INSTITUTO TECNOLGICO DE OAXACA

TOPICOS SELECTOS DE FISICA

RESUMEN UNIDAD #4

OPTICA

ALUMNO:

GIJON SORROSA IRVING

OPTICA

La ptica (del griego optomai, ver) es la rama de la fsica que estudia el comportamiento de la luz, sus caractersticas y sus manifestaciones. Abarca el estudio de la reflexin, la refraccin, las interferencias, la difraccin, la formacin de imgenes y la interaccin de la luz con la materia.

NATURALEZA DE LA LUZ.

Antes de iniciar el siglo XIX la luz se consideraba como una corriente de partculas emitidas por el objeto que era visto o que se emitan de los ojos del observador. El principal exponente de la teora corpuscular de la luz fue Isaac Newton, quien explico que las partculas eran emitidas por una fuente luminosa y que estas estimulaban el sentido de la visin al entrar al ojo. Con base a ello, l pudo explicar la reflexin y la refraccin.

La primera demostracin clara de la naturaleza ondulatoria de la luz fue proporcionada en 1801 por Thomas Young (1773-1829), quien demostr que, en condiciones apropiadas los rayos luminosos interfieren entre s. En ese entonces dicho comportamiento no poda explicarse mediante la teora corpuscular debido a que no hay manera concebible por medio de la cual dos o ms partculas puedan juntarse y cancelarse una a la otra. Varios aos despus u fsico francs, Agustn Fresnel (1788-1829), efectu varios experimentos relacionados con la interferencia y la difraccin. En 1850 Jean Foucault (1791-1868) proporciono ms pruebas de lo inadecuado de la teora corpuscular al demostrar que la rapidez de la luz en lquidos es menor que en el aire. Otros experimentos realizados durante el siglo XIX llevaron a la aceptacin de la teora ondulatoria de la luz, y el trabajo ms importante fue el de Maxwell, quien en 1873 afirmo que la luz era una forma de onda electromagntica de alta frecuencia.

Donde la constante de proporcionalidad h=6.63x1034J*s es la constante de Planck. Es importante observar que esta teora retiene algunas caractersticas tanto de la teora ondulatoria como de la teora corpuscular. El efecto fotoelctrico es una consecuencia de la transferencia de energa de un solo fotn a un electrn a un metal y aun este fotn tiene caractersticas similares a las ondas ya que su energa su energa est determinada por la frecuencia (una cantidad ondulatoria). En vista de los hechos ya referidos, debe considerarse que la luz tiene una naturaleza dual: En algunos casos la luz acta como una onda y en otros como una partcula. La luz es luz sin duda. Sin embargo la pregunta, la luz es onda o partcula? es inadecuada. En algunos casos la luz acta como una onda y en otros como una partcula.

MEDICIONES DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ.

El primero de los experimentos para medir la velocidad de la luz se debe a Galileo,pero fue Roemer el que obtuvo el primer resultado satisfactorio.Tengamos en cuenta, que hasta entonces se supona la transmisin instantnea de la luz Observ; que el tiempo que transcurre entre dos eclipses consecutivos de uno de los satlites de Jpiter, dependa de la posicin relativa de la Tierra y Jpiter. El dimetro de la rbita de la Tierra es aproximadamente de 3.108 Km. y el retraso que midi en la posicin r2 es de 1000 segundos con lo que c=3.108 Km/103 sg=300.000km/sg. (Fig. superior)Otro experimento, basado este, en el paso de la luz a travs de los dientes de una rueda girando a gran velocidad como se indica en la figura, se debe a Fizeau. En este, la velocidad de rotacin e la rueda permite determinar el tiempo transcurrido toda vez que se conozca la distancia recorrida de ida y vuelta del rayo de luz.

PTICA GEOMTRICA.

El estudio de las imgenes, producidas por refraccin o por reflexin de la luz se llama ptica geomtrica. La ptica geomtrica se ocupa de las trayectorias de los rayos luminosos, despreciando los efectos de la luz como movimiento ondulatorio, como las interferencias. Estos efectos se pueden despreciar cuando el tamao la longitud de onda es muy pequea en comparacin de los objetos que la luz encuentra a su paso.

