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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 01

Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica

En este curso, tomaremos:

• n, m ∈ N con n > 0 y m > 0;

• I = {1, 2, . . . , m} y J = {1, 2, . . . , n}; y

• K un cuerpo o campo (es decir, cualquier conjunto que cumpla con los axio-

mas de cuerpo), puede ser R o C.

1. SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales

en las cuales figuran n incógnitas a las que notaremos por: x1, x2, . . . , xn. Así,

dados aij ∈ R y bi ∈ R con i ∈ I y j ∈ J, fijos, un sistema de ecuaciones es:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,

...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.

DEFINICIÓN 1: Sistema de ecuacionesDEFINICIÓN 1: Sistema de ecuaciones

2. MATRICES

Una matriz sobre un cuerpo K es una función

A : I × J −→ K

(i, j) 7−→ A(i, j) = aij,

DEFINICIÓN 2: MatrizDEFINICIÓN 2: Matriz

1

Departamento de Formación Básica Resumen no. 01

la cual se representa por

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

.

Con esto, se dice que A es de orden m × n y que tiene m filas y n columnas.

Al conjunto de todas las matrices de orden m × n sobre el campo K se

denota por Km×n.

Dada una matriz A, esta se la representa también por A = (aij).

Otras notaciones usuales para el conjunto de la matrices, que se puede en-

contrar en la literatura, son Mm×n, Mm×n, Mmn o Mmn.

Sean A ∈ Km×n, i ∈ I y j ∈ J. A la matriz

a1j

a2j...

amj

se la llama la j-ésima columna de A y a la matriz

(

ai1 ai2 · · · ain

)

se la llama la i-ésima fila de A.

DEFINICIÓN 3: Filas y columnasDEFINICIÓN 3: Filas y columnas

PROPOSICIÓN 1 (Igualdad de matrices). Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kp×q. Se dice

que las A y B son iguales, y se representa por A = B, si:

• m = p y n = q; y

• aij = bij para todo i ∈ I y j ∈ J.

2

Resumen no. 01 Departamento de Formación Básica

El conjunto Kn es:

Kn = K × K × · · · × K

︸︷︷︸

n veces

,

es decir,

Kn = {(a1, a2, . . . , an) : ai ∈ K para todo i ∈ J}.

DEFINICIÓN 4: VectoresDEFINICIÓN 4: Vectores

Por notación, si a ∈ Rn, se asumirá a = (a1, a2, . . . , an).

Podemos identificar cada elemento de Kn con una matriz de Kn×1 de la

siguiente manera: si

a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Kn,

entonces, visto como matriz es

a =

a1

a2

...

an

∈ Kn×1.

Sean A, B ∈ Km×n. La suma de las matrices A y B es la matriz C ∈ Km×n tal

que:

cij = aij + bij

para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por A + B.

DEFINICIÓN 5: Suma de matricesDEFINICIÓN 5: Suma de matrices

Con esto, tenemos que (aij) + (bij) = (aij + bij).

Sea A ∈ Km×n y α ∈ K. El producto del escalar α por la matriz A es la matriz

B ∈ Km×n tal que:

bij = αaij

para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por αA.

DEFINICIÓN 6: Multiplicación por un escalarDEFINICIÓN 6: Multiplicación por un escalar

Con esto, tenemos que α(aij) = (αaij).

3


Sea A ∈ Km×n. La matriz transpuesta de A es la matriz B ∈ Kn×m tal que:

(bij) = (aji)

para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por A⊺.

DEFINICIÓN 7: Transpuesta de una matrizDEFINICIÓN 7: Transpuesta de una matriz

Con esto, tenemos que si A ∈ Km×n, entonces A⊺ ∈ Kn×m y (aij)⊺ = (aji).

4




1. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE MATRICES

Sean A, B, C ∈ Km×n. Se tiene que

• A + B = B + A.

• A + (B + C) = (A + B) + C.

• Existe una única matriz 0 de orden m × n tal que

A + 0 = A

para cualquier matriz A de orden m × n. La matriz 0 se denomina neu-

tro aditivo de orden m × n, también llamada la matriz nula.

• Para cada matriz A de orden m × n, existe una única matriz, denotada

por −A, de orden m × n tal que:

A + (−A) = 0.

A la matriz −A se la denomina el inverso aditivo A.

TEOREMA 1TEOREMA 1

Sean α, β ∈ K y A, B ∈ Km×n. Se tiene que

• α(βA) = (αβ)A;

• (α + β)A = αA + βA; y

• α(A + B) = αA + αB.

