unidad i. sistema de ejes coordenados - cobaep plantel...
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Unidad I. Sistema de ejes coordenados 1.1. Coordenadas cartesianas de un punto
1.1.1. Ejes coordenados
a. Parejas ordenadas de números: Elementos, Igualdad de parejas
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se
intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de
ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de
coordenadas cartesianas, en honor a su creador, el matemático y filósofo
francés René Descartes (1596-1650).
René Descartes
Las coordenadas cartesianas emplean un par de ejes perpendiculares,
llamados eje de las abscisas y eje de las ordenadas.
El eje de las abscisas es el eje horizontal, en tanto que el eje de las ordenadas
es el vertical. El punto de intersección de ambos ejes recibe el nombre de
origen.
Los ejes coordenados al cortarse dan lugar a la formación de cuatro
cuadrantes, de los cuales el superior derecho recibe el nombre de primer
cuadrante, el superior izquierdo de segundo cuadrante, el inferior izquierdo de
tercer cuadrante y el inferior derecho de cuarto cuadrante
b. Puntos en un plano: Ejes cartesianos rectangulares, Abscisa y
ordenada
Las distancias de un punto a los ejes coordenados reciben el nombre de
coordenadas del punto. Estas distancias son las abscisas y la ordenada del
punto.
Abscisa de un punto: los números tomados sobre el eje x miden las distancias
en magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el nombre de
abscisas. El eje x se denomina, por tanto, eje de las abscisas.
Ordenada de un punto: los números tomados sobre el eje y miden las
distancias en magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el
nombre de ordenadas; por tanto, el eje y recibe el nombre de eje de las
ordenadas.
Las coordenadas de un punto son, como queda dicho su abscisa y su
ordenada.
Al indicar la situación de un punto en el plano por sus coordenadas se
acostumbra indicar, en primer lugar su abscisa, y en segundo término su
ordenada. De esto resulta que a cada punto del plano le corresponde un par
ordenado de números reales, una abscisa x y una ordenada y, lo cual se
expresa como sigue: P(x, y)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
- X X
Y
- Y
P( X, Y)
R (- X, -Y) S ( X, -Y)
Q(- X, Y)
III
III IV
Por ejemplo, si P es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 7 y cuya
ordenada es 9: se tiene P(7, 9) localizado en el primer cuadrante.
Existen dos casos:
Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar
dichas coordenadas, se trazan por el punto, paralelas a los ejes y se
determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.
Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se
traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto,
la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.
Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por P(0, 0). Los
puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el eje y; y, los puntos con
ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x.
Ejercicios de autoevaluación
1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos: P(3,4), Q(-3,3),
S(2,-3) y R(-2,-2)
SOLUCIÓN
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
- X X
Y
- Y
Q(- X,Y): (-3, 3)
P( X, Y): (3, 4)
R(- X,-Y) : (-2, -2)S( X, -Y): (2, -3) P( X, Y)
R(- X,-Y) S( X, -Y)
Q(- X,Y)
III
III IV
1.1.2. Lugares geométricos
geométrico
n lugar geométrico es el conjunto de todos puntos del plano que verifican
ar geométrico definido por la propiedad P, se verifica que:
rtenece a L.
condición b) puede sustituirse por la siguiente:
piedad P.
Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los
o La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de
o untos que equidistan de
o lugar geométrico de los puntos que equidistan de
i un punto P(x, y) en el plano cartesiano pertenece a un lugar geométrico L, la
condición que debe cumplir dicho punto P conduce a una ecuación entre las
variables x e y que es la llamada ecuación del lugar geométrico L.
• Concepto de lugar
U
una propiedad determinada.
Por lo tanto:
Si L es un lug
a) Todo punto de L posee la propiedad P.
b) Todo punto que posee la propiedad P pe
La
c) Todo punto no perteneciente a L no posee la pro
trazados geométricos.
los puntos que equidistan de un punto fijo.
La mediatriz es el lugar geométrico de los p
dos puntos fijos.
La bisectriz es el
dos rectas fijas.
S
• Soluciones y gráficas
Ahora estamos en condiciones de representar cualquier función de la forma
y = f(x). Por ejemplo podemos representar una función lineal de primer grado
con una ecua ó uya representación resulta en una línea
na
que una ecuación o una tabla, la relación
función. Las ecuaciones y tablas
eneral, requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con
siano que satisfacen la
ecuación. Más precisamente,
ci n lineal y = mx +b c
recta en que m es la pendiente y b el intercepto sobre el eje de las y, o u
parábola del tipo y = x2, o una circunferencia x2 + y2 = r2, o una elipse etc.
