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UNIVERSIDAD DE COSTA RICAESCUELA DE MATEMATICA
DPTO. DE MATEMATICA APLICADAMA 0001 PRECALCULO
Funciones III
Profesores:Daniel Mena Gonzalez
Kattia Rodrıguez Ramırez
2 Trigonometrıa
Indice general
1. Conceptos preliminares 51. Razones trigonometricas de angulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Tipos de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Aplicaciones 171. Acercamiento a Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Angulos en la circunferencia trigonometri-ca 231. Razones trigonometricas para cualquier angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. Identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Funciones trigonometricas 351. Graficas de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352. Criterio de una funcion y uso de identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . 423. Intersecciones con los ejes de la grafica de funciones trigonometricas . . . . . . . 444. Sustituciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475. Acercamiento a Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Funciones trigonometricas inversas 571. Acercamiento a Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
4 Trigonometrıa
Capıtulo 1Conceptos preliminares
Antes de iniciar el estudio de la circunferencias trigonometrica, las funciones trigonometricasy las aplicaciones, es importante tener claros ciertos conceptos que se asumen previos para eldesarrollo de los anteriores.
Definicion 1. AnguloSe considera como la union de dos rayos que comparten un punto en comun llamando vertice.
x
y
α
∠ABC o ∠α
A
B
C
1.1. Razones trigonometricas de angulos agudos
Considere el 4 ABC un triangulo rectangulo en B, donde a, b, c , 0 se definen las seis razonestrigonometricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para el angulo agudo xde la siguiente manera:
5
6 Trigonometrıa
sen (x) =cateto opuesto
hipotenusa=
cb
csc (x) =hipotenusa
cateto opuesto=
bc
cos (x) =cateto adyacente
hipotenusa=
ab
sec (x) =hipotenusa
cateto adyacente=
ba
tan (x) =cateto opuesto
cateto adyacente=
ca
cot (x) =cateto adyacentecateto opuesto
=ac
Para dar el valor de las razones trigonometricas es fundamental considerar el angulo agudo conel que va a trabajar, ya que a partir de este angulo se determina el cateto opuesto o el adyacenteal angulo dado.
1.2. Teorema de Pitagoras
Teorema
En un triangulo rectangulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas delos catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa
Trigonometrıa 7
En un triangulo rectangulo cuando no se conoce la medida de alguno de los lados utilizamoseste teorema.
Ejemplo 1. Determine la medida del cateto mayor de un triangulo rectangulo si la hipotenusa mide17cm y el cateto menor 5cm.
SolucionSi a es la medida del cateto, se debe tener que
a2 + (5)2 = (17)2
a2 = 289 − 25a2 = 264a = ±2
√
66
Se debe tomar el valor positivo a = 2√
66
Ejercicios 1.
I. Para el 4ABC de la Figura 1 determine:
a. El cateto opuesto para el angulo 90◦ − x
b. El cateto adyacente para el angulo (90◦ − x)
c. Los valores de las razones para sen(90◦ − x), cos(90◦ − x) y tan(90◦ − x)
d. Conjeture sobre la relacion entre las razones trigonometricas para los angulos x y 90◦ − x
II. Para el 4ABC de la Figura 2 determine el valor exacto de:
a. cosα
b. tan(90◦ − α)
c. csc(α)
III. Sea un 4PQR rectangulo en Q con m∠P = α, m∠R = β, cos(α) =1x, x , 0, determine el valor
exacto (en terminos de x) de:a) cos2(α) + sen2(α)b) cot(α) tan(β)
8 Trigonometrıa
1.3. Tipos de angulos
Debe contemplarse que los angulos que aquı se mencionan se ubican en el plano cartesiano.
Definicion 2. Angulo en posicion estandar o normalAngulo cuyo lado inicial corresponde al semieje x positivo y su vertice coincide con el origen. El ladoterminal puede ubicarse en cualquier cuadrante o bien coincide con cualquiera de los semiejes.
Definicion 3. Angulo de medida positivaAngulo en posicion estandar cuyo lado terminal rota en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
Definicion 4. Angulo de medida negativaAngulo en posicion estandar cuyo lado terminal rota en el sentido de las manecillas del reloj.
Trigonometrıa 9
Definicion 5. Angulo cuadrantalAngulo en posicion estandar cuyo lado terminal coincide con cualquiera de los semiejes x o y, positivo onegativo.
Definicion 6. Angulos coterminalesDos o mas angulos en posicion estandar que comparten el mismo lado terminal.
Definicion 7. Angulo de referenciaAngulo asociado a un angulo en posicion estandar, que esta formado por el lado terminal y el semieje xde tal forma que su medida sea positiva y menor a 90◦
10 Trigonometrıa
Definicion 8. Circunferencia trigonometricaEn el plano cartesiano, corresponde a la circunferencia que tiene por centro el origen y radio 1 unidadlineal. Esta definida por la ecuacion x2 + y2 = 1
x
yyyyy
1
−1
−1 1r = 1
Definicion 9. RadianAl considerar un angulo en posicion estandar en el plano, puede notarse que el lado inicial determinauna distancia t recorrida en la circunferencia trigonometrica. Se indica que t es la medida del angulo enradianes.
Trigonometrıa 11
x
yyyy1
−1
−1 1
t
θ
Dado que el radian constituye una unidad de medida para los angulos al igual que los grados,se establecen las siguientes relaciones entre ambas:
Grados y radianes
x◦ = x◦ ·π
180◦radianes
y radianes =(
y · 180π
)◦
Se debe aclarar que para el curso se empleara la medida de los angulos en radianes, salvo quese indique lo contrario.
Ejemplo 2. Para cada angulo dado determine la medida del angulo de referencia.
a.α =19π
6
b.β =−8π15
SolucionUbique, en el sistema de coordenadas, cada angulo dado en posicion estandar, determine el cuadrantedonde se encuentra el lado terminal del angulo para hallar el angulo de referencia.
12 Trigonometrıa
a. α =19π
6
Debe notarse que la medida del angulo esmultiplo de
π6
y estos angulos solo cuen-tan con un angulo de referencia cuya me-dida corresponde a
π6
b. β =−8π15
En este caso, dado que el angulo de refe-rencia debe ser agudo y de medida positi-va, entonces su medida puede correspon-
der aπ15,
2π15,
3π15,
4π15,
5π15,
6π15,
7π15
puesto que son los que cumplen lo indica.Se tiene ası que βr =
Ejemplo 3. Determine el valor exacto de
(2 sen
(π6
)+ 3 cos
(π3
))2
tan(π4
)Solucion: Primero, determinamos el valor numerico de las razones para sen
(π6
), cos
(π3
), tan
(π4
)lue-
go resolvemos las operaciones indicadas, ası obtenemos:(2 sen
(π6
)+ 3 cos
(π3
))2
tan(π4
) =
(2 ·
12+ 3 ·
12
)2
1
=(12+
32
)2
=254
Ejercicios 2.
I. Para cada angulo dado coloquelo en posicion estandar, determine el cuadrante al que pertenece el ladoterminal y determine la medida de un angulo coterminal negativo en radianes.
Trigonometrıa 13
a.29π
4b. −
π6
II. Determine la medida del angulo de referencia.
a.43π
3
b. −19π12
III. Para cada uno de los ejercicios propuestos determine lo que se solicita.
a. Sea α un angulo en posicion estandar tal que3π2< α < 2π y determina un angulo de referencia de
7π18
, halle la medida de α.
b. Considere α un angulo en posicion estandar tal que−3π
2< α < −π y determina un angulo de
referencia deπ6
, halle la medida del angulo α.
