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MATERIAL DEL ESTUDIANTE PROBLEMARIO DE ÁLGEBRA I

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UNIDAD IV

FUNCIÓN LINEAL

RESUMEN FUNCIÓN LINEAL Definición: Una función f, que va del conjunto A en un conjunto B es una regla de correspondencia que

asigna a cada elemento x en A uno y sólo uno de los elementos 𝒚 = 𝒇(𝒙 ) en B.

A está formado por todos los valores “x” para los cuales la regla de correspondencia 𝑓 tiene sentido y se

le llama DOMINIO DE LA FUNCIÓN. Al conjunto formado por todas las imágenes 𝑦 = 𝑓(𝑥), se le llama

RANGO DE LA FUNCIÓN.

Nota: Usualmente a 𝑥 se le llama variable independiente, mientras que 𝑦 se denomina variable

dependiente.

Definición: Se dice que una variable 𝑦 es directamente proporcional a la variable 𝑥 si la razón de dos

valores correspondiente cualesquiera 𝑦

𝑥 es constante, es decir si

𝑦

𝑥 = 𝑘

De forma equivalente, 𝑦 es directamente proporcional a la variable 𝑥 si

𝑦 = 𝑘𝑥

el coeficiente k se llama constante de proporcionalidad y nos mide el aumento o la disminución de la

variable dependiente por cada unidad de la variable independiente.

La gráfica de 𝑦 = 𝑘𝑥 es una recta que pasa por el origen del plano coordenado.

1. Si 𝑘 > 0 la función 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 es creciente.

2. Si 𝑘 < 0 la función 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 es decreciente.

3. Si 𝑘 = 0 la función 𝑦 = 0 es constante. Su gráfica es el eje X (abscisas).

Nota: La constante de proporcionalidad 𝑘 se interpreta como la pendiente 𝑚 de la recta.


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Definición: Una función lineal en la variable 𝑥, es una expresión del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏,

o de manera equivalente

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

donde 𝑚, 𝑏 son constantes. Su gráfica es una recta, donde 𝑚 es la pendiente de la recta y 𝑏 determina

el punto de intersección de la recta con el eje 𝑌 (ordenadas).

1. Si 𝑚 > 0 la función 𝑦 = 𝑚 · 𝑥 + 𝑏 es creciente (figura I).

2. Si 𝑚 < 0 la función 𝑦 = 𝑚 · 𝑥 + 𝑏 es decreciente (figura II).

3. Si 𝑚 = 0 la función 𝑦 = 𝑏 es constante. Su gráfica es paralela al eje X (figura III).

(Figura I) (Figura II) (Figura III)


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EJERCICIOS SOBRE FUNCIÓN LINEAL

I. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL, TABULACIÓN Y FORMA COMÚN.

A. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una función lineal? Justifica tu respuesta.

1. 𝑦 = 𝑥2 + 5

2. 𝑦 =5

𝑥+ 2

3. 𝑦 =𝑥

5+ 2

4. 𝑦 = (𝑥 −1

3)2

5. 𝑦 =1

3𝑥 + 1

6. 𝑦 =6−4𝑥

8

7. 𝑦 =2

3𝑥− 1

8. 𝑦 =2

𝑥+3

9. 𝑦 = 2𝑥 + 6

10. 2𝑥 − 4𝑦 = 8

B. Usando ocho valores de x, obtén los correspondientes valores de y, construye una tabla y grafica

en un plano coordenado cada una de las siguientes funciones lineales.

