1er examen parcial de estructura de la materia...
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1er examen parcial de Estructura de la Materia RESUELTO
I. El siguiente texto está repleto de afirmaciones falsas. En la hoja de respuestas reemplaza
las palabras resaltadas de manera que diga la verdad.
Faraday fue un intenso experimentador que popularizó el uso de electrodos e investigó la
disociación electrolítica de compuestos en disolución. Los rayos catódicos fueron intensamente
estudiados por Crookes quien determinó que estaban formados por cargas negativas. Roëntgen
descubre a los rayos X como una forma de radiación oculta en los rayos catódicos. Por otra parte
Millikan encuentra la carga del electrón con el experimento de la gota de aceite. Mientras tanto,
Thomson descubre que los rayos catódicos están formados por partículas y propone el modelo
atómico del panqué con pasas. Becquerel descubre los diferentes tipos de radiación y lo s estudia
junto con Marie y Pierre Curie. Las ideas sobre radiación motivan a Rutherford para efectuar el
experimento del bombardeo con partículas alfa de laminillas de oro y encuentra que el átomo
debe estar formado como un sistema planetario. Posteriormente, en 1932, Chadwick encuentra al
neutrón, el cual pesa aproximadamente lo mismo que el protón pero carece de carga eléctrica.
5 Puntos/palabra → 100 puntos
II. La rapidez promedio de las moléculas en un gas a cierta temperatura está dada por:
8RTv
Donde R = 8.314 J/K mol es la constante de los gases y Μ es la masa molecular
(en kg/mol). ¿Cuál es la longitud de onda de DeBroglie para una molécula de N2 a 300 K?
Para longitud de onda de DeBroglie:
34
1
2
1
6
8
0.028 kg mol6.626 10 Js
4.650 10 kg 8 8.314 J molK 3
2.992 10
00
m
K
h h h
p m v m RT
100 puntos
100 puntos
III. En mecánica clásica el momento angular se define como: L r p
Mientras que en mecánica cuántica, para sistemas tridimensionales en coordenadas
cartesianas, el operador posición y el operador momento lineal están dados
respectivamente por:
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆr xi yj zk p i i j kx y z
Con base en lo anterior, ¿cómo se expresa en coordenadas cartesianas el operador
momento angular en mecánica cuántica?
Sustituyendo los operadores cuánticos en la expresión clásica:
ˆˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
d d ddx dy dz
d d d d d di i
i j k
L i x y z j z x k x ydz dy dx dz dy dx
y z
O por componentes:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ
x
y
z
d dL i y z
dz dy
d dL i z x
dx dz
d dL i x y
dy dx
100 puntos
IV. Un núcleo de 204
Pb tiene la longitud de onda asociada igual a la de un fotón con una
energía de 0.641 eV
a. ¿A qué región del espectro electromagnético pertenece el fotón?
A partir de su energía, la longitud de onda del fotón es:
61.934 10 m 1.934 μmhc hc
EE
La cual pertenece al infrarrojo
b. ¿Cuál es la energía cinética del núcleo?
Utilizando las relaciones de DeBroglie:
234
31 12
22 6 25
26.626 10 Js
2 2 1.934 10 m 3.31.732 1
80 J 1.081 10
7 10 kg eV
hK
m
c. Si ambos tuvieran la misma energía, ¿Cuál sería la longitud de onda asociada al
núcleo y a qué región del espectro pertenece?
Si ambos tienen E = K = 0.641 eV, despejando la longitud de onda de la relación de
DeBroglie:
3
2
14
5 19
26.626 10 Js
2 2 3.387 10 kg 12.512 10 m 2.512 p
.026 1 Jm
0
h
mK
Una onda electromagnética con esta longitud pertenece a los rayos gamma.
150 puntos
V. Una lámpara de 100 W irradia luz con número de onda k = 1.048×107 rad/m. El haz de
dicha lámpara se expande de forma cónica a partir del foco con un ángulo de 40°. Si se
coloca una celda fotovoltáica a 1 m de la fuente.
a. ¿Qué área mínima necesita tener la celda de forma cuadrada para captar toda la luz
que le llega?
Si el haz se expande en forma cónica, el área del cuadrado debe ser tal que el radio de la base del
cono sea la mitad del lado del cuadrado.
Para sacar el radio de la base, hay que tomar en cuenta que el cono puede verse como un
triángulo rectángulo que gira. Y el lado que nos interesa es el cateto opuesto y conocemos el
cateto adyacente, entonces:
tan 1 m tan 20º 0.364 mr co ca
Como este radio es la mitad del lado del cuadrado, el área se expresa como:
2 2
20.53
4
0
2
m
A r r
b. Si por cada 10 fotones que inciden sobre la celda, se desprende un electrón cuya
energía de amarre es de 5.0×10-19
J, ¿cuánta corriente se obtendrá de la celda del
inciso anterior?