Ejercicios Complementarios 1.
1. Escribir en cada espacio delineado lo que se solicita.
a) La medida de dos angulos coterminales, uno positivo y otro negativo, con θ = −2π15 es
y
b) El lado terminal del angulo α = π12 se encuentra en el cuadrante
c) La medida de un angulo cuadrantal negativo corresponde a
d) Si para un angulo β se cumple que sec β > 0 y cot β < 0 entonces se puede asegurar que ellado terminal del angulo se encuentra en el cuadrante
e) Considere el angulo δ en posicion normal con (x, y) un punto en su lado terminal y r =√x2 + y2 , 0
i. sen δ =
ii. tan δ =
iii.xr=
14 Trigonometrıa
iv.ry= v. sec δ =
vi.xy=
2. Determinar el angulo de referencia y el valor exacto de la razon trigonometrica sin utilizar lacalculadora
a) cos(11π
6
)b) cot
(−5π
4
)c) sec
(7π3
)d) sen
(7π4
)e) tan
(−19π
6
)
Trigonometrıa 15
3. Completar la siguiente tabla con la informacion faltante. Las medidas de los angulos pertenecen alintervalo [0, 2π]
θ sen (θ) cos (θ) tan (θ) csc (θ) sec (θ) cot (θ)
0 y 0 1 0
0 −1 0 No existe -1 No existe
π2
1 No existe
3π2
-1 No existe 0√
22
√2
21
√2
√2 1
π6
12
2
12
2√
33
16 Trigonometrıa
Capıtulo 2Aplicaciones
La resolucion de situaciones donde se involucran razones trigonometricas constituye un primeracercamiento a las razones de cambio y optimizacion que seran tema de analisis en el curso deCalculo.
Ejemplo 4. La distancia entre la Tierra y la Luna varıa mientras esta gira alrededor de nuestro planeta.En determinado momento se mide el angulo de paralaje geocentrico, como se muestra en la figura, el cuales 1◦. Calcule la distancia, en millas, entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna en ese instante.Asuma que el radio de la Tierra es 3963 millas
SolucionSe tiene que sen (1◦) =
3963d
de donde se obtiene que d =3963
sen (1◦)
La distancia aproximada entre los centros de la Tierra y la Luna es 227075 millas.
17
18 Trigonometrıa
Ejemplo 5. Para la carrera de obstaculos Apache 2015 los participantes debıan escalar y descender unarampa como se muestra en la figura. El angulo de elevacion desde el punto de inicio del ascenso es de 22◦
y el angulo de depresion de la cima al punto de llegada es de 50◦. Considere que el punto de inicio y elpunto de llegada estan separados 4 metros. Determine (con un decimal):
a) La altura aproximada de larampa.
b) La distancia recorrida al as-cender.
c) La distancia recorrida al des-cender.
Solucion
A continuacion se muestra una representacion en dos dimensiones de la situacion descrita an-teriormente:
a) Siendo h la altura y x la distancia desde punto de inicio al pie de la altura, se tiene:
tan (22◦) =
hx
tan (50◦) =h
4 − xx tan (22◦) = h
(4 − x) tan (50◦) = h
x tan (22◦) = (4 − x) tan (50◦)
x tan (22◦) + x tan (50◦) = 4 tan (50◦)
Trigonometrıa 19
x(tan (50◦) + tan (22◦)) = 4 tan (50◦)
x =4 tan (50◦)
tan (50◦) + tan (22◦)
x ≈ 2, 98 m
h ≈ 2, 98 · tan (22◦) ≈ 1, 2 m
La altura aproximada de la rampa es 1, 2 m.Puede notar que el sistema de ecuaciones lineales se puede resolver haciendo uso de lacalculadora con MODE-5-1
x tan (22◦) − h = 0
−x tan (50◦) − h = −4 tan (50◦)
b) sen (22◦) =ha⇒ a ≈ 3, 20 m
La distancia recorrida al ascender es aproximadamente 3, 20 m
c) sen (50◦) =hd⇒ d ≈ 1, 57 m
La distancia recorrida al descender es aproximadamente 1, 57 m
Ejemplo 6. Desde la parte superior de un acantilado se observa un velero que se aproxima a la base. Elpunto desde donde se observa se mantiene fijo y esta a 100 m por encima del nivel del agua, ademas quese determina un angulo de depresion θ. La distancia x del velero a la base del acantilado disminuye a20 m/s al mismo tiempo que aumenta la medida del angulo θ
1. Represente graficamente la situacion descrita.
2. Plantee una razon trigonometrica a partir de la informacion dada, en terminos de x y θ.
3. Determine el valor de sec2(θ) cuando el velero esta a 200 m de la base.
Solucion
1. Una representacion puede ser la siguiente
20 Trigonometrıa
2. Con los datos planteados se tiene que tan (θ) =100x
o cot (θ) =x
100
3. Se tiene que cuando x = 200 entonces tan (θ) =100200
. Ademas haciendo uso del Teoremade Pitagoras
1002 + 2002 = h2
±100√
5 = h
De acuerdo con el contexto h = 100√
5 y sec (θ) =100√
5200
=
√5
2Por lo tanto sec2 (θ) =
54
Ejercicios Complementarios 2.
1. A continuacion se le presentan varias situaciones en las cuales debe utilizar razones trigonometri-cas. Resolver lo planteado.
a) Considere un faro de 55 m sobre el nivel del mar. Desde el se observa un bote con un angulode depresion de 37◦. Calcule la distancia a la que se encuentra el bote de la base del faro.
b) El cerro Chirripo, el mas alto de Costa Rica, tiene una altura aproximada de 3820 m. Untopagrafo, ubicado a varios de kilometros de distancia, determina que el angulo de elevacionentre el suelo y la lınea visual a la cumbre es de 32◦. Aproxime la distancia a la que seencuentra el topagrafo del centro de la base del cerro Chirripo.
c) En su aproximacion al aeropuerto, un avion vuela a 1500 m de altura y debe llegar a la pistade aterrizaje con un angulo de 10◦. Calcule a que distancia horizontal del aeropuerto debe elpiloto iniciar el descenso del avion.
Trigonometrıa 21
d) Un observador de 1, 2 m de altura ve la copa de un arbol con un angulo de elevacion de 32◦,camina 11 m y ahora ve la copa del arbol con un angulo de 68◦. Determine la altura del arbol.
e) Un globo asciende verticalmente. Al ser observado desde un punto A a 97 m en terrenohorizontal, el angulo de elevacion varıa de 20◦ a 30◦. ¿Cual es la distancia aproximada queascendio el globo durante ese periodo de observacion?
f) Un puente levadizo mide 7, 5 metros de orilla a orilla, y cuando se levanta por completo formaun angulo de elevacion de 43◦. Cuando baja, forma un angulo de depresion de la orilla a unpunto en la superficie del agua bajo el extremo opuesto de 27◦. Cuando el puente se levanta,¿cual es la distancia d entre el punto mas alto del puente y el agua? Vea la figura adjunta.
2.1. Acercamiento a Calculo
El ejercicio que se muestra a continuacion pretende mostrar como se resuelven situaciones queinvolucran razones de cambio y particularmente aquellas que requieren el uso de la Trigono-metrıa.
La medida de uno de los angulos agudos de un triangulo rectangulo disminuye a razon de 36 rad/s. Sila longitud de la hipotenusa es constante y mide 40 cm, calcule con que rapidez cambia el area cuando lamedida de dicho angulo agudo es de
π6
rad.
