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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE SSAANNTTIIAAGGOO DDEE CCHHIILLEE

FFAACCUULLTTAADD DDEE CCIIEENNCCIIAA

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE FFÍÍSSIICCAA

INGENIERÍA CIVIL PLAN ANUAL

2007

COORDINADORA: Magalí Reyes Mazzini

AUTORES Y AUTORAS

Jaime Abarzúa Guiñez

Alemith Geerdts González

Dora González Abarca

M. Elena Gutierrez Dauré

Myriam Morales Ríos

Cristina Pohl Valdivia

William Parkes Mix

Luis Rodríguez Valencia

Cecilia Schwarze Dintrans

Sidney Villagrán Rivas

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Universidad de Santiago de Chile - Facultad de Ciencia - Departamento de Física 1

INDICE

Página Experimento Nº1 Aprendiendo a Graficar y Anotar Medidas. 2 Experimento Nº2 Estática � Estudio de Fuerzas. 13 Experimento Nº3 Hidrostática: Principio de Arquímedes y Densidad Relativa. 17 Experimento Nº4 Cinemática de la Partícula: Ecuación Itinerario de cuerpo que cae. 23 Experimento Nº5 Cinemática de la Partícula: Ecuación Itinerario de cuerpo que sube y baja por un plano inclinado. 24 Experimento Nº6 Dinámica de la Partícula: Determinación del Coeficiente de roce cinético entre un bloque y una superficie. 26 Experimento Nº7 Dinámica de la Partícula: Determinación de la Aceleración de Gravedad, usando un plano inclinado. 27 Experimento Nº8 Trabajo y Energía: Determinación del Coeficiente de roce cinético utilizando conceptos de energía. 28 Experimento Nº9 Sistema de Partículas: Análisis de la Conservación de la Cantidad de Movimiento y la Energía Cinética en un Choque Frontal 32 Experimento Nº10 Sistema de Partículas: Análisis de la Conservación de la Cantidad de Movimiento y la Energía Cinética en un Choque Lateral. 33 Experimento Nº11 Dinámica del Cuerpo Rígido: Determinación de la relación entre Momento de Rotación y Aceleración Angular para un cuerpo Rígido. 36 Experimento Nº12 Dinámica del Cuerpo Rígido: Determinación del Momento de Inercia de la Rueda de Maxwell. 37


Experimento Nº13 Trabajo y Energía: Conservación de la Energía Mecánica. 38 Anexo A Papeles Gráficos. 40 Anexo B Tablas. 54


Aprendiendo a graficar y anotar medidas

Experimento Nº 1

I. Objetivo El alumno debe ser capaz de representar

gráficamente los datos obtenidos experimentalmente, usar en forma adecuada el método de rectificación de la curva para obtener la relación funcional entre las variables y saber aplicar el método gráfico, de promedios y eventualmente el método de mínimos cuadrados, para la determinación de la pendiente de la recta y para la ordenada del origen.

Aprender los conceptos de cifras significativas, criterios de aproximación y forma de expresar el resultado de una medición.

II. Introducción La física en su intento de describir ordenadamente los hechos que acontecen en la naturaleza, utiliza la matemática como lenguaje. Fundamentalmente la teoría de funciones es la que da un aporte más rico a las pretensiones de la Física, puesto que ella es la que contiene la idea de conexión, relación o dependencia entre elementos de distintos conjuntos.

III. Fundamentos teóricos FUNCIONES

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Llamaremos "x" a los elementos de A e "y" a los elementos de B.

DEFINICIÓN

Función de A en B es una regla o ley "f" tal que a cada elemento x (de A) le hace corresponder un único elemento de y (de B); "y" se llama el valor de la función f en X. Por este motivo, en adelante, lo designaremos por f(x). También se dice f(x) es la imagen de x.

A recibe el nombre de dominio o conjunto

objeto de la función f. B recibe el nombre de codominio o conjunto imagen de la función f.

Este concepto se puede dibujar o representar de diversas maneras tales como los ilustrados en la figura (1), (2), (3) y (4). En física se usan con frecuencia las formas (3) y (4) pues con frecuencia los datos de un experimento se presentan tabulados (3) de modo que a cada valor de "x" de una variable independiente le corresponda un valor "y" de la variable dependiente, entendiéndose por variable independiente a la que se le atribuye valor arbitrario y por variable dependiente a aquella cuyo valor depende de la variable independiente. Los valores de x e y se representan en un �gráfico" el cual será una forma visual de estudiar una función (4). La determinación de la función algebraica o relación funcional asociada al gráfico constituye uno de los objetivos importantes del laboratorio. IV. Instrucciones para la confección de un gráfico Los gráficos se confeccionan sobre un papel especial, puede ser milimetrado, logarítmico o semi-logarítmico. En general es conveniente primero graficar los datos en papel milimetrado, donde las unidades de ambos ejes están espaciadas uniformemente. Si el gráfico resulta aproximadamente una línea recta, entonces la relación entre las variables "x" e "y" es lineal, o sea de la forma:

y mx b

Si la representación de los datos en papel milimetrado es una curva, es posible intentar cambiar a nuevas variables que estén relacionadas linealmente. Este proceso se llama �rectificación de los datos�. Existen dos casos en que la solución es simple.

1)

A B

x f(x) 2) f : A B

3) A

B

x1, x2, x3, x4, ....xn

y1, y2, y3, y4,....yn 4)

Y

X x

y


1) Si se sospecha por la inspección del gráfico en

papel milimetrado que la relación entre las variables es de �exponencial�, es decir de la forma:

bxy ae

entonces su gráfico en papel �semilogarítmico�, uniforme en "x" y logarítmico en base 10 para "y" será una línea recta, puesto que

log y log a bx

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b.

2) Si se sospecha por la inspección del gráfico en papel milimetrado que la relación entre las

variables es de tipo �potencia�, es decir de la forma:

by ax

Entonces su gráfico en papel �log-log�, logarítmico en "x" y logarítmico en base 10 para "y" será una línea recta, puesto que:

log y log a b log x

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b. Se deben cumplir además las siguientes indicaciones: 1) El gráfico debe llevar un título que indique

el fenómeno que representa y sirva de guía a quién haga uso de él.

2) Se elige un sistema de coordenadas; muy a

menudo usaremos el sistema de coordenadas ortogonal.

3) Sobre los ejes se indican las magnitudes

físicas que en ellos se representan con sus correspondientes unidades y la escala adecuada.

4) Generalmente la variable independiente se

representa en el eje de la abscisa y la variable dependiente en el eje de la ordenada, aunque pueden intercambiarse.

5) Cuando se selecciona una escala en la representación gráfica (con papel milimetrado o logarítmico) de cualquier curva se recomienda.

a) Tratar que los puntos experimentales no

queden muy juntos. Para una mejor información los puntos deben estar separados; para lograr esto se amplían las escalas como se indica en la figura.

b) Hay que evitar que las escalas elegidas sean complicadas.

c) No deben unirse los puntos experimentales

por medio de segmentos rectos; el gráfico tiene que construirse con una curva suave y continua que pase lo más cerca posible de los puntos obtenidos (curva de aproximación).

d) Si es necesario graficar con errores, generalmente el error de la variable independiente se desprecia y el error de la variable dependiente se puede representar por una �barra de error�. La curva que se dibuje debe pasar por el interior de las barras de errores.

Y

X

malY

X

bien

2 8 2 8

5

10

10

5

Y

X

malY

X

bien


En la figura se muestran dos casos para una relación lineal y otra no lineal. V. Análisis de un gráfico Analizaremos a continuación como determinar la relación funcional entre variables experimentales. Los pasos son los siguientes: 1) Obtener tabla de datos. 2) Graficar los datos. La gráfica puede ser::

a. Una relación lineal (línea recta). b. Una relación no lineal (línea curva).

3) Para el caso (b), se intenta modificar las variables hasta que su gráfico sea una línea recta.

4) Se escribe la ecuación de la recta, determinando el valor de las constantes.

5) Interpretación física de la relación lineal obtenida.

Una vez lograda la relación lineal entre las originales o nuevas variables se debe determinar las constantes o parámetros de la recta. La ley física entre las variables puede expresarse como: y f (x,m,b) mx b

donde: y: variable dependiente x: variable independiente f: función lineal m y b: constantes por determinar; m pendiente de la recta y b, ordenada del origen.

Ajuste lineal De acuerdo a lo recién explicado, si las variables originales o las nuevas variables que seguiremos llamando x, y, muestran una relación aproximadamente lineal, la tarea de encontrar una recta que pase por todos los puntos es normalmente una tarea imposible, puesto que en general se tienen varios puntos (xi, yi) con

i =1,2,3,..n y una recta queda determinada por dos puntos. La tarea que podemos resolver es la

de encontrar la �mejor� recta que ajuste los datos. La ecuación general de una recta es:

y mx b

Para determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b para la recta que se aproxime a los datos, explicaremos dos métodos: 1. Método gráfico Método Gráfico se utiliza para un conjunto de puntos de moderada precisión. Simplemente grafique sus puntos de datos, dibuje la mejor recta que usted estime se aproxima mejor a los puntos. El intercepto con el eje Y nos da el valor de �b� y la pendiente será: :

y

xm

2. Método de promedios Se define el residuo como la diferencia entre el valor experimental y el valor dado por la expresión mx b esto es

i i ir y (mx b)

valores que no son nulos porque los puntos no caen exactamente sobre la recta. Si los datos los dividimos en dos grupos (I) y (II) de parecido tamaño, el método se basa en que la suma de los residuos en ambos grupos es cero, en otras palabras

i I

I I I

i I

II II II

0 y m x b 1,

0 y m x b 1,

Y

X

linealY

X

no lineal

Y

X

ajuste lineal

b x

y


y con estas dos ecuaciones se determinan m y b. Estas se pueden escribir en términos de promedios sobre cada grupo en la forma :

I I

II II

m x b y

m x b y

y de estas ecuaciones se debe despejar m y b.

3. Método de mínimos cuadrados El método de los mínimos cuadrados se basa en el siguiente criterio. �La mejor recta de ajuste de a una serie de datos puntuales es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones Di de

los puntos con la recta. La desviación Di es la diferencia entre el valor de la ordenada yi de un punto dato y el correspondiente valor yc dado por la recta, en otras palabras debe minimizarse

2

i iiS y mx b

Existe un método de minimización basado en propiedades de las derivaciones parciales, cuestión que usted aún no conoce. Por ello se seguirá otra estrategia. Recuerde que una función cuadrática de la forma:

2au bu c tiene un mínimo (o máximo) justo en el punto medio entre las dos raíces, es decir en el punto

bu

2a

Si desarrollamos S, tenemos una función cuadrática tanto en m como en b. En efecto se tiene:

2 2 2 2

i i i i i i

i i i i i i

S y m x b 1 2m x y 2b y 2mb x

y nos podemos olvidar del primer término que no depende de m y b

2 2 2

i i i i i

i i i i i

S m x b 1 2m x y 2b y 2mb x

Entonces usando el criterio para minimizar funciones cuadráticas, obtendremos:

i i i

i i

2

i

i

2b x 2 x y

m2 x

y

i i i

i i

i

2m x 2 x y

b2 1

que pueden ser reordenadas como:

2

i i i i

i i i

m x b x x y

i i

i i

m x bn y

de donde se pueden despejar los valores de m y b resultando:

2

2

x y n xym

x n x

2

22

xy x y xb

x n x

En estas expresiones representa n

i 1

;

no se escribieron los subíndices i de x e y.