Para la corriente, usamos las relaciones:
nh ne
P At t
De donde la corriente queda como:
Pe
Ah
En términos del número de onda:
2Pe
Ahck
Y tomando en cuenta el factor de eficiencia:
2
10
PeA
hck
Sustituyendo valores:
19
34 8 7
100 W 1.602 10 C 2 rad
10 6.626 10 Js 3.00 10 m s 1.048 10 rad s
4.836 A
A
Sin embargo, la función trabajo debe decir algo, así que hay que averiguarlo.
Para la diferencia de potencial:
h
Ve
En términos del número de onda:
34 8 7
19
19
34 8 7
19
19
19 1
1
2
6.626 10 Js 3.00 10 m s 1.048 10 rad m15.0 10 J
1.602 10 C 2 rad
6.626 10 Js 3.00 10 m s 1.048 10 rad m15.0 10 J
1.602 10 C 2 rad
3.313 10 J 5.0 10
hckV
e
9
19
J
1.602 10 C
1.05 V
Como la diferencia de potencial es negativa, implica que la lámpara no emite luz suficientemente
energética como para producir efecto fotoeléctrico. Por lo tanto no se obtiene corriente eléctrica.
150 puntos
VI. Un electrón en un átomo monoelectrónico que describe una órbita de Bohr de 8.3123 Å
de perímetro se relaja a una órbita menos energética emitiendo un fotón con frecuencia
angular ω = 4.3408×1017
rad/s. La rapidez del electrón en la segunda órbita es de
1.0938×107 m/s.
a. Calcula los números de las órbitas de Bohr entre los que ocurrió la transición e
identifica al elemento.
Se tienen los datos para usar las ecuaciones de:
Rapidez de la segunda órbita: 2
0 24
Zev
n
Radio de la primera órbita: 2 2
0 1
2
4
e
nr
m Ze
Fórmula espectroscópica de Rydberg: 2
2 2
1 2
1 1v Z R
n n
Como este es un proceso de emisión, n1 es mayor a n2 lo cual no es admitible en la fórmula de
Rydberg, por lo que se intercambian los subíndices y despejando n1 y n2, ya corregidas, de las dos
primeras fórmulas:
2
1 2
0 04 2
em ZrZe en n
v
Sustituyendo en la fórmula espectroscópica:
2 22 0 0
2 2
4 4
e
vv Z R
Ze m Ze r
Reemplazando la constante de Rydberg:
4 2 2 2 2 22 0 0
2 3 2 4 2
0
2 2
0
2
0
2 2
0
16 4
8
4 1
8
2 8
e
e
e
e
e
m e vv Z
h c Z e m Ze r
m e vZ
hc Ze m r
m v Ze
hc hcr
Y con la frecuencia espacial en términos de la frecuencia angular:
2 2
02 2 8
em v Ze
c hc hcr
Despejando el número atómico:
2
0
2
4 ehr m vZ
e h
Y tomando en cuenta que el dato con el que se cuenta es perímetro:
108.3123 10 m
2r
Sustituyendo valores:
12 2 2 34 10 17
219
231 7
34
16 17 17
4 8.854 10 C m N 6.626 10 Js 8.3123 10 m 4.3408 10 rad s
rad2 1.602 10 C
9.109 10 kg 1.0938 10 m s
6.626 10 Js
3.800 10 s 1.3817 10 Hz 1.6448 10 Hz
9.9978 10
Z
Z
Y con este valor de Z:
219
1 12 2 2 7 34
31 1019
2 34 12 2 2
10 1.602 10 C2
2 8.854 10 C m N 1.0938 10 m s 6.626 10 Js
5 9.109 10 kg 8.3123 10 m1.602 10 C5
6.626 10 Js 8.854 10 C m N
n
n
Por lo tanto, la transición ocurre entre las órbitas 5 y 2 del átomo de Ne9+
.
b. ¿Qué principio de la física cuántica moderna dice que el planteamiento de este
problema no tiene sentido y por qué?
El principio de indeterminación de Heisenberg, ya que no se puede conocer posición y cantidad
de movimiento al mismo tiempo, lo cual no se está tomando en cuenta al usar como datos el radio
de la órbita y la rapidez tangencial.
150 puntos
VII. Se tiene un cuerpo con masa m y cantidad de movimiento p, y un fotón…
a. Si la longitud de onda asociada al cuerpo es igual que la del fotón, ¿Cómo se
escribe el cociente E/K (energía del fotón entre energía cinética del cuerpo) en
términos de las variables y constantes de que dependen.
Para la energía del fotón:
hc
E
Para la cinética del cuerpo:
2
22
hK
m
Al dividirlas:
12
22
2E hc h
K
m
m
c
h
b. Si la energía del fotón y la energía cinética del cuerpo son iguales, ¿cómo se
escribe el cociente de sus longitudes de onda en términos de las variables y
constantes de que dependen?
Para la longitud de onda del fotón:
fotón
hc
E
Para la longitud de onda del cuerpo:
cuerpo
2
h
Em
Al dividirlas:
1
fotón
cuerpo
2
2
2hc h c Em
E EEm
mc
E
150 puntos
VIII. Los alvéolos son finos sacos de aire de los pulmones que tienen un diámetro promedio
de 5.0×10-5
m. ¿Cuál es la incertidumbre en la rapidez de una molécula de O2 que queda
atrapada en uno de esos sacos?