El area de un triangulo rectangulo esta dada por A =bh2
, donde b y h son las medidas de loscatetos.Puesto que se indica el cambio de la medida de un angulo agudo y su valor en un momentoparticular, debe expresarse el area en terminos del angulo.Considerese la siguiente representacion
22 Trigonometrıa
De lo anterior se deduce que sen (α) =b
40y cos (α) =
h40
, por lo que
40 sen (α) = b
40 cos (α) = h
El area del triangulo se puede expresar ası A =40 sen (α) · 40 cos (α)
2= 800 sen (α) cos (α)
Dado que el area y la medida del angulo son dependientes del tiempo (variable independiente),se procede a realizar derivacion implıcita
dAdt= 800
[cos (α) cos (α)
dαdt+ sen (α) · − sen (α)
dαdt
]dAdt= 800
[cos2 (α) − sen2 (α)
] dαdt
Como α =π6
ydαdt=−π36
entonces
dAdt= 800
[cos2
(π6
)− sen2
(π6
)]·−π36
dAdt=−100π
9
El area del triangulo esta disminuyendo a100π
9cm2/s
Capıtulo 3Angulos en la circunferencia trigonometrica
En este capıtulo podremos aprender como se puede obtener el valor de una razon trigonometri-ca para cualquier angulo (de medida positiva o negativa) haciendo uso de la circunferenciatrigonometrica y cuando no se haga referencia a esta.
3.1. Razones trigonometricas para cualquier angulo
Considere la siguiente representacion grafica
x
yyyyy1
−1
−1 1
(x, y
)1
θ
Conteste las siguientes afirmaciones:
a. El lado terminal del angulo θ interseca la circunferencia trigonometrica en el punto
b. Note que el triangulo que contiene el angulo θ es rectangulo, luego este satisface el Teo-rema de Pitagoras. Esto se expresa con la igualdad .
c. Como se esta trabajando en la circunferencia trigonometrica, entonces cualquier valor dex se encuentra en el intervalo y cualquier valor de y se encuentra en elintervalo .
d. El valor de la razon trigonometrica sen(θ) corresponde a .
23
24 Trigonometrıa
e. El valor de la razon trigonometrica cos(θ) corresponde a .
Nota 1
En la circunferencia trigonometrica todo angulo en posicion estandar θ subtiende unarco de medida t radianes y a dicho angulo se le asocia el punto de interseccion (x, y)del lado terminal con dicha circunferencia.
En el cuadro 1 se presentan algunas medidas de angulos para las cuales es importante conocerel punto asociado en la circunferencia trigonometrica. Debe completar algunos de los espacios.
Medida del angulo Coordenadas del punto asociado en la circunferencia
0 (1, 0)
π2
(−1, 0)
3π2
(1, 0)Cuadro 1
Para determinar las coordenadas asociadas a un angulo de medida negativa se recurre a losangulos coterminales, los cuales tienen los mismos valores para las razones trigonometricas.
Por ejemplo, para el angulo−π2
las coordenadas corresponden al punto (0,−1) en vista que este
angulo es coterminal con3π2
.
Ahora, determinemos las coordenadas de interseccion de la circunferencia trigonometrica conel lado terminal de un angulo de medida
π6,π4,π3
, para ello observe la informacion de la figura2.
Trigonometrıa 25
Figura 2
Ejemplo 7. Determine si cada punto dado pertenece a la circunferencia trigonometrica.
a.( √
22,−√
22
)b.
(−12,
14
)SolucionPara determinar si un punto esta en la circunferencia trigonometrica debe cumplir la identidad pitagoricax2 + y2 = 1.a. Comprobemos si las coordenadas del punto dado satisfacen la identidad:
( √2
2
)2
+
(−√
22
)2
= 1
24+
24
= 1
Como se cumple la identidad pitagorica entonces dicho pertenece a la circunferencia trigonometrica.
b. Comprobemos si las coordenadas para del punto satisfacen la identidad:(−12
)2
+(14
)2
=14+
116
=5
16Como
516, 1 ⇒ el punto no esta en la circunferencia trigonometrica.
26 Trigonometrıa
Nota 2
Si el lado terminal de un angulo en posicion estandar θ interseca la circunferenciatrigonometrica en el punto (x, y) entonces se tiene que
sen(θ) = y
cos(θ) = x
tan(θ) =sen(θ)cos(θ)
=yx
De lo anterior se puede deducir que
csc(θ) =1
sen(θ)=
1y, y , 0
sec(θ) =1
cos(θ)=
1x, x , 0
cot(θ) =cos(θ)sen(θ)
=xy, y , 0
Debe tenerse presente que de acuerdo con el cuadrante en que se encuentre el puntoası correspondera el signo de cada razon trigonometrica.
Ejemplo 8. Complete el siguiente cuadro con el signo de las tres razones trigonometricas principales enlos cuatro cuadrantes
Razon trigonometrica I C II C III C IV Csen (α) + −
cos (α) + −
tan (α) + −
Ejemplo 9. Determine los valores de las seis razones trigonometricas para el angulo α =17π
6si su lado
terminal interseca a la circunferencia trigometrica.
Solucion
En este caso se recomienda:
a. Ubicar el angulo en el plano cartesiano
b. Determinar su angulo de referencia
c. Determinar las razones del angulo de referencia
d. Asignar el signo a la razon segun el cuadrante en que se ubica el lado terminal
Trigonometrıa 27
De acuerdo con la figura anterior, el angulo α se encuentra en el II cuadrante, el valor de x esnegativo y el valor de y es positivo. Como el angulo de referencia mide
π6
, entonces se utilizanlos resultados obtenidos en la Figura 2 para determinar los valores de las razones trigonometri-cas del angulo indicado:
senα =12
cosα =−√
32
tanα =−1√
3cscα = 2 secα =
−2√
3cotα = −
√3
Ejemplo 10. Considere un angulo en posicion estandar θ cuyo lado terminal contiene el punto (2√
6,−1).Determine el valor exacto de:
a. sen(θ)
b. cos(θ)
c. El punto de interseccion del lado terminal con la circunferencia trigonometrica
SolucionUna representacion grafica de la situacion planteada es
28 Trigonometrıa
Para calcular el valor de las razones solicitadas se trabajara con el triangulo que se muestra a continuacion
Se debe calcular la medida de la hipotenusa haciendo uso del Teorema de Pitagoras
(2√
6)2 + 12 = h2
25 = h2
±5 = h
Se toma h = 5 y considerando que el lado terminal del angulo θ se ubica en el cuarto cuadrante entonces:
a. sen(θ) = − sen(θr) =−15
b. cos(θ) = cos(θr) =2√
65
c. Debe recordarse que el punto de interseccion (x, y) con la circunferencia trigonometrica corresponde al
par ordenado (cos(θ), sen(θ)). Es ası que se tiene(
2√
65,−15
)
Trigonometrıa 29
Ejercicios 3.
I. Considere un angulo α de medida7π4
cuyo lado terminal interseca a la circunferencia trigonometricaen un punto (x,y). Determine:
a. Los valores exactos de sen(α), cos(α) y tan(α)
b. Las coordenadas del punto de interseccion.
II. Calcule el valor exacto desen(θ)
sec(θ) − cot(θ)si θ es un angulo cuyo lado terminal contiene el punto(
−35,−12
)
3.2. Identidades trigonometricas
El uso de la circunferencia trigonometrica facilita la deduccion de algunas identidades trigo-nometricas que se emplearan en el siguiente capıtulo.