En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad
que existe entre las variables de una
que corresponden a una función, por lo
g
claridad todo tipo de información contenidas en ellas.
Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que
relaciona las variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es
decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano carte
Definición.
Sea una función real de variable real. La gráfica de
f es el conjunto de puntos tales que la pareja ordenada (x, y)
f. Es decir, Gráfica de f = { (x, y) pertenece a / y = f(x), x D(f) }
Obse
La restricción dada en la def ción de que no existen dos parejas
distintas que tengan la primera componente igual, se traduce en la grá
rvación.
inición de fun
fica de la
función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica
unto. (criterio de la recta vertical)
A);
una función.
Nótese que la recta vertical, corta la gráfica en más de un punto: A, B y C.
en más de un p
Así, por ejemplo, la gráfica de la primera figura superior corresponde a la
gráfica de una función (la recta vertical solo corta la gráfica en el punto
mientras que la figura inferior no corresponde a la gráfica de
4
2
-2
-4
y
-5 5 10
x
Linea vertical
A
y4
2
-2
-4
-5 5
x
Linea vertical
C
B
A
Mas adelante se trazarán las gráficas de muchas funciones, al definir
especificar otros elementos teóricos útiles: (Asíntotas, máximos, míni
concavidad, etc.) y que permiten ver con mayor claridad la relaci
variables x e y de una función y = f(x).
• Investigación de gráficas: Intersecciones con los ejes,
Simetrías respecto al origen y los ejes, Tabulación de valores
Gráfica de un lugar geométrico a partir de su ecuación Definición. Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación
pertenece a la gráfica de la ecuación.
y
mos,
ón entre las
) Determinar la intersección de la gráfica con los ejes coordenados.
b) Simetría de a .
c) Determinar la
) Determinación de asíntotas verticales y horizontales.
la gráfica con el eje X nos referimos al
re el eje Y.
ica de la
sea
gráfica de la ecuación
on el eje Y, sustituimos x = 0.
Simetrías
Para trazar la gráfica de una ecuación es conveniente conocer previamente
algunas de sus características o propiedades para realizar la discusión o
análisis de las ecuaciones, que consiste en investigar para cada ecuación los
siguientes aspectos:
a
l gráfica con respecto a los ejes coordenados y el origen
extensión de la gráfica.
d
Intersecciones con los ejes Cuando se hable de la intersección de
valor de la abscisa del punto o puntos de la gráfica de una ecuación que está
sobre el eje X, y de igual manera cuando nos referimos a la intersección con el
eje Y se estará hablando del valor o valores de la ordenada de los puntos de la
gráfica que estén sob
Si buscamos los puntos de intersección con el eje X de la gráf
ecuación sabemos que la ordenada en este punto es igual a cero o
sustituimos y = 0.
De igual manera para hallar la o las intersecciones de la
c
Se dice que la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje X, si al
sustituir (x,-y) en la ecuación no cambia.
Se dice que la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje Y, si al
sustituir (-x, y) en la ecuación no cambia.
Se dice que la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen O
pecto al origen, pero una curva puede ser simétrica con
xtensión o campos de variación de una gráfica n o campo de variación de una gráfica es el estudio de la ecuación
sto es posible haciendo un análisis del
ra saber si la curva es cerrada o de
les posibles de la variable
e asíntotas no es cerrada o de extensión finita, sino se
orizontal, vertical u oblicua o
clinada.
(0,0), si al sustituir (-x, -y) en la ecuación no cambia.
NOTA. Si una curva es simétrica con respecto a los dos ejes coordenados,
también lo es res
respecto al origen y no ser simétrica con ningún eje coordenado.
ELa extensió
de la gráfica para determinar los intervalos en los cuales las variables x y y
están definidas o toman valores reales. E
dominio y rango de la ecuación. Este análisis es útil para la localización general
de la curva en los ejes coordenados y pa
extensión indefinida.
El dominio de una ecuación son todos los valores rea
x que al ser evaluada en la ecuación, genera uno o mas valores reales de y. A
cada uno de los valores de y se les llaman imagen de x. Al conjunto de todas
las imágenes le llamaremos rango de la ecuación.
Asíntotas Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la
curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de este punto a la recta
decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la
curva.