Para estudiar la posicin de una imagen con respecto a un objeto se utilizan las siguientes definiciones: Eje ptico. Eje de abscisas perpendicular al plano refractor. El sentido positivo se toma a la derecha al plano refractor, que es el sentido de avance de la luz. Espacio objeto. Espacio que queda a la izquierda del dioptrio. Espacio imagen. Espacio que queda a la derecha del dioptrio. Imagen real e imagen virtual. A pesar del carcter ficticio de una imagen se dice que una imagen es real si est formada por dos rayos refractados convergentes. Una imagen real se debe observar en una pantalla. Se dice que es virtual si se toma por las prolongaciones de dos rayos refractados divergentes.

Dos puntos interesantes del eje ptico son el foco objeto y el foco imagen:

Foco objeto. Punto F del eje ptico cuya imagen se encuentra en el infinito del espacio imagen. Foco imagen. Punto F del eje ptico que es la imagen de un punto del infinito del espacio objeto.

La construccin de imgenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

Rayo paralelo:Rayo paralelo al eje ptico que parte de la parte superior del objeto. Despus de refractarse pasa por el foco imagen.

Ejemplo

Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Despus de refractarse pasa por el foco imagen.

Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y est dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y contina en la mismas direccin ya que el ngulo de incidencia es igual a cero.

REFLEXIN Y REFRACCIN DE LA LUZ

Para explicar este fenmeno debemos primero expresar que: Espejo es toda superficie pulimentada, por ejemplo una lmina de cristal, la superficie de un lago en reposo, etc...

Cuando la luz incide sobre un cuerpo, ste la devuelve al medio en mayor o menor proporcin segn sus propias caractersticas. Este fenmeno se llama reflexin y gracias a l podemos ver las cosas.

En la fig. Izquierda tienes un esquema de reflexin especular. Al tratarse de una superficie lisa, los rayos reflejados son paralelos, es decir tienen la misma direccin.

REFRACCIN DE LA LUZ.

Refraccin es el fenmeno por el cual un rayo luminoso sufre una desviacin al atravesar dos medios transparentes de distinta densidad.

Existen tres tipos de refraccin:

PRINCIPIO DE HUYGENS.

Alrededor de 1860 el fsico dans Huygens propuso un mecanismo simple para trazar la propagacin de ondas. Su construccin es aplicable a onda mecnica en un medio material. Un frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante. La perturbacin en todos esos puntos tiene la misma fase. Podemos trazar una serie de lneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda. Estas lneas se denominan rayos y corresponden a las lneas de propagacin de la onda. La relacin entre rayos y frente de ondas es similar a la de lneas de fuerza y superficies equipotenciales. El tiempo que separa puntos correspondientes de dos superficies de onda es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes (teorema de Malus).

A partir del principio de Huygens puede demostrarse la ley de la refraccin.Supongamos que un frente de onda avanza hacia la superficie refractante I1I2que separa dos medios en los cuales las velocidades de la luz son v y v. Si consideramos I1como emisor, en el tiempoDt en que la perturbacin llega de A aI2, la perturbacin originada enI1habr alcanzado la esfera de radio r=vDt. En el mismo tiempo la perturbacin correspondiente llega a todos los puntos de la envolvente BI2, y tomando los rayos normales a los frentes de onda, de la figura se deduce que:

Lo cual est de acuerdo no solo a la experiencia no slo en cuanto a direcciones de propagacin sino tambin en que en el medio de mayor ndice de refraccin la velocidad es menor contrariamente a lo que suponan Descartes y Newton. La teora ondulatoria no pudo progresar en aquella poca debido a la gran autoridad de Newton que la combata arguyendo que dicha teora no poda explicar la propagacin rectilnea.

REFLEXIN INTERNA TOTAL. FIBRA PTICA.