La primera identidad que se considera fundamental es la identidad pitagorica que se obtiene alsustituir x = cos(α) y y = sen(α) en la ecuacion x2 + y2 = 1:
cos2(α) + sen2(α) = 1 (1)
A partir de esta identidad podemos obtener otras identidades pitagoricas, dividiendo ambosmiembros por sen2(α) o cos2(α):
tan2 (α) + 1 = sec2 (α) (2)cot2 (α) + 1 = csc2 (α) (3)
Usando la definicion y los signos de las razones trigonometricas en la circunferencia trigo-nometrica, podemos obtener la paridad en las identidades trigonometricas, para ello considereconsidere los datos de la figura:
30 Trigonometrıa
sen (−α) = − sen (α) cos (−α) = cos (α) tan (−α) = − tan (α)
csc (−α) = − csc (α) sec (−α) = sec (α) cot (−α) = − cot (α)
Otras identidades trigonometricas importantes son las que corresponden a la suma y resta deangulos:
sen(α ± β
)= sen (α) · cos
(β)± sen
(β)· cos (α) (4)
cos(α ± β
)= cos (α) · cos
(β)∓ sen (α) · sen
(β)
(5)
tan(α ± β
)=
tan (α) ± tan(β)
1 ∓ tan (α) · tan(β) (6)
Las identidades 4, 5 se utilizan para deducir otras identidades, por ejemplo las de angulo doble:
sen(2α) = sen (α + α) = sen (α) · cos (α) + sen (α) · cos (α) = 2 sen(α) cos(α) (7)
cos(2α) = cos (α + α) = cos (α) · cos (α) − sen (α) · sen (α) = cos2(α) − sen2(α) (8)
De la identidad 8 se pueden deducir otras dos:
cos(2α) = 2 cos2(α) − 1 (9)
cos(2α) = 1 − 2 sen2(α) (10)
Ejemplo 11. Considere un angulo α en posicion estandar cuyo lado terminal se encuentra en el II
cuadrante, si el valor de sen (α) =
√5
3, determine el valor de:
Trigonometrıa 31
a) cos (2α)
b) cos(π4− α
)SolucionAplicando la identidad 1 se tiene que:
cos2(α) + sen2(α) = 1
cos2(α) +( √
53
)2
= 1
cos2(α) +59= 1
cos2(α) =49
cos(α) = ±23
Como el lado terminal del angulo α esta en el II cuadrante, el valor de cos(α) debe tomarse
negativo, ası que cos(α) =−23
. Ademas, debemos utilizar las identidades trigonometricas estu-diadas.
a) cos (2α) = cos2 (α) − sen2 (α) Usamos la identidad trigonometrica 8
=(−23
)2
−
( √5
3
)2
Sustituimos el valor de cos (α) y sen (α)
=49−
59
Hacemos las operaciones respectivas
=−19
b) cos(π4− α
)= cos
(π4
)· cos (α)+ sen
(π4
)· sen (α) Usamos la identidad trigonometrica respectiva
=
√2
2·−23+
√2
2·
√5
3Sustituimos los valores de cos
(π4
), cos (α)
sen(π4
), sen (α)
=−√
23+
√106
Hacemos las operaciones respectivas
=−2√
2 +√
106
Ejemplo 12. Determine el valor exacto de tan(11π
12
)considerando que
11π12=π4+
2π3
32 Trigonometrıa
Solucion
Se sabe que tan(11π
12
)=
sen(11π
12
)cos
(11π12
) y como11π12=π4+
2π3
entonces
tan(11π
12
)=
sen(π4+
2π3
)cos
(π4+
2π3
)
=sen
(π4
)cos
(2π3
)+ sen
(2π3
)cos
(π4
)cos
(π4
)cos
(2π3
)− sen
(2π3
)sen
(π4
)
=
√2
2·−12+
√3
2·
√2
2√
22·−12−
√3
2·
√2
2
=
−√
24+
√6
4−√
24−
√6
4
=
−√
2 +√
64
−√
2 −√
64
=−√
2 +√
6
−√
2 −√
6
Ejercicios 4.
I. Considere un angulo β en posicion estandar cuyo lado terminal se encuentra en el III cuadrante, si el
valor de tan(β)=
23
, determine el valor de:
a. sen(−β
)b. tan2 (β) + 1
II. En la circunferencia trigonometrica el valor de cos(β)=
12
y tan(β)< 0, determine:
Trigonometrıa 33
a. El cuadrante donde se ubica el lado terminal del angulo β.
b. El valor de cos(π + β)
c. El valor de tan(−β)
Ejercicios Complementarios 3.
1. Determinar lo solicitado, para cada angulo en posicion estandar, segun la informacion brindada.
a) Si lado terminal de un angulo α contiene el punto (−3, 5), calcule tanα
b) Si csc β = −2 y el lado terminal esta en el IV cuadrante, calcule cos β
c) El lado terminal de δ contiene el punto (−2,−3). Determine sen δ − cos δ
d) Si senθ = a, con θ en el II cuadrante, determine una expresion en terminos de a para cos(2θ).Utilice la identidad cos(2α) = cos2 α − sen2 α
e) Calcule sen(α − β) si senα =−35
y cos β =−14
, ambos en el III cuadrante.
f) Considere el angulo α =7π12
en posicion estandar en el plano y que7π12=π4+π3
. Determine en forma exacta senα y cosα.
g) De acuerdo con la representacion dada:
El valor exacto de y
El valor exacto de sen σ, cos σ, tan σ
El valor exacto de cos(2σ) + sen(π4− σ
)
34 Trigonometrıa
Capıtulo 4Funciones trigonometricas
Al aplicar lo estudiado acerca de razones trigonometricas, circunferencia trigonometrica, quela medida t en radianes de un angulo en posicion estandar es igual a la longitud del arco inter-ceptado y que a cada numero real t le corresponde un unico angulo en posicion estandar condicha medida, podemos definir las funciones trigonometricas:
a) f : R→ R, f (t) = sen (t), donde sen (t) es el valor de seno del angulo de medida t radianes
b) f : R → R, f (t) = cos (t), donde cos (t) es el valor de coseno del angulo de medida tradianes
c) f : R −{(2k + 1) ·
π2, conk ∈ Z
}→ R, f (t) = tan (t), donde tan (t) es el valor de tangente del
angulo de medida t radianes.
El dominio de la funcion con criterio f (t) = tan (t), varıa con respecto a la funcion seno y coseno.Justifique con sus propias palabras a que se debe esta situacion.
4.1. Graficas de las funciones trigonometricas
Considere siguiente representacion grafica
35
36 Trigonometrıa
Con los valores de las coordenadas para los puntos A,B y P en la Figura 4, determine la medida(en radianes) para los angulos en posicion estandar:
a.t1 = b.t2 = c.t3 =
Recordemos que la medida del angulo en radianes es igual a la longitud del arco interceptadoen la circunferencia trigonometrica ası al arco:
a. CA le corresponde el numero real b.CB le corresponde el numero real
c. CP le corresponde el numero real d. CE le corresponde el numero real
Recuerde que en la circunferencia trigonometrica se definieron las razones trigonometricas para
un numero real t de la forma: sen (t) = y, cos (t) = x y tan (t) =yx, con x , 0. Por lo tanto,
antes de trazar la grafica para seno, coseno y tangente, completemos el Cuadro 4 con los valoresde las funciones trigonometricas para los numeros reales t en el intervalo [0, 2π]:
Trigonometrıa 37
t ∈[0,π2
]t ∈
]π2, π
]t ∈
]π,
3π2
]t ∈
]3π2, 2π
]coordenadas (x, y) coordenadas (−x, y) coordenadas (−x,−y) coordenadas (x,−y)
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
sen (t)
cos (t)
tan (t)
Cuadro 4
La informacion del cuadro 4 es util para representar graficamente en el plano cartesiano lospares ordenados de cada una de las funciones en estudio y determinar algunas caracterısticasbasicas.