Coeficiente de correlación lineal r Si se realiza un ajuste de mínimos cuadrados, una medida de la �calidad� del ajuste le da el coeficiente de correlación lineal r. Si r tiene un valor absoluto cercano a 1, el ajuste es �bueno�. El coeficiente r se calcula según la expresión:

i i i i

2 22 2

i i i i

1x y x y

nr1 1

x x y yn n

y usando la notación de promedios <x> se escribe como:

2 22 2

xy x yr

x x y y

Ejemplo Se tiene un carrito que desliza en un riel de aire horizontal y un dispositivo conectado a un computador que nos entrega una tabla de valores y


el gráfico con puntos que están a continuación, donde x(t) indica el desplazamiento y t el tiempo transcurrido. Se desea encontrar la ecuación itinerario del móvil que ha ocupado las siguientes posiciones en función del tiempo:. t (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4

x (cm) 12.5 16.2 22.1 28.0 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

Método Gráfico Se ha dibujado con una regla la mejor recta estimada en el gráfico. Tomamos dos puntos de fácil lectura (t1,x1), (t2 ,x2 ) y calculemos su pendiente m. Para el valor de b leemos donde la recta corta al eje x. Así resulta:

63 3m 7,5 cm / s b 3 cm

8

de manera que la relación funcional es :

x(t) 3 7,5t cm

Método de los promedios De la tabla de valores se tomaron los cuatro primeros y los cinco últimos para formar los dos grupos de manera que resulta un sistema de dos ecuaciones:

19.7 2.2m b

45.7 5.7m b

y de allí se obtiene la relación lineal

x 3.4 7.4t cm

Ejercicios En las siguientes tablas de valores realice los gráficos y encuentre la ecuación de la mejor recta mediante los métodos anteriores.

T (s) V (ms-1) a (ms-2) F (N)

0,033 0,90 0,31 2,00

0.067 1,20 0,76 2,30

0,100 1,60 1,16 2,50

0,130 2,00 1,50 2,80

0,160 2,40 1,93 3,00

0,200 2,60 2,35 3,30

0,230 3,00 2,75 3,50

0,260 3,20 3,35 3,80

0,300 3,30 3,54 4,00

0,330 3,80 3,95 4,30

0,380 4,28 4,30 4,50

á (rad s-2) (N m)

1,55 0.011

2,25 0,017

3,19 0,023

4,00 0,028

4,96 0,034

5,85 0,040

6,55 0,045

7,25 0,049

7,93 0,056

8,35 0,060

9,44 0,066

Métodos de rectificación Representados los puntos en papel milimetrado, la curva obtenida podría ser una función polinomial, exponencial o logarítmica complicada y aún así, presentar aproximadamente la misma apariencia a la vista. Con frecuencia puede estimarse la relación funcional entre las variables si el experimentador tiene idea del tipo de función que representarán los

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME


datos, basándose en consideraciones teóricas y el resultado de experimentos previos similares. Algunos métodos Para determinar la relación funcional entre dos variables x e y, en algunos casos se rectifica la curva mediante una adecuada transformación de las variables, tanto de la variable independiente y/o de la variable dependiente. Las transformaciones se intentan hasta obtener una relación lineal en las nuevas variables X e Y, a partir de las cuales se deben calcular los parámetros M y N de la relación lineal Y MX N ; luego desde esa última relación se podrá obtener la relación funcional entre las variables originales y = f(x). Los siguientes son algunos ejemplos de gráficos de funciones y del respectivo cambio de variables que conviene efectuar: a) Potencia 2 2

y ax , Y y, X x , Y aX

Por ejemplo si la función es

Entonces, al cambiar variables tenemos que

Y 2X Sin embargo, para lograr esta transformación es necesario adivinar que la función es cuadrática en x. Por ello es preferible, suponer que la función es de tipo potencia y hacer lo que sigue:

Potencia by ax log y loga b log x

de manera que al hacer el cambio de variables

Y log y, X log x

se obtiene una relación lineal entre X e Y

Y log a bX

y los coeficiente pueden obtenerse de

2 1 1

b

2 1 1

log(y ) log(y ) yb a

log(x ) log(x ) x

Su representación es conveniente hacerla en papel log-log y no es necesario adivinar el exponente. Sin embargo, si la representación en papel log-log no resulta lineal entonces el modelo no es de potencia. Por ejemplo, si los datos son:

X y 1,0 1,50 2,0 4,27 3,0 23,38 4,0 48,00 5,0 83,55 6,0 132,27

Su gráfico en papel milimetrado será como se indica en la figura (a). Para utilizar papel log-log (b), necesitamos papel con dos periodos en el eje y, un periodo en el eje x. Esto es el eje x tiene rango de 1 a 10 y el eje y rango de 1 a 1000. El resultado para los mismos datos es una línea recta, pues es un ejemplo y los datos corresponden a modelo potencia. Del gráfico o de los datos se deduce que:

log(132,27) - log(1,50)

log(6) - log(1)b = 2,50 1,5

a 1,51

0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Y

X

Y=2X

0 2 4

0

10

20

30

40

50

y

x

y=2x2

1 2 3 4 5 6

0

20

40

60

80

100

120

140

y

x

y vs x

1 101

10

100

log(

y)

log(x)

log(y) vs log(x)

2y 2x


de modo que se obtiene 2,5y 1.5x

Exponencial bx

y ae , Y log y, X x, Y loga b(loge)X

Su representación es conveniente hacerla en papel semi-log. Sin embargo, si la representación en papel semi-log no resulta lineal entonces el modelo no es exponencial. Por ejemplo si los datos son:

x y 1,0 5,4366 2,0 14,778 3,0 40,171 4,0 109,196 5,0 296,826

Su gráfico en papel milimetrado será como se indica en la figura (a) Su gráfico en papel milimetrado será como se indica en la figura (a). Como se observa de los datos, es aparente que existe crecimiento exponencial. Para averiguarlo, grafique los mismos datos en papel semi-log (b) obteniendo Logrado el ajuste, de los datos tenemos que:

log(y) log(a) b(log e)x

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0

20

40

60

80

100

120

y

x

y vs x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

10

100

1000

y

x

log(y) vs x

log

y

y las constantes de obtienen de dos puntos, de los datos o del gráfico, es decir:

1bx2 1

1

2 1

log(y ) log(y )b a y e

(loge)(x x )

y numéricamente resulta:

1bx 1

1

log(296,826) log(5,4366)b 1,00

(5 1) log e

a y e 5,4366e 2,00

de manera que resulta finalmente:

xy 2e VI. Interpolación y extrapolación El número limitado de puntos obtenidos en un experimento no permite dibujar una curva continua, sin embargo, tratamos de hacerlo como si fuera con lo cual suponemos que se trata de una función continua, sin variaciones bruscas, entre los puntos vecinos. Dibujada la curva se puede obtener de ella el valor de una ordenada correspondiente a una denominada abscisa que aunque no haya sido determinada por el experimento mismo se encuentra comprendida entre dos valores experimentales, en tal caso el valor de la ordenada se ha obtenido por �interpolación�. Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor curva trazada entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho una �extrapolación�. Ambas operaciones suelen estar limitadas por las condiciones de la experiencia. Los puntos extrapolares en el caso de dependencia lineal, los obtendremos prolongando la recta que

corresponde a la gráfica rectificada. VII. Otro ejemplo de cambio de variable Si la relación es del tipo:

2y a bx cx

que es una parábola, al usar un cambio de variables basado en un punto arbitrario (x1,y1), esto es, escribir la parábola como:

2 2

1 1 1y y b(x x ) c(x x ) ,

de modo que:

(a) (b)


1

1

1

y yb cx cx

x x

las nuevas variables que tienen relación lineal son:

1

1

y yY , X x

x x

de manera que la pendiente es c y el intercepto es

1b cx

Ejemplo de aplicación Se desea encontrar la ecuación itinerario x = x(t) de un carro que baja por un plano inclinado; para ello se dispone de la siguiente tabla de datos obtenida experimentalmente.. x : posición ; t : tiempo

x (cm) t (s) 0,9 0,04 2,1 0,08 3,5 0,12 5,0 0,16 6,9 0,20 8,9 0,24 11,2 0,28 13,7 0,32 16,7 0,36

Desarrollo Para visualizar el tipo de relación que existe entre �x� y �t� se hace el gráfico x versus t, donde x: variable dependiente; t: variable independiente. Para rectificar se puede usar el método de la parábola; o sea, se supone que se satisface la

relación, 2

0 0

1x x v t at

2

x1 = 0,9; t1 = 0,04

1

1

x x cm

t t s

t (s)

30,0 0,08 32,5 0,12 34,2 0,16 37,5 0,20 40,0 0,24 42,9 0,28 45,7 0,32 49,4 0,36

La relación funcional es:

x 0,9

mt bt 0,04

Cálculo de m y b por método gráfico. De la figura

2

47,5 27,0 cmm 68, 3

0, 30 s

cm

b 27,0s

Luego: x 0,9

27 68, 3tt 0,04

Ordenando y redondeando a un decimal, se tiene la ecuación itinerario.

2x(t) 0,2 24, 3t 68, 3t

VIII. Procesamiento gráfico de datos OBJETIVOS 1. Representación correcta de una tabla de datos

mediante un gráfico de dos variables. 2. Obtención de la relación funcional entre dos

variables cuyo gráfico es una Recta, mediante los dos métodos a saber. El método Gráfico y el de los Promedios.

3. Obtención de la relación funcional mediante un cambio de variable, para transformar la Curva en una Recta (proceso llamado Rectificación).

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,3520

25

30

35

40

45

50

t

datos ajuste gráfico

0.9

0.04

x

t


ACTIVIDADES 1. Lea Estudie y Aprenda previamente toda la

información que trae respecto a la confección de gráficos y a la obtención de los parámetros de una función lineal.

2. Grafique en papel cuadriculado una tabla de datos que sea una recta y a partir de ésta obtenga la pendiente y el coeficiente de posición, mediante el método Gráfico y el método de los promedios4.

3. Grafique en papel cuadriculado tablas de datos cuyos gráficos sean una curva e intente cambios de variables que permitan rectificar las curvas en cada uno de los casos.

IX. MEDICIONES Y ERRORES

Medir una magnitud de una cantidad física, es encontrar un número que sea el cociente entre la magnitud a medir y una magnitud tomada como patrón.

Métodos de medición

Medida directa: Se confronta directamente un patrón de medida como unidad, con la magnitud a medir.

Medida Indirecta: Se aplican fórmulas.

Medida con aparatos calibrados. La medida está

dada por la posición de índices sobre escalas graduadas. Tanto las escalas como el origen han sido confrontadas con patrones de calibración utilizados para verificar la respuesta del instrumento y corregir las desviaciones. Los patrones de calibración se derivan, a su vez, de los patrones primarios que definen la unidad.

Medida de una magnitud física Se expresa como x x . El valor verdadero de la medida de una magnitud física x i no se puede conocer, pues toda medida está sometida a error o incerteza x . Es indispensable hacer una estimación del error o incerteza para poder obtener conclusiones experimentales. La incerteza

determina la calidad y los limites de validez de la medida. Errores experimentales en mediciones directas. Errores Sistemáticos.