La definición anterior implica:
• Una curva que tien
extiende indefinidamente.
• Una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
Una asíntota es una línea recta la cual puede ser h
in
La ecuación de la recta horizontal como sabemos es y – k = 0 (y es paralela al
ICIOS utilizando los siguientes pasos:
e la gráfica respecto a los ejes coordenados y el
a (su dominio y su rango).
eje X), la vertical es x – k = 0 (y es paralela al eje Y), y la oblicua, que es el
caso más especial, tiene la forma y = mx + b.
EJERCGrafica las siguientes ecuaciones
a) Halla las intersecciones con los ejes coordenados.
b) Determina la simetría d
origen.
c) Determina la extensión de la gráfic
d) Determina sus asíntotas verticales y horizontales (si tiene).
1.2 Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos
ntes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como
del punto que
los conceptos de
pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano. Se asumen
conocidos por parte del estudiante, los conceptos anteriormente vistos de plano
cartesiano y la localización de puntos en el mismo.
1.2.1. Segmentos rectilíneos
• Segmentos irigidos y no dirigidos
n IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo
línea de leal
El propósito en este subtema, es presentar las diferentes formas de la línea
recta. A
son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas
divide a un segmento en una razón dada, así como también
d
E
representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una
origen, recibe el nombre de vector de posición. Además, si el vector ^u es
elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector de posición o anclado, observemos los
demás elementos que componen dicha gráfica:
X
Y
(x, y)
^uuy
ux
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada
magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:
a) || ^u || = (x² + y²)½
b) Cos(θ) = x / || ^u ||
c) Sen(θ) = y / || ^u ||
d) Para un vector de posición o anclado ^u, ^ux representa su componente
en la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y,
e) La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma
ivo del eje X.
jemplos de aplicaciones de los vectores a problemas geométricos.
En la siguiente figura hay tres vectores que cumplen: OA + AB = OB. Por tanto:
AB = OB - OA y puesto que coordenadas de OA = coordenadas de A y
coordenadas de OB = coordenadas de B resulta que: coordenadas del vector
AB
con el sentido posit
E
Coordenadas del vector que une dos puntos dados por sus coordenadas.
= coordenadas de su extremo B - coordenadas de su origen A.
1.- En la figura vemos que
ector BA? Anótalo en tu cuaderno.
.- Ahora le vas a dar a las coordenadas de los puntos A y B los distintos
alores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del
vector AB en cada caso y después compruébalo con algún software
atemático como el Cabri o el Sketchpad
s en el plano.
B=(6,4)
AB = (3, 6) ¿Cuáles son las coordenadas del
v
2
v
m
A=(5,6)
B=(7,2) AB= ?
A=(6,4) AB= ?
• longitud de un segmento y distancia entre dos puntos
Teorema (distancia entre dos puntos del Plano) Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos punto
A=(4,8)
B=(6,4) AB= ?
A=(8,0)
B=(5,6) AB= ?
8
6
4
2
-2
-4
5 10 15
(7,2)
(4,8)(3,6)
AB=B-A=(7,2)-(4,8)=(3,6) B-A=(7,2)-(4-8)=(7-4,2-8)
B: (7, 2)
A: (4, 8)A
B
La dis re lo 1 y P2 denotada por d = tancia ent s puntos P esta dada por:
(1)
emostración
En la figura siguiente hemos localizado los puntos P (x , y ) y P (x2, y2) así
D
1 1 1 2
como también el segmento de recta
Al trazar por el punto P una paralela al eje y,
éstas se interceptan en el punto R, 1RP2 y
en el cual podemos aplicar
1 una paralela al eje x y por P2
determinado el triángulo rectángulo P
la relación pitagórica:
; y Pero:
uego, L
Observaciones:
i. En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es
siempre un valor no negativo.
ual se restan las coordenadas de
los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.
iii. Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es
lelo al eje x.
(fig. siguiente) entonces puesto que y1 = y2
ii. Nótese además que el orden en el c
para
Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. (b)), entonces
puesto que x2 = x1
• División de un segmento en una razón dada
Consideremos el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) (fig. siguiente)
y llamemos Sea M (x, y) un punto sobre el segmento (1)
e trata entonce
de
S s de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos
y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.
Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los
triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir :
(2)
Ahora, de (1) (Obsérvese que cuando M se mueve de P
P
1 a
, 2 varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1).
