PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS –

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Si 3(AB)=7(AM) y BN=21, halle CN.

A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 21/10

2. En el gráfico, si AF = 4m y FE = 2m. Calcule EC.

A) 2 m

B) 4 m

C) 6 m

D) 8 m

E) 7 m

3. En el gráfico las rectas L1, L2 y L3 son paralelas. Calcule:

x.

A) 2,2

B) 2,4

C) 2

D) 3

E) 3,5

4. Si H y G son ortocentro y baricentro del ∆ABC, además MN=3(PM)=3, halle BC.

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

5. En la figura se muestra un árbol, su sombra y un

poste de 5 m de altura. ¿Cuál es la altura del árbol?

A) 10 m

B) 20 m C) 25 m

D) 9 m E) 15 m

SAN MARCOS 2017 – II

6. En la figura, AB//DC, AB=10 cm, AO=6 cm, OD=9

cm y CD=15 cm. Halle OB+OC.

A) 14 cm

B) 15 cm C) 16 cm

D) 13 cm E) 17 cm

SAN MARCOS 2015 – I

7. Dos postes, uno de 12 pies de altura y otro de 28

pies, están a 30 pies de distancia. Se deben sostener por dos cables conectados a una sola estaca, desde

el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿A qué distancia del poste pequeño debe

colocarse la estaca para que se use la menor longitud de cable?

A) 9 pies

B) 8 pies C) 10 pies

D) 7 pies E) 6 pies

SAN MARCOS 2020 – I

L1

L2

L3

1

4

x

m

n

p

8. En el gráfico, la sombra del edificio más grande mide

PQ=12 m, mientras que el edificio pequeño tiene una sombra de AB=4 m y una altura de BC=10 m.

Halle la altura del edificio más grande.

A) 35 m B) 40 m

C) 30 m D) 50 m

E) 45 m SAN MARCOS 2016 – II

9. En la figura, EL//BF; EF//BC; LC = 10 cm y AL = 8 cm. Halle LF.

A) 5 cm

B) 3 cm C) 2 cm

D) 4 cm E) 2,5 cm

SAN MARCOS 2015 – II

10. La figura representa una mesa de billar en la que un

jugador pretende impactar la bola negra con la bola blanca recorriendo la trayectoria indicada por la

línea punteada. Para lograrlo, ¿a qué distancia del punto A debe hacer que la bola rebote en el lado AB?

A) 45 cm

B) 20 cm C) 25 cm

D) 60 cm

E) 30 cm

SAN MARCOS 2017 – II

11. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD. Tal que mBAC=30°, mBCA = 15° y AD = DC.

Calcule mDBC

A) 5 cm

B) 3 cm C) 2 cm

D) 4 cm E) 2,5 cm

IMO 2010

12. En la figura AB=18cm, BC=24cm y CD=8cm. Halle

DE.

A) 3cm B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

UNSCH 2005 - II

13. En el gráfico mostrado, AB=3, BC=4 y BM=MN.

Halle BD.

A) 7

B) 2 3

C) 12

7

D) 7

12

E) 7

6

14. En el gráfico se muestran triángulos equiláteros cuyos lados miden 9u, x y 4u, respectivamente.

Calcule: x.

A) 6,5 B) 3,2

C) 6 D) 7,2

E) 4,8

UNI 1992 - I

15. Si 3(BC)=4(AB) y MN=12, halle AL.

A) 15

B) 16 C) 18

D) 20 E) 21

UNAC 2010 - II

16. Si AB//CD, EF=4 y ED=5, halle CF.

A) 9

B) 11

2

C) 2 5

D) 6 E) 10

UNI 2002 - II

RELACIONES MÉTRICAS

1. En el gráfico, si: AB = 10u, NQ=4u calcule MN.

A) 5

B) 8

C) 9

D) 12

E) 11

2. Si M es punto de tangencia y MN=3(NL)=3, halle AD.

A) 14

B) 27

C) 47

D) 214

E) 314

3. En el gráfico, calcule AD, si AB = 4u y BC = 5u.

A) 5 u

B) 5,5 u

C) 6,5 u

D) 6 u

E) 6,2 u

4. En la figura, hallar el valor de x.

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 1

UNSCH 2014 - I

5. En la figura AM=MC; AP=2; BP=4. Halle AC.

A) 4 3 B) 2 3 C) 4 2

D) 3 2 E) 2 5

UNSCH 2001 - II

6. En un trapecio isósceles una de las diagonales mide 24 y el producto de las longitudes de las bases es

351. Calcular la medida del lado no paralelo.

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 12

UNSCH 2002 - II

7. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado de

centro O, AD=8u, DQ=12u. Calcule OP.