Se repiten constantemente a lo largo del experimento. Afectan el resultado siempre de la misma forma, si se cumplen las mismas condiciones de experimentación. Ejemplos: error de calibración del Instrumento, condiciones experimentales no apropiadas, técnicas imperfectas, fórmulas Incorrectas, paralaje, etcétera. Este es un error en el sentido de una equivocación, no de una incerteza. La teoría de error trata esencialmente de las incertezas en las medidas, pero un buen trabajo de medición requiere investigar también la presencia de errores sistemáticos, para corregir los resultados de una medición, cuando la causa de un error sistemático es descubierta.

Errores Aleatorios. Están presentes en toda medida. Cuando son significativos, se puede disminuir su incidencia en el resultado aumentando el número de medidas. Tienen tratamiento matemático.

Errores Personales. Debidos a descuido o incompetencia del experimentador. Este es el único caso en que hay claramente algún 'error', algo que está mal, y no se trata de una incerteza en la medida. Ejemplos: mala lectura.

Evaluación de valores representativos e incertezas en mediciones directas. Se puede escribir una fundamentación teórica del tratamiento estadístico de los errores aleatorios; pero los conceptos matemáticos que los alumnos manejan son insuficientes aún, por ello, eso se pospondrá para una guía de complemento que se agregará a ésta más adelante. Eliminados los errores sistemáticos (si se logran descubrir) y/o personales, nuestra medición debe ser expresada como:

x x x


Las medidas de tendencia central nos permitirán elegir el valor más representativo de la medición experimental; este será el valor medio o x . Valor medio o promedio:

n

i

i 1

1x x

n

Criterios para el cálculo del error absoluto x :

Si 1 INSTn x x , siendo el error

instrumental mitad de la menor división de la escala usada.

Si max min1 102

x xn x

, se aplica

cuando el error aleatorio es importante frente al instrumental, pero si sólo se desea obtener una determinación rápida, pero burda, de la incerteza. Si 10n x Se obtiene en forma estadística El error absoluto x se escribirá siempre con una cifra significativa. Tipos de Error:

Error relativo: r

x

x

Error porcentual: r

x% 100 100

x

El error relativo se escribirá con dos cifras significativas. Para instrumentos digitales usaremos el siguiente criterio: �el error instrumental será la menor división de la escala (sensibilidad del instrumento) Evaluación de valores representativos e incertezas en mediciones indirectas. Hay magnitudes que no se obtienen directamente, sino que a partir de la aplicación de una función que relaciona dos o más medidas realizadas directamente, por ejemplo, la rapidez de un móvil se obtiene mediante la expresión:

dv

t

Como d y t se miden directamente, para obtener el error cometido en el cálculo de la rapidez, se debe propagar el error.

La propagación del error consiste en aplicar unas reglas que están relacionadas con el tipo de operación que liga las variables que intervienen en el cálculo de la magnitud. Sea a y b los valores medios de dos magnitudes cuyos errores absolutos son a y b respectivamente; la siguiente tabla muestra la forma en que se propagan los errores según la operación aritmética utilizada: Adición

a a b b a b a b

Sustracción

a a b b a b a b

Producto

a b

a ba a b b a b a b

Cuociente

a a a b

b b a ba a b b

Potencias y raíces

n n n a

aa a a n

Cifras significativas: Cualquier medida que se realice tiene que ser obtenida con un número determinado de cifras significativas Dicho número está limitado por la incerteza. El número de cifras contadas desde la izquierda hasta la primera cifra afecta error inclusive, se denomina número de cifras significativas. No se consideran los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero. Los ceros a la derecha, sí son considerados cifras significativas. Ejemplos

4.0 cm. tiene 2 cifras significativas. 0.0204 cm. tiene 3 cifras significativas.

0.010 cm. tiene 2 cifras significativas. 23.01 cm. tiene 4 cifras significativas.


A veces es conveniente usar notación científica y en ese caso las lecturas anteriores serán: 4.0 cm., tiene 2 cifras significativas 2.04 ∙ 10-2 cm., tiene 3 cifras significativas 1.0 ∙ 10-2 cm., tiene 2 cifras significativas 2.301 ∙ 10 cm., tiene 4 cifras significativas Criterio de aproximación Cuando intervienen cálculos en una medición de obtienen cifras superfluas y se deben eliminar redondeando el número. El criterio que utilizaremos será: Los dígitos 1, 2, 3, 4 se eliminan y el dígito anterior se deja igual. Los dígitos 5, 6, 7, 8, 9 se eliminan y el dígito anterior se aumenta en uno. Ejemplos: a) Escribir 208.245 con 2 cifras significativas: 2.1 ∙ 102 b) Escribir 23.4496 con tres cifras significativas: 23.4 c) Escribir 4,03 con aproximación a la décima: 4,0 d) Escribir 4,055 con aproximación a la centésima: 4,06 Cifras significativas en resultados de operaciones aritméticas Se aplican los siguientes criterios a) Adiciones y sustracciones: el resultado final

tiene el mismo número de decimales que el dato con menos decimales.

Ejemplo: calcular el semi perímetro de un rectángulo de lados a = 23.4 cm y b = 2.23 cm. a + b = 25.63 = 25.6 cm

b) Multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces:

el número de cifras significativas del resultado será igual al número de cifras significativas del dato con menos cifras significativas. Ejemplo: calcular el volumen, con una cifra significativa, de un paralelepípedo de lados: a = 12.3 cm (tres cifras significativas) b = 8.5 cm (dos cifras significativas) c = 0.8 cm (una cifra significativa) V= 83.64 = 8 ∙ 10 cm3

c) Constantes. Aquellas que no provienen de mediciones, no influyen en el resultado, siempre que sean racionales y se expresen como fracciones de enteros; pero como los números irracionales ( = 3.1459....), tienen infinitas cifras significativas se usan al menos con la misma cantidad de cifras significativas que el dato con mas cifras significativas. Otras constantes de la física se conocen con un determinado número de cifras significativas y se deben consultar tablas físicas para saberlo.

Ejemplo Se desea calcular el volumen de un cilindro circular recto de radio 4.5 cm. y altura 55.7 cm. La fórmula establece

2V r h

Para este cálculo debe usarse al menos con tres cifras significativas de modo que y después del cálculo redondear a dos cifras significativas

resultando 3 3V 3.5 10 cm .

Precisión. Una medida es tanto más precisa, cuanto más pequeño sean los errores aleatorios. La precisión es la mínima variación de una magnitud que un instrumento de medida puede determinar. Ej: Una precisión de 0,1[mg] en una balanza, indica que podemos dar sin error la cuarta cifra decimal de la masa expresada en gramos. Exactitud. Una medida es tanto más exacta, cuanto más pequeños sean los errores sistemáticos. Sensibilidad. El concepto de sensibilidad está asociado al instrumento de medida (balanza, regla, cronómetro, etc.). Se entiende por sensibilidad de un instrumento la capacidad de éste para detectar variaciones pequeñas (mínimas) de la magnitud física a medir. Un instrumento de medida es tanto más sensible cuanto menor es el valor de su �precisión�. Ej: Una balanza capaz de apreciar 0,1[mg] es 10veces más sensible que la que aprecia solamente 1[mg].


Estática - Estudio de Fuerzas Experimento Nº 2

I. Objetivo general

1. Comprobar experimentalmente que las fuerzas

obedecen a las propiedades de los vectores. 2. Lograr el equilibrio de objetos que pueden rotar

en torno a un eje, por medio de la aplicación de fuerzas y torques.

II. Fundamentos teóricos

El concepto de fuerza se relaciona frecuentemente con esfuerzo muscular, empuje, tracción etcétera. Para mover una mesa debemos empujarla realizando un esfuerzo muscular, aplicado a un punto de la mesa. Además la mesa la empujamos en determinado sentido. Recordemos que las magnitudes que se definen con módulo (número y unidad), dirección y sentido se llaman vectores y las magnitudes que se definen con un número y su unidad se llaman escalares.

Otras fuerzas que podemos mencionar son: tensión, fuerza de roce, peso y normal. Las fuerzas que son ejercidas mediante cuerdas se las denomina tensiones. A la fuerza que ejerce la Tierra sobre los objetos cercanos, por la atracción gravitacional, se la denomina fuerza peso y está verticalmente dirigida hacia abajo y tiene un módulo W mg , siendo m

la masa del cuerpo y g el módulo de la aceleración de gravedad.

Si se tienen dos superficies en contacto, a la componente perpendicular a la superficie se la llama normal N y a la componente tangencial que ejerce la superficie, se le llama fuerza de roce f. (Si el cuerpo está en equilibrio estático esta fuerza se denomina fuerza de roce estático, fk).

Las fuerzas se miden con dinamómetros.

¿Qué haría usted si le solicitaran su colaboración para mover un equipo pesado de un nivel de instalación industrial a otro?

Seguramente iniciaría su investigación preguntándose: ¿Cuán pesado es? Además observará el lugar donde se encuentra el equipo y dónde debe quedar instalado. Luego propondrá algunas soluciones de cómo y con qué hacerlo. Aquí estudiaremos un sistema a escala diseñados para los efectos anteriormente indicados con una rampa (plano inclinado) y una cuerda. Para su uso debemos tener claro cuál es el ángulo que debemos dar a la rampa, cuánta fuerza deberá hacer la cuerda para tirar el equipo y cuánto peso soporta la rampa. Resolveremos el problema matemáticamente haciendo uso del conocimiento de fuerzas coplanares y tomando datos directamente del modelo a escala. Para esto debemos tener claro el concepto de fuerzas, unidades y representación gráfica de un vector. Para lograr el equilibrio de cuerpos se deben cumplir las ecuaciones:

F 0 y 0

es decir la fuerza resultante debe ser nulo y el torque resultante debe ser nulo. El torque de una fuerza respecto a algún origen O se define como

Fr F

y como se sabe, su dirección será perpendicular al plano de la figura y su magnitud puede escribirse

F b

donde b, que es la distancia de la línea de acción de la fuerza al origen, se denomina �brazo de palanca�. La primera de las ecuaciones de equilibrio, establece que el centro de masa del cuerpo está detenido (ó tiene velocidad constante) y la segunda ecuación, establece que el cuerpo no gira. Siempre que abres una puerta o un grifo, o que aprietas una tuerca con una llave, ejerces una fuerza de giro. Esta fuerza de giro produce un torque. Torque no es lo mismo que la fuerza.

O

r

F

b


Si quieres que un objeto se traslade, aplica una fuerza cuya línea de acción pase por el centro de masa de éste. Las fuerzas aceleran y/o deforman los cuerpos. Si deseas que un objeto dé vueltas o gire, aplicas una fuerza que produzca un torque no nulo. Los torques producen rotaciones. Los niños que juegan en un balancín tienen un conocimiento intuitivo de los torques: pueden balancearse aunque sus pesos sean distintos. El niño que es más pesado se sienta a una distancia más corta del punto de apoyo (eje de rotación), mientras que la niña, más liviana, se sienta más lejos. Estas explicaciones se aplican cuando el cuerpo tiene un eje respecto al cual él puede rotar. En general una fuerza aplicada a un cuerpo puede acelerarlo y también rotarlo.