Hace ms de un siglo John Tyndall (1870) demostr que una fina corriente de agua poda contener y guiar luz; poco despus recurri a tubos de vidrio y ms tarde a hilos gruesos de cuarzo fundido. Todos estos materiales son dielctricos, pues en ninguno puede transmitirse la electricidad. Sin embargo, lo importante de este trabajo fue demostrar que la luz, al incidir en estos materiales a un determinado ngulo, se refleja dentro de ellos, es decir, queda confinada y puede propagarse a determinadas distancias. Esto se puede comprobar de una manera muy sencilla con un apuntador lser y la pecera de casa o un envase transparente con agua. Si en el envase o pecera, se apunta con el lser de abajo hacia arriba a la frontera entre el agua y el aire (interface agua-aire), la luz pasar por el agua y saldr del recipiente. Pero si se va moviendo el apuntador lser tratando de que cada vez est ms horizontal (paralelo al suelo), parte de la luz saldr del agua y parte se reflejar hacia adentro. Si el apuntador se coloca cada vez ms horizontalmente, se llegar a un determinado ngulo en que la luz ya no saldr al aire y se reflejar totalmente dentro del agua. Este fenmeno se conoce como reflexin total interna y es el principio de funcionamiento de las fibras pticas. En ellas la luz se propaga y se conduce mediante muchas reflexiones totales internas o, simplemente, mediante reflexiones mltiples entre dos interfaces.La reflexin total interna es el fenmeno que ocurre cuando la luz incide sobre la superficie de contacto de dos materiales transparentes a un ngulo muy cerrado. La luz tiene que estar pasando a travs de un medio con un ndice de refraccin mayor que el del medio contiguo.En la superficie de contacto, toda la luz es reflejada de nuevo hacia el material circundante y ninguna parte de la luz es transmitida al material contiguo.

FIBRAS PTICAS.

Las fibras pticas son una manera de transportar luz en una forma muy direccional. La luz se enfoca y se gua a travs de una fibra de vidrio cilndrica. En el interior de la fibra, la luz rebota de un lado a otro en ngulos muy abiertos contra las paredes interiores, prcticamente avanzando por su centro hasta el final de la fibra o filamento, por donde finalmente escapa. La luz no se escapa de las paredes laterales debido a la reflexin interna total.

Qu causa esta reflexin interna total?

La fibra consta de dos capas denominadas: ncleo y revestimiento. La luz queda atrapada dentro del ncleo, fabricado de vidrio, a travs del cual se desplaza. El revestimiento est fabricado de un material que tiene un ndice de refraccin mucho menor que el del ncleo. Como la luz rebota o se refleja de la segunda capa, no puede escapar de la fibra, porque es difcil que la luz pase a travs de un material de elevado ndice a un material de menor ndice a un ngulo de incidencia extremo.

IMGENES FORMADAS POR ESPEJOS PLANOS Y ESFRICOS.

Las imgenes se clasifican en reales o virtuales. Una imagen real es la que se forma cuando los rayos luminosos pasan a travs y divergen del punto de imagen; una imagen virtual es la que se forma cuando los rayos luminosos no pasan a travs del punto de imagen si no que slo parecen divergir de dicho punto. La imagen formada por el espejo en la (gura3.1) es virtual. La imagen de un objeto vista en un espejo plano es siempre virtual.

Imagen formada por reexin

Utilizando la imagen 3.2 para examinar las propiedades de las imgenes de objetos ex-tensos formadas por espejos planos. A pesar de que existe un nmero infinito de posibles direcciones hacia las que los rayos luminosos pueden salir de cada punto del objeto, slo necesitamos elegir dos rayos para determinar dnde se formar la imagen. Uno de esos rayos parte de P sigue una trayectoria horizontal hasta el espejo y se refleja sobre s mismo. El segundo rayo sigue la trayectoria oblicua PR y se reeja como se muestra, de acuerdo con las leyes de la reexin. Dado que los tringulos PQR y PQR son tringulos congruentes, PQ=PQ de donde podemos concluir que la imagen formada por un objeto colocado frente a un espejo plano est tan lejos detrs del espejo como lo est el objeto frente a l.La geometra tambin revela que la altura del objeto h es igual a la altura de la imagen h. Definamos el aumento lateral M de una imagen de la forma siguiente:

IMGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFRICOS.