1. f : R→ R, f (t) = sen (t)
Con la informacion de la grafica para la funcion seno, determine:
38 Trigonometrıa
a. Ambito:
b. Intersecciones eje x:
c. Interseccion eje y:
d. Un intervalo donde la f es creciente:
e. Un intervalo donde la f es decreciente:
f. Preimagenes de12
:
g. Preimagenes de−12
:
h. Imagen deπ4
:
i. Imagen de3π4
:
j. Justifique si f es biyectiva:
k. Periodo: 2π
2. f : R→ R, f (t) = cos (t)
Con la informacion de la grafica para la funcion coseno, determine:
Trigonometrıa 39
a. Ambito:
b. Coordenadas interseccion eje x:
c. Coordenadas interseccion eje y:
d. Un intervalo donde la f es creciente:
e. Un intervalo donde la f es decreciente:
f. Preimagenes de12
:
g. Preimagenes de−12
:
h. Imagen de−π4
:
i. Justifique si f es biyectiva:
j. Periodo: 2π
3. f : R −{(2k + 1) ·
π2, con k ∈ Z
}→ R, f (t) = tan (t) =
sen(t)cos(t)
Con la informacion de la grafica para la funcion tangente, determine:
40 Trigonometrıa
a. Ambito:
b. Coordenadas interseccion eje x:
c. Coordenadas interseccion eje y:
d. Un intervalo donde la f es creciente:
e. Preimagenes de1√
3:
f. Preimagenes de −1:
g. Imagen de−π3
:
h. Periodo: π
A continuacion se muestran las graficas de las funciones cosecante, secante y cotangente.
4. f : R − {kπ, con k ∈ Z} → ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[ , f (t) = csc (t) =1
sen(t)
Trigonometrıa 41
5. f : R −{(2k + 1) ·
π2, con k ∈ Z
}→ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[ , f (t) = sec (t) =
1cos(t)
6. f : R − {kπ, con k ∈ Z} → R, f (t) = cot (t) =cos(t)sen(t)
42 Trigonometrıa
4.2. Criterio de una funcion y uso de identidades trigonometricas
Las identidades que se enunciaron en la seccion 3.2 se emplearan para reescribir el criterio deuna funcion que involucra expresiones trigonometricas, en vista que para un curso de Calculodiferencial e integral resulta necesario para el calculo de lımites o integrales.
Trigonometrıa 43
Ejemplo 13. Considere la funcion g definida en su dominio maximo y codominioR con g(θ) =cos
(θ +
π4
)sen (4θ)
.
Reescriba el criterio en forma simplificada, haciendo uso de identidades trigonometricas, de tal forma quese muestren las expresiones sen(2θ), sen(θ) y cos(θ)
Solucion
g(θ) =cos
(θ +
π4
)sen (4θ)
=cos (θ) cos
(π4
)− sen (θ) sen
(π4
)sen (2 · 2θ)
=cos (θ) ·
√2
2− sen (θ) ·
√2
2sen (2 · 2θ)
=cos (θ) ·
√2
2− sen (θ) ·
√2
22 sen (2θ) cos (2θ)
=
√2
2(cos (θ) − sen (θ))
2 sen (2θ) cos (2θ)
=
√2
2(cos (θ) − sen (θ))
2 sen (2θ) (cos2(θ) − sen2(θ))
=
√2
2(cos (θ) − sen (θ))
2 sen (2θ) (cos(θ) − sen(θ)) (cos(θ) + sen(θ))
=
√2
4 sen (2θ) (cos(θ) + sen(θ))
1. Identidad cos(α ± β
)2. Valor de cos
(π4
), sen
(π4
)3. Identidad sen (2α)
4. Factor comun de√
22
5. Identidad cos (2α) = cos2(α) − sen2(α)
6. Factorizar cos2(α) − sen2(α)
7. Simplificar al maximo
Ejemplo 14. Considere la funcion j definida en su dominio maximo y codominio R con
j(x) =2
cos2 (x)−
11 − sen(x)
. Reescriba el criterio en forma simplificada, haciendo uso de identidades
trigonometricas, para obtener una expresion fraccionaria en terminos de sen(x)
44 Trigonometrıa
Solucion
j(x) =2
cos2 (x)−
11 − sen(x)
=2
1 − sen2 (x)−
11 − sen(x)
=2
(1 − sen (x)) (1 + sen (x))−
11 − sen(x)
=2 − (1 + sen(x))
(1 − sen (x)) (1 + sen (x))
=2 − 1 − sen(x)
(1 − sen (x)) (1 + sen (x))
=1 − sen(x)
(1 − sen (x)) (1 + sen (x))
=1
1 + sen (x)
1. Identidad cos2(α) = 1 − sen2(α)
2. Factorizar 1 − sen2(α)
3. Efectuar la operacion entre fracciones
4. Cambiar de signo
5. Efectuar operaciones
6. Simplificar al maximo
4.3. Intersecciones con los ejes de la grafica de funciones trigonometricas
En esta seccion se enfatiza en como determinar las intersecciones con el eje x de la grafica deuna funcion trigonometrica pues el concepto de fondo son las ecuaciones trigonometricas. Sedebe tener claro que en ocasiones se debera emplear identidades trigonometricas basicas parareescribir el criterio y facilitar la resolucion de la ecuacion.
Ejemplo 15. Considere la funcion f : R→ R, f (x) = 2 sen(x)(1 − 2 cos(x)). Determine los puntos deinterseccion con los ejes de la grafica para x ∈ [−2π, 2π]
SolucionA continuacion se muestra la grafica de f
Trigonometrıa 45
Debe notarse que la grafica interseca varias veces el eje x, en efecto, lo hace infinitas veces, pueslas funciones trigonometricas son periodicas.Con el recurso grafico se puede deducir algunos puntos de interseccion pero otros no, por elloprocedemos a resolver el ejercicio haciendo uso del criterio:
Eje yf (0) = 2 sen(0)(1 − cos(0)) = 2 · 0(1 − 1) = 0, luego el punto de interseccion es (0, 0)
Eje xSe debe tener 2 sen(x)(1−2 cos(x)) = 0 y como el criterio esta expresado como producto entonces:
2 sen(x) = 0 ∨ 1 − 2 cos(x) = 0 Cada factor se iguala a cero
sen(x) = 0 ∨ cos(x) =12
Se despeja cada expresion
Resolver una ecuacion trigonometrica implica determinar el o los valores x en el dominio espe-cificado cuyo valor de la funcion trigonometrica es el indicado.
Para sen(x) = 0 se cumple que x = 0, x = π, x = −π, x = 2π, . . ., es decir, para todos losvalores x de la forma kπ con k ∈ ZComo x ∈ [−2π, 2π] solo se toman x = 0, x = π, x = −π, x = 2π, x = −2π
Las soluciones de cos(x) =12
son angulos cuyo lado terminal se ubican en el I y IV cuadran-
te, que tienen angulo de referencia con medidaπ3
. Por lo tanto se deben considerar x =π3,
x =5π3, x =
−π3, x =
−5π3
que pertenecen al intervalo dado.