III. Bibliografía

Halliday y Resnick volumen I John P. Mac Kelvey, volumen I Paul A. Tipler, volumen I

IV. Procedimiento experimental

ACTIVIDAD A

Objetivo

Comprobar experimentalmente que las fuerzas obedecen a la operación de adición de vectores.

Fígura 1.1

Materiales: Pizarra magnética. Transportador. Caja de Pesas. Cuerdas. Poleas Sensor de fuerza, programa Data Studio Dinamómetro. Arme el montaje de la figura 1.1 (o 1.2)

Establezca equilibrio en el sistema. Mida el peso de cada cuerpo. Mida los ángulos según montaje.

FIGURA 1.2 ACTIVIDAD B:

Objetivo Comprobar experimentalmente que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cilíndrico sobre un plano inclinado y en reposo, satisfacen que tienen suma vectorial nula.

FIGURA 2

T

N

W

T

W1fS

W1

W3 W4

W2

X

Y


Materiales: Caja de pesas. Plano inclinado. Poleas. Cuerdas. Masa rodante Dinamómetro. Sensor de fuerza. Programa DS. Procedimiento Experimental: Se trata de determinar experimentalmente las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo, esto es su peso, la tensión del hilo del cual se suspende la masa que cuelga y la reacción normal. El diagrama del cuerpo en equilibrio será el que se ilustra en la figura. La tensión del hilo será el peso del cuerpo que cuelga. El peso del cilindro puede ser determinado de acuerdo a su masa. Para determinar la normal N, siga los siguientes pasos: Monte un dinamómetro y únalo al centro del cilindro como muestra la figura. Ajuste el punto de suspensión del dinamómetro hasta que él tire del eje del cilindro a un ángulo de 90º respecto de la superficie del plano inclinado. Aleje el punto de suspensión del dinamómetro en la dirección normal al plano justo hasta que la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo comience a despegarlo del plano inclinado. Lea el valor de Fy indicado por el dinamómetro Figura 3

ACTIVIDAD C

Objetivo Determinar experimentalmente los módulos: de la fuerza normal N y de la Fuerza de roce estático fs para un sistema en equilibrio.

FIGURA 2 Materiales: Plano inclinado. Poleas. Procedimiento Experimental: Se trata de determinar experimentalmente las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo, esto es su peso, la tensión del hilo del cual se suspende la masa que cuelga y la reacción normal. El diagrama del cuerpo en equilibrio será el que se ilustra en la figura.

ACTIVIDAD D:

Objetivo Verificar que la suma de los torques es nula, respecto al eje de rotación en un cuerpo en equilibrio estático.

Materiales: Pizarra magnética y accesorios Sensor de fuerza, programa Data Studio

T

N

W

T

W1fS

T

W

Fy

T

W1


Procedimiento experimental 1. Trace una línea recta con plumón sobre el

tablero en forma horizontal. 2. Monte la barra y los colgadores, como muestra

la figura. 3. Ubique los colgadores a diferentes distancias

del eje, coloque masas en ellos hasta lograr el equilibrio.

4. Dibuje el diagrama de fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, m1 m2 y barra en equilibrio estático.

Figura 4

m1 m2

d1 d2 barra


FN

FT

A

FN

A

HIDROSTÁTICA Experimento 3

I. Objetivos

1. Verificar el Principio de Arquímedes. 2. Determinar la densidad de un sólido mediante

el Principio de Arquímedes. 3. Variación de la Presión con la profundidad

II. Introducción Teórica

Sea m un elemento de masa de una sustancia y V el elemento de volumen que lo contiene. Se define la densidad en un punto de un material como:

V 0

m dmlim

V dV

Si ese valor es el mismo en cada punto se dice que el material es homogéneo y entonces si la tempe5ratura es constante, se tiene:

m

V

Las unidades de densidad son:

Sistema cgs g cm-3

Sistema SI kg m-3

Sistema técnico utm m-3

La hidrostática corresponde a la parte de la Mecánica de los Fluidos, donde estudiamos los fluidos en estado de equilibrio. Los fluidos en estado de movimiento, se analizan en la hidrodinámica. A lo largo de los siglos muchas personas han contribuido con su aporte para llegar hasta el desarrollo actual de esta ciencia, entre ellas podemos citar a Arquímedes, Torricelli, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Venturi, Poiseulli, Reynold, Froude, Stoke y el más reciente Prandtl, en la primera década del siglo. XX. Cuando se habla de fluidos, que definiremos a continuación, se refiere tanto a líquidos como a gases. Nótese que, el medio en que se desarrollan nuestras vidas, los más importantes son el agua y

el aire, como también lo son los combustibles, los lubricantes, etc. FLUIDOS Un fluido es una sustancia que se caracteriza por poseer un volumen definido, pero no una forma definida. Su definición se basa en el concepto de

esfuerzo tangencial o esfuerzo de corte (t ).

Se define el esfuerzo tangencial por la expresión escalar

tangencial

T

dF

dA .

Ahora podemos definir el concepto de fluido como una �sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un esfuerzo tangencial, no importando cuan pequeño sea éste�. PRESIÓN Se define el esfuerzo normal por la expresión

escalar N

dF

dA

, que es el cuociente

entre la fuerza normal y el área. De acuerdo a lo expuesto en la definición de esfuerzo, se define presión media como la razón entre la fuerza normal que actúa sobre un área plana y dicha área:

m

Fp

A


La presión en un punto es el límite a que tiende la presión media, cuando el elemento de área tiende a cero (la presión no es una magnitud vectorial).

A 0

F dFp lim

A dA

VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD. Para calcular la forma en que cambia la presión en un fluido en equilibrio, en función de la profundidad (bajo la influencia de la fuerza de atracción gravitacional), se considerará a un fluido confinado en un recipiente como se observa en la figura.

Consuderamos a un elemento imaginario de fluido en su interior, de espesor dy (muy delgado), un volumen dV, una densidad homogénea ñ y una masa dm. Sus caras horizontales tiene área A. Está en equilibrio. La condición de equilibrio exige de acuerdo a la estática, que todas las fuerzas que están siendo aplicadas a este elemento, se anulen. La fuerzas que actúan sobre el elmento son las siguientes: En la cara superior, a la profundidad y, existe

una presión P, por tanto, hacia abajo existe una fuerza de módulo, F1= PA.

En la cara inferior, a la profundidad y + dy, existe una presión P+dP y sobre ella una fuerza vertical hacia arriba de módulo F2 = (P+dP)A.

También existe sobre el elemento de fluido una fuerza hacia abajo, correspondiente al peso del elemento dw = dm g = (ñ dV)g = (ñ A dy) g, esta última es una expresión más apropiada por tratarse de un fluido.

Por la tanto, debe cumplirse que:

2 1F dw F 0 o, lo que es igual:

(P dP) A ( A dy)g P A 0

dividiendo por A y resolviendo la ecuación, se tiene la ec.(1):

dP g dy (1)

que nos proporciona la relación que existe entre una variación diferencial de presión en relación con una variación diferencial de profundidad. Si queremos encontrar la relación entre una variación finita de presión y una variación finita de profundidad, debemos integrar la ecuación (1).

dP g dy

Si tenemos un fluido incompresible ñ no cambia con la profundad por lo que tenemos:

dP g dy Si integramos entre el punto donde y = 0 (donde la

presión es 0

P , que puede ser la presión

atmosférica o en general, la que allí exista), y el punto donde y = y (donde la presión es P), se tiene:

0P P g (y 0)

0P P g y (presiónmanométrica) (2)

De donde 0

P P g y (presiónabsoluta) (3) Expresión que muestra que la presión varía linealmente con la profundidad en un fluido incompresible. Recuerde que y representa a la profundidad. En el caso de fluidos compresibles, como en los gases, esta expresión es más compleja, por cuanto la densidad variará con la profundidad, produciendo integraciones distintas {será necesario conocer la forma de la función ñ (y)}.

Un caso interesante de analizar es el barómetro, instrumento utilizado para medir la presión atmosférica. Para tener idea de su funcionamiento, considérese el dispositivo de la figura: Un tubo lleno con Mercurio es introducido boca abajo en un recipiente que contiene mercurio. Se observa que el nivel del mercurio en el tubo


desciende hasta un punto, generando sobre ese nivel prácticamente vació (solo habrá un poco de vapor de mercurio). Tenemos entonces que en el punto donde se ha escogido la referencia la presión es cero y en la superficie del líquido del recipiente (y1), la presión es la atmosférica del ambiente particular (P1).

Entonces, según la expresión (3):

1 0 1P P g y con

0 1P 0 e y H

1P g H de donde

1: H P / g

si estamos al nivel del mar

5 3 3 2H (1,01 X 10 Pa) / (13,6 X 10 Kg / m )(9,8m / s )

H 0,76m 760mm Una consecuencia importante es la que se observa del análisis del siguiente ejemplo. En la figura se ha dispuesto un recipiente que tiene dos brazos de distinta área transversal. Se observa que el nivel del líquido en los dos brazos es el mismo.

Note que si aplicamos la Ec.(2) a los puntos a y c,

encontramos que c a

P P g h. Si consideramos ahora los puntos b y d, encontramos que

d bP P g h.

Debido a que la presión en a y en b es la misma (presión atmosférica), y que la profundidad h también es la misma entonces la presión en los puntos c y d es la misma. Esto muestra que la presión a la misma profundidad en un líquido en equilibrio es la misma, con independencia de la cantidad de fluido que exista en cada brazo. En particular, como a y b están a la misma presión, deben encontrarse a la misma altura, lo que justifica que en los vasos comunicantes, abiertos a la atmósfera, siempre tienen superpies del líquido a la misma altura. Dicho de otra manera, la fuerza que existe en el fondo es independiente de la cantidad de líquido que existe en ambos brazos, dependiendo solo del área del fondo y de la altura del líquido respecto de él. El permite enunciar la Paradoja Hidrostática, según la cual, la fuerza en el fondo de un recipiente puede ser mayor, igual o menor que el peso del líquido. En la siguiente figura se observan cuatro vasos de formas distintas, pero con áreas de la base iguales e iguales alturas del mismo líquido. Según la paradoja hidrostática, las presiones en el fondo así como las fuerzas totales sobre él, son iguales en todos los vasos. Sin embargo esta fuerza es menor que el peso del líquido en a), igual que el peso en b) y superior al peso en los casos c) y d).

área A. Está en equilibrio.

UNIDADES Y ESCALAS DE MEDIDAS DE PRESIÓN En la practica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de una columna de un líquido determinado.

Las unidades de presión son: Sistema cgs 1Baria =1Dina/cm2

Sistema SI 1Pascal = 1N/m2

Sistema técnico 1Torr = 1mm de Hg

Otra 1 atmósfera

Las presiones se expresan con respecto a un nivel de referencia. Si este nivel es el vacío, la presión se llama presión absoluta, y cuando se toma como origen la presión atmosférica local, se llama presión manométrica.