11. 𝑦 = 𝑥 + 3

12. 𝑦 = −𝑥 − 1

13. 𝑦 = 4𝑥 + 3

14. 𝑦 =1

2𝑥 + 2

15. 𝑦 = −1

5𝑥 − 3

16. 𝑦 = 4𝑥 − 3

17. 𝑦 = −1

3𝑥 +

1

2

18. 𝑦 =1

3𝑥 +

9

2

19. 𝑦 = −3𝑥 − 1

20. 𝑦 = −1

3𝑥 −

1

2

C. Cambiar las siguientes ecuaciones de dos variables a funciones lineales y graficar las funciones.

21. 7𝑥 − 5𝑦 + 3 = 11

22. 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 57

23. 6𝑥+𝑦

2= 3

24. 𝑥−𝑦

5= −1

25. 1

2𝑥 + 𝑦 =

2

3𝑥 +

1

2𝑦 − 1

26. 𝑥+3𝑦

4=

𝑥+1

2−

𝑥−𝑦

6

27. 1

2𝑥 −

1

3𝑦 = 𝑥 +

2

3𝑦 − 4

28. 𝑦 + 4 = – 3(𝑥 – 1)

29. 2𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 𝑦 − 10

30. 1

5(𝑥 − 2𝑦) + 1 = 𝑥 +

2

3(𝑦 + 4)


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II. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL DADOS ALGUNOS DATOS

A. Obtén el modelo matemático de la función lineal que corresponde a cada una de las gráficas siguientes.

31.

32.

33.

34.

35.

36.


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37.

38.

39.

40.

B. Para las parejas de datos (coordenadas) presentados:

a. Obtén el valor de la “pendiente” 𝒎 b. Obtén el valor de la “ordenada en el origen” 𝒃 c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente

41.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

-9 20 -

-8 17

42.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

-4 23

-2 9

43.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

-9 7

-6 5.5


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C. Considerando que los datos presentados son componentes de puntos colineales:

a. Obtén el valor de las “ordenadas” 𝒚. b. Obtén el valor de la “ordenada en el origen” 𝒃. c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente.

44.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 5 -

2 -7

6 -7

45.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 2 -

8 -4

13 -4

46.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 -5 -

3 -6

6 -6

D. Considerando que los datos presentados son componentes de puntos colineales:

a. Obtén el valor de las “abscisas” 𝒙. b. Obtén el valor de la “ordenada en el origen” 𝒃. c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente.

47.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 4 -

-16 -4

-20 -4

48.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 7 -

22 5

57 5

49.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 1 -

-44 -9

-62 -9

50.

𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

0 -12 -

-24 3

-15 3


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III. PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN LINEAL

A. Llena la siguiente tabla y grafica cada una de las funciones lineales.

51. 𝑦 = −3𝑥 − 1 52. 𝑦 = −2 53. 𝑦 = −2

7𝑥 + 5 54. 𝑦 = 𝑥 − 2 55. 𝑦 = 7𝑥

Valor de 𝑚

Valor de 𝑏

Coordenada (0, 𝑏)

Creciente o Decreciente

Gráfica

B. Variación de parámetros en la función lineal. Graficar en el mismo plano cartesiano los siguientes grupos de funciones lineales.

56. 𝑦 = 𝑚𝑥 − 5; con 𝑚 = −6, −4, −2, −1

2, 0,

1

2, 2, 4, 6.

57. 𝑦 = 𝑥 + 𝑏; con 𝑚 = −6, −4, −2, −1

2, 0,

1

2, 2, 4, 6.

IV. ECUACIONES A PARTIR DE GRÁFICAS

A. Asocia a cada línea de la gráfica con su ecuación correspondiente (escribe la ecuación sobre la recta que corresponda) y establece para cada una cual es el valor de su pendiente.

58. 𝑦 + 2 = 0 𝑚 =

59. 3𝑥 − 𝑦 = 3 𝑚 =

60. 2𝑥 − 3𝑦 = 12 𝑚 =

61. 𝑦 = 2 − 𝑥 𝑚 =


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V. PROBLEMAS VERBALES

62. La ley de Hooke establece la relación lineal entre la deformación 𝑆 y el perso 𝑊 que causa el alargamiento. Para un resorte en particular, un peso de 5 libras provoca un alargamiento de 2 pulgadas, mientras que cuando no hay peso el alargamiento del resorte es igual a cero.

a. Indica dos pares ordenados que representen la función. b. Determina la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. c. Explica el significado de la pendiente en este contexto. d. Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste.