Ahora considere una fuente de luz puntual colocada en el punto O de la (figura 3.3) donde O es cualquier punto sobre el eje principal, a la izquierda de C. En la figura se muestran dos rayos divergentes que se originan en O. Despus de reflejarse en el espejo, estos rayos convergen y se cruzan en la imagen que aparece en el punto I. Despus continan divergiendo alejndose de I como si en ese punto existiera un objeto. Como resultado en el punto I tenemos una imagen real de la fuente de luz en O.

Consideremos slo rayos que divergen del objeto formando un ngulo pequeo con el eje principal. Estos rayos se conocen como rayos paraxiales, todos los rayos paraxiales se reflejan a travs del punto imagen, como se muestra en la (figura 3.3 b).

Aquellos rayos que estn lejos del eje principal, como los que se muestran en la (figura 3.4) convergen en otros puntos del eje principal, produciendo una imagen borrosa, a ese efecto se le conoce como aberracin esfrica.

La (figura 3.5) muestra dos rayos que salen de la punta de un objeto. Uno de estos rayos pasa travs del centro de curvatura C del espejo e incide en el espejo perpendicularmente ala superficie del mismo reflejndose sobre s mismo, el segundo rayo incide en el espejo en su centro (punto V) y se refleja como se muestra en concordancia con la ley de reexin. La imagen de la punta de la flecha se localiza en el punto donde se cruzan ambos rayos. De la (figura 3.5) vemos que tan = h/p y tan = h /q, se introduce el signo negativo porque la imagen est invertida, como consecuencia de la ecuacin 3.1 y de los resultados anteriores, vemos que la amplificacin de la imagen es igual a:

3.2

En el mismo grfico, tambin se obtienede donde obtenemos:

3.3

De las ecuaciones 3.2 y 3.3, se obtiene:

3.4Esta ltima ecuacin se conoce como ecuacin del espejo,Si p tiende la infinito, entonces 1/p 0 y en la ecuacin 3.4 q R/2, tal como se muestra en la (g. 3.6)

En este caso en especial llamamos al punto de imagen el punto focal F y a la distancia de esta ltima la distancia focal f, donde:

3.5La distancia focal es un parmetro particular de un espejo dado, y por lo tanto puede ser utilizado para comparar un espejo con otro. La ecuacin del espejo se puede expresar en funcin de la distancia focal.

IMGENES FORMADAS POR ESPEJOS CONVEXOS.

Tambin conocido como espejo divergente, la imagen de la (g 3.7) es virtual porque los rayos reflejados slo dan la impresin de originarse en el punto imagen, como se indica mediante las lneas punteadas. Adems, la imagen siempre est cabeza arriba y siempre es menor que el objeto. Este tipo de espejos se utiliza con frecuencia en las tiendas para desanimar a los ladrones.

No deduciremos ecuaciones para los espejos esfricos convexos porque podemos utilizarlas ecuaciones 3.2, 3.4 y 3.6 tanto para espejos cncavos como convexos, siempre y cuando sigamos el procedimiento siguiente. Identifiquemos la regin en la cual los rayos luminosos se mueven hacia el espejo como el lado delantero del mismo y el otro lado como es trasero. Por ejemplo, en las (g. 3.7 y 3.5).

LENTES DELGADAS Y APLICACIONES.

El desarrollo a seguir se basa en el hecho de que la imagen formada por una superficie refractora sirve como el objeto para la segunda superficie.

figura 3.11

Considere una lente con un ndice de refraccin y dos superficies esfricas con radios de curvatura R1 y R2 como en la figura 3.11. Un objeto se coloca en el punto O a una distancia p1 enfrente de la superficie 1.Empecemos con la imagen formada por la superficie 1. Utilizando la ecuacin 3.8 y suponiendo que 1= 1, porque la lente est rodeada por aire, encontramos que la imagen I1 formada por la superficie 1 satisface la ecuacin:3.9Donde q1 es la posicin de la imagen debida a la superficie1, Si la imagen debida a la superficie1 es virtual (figura 3.11a) q1 es negativa, y si la imagen es real, q1 es positiva (figura 3.11b).Ahora aplicamos la ecuacin 3.8 a la supercie 2, utilizando 1= y 2= 1, si p2 es la distancia objeto de la superficie2 yq2 es la distancia imagen, obtenemos:3.10Ahora introducimos en hecho de que la imagen formada por la primera superficie acta como el objeto para la segunda superficie. Hacemos esto al notar en la (figura 3.11) que p2, medido desde la superficie 2 est relacionado con q1como sigue:Imagen virtual de la superficie1 figura (3.11a):p2=q1+t Imagen real de la superficie1 (3.11b):p2=q1+t