A) 5u B) 13u C) 4u

D) 17u E) 5u

TERCER EXAMEN, 2018 – I

8. En la figura: A, B y C dividen a la circunferencia en tres partes iguales. Si AF=10, CF=4, halle BF.

A) 5 B) 6 C) 4

D) 3 E) 8 UNSCH 2001 - II

9. En la figura dada se cumple que: c2+a2=256u2 y a2c2=12288u2. Determinar la longitud de la

altura”x”.

A) 4u B) 6 3u C) 4 3u

D)4

3u3

E) 8 3u

UNSCH 2008 - I

M

N

Q

B

O

A

37 º

D

A

B

C

10. En la siguiente figura, hallar el valor de “r” si DE=18u y EC=7u.

A) 12u B) 13u C) 14u D) 15u E) 16u

CUARTO EXAMEN, 2007 – I

11. En la figura ABCD es un rectángulo, BD=12u y

EC=5u. Calcular el valor de AE.

A) 12u B) 13u C) 14u D) 15u E) 16u

CUARTO EXAMEN, 2007 – II

12. Si ABCD es un cuadrado, halle el valor de x.

A) 4u B) 5u C) 6u D) 7u E) 8u

QUINTO EXAMEN, 2007 – III

13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la

proyección del cateto menor mide 3m y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 6m. ¿Cuánto

mide la proyección del otro cateto?

A) 12m B) 11m C) 10m D) 9m E) 8m

CUARTO EXAMEN, 2008 – I

+

14. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, T es punto de tangencia; EB=4(AE)=2(FP)=8u. Halle ET.

A) 2 6u B) 2 7u C) 2 13u

D) 2 21u E) 2 17u

QUINTO EXAMEN, 2008 – I

15. En un heptágono regular ABCDEFG, calcule la

longitud de lado del polígono, si AC=a; CG=b.

A) a/(a+b) B) b/(a+b) C) ab/(b+a) D) ab/(a-b)

E) ab/(2a+b) UNSCH 2002 - I

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y

CIRCULARES

1. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la

región del triángulo ABC es 40 cm2.

A) 20cm2

B) 10cm2

C) 15cm2

D) 16cm2

E) 18cm2

2. En el gráfico, BM = MG, AG = AP. Calcule la razón entre

las áreas de las regiones triangulares MIA y BGP.

A)3

B) 2

3

C) 2

D) 1

2

E) 1

3. En el gráfico, (CN)(MC)=43u2, calcule el área de la región sombreada (AM=MC).

A) 23u2

B) 33

C) 3

D) 4

E) 5

A C

B

3a

a

M

B

I

A G

P

A

B

CM

N

40º

4. En la figura mostrada 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es diámetro de la

semicircunferencia; AM = MC y r = 10u. Calcule el área de la región limitada por MCB.

A) πu 2 B)2πu2 C)5πu2 D)10πu2 E)20πu2

5. Del gráfico mostrado, hallar el área de la región

sombreada, si: BE = a, EC = b, a2+b

2+ab = 5.

ABCD: cuadrado.

A) 5 B) 5/2 C) 5/3 D) 25 E) 35

6. Calcular el área de la región sombreada.

A) 10cm2 B) 2cm2 C) 3cm2

D) 4cm2 E) 5cm2

7. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es

un cuadrado.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Si PQ = 4, BC = 5 y SPQBC=9. Calcular el área de la región APQ si el cuadrilátero PQBC es inscriptible.

A) 15u2 B) 16 C) 17

D) 18 E) 19

9. En la figura mostrada, si: y ,

hallar el área de la región sombreada. Si: .

A) B) 2 C) 3

D) 4 E) /3

10. Hallar el área máxima del círculo, si: AO=OB=10.

A) B) 2 C)

D) E) 3

11. ¿Cuál debe ser la relación de R1, R2 y R3 para que

las áreas del círculo A1 (interior) y los dos anillos A2

y A3, respectivamente, sean iguales entre sí?