63. ¿Crees que cada vez que cortas el pasto es necesario cortarlo de nuevo inmediatamente? Da gracias a que no tienes que cortar la grama que crece en África y Asia. Esa planta crece a razón de 6 pulgadas/día. Supón que cortas una planta de grama a una altura de 2 pulgadas. a. Determina la ecuación que representa la altura de la planta ℎ, después de 𝑡 días. b. Si no la cortas de nuevo, ¿Qué altura alcanzará la planta en una semana? c. ¿Se puede mantener este ritmo de crecimiento indefinidamente? Explica. d. Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste.

64. Microbiología. Un cultivo de bacterias se hace crecer en un “caldo nutritivo” líquido, dentro de un tanque aireado y con agitación mediante una propela para mantener el medio homogéneo (como se muestra en la figura). Se toman muestras del cultivo cada dos horas, observándose el siguiente comportamiento.

a. Construye la gráfica con los datos que se te proporcionan en la tabla. b. Suponiendo que el crecimiento bacteriano puede continuar infinitamente, construye

un modelo matemático, que permita conocer el número de bacterias por mililitro en cualquier momento a partir del inicio del cultivo. Para ello calcula la constante de

proporción (pendiente de la recta) en la tabla anterior y auxiliarte de ella.

c. Si se toma una muestra del cultivo a las 13 horas, ¿Que concentración de bacterias por mililitro se tendrá en ese instante?

d. Si me interesa detener el cultivo en el momento que la concentración de bacterias

por mililitro sea de 7.5 𝑥 103, ¿Que edad tendrá el cultivo en ese instante?

Edad

del

cultivo

(horas)

Número de

bacterias en 1

mililitro de

“caldo nutritivo”

0 2000

4 4000

8 6000

12 8000

16 10000

c. Función Lineal (FL)

y=mx+b

1. Microbiología. Un cultivo de bacterias se hace crecer en un medio nutritivo líquido, dentro de un tanque aireado y con agitación mediante una propela para mantener el medio homogéneo (como se muestra en la figura). Se toman muestras del cultivo cada dos horas, observándose el siguiente comportamiento.

a) Construye la gráfica con los datos que se te proporcionan en la tabla b) Suponiendo que el crecimiento bacteriano puede continuar infinitamente,

construye un modelo matemático, que permita conocer el número de bacterias por mililitro en cualquier momento a partir del inicio del cultivo. Para ello calcula la constante de proporción (pendiente de la recta) en la tabla anterior y auxiliarte de ella.

c) Si se toma una muestra del cultivo a las 13 horas, ¿Que concentración de bacterias por mililitro se tendrá en ese instante?.

d) Si me interesa detener el cultivo en el momento que la concentración de bacterias por mililitro sea de 7.5 x 103 , ¿Que edad tendrá el cultivo en ese instante

2. Modelos moleculares. Los alcanos alifáticos lineales son moléculas orgánicas que se componen solo de carbono e hidrógeno. El carbono al ser un átomo tetravalente, acepta 4 enlaces sobre sí. De este modo se tienen las estructuras fundamentales siguientes:

8

Metano

Etano

Propano

Aire

Caldo Nutritivo

Edad del cultivo (horas)

Numero de bacterias

en 1 mL de cultivo

0 2 x 103

4 4 x 103

8 6 x 103

12 8 x 103

16 10 x 103

!m=y- b

x


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65. Pago de un préstamo. Un estudiante universitario recibe un préstamo sin intereses de $8250 de un familiar. El estudiante pagara $125 al mes hasta pagar el préstamo. a. Expresa la cantidad 𝑃(en pesos) pendiente de pago en términos del tiempo 𝑡 (en

meses). b. ¿Después de cuantos meses el estudiante deberá́ $5000? c. Trace, en un plano P vs. t una gráfica que muestre la relación entre P y t para la

duración del préstamo.

66. Un invernadero produce flores siguiendo un modelo lineal. Si el primer año se produjeron 50000 flores y 11000 en el tercer año. a. Calcula el crecimiento anual en la producción de flores. b. Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste.

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