Donde t es espesor de la lente. Luego la ecuacin 3.10 se convierte en:

3.11Sumando las ecuaciones 3.9 y 3.11, tenemos que:

3.12En el caso de una lente delgada:3.13La distancia focal f de una lente delgada es la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto infinito. Lo mismo que ocurre con los espejos. Si en la ecuacin 3.13hacemos que p tienda al y que q tienda a f, vemos que la inversa de la distancia focal de una lente delgada es igual a:

3.14Esta ecuacin se conoce como la ecuacin de los fabricantes de lentes.Haciendo uso de la ecuacin 3.14 y 3.13 podemos escribir:3.15Ecuacin conocida como la ecuacin de las lentes delgadas.

INTERFERENCIA. EXPERIMENTO DE YOUNG.

El trmino interferencia se refiere a toda situacin en la que dos o ms ondas se traslapan en el espacio. Cuando esto ocurre, la onda total en cualquier punto y en todo momento est gobernada por el principio de Superposicin el cual establece lo siguiente: Cuando se traslapan dos o ms ondas, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante se halla sumando los desplazamientos instantneos que produciran en el punto las ondas individuales si cada una estuviera presente sola. Los efectos de interferencia se observan con facilidad cuando se combinan ondas sinusoidales o de una sola frecuencia f y longitud de onda . En ptica las ondas sinusoidales con caractersticas de la luz monocromtica.

Interferencia Constructiva y Destructiva

Cuando dos ondas provenientes de dos o ms fuentes llegan a un punto en fase, la amplitud de onda resultante es la suma de las amplitudes de la ondas individuales (Las ondas individuales se refuerzan mutuamente). Esto se conoce como interferencia constructiva. Sea r1 la distancia de S1 a cualquier punto P y sear2la distancia de S 2 a P para que se produzca una interferencia constructiva en P, la diferencia de trayecto r2r1correspondiente a las dos fuentes debe de ser mltiplo entero de la longitud de onda .

Si las ondas provenientes de las dos fuentes llegan al punto P exactamente medio ciclo fuera de fase. Una cresta de una onda llega al mismo tiempo que una cresta en sentido opuesto (un valle) de la otra onda, la amplitud resultante es la diferencia entre las amplitudes individuales. Si las amplitudes son iguales entonces la amplitud total es cero. Esta cancelacin total o parcial de las ondas individuales se llama interferencia destructiva. La condicin para que haya interferencia destructiva es:

Para que las ecuaciones 4.1 y 4.2 sean vlidas, las dos fuentes deben de tener la misma longitud de onda y estar siempre en fase.

EXPERIMENTO DE YOUNG.

El experimento de Young, tambin denominado experimento de la doble rendija, fue realizado en 1801 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprob un patrn de interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas, resultado que contribuy a la teora de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Posteriormente, la experiencia ha sido considerada fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpsculo, una caracterstica de la mecnica cuntica. El experimento tambin puede realizarse con electrones, protones o neutrones, produciendo patrones de interferencia similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el comportamiento dual onda-corpsculo de la materia.

DISTRIBUCIN DE INTENSIDAD LUMINOSA.

Esta distribucin de la intensidad luminosa asociada al patrn de interferencia de doble rendija se calcula suponiendo que estas dos rendijas presentan fuentes coherentes de ondas sinusoidales. Por lo tanto las ondas tienen la misma frecuencia angular () y una diferencia de fase constante (). La intensidad de campo elctrico total en un punto P sobre la pantalla en la figura figura 4. Es la superposicin vectorial de las dos ondas. Suponiendo que las dos ondas tienen la misma amplitud en E0, podemos escribir las intensidades del campo elctrico en P debidas a cada onda por separado como:

Aunque las ondas estn en fase en las rendijas, su diferencia de fase xen P depende de la diferencia de trayectoria = r2 r1 = d sin. Debido a que una diferencia de trayectoria de (interferencia constructiva) corresponde a una diferencia de fase de 2 yrad, en tanto que la diferencia de 2/z (interferencia destructiva) corresponde a una diferencia de fase de y rad, obtenemos la razn:

Distribucin de Intensidad del Patrn de Interferencia de doble rendija.

