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Extremos de funciones de varias variables

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

1.- Se va a construir un almacén de 500 m3 de volumen con forma de paralelepípedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefacción ascenderá, lo que supondrá una pérdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la pérdida de calor a través de las 4 paredes laterales es, por unidad de área, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacén que minimizan las pérdidas de calor y en consecuencia el coste de calefacción.

2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 1,2,3P0 y que corta a los

semiejes coordenados OY ,OX y OZ determinando un tetraedro de volumen mínimo.

3.- Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos en 2R de la función: 1y2yxxy,xf 22

4.- Consideremos una placa circular de radio 22 y centro en el origen. La temperatura en cada punto P(x, y) de la placa viene dada por xyyxyxT 3, 33 ; localizar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.

5.- Un cuerpo está limitado por la superficie 1zyx 222 . La densidad del cuerpo

depende de cada punto: yzxzxyzyx6z,y,xD . Hallar los puntos del cuerpo en los cuales es máxima o mínima la densidad así como el valor de ésta en ellos.

6.- Sea c la curva intersección de las dos superficies: 1zyxyx 222 , 1yx 22 . Hallar los puntos de c que están más próximos al origen.

7.- Hallar el máximo de la función y2x3y,xf en la región

0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restricción xy + x + y = 5.

8.- Estudiar los valores extremos de la función x12y9x2z 23 sometidos a la condición x + y = 0.

9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 8 m3 y área mínima.

10.- Encontrar los puntos donde la función f(x, y) = x2 + y2- xy - x - y alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en el recinto: A = 3y x,0y ,0x/Ry,x 2 .

11.- Consideremos la función 2222),( yxeyxyxf para 0 , se pide:

a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla.

b) Lo mismo para =-1, = 2



c) Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condición)

12.- Se ha de construir una conducción de agua desde P hasta S. La construcción tiene coste diferente según la zona (ver figura 1). Usar multiplicadores de Lagrange para hallar x, y, z tales que el coste C sea mínimo, supuesto que el coste por km es 300€ entre P y Q, 200€ entre Q y R y 100€ entre R y S

13.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular: a) Las dimensiones r, h de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 100 m3 y área mínima. b) Las dimensiones r, h de un depósito como el de la figura 1, de volumen 100 m3 y área mínima. c) Comenta los resultados anteriores

14.- Hallar los puntos críticos de la función 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla.

15.- Una sección cónica C se obtiene mediante la intersección del cono z2 =x2+ y2 con el plano z= 1+x+y. Hallar los puntos de la cónica C que están más próximos y más lejanos del origen.

16.- A continuación se dan las derivadas de segundo orden de una función z = f(x,y) diferenciable que verifica el teorema de Schwarz. Se supone que en (x0, y0) las derivadas parciales se anulan, decidir, en cada caso, si en (x0, y0) hay un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto de silla o si la información es insuficiente.

a) 5y,xf 00xx , xy 0 0f x , y 5 , yy 0 0f x , y 4

b) 9y,xf 00xx , 5y,xf 00xy , yy 0 0f x , y 6

c) 4y,xf 00xx , 7y,xf 00xy , 16y,xf 00yy

d) xx 0 0f x , y 9 , xy 0 0f x , y 6 , yy 0 0f x , y 4

17.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y Hallar el número de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máximos.

18.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular la distancia mínima del punto P(2,1,1):

a) a la superficie z2 = x2 + y2 b) al plano x + y + z = 1

Figura 1

2km

1km

x y z

10 km

P

Q

R S



19.- Un contenedor (sin tapa) en forma de paralelepípedo ha de tener un volumen de 18m3. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones que hacen mínimo su coste, sabiendo que la base cuestan 5€ el m2, y los laterales 3€ el m2

20.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y. Hallar el número de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máximos.


a) a la superficie z = x2 + y2 b) al plano 4x + 4y + z = 1

22.- El material de la base de una caja abierta cuesta 1,5€ m2 y el de los laterales 1€ m2. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse para un coste C=100€

23.- a) Razonar, sin hacer cálculos, si la función f(x, y) = 22 yx alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región R limitada por el triángulo de vértices P1 (-1, 0), P2 (1,0) y P3 (0,1), incluyendo los lados del triángulo. b) Calcular dichos valores extremos, caso de que existan, así como los puntos en donde se alcanzan.

24.- Una compañía petrolífera va a construir un oleoducto desde la plataforma petrolífera A, situada 4 millas mar adentro, hasta la refinería B, 2 millas tierra adentro, además entre la línea de playa y la línea de la refinería hay una zona de dunas (ver figura) y la distancia entre A y B son 10 millas. Cada milla de oleoducto por el mar cuesta tres millones de euros, por la zona de dunas 5 millones y por la tierra 2 millones. Por tanto, el coste del oleoducto depende de los puntos P y R elegidos. Se pide:

a) Hallar la ruta que hace mínimo el coste de construcción. b) Calcular dicho coste.

25.- Estudiar los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función xyy,xf 2 , en el círculo cerrado de centro (0, 0) y radio 2.

B

A

P

R

4 millas

2 millas

x y z

8 millas

C



26.- Sea k una constante real y sea la superficie de ecuación 22 kyxy3x)y,x(f Se pide:

a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crítico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mínimo relativo en (0,0).

27.- a) Consideremos la función g(,,) =cos cos cos , sujeta a la restricción de que ,, son los tres ángulos de un triángulo plano. Aplicar multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de ,, que hacen máximo el valor de g.

b) Hallar los puntos críticos de la función 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla.

28.- Una canaleta de desagüe con sección transversal en forma de trapecio se hace doblando hacia arriba las orillas de una hoja de aluminio de 60 cm de ancho. Hallar la sección transversal de mayor área.

29.- Estudiar los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función xyy,xf 2 , 2Ry,x .

30.- Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x2 + 4y2 = 4 a la recta x + y = 4.

31.- Hallar las dimensiones del recipiente de embalaje abierto por arriba más económico de 96 metros cúbicos de capacidad, sabiendo que la base cuesta 30 céntimos por metro cuadrado y los laterales 10 céntimos por metro cuadrado. Nota: se supone que el embalaje tiene forma de prisma recto.

32.- Se considera la función y3x2xyy,xf definida en la región

x2y0 4,x0Ry,xS 2 / . Se pide: a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.

33.- Calcular el volumen de la caja rectangular más grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x+2y+3z = 6.

34.- Se considera la función f x, y xy 4x y .

a) Estudiar la existencia de máximos y mínimos relativos de f en R2. b) Estudiar la existencia de máximos y mínimos absolutos de f en R2. c) Sea la región 2S x, y R / 0 x 4, 0 y 5 x . Se pide:

i.Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. ii.Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.



35.- Se quiere fabricar un depósito de almacenamiento con el menor coste posible. a) Hallar las dimensiones que ha de tener el depósito si se quiere que su

capacidad sea de 1000 metros cúbicos, sabiendo que el material para construir el suelo cuesta 40 euros por metro cuadrado y el de las paredes 10 euros por metro cuadrado.

b) Hallar dicho coste mínimo. Nota: se supone que el depósito tiene forma de prisma recto sin tapa.

36.- Sea z = f(x, y) una función definida en una región D del plano con derivadas parciales continuas hasta el orden 2. Sea 0P un punto del interior de la región. Para

cada una de las afirmaciones siguientes, decir si son verdaderas o falsas: a) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces, 0x Pf = 0y Pf = 0.

b) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces necesariamente el

Hessiano de f en 0P es H( 0P ) 0 .

c) Si f alcanza su mínimo absoluto “m” en un punto Q de la frontera de D, entonces Qfx = Qf y = 0

d) Si la región D es cerrada y acotada, entonces, f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región.

37.- Se considera la función y3x2xyy,xf definida en la región:

3xy0 ,0x3 / Ry,xS 2 a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.

38.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es 22 yx

x3)y,x(T

.

a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1). b) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de

la bisectriz del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la

temperatura a lo largo de la curva

tcosy

sent 2x.

e) Si la cota de error en la medida de “x” es de %1 y en la de “y” es de %2 , hallar el máximo error propagado de T en P.

39.- Calcular y clasificar los puntos críticos de la función z = x3 +3xy2 – 3x + 1.

40.- Estudiar los máximos y mínimos relativos de la función 3 2f (x, y) x 3x (y 1)

41.- Hallar los extremos relativos de 2 22 2 1 x yz x 2y e



42.- Sea la función real 3 3f (x, y) x y 2xy . Hallar los extremos relativos de f en el plano.

43.- Sea la ecuación 3 3 32z x y 6xy 2z 4 0 . Hallar los extremos relativos de la función F(x,y,z)=0 definida por la ecuación dada.

44.- Hallar el volumen máximo de un ortoedro sabiendo que la suma de las longitudes de sus aristas es 12.

45.- Hallar los extremos absolutos de la función f(x,y) = 2 22 2x ye x 2y en la región

2 2x y 4

46.- Hallar los extremos absolutos de la función 1y1x

xy4)y,x(f

22 en la región

1yx , 0y , 0x /Ry,xR 222

47.- Encontrar el máximo de la función f(x, y, z)=x+2y+3z sobre la curva intersección del plano x – y + z = 1 y el cilindro x2+y2=1

48. Calcular los máximos y mínimos de : z = x2 – 2xy2 + y4 – y5



1.- Se va a construir un almacén de 500 m3 de volumen con forma de paralelepípedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefacción ascenderá, lo que supondrá una pérdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la pérdida de calor a través de las 4 paredes laterales es, por unidad de área, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacén que minimizan las pérdidas de calor y en consecuencia el coste de calefacción. Solución: Llamemos x, y, z a las dimensiones del almacén (ancho, largo y alto, respectivamente), y “p” la pérdida de calor por unidad de suelo. La pérdida de calor del almacén f(x, y, z) será la suma de la pérdida de calor por el suelo más pérdida de calor por el techo más pérdida de calor por las paredes:

f x, y,z p·x·y 5·p·x·y 6·p·z· x y

Como el volumen es 500 = x y z, sustituimos z por 500/xy:

500f x, y p·x·y 5·p·x·y 6·p· · x y

x y

2

2

2

2

f 6p(x y 500)0

x x

f 6p(xy 500)0

y y

3 3 3x 5 4, y 5 4 z 5 4

Considerando sólo la solución real. Segundo método, con multiplicadores de Lagrange:

x

y

z

H(x, y,z, ) f x, y,z 500 xyz =pxy +5pxy 6pz x+y 500 xyz

H y· 6·p ·z 6·p·z 0

H x· 6·p ·z 6·p·z 0

H x· 6·p ·y 6·p·y 0

H 500 xyz 0

Considerando sólo la solución real se obtiene: 3 3 3x 5 4, y 5 4 z 5 4

y

x z



2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 1,2,3P0 y que corta a los

semiejes coordenados OY ,OX y OZ determinando un tetraedro de volumen mínimo.

Solución:

cb2a3d0dcb2a31,2,3P

0dczbyax

0

0cb2a3czbyax .

