Resolucin Segundo Parcial ALGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA 2013

ACTIVIDAD N 1

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando:

a) El mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan b) El mtodo de factorizacin LU

1032

123312

5515105

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Solucin:

a) Hallemos la matriz asociada al sistema y resolvamos utilizando el mtodo de Gauss-Jordan:

31322

3221211

.2 .3

1

3 .4 .

5

1

12-

40-

11

3-30

13-90

32-1

10

4

11

31-2

1-14

32-1

10

12

55

31-2

3-312

1510-5

RRRRR

RRRRRRR

32233323 .4

1 .9

1

4

11

100

1-10

32-1

4-

4

11

4-00

1-10

32-1

40-

4-

11

13-90

1-10

32-1

RRRRRRRR

.2 .3

1z

-3y

2x

:Solucin

1

3

2

100

010

001

1

3

8

100

010

02-1

1

3

11

100

010

32-1

121131 RRRRRR

b) Hallemos la factorizacin L U de la matriz asociada al sistema y luego resolveremos Ly = b y Ux = y:

Em primer lugar hallaremos de manera simultnea L y U:

LL

RRR

RRRRRR

A

19

1

5

2

015

12001

1*5

2

015

12001

1**

01*

001

.5

2

.9

1 .

5

12

U

3

400

39-270

1510-5

3-30

39-270

1510-5

31-2

3-312

1510-5

313

323212

Habiendo hallado L y U, comenzaremos a resolver el sistema Ly=b, haciendo sustitucin hacia

adelante:

3

4 z

)120.(9

155.

5

210 10

9

1

5

2

120

55.5

1212 12

5

12

55

zzyx

y

yyx

x

3

4

120

55

y Asi,

Resolvamos ahora el sistema U x = y haciendo sustitucin hacia atrs y encontrando

finalmente la solucin del sistema A x = b:

1 3

4

3

4

3

27:1.39120 1203927

2

5:)3.(101.1555 5515105

zz

y

yzy

x

xzyx

As, utilizando la factorizacin LU tenemos que la solucin del sistema A x = b es:

1z

-3y

2x

ACTIVIDAD N 2

a) Para qu valores de a el sistema dado tiene soluciones no triviales?

0

0

0 .1

azy

zay

zxa

b) Pruebe que det A-1 = 1 / det A.

Solucin:

a)

100

10

101

10

10

101

10

10

101

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

32 RR 323. RRaR

1 1

1

01

:si trivialesno soluciones tendrsistema El

2

2

aa

a

a

b) Si A es inversible, entonces:

A. A-1

= I (aplicamos determinante en ambos miembros):

det (A. A-1

) = det ( I ) ( usando propiedad de Cauchy, tenemos que det (A.B) = det A. det B)

det (A). det ( A-1

) = det ( I ) (det I = 1)

det (A). det ( A-1

) = 1 (despejamos det A)

det ( A-1

) = 1 / det (A)

ACTIVIDAD N 3:

a) Aplicando nicamente propiedades de determinantes resolver:

111

222

333333

det

cba

cba

bacacb

Solucin:

cba

cba

bacacb

cba

cba

bacacb

cba

cba

bacacb

111

det (-2).3

111

)(3)(3)(3

det (-2).

111

222

333333

det

111

111

det..6

111

det -6.

111

det 6.- cbacbacba

baccabcba

cba

bacacb

00..6 cba

b) Si det (A) = 5 y det (B)=25, siendo A y B matrices de orden 3, hallar det (A-2 . (3) . B

T

Solucin:

det (A-2

. (3) . BT ) = det (A

-2) . det (3. B

T ) = det (A

-1)2. 3

3. det (B

T ) = .27.

det

12

Adet B

= 2725.27.5

12

ACTIVIDAD N 4:

a) Muestre que ATA es una matriz simtrica

b) Muestre que la inversa de una matriz simtrica es simtrica

c) Desarrolle el determinante aplicando linealidad sucesivamente 21 21det vvuu con vectores de R

2

Solucin:

a) Si (ATA) es simtrica, debe cumplir: (A

TA)

T =(A

TA)

Entonces:

( AT A )

T = A

T ( A

T )

T = A

T A

(A.B)T= B

T.A

T (A

T)T=A

Por lo tanto, (ATA) es simtrica

b) Vamos a probar que si A es simtrica, entonces A-1

tambin es simtrica:

Como existe la inversa de A, tenemos que:

A-1

A = I

(A-1

A)T = I

T

AT .(A

-1) T

= I

Entonces: (AT) -1

= (A-1

) T

Como A es simtrica, A = AT, y reemplazando tenemos:

* ** ***

* Por propiedad de Cauchy, det (A.B)= det A . det B

** Por propiedad, det ( A) = n. det A y det (A)-1 = 1/det A

*** Por propiedad, det (B)T= det B

(A) -1 = (A-1) T

Y asi probamos que si A es simtrica, entonces A-1

tambin es simtrica.

c) 21 21det vvuu = 211 det vvu + 21 2det vvu =

= 11 det vu + 2 1det vu + 12 det vu + 2 2det vu