En consecuencia, que al sustituir en (2)
resulta:
De
donde, (3) y (1)
Al simplificar las ecuaciones (3) y (1) se obtienen finalmente:
(5)
(6)
Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.
aciones:
Observ
i. Nótese que para cada valor de las ecuaciones (5) y (6) nos
ación de
conjunto en la siguiente forma:
dan un punto sobre el segmento P1P2.
ii. En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en not
iii. Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de ,
entonces:
y en consecuencia:
e
Es decir, e que representan las coordenadas
. del punto medio del segmento
1.2.2 Rectas
• Ángulo de inclinación y pendiente de una recta
i. El ángulo que forma una recta L con el eje x medido en el sentido
positivo del eje a la derecha L, se llama: ángulo de inclinación de la recta L
(fig. siguiente).
s una recta tical, la p ,
de l tangente de su ángulo de inclinación. Es
decir,
Definiciones
ii. Si L e no ver endiente de la recta L, denotada por m
se define como el valor a
(1).
Siendo El número m se conoce también con el nombre de
pendiente m = tan =90º
coeficiente angular de la recta L.
Observaciones:
i. Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su
no está definida.
(a) (b)
ii. Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no
vertical L (fig. (b) ), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:
(2)
Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso
indistinto de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento
de ordenadas dividido por el incremento de abscisas.
iii. El nombre de pe ificado. Cuando se dice
ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100.
iv. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el
ángulo de inclinación de la recta, así:
ndiente de una recta esta just
que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100
unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las
Si q = 0o entonces m= 0 (fig. (a))
o o Si 0 < q < 90 entonces m > 0 (fig. (b))
Si 90º < q < 180o entonces m < 0 (fig. (c))
v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular
de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.
Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo
si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.
• Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Teorema (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente.
Entonces:
l1 es paralela a l2 (l1 || l2) i) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1
Demostración
En la fig siguiente aparece ilustrada cada una de las situaciones:
fig.
i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2, entonces los ángulos θ 1 y θ 2 son iguales por
correspondientes y en consecuencia tanθ 1 = tanθ 2, es decir, m1 = m2. Ahora,
si m1= m2, se sigue de (2)’ que tanθ 1 = 0, y de aquí, θ 1 = θ 1 - θ 2 = 0, de donde
θ 1 = θ 2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot θ 1 = cot
Sustituyendo este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde
Recíprocamente, si m1
m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2 = -1.
. m2 = -1, entonces y como m2=tanθ 2 y
m1=tanθ 1, se tiene que , donde sin pérdida de
generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor inclinación θ 1. Teniendo en
son ángulos positivos y menores que 1800, cuenta que tanto θ 1 como θ 2
concluimos que: θ 1 = 90 + 0 θ 2, de donde θ 1 – θ 2 = 90 to las rectas
l
0 y por lo tan
Observaciones
ciones en forma general Ax +
0 puesto que
1 y l2 son perpendiculares.
i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecua By
+ C = 0 y A1x + B1y + C1 = y , entonces las
condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden
enunciarse en la siguiente forma:
l1 || l2
l1 l2
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una
condición necesaria y suficiente para que dos rectas l
cientes. Es decir, las rectas de ecuaciones
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes
1 y l2 sean coincidentes es
la proporcionalidad entre sus coefi
1.2.3 Polígonos
dos partiendo de
P1=(x1, y1) L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados, para la
consecución de cada punto se tendrá:
ara las componentes en el eje horizontal X (abscisas),
x1
x3 = LCos (θ+ ω) + x3-1 = x3 = LCos (θ+ ω) + x2
LC s (θ+ 3ω) + x4
.
En este subtema estudiamos los polígonos y sus propiedades.
Deduciremos cómo son sus ángulos, área y su relación con la circunferencia.
Para construir cualquier polígono regular de n la
P
x2 = LCos θ + x2-1 = x2 = LCos θ +
x4 = LCos (θ+ 2ω) + x4-1 = x4 = LCos (θ+ 2ω) + x3
x5 = LCos (θ+ 3ω) + x5-1 = x5 = o
. .
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1
s componentes en y (ordenadas),
θ + x = y2 = LSen θ + x1
3 = LSen (θ+ ω) + x3-1 = y3 = LSen (θ+ ω) + x2
4 4-1 4 ω) + x3
5 5-1 5 θ+ 3ω) + x4
en (θ+ k ω) + yn-1
os respectivos denotados por:
) P =(x , y ), P4=(x4, y4), … Pn=(xn, yn).
onstruir un pentágono sí:
1(x1, y1) L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.