Corte con OX :

0,0,a

cb2a3M

a

cb2a3x

0cb2a3ax

0z

0y

Corte con OY :

0,b

cb2a3,0N

b

cb2a3y

0cb2a3by

0z

0x

Corte con OZ:

c

cb2a3,0,0P

c

cb2a3z

0cb2a3cz

0z

0y

El volumen pedido es:

hA 3

1V base

ONOM 2

1AA OMNbase

OPh

3cb2a3abc6

1

c

cb2a3

b

cb2a3

a

cb2a3

6

1OPONOM

2

1

3

1V

0

a

cb2a6

abc6

cb2a3

a

1cb2a33cb2a33

a

1

bc6

1

a

V 2

2

32

0

b

cb4a3

abc6

cb2a3

b

1cb2a32cb2a33

b

1

ac6

1

b

V 2

2

32

0

c

c2b2a3

abc6

cb2a3

c

1cb2a31cb2a33

c

1

ab6

1

c

V 2

2

32

Como 0cb2a3 (en caso contrario, sería V = 0), ha de ser:

b2c

bb

b3

2a

0c2b2a3

0cb4a3

0cb2a6

Haciendo, por ejemplo, b = 3, se obtiene: a = 2, c = -6, cb2a3d = -18. La ecuación del plano pedido es: 018z6y3x2 .

O

M (9,0,0)

P (0,0,-3) OX

OY

OZ

N (0,6,0)



3.- Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos en 2R de la función: 1y2yxxy,xf 22

Solución:

1- ,2

1P-1y ,

2

1x

02y2y

f

01x2 x

f

. 4

11 ,

2

1f

2 x

f 2

2

, 0 xy

f 2

,

2y

f 2

2

0420

021 ,

2

1H

Luego, 0P x

f 2

2

y 0PH . Por tanto, f tiene un máximo relativo en P. ¿Es también

máximo absoluto? Completando cuadrados en la expresión de f, queda:

Pf4

1

4

11y

2

1xy,xf 2

2

Luego, efectivamente f posee máximo absoluto en P y vale 4

1.

¿Tiene f mínimo absoluto? 1y2yy,0f 2 que tiende a cuando y . En consecuencia, no existe mínimo

absoluto de la función f.



4.- Consideremos una placa circular de radio 22 y centro en el origen. La temperatura en cada punto P(x, y) de la placa viene dada por xyyxyxT 3, 33 ; localizar el punto más caliente y el punto más frío de la placa. Solución: Extremos relativos en el interior:

1,1P ,0,0P0x3y3

y

f

0y3x3 x

f

212

2

Ambas soluciones (puntos críticos) son válidas por encontrarse en el interior del círculo de

radio 22 .

Extremos de f en la frontera (circunferencia de radio 22 ):

8yxxy3yx),y,x(H 2233

08yxH

0y2x3y3H

0x2y3x3H

22

2y

2x

13 ,13Py 13- ,13P ,2,2P ,2 ,2P 6543 .

26Pfy 26Pf ,4Pf ,28Pf ,1Pf ,0Pf 654321 .

Por tanto, el valor máximo absoluto de f en C es 28 y lo alcanza en el punto 2 ,2P3 ,

mientras que valor mínimo absoluto de f en C es – 26 y lo alcanza en los puntos

13 ,13Py 13- ,13P 65 .



5.- Un cuerpo está limitado por la superficie 1zyx 222 . La densidad del cuerpo

depende de cada punto: yzxzxyzyx6z,y,xD . Hallar los puntos del cuerpo en los cuales es máxima o mínima la densidad así como el valor de ésta en ellos. Solución: Máximos y mínimos de D en el interior del cuerpo:

2

1,

2

1,

2

1P

0yx1z

D

0zx1y

D

0zy1 x

D

1 es el único punto crítico de D.

Este punto está en el interior del cuerpo por ser 14

3

2

1

2

1

2

1222

Extremos de f en la frontera (superficie esférica de radio1):

2 2 2

x

y2 2 2

z

2 2 2

H(x, y,z, ) D x, y,z x y z 1

H 1 y z 2 x 0

H 1 x z 2 y 06 x y z xy xz yz x y z 1

H 1 x y 2 z 0

H x y z 1 0

,3

1

3

2,

3

2P,

3

2

3

2,

3

1P,0,0,1P,1,0,0P 5432

, ,

3

3

3

3,

3

3P6 , ,

3

3

3

3,

3

3P7 , y P(x,y,z) tal que 1zyx , 0zz)1z(yy 22 , que

además han de cumplir la condición 1zyx 222 . La densidad en uno de estos puntos es D(P) = 5, ya que:

5112

116zyxzyx

2

1zyx6PD 22222

En el resto de los puntos candidatos, la densidad vale:

5.337Pfy 8.737PD 2,...,5,i 5,PD 5.25,4

21PD 76i1 .

Por tanto, el valor máximo de la densidad en este cuerpo es 37 y lo alcanza en el punto

3

3,

3

3,

3

3P6 , mientras que la densidad mínima es 5 y se alcanza en los puntos

2,...,5i ,Pi y P(x,y,z) tal que 1zyx , 0zz)1z(yy 22 , 1zyx 222 .



6.- Sea c la curva intersección de las dos superficies: 1zyxyx 222 , 1yx 22 . Hallar los puntos de c que están más próximos al origen. Solución: Se trata de minimizar la función distancia de un punto (x, y, z) al origen (0,0,0), o bien la distancia al cuadrado:

2222 zyx0,0,0,z,y,xd)z,y,x(f Con la condición de que el punto (x, y, z) pertenezca a la curva c, es decir, verifique las ecuaciones de las dos superficies (tenemos, entonces, dos restricciones). La función lagrangiana es:

1yx1zyxyxzyx),,z,y,x(H 22222222

1 2

x3 4

y

5 6z

2 2 2

2 2 7 8

P (0,1,0) P (0, 1,0)H y 2x( 1) 0

P (1,0,0) P ( 1,0,0)H x 2y( 1) 0

2 2 2 2 2 2P , , P , ,H 2z( 1) 0

2 2 2 2 2 2H x xy y z 1 0

2 2 2 2 2 2P , , P , ,H x y 1 0 2 2 2 2 2 2

Considerando sólo las soluciones reales f(P1)= f(P2)=f(P3)=f(P4)=1 f(P5)= f(P6)=f(P7)=f(P8)=3/2>1 La mínima distancia se alcanza en los puntos P1, P2, P3 y P4, y dicha distancia vale 1.



7.- Hallar el máximo de la función y2x3y,xf en la región

0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restricción xy + x + y = 5.

Solución: La ecuación xy + x + y = 5 corresponde a una curva que, restringida al primer cuadrante S, constituye un conjunto cerrado y acotado del plano. Por tanto puede asegurarse que f alcanza sus valores máximo y mínimo en dicho arco de curva por ser continua en él. Función lagrangiana:

5yxxyy2x3),y,x(H

05yxxyH

0x2H

0y3H

y

x

4,3P ,2 ,1P 21 .

Solamente el punto 1P se encuentra en la región S. Valor de f en dicho punto: 7Pf 1 . Parece que el valor máximo pedido fuera 7, al no obtener ningún otro resultado; sin embargo, f(0, 5) = 10 > 7 y (0, 5) cumple la condición y pertenece a S. Luego, 1P (1, 2) NO proporciona el máximo buscado. La gráfica de la restricción es:

Los puntos 0,5P3 y 5,0P4 están en la frontera de S y, por

tanto, no tenían porqué aparecer entre los puntos críticos de la función lagrangiana; pero, son también candidatos a estudiar: 15Pf 3 , 10Pf 4

Luego, el máximo de la función y2x3y,xf en la región

0y ,0x/Ry,xS 2 bajo la restricción xy + x + y = 5 es

15 y se alcanza en el punto 0,5P3 .



8.- Estudiar los valores extremos de la función x12y9x2z 23 sometidos a la condición x + y = 0. Solución: Función lagrangiana:

0yxH

0y18H

012x6H

yxx12y9x2),y,x(H y

2x

23

2,2P ,1 ,1P 21 ; 4Pf ,5Pf 21 Podría pensarse que en 1P se alcanza el mínimo y en 2P el máximo de f sobre la recta

0yx , pero, esto no es así ya que, sobre la recta, la función toma los valores:

12x9x2xx12x9x2x,xfxy0yx 223

12x9x2xlimx,xflim 2

xx

12x9x2xlimx,xflim 2

xx

Y, en consecuencia, puede afirmarse que la función no posee máximo ni mínimo sobre la recta x + y = 0. Hay que observar que la recta x + y = 0 no es un conjunto compacto (cerrado y acotado) del plano y, por tanto, aunque f es continua, no podía asegurarse que la función fuera a alcanzar valores extremos en dicha recta.



9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 8 m3 y área mínima. Solución:

V = volumen, A = área, BA = área de la base, LA = área lateral x = radio de la base, y = altura La función a minimizar es y,xfxy2xAAA 2

LB , con la

condición V = 8y xyA 2B , es decir, 08y x 2 .

Función lagrangiana:

12Pf ;2,2P

08yxH

0xx2H

0xy2x2y2H

8yxxxy2),y,x(H2

2y

x

22

¿Realmente 12 es el valor del área mínima? Tiene sentido la pregunta, pues la hipérbola 08yx 2 , en su rama x > 0, y > 0, no es un conjunto compacto del plano.

Analicemos cuánto vale la función en los puntos de la hipérbola:

x

x16

x

8x2x

x

8,xf

x

8y

3

22

22

x

x16lim

3

0x,

x

x16lim

3

x

Luego, efectivamente, 12 es el valor del área mínima.

x

y



10.- Encontrar los puntos donde la función f(x, y) = x2 + y2- xy - x - y alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en el recinto: A = 3y x,0y ,0x/Ry,x 2 .

Solución: Como f es continua en A, y éste es un conjunto compacto del plano, f alcanza sus valores extremos absolutos en A. Puede alcanzarlos en el interior o en la frontera. Extremos relativos en el interior de A:

1,1P01xy2

y

f

01yx2 x

f

1

es el único punto crítico de f en el

interior de A; 1Pf 1 . Extremos de f en la frontera (los tres lados del triángulo):

1) En el lado sobre el eje OX: 3x0 ,0y / Ry,xL 21

Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si 1Ly,x , f(x, y) = xf1 = x2 – x, 3,0x . Se trata de buscar los extremos absolutos de esta función de una variable en el compacto [0, 3].

Puntos críticos en el interior (0, 3):

0,

2

1P

2

1x01x2x'f 21 ;

4

1Pf

2

1f 21

En los puntos frontera 3 ,0 : 0,0P3 , 0,3P4

0Pf0f 31 ; 6Pf3f 41

2) En el lado sobre el eje OY: 3y0 ,0x / Ry,xL 2

2 Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si 2Ly,x , f(x, y) = yf2 = y2 – y, 3,0y . Procedamos como en el lado anterior.

Puntos críticos en el interior (0, 3):

2

1,0P

2

1y01y2y'f 52 ;

4

1Pf

2

1f 52

En los puntos frontera 3 ,0 : 0,0P3 , 3,0P6

0Pf0f 32 ; 6Pf3f 62

3) En el lado 3yx,0y,0x / Ry,xL 2

3

Podría analizarse como en los dos lados anteriores, reduciendo el problema al caso de una variable, o bien, utilizando multiplicadores de Lagrange. Emplearemos este último método. Función lagrangiana:



3yxyxxyyx),y,x(H 22

03yxH

01xy2H

01yx2H

y

x

2

3,

2

3P7 ;

4

3Pf 7 .

Los puntos frontera de este lado ya están considerados antes: 0,3P4 , 3,0P6 .

Por tanto, el valor máximo absoluto de f en A es máx 64

3 ,6 ,0 ,

4

1 ,1

y lo alcanza

en dos puntos de la frontera del recinto 0,3P4 y 3,0P6 , mientras que el valor

mínimo absoluto de f en A es mín 14

3 ,6 ,0 ,

4

1 ,1

y lo alcanza en el punto

1,1P1 del interior del recinto.