La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica local, así podemos tener presiones manométricas la cual puede ser positiva, como también puede ser negativa.

man abs 0p p p

ATMOSFERA ESTANDAR O NORMAL También se ha definido como unidad para medir la presión, la atmósfera normal, que aproximadamente coincide con la atmósfera real de los puntos de la tierra que tienen las siguientes características:

PROPIEDAD

SIST. INTERNACIONAL

TEMPERATURA (T) 288° K DENSIDAD () 1.225 kg/m3 VISCOSIDAD () 1.781 x 10-5 kg/ms

PRESION (p) 101.3 K Pa

Una presión de una atmósfera equivale a: 1[Atm] = p0= 101,3 [Kpa] = 76 [cm de Hg] = =10.34 metros columna de H20 = 14.7 [Lb/plg2] ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE PRESIÓN Barómetro: mide la presión atmosférica. Manómetro: mide las sobrepresiones o

presiones manométricas positivas. Manómetro Diferencial: mide la diferencia de

presión entre dos puntos. Micro manómetro: mide presiones muy

pequeñas. Vacuómetro: mide presiones comprendidas

entre los 35 y los 0,05mm de Hg. Esfigmomanómetro: mide la presión

sanguínea.

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Todo cuerpo sumergido en un fluido está sometido a una fuerza hacia arriba que equivale al peso del fluido desplazado por la parte sumergida. Es decir cuando se sumerge un cuerpo sólido en un líquido (o en un gas) sobre este se ejerce una fuerza vertical hacia arriba que recibe el nombre de empuje (E). El módulo del empuje es igual al

módulo del peso del volumen del fluido desalojado. Su expresión es

F S aire fluidoE gV W W ,

donde VS: Volumen del cuerpo sumergido. F : La densidad del fluido en el cual se sumerge el cuerpo.

Wfluido peso del cuerpo en el fluido g : aceleración de gravedad aceleración de gravedad Una manera de demostrar la expresión anterior para el empuje es la siguiente. Considere un sólido, por ejemplo un cuerpo ABCD, de base de área A y de altura h, es decir de : volumen V A h y de peso W mg

Al sumergirlo en un líquido de densidad F , el

cuerpo estará sometido a la acción de fuerzas horizontales y verticales. Las fuerzas horizontaless se anulan por ser iguales y contrarias y quedan actuando la fuerza F sobre la cara AB hacia arriba y la fuerza F� sobre la cara CD hacia abajo, como lo muestra la figura anterior. De acuerdo a los valores de la presión en el interior del fluido, los módulos de las fuerzas son:

a F a FF A(p g(h h )) F A(p gh )

F'

F

hW

D

A B

Ch'

pa


Como F y F� son de sentido contrario, se tiene una resultante hacia arriba

F FE F F ghA gV

es decir, el empuje es directamente proporcional al volumen del cuerpo sumergido y a la densidad

del fluido. Pero FgV es el peso del fluido

desplazado de modo que se ha establecido el principio de Arquímedes. + Densidad relativa Se llama densidad relativa de un medio (1) respecto a otro medio (2) a la razón entre las densidades de los dos medios

1

r

2

que es un valor adimensional e indica solamente cuantas veces es más denso el fluido o cuerpo (1) respecto al fluido o cuerpo de referencia. Generalmente se elige como cuerpo de referencia o patrón para líquidos o sólidos, el agua destilada a 4ºC. Densidad de un líquido Para determinar la densidad de un líquido se pueden utilizar: Un densímetro: instrumento que registra

directamente la densidad de un líquido. Se basa en el hecho que un cuerpo que flota tiene una parte sumergida cuyo volumen está en relación inversa con la densidad del líquido. Esto es una consecuencia directa del principio de Arquímedes.

Balanza de Mohr: Es un instrumento basado

en el principio de Arquímedes. Si la balanza se arma en el aire, se debe calibrar de manera que se consiga el equilibrio, luego se introduce el buzo, que es parte de la balanza, en el líquido en estudio. Debido al empuje, el equilibrio se pierde y la balanza se inclina, por lo cual se debe reestablecer el equilibrio inicial. Una vez logrado ese equilibrio se realiza la lectura de la densidad del líquido directamente en la escala de la balanza.

Tubo en U. Si se consideran dos líquidos no miscibles, por ejemplo mercurio y agua, dispuestos en el tubo en U, cuando están en equilibrio de tiene igualdad de presiones en los puntos A y B, ver figura.

Fig.(*)

En estas condiciones A B

p p . A partir de esta

relación puede deducirse que:

A a 1 1 B a 1 3 2 2p p gh , p p gh gh ,

de donde se deduce que::

1 3

2 1

2

h h

h

donde 1 es la densidad del agua y

2 es la

densidad del mercurio.

III. Bibliografía Serway, tomo I, capítulo 15, tercera edición. Halliday y Resnick, tomo I, capítulo 17,

h1

pa

h2A B

h3

pa



A: Principio de Arquímedes. B: Densidad Relativa.

Actividad A Objetivo Verificar el principio de Arquímedes.

Materiales Cuerpo sólido. Dinamómetro. Sensor de fuerza, programa DT. Probeta graduada de 250 y 1000 cc. Caja de densímetros. Soporte vertical, nuez, hilo. Tubo en U con mercurio y otro líquido no

miscible . Regla.

Procedimiento Experimental Para lograr este objetivo siga los siguientes pasos:

1. Suspenda un cuerpo sólido de un sensor de

fuerza y mida su peso en el aire, W1. 2. Sumerja el cuerpo sólido totalmente en agua y

mida su peso correspondiente, W2. 3. Mida el volumen sumergido VS. Su profesor le

indicará el procedimiento. 4. Repita los pasos (1), (2) y (3) utilizando alcohol

en vez de agua. 5. Mediante un densímetro mida la densidad del

agua y del alcohol.

ACTIVIDAD B. Objetivo Determinar la densidad relativa del mercurio respecto al agua.

Materiales Tubo en U con mercurio y otro líquido no

miscible . Regla.

Procedimiento Experimental

Utilizando el tubo en U, que contiene mercurio y otro líquido no miscible de densidad conocida, mida las alturas h1, h2 y h3 según fig.(*).

CINEMÁTICA DE LAPARTÍCULA

Experimentos 4 y 5

I. Objetivo General Aplicar los conceptos fundamentales de la cinemática a una situación experimental. Analizar gráficos: posición-tiempo, rapidez-tiempo y aceleración-tiempo. Interpretar la pendiente de un gráfico rapidez-tiempo. Identificar distintos tipos de movimiento. Determinar ecuaciones itinerario

II. Fundamentos Teóricos La cinemática de la partícula estudia el movimiento de traslación de un cuerpo sin especificar las causas que producen dicho movimiento. El estudio del movimiento de traslación de un cuerpo se puede reducir al del movimiento de una partícula, cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables respecto a las dimensiones de las magnitudes que intervienen en el experimento. Los conceptos involucrados es este experimento son: Sistema de referencia: sistema respecto al cual se especifica la posición de los puntos. Movimiento: cambio de la posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo. Trayectoria: curva que sigue la partícula en el espacio al moverse. Itinerario: especificación de las coordenadas en función del tiempo. Velocidad media: desplazamiento en un intervalo de tiempo dividido por el intervalo de tiempo. Velocidad instantánea: desplazamiento en un intervalo de tiempo infinitesimal dividido por el intervalo de tiempo. Gráficos posición, rapidez y aceleración como funciones de tiempo. Dos características importantes del movimiento permiten clasificarlo en rectilíneo o curvilíneo, según la trayectoria sea una línea recta o no y velocidad constante o variable, según la velocidad permanezca constante o no. Como usted podrá comprender existen cuatro posibilidades. Así hay: movimientos rectilíneos con rapidez constante o variable e igualmente ocurre con los movimientos curvilíneos.


Si la velocidad es constante, es decir cuando la aceleración es nula, entonces necesariamente el movimiento es rectilíneo. Si la aceleración es distinta de cero, lo que indica variación de velocidad, la trayectoria puede ser curvilínea o rectilínea. Movimiento rectilíneo con velocidad constante. Su ecuación itinerario queda expresado por

xx(t) x(0) v (0)t

donde x(0) es la posición inicial y vx(0) es la velocidad. Movimiento rectilíneo con aceleración constante. Su itinerario queda expresado por

2

x x

1x(t) x(0) v (0)t a t

2

donde x

a es la aceleración. Además, la velocidad

varía según

x x xv (t) v (0) a t

Movimiento curvilíneo en un plano con aceleración constante. Aquí, su itinerario está expresado por

2

x x

2

y y

1x(t) x(0) v (0)t a t

2

1y(t) y(0) v (0)t a t

2

que constituyen las ecuaciones paramétricas de la trayectoria en el plano. Se trata de un movimiento uniformemente acelerado y las componentes de la velocidad en este movimiento son:

x x x

y y y

v (t) v (0) a t

v (t) v (0) a t

Un ejemplo de movimiento uniformemente acelerado de este tipo, corresponde al de una partícula que se mueve en un plano bajo la influencia de la fuerza peso. Como se ha establecido desde el famoso experimento de Galileo, los cuerpos experimentan una aceleración constante verticalmente dirigida hacia abajo de magnitud constante aproximadamente 9.8 ms-2, llamada aceleración

de gravedad g, si se desprecian efectos como la resistencia del aire y la variación con la altura. Este caso se conoce como el de movimiento de proyectiles. Si el eje Y es vertical hacia arriba, entonces la ecuación itinerario es:

2

x y

1x(t) x(0) v (0)t, y(t) y(0) v (0)t gt

2

la trayectoria de proyectil es una parábola.

Otros ejemplos: Caída libre:

21y(t) y(0) gt

2

Lanzamiento vertical hacia arriba:

2

y

1y(t) y(0) v (0)t gt

2

III. Bibliografía Alonso y Finn, Vol I. Edición 1970. Cap. 5 Halliday y Resnick, Vol I. Edición 1967 Cap. 3 John P. Kelvey, Howard Grotch , Primera edición. Cap. 3 Paul A. Tipler, Vol I Edición 1999. Cap.2 Serway, Tomo I. Edición 1990 Apuntes de cátedra, Facultad de Ciencia-Departamento de Física, FÍSICA I Mecánica, Usach.

Experimento Nº4 Ecuación Itinerario de un Cuerpo

que cae.

Objetivo Determinar la ecuación itinerario de un cuerpo que cae.

Materiales

Computador, interfase PASCO 500. Programa Data Studio. Equipo Pasco de caída libre. Masa. Soporte universal. Regla o huincha. Nuez.

Y

y0

X

g

x0

v0


sensor de movimiento

. Procedimiento Experimental

Armar el montaje de acuerdo a la Fig. anterior. Deje caer la bolita desde una altura h, mídala y registre el tiempo de caída. Repita lo anterior para distintas alturas.

Experimento Nº5 Cuerpo que sube y baja por plano

inclinado

Objetivo Determinar la ecuación itinerario de un cuerpo que sube y baja por un plano inclinado. Materiales 1 Sensor de movimiento 1 Carro Pasco Riel Pasco 1 Soporte universal 4 Barras 2 nueces 1 Interfase 500 Computador 1 Regla

MONTAJE

Procedimiento Experimental Arme el montaje según la figura. De un impulso al carro de modo que suba por

el plano inclinado, tomando la precaución que este no se acerque a menos de 40 cm del sensor de movimiento.

Active el programa DS En el computador obtendrá el gráfico

posiciòn� tiempo. (Siga instrucciones dadas por el profesor para el uso del computador).