TEOREMA 2TEOREMA 2

2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

En esta sección consideramos p, q ∈ N con p > 0 y q > 0.

1


Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kn×p, el producto de las matrices A y B es la matriz

C ∈ Km×p tal que

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ a1pbpj

=p

∑k=1

aikbkj

para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por AB.

DEFINICIÓN 1: Multiplicación de matricesDEFINICIÓN 1: Multiplicación de matrices

Sean A, B ∈ Km×n, C, D ∈ Kn×p, E ∈ Kp×q y α ∈ K. Se tiene que

• A(DE) = (AD)E;

• A(C + D) = AC + AD;

• (A + B)C = AC + BC;

• A(αC) = α(AC) = (αA)C.

TEOREMA 3TEOREMA 3

En general, AB 6= BA.

Si A es un elemento de Kn×n, se dice que A es una matriz cuadrada de orden

n.

DEFINICIÓN 2: Matriz cuadradaDEFINICIÓN 2: Matriz cuadrada

Se define la matriz identidad de orden n al elemento A de Kn×n tal que

aij =

1 si i = j,

0 si i 6= j,

para todo i, j ∈ I. A esta matriz se la denota por In.

DEFINICIÓN 3: Matriz identidad de orden nDEFINICIÓN 3: Matriz identidad de orden n

2


PROPOSICIÓN 4. Sea A ∈ Km×n se tiene que

Im A = AIn = A.

Sean A ∈ Kn×n y r ∈ N. Se define A a la potencia r por

• A0 = In; y

• Ar+1 = Ar A.

DEFINICIÓN 4DEFINICIÓN 4

Sean A ∈ Kn×n y r, s ∈ N. Se tiene que

• Ar As = Ar+s; y

• (Ar)s = Ars.

TEOREMA 5TEOREMA 5

Note que en general (AB)r 6= ArBr.

Sean α ∈ K, A, B ∈ Km×n y C ∈ Kn×p. Se tiene que

• (A⊺)⊺ = A;

• (A + B)⊺ = A⊺ + B⊺;

• (AC)⊺ = C⊺A⊺;

• (αA)⊺ = αA⊺.

TEOREMA 6TEOREMA 6

3. TIPOS DE MATRICES

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz diagonal si verifica que:

aij = 0

DEFINICIÓN 5: Matriz diagonalDEFINICIÓN 5: Matriz diagonal

3


para todo i ∈ I y j ∈ J con i 6= j.

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz escalar si es una matriz diagonal

que verifica:

aii = α

para todo i ∈ I, con α ∈ K.

DEFINICIÓN 6: Matriz escalarDEFINICIÓN 6: Matriz escalar

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es simétrica si A⊺ = A.

DEFINICIÓN 7: Matriz simétricaDEFINICIÓN 7: Matriz simétrica

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es simétrica si A⊺ = −A.

DEFINICIÓN 8: Matriz antisimétricaDEFINICIÓN 8: Matriz antisimétrica

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es

• una matriz triangular superior si aij = 0 para todo i > j con i, j ∈ J; y

• una matriz triangular inferior si aij = 0 para todo i < j con i, j ∈ J.

DEFINICIÓN 9: Matriz triangularDEFINICIÓN 9: Matriz triangular

Sea A ∈ Kn×n y r ∈ N. Se dice que A es nilpotente de orden r si r es el menor

entero positivo tal que

Ar = 0.

DEFINICIÓN 10: Matriz nilpotenteDEFINICIÓN 10: Matriz nilpotente

Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz idempotente si A2 = A.

DEFINICIÓN 11: Matriz idempotenteDEFINICIÓN 11: Matriz idempotente

4




1. TRANSFORMACIONES MATRICIALES

Dada A ∈ Km×n, una transformación matricial es una función

f : Kn −→ Km

u 7−→ Au.

DEFINICIÓN 1: Transformación matricialDEFINICIÓN 1: Transformación matricial

2. SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dado un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales en las cuales

figuran n incógnitas:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,

...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.

donde aij ∈ R y bi ∈ R con i ∈ I y j ∈ J. A la matriz

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

DEFINICIÓN 2: Matriz aumentadaDEFINICIÓN 2: Matriz aumentada

1


se la llama matriz de coeficientes del sistema y a

b =

b1

b2

...

bm

y x =

x1

x2

...

xn

se las llama columnas de constantes y de incógnitas, respectivamente.

Bajo estas definiciones, dado un sistema de ecuaciones lineales, se dice que

Ax = b

es la representación matricial del sistema de ecuaciones.