11.- Consideremos la función 2222),( yxeyxyxf para 0 , se pide:

a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla. b) Lo mismo para =-1, = 2 c)Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condición) Solución:

a) 2222 2),( yxeyxyxf f es una función diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones diferenciables, luego los extremos han de ser puntos críticos de f:

122 2222

yxxe

x

f yx = 0

222 2222

yxyey

f yx = 0

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones se obtienen los puntos:

(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) Para discernir cuáles de ellos son extremos o puntos de silla aplicamos el criterio de la derivada segunda. Hallamos las derivadas de segundo orden de f:

2 224 2 2 2

22 2 4 5 2 1

x yf

e x x y yx

2 22

2 24 2 3

x yfxye x y

x y

2 22

2 2 4 22

2 2 1 2(2 5 1)

x yfe x y y y

y

Construimos el hessiano de f

2 2

2

2 2

2

( )

f f

x y xH f

f f

x y y

y hallamos su valor en cada punto crítico

H(f(0,0))= 8> 0 y 2

2

x

f

(0,0) = 2> 0, luego f presenta en (0,0) un mínimo relativo cuyo

valor es f(0,0)= 0 (es mínimo absoluto pues f(x, y) 0 para cualquier ((x, y) R2).

H(f(0,1)) = 2

16

e> 0 y

2

2

x

f

(0,1) = e

2< 0, luego f presenta en (0,1) un máximo

relativo cuyo valor es f(0,1)= e

2.



H(f(0,-1)) = 2

16

e> 0 y

2

2

x

f

(0,-1) = e

2< 0, luego f presenta en (0,-1) un máximo

relativo cuyo valor es f(0,-1)= e

2.

H(f(1,0)) = 2

8

e

< 0, luego f presenta en (1,0) un punto de silla y f(0,0)=

e

1.

H(f(-1,0)) = 2

8

e

< 0, luego f presenta en (-1,0) un punto de silla y f(0,0)=

e

1.

b) 2222 2),( yxeyxyxf y, al igual que en el apartado anterior, f es una función diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones

diferenciables, luego los extremos han de ser puntos críticos de f:

122 2222

yxxe

x

f yx = 0

222 2222

yxyey

f yx = 0

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones se obtienen los puntos: (0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) que comprobamos son

los mismos que en el apartado a) Siguiendo el mismo proceso hallamos las derivadas de segundo orden de f , construimos el

hessiano de f

2 2

2

2 2

2

f f

x y xH(f )

f f

x y y


H(f(0,0) )= -8< 0 luego f presenta en (1,0) un punto de silla y f(0,0)= 0.

H(f(0,1)) = 2

48

e> 0 y

2

2

x

f

(0,1) = e

6< 0, luego f presenta en (0,1) un máximo

relativo cuyo valor es f(0,1)= e

2.

H(f(0,-1)) = 2

48

e> 0 y

2

2

x

f

(0,-1) = e

6< 0, luego f presenta en (0,-1) un máximo

relativo cuyo valor es f(0,-1)= e

2.

H(f(1,0)) = 2

24

e>0, y

2

2

x

f

(1,0) = e

4> 0, luego f presenta en (1,0) un mínimo relativo

cuyo valor es f(1,0)= e

1 .

H(f(-1,0)) = 2

24

e>0, y

2

2

x

f

(-1,0) = e

4> 0, luego f presenta en (-1,0) un mínimo

relativo cuyo valor es f(-1,0)= e

1 .



c) Para y tales que 0 , 2222),( yxeyxyxf sigue siendo una función

diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones diferenciables, y los puntos críticos de f:

2 22 2( , )

2

x yf x yx x y e

x

2 22 2( , )

2

x yf x yy x y e

y

Resolviendo el sistema y eliminando aquéllas soluciones que contemplan =0, o bien, =0, o bien =, quedan como puntos críticos exactamente los mismos que los apartados anteriores

(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) y aplicando el criterio de la derivada segunda identificaríamos los extremos igual que en los apartados a) y b)



12.- Se ha de construir una conducción de agua desde P hasta S. La construcción tiene coste diferente según la zona (ver figura 1). Usar multiplicadores de Lagrange para hallar x, y, z tales que el coste C sea mínimo, supuesto que el coste por km es 300€ entre P y Q, 200€ entre Q y R y 100€ entre R y S Solución: La función que proporciona el coste de la construcción entre P y Q es:

C(x, y, z) = zyx 10012004300 22 ,

además x, y, z tienen la restricción x + y + z = 10, luego la función lagrangiana es:

2 2( , , , ) 300 4 200 1 100 - ( 10) H x y z x y z x y z

2

x 2

2

y 2

z

300x x 4 2H 0 xx 4 2

3200y y 1 yH 0

3y 12 3H 100 0 z 10

2 3H x y z 10 0

Aproximando estos valores se obtiene: x 0,70711 km= 707,11m, y 0,57735 km= 577,35m, z 8,71554 km= 8715,4 m.

2km

1km

x y z

10 km

P

Q

R S



13.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular: a) Las dimensiones r, h de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 100 m3 y área mínima. b) Las dimensiones r, h de un depósito como el de la figura 1, de volumen 100 m3 y área mínima. c) Comenta los resultados anteriores Solución:

a) El área total del depósito es rhrAAA LB 22 , y su

volumen V= 100 2 hrhAB

La función a minimizar es, por tanto, rhrhrf 2),( 2 , sujeta a la

restricción 0100 2 hr

La función lagrangiana es 1002),,( 22 hrrrhhrH

0100

02

0222

2

2

hrH

rrH

rhrhH

h

r

tomando solo la solución con valores reales se obtiene

r = h = 3100

m 3,169m, y para estos valores el área es A = 3 10 30 m2 94,66 m2.

Nota: al no ser la curva 0100 2 hr un conjunto compacto del plano (dibújala con Derive) podemos preguntarnos ¿realmente el valor obtenido corresponde a un mínimo absoluto? Respuesta: No podemos asegurar que es el mínimo absoluto pero sí que es un mínimo relativo. Si utilizamos, para resolver el ejercicio, el procedimiento clásico, despejando la

variable y en la ecuación de la condición 0100 2 hr 2

100

rh

r

r

rrr

rrf

3

22

2

2001002

100,

Los puntos críticos de esta función son

0

0)('

r

rf

0

0200

22

rr

r

0

1003

r

r y para

estos valores

2

23

m 0

m 10 30

A

A, luego r= 0 no es válido en el contexto del problema.

Por otro lado, la segunda derivada en estos puntos 2400

)(''3r

rf no está definida en r=0

y toma valor positivo en el valor que habíamos obtenido con el procedimiento de Lagrange.

r

h

Figura 1



b) La superficie de un depósito como el de la figura tiene por área A= 242 rrh

Su volumen es V = 32

3

4rhr

La función a minimizar es, por tanto, 242),( rrhhrf , sujeta a la restricción 32

3

4rhr = 100

La función lagrangiana es

100

3

442),,( 322 rhrrrhhrH

01003

4

02

04282

32

2

2

rhrH

rrH

rrhrhH

h

r

tomando solo la solución con valores reales se

obtiene

h= 0, r = 375

m 2,88m, y para estos valores el área es A = 3 45 20 m2 104,19 m2.

c) En el apartado a) se obtiene que el depósito de menor área es el de sección cuadrada y en el apartado b) el depósito de menor área es aquel en que la parte cilíndrica es nula quedando solo la esfera que como todos sabemos, y en este apartado se comprueba, es el cuerpo de mayor volumen con menor área. En consecuencia, si a pesar de todo queremos construir un depósito con la forma de la figura 1 con cilindro y 2 semiesferas, hemos de tomar r = h en el volumen

32

3

4rrr = 100,

despejando r se obtiene r = 314700

7

1

y el área sería

A= 3 630 7

60 107,62 m2.

Figura 1



14.- Hallar los puntos críticos de la función 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla. Solución:

Dada 2222 41 yxxyz , sus puntos críticos son aquellos donde sus derivadas parciales se anulan o no existen. En este caso, por tratarse de una función polinómica, z es diferenciable en todo R2, y sus derivadas también son funciones polinómicas (diferenciables en R2).

2 22 2 2 2

1 2 32 22 2 2

y x 1 x y 4 4x y 4y 8 2y 01x

P 0,0 ; P 1, 4 ; P , 22y x 1 x y 4 2 2x y 2 2xy y 0

y

Tomando únicamente las soluciones reales, se obtienen los siguientes puntos críticos:

P1(0,0), P2(1,-4), P3(1/2,-2) Para estudiar cuáles corresponder a extremos y cuáles a puntos de silla aplicamos el criterio de la segunda derivada.

22 22 2 2

2

22 22 2

22 22 2

22 22 2 2

2

y x 1 x y 4 4 y 4y 8x

y x 1 x y 4 4 2x y 2 yy x

y x 1 x y 4 4 2x y 2 yx y

y x 1 x y 4 2 2x 2x 1y

2

2

4 y 4x 8 4 2x y 2 yH(x, y)

4 2x y 2 y 2 2x 2x 1

2

2

4 0 4·0 8 4 2·0 0 2 0 32 0H(0,0) 64

0 24 2·0 0 2 0 2 2·0 2·0 1

2

2

4 ( 4) 4( 4) 8 4 2·1 4 2 4 32 0H(1, 4) 64

0 24 2·1 4 2 4 2 2·1 2·1 1

2

2

14 ( 2) 4( 2) 8 4 2· 2 2 2

2 16 81H( , 2) 48

8 12 1 1 14 2· 2 2 2 2 2· 2· 1

2 2 2



Observando el valor del hessiano y de 2

2

x

z

en cada punto deducimos que:

H(P1)=64>0, 1

2

2

Px

z

=32 > 0 en P1(0,0) la función presenta un mínimo relativo cuyo

valor es f(0,0)=0

H(P2)=64>0,1

2

2

Px

z

=32 > 0 en P2(1,-4) la función presenta un mínimo relativo cuyo

valor es f(1,-4)=0 H(P3)= - 48 < 0, en P3(1/2,-2) la función presenta un punto de silla cuyo valor es

22,2

1

f



15.- Una sección cónica C se obtiene mediante la intersección del cono z2 =x2+ y2 con el plano z= 1+x+y. Hallar los puntos de la cónica C que están más próximos y más lejanos del origen. Solución: Aplicando el método de los Multiplicadores de Lagrange, se trata de hallar los extremos de la distancia de un punto (x,y,z) al origen sujeto a dos condiciones: pertenecer al cono y al plano

Como función a minimizar usamos el cuadrado de la distancia al origen: x^

2 2 2( , , ) +y +z f x y z x

2 2 2 2 2 2H(x,y,z, ) x +y +z - (z x y ) x y z 1

x

y

z

2 2 2

2 2H 2x 1 0 x 1 x 12 2H 2y 1 02 2

H 2z 1 0 y 1, o bien, y 12 2

H (z x y ) 0 z 2 1 z 2 1H x y z 1 =0

sustituimos en la función a minimizar

2 2

22 2 2 21, 1, 2 1 1 + 1 + 2 1 =6-4 2

2 2 2 2

f

0.3431457505

2 2

22 2 2 21, 1, 2 1 1 + 1 + 2 1 =6+4 2

2 2 2 2

f

11.65685424 Luego el punto (√2/2 - 1, √2/2 - 1, √2 – 1) es el más próximo al origen y (- √2/2 - 1, - √2/2 - 1, - √2 – 1) es el más alejado.