Esta distribucin se calcula suponiendo que las dos rendijas representan fuentes coherentes de ondas sinusoidales. Por lo tanto, las ondas tienen la misma frecuencia angular y una diferencia de fase constante (). La intensidad de campo elctrico total en el punto P sobre la pantalla en la Figura 4 es la superposicin vectorial de las dos ondas. Suponiendo que las dos ondas tienen la misma amplitud E0, podemos escribir las intensidades de campo elctrico en P debidas a cada onda por separado como:

DIFRACCIN.

En fsica, la difraccin es un fenmeno caracterstico de las ondas, ste se basa en el curvado y esparcido de las ondas cuando encuentran un obstculo o al atravesar una rendija. La difraccin ocurre en todo tipo de ondas, desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un fluido y ondas electromagnticas como la luz y las ondas de radio. Tambin sucede cuando un grupo de ondas de tamao finito se propaga; por ejemplo, por causa de la difraccin, un haz angosto de ondas de luz de un lser debe finalmente divergir en un rayo ms amplio a una cierta distancia del emisor.

A interferencia se produce cuando la longitud de onda es mayor que las dimensiones del objeto, por tanto, los efectos de la difraccin disminuyen hasta hacerse indetectables a medida que el tamao del objeto aumenta comparado con la longitud de onda.

En el espectro electromagntico los Rayos X tienen longitudes de onda similares a las distanciasnteratmicas en la materia. Es posible por lo tanto utilizar la difraccin de rayos X como un mtodo para explorar la naturaleza de la estructura cristalina. La difraccin producida por una estructura cristalina verifica la ley de Bragg.

DIFRACCIN DE UNA SOLA RENDIJA.

De acuerdo con la ptica geomtrica, el haz transmitido debera tener la misma seccin transversal que la ranura, como en la figura 5.1a. Lo que se observa en efecto es el patrn que se muestra en la figura 5.1b el haz se ensancha en sentido vertical despus de pasar despus de pasar por la ranura. El patrn de difraccin consiste en una banda central brillante, que puede ser mucho ms amplia que el ancho de la ranura, bordeada de bandas oscuras y brillantes alternas cuya intensidad decrece rpidamente. Al rededor del 85% dela potencia del haz transmitido se encuentra en la banda central brillante, cuya anchura resulta ser inversamente proporcional al ancho de la ranura.

La figura 5.2 muestra una vista lateral del mismo arreglo; los lados largos de la ranura son perpendiculares a la figura, y las ondas planas inciden en la ranura desde la izquierda. De acuerdo con el principio de Huygens, cada elemento de rea de la abertura de la ranura puede ser considerado como una fuente de ondas secundarias.

En la figura 5.2b se ha colocado una pantalla a la derecha de la ranura. Podemos calcularla intensidad resultante en el punto P para lo cual supondremos que la pantalla est lo suficientemente lejos como para que todos los rayos que van de diversas partes de la ranura a un punto P sean paralelos. Como en la figura 5.2c. Una situacin equivalente es la que se representa en la figura 5.2d, donde los rayos queinciden en la lente son paralelos y la lente forma una imagen reducida del patrn que se formara en una pantalla infinitamente distante sin la lente.

La situacin de la figura 5.2b es una difraccin de Fresnel, en las figura 5.2c y 5.2d, donde se considera que los rayos salientes son paralelos, la difraccin es de Fraunhofer. Considrense en primer trmino dos tiras largas, una inmediatamente debajo del borde superior del dibujo de la ranura y otra en su centro, la cual se muestra vista desde un extremo de la figura 5.3. La diferencia de longitud de trayecto al punto P es a/2sin donde a es el ancho de la ranura y , el ngulo entre la perpendicular a la ranura y una recta del centro de la ranura a P. Supngase que esta diferencia de trayecto resulta ser igual a /2; entonces la luz proveniente de estas dos tiras alcanzan en punto P con una diferencia de fase de medio ciclo, y no hay cancelacin.