En general.
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4…}
De igual forma para la
y = LSen 2 2-1
y
y = LSen (θ+ 2ω) + x = y = LSen (θ+ 2
y = LSen (θ+ 3ω) + x = y = LSen (
. .
.
yn = LS
En general.
yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4…}
Encontrando los punt
P =(x , y2 2 2 , 3 3 3
Necesarios para graficar cualquier polígono regular de n lados
Ejemplo de autoaprendizaje: Construcción de un pentágono. C
P
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano,
as por P2=(x2,
2), P3=(x3, y3), P4=(x4, y4) y P5=(x5, y5). Siguiendo el siguiente proceso:
= 5, entonces ω= (360/5), ω= 72º
2 = LCos θ + x1 y y2 = LSen θ + y1 punto P2=(x2, y2)
3 = LCos (θ+ ω) + x2 y y3 = LSen (θ+ ω) + y2 punto P3=(x3, y3)
4 = LCos (θ+ 2ω) + x3 y y4 = LSen (θ+ 2ω) + y3 punto P4=(x4, y4)
5 = LC x5, y5)
raficar cualquier pentágono.
) Sí, L= 5 cm. P1(-2, 3) θ = 35º ω=72º
) Sea L= 9/2 cm. P1(4,-3). θ = 155º ω=72º
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dad
y
Figura. Pentágono, sus puntos y ángulos correspondientes
nxx xx os (θ+ 3ω) + x4 y y5 = LSen (θ+ 3ω) + y4 punto P5=(
Encontrando los demás puntos para g
Ejercicios de autoaprendizaje: Construir los siguientes pentágonos.
a
b
• Perímetros
ara encontrar los perímetros de poligonales abiertas o cerradas se aplicará el
s de rtesiano:
ean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
1 y 2
P
Teorema de la distancia entre dos punto l Plano ca
S
La distancia entre los puntos P P denotada por d = esta dada por:
C,
Ejemplos de autoaprendizaje:
Obtener el perímetro del siguiente polígono dadas las coordenadas de A, B,
D, E, F, G
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-5 5 10 15
perímetro= = 27 cm
m FE = 6 cmm ED = 5 cmm DC = 3 cmm CB = 3 cmm BA = 5 cmm AG = 5 cm
F: (-1, -3)
G: (-3, 3)
E: (5, -3)
D: (4, 1)
C: (7, 3)
B: (6 5)
A: (1, 6)
BA ,
G
E
CD
F
• Áreas
La forma de encontrar el Área de una región poligonal en el plano cartesiano
toma en cuenta lo siguiente:
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices
nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas :
,........,
Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor
absoluto de la expresión:
);( 111 yxA , );( 222 yxA , );( 333 yxA );( nnn yxA
S
11 yx
33
22
11
..
..1
yx
yxyxyx
nn
Obsérvese en la determinante se repite er par ordenado
correspondiente a la coordenada de .
Para resolver este determinante se multiplica de forma ascendente y
descendente de la siguiente forma
..2S = .....(1)
Llamada también formula determinante de Gauss
, al final, el prim );( 11 yx
1A
11
33
22
11
..
...
.
yxyx
yxyxyx
nn
I D
De donde: 1321 xyxD 2 ...... yxy n+++=
13221xyI ....... xyxy n+++=
Luego el valor de la determinante estará dada por:
yxyx 22
11
ID
yxyx nn
yx
−=
11
33
..
.. ....(2)
endo (2) en (1):
..