�El carro no debe estar a menos de 40 cm. del

sensor�

Sensor de movimiento: Es un sonar que emite pulsos ultrasónicos registrando el tiempo que toma el pulso emitido, en ir y volver, al reflejarse en un móvil. El conector de color amarillo debe ir al canal 1 de la interfase y el conector negro al canal 2.

cinta

timer

masa

soporte universal


M1 M2

F12 F21

f

mg

N

v

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA Experimentos Nº 6 y 7

I. Objetivo General

Analizar y evaluar parámetros que afectan los cambios del estado de movimiento de un cuerpo, cuando sobre él actúan fuerzas externas.

II. Fundamentos Teóricos En la naturaleza observamos que los movimientos de los cuerpos son el resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos vecinos. Estas interacciones se manifiestan ya sea por acción a distancia o por contacto directo entre los cuerpos. La manifestación física de estas interacciones se realiza mediante el concepto de fuerza. La dinámica estudia la relación entre la resultante de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo y los efectos que causa en el movimiento de él. Este estudio se fundamenta en principios que a continuación desarrollaremos para el caso más simple: la dinámica de la partícula, es decir, el efecto de una fuerza sobre un cuerpo cuyas dimensiones son muy pequeñas o que pueden despreciarse frente a otras dimensiones del problema. Principios de Newton: Galileo Galilei consolida las bases científicas de la cinemática y es Isaac Newton quien establece y formaliza los postulados de la dinámica, que enumeraremos a continuación. Primer Principio de Newton Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que existan fuerzas aplicadas sobre él. Debemos señalar que esta ley se cumple solamente en los denominados sistemas inerciales de referencia. Un sistema de referencia se denomina sistema inercial de referencia si respecto a él se cumple el primer principio de Newton y ese es precisamente el criterio que permite reconocer a esos sistemas especiales de referencia.

Segundo Principio de Newton La aceleración producida por la fuerza neta o fuerza resultante que actúa sobre una partícula, es proporcional a dicha fuerza e inversamente proporcional a la masa de la partícula.

Fa

m

La masa (inercial) m es una propiedad de la materia que refleja la medida de lo que cuesta acelerar un cuerpo con una determinada fuerza. Tercer Principio de Newton: Principio de acción y reacción Cuando dos cuerpos interactúan uno ejerce una acción sobre el otro, y el segundo ejerce una reacción sobre el primero. A cada acción se opone siempre una reacción. Estas fuerzas entre dos partículas son siempre iguales en magnitud y dirección, están sobre la línea que une las dos partículas y tienen sentidos opuestos.

Esto es 12 21F F

Al estudiar el movimiento de un cuerpo, debemos considerar el conjunto de todas las fuerzas que actúan sobre él. Una fuerza que generalmente actúa sobre los cuerpos es la fuerza de roce. Fuerza de Roce: Se sabe de la experiencia que es necesario aplicar una fuerza para mover un cuerpo que está en contacto con otro, ya que, existe una fuerza que actúa en sentido opuesto al movimiento relativo de las superficies en contacto. A esta fuerza paralela a las superficies en contacto se le llama fuerza de roce f .


Fuerza de roce por deslizamiento, son fuerzas que se originan por resistencia friccional al movimiento en la superficie de separación de dos cuerpos en contacto. La fuerza de roce depende de varios factores, siendo los más característicos la naturaleza del material de los cuerpos que se rozan, el grado en que los cuerpos están apretados entre sí, la temperatura, la velocidad y otros factores. La naturaleza de las superficies en contacto es tomada en cuenta mediante un número adimensional llamado coeficiente de roce:

La fuerza de roce puede ejercerse aún cuando no haya movimiento relativo entre las superficies en contacto. A este tipo de fuerzas de roce se les llama

fuerzas de roce estático y se designan por s

f .

Si existe movimiento relativo entre las superficies en contacto la fuerza se llama fuerza de roce cinético o dinámico y se designa por fK. Experimentalmente, se ha podido establecer que para superficies sólidas no lubricadas:

1) El módulo de la fuerza de roce estático s

f es

menor o igual al producto SN , donde N es el

módulo de la componente normal de la fuerza

ejercida entre las superficies y S

es el

coeficiente de roce estático, que es un número adimensional cuyo valor depende de la naturaleza de las superficies en contacto.

S Sf N

Si el cuerpo está a punto de iniciar el movimiento, se tiene

S Sf N

2) Si hay movimiento relativo entre las superficies

en contacto entonces

K Kf N

donde k

es el coeficiente de roce cinético, que

depende a su vez de la naturaleza de las superficies en contacto y es también un número adimensional.

3) En general, se cumple que s k

Nota. Ver tabla en Anexo B III. Bibliografía

M. ALONSO y E. FINN; Física I, Vol. I; sec.7.; 7.6; 7.9; 7.10. HALLIDAY y RESNICK Física, Vol. I; cap.5 y 6. SERWAY; Física, Tomo I, cap. 5.

Experimento Nº 6

Objetivo: Determinar, en forma experimental, el valor del coeficiente de roce cinético entre un bloque y una superficie.

Materiales: 1 bloque de madera de aproximadamente de

60 g. 1 plano de deslizamiento horizontal

(superficie de la mesa). 1 polea inteligente. 1 caja de masas. 1 balanza digital. 1 soporte universal. 1 nuez. 1 huincha de medir. Computador con interfaz 500.

Procedimiento experimental

1) Arme el montaje de la figura 2) Suelte el sistema y determine la aceleración con

que se mueve éste. 3) Repita lo anterior pero variando la masa m2 (m1

permanece constante). 4) Varíe 6 veces la masa m2 y registre cada vez la

aceleración del sistema.


S1

S2

x

carro

plano inclinado

fotopuerta

fotopuerta

Montaje:

Mediciones y análisis 1) Complete la tabla para los distintos valores de

m2.

m2[ kg]

a [ ms-2]

Aunque el programa DS permite determinar directamente la aceleración, se recomienda obtener el gráfico velocidad en función del tiempo y de allí obtener la pendiente que es la aceleración.

2) Demuestre que la ecuación de movimiento del

sistema es: 1 2 2 K 1

(m m )a m g m g

Experimento Nº 7 Objetivo:

Determinar la aceleración de gravedad, usando un plano inclinado bajo la hipótesis que la fuerza de roce es despreciable.

Materiales: Carro y riel Pasco. 2 foto puertas. 1 huincha de medir 1 balanza digital. 4 nueces.

4 soportes universales. Computador con interfaz Pasco 500 y

Prog.DS. Montaje: Arme el montaje de la figura Procedimiento Experimental: 1) Ubique dos fotopuerta S1 y S2 , a alrededor de

60 cm. uno del otro, sobre el plano inclinado, mida el ángulo.

2) Suelte el cuerpo muy próximo a S1, para que la

velocidad inicial V0, sea igual a cero. Determine mediante el computador el tiempo empleado en el recorrido x. Repita unas tres veces y anote el tiempo promedio.

3) Varíe el ángulo cinco o más veces y realice

para cada ángulo la actividad del punto anterior.

4) Haga un estudio de las fuerzas que actúan

sobre un cuerpo que se mueve sobre el plano inclinado y demuestre que (despreciando el roce)

2

sin

1

2

a g

x at

N

mg


TRABAJO Y ENERGÍA Experimento Nº 8

I. Objetivo General

Analizar la ley de conservación de la energía mecánica y aplicar el teorema de Trabajo y Energía.

II. Fundamentos Teóricos

El trabajo y la energía se encuentran entre los conceptos más importantes de la Física. Existen diversas formas de energía: calórica, mecánica, eléctrica, etc. La energía mecánica puede encontrarse como energía cinética K, que está asociada al movimiento de un cuerpo, o como energía potencial U, que tiene el carácter de una energía almacenada por un sistema. Estas dos formas de energía se pueden transformar una en otra bajo diversas circunstancias, como veremos. La energía total de una partícula es la suma de sus energías cinética y potencial, y se llama energía mecánica E

E K U Trabajo El trabajo realizado por una fuerza cualquiera cuando su punto de aplicación se mueve por una curva C entre puntos que rotularemos (i) y (f), es:

f

i

r

i f

(C)r

W F dr

donde se integra a lo largo de la curva C. El trabajo realizado por una fuerza constante entre el punto

ir

y f

r

es

i fW F r

donde f i

r r r

es el desplazamiento.

Trabajo neto: Es la suma de todos los trabajos hechos por las

fuerzas que actúan sobre la partícula entre i

r

y f

r

1 2 n

n

i f F F FW W W W

El trabajo neto se puede dividir en trabajo realizado por fuerzas conservativas y trabajo realizado por fuerzas no conservativas. Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector posición r (x,y, z)

es tal, que el trabajo

realizado por la fuerza conservativa entre los

puntos i

r

y f

r

es la diferencia entre los valores de

una función escalar U(x,y,z), llamada energía potencial, evaluada en el punto inicial y final, es decir:

i f

c

f iW (U U ) U

Como ejemplos de fuerzas conservativas, tenemos el peso y la fuerza elástica para las cuales las expresiones para sus trabajos y energías potenciales son: Teo Teorema Trabajo y Energía El teorema energía trabajo establece que el trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética K del sistema, esto es:

n

i f f iW K K K.

Si el trabajo realizado por la fuerza neta se descompone en la parte realizada por la fuerza conservativa WC y no conservativa WNC entonces se puede escribir

n NC C NC

i f i f i f i fK W W W W U

�F mgj

U mgy i f f iW mg(y y )

�F kxi

21

U kx2

2 2

i f f i

1 1W kx kx

2 2

F

ri r rf

dr


sensor

plano inclinado

móvil

indicador

A

B

h

figura 3

y si llamamos E = K+U a la energía mecánica, entonces

NC

i fE W

Si el trabajo realizado por la fuerza no conservativa entre (i) y (f) es nulo, la energía mecánica de la partícula E se conserva. A este se le conoce como Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

E K U constante

III: Bibliografía Alonso y Finn, Física, vol.1. Halliday y Resnick. 1ª parte. Serway, Física, tomo I.


Objetivo

Determinar al valor del coeficiente de roce cinético K utilizando conceptos de energía.

Materiales 1 Tablón 1 Bloque (con indicador) 1 Sensor 1 Transportador 1 Pié de Metro 3 Bases 3 Nueces 4 Barras 1 Huincha 1 Balanza


Realice el montaje de la figura 3, verificando que las superficies que entran en contacto estén limpias.

Incline el tablón en un ángulo, tal que el cuerpo deslice con facilidad. Suelte el bloque desde el punto A. Para determinar la rapidez del bloque al pasar por la posición B, se mide el tiempo que demora el indicador o placa en pasar por el sensor ubicado en B. El sensor está conectado a la interfase del computador.

MEDICIONES Mida la masa m del bloque, la altura h, la distancia AB y el diámetro del indicador "d". Anote el tiempo t que se muestra en la pantalla del computador, con este dato calcule la rapidez del bloque al pasar por B. (puede determinar esta rapidez mediante el computador) Repita a lo menos 5 veces. Cambie la posición inicial A del bloque y mida lo pedido en los pasos anteriores 1 y 2. Anote datos en tabla siguiente:

m AB h t1 t2 t3 t4 t5 t �d�

(1)

(2)

(1) Mediciones para la primera posición inicial del bloque. (2) Mediciones para la segunda posición inicial del bloque.