A) B)

C) D)

E)

A

B C

D

E

15°

16cm

A

B C

DE

F

6

9

A

B

CP

Q

mAB= 72° mBC= 54°

5R

A

B

C

R

A

B

O

T

3

2

A2

R2

R3

R1

A1

A3

33R

22R

1R 32

2R

3

1RR

3

3R

2

2R1R

53R

42R

21R

73R

52R

31R

12. En el gráfico: es diámetro. Si: S1, S2 y S3

representan las áreas de las regiones sombreadas. ¿Qué relación existe entre S1, S2 y S3?

A) 2S3 = S2+S1 B) S3 - S2 = S1

C) S1. S2 = S3 D) S2 + S3 = 2S1

E) 2S1+S2=S3

13. En la figura, calcule el perímetro de la región

sombreada. Siendo ABC y DBE cuadrantes y los tres

círculos iguales.

A) (15+10)u2 B) 15+11

C) 15+12 D) 14+15

E) 14+10

UNSCH 2008 – II

14. En la figura AE=6u, ABCD es cuadrado. Hallar el

área de la región sombreada.

UNSCH – 2004

A) 17u2 B) 16 C) 20 D) 15 E) 18

15. En la figura mostrada, calcule el área sombreada.

A) 128 m²

B) 180

C) 119

D) 140

E) 108

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

1. Determine el número de vértices de un poliedro formado por 12 triángulos y 20 cuadriláteros.

A) 25 B) 26 C) 27

D) 28 E) 30

2. En un poliedro, la suma del número de caras, vértices y aristas es 30. Calcule su número de

aristas.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

3. Se tiene un cubo de 9 cm de arista que se encuentra

pintado totalmente. Si el cubo se divide en cubitos

de 1 cm de arista, determine cuántos de los cubitos tendrán dos de sus caras pintadas.

A) 86 B) 90 C) 81

D) 84 E) 99

4. Halle el volumen de un prisma cuya base es un cuadrado de perímetro 12 y su altura mide 5.

A) 60 B) 40 C) 45

D) 90 E) 30

5. El producto de las aristas básicas de un prisma recto

triangular es 9. La altura es el doble del diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Halle el

volumen del sólido.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

6. Se muestra un cubo ABCD – EFGH. Si EP=8 y PG=2, calcule BP.

A) √29 B) √34 C) 2√21

D) √40 E) 4√2

7. En un prisma recto ABCD–EFGH de bases trapeciales, AD//BC, m∢ADC=90º, AD=2BC=4 cm y

el área de la región DCGH es 100 cm2. Calcule el

volumen del sólido determinado en el prisma por las regiones EBCH, AFGD y EFGH.

A) 150 cm3 B) 50 cm3

C) 75 cm3 D) 100 cm3

S1S2

S3

T

B

A

8m

9m

7m

E) 120 cm3 8. El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular

regular es 74 m3. Si su altura mide 6 m y el área de una de sus bases es 16 m2, ¿cuál es el área de la

otra base?

A) 49 m2 B) 25 m2 C) 9 m2 D) 16 m2 E) 12 m2

9. Calcule el perímetro de la base de una pirámide hexagonal regular, si la arista básica mide la mitad

de lo que mide la apotema de la pirámide y el área lateral de la pirámide es 96.

A) 12 B) 18 C) 90

D) 24 E) 36

10. Un vaso cilíndrico cuyo radio mide 10 y su altura 40,

está lleno de agua. Si se vierte este líquido en otro vaso, cuyo radio mide 20. ¿A qué altura llegará el

agua?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 40 E) 8

11. Según el grafico, el volumen de la esfera es el doble del volumen del cono de revolución. Halle x.

A) 600 B) 450 C) 740

D) 900 E) 530

12. Un cilindro circular recto es generado por la rotación

de un rectángulo de área igual a 10. Calcule el área lateral del cilindro.

A) 20 B) 10 C) 10

D) 20 E) 15

13. Calcule el volumen de un cono de revolución,

sabiendo que la longitud de la circunferencia de la base mide 8 y que la generatriz mide 5.