Sean A ∈ Km×n y B ∈ Km×p, se define la matriz ampliada de A y B al

elemento de Km×(m+p) dado por:

a11 a12 · · · a1n | b11 b12 · · · b1p

a21 a22 · · · a2n | b21 b22 · · · b2p

......

. . ....

......

.... . .

...

am1 am2 · · · amn | bm1 bm2 · · · bmp

y se la denota por (A|B).

DEFINICIÓN 3: Matriz ampliadaDEFINICIÓN 3: Matriz ampliada

Dado el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

Ax = b

con A ∈ Km×n y b ∈ Km, se dice que

(A|b)

es la matriz ampliada asociada al sistema.


2


Se dice que una matriz está en forma escalonada reducida por filas cuando

satisface las siguientes propiedades:

1. Todas las filas que constan de ceros, si las hay, están en la parte inferior

de la matriz.

2. La primera entrada distinta de cero de la fila, al leer de izquierda a

derecha, es un 1. Esta entrada se denomina entrada principal o uno

principal de su fila.

3. Para cada fila que no consta sólo de ceros, el uno principal aparece a la

derecha y abajo de cualquier uno principal en las filas que le preceden.

4. Si una columna contiene un uno principal, el resto de las entradas de

dicha columna son iguales a cero.

Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas si satisface las pri-

meras tres propiedades .

DEFINICIÓN 5: Matriz escalonada reducida por filasDEFINICIÓN 5: Matriz escalonada reducida por filas

Dada una matriz A ∈ Km×n, una operación elemental por filas sobre A es

una de las siguientes:

• Intercambio de filas: dados i ∈ I y j ∈ J, intercambiar la fila i por la fila

j, denotado por

Fi ↔ Fj,

es reemplazar la fila (

ai1 ai2 . . . ain

)

por la fila (

aj1 aj2 . . . ajn

)

y viceversa.

• Multiplicar una fila por un escalar: dados i ∈ I y α ∈ K, con α 6= 0,

multiplicar la fila i por α, denotado por

αFi → Fi,

DEFINICIÓN 6: Operaciones elementales de filaDEFINICIÓN 6: Operaciones elementales de fila

3



ai1 ai2 . . . ain

)

por (

αai1 αai2 . . . αain

)

.

• Sumar un múltiplo de una fila con otra: dados i, j ∈ I y α ∈ K, multi-

plicar la fila i por α y sumarlo a la fila j, denotado por

αFi + Fj → Fj,


aj1 aj2 . . . ajn

)

por (

αai1 + aj1 αai2 + aj2 . . . αain + ajn

)

.

Dada una operación elemental por fila, se llama matriz elemental correspon-

diente a la operación al resultado de aplicar dicha operación a la matriz iden-

tidad.

DEFINICIÓN 7: Matriz elementalDEFINICIÓN 7: Matriz elemental

Sean E ∈ Kn×n una matriz elemental y A ∈ Kn×m, el resultado aplicar la

operación por filas correspondiente a E a la matriz A es EA.

TEOREMA 1TEOREMA 1

Sean A, B ∈ Km×n, se dice que la matriz A es equivalente por filas a una

matriz B, denotado por A ∼ B, si B se puede obtener al aplicar a la matriz A

una sucesión de operaciones elementales por fila.

DEFINICIÓN 8: Equivalente por filasDEFINICIÓN 8: Equivalente por filas

Toda matriz A ∈ Km×n es equivalente por filas a una matriz escalonada re-

ducida por filas.

TEOREMA 2TEOREMA 2

4


Toda matriz A ∈ Km×n es equivalente por filas a una única matriz en forma

escalonada reducida por filas.

TEOREMA 3TEOREMA 3

El proceso para obtener una matriz escalonada reducida por filas a partir de

una matriz cualquiera se conoce como eliminación de Gauss-Jordan.

Sean A ∈ Km×n y B ∈ Km×n la única matriz escalonada reducida por filas

equivalente a A. El rango de A, denotado por rang(A), es el número de filas

no nulas que tiene la matriz B.


PROPOSICIÓN 4. Sean A, B ∈ Km×n. Se tiene que si A ∼ B, entonces

rang(A) = rang(B).

PROPOSICIÓN 5. Sean A ∈ Km×n. Se tiene que si A es una matriz escalonada,

entonces rang(A) es el número de filas no nulas que tiene A.

2.1 Resolución de sistemas lineales

Sean A, C ∈ Km×n y b, d ∈ Km, se tiene que los sistemas de ecuaciones linea-

les

Ax = b y Cx = d

tienen las mismas soluciones si y solo si

(A|b) ∼ (C|d),

es decir, si las matrices aumentadas de los sistemas son equivalentes por filas.

