂∂ 2ˆ mcct

i βαh

( )reEt

h

i

φ=Ψ

φβφαφ 2ˆ mcdz

dciE x +

= h

UNAM-FQ-DFyQT

• Sistema de ecuaciones diferenciales

−−

+

=

4

3

2

1

2

4

3

2

1

4

3

2

1

1000

0100

0010

0001

0001

0010

0100

1000

φφφφ

φφφφ

φφφφ

mcdx

dciE h

φβφαφ 2ˆ mcdx

dciE x +

= h

42

14

32

23

22

32

12

41

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

mcdx

dciE

mcdx

dciE

mcdx

dciE

mcdx

dciE

−−=

−−=

+−=

+−=

h

h

h

h

UNAM-FQ-DFyQT

Separable en dos subsistemas

32

23

22

32

φφφ

φφφ

mcdx

dciE

mcdx

dciE

+−=

+−=

h

h

42

14

12

41

φφφ

φφφ

mcdx

dciE

mcdx

dciE

+−=

+−=

h

h

022

42

2

2

=−+ ii

c

cmE

dx

d φφh

22

242

22

242

21hh c

Ecmix

c

Ecmix

i eCeC−−−

+=φ

−+

−= xc

EcmKx

c

EcmsenKi 22

242

222

242

1 coshh

φ

UNAM-FQ-DFyQT

Condiciones a la frontera

( ) ( ) 221 0cos00)0( KKsenKi =+==φ

( )00)( 1senKLi ==φ

0)( 22

242

1 =

−= Lc

EcmsenKLi

hφ NnnL

c

Ecm ∈∀=− 22

242

πh

2

22242

4L

hcncmE −±=

−−±= 2

2

22242

4' mc

L

hcncmE

=L

xnsen

Lxi

πφ 2)(

UNAM-FQ-DFyQT

Límite no relativista-Partícula en una caja L = 1.2, m = 5, 10 niveles

Nivel de energía

Ene

rgía

, har

tree

s

Relativista

No relativista

UNAM-FQ-DFyQT

Límite no relativista-Partícula en una caja L = 1.2, m=5, 17 niveles

Nivel de energía

Ene

rgía

, har

tree

s

Relativista

No relativista

Divergencia

UNAM-FQ-DFyQT

Para profundizar en el tema• Libros introductorios. Base de la presentación:- Apuntes del curso de mecánica cuántica de Marcos Moshinsky.

Elpidio Chacón. Prensas de Ciencias. UNAM.- Principles of Quantum Mechanics. R. Shankar.

Profundizar en simetría y supersimetría de esta formulación.• The Dirac Equation. Bernd Thaller.

“Simplificación” al caso no relativista. • The Foldy-Wouthuysen Transformation. Del libro Relativistic

Quantum Mechanics. J. D. Bjorken.

Primeros pasos más allá de esta formulación.• Quantum Field Theory in a nutshell. A. Zee. Princeton

University PressUNAM-FQ-DFyQT

Muchas gracias

Espín y relatividad (especial)