16.- A continuación se dan las derivadas de segundo orden de una función z = f(x,y) diferenciable que verifica el teorema de Schwarz. Se supone que en (x0, y0) las derivadas parciales se anulan, decidir, en cada caso, si en (x0, y0) hay un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto de silla o si la información es insuficiente.

a) 5y,xf 00xx , xy 0 0f x , y 5 , yy 0 0f x , y 4

b) 9y,xf 00xx , 5y,xf 00xy , yy 0 0f x , y 6

c) 4y,xf 00xx , 7y,xf 00xy , 16y,xf 00yy

d) xx 0 0f x , y 9 , xy 0 0f x , y 6 , yy 0 0f x , y 4

Solución:

Construimos el hessiano de f :

2 2

2

2 2

2

( )

f f

x y xH f

f f

x y y

y hallamos su valor en cada punto

crítico a)

5 5( ) 5 0

5 4 H f

Luego f presenta en dicho punto un punto de silla b)

9 5( ) 29 0

5 6

H f y 0 0, 9 0 xxf x y

Luego f presenta en dicho punto un mínimo relativo c)

4 17( ) 15 0

17 16

H f y 0 0, 4 0 xxf x y

Luego f presenta en dicho punto un máximo relativo d)

9 6( ) 0

6 4

H f

La información es insuficiente



17.- Una industria fabrica un determinado producto en dos factorías. El coste de producción de x unidades en la primera factoría es C1(x)=0.02x2+4x+500 mientras que el coste de producción de y unidades en la segunda factoría es C2(y)=0.05y2+4y+275. El producto se vende a 15€ la unidad y el beneficio producido viene dado por la función

P(x,y)=15(x+y) - C1(x) - C2(y) Se pide hallar las cantidades x, y que debe producir cada factoría con el fin de que el beneficio obtenido sea máximo. Solución: La función a maximizar es los ingresos obtenidos menos los costes de producción: hallamos los puntos críticos y comprobamos cuál es el máximo

P(x, y) ( . ) ( . ) 2 215 x y 0 02x 4x 500 0 05y 4y 275

P 275 x0

x 275x 25P 110 y y 1100y 10

Construimos el hessiano de P:

2 2

2

2 2

2

P P 10

x y x 125H(P) 01 250P P 0

10x y y

y 2

2

P 10

x 25

Luego efectivamente para x=275, y=110 unidades producidas en cada factoría, se produce un beneficio máximo



18.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular la distancia mínima del punto P(2,1,1): a) a la superficie z2 = x2 + y2 b) al plano x + y + z = 1 Solución: La función a minimizar es la distancia entre dos puntos (o mejor su cuadradado) con la condición de que el punto desconocido pertenezca a la superficie dada a)

2 2 22f (x, y,z) d x,y,z , 2,1,1 x 2 y 1 z 1

2 2 2 2 2 2H(x, y,z, ) x 2 y 1 z 1 x y z

x

y

z

2 2 2

5 5x 1 x 1H 2x(1 ) 4 0 5 5

H 2y(1 ) 2 0 1 5 1 5y ,o bien, y

H 2z( 1) 2 0 2 10 2 10

1 5 1 5H x y z 0 z z2 2 2 2

2 2 2

5 1 5 1 5 5 1 5 1 5f 1 , , 1 2 1 1

5 2 10 2 2 5 2 10 2 2

0.8740320488 2 2 2

5 1 5 1 5 5 1 5 1 5f 1 , , 1 2 1 1

5 2 10 2 2 5 2 10 2 2

2.288245611 Luego la distancia mínima se obtiene para el primer punto obtenido y vale, aproximadamente, 0,847 unidades de longitud b) El razonamiento para el apartado b es análogo

2 2 2H(x, y,z, ) x 2 y 1 z 1 x y z 1

x

y

z

H 2x 4 0x 1

H 2y 2 0y 0

H 2z 2 0z 0

H x y z 1 0

2 2 2f 1,0,0 1 2 0 1 0 1 3

La distancia mínima a la superficie es, aproximadamente √3 unidades de longitud.



19.- Un contenedor (sin tapa) en forma de paralelepípedo ha de tener un volumen de 18m3. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones que hacen mínimo su coste, sabiendo que la base cuestan 5€ el m2, y los laterales 3€ el m2. Solución: La función a minimizar es la función coste (5xy + 6xz + 6yz) y la condición es el volumen de la caja (18= xyz), luego la función de Lagrange es:

H(x, y,z, ) 5xy 6xz 6yz xyz 18

x

y

z

H y(5 z) 6z 0

H x(5 z) 6z 0

H x(6 y) 6y 0

H xyz 18 0

3

3

3

3 100x

5

3 100y

5

100z

2



20.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R(x, y)= - 5x2- 8y2- 2xy + 42x +102y Hallar el número de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máximos. Solución:

( , ) 10x 2y 42 0

3

( , ) 6 2x 16y 102 0

R x yxx

R x y yy

Solo hemos obtenido un punto crítico, comprobamos que se trata de un máximo relativo Construimos el hessiano de R

2 2

2

2 2

2

R R

10 2x y xH(R) 156 0

2 16R R

x y y

y 2

2

R10 0

x

Luego efectivamente es un máximo relativo x = 3 e y = 6




a) la superficie z = x2 + y2 b) al plano 4x + 4y + z = 1

Solución: a)

2 2 22f (x,y,z) d x, y,z , 2,2,0 x 2 y 2 z 0

2 2 2 2 2 2H(x, y,z, ) x 2 y 2 z 0 x y z

x

y

z

2 2 2

H 2x(1 ) 4 0x 1 x 1H 2y(1 ) 4 0y 1 , o bien, y 1

H 2z(1 ) 0z 2 z 2

H x y z 0

La distancia mínima a la superficie es, 2 unidades de longitud como indica el cálculo siguiente

22 2f 1,1, 2 1 2 1 2 2 0 4 d 4 2

22 2f 1,1, 2 1 2 1 2 2 0 4 d 4 2

b) Con un razonamiento análogo, la función de Lagrange es:

2 2 2H(x, y,z, ) x 2 y 2 z 0 x y z 4 4 1

x

y

z

2 2 2

2xH 2x - 4 - 4 0

11H 2y - 4 - 4 0 2

yH 2z 0 11

5H x y z 0 z11

La distancia mínima al plano es, aproximadamente 2,6112 unidades de longitud como indica el cálculo siguiente:

2 2 22 2 5 2 2 5 75 75

f , , 2 2 0 d11 11 11 11 11 11 11 11

2.611164839



22.- El material de la base de una caja abierta cuesta 1,5€ m2 y el de los laterales 1€ m2. Se pide determinar, usando multiplicadores de Lagrange, las dimensiones de la caja de

mayor volumen que puede construirse para un coste C=100€

Solución: La función a maximizar es el volumen de la caja (V= xyz) y la condición es la función coste (1.5xy + 2xz + 2yz - 100), luego la función de Lagrange es:

H(x, y,z, ) xyz 1.5xy 2xz 2yz 100

x

y

z

y 2z 3 4 zH 0

2x 2z 3 4 z

H 02

H x(y 2 ) 2 y 0

H (1.5xy 2xz 2yz 100) 0

10 2x

3

10 2y

3

5 2z

3

Solo es válida la solución donde x,y,z presentan valores positivos pues han de ser metros lineales.



23.- a) Razonar, sin hacer cálculos, si la función f(x, y) = 22 yx alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región R limitada por el triángulo de vértices P1 (-1, 0), P2 (1,0) y P3 (0,1), incluyendo los lados del triángulo. b) Calcular dichos valores extremos, caso de que existan, así como los puntos en donde se alcanzan.

Solución: a) Como R es una región cerrada y acotada del plano y f es una función continua, f

alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región.

b) Estudio en el interior:

0y2f

0x2f

y

x O (0, 0) es el único punto crítico,

pero, no está en el interior de la región. En la frontera (lados del triángulo):

En la base del triángulo: y = 0, )0,0(O0x0x2)x('gx)x(g)0,x(f]1,1[x 2

Hay que considerar también los puntos frontera de la base: x = - 1 )0,1(P1 , x =1

)0,1(P2 . En el lado izquierdo: Es el segmento de la recta que pasa por los puntos )0,1(P1 y )1,0(P3 :

y = x + 1, ]0,1[x

2

1x02x4)x('h1x2x2)1x(x)x(h)1x,x(f 222

2

1,

2

1P

2

11

2

1y 4

Los puntos frontera de este lado son: )0,1(P1 y )1,0(P3 .

En el lado derecho, empleamos, para variar, el método de los multiplicadores de Lagrange: Es el trozo de recta que pasa por los puntos )0,1(P2 y )1,0(P3 :

y = -x + 1, es decir y + x – 1 = 0, ]1,0[x

H(x, y, ) = f(x, y) - g(x, y) = 22 yx - (y + x – 1)

2

1,

2

1P

2

1y ,

2

1x

01yxH

0y2H

0x2H

5y

x

Los extremos de este lado ya han aparecido antes. Calculamos el valor de f en cada uno de los puntos:

00,0f , 1Pf 1 , 1Pf 2 , 1Pf 3 , 2

1Pf 4 ,

2

1Pf 5

Por tanto, el valor máximo absoluto de f en la región R es 1 y se alcanza en los

puntos )0,1(P1 , )0,1(P2 y )1,0(P3 .

Y el valor mínimo absoluto de f en la región R es 0 y se alcanza en O(0, 0)

-1 1

1

R P1 P2

P3

P4 P5



24.- Una compañía petrolífera va a construir un oleoducto desde la plataforma petrolífera A, situada 4 millas mar adentro, hasta la refinería B, 2 millas tierra adentro, además entre la línea de playa y la línea de la refinería hay una zona de dunas (ver figura) y la distancia entre A y B son 10 millas. Cada milla de oleoducto por el mar cuesta tres millones de euros, por la zona de dunas 5 millones y por la tierra 2 millones. Por tanto, el coste del oleoducto depende de los puntos P y R elegidos. Se pide: a) Hallar la ruta que hace mínimo el coste de construcción. b) Calcular dicho coste.

Solución

a) Se trata de un problema de optimización (hallar los valores de las variables de una función para obtener un mínimo de la misma) para cuya solución podemos aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange. La función a minimizar es el coste de construcción zyxC ,, :

zyxzyxC 245163,, 22

La condición es que 8 zyx La función Lagrangiana es:

8245163,,, 22 zyxzyxzyxH

Resolviendo el sistema:

0H

0H

0H

0H

z

y

x

, se obtiene: 5

58x ,

21

214y , 8

5

58

21

214z millas.

b) Sustituyendo estos valores en la función coste: c = 1654212 34.11 millones de euros.

B

A

P

R

4 millas

2 millas

x y z

8 millas

C



25.- Estudiar los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función xyy,xf 2 , en el círculo cerrado de centro (0, 0) y radio 2.

Solución: Por ser el círculo cerrado unidad una región cerrada y acotada del plano, y ser f una función continua, está garantizada la existencia de máximo y mínimo absolutos en la región. Estos valores extremos pueden alcanzarse en el interior del círculo o en la circunferencia frontera.

a) En el interior

0y ó 0x0yx2f

0y0yf

y

2x , luego, todos los puntos de la forma P(x, 0) son puntos

críticos, para 2 ,2x .

0x20

00)P(H

x2f

0)P(fy2f

0f

yy

xyxy

xx

El criterio de la derivada segunda no decide

si hay valor extremo en P. Hay que estudiar cómo es la función en un entorno del punto P(x,0). Por la definición de f, es f (x, 0)=0

Si x = 0 P(0, 0)

A lo largo de la recta y = x, f(x, x) =

0 x si 0

0 xsi 0x 3

Luego (0, 0) es un punto de silla. Si 0 < x < 2, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x > 0.

E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy 2 = f (x, 0).

Luego f presenta un mínimo relativo en los puntos (x, 0), con 0 < x < 2; el valor del mínimo relativo es 0.