A) 15 B) 18 C) 16 D) 24 E) 36

14. Halle el área de la superficie lateral del cilindro de revolución mostrado si 𝐵𝑃 = 3 𝑦 𝑃𝑄 = 12.

A) 90 B) 45 C) 60

D) 75 E) 50

15. Las cuatro super esferas del dragón de radio 10m son tangentes entre sí, formando una pila

triangular. Calcule la altura de la pila, en m.

a)20+20√3/3 b)10+10√6/3

c) 20+20√2/3 d) 20+20√6/3

e) 10+10√3/3

ECUACUÍN DE LA LÍNEA RECTA

1. Si (–1; 2) es el punto medio del segmento formado

al unir los puntos, (–3; –1) y (a;b) . Determine a +

b.

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6

E) 7

2. Del gráfico, calcule d.

A) 37

B) 41

C) 53

D) 61

E) 82

3. Se tiene una circunferencia de centro (–3; 7) que pasa por (2; –5), determine su diámetro.

A) 13

B) 15 C) 26

D) 30 E) 35

4. Si (4; 2) es el punto medio del segmento formado

al unir los puntos (a; –3) y (5;b) . Determine E=

b a .

A) 2

B) 3

C) 2

D) 3 E) 5

5. En el gráfico; halle (x; y).

A) (2; 3)

B) (2; 4) C) (1; 3)

D) (–1; 2) E) (– 2; 4)

6. Determine las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos A(–1; 5);

B(3; 9) y C(7; 1).

A) (3; 2) B) (–7; 3)

C) (3; 5) D) (5; 3)

E) (–3; 5)

7. Según el gráfico, halle P.

A) (1; 8) B) (2; 7)

C) (3; 5) D) (3; 7)

E) (4; 6)

8. Los vértices de un triángulo son A(3; 1); B(9; 1) y C(3; 7). Determine su área.

A) 36 u2

B) 18 u2 C) 24 u2

D) 16 u2 E) 9 u2

9. Los vértices de un triángulo son A (1; 2), B(3; 6) y C(–1, 0). Calcule la longitud de la mediana relativa

al lado AB.

A) 2 B) 3

C) 4 D) 5

E) 6 10. En una región triangular ABC, 𝐴 = (−3; −5), 𝐵 =

(−2; 1) 𝑦 𝐶 = (2; 3). Halle la suma de las coordenadas

de su baricentro. A) – 2/3 B) 4/3 C) – 4/3

D) 7/3 E) – 7/3

11. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3;2) , B(1;

5) y C(–2; 3). Halle el punto D.

A) (0; 0) B) (1; 7)

C) (–1; 3)

D) (–2; 2)

E) (–5; 1)

12. Los puntos A(4; –2); B(1; 2) y C(5; 5) son los

vértices de un triángulo. Determine el tipo de triángulo.

A) isósceles.

B) equilátero. C) rectángulo.

D) rectángulo isósceles. E) oblicuángulo.

13. En un triángulo ABC se sabe que A(3; 5) y el

baricentro es G(1; –3). Halle la suma de coordenadas del punto medio de BC.

A) –3

B) –5 C) –7

D) 5 E) 7

14. Del gráfico mostrado, determine las coordenadas del punto M. Si ABCD es un paralelogramo.

A) 11

;82

B) (–6; 5)

C) 9

;52

D) (–6; 4)

E) (–5; 7)

15. Halle el valor de a para que la recta ax 3y 3 0

, sea paralelo a la recta de ecuación

18x (a 3)y 1 0 .

A) 4

B) 5 C) 3

D) –6 E) –9

16. Halle el área de la región triangular que forma la recta 5x – 12y 20 0 , con los ejes

coordenados.

A) 3

B) 10 C) 3/10

D) 10/3 E) 1/3

17. Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto (4; –3) y es paralela a una recta L cuya ecuación es

y=3x+5.

A) y=x – 15 B) y=x+15

C) y=3x – 15 D) y=3x+15

E) y=x+3

18. Calcule la distancia de la recta

L: 5x – 12y + 11 = 0 al punto (8; 1).

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

19. La ecuación de una recta L es 4x – 5y 17 0 si

los puntos A(2; a) y B(b; 1) pertenecen a dicha recta. Halle la distancia entre los puntos A y B.

A) 41

B) 41

C) 40

D) 40

E) 43

20. La ecuación de una recta es 2x 3y – 16 0 ,

halle su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados.

A) 3 16

;(8;0); 0;2 3

B)

2;(8;0);(0;16)

3

C) 2 16

;(8;0); 0;3 3

D)

3 16;(8;0); 0;

2 3

E) 2

;(8;0);(0;16)3

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

1. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (7; –6) y que pasa por la coordenada (2;

2).