TEOREMA 6TEOREMA 6

Sean A ∈ Km×n y b ∈ Km, dado el sistema de ecuaciones lineales

Ax = b,


5


se dice que

• el sistema es inconsistente si no tiene solución;

• el sistema es consistente si tiene solución.


Ax = b,

se tiene una y solo una de las siguientes

• el sistema es inconsistente;

• el sistema es consistente y tiene una única solución; o

• el sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.

TEOREMA 7TEOREMA 7


Ax = b,

se tiene que

• el sistema es consistente si y solo si rang(A) = rang(A|b);

• en caso de que el sistema sea consistente, la solución es única si y solo

si rang(A) = n.

TEOREMA 8: Teorema de Rouché–FrobeniusTEOREMA 8: Teorema de Rouché–Frobenius

2.2 Sistemas homogéneos

Sea A ∈ Km×n al sistema

Ax = 0

se lo denomina sistema de ecuaciones lineales homogéneo.

DEFINICIÓN 11: Sistema homogéneoDEFINICIÓN 11: Sistema homogéneo

6


Sea A ∈ Km×n, dado el sistema homogéneo

Ax = 0,

entonces

• a x = 0 se la llama la solución trivial del sistema;

• a x 6= 0 tal que Ax = 0 se la llama una solución no trivial.


Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas siempre tiene una

solución no trivial si m < n, es decir, si el número de incógnitas es mayor que

el número de ecuaciones.

TEOREMA 9TEOREMA 9

7




1. INVERSA DE UNA MATRIZ

Sea A ∈ Kn×n es no singular o invertible si existe una matriz B ∈ Kn×n tal

que

AB = BA = In

la matriz B se denomina inversa de A y se la denota por A−1. Si no existe tal

matriz, entonces se dice que A es singular o no invertible.


PROPOSICIÓN 1. Si una matriz tiene inversa, la inversa es única.

Sea A ∈ Kn×n.

• Si A es una matriz no singular, entonces A−1 es no singular y

(A−1)−1 = A.

• Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular y

(AB)−1 = B−1 A−1.

• Si A es una matriz no singular, entonces

(A⊺)−1 = (A−1)⊺

.

TEOREMA 2TEOREMA 2

Sean p ∈ N∗ y A1, A2, . . . , Ap ∈ Kn×n matrices no singulares. Se tiene que

A1 A2 · · · Ap es no singular y

(A1 A2 · · · Ap)−1 = A−1

p A−1p−1 · · · A−1

1 .

TEOREMA 3TEOREMA 3

1


Sean A, B ∈ Kn×n. Se tiene que si AB = In, entonces BA = In.

TEOREMA 4TEOREMA 4

Sea A ∈ Kn×n, se tiene que A es no singular si y solo si es equivalente por

filas a In. Es más

(A|In) ∼ (In|A−1).

TEOREMA 5TEOREMA 5

Sea A ∈ Kn×n, el sistema homogéneo

Ax = 0

tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.

TEOREMA 6TEOREMA 6

Sea A ∈ Kn×n. Se tiene que A es no singular si y solo si el sistema lineal

Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈ Kn.

TEOREMA 7TEOREMA 7

PROPOSICIÓN 8. Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalen-

tes:

1. A es no singular;

2. el sistema Ax = 0 solamente tiene la solución trivial;

3. A es equivalente por filas a In; y

4. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈

Kn.

2. FACTORIZACIÓN LU

Sea A ∈ Kn×n. Suponga que A puede escribirse como el producto de una

matriz triangular inferior L, un una matriz triangular superior U, es decir,

A = LU

2


entonces se dice que A tiene una factorización LU.

La factorización LU de una matriz A puede usarse de manera eficiente para

resolver un sistema lineal Ax = b, tomando Ux = z y Lz = b.

3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS

En general, en el caso de circuitos eléctricos que constan de baterías, resisten-

cias, cables y que tienen n diferentes asignaciones de corriente, las leyes de voltaje

y corriente de Kirchoff siempre conducen a n ecuaciones lineales que tienen una

sola solución.

3




1. CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov o proceso de Markov es aquel en el que la probabi-

lidad de que el sistema esté en un estado particular en un período de obser-

vación dado, depende solamente de su estado en el período de observación

inmediatamente anterior.


Supongamos que el sistema de estudio tiene n estados posibles. Se llama pro-

babilidad de transición, notada tij es la probabilidad que el sistema se en-

cuentre en el estado j y en el siguiente período esté en el estado i, con i, j ∈ I.