Si – 2 < x < 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x < 0.

E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy 2 = f (x, 0).

Luego f presenta un máximo relativo en los puntos (x, 0), con – 2 < x < 0; el valor del máximo relativo es 0.

b) En la frontera: La ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio 2 es: x2 + y2 = 4. Aplicamos multiplicadores de Lagrange:

2 2 2H(x, y, ) y x x y 4

1 22x

y 3 4

2 2

5 6

P (2,0) P ( 2,0)H y 2 x 0

2 3 2 6 2 3 2 6H 2y(x ) 0 P , P ,

3 3 3 3H x y 4 0

2 3 2 6 2 3 2 6P , P ,

3 3 3 3



2 3 2 6 16 3 2 3 2 6 16 3f 2,0 0;f 2,0 0;f , ;f , ;

3 3 9 3 3 9

2 3 2 6 16 3 2 3 2 6 16 3f , ;f , ;

3 3 9 3 3 9

Máximo absoluto en la región: 16·√3/9, lo alcanza en los puntos: (2·√3/3, 2·√6/3) y (2·√3/3,-2·√6/3). Mínimo absoluto en la región: -16·√3/9, lo alcanza en los puntos: (-2·√3/3, 2·√6/3) y (-2·√3/3,-2·√6/3).



26.- Sea k una constante real y sea la superficie de ecuación 22 kyxy3x)y,x(f Se pide: a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crítico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mínimo relativo en (0,0). Solución:

a) El origen es punto crítico de f:

2 2

2 2

x 3xy ky 2x 3y 0x

x 0; y 0x 3xy ky 3x 2ky 0

y

b) Valores de k para los que f presenta un mínimo relativo en (0, 0):

22 2

2

22 2

2

2 22 2

x 3xy ky 2x

x 3xy ky 2ky

x 3xy ky 3x y x y

El valor del Hessiano es 2 3H f x, y 4k 9

3 2k

Si 4k – 9 > 0 k > 9/4 H(f(x, y)) > 0 y fxx” > 0 f(x, y) para k > 9/4, presenta un

mínimo relativo.

Si 4k – 9 = 0 k > 9/4 2

2 2 2 29 3f (x, y) x 3xy ky x 3xy y x y 0

4 2

Luego, por ser f(0, 0) = 0 ≤ f(x, y) también para k=9/4, f presenta un mínimo relativo por definición (en realidad, es mínimo absoluto).



27.- a) Consideremos la función g(,,) =cos cos cos , sujeta a la restricción de que , , son los tres ángulos de un triángulo plano. Aplicar multiplicadores de Lagrange para hallar los valores de , , que hacen máximo el valor de g.

b) Hallar los puntos críticos de la función 2222 41 yxxyz y estudiarlos concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla. Solución: a) g(,,) =cos cos cos , es la función a maximizar y + + = es la condición, luego la función de Lagrange es, en este caso:

·cos·coscos),,,(H

0

0coscos

0coscos

0coscos

H

senH

senH

senH

Despejando en las 3 primeras ecuaciones e igualando las

2 primeras ecuaciones y la primera con la tercera se obtiene el siguiente sistema equivalente al anterior:

tgtg

tgtg

sensen

sensen

0

coscoscoscos

coscoscoscos

Ahora bien, las tangentes son iguales cuando los ángulos son iguales o se diferencian en , es decir,

, la segunda posibilidad no puede darse pues los ángulos de un triángulo

plano son menores de 180º (también esto sucede en triángulos esféricos), por lo que ha de suceder:

3

b) Dada 2 22 2z f (x,y) y x 1 x y 4 , sus puntos críticos son aquellos donde

sus derivadas parciales se anulan o no existen. En este caso, por tratarse de una función polinómica, z es diferenciable en todo R2, y sus derivadas también son funciones polinómicas (diferenciables en R2).

2 2

1 2 32

f4x(y 4y 8) 2y 0

1 xP 0,0 , P 1, 4 ,P , 2

f 22(2x (y 2) 2xy y) 0 y

Tomando únicamente las soluciones reales, se obtienen los siguientes puntos críticos: P1(0,0), P2(1,-4), P3(1/2,-2)



Para estudiar cuáles corresponder a extremos y cuáles a puntos de silla aplicamos el criterio de la segunda derivada. Construimos el hessiano de f

2 2

2 2

22 2

2

f f

x y x 4(y 4y 8) 4(2x(y 2) y)H(f )

4(2x(y 2) y) 2(2x 2x 1)f f

x y y


Observando el valor del hessiano y de 2

2

x

z

en cada punto deducimos que:

1

32 0H P 64 0

0 2 ,

1

2

2

Px

z

=32>0 en P1(0,0) la función presenta un mínimo

relativo cuyo valor es f(0,0)=0

2

32 0H P 64 0

0 2 ,

1

2

2

Px

z

=32>0 en P2(1,-4) la función presenta un mínimo

relativo cuyo valor es f(1,-4)=0

3

16 8H P 48 0

8 1 , en P3(1/2,-2) la función presenta un punto de silla cuyo

valor es 1

f , 2 22



28.- Una canaleta de desagüe con sección transversal en forma de trapecio se hace doblando hacia arriba las orillas de una hoja de aluminio de 60 cm de ancho. Hallar la sección transversal de mayor área. Solución:

Longitud de la hoja: 60 = b + 2 a Área de la sección transversal: A = b h + 2 (x h / 2) = (b + x) h = (60 – 2 a + a cos ) a sen Tenemos así expresada el área en función de las variables a (trozo de hoja que se dobla hacia arriba en cada lado) y (ángulo que se eleva el trozo a).

Se trata entonces de maximizar esta función de dos variables. Realizando los cálculos con DERIVE, se tiene que:

0 cos 2a4a-60

) 0, (pues absurdo 00) cos 2a4a-(60 sen

a

A

0 sen acos a cos a2 cos 60a

A 22

Resolviendo el sistema:

0 sen acos a cos a2 cos 60

0 cos 2a4a-6022

Se obtiene: a = 20 cm, = º603

b

h

a

x

20

º60

20 20



29.- Estudiar los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función xyy,xf 2 , 2Ry,x .

Solución:

Extremos relativos

0y ó 0x0yx2f

0y0yf

y

2x , luego, todos los puntos de la forma P(x, 0) son puntos

críticos.

0x20

00)P(H

x2f

0)P(fy2f

0f

yy

xyxy

xx

El criterio de la derivada segunda no decide si hay valor extremo en P. Hay que estudiar cómo es la función en un entorno del punto P(x, 0). Por la definición de f, es f (x, 0)=0

Si x = 0 P(0, 0)

A lo largo de la recta y = x, f(x, x) =

0 x si 0

0 xsi 0x 3

Luego (0, 0) es un punto de silla.

Si x > 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x > 0.

E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0).

Luego f presenta un mínimo relativo en los puntos (x, 0), con x > 0; el valor del mínimo relativo es 0.

Si x < 0, existe un entorno E de P(x, 0) tal que E)y,x( es x < 0.

E)y,x( se verifica que f(x, y)= 0xy2 = f (x, 0).

Luego f presenta un máximo relativo en los puntos (x, 0), con x < 0; el valor del máximo relativo es 0.

Extremos absolutos f(x, y) xy2 puede hacerse tan grande ó tan pequeño como se quiera (por ejemplo, a lo largo

de la recta y = x, f(x, y) =

xsi

xsi x 3 )

Luego, f no posee extremos absolutos.



30.- Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x2 + 4y2 = 4 a la recta x + y = 4. Solución: La función a optimizar es la distancia de un punto a una recta en el plano:

2 22

2 2

x y 4 (x y 4)f (x, y) d (P,r)

21 1

2

2(x y 4)

H(x, y, ) - 2

2 2x 4y 4

x

y 1 2

2 2

H x 1 2 y 4 04 5 5 4 5 5

H x y 1 8 4 0 P , ;P ,5 5 5 5

H x 4y 4 0

Distancia mínima: 2

4 5 54

5 54 5 5 21 21f , 4 5 d 4 5

5 5 2 2 2

102 2

2

Distancia máxima: 2

4 5 54

5 54 5 5 21 21f , 4 5 d 4 5

5 5 2 2 2

10

2 22

Al ser f(x,y) (distancia al cuadrado) una función continua en la elipse que es un conjunto cerrado y acotado, podemos asegurar que esas distancias obtenidas son las buscadas.



31.- Hallar las dimensiones del recipiente de embalaje abierto por arriba más económico de 96 metros cúbicos de capacidad, sabiendo que la base cuesta 30 céntimos por metro cuadrado y los laterales 10 céntimos por metro cuadrado. Nota: se supone que el embalaje tiene forma de prisma recto. Solución: Sean x, y, z las medidas del ancho, largo y alto del recipiente.

Superficie total = superficie base + superficie lateral = xy + 2xz + 2yz Coste = superficie x precio = 30 x y + 10 (2xz +2yz) = f( x, y, z) La capacidad del recipiente viene dada por su volumen: xyz = 96, es decir, xyz – 96 = 0. Se trata, por tanto, de minimizar la función )z,y,x(f , bajo la condición xyz – 96 = 0

,z,y,xH 30 x y + 10 (2xz +2yz) - ( xyz – 96)

6z ,4y ,4x

0xyz96H

0y20y20xH

0z20z30xH

0z20z30yH

z

y

x

Luego, el más económico es un recipiente de base cuadrada de lado 4m y altura 6m.

Nota:

Claramente se obtiene un mínimo como podemos comprobar:

96 96 96 96f x, y 30 x y + 10 (2xz +2yz)=30 x y + 10 2x +2y =30 x y + 10 2 +2

xy xy y x

2

2

f 192030y 0

x xP 4,4

f 192030x 0

y y

2

22 3

22P

2

22P

2 3

f 3840fx x 60

xf30

x y f60

yf 3840

y y

60 30

H 4,4 2700 030 60

y como 2

2

P

f60 0

x

f presenta en P un mínimo relativo

x y

z



32.- Se considera la función y3x2xyy,xf definida en la región

x2y0 4,x0Ry,xS 2 / . Se pide: a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan. Solución:

a) La función f es continua en la región S que es un conjunto compacto (cerrado y acotado), luego f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S.

b) Puntos críticos en el interior de S:

x

y

f y 2 0

f x 3 0

1P (3,2)

que está dentro de S.

En la frontera de S (formada por los tres lados del triángulo): En el lado y = 2x, 4,0x :

2z f x, y f x,2x 2x 8x z ' 4x 8 0 x 2 y 4 2P 2,4

Además, los dos puntos de los extremos del lado: )0,0(P3 y 8,4P4 .

En el lado y = 0, 4,0x :

02'zx20,xfy,xfz ; y el punto extremo del lado 0,4P5 , pues el otro

punto extremo ya está considerado antes ( es el origen). En el lado x = 4, 8,0y :

01'z8yy,4fy,xfz ; los dos puntos extremos de este lado ya están considerados antes. 6Pf 1 , 8Pf 2 , 0Pf 3 , 0Pf 4 , y 8Pf 5

Luego, el máximo de f en S es 0 y se alcanza en 3P y 4P .

El mínimo de f en S es -8 y se alcanza en 2P y 5P .

4

8

0

x=4

y=0

y=2x

S

x

y



33.- Calcular el volumen de la caja rectangular más grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x+2y+3z = 6. Solución:

6 x 2y 6 x 2yx 2y 3z 6 z V(x, y) xyz xy

3 3

1

2x

3y

4

P (0,0) V(0,0) 02y x y 3

P (0,3) V(0,3) 0V 03

4P (2,1) V(2,1)x x 4y 6

3V 03 P (6,0) V(6,0) 0

Sustituyendo en el volumen: V=x·y·z = 2 . 1 . 2/3 = 4/3 es el volumen máximo.