Finalmente, los puntos de interseccion son (−2π, 0),(−5π
3, 0
), (−π, 0) ,
(−π3, 0
), (0, 0),
(π3, 0
), (π, 0) ,(5π
3, 0
), (2π, 0)
Ejemplo 16. Determine los puntos de interseccion con el eje x de la grafica de la funcion
k : [0, 2π[→ R, k(β) = cos(2β) + sen(2β) + 1
SolucionSe plantea la ecuacion cos(2β) + sen(2β) + 1 = 0Notese que se tienen las expresiones cos(2β) y sen(2β), con lo cual se debe usar identidades parareescribir el criterio.Se tiene que
2 cos2(β) − 1 + 2 sen(β) cos(β) + 1 = 02 cos2(β) + 2 sen(β) cos(β) = 0
2 cos(β)(cos(β) + sen(β)) = 0
Debe cumplirse que
46 Trigonometrıa
2 cos(β) = 0 ∨ cos(β) + sen(β) = 0cos(β) = 0 ∨ cos(β) = − sen(β)
La primera ecuacion tiene como soluciones β =π2, β =
3π2
.Las soluciones de la segunda ecuacion deben ser tales que los valores de seno y coseno seanopuestos. Esta caracterıstica se cumple para angulos cuyo lado terminal se ubica en el II y IV
cuadrante, y que tienen angulo de referenciaπ4
. Las soluciones son β =3π4
y β =7π4
.
Por lo tanto los puntos de interseccion son(π2, 0
),(3π2, 0
),(3π
4, 0
),(7π
4, 0
)Ejemplo 17. Determine los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de la funcion
g : [0, 2π[→ R, g(x) = cos(x +
7π4
)+
12
Solucion
Eje y
g(0) = cos(0 +
7π4
)+
12=
√2 + 12
⇒
(0,
√2 + 12
)Eje x
0 = cos(x +
7π4
)+
12⇔ cos
(x +
7π4
)= −
12
Recuerdese que cos(β)
es negativo para angulos cuyo lado terminal se ubica en el segun-
do y tercer cuadrante. Particularmente cos(β)=−12
para β =2π3, β =
4π3
o cualquier
coterminal con estos, es decir, β =2π3+ 2kπ, β =
4π3+ 2kπ, k ∈ Z
De lo anterior se deduce que
x +7π4=
2π3+ 2kπ⇔ x =
2π3+ 2kπ −
7π4=−13π
12+ 2kπ
x +7π4=
4π3+ 2kπ⇔ x =
4π3+ 2kπ −
7π4=−5π12+ 2kπ
Para determinar los valores en el intervalo [0, 2π[ =[0,
24π12
[se dan valores a k ∈ Z (note
que las medidas de los angulos son positivas, por lo que se debe iniciar con k = 1)
• Si k = 1 entonces x =11π12
o x =19π12
• Si k ≥ 2 los valores NO pertenecen al intervalo
Luego, los puntos de interseccion son(11π
12, 0
),(13π
12, 0
)
Trigonometrıa 47
4.4. Sustituciones trigonometricas
En esta seccion se podra explorar la relacion que se puede establecer entre una funcion alge-braica (que involucra polinomios, radicales, fracciones) y una funcion trigonometrica.
Al hacer referencia a sustituciones se debe entender que ha de identificarse una expresion par-ticular en el criterio de la funcion algebraica para sustituirla por una expresion trigonometrica.A continuacion se muestran las expresiones algebraicas que se deben identificar y la sugerenciapara la sustitucion o cambio de variable:
Expresion en el criterio algebraico Sustitucion trigonometrica Dominio para θ
√
b2x2 + a2 x =ab
tan (θ) θ ∈]−π2,π2
[√
b2x2 − a2 x =ab
sec (θ) θ ∈[0,π2
[√
b2a2 − x2 x =ab
sen (θ) θ ∈[−π2,π2
]
Debe aclararse que cuando se realiza una sustitucion, el nuevo criterio debe expresarse en sutotalidad en terminos de la nueva variable, es decir, no es admisible que se tengan las dosvariables. Ademas debe considerarse la redefinicion del dominio para la funcion trigonometricaresultante.
Ejemplo 18. Considere la funcion g : R − {0} → R, g(x) =1
x√
x2 + 49. Utilice una sustitucion
trigonometrica adecuada para obtener el criterio de una funcion trigonometrica, simplificado al maximo.
SolucionLa sustitucion que debe emplearse es x = a tan (θ) con a = 7 y θ ∈
]−π2,π2
[.
El criterio toma la forma
g(θ) =1
7 tan (θ)√
(7 tan (θ))2 + 49
=1
7 tan (θ)√
49 tan2 (θ) + 49
=1
7 tan (θ)√
49(tan2 (θ) + 1)Utilizar identidad
=1
7 tan (θ)√
49 sec2 (θ)sec (θ) > 0 para θ ∈
]−π2,π2
[=
17 tan (θ) · 7 sec (θ)
√sec2 (θ) = | sec (θ) | = sec (θ)
48 Trigonometrıa
=1
49 tan (θ) sec (θ)Utilizar identidades
=1
49 sen(θ)cos(θ) ·
1cos(θ)
=1
49 sen(θ)cos2(θ)
=cos2 (θ)
49 sen (θ)Ejemplo 19. Obtenga, en forma simplificada, el criterio de la funcion trigonometrica considerando lafuncion
p :[−
√
2,√
2]→ R, p(x) = x3
√
2 − 9x2
haciendo uso de una sustitucion trigonometrica apropiada.Solucion
Notese que en este caso a =√
2, b = 3 y la sustitucion es x =√
23
sen (θ) para θ ∈[−π2,π2
].
El criterio de la funcion trigonometrica corresponde a:
p(θ) =( √
23
sen (θ))3
√2 − 9
( √2
3sen (θ)
)2
=
√8
27sen3 (θ)
√2 − 9 ·
29
sen2 (θ)
=
√8
27sen3 (θ)
√2 − 2 sen2 (θ)
=
√8
27sen3 (θ)
√2 (1 − sen2 (θ)) Utilizar identidad
=
√8
27sen3 (θ)
√2 cos2 (θ) cos (θ) > 0 para θ ∈
[−π2,π2
]=
√8
27sen3 (θ)
√2 cos (θ)
√cos2 (θ) = | cos (θ) | = cos (θ)
=
√16
27sen3 (θ) cos (θ)
=4
27sen3 (θ) cos (θ)
Ejercicios 5.
I. Considere la funcion f : R − {0} → R, f (h) =cos (x + h) − cos (x)
h.
Reescriba el criterio, haciendo uso de identidades trigonometricas, para obtener
f (h) =cos(x) [1 − cos(h)]
h−
sen(x) sen(h)h
Trigonometrıa 49
II. Determine los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de la funcion
n : [−π, 2π]→ R, n(α) = 2 sen2(α) − 3 sen(α) + 1
III. Considere la funcion t : ]−∞,−5] ∪ [5,+∞[ [→ R, t(u) =
√2u2 − 25
u.
Utilice una sustitucion trigonometrica adecuada para obtener el criterio de una funcion trigonometrica,simplificado al maximo.
Ejercicios Complementarios 4.
1. A continuacion se le presentan las graficas de las funciones f (x) = cos x, g(x) = csc x y h(x) = cot x.Asocie en cada caso las caracterısticas que se le presentan sobre la funcion.
f(−3π
4
)Ambito
Estrictamente creciente en
Periodo
Interseccion con eje y
A. (0, 1)B.2π
C.−√
22
D.[−1, 1]E.[−π, 0]
50 Trigonometrıa
g(−3π
2
)+ g
(3π2
)AmbitoEcuacion de asıntotaDominioPeriodo
A.0B.]−∞,−1] ∪ [1,+∞[C. x = 0D. 2πE. R − {kπ, k ∈ Z}
Trigonometrıa 51
Dominio
AmbitoEcuacion de asıntotaPeriodoInterseccion con eje x
A.(−3π
2, 0
)B.RC. πD. R − {kπ, k ∈ Z}E. x = 2π
2. Reescribir el criterio de cada funcion trigonometrica utilizando identidades para obtener el criterioindicado. Considere cada funcion definida en su respectivo dominio.