Por lo tanto sustituy
2 2
1 uIDS −= ....(3)
Notas:
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicios de aplicación:
onal cuyos vértices son: , ,
, y
Solución:
acemos un gráfico aproximado:
a. Hallar el área de la región pentag )16;6(− )6;16(
)4;10( −− )12;12( )8;20( −
H
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20
E: (12, 12)D: (16, 6)C: (20, -8)B: (-10, -4)A: (-6, 16)
A
C
D
E
B
er vértice al par ordenado luego:
Elijamos como prim )12;12(
)12;12();( 11 =yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el
sentido antihorario serán:
)16;6();( 22 −=yx
)4;10();( 33 −−=yx
)8;20();( 44 −=yx
)6;16();( 55 =yx
Reemplazando estos valores en (1):
1212616820410
1661212
21
−−−
−
=S
la teoría:
serán:
Resolvamos la determinante de acuerdo a
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente
688)12)(16()6)(20()8)(10()4)(6()16)(12( =++−−+−−+=D
368)12)(6()16)(8()20)(4()10)(16()6)(12( −=+−+−+−+−=I
n (3) , el área de dicha región será :
Finalmente sustituyendo estos valores e
)368(68821
−−=S
Por lo tanto:
488=S
1212616820410
1661212
−−−
−
b. Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. , ,
Haciendo un gráfico:
)2;3( −− )2;7(
)6;1(
6
4
2
-2
-4
-6
5 10
AA: (1.01, 5.93)
C: (6.99, 1.98)B: (-2.99, -2.01)
C-10 -5
B
lijamos como primer vértice al par ordenado E )2;3( −− luego:
)2;3();( 11 −−=yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el
sentido antihorario serán:
)2;7();( 22 =yx
)6;1();( 33 =yx
Reemplazando estos valores en (1):
23612723
21
−−
−−
=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3), el área de dicha región será:
23612723
−−
−−
34)2)(1()6)(7()2)(3( =−++−=D
30)3)(6()1)(2()7)(2( −=−++−=I
)30(3421
−−=S
Por lo tanto:
32=S
c. Calcular el área de una región hexag vonal no con exa (cóncava) cuyos
vértices son: )3;3( − , )1;2( , )7;4( , )2;6(− , ;1( , )5;3( −−)2−− .
dibujemos un gráfico aproximado del
hexágono no convexo.
Al igual que en los demás casos
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
B
AC
E: (-3, -5)D: (3, -3)C: (2, 1)B: (4, 7)A: (-5, 2)
F
E
D
F: (-1, -2)
primer par ordenado
Elijamos como )3;3( − luego:
;3();( 11 3 )−=yx
do al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el
entido antihorario serán:
Luego de acuer
s
)1;2();( 22 =yx
)7;4();( 33 =yx
6; ()( 44 )2;−=yx
)2;1();( 55 −−=yx
)5;3();( 66 −−=yx
Reemplazando estos valores en (1):
335321
26741233
21
−−−−−
−
−
=S
lo expuesto en la teoría:
Resolvamos la determinante de acuerdo a
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
51)3)(3()5)(1()2)(6()2)(4()7)(2()1)(3( =−−+−−+−−+++=D
53)3)(5()3)(2()1)(2()6)(7()4)(1()2)(3( −=−+−−+−+−++−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)53(5121
−−=S
Por lo tanto:
52=S
Como puede darse, este método para calcular el área de una región poligonal
cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.
35321
26741233
−−−−−
−
−
3
Bibliografía para la unidad I Básica
etría Analíti a Básica. México, Publicaciones
Cultural, 2004, 150 pp.
Capítulo 1. Sistema de ejes coordenados.
Salazar Vásquez P. y Magaña Cuellar L. Matemáticas III, Compañía. Editorial
va Imagen, Colección Científica, México, 2003, 293 pp.
s Alcaraz Carlos. Geometría Analítica, Editorial Santillana, México, 1998,
.
Complementaria Holliday, Berchie y otros. Geometría Analítica con Trigonometría. México, Mc
Graw Hill, 2002, 605 pp.
Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. México, Publicaciones Cultural,
2002, 371 pp.
Capítulo 4: Conceptos básicos de geometría analítica.
e libros de Geometría
s plantean didáctico acorde con lo establecido
imero de los eferidos en la bibliografía básica s
a
ión e integración de los temas, y carecen de algunos contenidos
fía complementaria, el primero de los dos libros incluye sólo
lgunos temas del curso, con un tratamiento didáctico aproximado al que se
en pa ngún tema de la unidad I
el programa. El segundo libro, carece únicamente del tema lugares
temas no
cluidos en el programa).
Ruiz Basto, Joaquín. Geom c
Nue
Torre
320 pp
Comentarios sobre la bibliografía recomendada 1. Aunque existen en el mercado gran cantidad d
Analítica, muy poco un enfoque
en el programa de estudio.
2. Únicamente el pr e dos libros r
apega al contenido y enfoque señalados en el programa de la asignatura; el
segundo y tercero aunque coinciden con el tratamiento didáctico, difieren en l
secuenciac
marcados para el curso.
3. En la bibliogra
a
plantea en el programa. No desarrolla, rticular, ni
d
geométricos, de la primera unidad, pero desarrolla todos los temas restantes
con el enfoque requerido (incluye también otros capítulos con
in