34.- Se considera la función , 4f x y xy x y .

a) Estudiar la existencia de máximos y mínimos relativos de f en R2. b) Estudiar la existencia de máximos y mínimos absolutos de f en R2. c) Sea la región 2, / 0 4, 0 y 5 xS x y R x . Se pide:

i) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. ii) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.

Solución:

a) Extremos relativos de f en todo el plano R2:

x

1y

f y 4 0P (1,4)

f x 1 0

Hessiano en P(1,4) 2 2

2

2 2

2

f f

0 1x y xH(f ) 1 0

1 0f f

x y y

Al ser H(P)<0, se trata de un punto de silla. Por tanto, f no tiene extremos relativos. b) Máximo y mínimo absolutos de f en R2: No se alcanzan, pues: A lo largo del eje OY: f(x, 0) = - 4·x lim (- 4·x) = -∞ x→∞ lim ( - 4·x) = ∞ x→-∞ c) i) f alcanza sus valores máximo y mínimo en S por ser f una función continua y ser S una región cerrada y acotada del plano. ii) Puntos críticos en el interior de S: El punto P1(1, 4) está en el interior de S pues cumple sus ecuaciones. En la frontera de S: En el lado 1:

yf (0, y) y f 1 0

No se anula. Puntos extremos P2(0,0), P3(4,0)



En el lado 2:

yf (4, y) 3y 16 f 3 0

No se anula. Puntos extremos:P3(4,0), P4(4,20) En el lado 3: Multiplicadores de Lagrange: H(x, y, λ) x·y - 4·x - y - λ·(y - 5·x)

x

y

9H y 5 4 0 x10H x 1 09

yH 5x y 0 2

Luego, otro punto a considerar es P5(9/10,9/2). Puntos extremos P2(0,0),P4(4,20). Hallamos el valor de f en todos ellos: f(1, 4) = -4 f(0, 0) = 0 f(4, 20) = 44 f(4, 0) = -16 f(9/10,9/2)=-81/20 Por tanto, máximo de f en S: 44, se alcanza en P4(4,20). Mínimo de f en S: - 4, se alcanza en P1(1,4).



35.- Se quiere fabricar un depósito de almacenamiento con el menor coste posible. a) Hallar las dimensiones que ha de tener el depósito si se quiere que su capacidad sea de 1000 metros cúbicos, sabiendo que el material para construir el suelo cuesta 40 euros por metro cuadrado y el de las paredes 10 euros por metro cuadrado. b) Hallar dicho coste mínimo. Nota: se supone que el depósito tiene forma de prisma recto sin tapa.

Solución:

a) Condición: valor del volumen

V= x·y·z = 1000 Función a minimizar: función coste C(x, y, z) = 40·x·y + 2·10·x·z + 2·10·y·z Función Lagrangiana: H(x, y, z, λ) = 40·x·y + 2·10·x·z + 2·10·y·z - λ·(x·y·z - 1000)

x

y

z

H y 40 z 20z 0

H x 40 z 20z 0

H x 20 y 20y 0

H xyz 1000 0

3

3

3

x 5 4

y 5 4

z 10 4

única solución real.

b) El menor coste posible se consigue entonces con un depósito de estas dimensiones. Dicho coste es:

3 3 3 3 3 3 3 3C(5 4,5 4,10 4)=40·5 4 5 4 2·10·5 4·10 4 2·10·10 4 36000 2 €



36.- Sea z = f(x, y) una función definida en una región D del plano con derivadas parciales continuas hasta el orden 2. Sea 0P un punto del interior de la región. Para

cada una de las afirmaciones siguientes, decir si son verdaderas o falsas: a) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces, 0x Pf = 0y Pf = 0.

b) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces necesariamente el Hessiano de

f en 0P es H( 0P ) 0 .

c) Si f alcanza su mínimo absoluto “m” en un punto Q de la frontera de D, entonces Qfx = Qf y = 0

d) Si la región D es cerrada y acotada, entonces, f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región. Solución:

a) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces, 0x Pf = 0y Pf = 0.

VERDADERA b) Si f tiene en 0P un máximo o mínimo relativo, entonces necesariamente el Hessiano

de f en 0P es H( 0P ) 0 .

VERDADERA c) Si f alcanza su mínimo absoluto “m” en un punto Q de la frontera de D, entonces Qfx = Qf y = 0

FALSA d) Si la región D es cerrada y acotada, entonces, f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región. VERDADERA



37.- Se considera la función y3x2xyy,xf definida en la región:

3xy0 ,0x3 / Ry,xS 2 a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se

alcanzan. Solución:

a) f alcanza sus valores máximo y mínimo en S por ser f una función continua y ser S una región cerrada y acotada del plano.

b) Puntos críticos en el interior de S:

f(x, y)= x·y - 2·x + 3·y

f x,y y 2 0x

x 3, y 2f x,y x 3 0

y

que no está en el interior de la región S.

Estudio en la frontera:

En el lado 1:

df x,0 2x; 2x 2

dx . No se anula. Puntos extremos P0 (0,0), P1 (-3,0)

En el lado 2:

f 0,y 3y; 3y 3x

. No se anula. Puntos extremos: P3(0,3)

En el lado 3: Multiplicadores de Lagrange:



( ) ( )

( )

( )

( )

H x,y, f x,y (y x 3)

H x,y, y 2 0x

x 2; y 1; 1H x,y, x 3 0

y

H x,y, x y 3 0

λ = − λ − −

∂ λ = + λ − = ∂ ⇒ = − = λ = ∂λ = − λ + = ∂

∂λ = − + = ∂λ

f(0, 0) = 0; f(-3, 0) = 6; f(0, 3) = 9; f(-2, 1) = 5

Luego, el máximo valor de f en S es 9 y se alcanza en (0,3).

El mínimo valor de f en S es 0 y se alcanza en (0,0).

Ambos valores se alcanzan en la frontera de S.



38.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es 22 yx

x3)y,x(T

+= .

a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1). b) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la temperatura a lo

largo de la curva

==

tcosy

sent 2x.

e) Si la cota de error en la medida de “x” es de %1± y en la de “y” es de %2± , hallar el máximo error propagado de T en P. Solución: a) Para hallar la curva de nivel en P(2,-1) calculamos previamente el valor de T(P) 3·2 6 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ #1: 2 2 5 2 + (-1) La curva de nivel en P tiene por ecuación 6 3·x ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #2: 5 2 2 x + y Operando obtenemos x2+y2-5/2x=0 que corresponde a una circunferencia de centro (5/4,0) y radio 5/4. b) La dirección de máximo crecimiento sabemos, por teoría que es la del vector gradiente. 2 2 d 3·x 3·(y - x ) #3: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx 2 2 2 2 2 x + y (x + y ) d 3·x 6·x·y ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #4: dy 2 2 2 2 2 x + y (x + y ) El vector gradiente en un punto (x,y) es: ⎡ 2 2 ⎤ ⎢ 3·(y - x ) 6·x·y ⎥ #5: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎢ 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎣ (x + y ) (x + y ) ⎦ Y en P es: ⎡ 2 2 ⎤ ⎢ 3·((-1) - 2 ) 6·2·(-1) ⎥ ⎡ 9 12 ⎤ #6: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ = ⎢- ⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎢ 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎣ 25 25 ⎦ ⎣ (2 + (-1) ) (2 + (-1) ) ⎦ c) Se nos pide la derivada direccional de T en P y en la dirección α=/4



⎡ 9 12 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 3·√2 #7: ⎢- ⎯⎯, ⎯⎯⎥·⎢COS⎜⎯⎟, SIN⎜⎯⎟⎥ = ⎯⎯⎯⎯ ⎣ 25 25 ⎦ ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ 50 d) Aplicamos la regla de la cadena a T a lo largo de la curva x=sent, y= cost, y sustituimos x e y por las funciones de t que definen x e y 2 2 3·(y - x ) ⎛ 6·x·y ⎞ #8: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·(2·COS(t)) + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·(- SIN(t)) = 2 2 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ (x + y ) ⎝ (x + y ) ⎠ 2 2 6·(y - x )·COS(t) 6·x·y·SIN(t) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) 2 6·COS(t)·(1 - 3·SIN(t) ) #9: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 (3·SIN(t) + 1) e) El error propagado máximo (en la medición de T) se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T ⎛d 3·x ⎞ ⎛d 3·x ⎞ dT = ⎜⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·(dx) + ⎜⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·(dy) #10: ⎜dx 2 2 ⎟ ⎜dy 2 2 ⎟ ⎝ x + y ⎠ ⎝ x + y ⎠ 2 2 3·(y - x ) ⎛ 6·x·y ⎞ #11: dT = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·(dx) + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·(dy) 2 2 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ (x + y ) ⎝ (x + y ) ⎠ Ahora sustituimos x=2, y=-1,dx=±0.01, dy=±0.02 y se obtiene la cota de error que denominamos "error propagado máximo" 2 2 3·((-1) - 2 ) ⎛ #12: error propagado máximo = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·(±0.01) + ⎜- 2 2 2 ⎜ (2 + (-1) ) ⎝ 6·2·(-1) ⎞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·(±0.02) 2 2 2 ⎟ (2 + (-1) ) ⎠ #13: error propagado máximo = (-0.36)·(±0.01) + 0.48·(±0.02) #14: error propagado máximo = ± ⎮0.36·0.01 + 0.48·0.02⎮ #15: error propagado máximo = ±0.0132



39.- Calcular y clasificar los puntos críticos de la función z = x3 +3xy2 – 3x + 1. Solución: Cálculo de los puntos críticos

2 2z3x 3y 3 0

x

∂= + − =

∂

x 0 y 1z6xy 0

y 0 x 1y

= ⇒ = ±∂= = ⇒ = ⇒ = ±∂

Puntos críticos (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1) . 2

2

z6x

x

∂=

∂

2 2z z6y

y x x y

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

2

2

z6x

y

∂=

∂

( )( ) 0 6H f 0,1 0;

6 0= < ( )0,1 punto de silla

( )( ) 0 6H f 0, 1 0;

6 0

−− = <

−( ) 0, 1 punto de silla−

( )( ) 6 0H f 1,0 0;

0 6= > ( )1,0 Mínimo.

( )( ) 6 0H f 1,0 0;

0 6

−− = >

− ( )1,0− Máximo



40.- Estudiar los máximos y mínimos relativos de la función 3 2f (x, y) x 3x (y 1)= − + −

Solución: Para encontrar los posibles extremos relativos resolvemos el sistema

( )

( )( )

( )

2 2

f x, y0

3x 3 0 3 x 1 0 x 1xf x, y 2 y 1 0 y 10

y

∂ = − = ⇒ − = ⇒ = ±∂ ⇒ ∂ − = ⇒ = =

∂

Entonces, los puntos críticos son (1, 1) y (- 1, 1). Como el dominio de f es el plano completo entonces los puntos (1, 1) y (-1, 1) son interiores y son candidatos a ser extremos relativos o puntos de silla.

2

2

f (x, y)6x

x

∂=

∂ ⇒

2 2

2 2

f (1,1) f ( 1,1)6 y 6

x x

∂ ∂ −= = −

∂ ∂.

2

2

f (x, y)2 (x,y)

y

∂= ∀

∂ y

2 2f (x, y) f (x, y)0 (x,y)

x y y x

∂ ∂= = ∀

∂ ∂ ∂ ∂.

( )6 0

H 1,1 12 00 2

= = > y 2

2

f (1,1)6 0

x

∂= >

∂⇒ (1,1) es un mínimo local.

