Tema 3: Sistemas de ecuacins lineares

(a)

Definicins

iniciais

Ecuacin linear con n incgnitas: expresin da forma bxaxaxa nn ...2211

Sistema linear de m ecuacins con n incgnitas (expresin da forma ...)

Solucin: coleccin de n nmeros que substitulos polas incgnitas verifican as igualdades do sistema.

Sistema homoxneo

Def: Sistema con tdolos termos independentes iguais a cero.

sempre compatible, pois o (0,0,...,0) sempre solucin.

Sistema triangular: (expresin da forma ...)

Clasificacin dos sistemas polo tipo

de solucins

Sistemas Incompatibles: Non teen solucin

Sistemas Compatibles Determinados: Unha nica solucin

Indeterminados: Infinitas solucins dependendo de parmetros

(b) Tres xeitos de

interpretar un

sistema de m

ecuacins con

n incgnitas

Con ecuacins

ELEMENTOS: EXPRESIN:

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

11212111

Incgnitas: nxxx ,...,, 21

Coeficientes: ija i=1,...,m

j=1,...,n

Termos independentes: mbb ,...,1

Con matrices

ELEMENTOS:

Matriz dos coeficientes

A=

mnmm

n

aaa

aaa

21

11211

(mxn)

Matriz das

incgnitas :x=

nx

x

1

(nx1)

EXPRESIN:

Ax=b Matriz dos

termos

independentes

:b=

mb

b

1

(mx1)

Con vectores

ELEMENTOS: EXPRESIN:

A1x1+ A2x2+...+ Anxn =b

Vector dos

coeficientes da

i incgnita

:Ai=m

mi

i

a

a

1

Incgnitas:

nxxx ,...,, 21 Vector dos

termos

independentes

:b=m

mb

b

1

(c) Discusin de

sistemas

Definicin de matriz ampliada dun sistema.

Teorema de Rouch-Frobenius: enunciado e demostracin. (na fotocopia).

Mtodo de discusin

Se Rango(A) Rango(Ab) : Sistema incompatible. Se Rango(A)=Rango (Ab) = n de incgnitas : Sistema compatible determinado.

Se Rango(A)=Rango (Ab) n de incgnitas : Sistema compatible indeterminado.

(d) Clculo de solucins

m: n de ecuacins

n: n de incgnitas

r: rango(A)=rango(Ab)

a) Se m>r elimnanse as ecuacins que non contriburon a forma-lo menor de orde r distinto de cero: Traballarase con r ecuacins.

b)

1.

Se r=n o sistema compatible determinado.

A solucin calclase -Polo mtodo de Gauss. (tipo caso 1)

-Estamos nas condicins da Regra de cramer e calclase seguindo o enunciado.

2

Se r