Para modificar el criterio de la funcion m puede emplear la identidad tan(α ± β) =tan (α) ± tan
(β)
1 ∓ tan (α) tan(β)
3. Rescriba el criterio de la funcion dada empleando una sustitucion trigonometrica adecuada de tal forma
52 Trigonometrıa
Criterio Criterio con identidades aplicadas debe tener
f (x) =1 − tan (x)
sen (x) − cos (x)sec (x)
g(x) =tan (x) − sen (x)
sen3 (x)cos (x)
h(u) =cos
(u2+π2
)+ sen (u + π)
usen
(u2
), sen (u), u
j(x) =1 − cos(2x)
sen2 xconstante
k(x) =
12− cos
(π3− x
)x
cos (x) , sen (x) , x
m(h) =tan(x + h) − tan (x)
hm(h) =
tan h(sec2 x)h(1 − tan x tan h)
que el nuevo criterio no contenga radicales y este simplificado al maximo. Definada adecuadamente eldominio para la expresion que sustituira.
a) f : R→ [2,+∞[ , f (x) =√
x2 + 4
b) g :[−45,
45
]→ [0, 4] , g(x) =
√16 − 25x2
c) h :]−∞,−
√3]→ [0,+∞[ , h(x) =
√x2 − 3
d) j :[−√
5,√
5]− {0} → R, j(x) =
√5 − x2
x
e) k : R→[0,
√7
7
]k(x) =
1√
7 + x2
f) m : [2,+∞[→[0,
14
], m(x) =
√
x2 − 4x2
4. Determine las intersecciones con los ejes de la grafica de cada funcion. Para las intersecciones con el ejex considere cada dominio.
a) f (x) = 2 cos (x) − 1, x ∈ ]−2π, 2π[
b) g(x) = 2 sen (x) −√
3, x ∈[−5π
3,
5π2
]c) h(x) = cos (x) − sen (x), x ∈ [0, 2π[
Trigonometrıa 53
d) j(x) = 4 cos2 (x) − 1, x ∈ [0, 2π[
e) p(x) = (2 cos (x) +√
3)(2 sen (x) − 1), x ∈ [0, 2π[
f) r(x) = 2 sen2 (x) − cos (x) − 1, x ∈ ]−2π, 2π[
g) q(t) = sen(2t) cos (t) + sen (t) cos(2t), x ∈ [0, 2π[
h) s(x) = sen (x) tan (x) − sen (x), x ∈ [0, 2π[
i) k(t) = tan (2t) −√
3, x ∈]0, 2π[−{π4,
3π4,
5π4,
7π4
}
j) t(x) =−2 cos (x) sen (x)
cos2 (x) + 1, x ∈ ]−2π, 2π[
k) u(t) = sen(x −
π3
), x ∈ ]−2π, 2π[
4.5. Acercamiento a Calculo
La habilidad para transformar el criterio de una funcion trigonometrica mediante identidadeses fundamental para el curso de Calculo pues se requiere en el calculo de lımites y posterior-mente para la resolucion de integrales.
Calcule lımx→ π
4
cos(2x) + sen(4x)4x − π
Debe notarse que la funcion f (x) =cos(2x) + sen(4x)
4x − πpresenta indefinicion en x =
π4
de la
forma 00 . Como se tiene una expresion algebraica en el denominador entonces se sugiere
hacer un cambio de variable u = 4x − π de dondeu + π
2= 2x y u + π = 4x
Con lo anterior el criterio tomarıa la forma f (u) =cos
(u+π
2
)+ sen(u + π)
uUtilizando identidades trigonometricas se tiene
f (u) =cos
(u2
)cos
(π2
)− sen
(u2
)sen
(π2
)+ sen u cosπ + senπ cos u
u
54 Trigonometrıa
Por lo tanto
lımx→ π
4
cos(2x) + sen(4x)4x − π
= lımu→0
cos(
u2
)cos
(π2
)− sen
(u2
)sen
(π2
)+ sen u cosπ + senπ cos u
u
= lımu→0
cos(
u2
)· 0 − sen
(u2
)· 1 + sen u · −1 + 0 · cos u
u
= lımu→0
− sen(
u2
)− sen u
u
= lımu→0
− sen(
u2
)u
−sen u
u
= lımu→0
− sen(
u2
)2u
2
−sen u
u
=−12− 1
=−32
Las funciones trigonometricas tambien las encontrara presentes en los temas Derivacion eIntegracion. En este ultimo se destacan dos contenidos: sustitucion trigonometrica y sus-titucion de tangente del angulo medio.
Resuelva∫
x3√
4 − x2 dx
Como se tiene la expresion√
4 − x2 entonces la sustitucıon que corresponde es x = 2 senθde donde x3 = 8 sen3 θ y dx = 2 cosθ dθ. Con esto el criterio de la funcion se transforma yla integral que debe resolverse es∫
8 sen3 θ√
4 − 4 sen2 θ · 2 cosθ dθ =∫
16 sen3 θ cosθ√
4 − 4 sen2 θ dθ
=
∫16 sen3 θ cosθ
√4 (1 − sen2 θ) dθ
=
∫16 sen3 θ cosθ
√
4 cos2 θ dθ
=
∫16 sen3 θ cosθ · 2| cosθ| dθ
=
∫32 sen3 θ cosθ cosθ dθ
=
∫32 sen3 θ cos2 θ dθ
Trigonometrıa 55
=
∫32 sen2 θ senθ cos2 θ dθ
=
∫32
(1 − cos2 θ
)senθ cos2 θ dθ
= 32∫ (
cos2 θ − cos4 θ)
senθ dθ
Sea u = cosθ, du = − senθ dθ
= 32∫ (
u2− u4
)· −du
= −32(
u3
3−
u5
5
)+ C
−32(
cos3 θ3−
cos5 θ5
)+ C
Comox2= senθ entonces cosθ =
√
4 − x2
2y
∫x3√
4 − x2 dx = −32
√4 − x2
2
3
3−
√4 − x2
2
5
5
+ C
Resuelva∫
14 cos x + 3 sen x
dx
Para modificar el criterio de la funcion trigonometrica a uno algebraico se procede con lassustituciones:
u = tan(
x2
)⇒ arctan u = x
2
sen x =2u
1 + u2
cos x =1 − u2
1 + u2
dx =2
1 + u2 du
56 Trigonometrıa
Se tiene entonces∫1
4 · 1−u2
1+u2 + 3 · 2u1+u2
·2
1 + u2 du =
∫1
4−4u2+6u1+u2
·2
1 + u2 du
=
∫1 + u2
4 − 4u2 + 6u·
21 + u2 du
=
∫2
4 + 6u − 4u2 du
=
∫1
2 + 3u − 2u2 du
=
∫1
(2 − u)(1 + 2u)du
=
∫ 15
2 − u+
25
1 + 2udu
= −15
ln |2 − u| +15
ln |1 + 2u| + C
= −15
ln∣∣∣∣∣2 − tan
(x2
)∣∣∣∣∣ + 15
ln∣∣∣∣∣1 + 2 tan
(x2
)∣∣∣∣∣ + C
Capıtulo 5Funciones trigonometricas inversas
Algunas de las funciones trigonometricas estudiadas en el curso corresponden a:
1. f : R → [−1, 1], f (x) = sen (x)
2. g : R → [−1, 1], g(x) = cos (x)
3. h : R −{(2k + 1)
π2, con k ∈ Z
}→ R, h(x) = tan (x)
Las funciones definidas anteriormente son sobreyectivas pero no inyectivas, por lo que no sepuede definir la funcion inversa de cada una de ellas. Se pueden redefinir para tales efectos dela siguiente forma:
a) f :[−π2,π2
]→ [−1, 1], f (x) = sen (x) como se puede observar en la grafica de la Figura 1 la
funcion es inyectiva (estrictamente creciente en el dominio dado) y sobreyectiva (ambito igualal codominio).
