segundo parcial algebra 2013 resuelto (1)

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Resolución Segundo Parcial ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2013 ACTIVIDAD N º 1 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando: a) El método de eliminación de Gauss-Jordan b) El método de factorización LU 10 3 2 12 3 3 12 55 15 10 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Solución: a) Hallemos la matriz asociada al sistema y resolvamos utilizando el método de Gauss-Jordan: 3 1 3 2 2 3 2 2 1 2 1 1 . 2 . 3 1 3 . 4 . 5 1 12 - 40 - 11 3 - 3 0 13 - 9 0 3 2 - 1 10 4 11 3 1 - 2 1 - 1 4 3 2 - 1 10 12 55 3 1 - 2 3 - 3 12 15 10 - 5 R R R R R R R R R R R R 3 2 2 3 3 3 2 3 . 4 1 . 9 1 4 11 1 0 0 1 - 1 0 3 2 - 1 4 - 4 11 4 - 0 0 1 - 1 0 3 2 - 1 40 - 4 - 11 13 - 9 0 1 - 1 0 3 2 - 1 R R R R R R R R . 2 . 3 1 z -3 y 2 x : Solución 1 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 8 1 0 0 0 1 0 0 2 - 1 1 3 11 1 0 0 0 1 0 3 2 - 1 1 2 1 1 3 1 R R R R R R

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Segundo Parcial Algebra 2013 RESUELTO (1)

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  • Resolucin Segundo Parcial ALGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA 2013

    ACTIVIDAD N 1

    Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando:

    a) El mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan b) El mtodo de factorizacin LU

    1032

    123312

    5515105

    321

    321

    321

    xxx

    xxx

    xxx

    Solucin:

    a) Hallemos la matriz asociada al sistema y resolvamos utilizando el mtodo de Gauss-Jordan:

    31322

    3221211

    .2 .3

    1

    3 .4 .

    5

    1

    12-

    40-

    11

    3-30

    13-90

    32-1

    10

    4

    11

    31-2

    1-14

    32-1

    10

    12

    55

    31-2

    3-312

    1510-5

    RRRRR

    RRRRRRR

    32233323 .4

    1 .9

    1

    4

    11

    100

    1-10

    32-1

    4-

    4

    11

    4-00

    1-10

    32-1

    40-

    4-

    11

    13-90

    1-10

    32-1

    RRRRRRRR

    .2 .3

    1z

    -3y

    2x

    :Solucin

    1

    3

    2

    100

    010

    001

    1

    3

    8

    100

    010

    02-1

    1

    3

    11

    100

    010

    32-1

    121131 RRRRRR

  • b) Hallemos la factorizacin L U de la matriz asociada al sistema y luego resolveremos Ly = b y Ux = y:

    Em primer lugar hallaremos de manera simultnea L y U:

    LL

    RRR

    RRRRRR

    A

    19

    1

    5

    2

    015

    12001

    1*5

    2

    015

    12001

    1**

    01*

    001

    .5

    2

    .9

    1 .

    5

    12

    U

    3

    400

    39-270

    1510-5

    3-30

    39-270

    1510-5

    31-2

    3-312

    1510-5

    313

    323212

    Habiendo hallado L y U, comenzaremos a resolver el sistema Ly=b, haciendo sustitucin hacia

    adelante:

    3

    4 z

    )120.(9

    155.

    5

    210 10

    9

    1

    5

    2

    120

    55.5

    1212 12

    5

    12

    55

    zzyx

    y

    yyx

    x

    3

    4

    120

    55

    y Asi,

  • Resolvamos ahora el sistema U x = y haciendo sustitucin hacia atrs y encontrando

    finalmente la solucin del sistema A x = b:

    1 3

    4

    3

    4

    3

    27:1.39120 1203927

    2

    5:)3.(101.1555 5515105

    zz

    y

    yzy

    x

    xzyx

    As, utilizando la factorizacin LU tenemos que la solucin del sistema A x = b es:

    1z

    -3y

    2x

    ACTIVIDAD N 2

    a) Para qu valores de a el sistema dado tiene soluciones no triviales?

    0

    0

    0 .1

    azy

    zay

    zxa

    b) Pruebe que det A-1 = 1 / det A.

    Solucin:

    a)

    100

    10

    101

    10

    10

    101

    10

    10

    101

    2

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    32 RR 323. RRaR

  • 1 1

    1

    01

    :si trivialesno soluciones tendrsistema El

    2

    2

    aa

    a

    a

    b) Si A es inversible, entonces:

    A. A-1

    = I (aplicamos determinante en ambos miembros):

    det (A. A-1

    ) = det ( I ) ( usando propiedad de Cauchy, tenemos que det (A.B) = det A. det B)

    det (A). det ( A-1

    ) = det ( I ) (det I = 1)

    det (A). det ( A-1

    ) = 1 (despejamos det A)

    det ( A-1

    ) = 1 / det (A)

    ACTIVIDAD N 3:

    a) Aplicando nicamente propiedades de determinantes resolver:

    111

    222

    333333

    det

    cba

    cba

    bacacb

    Solucin:

    cba

    cba

    bacacb

    cba

    cba

    bacacb

    cba

    cba

    bacacb

    111

    det (-2).3

    111

    )(3)(3)(3

    det (-2).

    111

    222

    333333

    det

    111

    111

    det..6

    111

    det -6.

    111

    det 6.- cbacbacba

    baccabcba

    cba

    bacacb

    00..6 cba

    b) Si det (A) = 5 y det (B)=25, siendo A y B matrices de orden 3, hallar det (A-2 . (3) . B

    T

  • Solucin:

    det (A-2

    . (3) . BT ) = det (A

    -2) . det (3. B

    T ) = det (A

    -1)2. 3

    3. det (B

    T ) = .27.

    det

    12

    Adet B

    = 2725.27.5

    12

    ACTIVIDAD N 4:

    a) Muestre que ATA es una matriz simtrica

    b) Muestre que la inversa de una matriz simtrica es simtrica

    c) Desarrolle el determinante aplicando linealidad sucesivamente 21 21det vvuu con vectores de R

    2

    Solucin:

    a) Si (ATA) es simtrica, debe cumplir: (A

    TA)

    T =(A

    TA)

    Entonces:

    ( AT A )

    T = A

    T ( A

    T )

    T = A

    T A

    (A.B)T= B

    T.A

    T (A

    T)T=A

    Por lo tanto, (ATA) es simtrica

    b) Vamos a probar que si A es simtrica, entonces A-1

    tambin es simtrica:

    Como existe la inversa de A, tenemos que:

    A-1

    A = I

    (A-1

    A)T = I

    T

    AT .(A

    -1) T

    = I

    Entonces: (AT) -1

    = (A-1

    ) T

    Como A es simtrica, A = AT, y reemplazando tenemos:

    * ** ***

    * Por propiedad de Cauchy, det (A.B)= det A . det B

    ** Por propiedad, det ( A) = n. det A y det (A)-1 = 1/det A

    *** Por propiedad, det (B)T= det B

  • (A) -1 = (A-1) T

    Y asi probamos que si A es simtrica, entonces A-1

    tambin es simtrica.

    c) 21 21det vvuu = 211 det vvu + 21 2det vvu =

    = 11 det vu + 2 1det vu + 12 det vu + 2 2det vu