( )6 0

H 1,1 12 00 2

−− = = − < ⇒ (-1,1) es un punto de silla.



41.- Hallar los extremos relativos de ( ) 2 22 2 1 x yz x 2y e − −= +

Solución: Buscaremos los puntos críticos:

( )

( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 x y 2 2 1 x y 2 2

1 x y 2 2 1 x y 2 2

f x, y0 2xe x 2y ( 2x)e 0 x 1 x 2y 0x

f x, y 4ye x 2y ( 2y)e 0 y 2 x 2y 00y

− − − −

− − − −

∂ = + + − = ⇒ − − =∂ ⇒ ∂ + + − = ⇒ − − = = ∂

Obtenemos los valores:

( ) ( ) ( )0, 1 ; 0,0 ; 1,0± ±

Ahora las derivadas segundas:

( )2 22

1 x y 2 2 4 2 22

f (x, y)e 2 10x 4y 4x 8x y

x− −∂

= − − + +∂

( )2 22 2

1 x y 3 3f (x, y) f (x, y)e 2 12xy 4x y 8xy

x y y x− −∂ ∂

= = − + +∂ ∂ ∂ ∂

( )2 22

1 x y 2 2 2 2 22

f (x, y)e 4 2x 20y 4x y 8y

y− −∂

= − − + +∂

Para cada uno de los cinco puntos construimos el hessiano de f:

2 2

2

2 2

2

f f

x y xH(f )

f f

x y y

∂ ∂∂ ∂ ∂

=∂ ∂

∂ ∂ ∂

y

hallamos su valor:

• H(f(0,0))2 0

8e 00 4e

= = > y 2

2

f

x

∂∂

(0,0) = 2> 0, luego f presenta en (0,0) un mínimo

relativo cuyo valor es f(0,0)= 0 (es mínimo absoluto pues f(x, y)≥ 0 en (x, y) ∈R2).

• 2 0

H(f (0, 1)) 16 00 8

−± = = >

− y

2

2

f

x

∂∂

(0,1) = 2− < 0, luego f presenta en ( )0, 1± un

máximo relativo cuyo valor es f(0,1)= 2 (máximo absoluto pues f(x, y)≥ 0)

• 4 0

H(f ( 1,0)) 8 00 2

−± = = − < , luego f presenta en ( )1,0± un punto de silla y f(0,0)= 1

.



42.- Sea la función real 3 3f (x, y) x y 2xy= + + . Hallar los extremos relativos de f en el plano. Solución: Buscaremos los puntos críticos:

( )

( )

2 2

22 2

3f x, y 3x 2y 0 y x (x, y) (0,0)02x

2 2f x, y (x, y) ,30 3 33y 2x 0 0 3 x 2x 0

y 2

∂ + = ⇒ = − == ∂ ⇒ ⇒ ∂ = − − = + = = ⇒ − + = ∂

Obtenemos los valores:

( )1 2

2 2P 0,0 ;P ,

3 3 − −

Ahora las derivadas segundas: 2

2

f (x, y)6x;

x

∂=

∂

2 2f (x, y) f (x, y)2;

x y y x

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

2

2

f (x, y)6y

y

∂=

∂

Para cada uno de los puntos construimos el hessiano de f:

2 2

2

2 2

2

f f

6x 2x y xH(f )

2 6yf f

x y y

∂ ∂∂ ∂ ∂

= =∂ ∂

∂ ∂ ∂

y

hallamos su valor:

• H(f(0,0))0 2

4 02 0

= = − < luego f presenta en ( )0,0 un punto de silla y f(0,0) = 0.

• 4 22 2

H f , 12 02 43 3

− − − = = > − y

2

2

f 2 2, 2

x 3 3

∂ − − = − ∂ < 0, luego f presenta en

2 2,

3 3 − −

un máximo relativo cuyo valor es 2 2 8

f ,3 3 27

− − =



43.- Sea la ecuación 3 3 32z x y 6xy 2z 4 0+ + − + + = . Hallar los extremos relativos de la función F(x,y,z)=0 definida por la ecuación dada.

Solución: La función implícita F(x,y,z)=0 es polinómica en la variable z de tercer grado con al menos una raíz real y como F’z=6z2+2 positiva y en consecuencia F(x,y,z) estrictamente creciente. Por lo tanto, existe un único z=f(x,y). Para encontrar los puntos críticos resolvemos el sistema:

3 3 3

12

22

F(x, y, z) 0 2z x y 6xy 2z 4 0P (0,0) f (0,0) 1F(x, y, z)

0 3x 6y 0P (2,2) f (2,2) 1x

3y 6x 0F(x, y, z)0

y

= + + − + + =

= − ∂ = ⇒ − = ⇒ ⇒ =∂ − = ∂ = ∂

Derivando F(x,y,z(x,y))=0, respecto de x e y

22 2

x x x x 2

3x 6yF' 6z z ' 3x 6y 2z ' 0 z '

6z 2

− += + − + = ⇒ =

+ 2

2 2y y y y 2

3y 6xF' 6z z ' 3y 6x 2z ' 0 z '

6z 2

− += + − + = ⇒ =

+

Las derivadas parciales segundas son:

( ) ( )( )

2 2x

xx 2 2z ' 02

6x 6z 2 3x 6y 12zz ' 6xz ''

6z 26z 2 =

− + − − + −= =

++

( ) ( )( )

2 2x

xy 2 2z ' 02

6 6z 2 3x 6y 12zz ' 6z ''

6z 26z 2 =

+ − − += =

++

( ) ( )( )

2 2y

yy 2 2z ' 02

6y 6z 2 3y 6x 12zz ' 6yz ''

6z 26z 2 =

− + − − + −= =

++

Así pues, las matrices hessianas de z(x,y) en los dos puntos críticos son:

2 2

2

2 2

2

z z

0 3 / 4x y x 9H(z(0,0)) 0

3 / 4 0 16z z

x y y

∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = − < ⇒∂ ∂

∂ ∂ ∂

un punto de silla

2 2

2

xx2 2

2

z z

3 / 2 3 / 4x y x 27 3H(z(2,2)) 0 y z'' 0

3 / 4 3 / 2 16 2z z

x y y

∂ ∂−∂ ∂ ∂

= = = > = − < ⇒−∂ ∂

∂ ∂ ∂

Máximo relativo (z=1) en el punto (2,2)



44.- Hallar el volumen máximo de un ortoedro sabiendo que la suma de las longitudes de sus aristas es 12. Solución:

Sean x, y, z las aristas del ortoedro. El volumen es V=xyz y la condición sobre las aristas 4(x+y+z)=12, de donde resulta z=3-x-y, que sustituyendo en el volumen queda V=xy(3-x-y).

Buscaremos los puntos críticos:

( )( ) ( )

2

2

V0

3y 2xy y 0 y 3 2x y 0 (x, y) (0,0)xV (x, y) 1,13x 2xy x 0 x 3 2y x 00y

∂ = − − = ⇒ − − = =∂ ⇒ ⇒ ∂ =− − = ⇒ − − = =∂

Es evidente, que la solución x=y=z=1 nos dá el valor máximo, y por tanto el volumen será V=1



45.- Hallar los extremos absolutos de la función f(x,y) = ( )2 22 2x ye x 2y− − + en la región

2 2x y 4+ ≤ .

Solución:

Estudiamos los puntos críticos de f que se encuentren dentro del recinto· 2 2x y 4+ ≤ Buscaremos los puntos críticos:

( )

( )( )( )

( )2 2

2 2

2 22 2

f x, y (0,0)0 1 0x(x, y) 0, 1

f x, y 2 00 ( 1,0)y

x y2xe x 2y

x y2ye x 2y

∂ = − =∂ ⇒ ⇒ = ± ∂ − == ± ∂

− −− +

− −− +

Entonces los puntos críticos son: P1(0,0), P2(0,1), P3(0,-1), P4(1,0), P5(-1,0)

Ahora las derivadas segundas:

( )2 2 2

4 2 2 2 22

f (x, y)2 2x 4x y 5x 2y 1

xx ye

∂= + − − +

∂− −

( )2 2 2 2

2 2f (x, y) f (x, y)4xy x 2y 3

x y y xx ye

∂ ∂= = + −

∂ ∂ ∂ ∂− −

( )2 2 2

4 2 2 2 22

f (x, y)2 4y 2x y x 10y 2

yx ye

∂= + − − +

∂− −

Para cada uno de los puntos construimos el hessiano de f:

2 2

2

2 2

2

f f

x y xH(f )

f f

x y y

∂ ∂∂ ∂ ∂

=∂ ∂

∂ ∂ ∂

y hallamos su

valor: En P1(0,0)

• ( )( ) 2 0H f 0,0 12 0

0 4= = > y

2

2

f(0,0) 2

x

∂=

∂> 0, luego f presenta en un mínimo

relativo cuyo valor es ( )f 0,0 0=

En P2(0,1)



• ( )( )1

2

1

2e 0H f 0,1 16e 0

0 8e

−−

−

−= = >

− y ( )

21

2

f0,1 2e

x−∂

= −∂

< 0, luego f presenta en un

máximo relativo cuyo valor es ( ) 1f 0,1 2e−=

En P3(0,-1)

• ( )( )1

2

1

2e 0H f 0, 1 16e 0

0 8e

−−

−

−− = = >

− y ( )

21

2

f0,1 2e

x−∂

= −∂

< 0, luego f presenta en

un máximo relativo cuyo valor es ( ) 1f 0, 1 2e−− =

En P4(1,0)

• ( )( )1

2

1

4e 0H f 1,0 8e 0

0 2e

−−

−

−= = − < , luego f presenta en un punto de silla y

f(1,0) = e-1. En P5(-1,0)

• ( )( )1

2

1

4e 0H f 1,0 8e 0

0 2e

−−

−

−− = = − < , luego f presenta en un punto de silla y

f(-1,0) = e-1. Observamos que en P1 hay un mínimo relativo, en P2 y P3 sendos máximos relativos y en P4 y P5 sendos puntos de silla Estudiamos los extremos absolutos de f en la frontera 2 2x y 4+ = aplicando extremos condicionados de Lagrange:

H(x, y, λ ) = f(x, y) - λ g(x, y) = ( ) ( )2 22 2 2 2x y 4x ye x 2y − λ + −− − +

( )( ) ( ) ( )

2 22 2

x4

2 22 2

y 4

2 2

H 1 ( 2x) 0

( 2,0) f ( 2,0) 4eH 2 ( 2y) 0

0, 2 f 0, 2 8eH x y 4 0

x y2xe x 2y

x y2xe x 2y−

−

λ

= − − λ = ± ⇒ ± = = − − λ = ⇒

± ⇒ ± = = − − + =

− −− +

− −− +

Tenemos como soluciones P6(0,2), P7(0,-2), P8(2,0), P9(-2,0) Comparando estos resultados con los anteriores podemos establecer que el valor máximo absoluto es 12e− y se alcanza en P2 y P3 y el mínimo absoluto es 0 y se alcanza en P1 NOTA: obsérvese que para la determinación de los valores máximo y mínimo absoluto de la función en la región dada no necesitamos distinguir qué puntos críticos (obtenidos en el interior de la región) son extremos relativos, solo necesitamos calcular el valor de f en todos los puntos críticos y comparar dicho valor con el de los extremos en la frontera



46.- Hallar los extremos absolutos de la función ( )( )1y1x

xy4)y,x(f

22 ++= en la región

( ){ }1yx , 0y , 0x /Ry,xR 222 ≤+≥≥∈=

Estudio de extremos en el interior

( )( )( )

( )( )( )

( )

( )

2

22 2

22

2 2

f x, y 4y(1 x ) x 00 y 1 x 0x x 1 y 1 x 1

f x, y y 04x(1 y )0 x 1 y 0

y y 1x 1 y 1

∂ − == = − = ⇒ ∂ + + = ± ⇒ ∂ =− = = − = ⇒ ∂ = ±+ +

Salvo el (0,0) el resto de los puntos queda fuera del recinto Estudiamos qué pasa en la frontera En x=0 f(0,y)=0 En y=0 (x,0)=0 En el cuadrante x≥0, y≥0 de la circunferencia x2+y2 =1, despejamos y

( )( ) ( ) ( )

2 22

3/22 2 22 2

4 1 x (1 x ) 4(2x 1) 20 x

x 2x 1 xx 1 1 x 1

± − − ∂ − = = ⇒ = ±

∂ −+ ± − +

Los puntos críticos de esta función son los que anulan a la derivada o donde ésta no existe. Esto último ocurre en x=±1, x=0 quedan fuera del recinto. Y dentro del recinto solo está el punto (√2/2,√2/2). Luego tenemos 3 puntos P1(0,0), P2(1,0), P3(√2/2,√2/2) y el valor de la función en ellos es:

f (0,0) 0= f (1,0) 0=

2 2f , 8

2 2

=

Por tanto, el máximo de f en la región es 8/9 y el mínimo es 0.