Figura 1.
57
58 Trigonometrıa
b) g : [0, π] → [−1, 1], g(x) = cos (x) al observar su representacion grafica en la Figura 2 sedestaca que es una funcion inyectiva y sobreyectiva .
Figura 2.
c) h :]π2,π2
[→ R, h(x) = tan (x) observe su representacion grafica en la Figura 3 y compruebe
que es una funcion biyectiva.
Figura 3.
Las tres funciones redefinidas de esta forma son funciones biyectivas, y por lo tanto existe sufuncion inversa, que se define de la forma:
Trigonometrıa 59
f −1 : [−1, 1] →[−π2,π2
], f −1(x) = sen−1 (x) = arc sen (x)
g−1 : [−1, 1] → [0, π] , g−1(x) = cos−1 (x) = arc cos (x)
h−1 : R →]π2,π2
[, h−1(x) = tan−1 (x) = arctan (x)
Ası se tienen tres nuevas funciones cuyas graficas se presentan en la Figura 4:
Figura 4.
Este tipo de funciones se estudian en el curso de Calculo al trabajar lımites, derivacion e inte-gracion.A continuacion se presentan algunos ejemplos para determinar el valor de una expresion trigo-nometrica inversa.
Ejemplo 20. Determine el valor exacto de m(−12
)si m(x) = arc sen(x)
Solucion
60 Trigonometrıa
arcsen(−12
)= y como −1 ≤
−12≤ 1, entonces −
π2≤ y ≤
π2
⇔ sen(arc sen
(−12
))= sen(y) se aplica la propiedad ( f ◦ f −1)(x) = x
⇔−12= sen(y)
⇔−π6= y ası sen
(−π6
)=−12
.
Ejemplo 21. Determine el valor exacto de n (0) si n(t) arc cos(t)
Solucion
arc cos (0) = y como −1 ≤ 0 ≤ 1 entonces 0 ≤ y ≤ π
⇔ cos (arc cos (0)) = cos(y) se aplica la propiedad ( f ◦ f −1)(x)
⇔ 0 = cos(y)
⇔π2= y ası cos
π2= 0
∴ arc cos(0) =π2
Ejemplo 22. Determine el valor exacto de u(1) para u(x) = arctan(x)
Solucion
arctan(1) = y como 1 ∈ R entonces −π2< y <
π2
⇔ tan(arctan(1)) = tan(y) se aplica la propiedad ( f ◦ f −1)(x)
⇔ 1 = tan(y)
⇔π4= y tangente es positiva en el I cuadrante, ası tan
π4= 1
∴ arctan(1) =π4
Trigonometrıa 61
Cuando aparecen ejercicios combinados se recomienda trabajar por partes el ejercicio, a conti-nuacion se ejemplifica.
Ejemplo 23. Determine el valor exacto de csc(arctan(−
√3)
).
Solucion
Paso 1 Se resuelve(arctan(−
√3)
)
arctan(−√
3) = y como√
3 ∈ R entonces −π2< y <
π2
⇔ tan(arctan(−
√3)
)= tan(y) se aplica la propiedad ( f ◦ f −1)(x)
⇔ −√
3 = tan(y)
⇔ −π3= y ası tan
(−π3
)= −√
3
Paso 2 Calcular csc(−π3
)se usa la identidad csc(−α) = − csc(α)
⇔ csc(−π3
)= − csc
(π3
)
=1
sen(π3
)
=2√
3
∴ csc(arctan(−
√3)
)= −
2√
3.
62 Trigonometrıa
Ejemplo 24. Determine el valor exacto de la expresion trigonometrica cos−1(sen
(5π6
))= y.
Solucion
Paso 1 Calcular sen(5π
6
)
sen(5π
6
)=
12
el angulo esta en II cuadrante donde seno es positivo
Paso 2 Resolver cos−1(12
)como −1 ≤
12≤ 1 entonces 0 ≤ x ≤ π
⇔ cos(cos−1
(12
))= cos(y) se aplica la propiedad ( f ◦ f −1)(x)
⇔12= cos(y)
⇔π3= y coseno es positivo en el I cuadrante, ası cos
(π3
)=
12
∴ cos−1(sen
(5π6
))=π3
Trigonometrıa 63
Ejercicios 6.
I. Determine el valor exacto de la expresion trigonometrica
a. arctan(−√
33
)
b. arc cos(−√
22
)c. cos
(sen−1 (−1)
)II. Determine la funcion trigonometrica que cumple las condiciones dadas en cada caso.
a. Funcion estrictamente creciente y con ambito[−π2,π2
].
b. La imagen de 0 es 0 y el dominio de la funcion es R.
c. El dominio de la funcion es [−1, 1] y la preimagen de2π3
es−12
.
Ejercicios Complementarios 5.
1. A continuacion se le presentan las graficas de las tres funciones trigonometricas inversas principa-les. Determinar si las afirmaciones con verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser falsas, determinarla respuesta correcta.
f : [−1, 1]→[−π2,π2
], f (x) = arc sen(x)
64 Trigonometrıa
a) f es estrictamente decreciente
b) arc sen(1) =−π2
c) La preimagen de−π6
es−12
d) arc sen(sen
(4π3
))=
4π3
g : [−1, 1]→ [0, π], g(x) = arc cos(x)
a) La grafica interseca el eje y en(π2, 0
)b) (0, 1) es un punto de la grafica
c) arc cos(−√
32
)=π3
d) arc cos(cos
(3π4
))=
3π4
h : R→]−π2,π2
[, h(x) = arctan(x)
Trigonometrıa 65
a) La grafica es concava en ]0,+∞[ y convexa en ]−∞, 0[
b) arctan(1) =−π4
c) La imagen de −√
3 es−π3
d) arctan(tan(0) =π2
5.1. Acercamiento a Calculo
Considerando que las funciones trigonometricas inversas son estudiadas en Calculo desde laderivacion y la integracion, a continuacion se muestra como se puede determinar la derivadade una de estas funciones.Para la funcion definida por f (x) = arc sen x se cumple que
y = arc sen xsen y = sen(arc sen x)sen y = x
Como y ∈[−π2,π2
]entonces se puede considerar un triangulo rectangulo como el que se mues-
tra
De sen y = x se tiene por derivacion implıcita que cos y · y′ = 1, esto es que y′ =1
cos y. Del
triangulo se deduce que cos y =√
1 − x2 y por lo tanto la derivada de la funcion f es
[arc sen x]′ =1
√
1 − x2
66 Trigonometrıa
Considere la funcion con criterio g(x) = arctan xDe forma analoga a lo anterior
y = arctan xtan y = tan(arctan x)tan y = x
El triangulo rectangulo es el siguiente
Determine el valor de sec y = y sec2 y =Para determinar la derivada de g se tiene que
tan y = x⇒ sec2 y · y′ = 1
y′ =1
sec2 y
Por lo tanto [arctan x]′ =1