SISTEMA DE PARTÍCULAS Experimentos Nº 9 y 10

I. Objetivo General

Verificar experimentalmente la Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal para un Sistema de Partículas.

II.- Introducción

El principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal permite el estudio de la interacción entre dos o más cuerpos. En particular, consideraremos el caso en que las fuerzas mutuas son repulsivas, muy intensas y duran un intervalo de tiempo muy pequeño, como ocurre en el choque entre dos partículas.

III. Fundamentos Teóricos

1) Cantidad de movimiento lineal de una

partícula. El vector cantidad de movimiento

lineal p de una partícula se define como el

producto de la masa m de la partícula y su

velocidad instantánea v , es decir

p mv

.

2) Cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas. Si un sistema está formado por

varias partículas de masas 1 2 nm ,m ,...,m

, cada una de las cuales se mueve con velocidad

1 2 nv , v , ..., v

, respectivamente, se define como cantidad de movimiento lineal del sistema a la suma vectorial de las cantidades de movimiento lineal de cada partícula:

n n

S i i i

i 1 i 1

P p m v

.

3) Teorema de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Si la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas es nula, el vector cantidad de movimiento lineal del sistema permanece constante.

4) Explosión. En una explosión hay algún tipo de

energía almacenada que se libera mediante algún mecanismo interno, aumentando la energía cinética del sistema después de

ella:f i

K K donde i

K es la energía

cinética inicial y f

K es la energía cinética

final del sistema. En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento del sistema se conserva constante inmediatamente antes y después del choque.

1 2 1 2p p p ' p '

1p

: cantidad de movimiento del cuerpo (1) inmediatamente antes del choque,

2p

: cantidad de movimiento del cuerpo (2) inmediatamente antes del choque,

1p '

: cantidad de movimiento del cuerpo (1) inmediatamente después del choque y

2p '

:cantidad de movimiento del cuerpo (2) inmediatamente después del choque. Si m2 está inicialmente en reposo, tenemos:

1 1 2p p ' p '

donde:

p 1: cantidad de movimiento del cuerpo incidente inmediatamente antes del choque,

p 1' : cantidad de movimiento del cuerpo incidente inmediatamente después del choque y

p 2' :cantidad de movimiento del cuerpo blanco inmediatamente después del choque.


�t eje tangencial

1

1 '

2

2 '

t

n

m1

m2

p1

p'2

p'1cuerpo incidente

(proyectil)

cuerpo en reposo(blanco)

5. Tipos de choques El choque entre dos cuerpos es un fenómeno de interacción de duración muy corta. Cuando las velocidades de los cuerpos justo antes del choque tienen la misma dirección de la línea de choque (es decir. la línea que une los centros de masa de los cuerpos), se trata de un choque frontal. En cualquier otro caso, se trata de un choque lateral. Eventualmente, la energía cinética total puede cambiar después de producirse el choque. Los choques entre cuerpos en movimiento de traslación son comúnmente clasificados según haya o no conservación de la energía cinética del sistema inmediatamente antes y después del choque. Lo anterior depende de que la deformación de los cuerpos durante el impacto sea permanente o no. La siguiente figura ilustra la ocurrencia de un choque lateral.

´ Choque lateral Si el choque es lateral, la conservación de las cantidades de movimiento, la podemos escribir en componentes normales y tangenciales, como:

1n 2n 1n 2n

1t 2t 1t 2t

p p p' p'

p p p' p'

Si el choque es lateral y uno de los cuerpos está en reposo (m2). La conservación de las

cantidades de movimiento, que en componentes normales y tangenciales puede escribirse

1n 1n 2n

1t 1t 2t

p p' p'

p p' p'

Ejemplo: Cuando chocan dos esferas cuya constitución es similar a la de la masilla, ellas quedan permanente deformadas. Al revés, en el choque entre dos esferas de acero, casi no se genera deformación permanente (si el choque no es extremadamente violento). Si Ki y K f son, respectivamente, las energía

cinética del sistema inmediatamente antes y después del choque, la clasificación es: a) choque elástico si K f Ki ,

b) choque inelástico si K f Ki ,

c) Si K f Ki y los cuerpos después del

choque se mueven juntos, la pérdida de energía cinética del sistema es máxima y se dice que el choque es plástico o completamente inelástico. Introduciendo el coeficiente de restitución e, que es un número adimensional, la clasificación anterior se puede enunciar diciendo que el choque es elástico si e 1 , inelástico si 0 e 1 y completamente inelástico, o plástico, si e 0 . Para un choque, el coeficiente de restitución está definido por:

1n 2n

1n 2n

v' v'e

v v

,

línea de choque

v1

v2

Choque frontal

línea de choque

v1

v2

Choque lateral

�n eje normal

�t eje tangencial


donde v�1n y v�2n son las componentes normales de las velocidades de los cuerpos m1 y m2 justo después del choque y v1n y v2n y las componentes normales de las velocidades justo antes del choque.

Experimento Nº 9 Objetivo

Analizar la conservación de la cantidad de movimiento y la variación de la energía cinética en un choque frontal.

Materiales 1 Computador, programa D S.. 1 Riel PASCO. 2 Carros. 2 Nueces 2 Soportes Universal 1 Pié de Metro 2 fotopuerta Montaje La figura ilustra el montaje experimental, donde el riel está horizontal.


Arme el montaje de la figura. Nivele el riel. Lance el carro 1 y 2 de tal forma que

impacten frontalmente Mediciones 1) Mida las masas de los carros 1 y 2 (m1 y m2) 2) Mida los tiempos del carro 1 y 2 en pasar

por los sensores antes del choque y los tiempos t�1 y t�2 que demoran en pasar por los sensores después del choque.

3) Mida los anchos de los indicadores de los carros 1 y 2

Complete la siguiente tabla de datos

N m1 m2 t1 t2 t�1 t�2 1 2 3

Donde el N es el número de mediciones.

m2

m1

S2

S1

V2

V1

plano horizontal 2


B

A

cañón

plomada

Experimento Nº 10

Objetivo

Analizar la ley de conservación del momentum lineal en un choque lateral.

Materiales

1 Rampa o lanzador de proyectiles 2 Esferas de acero de igual masa Pliego de papel y hojas de papel calco 1 Regla de 60 cm. 2 Escuadras 1 Plomada 1 Prensa

Montaje

Procedimiento Experimental Arme el montaje de la figura. El lanzador de proyectiles debe quedar montado de modo que la bolita incidente de masa m1 salga disparada horizontalmente. Marque en la cartulina, el punto A con la plomada; éste corresponde a la proyección en el plano horizontal de la posición del centro de masa de la bolita incidente en el instante del choque. Inserte la bolita de masa m1 en el lanzador de proyectil, accione el disparador y observe donde cae. Coloque un papel calco en el punto de impacto para que marque la caída sobre la cartulina.

Repita el lanzamiento cuatro veces. Determine el punto de impacto B, representativo de los puntos de impacto. Ubique la bolita blanco de modo que se cumpla lo siguiente: su centro de masa debe estar a la misma altura que el centro de masa de la bolita incidente, pero ligeramente desplazada hacia la izquierda o derecha de modo que al ser impactada se produzca un choque lateral. Lograda la ubicación de la bolita blanco, marque en la cartulina mediante una plomada, el punto A' que representa la proyección en plano horizontal de la posición de su centro de masa inmediatamente antes del choque. Dispare nuevamente la bolita incidente, de modo que impacte a la bolita blanco; marque el punto de impacto de la bolita incidente y de la bolita blanco en la cartulina (plano horizontal). Repita un número suficiente de veces determine los puntos de impacto representativos, que designaremos por C (bolita incidente) y D (bolita blanco).

A

cañón

plomada

C

D

A'

B

Mediciones

Mida las distancias AB , AC y A ' D . Mida m1 y m2. Nota: si en lugar del lanzador de proyectil se utiliza una rampa, siga las instrucciones que le indicará su profesor.


DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO

Experimentos Nº 11 y 12

I. Objetivos

Determinar la relación entre el momento de rotación (

) y la aceleración angular (

) de

un cuerpo que gira en torno de un eje fijo. Determinar momentos de inercia de un cuerpo

por distintos métodos. Calcular momentos de inercia aplicando el

teorema de Steiner. Determinar la velocidad y aceleración (lineal y

angular) de un cuerpo que rota y se traslada simultáneamente.

Aplicar el principio de conservación de la energía mecánica en un sistema que rota y se traslada.

II. Fundamentos teóricos

Movimiento de un cuerpo que rota en torno a un eje (Movimiento de rotación pura). El movimiento más simple de analizar de un cuerpo

rígido es el rotación en torno a un eje fijo, (movimiento de rotación pura). En este caso, todas las partículas describen circunferencias con centro en el eje de rotación y en planos perpendiculares a éste. La rotación del Cuerpo Rígido puede ser descrita en función del ángulo

que barre la recta OP respecto de una línea radial fija.

Por ejemplo consideremos un disco que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro y que es perpendicular a su superficie, los puntos más cercanos a la periferia se mueven con mayor rapidez lineal que aquellos más próximos al eje, pero en ambos casos describen circunferencias concéntricas con distintos radios. A medida que el disco gira todas las rectas perpendiculares trazadas desde cada partícula al eje, barren el mismo ángulo, siendo esta una característica del disco en conjunto, como lo es la mayor o menor rapidez con que cambia este ángulo. Si se afirma que la distancia relativa entre dos partículas cualesquiera de este disco que gira no se modifica, se tiene un sistema llamado CUERPO RIGIDO.

En el estudio de la dinámica de Newton, el concepto de fuerza aparece como la �causa� que produce aceleración. Para un cuerpo de masa �m� ella se expresa en la forma:

F ma

En dinámica de rotación se estudian las fuerzas que producen �torque� no nulo, (el torque también se llama �momento de la fuerza�), los cuales causan la aceleración angular de los cuerpos rígidos. El torque se define como un producto cruz entre el vector posición del punto de aplicación de la fuerza con la fuerza, es decir:

r F

Estos torques o momentos de las fuerzas causan la llamada aceleración angular de los cuerpos. Así como la fuerza resultante es aquella que produce las aceleraciones lineales, los torques de ellas producen aceleraciones angulares. Energía cinética de rotación Si un cuerpo de masa �m� se desplaza con alguna velocidad, la energía asociada al movimiento llamada energía cinética K, se define como:

F

r

O


P

21K mv

2

Si se trata de un movimiento de rotación, la velocidad de cada elemento de masa mi del cuerpo tendrá una magnitud dada por

i i iv r r

donde ri es la distancia al eje de giro y se denomina la magnitud de la velocidad angular del cuerpo.

La energía cinética del cuerpo será la suma de las energías cinéticas de sus partes, es decir,

2 2 2

i i i i

i i

1 1K m v m r

2 2

El término

2

i i

i

I m r

se define como el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación. De manera que la energía cinética de un cuerpo que rota respecto a un eje fijo es

21K I

2

Torque y cantidad de movimiento de rotación Para una partícula de un cuerpo rígido con movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, las fuerzas que pueden causar aceleración angular, es decir que la componente tangencial de las velocidad de la partícula varíe, deben existir componentes de las fuerzas en esa dirección. Pero las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo rígido, son principalmente fuerzas interiores. ¿Cómo influyen las fuerzas aplicadas (exteriores) en la aceleración angular? Como es fácil comprender fuerzas aplicadas cuyas líneas de acción pasen por el eje de rotación no influyen. Sólo influyen fuerzas aplicadas que tengan en su punto de aplicación, componentes paralelas a las velocidades de las partículas, es decir que producen torque no nulo respecto al eje de rotación. Una forma de relacionar estos conceptos es mediante el teorema Trabajo y Energía.