Despejando al momento de la expresión para el principio de indeterminación:
2
px
Expresando en términos de rapidez y masa:
2
vm x
Y si se considera que la incertidumbre en la posición viene dada por el tamaño del alveolo:
34
26
5
5
1.055 10 Js
2 5.314 10 kg 5.0 10 m1.985 10 m sv
100 puntos
IX. Las funciones de onda para la caja de potencial unidimensional son de la forma:
2
senn
nx x
L L
a. Escribe las funciones de onda con los números cuánticos: 1 y 2.
Sustituyendo los números cuánticos requeridos se tiene:
1
2
2sin
2 2sin
x xL L
x xL L
b. Verifica que ψ1(x) y ψ2(x) satisfacen la ecuación de Schrödinger.
El hamiltoniano para la caja de potencial es:
2 2
2ˆ
2
dH
m dx
Y se debe de cumplir que:
ˆn n nH E
Sustituyendo la primera función:
2 2 2 2
12 2
2
2 2
2
2 2
12
2sin
2 2
2cos
2
2sin
2
2
d dx x
m dx m dx L L
dx
m dx L L L
xm L L L
xmL
Por lo tanto ψ1(x) sí satisface la ecuación de Schrödinger.
Sustituyendo la segunda función:
2 2 2 2
22 2
2
2 2
2
2 2
22
2 2sin
2 2
2 2 2cos
2
2 4 2sin
2
2
d dx x
m dx m dx L L
dx
m dx L L L
xm L L L
xmL
Por lo tanto ψ2(x) sí satisface la ecuación de Schrödinger.
c. Verifica que ψ1(x) y ψ2(x) son ortogonales y que están normalizadas.
Para verificar ortogonalidad:
1 2
0 0
0
2 2 2sin sin
2 2sin sin
0
L L
L
x x dx x x dxL L L L
x x dxL L L
Como la integral da cero, las funciones son ortogonales.
Para verificar normalización:
2 2
1
0 0
2
0
2 2
2
0 0
2
0
2sin
2sin
21
2
2 2sin
2 2sin
21
2
L L
L
L L
L
x dx x dxL L
x dxL L
L
L
x dx x dxL L
x dxL L
L
L
Ambas integrales dan la unidad por lo que las funciones están normalizadas.
d. Obtén las matrices de 2×2 para el operador momento, ; posición, , y para el
hamiltoniano, .
Para el operador momento:
11
0
0
2 2sin sin
2sin cos
0
L
L
dp x i x dx
L L dx L L
Li x x dx
L L L
12
0
2
0
2
0
2 2 2sin sin
4 2sin cos
4 2sin c s
8
o
3
L
L
L
dp x i x dx
L L dx L L
i x x dxL L L
i x x dxL
i
L
L
L
Por hermiticidad:
21
8
3L
ip
Y por último:
22
0
0
2 2 2 2sin sin
2 2 2sin cos
0
L
L
dp x i x dx
L L dx L L
Li x x dx
L L L
Por lo tanto:
0 18
ˆ1 03
ip
L
Para el operador posición:
11
0
2
0
2 2sin sin
2sin
2
L
L
x x x x dxL L L L
x x dxL L
L
12
0
2
0
2 2 2sin sin
2 2sin sin
16
9
L
L
x x x x dxL L L L
x x x dxL L L
L
Por hermiticidad:
21 2
16
9
Lx
Y por último:
22
0
2
0
2 2 2 2sin sin
2 2sin
2
L
L
x x x x dxL L L L
x x dxL L
L
Por lo tanto:
2
2
1612 9
16 129
x̂ L
Y el hamiltoniano es la matriz diagonal de energías, así que:
2 2
2
1 0ˆ
0 42H
mL
e. Para el estado basal (n = 1) determina la incertidumbre en p, la incertidumbre en x
y comprueba que se cumple el principio de indeterminación de Heisenberg.
Para la incertidumbre en la posición se necesita:
2 2
0
2 2
0
2
2
2
2 2sin sin
2si
3
n
26
L
L
x x x x dxL L L L
x x dxL L
L
Por lo que para la incertidumbre se tiene:
22 2
2
2
22
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
4
2 36
2 36
2 3
3
1
2 2
12
2 3
6
6
x x x
L
L
L
L
Lx
L
L
Para el momento:
2
2
0
22
2
0
2 2
2
0
2
2
0
2 22
3
0
2 2sin sin
2sin sin
2sin sin
2sin cos
2sin
L
L
L
L
L
dp x i x dx
L L dx L L
dx x dx
L L dx L
dx x dx
L L dx L
dx x dx
L L dx L
x dxL L
2 2
2L
Por lo que la incertidumbre queda:
22 2
2 2
2
2 2
2
0
p p p
L
L
pL
Y su producto:
2 6
1.1362 3 2 2
x p
Se cumple la desigualdad y por lo tanto el principio de indeterminación.
500 puntos