47.- Encontrar el máximo de la función f(x, y, z)=x+2y+3z sobre la curva intersección del plano x – y + z = 1 y el cilindro x2+y2=1

Solución:

Se trata de maximizar la función f(x, y, z) = x + 2y +3z sometida a las condiciones x – y + z = 1 x2 + y2 = 1

Construimos la función auxiliar

F(x, y, z, λ, µ) = x + 2y + 3z + λ(x – y + z -1) + µ(x2 + y2 – 1)

Si igualamos a cero las derivadas parciales de primer orden de esta función obtenemos el sistema

2 2

1 2x 0

2 2y 0

3 0

x y z 1

x y 1

+ λ + µ =− λ + µ = + λ = − + = + =

De la tercera ecuación se obtiene λ = - 3 que llevado a la primera da 2µx – 2 = 0 1

x⇒ =µ

.

Análogamente, 5

5 2 y 0 y2

− µ = ⇒ = −µ

Llevado esto a la última ecuación se obtiene:

22 2

1 25 29 291

4 2+ = ⇒ µ = ⇒ µ = ±

µ µ

De aquí 2 5

x y29 29

= ⇒ = ± y de la penúltima ecuación 7

z 129

= ± .

Los correspondientes valores de f(x, y, z) son:

2 5 72 3 1 3 29

29 29 29

+ ± + ± = ±

De lo que se sigue, finalmente, que el máximo de f en la curva es 3 29+



48. Calcular los máximos y mínimos de : z = x2 – 2xy2 + y4 – y5

Solución

2

3 4

z2x 2y 0

xz

4xy 4y 5y 0y

∂ = − = ∂ ∂ = − + − =

∂

De la primera se obtiene x = y2 que sustituido en la segunda,

3 3 44y 4y 5y 0 y 0− + − = ⇒ = . Luego x = 0 e y = 0 es la única solución del sistema.

Calculemos el Hessiano en (0, 0).

2 2 2 22 3

2 2

z z z z2; 4x 12y 20y ; 4y

x y x y y x

∂ ∂ ∂ ∂= = − + − = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )2 0

H 0,0 0 Caso dudoso.0 0

= = ⇒

Incrementamos la función y estudiamos el signo del incremento en los alrededores del punto. Haciendo x h, y=k∆ = ∆ , se tiene:

( )22 2 4 5 2 5z h 2hk k k h k h∆ = − + − = − −

No mantiene el signo constante luego no hay

máximo ni mínimo.

Se puede ver gráficamente lo anterior



49.- Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo locales en 2R de la función: 2 2 xf x, y (x y )e

Solución:

2 2 x x

1

2x 2

f(x y )e 2xe 0 P 0,0 f (0,0) 0x 0 x

, y 0 f x 2 P 2,0 f (2,0) 4e2ye 0 y

.

22 2 x

2

f(2 4x x y )e

x

, 2

x f2ye

y x

, 2

x2

f2e

y

2 2

2 2 2 x x

x x2 2

2

f f

x y x (2 4x x y )e 2yeH

2ye 2e f f

y x y

Para P1

2 0

H 0,0 4 00 2

Luego, 2

12

fP 0

x

y 1H P 0 . Por tanto, f tiene un mínimo

relativo en P1.

Para P2

2

4

2

2e 0H 2,0 4e 0

0 2e

Luego, 2H P 0 . Por tanto, f tiene un punto de

silla

Extremos

Valor máximo o mínimo de una función.

Máximos locales.

La función f tiene en el punto x=a un máximo local o relativo si existe un entorno (a-h, a+h) de a tal que para todo x a del entorno se verifica:

f x f a resulta f x h f a f x h .

Si f ’(a)=0 y f ’’(a)< 0, entonces (a, f(a)) es un máximo local

También pueden existir extremos (máximos y mínimos) donde no es derivable la función.

Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto 0 0(x , y ) A cuando

0 0f (x , y ) f (x, y) (x,y) perteneciente a un entorno de 0 0(x , y ) .

Máximo Absoluto es el mayor de los máximos locales o relativos.

Mínimos locales

La función y=f(x) tiene en el punto x=a un mínimo relativo si existe un entorno (a-h, a+h) de a tal que para todo x a del entorno se verifica: f x f a

resulta f x h f a f x h .

Si f ’(a)=0 y f ’’(a)> 0, entonces (a, f(a)) es un mínimo local

Se dice que z=f(x,y) tiene un mínimo relativo en un punto 0 0(x , y ) A cuando

0 0f (x , y ) f (x, y) (x,y) perteneciente a un entorno de 0 0(x , y ) .

También pueden existir extremos (máximos y mínimos) donde no es derivable la función.

Mínimo Absoluto es el menor de los mínimos locales o relativos.

Método de los multiplicadores de Lagrange

Sea g una función de dos variables continuamente diferenciable en un subconjunto del

dominio de f.

Si 0 0(x , y ) hace máxima (ó mínima) a f(x,y), sujeta a la condición extra g(x,y) = 0, entonces

0 0f (x , y )

y 0 0g(x , y )

son colineales, es decir, de igual dirección. En consecuencia,

existe un escalar tal que 0 0f (x , y )

= 0 0g(x , y )

.

Forma práctica de cálculo en el método de los multiplicadores de Lagrange

Para maximizar ó minimizar una función f(x,y) sujeta a la restricción g(x,y) = 0, se construye

la función auxiliar H(x,y, ) = f(x,y) - g(x,y).

Luego se hallan los valores x, y, para los cuales son nulas las derivadas parciales de H:

x yH 0 , H 0 , H 0 .

Estos requisitos son equivalentes a los formulados anteriormente ya que:

x x xH f g 0 ó bien x xf g

y y yH f g 0 ó bien y yf g

H g(x, y) 0 ó bien 0=y)g(x,

Las primeras dos ecuaciones dan f g

, y la última g(x,y) = 0.

Punto de silla

Punto P(x0,y0) de la función z=f(x,y) que no corresponde ni a máximo ni a mínimo pues crece en unas direcciones y decrece en otras. Se cumple

f x y f x y

f x y f x yxx o o xy o o

xy o o yy o o

'' ''

'' ''

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0

Teorema de las derivadas mixtas, o de Schwarz.

Si la función z=f(x,y) y sus derivadas parciales fx, fy,.fxy, fyx, están definidas y

son continuas en un entorno de un punto (xo,yo), entonces se verifica que:

)y,(xyx

f)y,(x

xy

foo

2

oo

2

Punto crítico En general son los valores que anulan la derivada o derivadas o simplemente no existen.

Curva en forma paramétrica: valores del parámetro t que anulan al menos una de las derivadas x'(t) o y'(t), o bien alguna de ellas no está definida en t.

En una función real de dos variables reales: puntos donde las derivadas parciales valen cero o no existen. Dichos puntos se llaman puntos críticos o estacionarios de f.

Derivadas parciales Sea z=f(x,y) una función definida en un subconjunto DR2 y sea P=(x,y)D.

Si u

=(1,0)= i

, se denomina simplemente derivada parcial de f respecto de la variable x. Se

designa (P)fx , o bien, (P)x

f

. Es decir:

(P)fx = (P)x

f

=h

y)f(x,y)h,f(xlím

h

f(P)h(1,0))f(Plím

0h0h

.

Análogamente si u

=(0,1)= j

, se denomina derivada parcial de f respecto de la variable y Se

designa (P)fy , o bien, (P)y

f

. Es decir:

(P)fy = (P)y

f

=h

y)f(x,h)yf(x,lím

h

f(P)h(0,1))f(Plím

0h0h

+=

+→→

.

Derivadas parciales de orden superior

Sea la función z=f(x,y). Si existen las derivadas parciales en todo su dominio, o al menos en una parte de él, pueden definirse las funciones fx, fy, donde existan, como funciones de x e y. Se obtienen así cuatro derivadas parciales de segundo orden que designaremos:

xxxx ff , o bien, 2

2

x

f

x

f

x

.

yxxy ff , o bien, yx

f

y

f

x

2

.

xyyx ff , o bien, xy

f

x

f

y

2

.

yyyy ff , o bien, 2

2

y

f

y

f

y

.

Hessiano de f

Sea z=f(x,y) una función definida en DR2 y P(xo,yo)D. Supongamos que f tiene derivadas parciales de primer y segundo orden continuas en D y que P(xo,yo) es un punto crítico de f, es

decir fx' (xo,yo)=0 y fx

' (xo,yo)=0, entonces se verifica que:

1º) f tiene un máximo en P(xo,yo) si:

f x yxx o'' ( , )0 0 y

f x y f x y


xy o o yy o o

'' ''

'' ''

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0 .

2º) f tiene un mínimo en P(xo,yo) si:

f x yxx o'' ( , )0 0 y

f x y f x y


xy o o yy o o

'' ''

'' ''

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0 .

3º) f no tiene ni máximo ni mínimo en P(xo,yo) pues crece en unas direcciones y decrece en otras, diremos que f presenta un punto de silla, si:

f x y f x y


xy o o yy o o

'' ''

'' ''

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0

4º) Si f x y f x y


xy o o yy o o

'' ''

'' ''

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0 , entonces no podemos asegurar que exista o no extremo en

f. Será preciso realizar un estudio más detallado. El hessiano es el determinante de la matriz hessiana:

2 2

2

2 2

2

f f

x x yH(f )

f f

x y y

para la función z=f(x,y)

También se dice discriminante de f.

Curva de nivel

Dada la función z=f(x,y) y una constante c. Una curva de nivel es el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales f(x,y)=c.

Las reglas de la cadena

1. Sea una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas fx, fy, en (x,y) y

sean dos funciones

)t(yy

)t(xx diferenciables en t. Entonces la función compuesta

)t(y),t(xfz es diferenciable en t y se verifica que:

dt

dy,

dt

dx)t(y),t(xf

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

dz

2. Supongamos ahora una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas fx,

fy, en (x,y) y sean dos funciones

)v,u(yy

)v,u(xx. La función compuesta

)v,u(y),v,u(xfz es una función de u y v en los puntos donde está definida,

verificándose además que si x e y tienen derivadas parciales continuas respecto de u

y v, entonces existen las derivadas parciales de f respecto de u y v que vienen dadas

por las expresiones:

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

De manera análoga se podrían definir las reglas de la cadena para funciones de tres o

más variables.

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