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas externas es igual al cambio de la energía cinética del cuerpo. Si Fj indica la componente tangencial de una de esas fuerzas externas actuando a distancia rj entonces tenemos

j j j j

j j

dK I d F r d F r dt

de donde se desprende que

dI , I

dt

Ecuación

dinámica del movimiento de rotación pura;

donde ddt

se conoce como la aceleración

angular de cuerpo y el torque es

j j

j

r F

Movimiento de un cuerpo que rota y se traslada sin deslizar Cuando un cuerpo rígido rota en torno a un eje que pasa por su centro de masa y este centro de masa además se traslada, se puede analizar como una combinación de ambos movimientos o también como si el movimiento fuera únicamente de rotación pura en torno a un eje perpendicular a la figura, que pasa por el punto de contacto P entre el rígido y la superficie. Este eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa se llama eje instantáneo de rotación. Como el cuerpo no desliza, se puede decir que para cualquier instante, el punto inferior (punto P) del rígido está en reposo respecto de la superficie de contacto.


L

O

L

PO

La velocidad lineal de cada partícula del rígido, es perpendicular a la distancia entre el punto P y el punto en que se encuentra la partícula. Como el rígido está rotando en torno al eje que pasa por P, con una cierta velocidad angular ù y su movimiento es equivalente a una rotación pura, se tiene que la energía cinética total es:

2

P

1K I

2

donde PI es el momento de inercia con

respecto a un eje que pasa por P (paralelo al eje que pasa por el centro de masa). De acuerdo al teorema de Steiner:

2

P CMI I MR

reemplazando

2 2

CM

1K I MR

2

que puede escribirse

2 2

CM CM

1 1K I Mv

2 2

Donde: 2

rot CM

1K I

2 :

representa la energía cinética que tendría el rígido si sólo rotara alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y

2

tras CM

1K Mv

2

representa la energía cinética que tendría el rígido si sólo se trasladara. Por lo tant, o una traslación del centro de masa (CM) u rotación en torno al centro de masa, ( movimientos simultaneaos), equivale a una rotación pura en torno al punto P.

Algunos momentos de Inercia para cuerpos homogéneos III.

III: Bibliografía Halliday y Resnick. Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Tomo 1. John P. Mac Kelvey. Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen I. Paul A. Tipler. Física para la Ciencia y la tecnología. Volumen I.

Experimento Nº 11

Objetivo

Determinar experimentalmente la relación que existe entre el momento de rotación de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo y su aceleración angular.

Materiales 1 hélice completa 1 polea inteligente 1 pie de metro 1 regla 1 caja de masas 2 barras nuez soporte universal 1 balanza.

Cilindro sólido o disco

Barra delgada Esfera maciza Barra delgada

21

2OI MR 21

12OI ML

22

5OI MR

21

3PI ML


Montaje:

Procedimiento

Experimental 1) Arme el montaje de la figura 2) Mantenga constante el radio �r� del disco

donde está enrollada la cuerda. 3) Utilice el computador y la polea inteligente

con la cual obtendrá la aceleración tangencial de un punto del borde del disco de radio �r�.

4) Active el programa DS 5) Haga girar la hélice soltando la masa �m�. 6) Varíe 6 o7 veces la masa �m� 7) Complete la tabla de valores. 8)

Experimento Nº 12 Objetivo

Determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell aplicando concepto de energía.

Materiales: 1 rueda de Maxwell. 1 plano inclinado (rieles de madera) 2 fotopuertas. 1 regla. 1 pie de metro. 2 soportes universales. 4 barras. 4 nueces. 1 balanza.

Montaje:

Procedimiento Experimental Calcular el momento de inercia I0 de la rueda de Maxwell usando el principio de conservación de la energía mecánica para un sistema que rota y se traslada simultáneamente 1) Ubique la rueda de Maxwell en la posición

�A �del plano inclinado y verifique que ella baja rodando sin deslizar.

2) Agregue un par de sensores (fotopuertas) que le permitan medir el tiempo que demora la rueda en recorrer la distancia �d� entre los puntos A y B.

3) Suelte la rueda de Maxwell desde la altura hA, cuidando que la rueda parta desde el reposo, lo más próxima posible al primer sensor.

4) Registre el tiempo que demora la rueda en recorrer la distancia �d�.

5) Registre los siguientes datos: Se puede realizar otro procedimiento experimental. Método para calcular el Momento de Inerc ia aplicando el concepto de densidad

Distancia ente los puntos A y B

Altura en la posición A respecto al nivel de referencia

hA =

Altura en la posición B respecto al nivel de referencia

hB =

Masa de la rueda M =

Radio del cilindro r =

Radio del disco R =

sensor 2

sensor 1

rieles

rueda de Maxwell

A

B


La rueda de Maxwell está formada por un disco de radio �R� y dos cilindros coaxiales de radio �r� por lo tanto, su momento de inercia puede expresarse como la suma de los momentos de inercia de los cuerpos que la forman. El momento de inercia de la rueda respecto del eje que pasa por su centro de masa es:

2 2

O C d

1 1I 2 M r M R

2 2

Para determinar la masa del disco y de los cilindros aplique las siguientes ecuaciones:

d c

d c

M MM

V V V

donde: Md: masa disco Mc: masa cilindro M: masa total Volumen disco: Vd = R2H

Volumen Cilindro: Vc = r2h

Realice las siguientes mediciones para determinar el momento de inercia de la rueda respecto al centro de masa. Use las ecuaciones dadas anteriormente; exprese sus medidas en sistema S.I.

Distancia ente los puntos A y B

Altura en la posición A respecto al nivel de referencia

hA =

Altura en la posición B respecto al nivel de referencia

hB =

Masa de la rueda M =

Radio del cilindro r =

Radio del disco R =

Verifique el Teorema de Steiner..

Elija como eje instantáneo de rotación un punto P del borde del cilindro y verifique el Teorema de Steiner.

Utilice los datos medidos anteriormente.

Experimento Nº 13

Objetivo Verificar la conservación de la energía mecánica en un lanzamiento vertical.

Materiales 1 Lanzador de proyectil 1 Pelota plástica 1 Barra aproximadamente de 1.8 m 1 Plomada 1 Prensa 1 Pliego de papel calco 2 Hojas de papel blanco 1 Nivel cinta engomada. Sensor (fotopuerta), Progr. DS.

Procedimiento Experimental Con el objeto de determinar la energía mecánica del sistema EA , cuando el resorte está comprimido, como indica la figura 2, primero se determinará la rapidez V0 con que sale disparada la bolita del lanzador de proyectil. Para esto se usará el lanzador de proyectil que se muestra en la Fig.1. La bolita se inserta en el lanzador con una vara plástica, la cual puede quedar en oposiciones diferentes dentro del lanzador, dependiendo de la compresión del resorte interno. Sólo utilizaremos la segunda posición que designaremos por posición (2).

Para determinar la rapidez V0 puede utilizar los siguientes métodos: 1) Realice el montaje de la figura 1.

Inserte la bolita en el cañón lanzador en la posición (2) y luego suelte el disparador. Observe el punto de impacto de la bolita.

Coloque el papel calco sobre la hoja de papel blanco, en el lugar de impacto de la

X

Y

figura 1

A C

V0


bolita. Fije el papel en la mesa con cinta engomada.

Repita el procedimiento varias veces. Mida las distancias X e Y.

También puede lograr el objetivo propuesto, para determinar la rapidez inicial V0, mediante un sensor, usando programa DS.

Para lograr el objetivo del Experimento Nº13 continúe con los siguientes pasos:

Realice el montaje de la figura 2. El lanzador se ubica verticalmente.

Inserte la bolita en el cañón lanzador en la posición (2) y luego suelte el disparador.

Mida la altura máxima h que alcanza la bolita.

Repita el procedimiento varias veces. Como la compresión del resorte es independiente de la masa m de la bolita, en la figura 1 se cumple que:

2

A C C 0

1E E , E mv

2

y en la figura 2, se cumple que:

A B BE E , E mgh

h

figura 2

B

A Ug = 0


ANEXO A

Papeles Gráficos

A.1. Lineal

A.2. Log-log

A.3. Log-log 1 x 2

A.4. Log-log 1 x 3

A.5. Log-log 2 x 1

A.6. Log-log 2 x 2

A.7. Log-log 2 x 3

A.8. Log-log 3 x 1

A.9. Log-log 3 x 2

A.10. Log-log 3 x 3

A.11. Semi-log 1

A.12. Semi-log 2

A.13. Semi-log 3


LINEAL


LOG � LOG

1 101

10


LOG �LOG 1x2

1 101

10

100


LOG-LOG 1 x 3

1 101

10

100

1000


LOG � LOG 2 x 1

1 10 1001

10


LOG �LOG 2 x 2

1 10 1001

10

100


LOG � LOG 2 x 3

1 10 1001

10

100

1000


LOG - LOG 3 x 1

1 10 100 10001

10


LOG LOG 3 x 2

1 10 100 10001

10

100


LOG �LOG 3 x 3

1 10 100 10001

10

100

1000


semi-log 1

1

10


semi � log 2

1

10

100


semi � log 3

1

10

100

1000


ANEXO B

B. Tablas.

B. 1 Factores de Conversión. B.2. Tabla de densidades. B.3. Tabla de Coeficientes de Roce


Factores de conversión


Densidades de sustancias seleccionadas, t 0 C y P = 1 atm

Kg/m3


Tabla Coeficientes típicos de fricción

Fricción Estática

S

Fricción Cinética

K

Materiales Secos Lubricados Secos Lubricados Acero sobre acero 0.76 0.01 0.23 0.42 0.03 - 0.11 Acero sobre metal babbit 0.42 - 0.70 0.08 0.17 0.35 0.08 - 0.14 Acero sobre hierro fundido 0.40 0.18 0.23 0.13 Aluminio sobre aluminio 1.05 0.30 1.40 Vidrio sobre vidrio 1.91 0.35 0.40 0.09 Madera sobre madera 0.58 0.40 0.07 0.16 Madera sobre acero 0.50 0.30 Madera acerada sobre nieve

0.05 0.03

Teflón sobre teflón 0.04 0.04 Teflón sobre cero 0.04 0.04 Goma sobre concreto (seco) 1.20 0.85 Goma sobre concreto (húmedo)

0.80 0.60

Todos los valores son aproximados y los valores de los materiales lubricados

dependen del tipo de lubricante

Una aleación de estaño, cobre y antimonio (u otra aleación semejante) inventada por Isaac Babbit (1799�1862) metalúrgico norteamericano y comúnmente llamada metal antifricción. Las partículas más blandas del metal de la aleación se desgastan hasta llegar a un nivel ligeramente más bajo que las del metal más duro, produciendo así una serie de canales para el suministro de lubricante.

rodriguezguialabfisica[1]

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