Intensidad en el Patrn de una sola RanuraEn el punto O de la figura 5.3a, que corresponde al centro del patrn donde = 0, las diferencias de trayecto cuando x*a son insignificantes, los fasores estn todos prcticamente en fase (es decir tienen la misma direccin). En la figura 5.4a aun ngulo se han dibujado los fasores en el tiempo t= 0 y se denota la amplitud resultante en O con E0. Considrese ahora las ondas que llegan desde diferentes tiras al punto P de la gura5.4a a un ngulo del punto O. Debido a las diferencias de longitud de trayecto, ahora hay diferencias de fase entre las ondas que llegan de tiras adyacentes; el diagrama de fasores correspondientes se muestra en la figura 5.4b. La suma vectorial de los fasores ahora parte del permetro de un polgono de muchos lados, y, EP la amplitud del campo elctrico resultante en P es la cuerda. El ngulo es la diferencia de fase total entre la onda procedente de la tira superior de lafigura 5.3a y la que llega de la tira del extremo inferior; es decir es la fase de la onda en P proveniente del extremo superior con respecto a la onda que se recibe en P de la tira del extremo inferior.

Podemos imaginar que dividimos la ranura en tiras cada vez ms angostas. En el lmite, donde se tiene un nmero finito de tiras infinitamente angostas, la curva que describen los fasores se convierte en un arco de crculo figuras 5.4b con una longitud de arco igual a la longitud E0 de la figuras El centro C de este arco se halla construyendo perpendiculares A y B. Con base en la relacin entre la longitud de arco, radio y ngulo, el radio del arco es E0/; la amplitud EP del campo elctrico resultante en P es igual a la cuerda AB, que es 2(E0/) sin (/2). Tenemos entonces:

5.5La intensidad en cada punto de la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud dada por la ecuacin 5.5. Si I0 es la intensidad en la direccin hacia el frente donde = 0 y = 0, entonces la intensidad I en cualquier punto es.

5.6Podemos expresar la diferencia de fase en trminos de magnitudes geomtricas. De acuerdo con la ecuacin 4.12 la diferencia de fase es 2/ por la diferencia de trayecto. La figura 5.3 muestra que la diferencia de trayecto entre el rayo proveniente del extremo superior de la ranura y el rayo que llega de la parte media es (a/2)sin . La diferencia de trayecto entre los rayos procedentes del extremo superior y del extremo inferior de la ranura es el doble de esto; por tanto:

Y la ecuacin 5.6se transforma en:

Las franjas oscuras del patrn son los lugares donde I = 0. Estos se presentan en puntos donde el numerador de la ecuacin 5.6 es cero, por lo que es un mltiplo de 2. De acuerdo con la ecuacin 5.7 esto corresponde a:

La ecuacin 5.6 no est definida para = 0 pero calculando el lmite encontramos que, en = 0, I =I0, como era de esperarse.

Mximos de Intensidad en el Patrn de una sola ranuraLa ecuacin 5.6 tambin permite calcular las posiciones de las crestas, o mximos de intensidad, as como la intensidad de estas crestas. Esto no es tan simple como podra parecer. Cabra esperar que los mximos se presentan donde la funcin sin alcanza el valor de 1, esto es, donde =,3,5 o en general:

Anchura del patrn de una sola RanuraCuando los ngulos son pequeos la extensin angular del patrn de difraccin es inversa-mente proporcional al ancho de la ranura a. En el caso de las ondas luminosas, la longitud de onda suele ser mucho ms pequea que el ancho de la ranura a, y los valores de en las ecuaciones 5.7 y 5.8 son tan pequeos que la aproximacin sin = es muy buena. Con esta aproximacin, la posicin 1 del primer mnimo al lado del mximo central que corresponde a/2 =, es segn la ecuacin 5.8:

Esto caracteriza la anchura (extensin angular) del mximo central, cuando la aproximacin de ambos ngulos pequeos es vlida, el mximo central es exactamente dos veces ms ancho que cada mximo lateral.