A) 2 2x y 14x 12y 4 0

B) 2 2x y 12x 10y 2 0

C) 2 2x y 14x 6y 10 0

D) 2 2x y 10x 12y 6 0

E) 2 2x y 2x y 10 0

2. Halle el centro y radio de la circunferencia 2 2x y 6x 10y 18 0 .

A) 2 2(x 3) (y 5) 4

B) 2 2(x 3) (y 5) 16

C) 2 2(x 3) (y 5) 16

D) 2 2(x 3) (y 5) 4

E) 2 2(x 3) (y 5) 16

3. ¿El punto (4; –3) es exterior, interior o está en la circunferencia?

2 2x y 6x 4y 3 0 .

A) Es interior.

B) Es exterior. C) Está en la circunferencia.

D) Está mal planteado. E) N.A.

4. Halle la distancia máxima y mínima del punto (– 7; 2) a la circunferencia

2 2x y 10x 14y 151 0

A) 28 y 4

B) 30 y 2 C) 28 y 2

D) 20 y 1 E) 20 y 3

5. Halle la ecuación de la circunferencia de centro (2;

3) y que pasa por el punto (5; 1) .

A) 2 2(x 2) (y 3) 5

B) 2 2(x 2) (y 3) 25

C) 2 2(x 2) (y 3) 5

D) 2 2(x 2) (y 3) 5

E) 2 2(x 2) (y 3) 25

6. Halle el valor de a para que la ecuación

2 2x y 8x 10y a 0 , represente una

circunferencia de radio 4.

A) 5

B) 10 C) 15

D) 20 E) 25

7. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (–4; 1) y que es tangente a la recta L: 3x + 2y – 12

= 0.

A) 2 2 484(x 3) (y 1)

13

B) 2 2 484(x 4) (y 1)

13

C) 2 2 484(x 4) (y 1)

13

D) 2 2 484(x 5) (y 1)

13

E) 2 2(x 8) (y 1) 484

8. Halle la ecuación de la circunferencia inscrita en el

triángulo ABC.

A) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 4

B) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 3

C) (𝑥 + 6)2 + (𝑦 + 2)2 = 4

D) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 4

E) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 2)2 = 4

9. Una circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas y es tangente a la recta 3𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0.

Halle su ecuación.

A) 𝑥2 + 𝑦2 =9

25 B) 𝑥2 + 𝑦2 = 1

C) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 D) 𝑥2 + 𝑦2 = 9

E) 𝑥2 + 𝑦2 =3

4

10. Los extremos del diámetro de una circunferencia son

A(–3; 6) y B(7; 2), halle la ecuación de la circunferencia.

A) 2 2x y 4

B) 2 2(x 2) (y 4) 29

C) 2 2(x 2) (y 4) 29

D) 2 2x y 29

E) 2 2(x 2) (y 4) 29

11. Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (3; –1) y que pasa por el punto (2; 6).

A) 2 2(x 3) (y 1) 5 2

B) 2 2(x 3) (y 1) 5 2

C) 2 2(x 3) (y 1) 50

D) 2 2(x 3) (y 1) 50

E) 2 2(x 3) (y 1) 5

12. Una circunferencia con centro en el origen pasa por (–20; 21). Halle su ecuación.

A) 2 2(x 20) (y 21) 841

B) 2 2(x 20) (y 21) 29

C) 2 2x y 9

D) 2 2x y 29

E) 2 2x y 841

13. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por (2; 3) y cuyo centro es (–1; 7).

A) 2 2x y 2x 14y 50 0

B) 2 2x y 2x 14y 25 0

C) 2 2x y 2x 14y 50 0

D) 2 2x y 4x 7y 65 0

E) 2 2x y 2x 14y 25 0

14. Halle el centro y radio de la circunferencia: 2 2x y 14x 12y 80 0

A) (7; –6), r=5

B) (–7; 6), r=5

C) (7; –6), r 5

D) (–7; 6), r 5

E) (6; –7), r 5

15. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por

los puntos A(8; –2), B(6; 2), C(3; –7).

A) 2 2(x 3) (y 2) 25

B) 2 2(x 3) (y 2) 25

C) 2 2(x 3) (y 2) 25

D) 2 2(x 3) (y 2) 5

E) 2 2(x 3) (y 2) 25