Se representa con T ∈ Km×n a la matriz tal que T = (tij) a la matriz de

transición de la cadena de Markov.


Al ser una probabilidad se cumple que:

0 ≤ tij ≤ 1 yn

∑i=1

tij = 1

para todo i, j ∈ I.

Podemos utilizar la matriz de transición del proceso de Markov para determi-

nar la probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquiera de los n estados

en el futuro.

El vector de estado del proceso de Markov en el período de observación k,

notado por x(k), es el vector:

p(k)1

p(k)2...

p(k)n

para todo k ≥ 0, donde pkj es la probabilidad que el sistema se encuentre en

el estado j en el período de observación k.


1


Al vector x(0), se lo llama vector de estado inicial que indica el estado del

sistema en el período 0.

Si T es una matriz de transición de un proceso de Markov, el vector de esta-

do x(k+1), en el (k + 1)-ésimo período de observación, puede determinarse a

partir del vector de estado x(k) en el k-ésimo período de observación, como:

x(k+1) = Tx(k).

TEOREMA 1TEOREMA 1

El vector

u1

u2

...

un

es un vector de probabilidad si

1. ui ≥ 0 para todo i ∈ I y

2. u1 + u2 + · · ·+ un = 1.


Una matriz de transición T de un proceso de Markov es regular si todas las

entradas de alguna potencia de T son positivas. Un proceso de Markov es

regular si su matriz de transición es regular.


Si T es la matriz de transición de un proceso de Markov regular, entonces:

1. A medida que n → ∞, Tn tiende a una matriz

A =

u1 u1 · · · u1

u2 u2 · · · u2

......

. . ....

un un · · · un

tal que todas sus columnas son idénticas.

TEOREMA 2TEOREMA 2

2


2. Toda columna

u =

u1

u2

...

un

de A es un vector de probabilidad tal que todos sus componentes son

positivos.

Si T es una matriz de transición regular y A y u son como en el teorema

anterior, entonces:

1. Para cualquier vector de probabilidad x,

Tnx → u

conforme n → ∞, de modo que u es un vector de estado estacionario.

2. El vector de estado estacionario u es el único vector de probabilidad

que satisface la ecuación matricial Tu = u.

TEOREMA 3TEOREMA 3

2. MÍNIMOS CUADRADOS

En R2, dados n puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), se plantea encontrar la

ecuación de la recta que minimice la suma de los cuadrados de las distan-

cias verticales de los puntos a la recta, es decir, se busca la pendiente m y el

intercepto b de una recta que minimice la función definida por

L(m, b) =n

∑k=1

(yk − mxk − b)2.

A la recta de pendiente m e intercepto b que minimizan la función anterior se

la llama recta de mínimos cuadrados.

DEFINICIÓN 6: Problema de la recta de mínimos cuadradosDEFINICIÓN 6: Problema de la recta de mínimos cuadrados

3


PROPOSICIÓN 4. Dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), definimos

y =

y1

y2

...

yn

, A =

1 x1

1 x2

......

1 xn

y u =

(

b

m

)

.

Se tiene que el problema de la recta de mínimos cuadrados es equivalente a

resolver el sistema

A⊺Au = A⊺y.

PROPOSICIÓN 5. Sea A ∈ Rm×n tal que rang(A) = n, entonces, A⊺A es no

singular.

En R2, dados n puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), se plantea encontrar

la ecuación de la parábola que minimice la suma de los cuadrados de las

distancias verticales de los puntos a la parábola, es decir, se busca a, b, c ∈ R

tales que minimicen la función definida por

L(a, b, c) =n

∑k=1

(yk − ax2k − bxk − c)2.

A la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R minimizan la

función anterior se la llama parábola de mínimos cuadrados.

DEFINICIÓN 7: Problema de la parábola de mínimos cuadradosDEFINICIÓN 7: Problema de la parábola de mínimos cuadrados

PROPOSICIÓN 6. Dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), definimos

y =

y1

y2

...

yn

, A =

1 x1 x21

1 x2 x22

......

1 xn x2n

y u =

(

b

m

)

.

Se tiene que el problema de la parábola de mínimos cuadrados es equivalente

a resolver el sistema

A⊺Au = A⊺y.

4


ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 06DETERMINANTES


1. DETERMINANTES

En esta sección tomaremos n ∈ N, con n > 0, e I = {1, 2, . . . , n}.

Sean A ∈ Kn×n e i, j ∈ I. A la matriz de K(n−1)×(n−1) que se obtiene eliminar

la fila i y la columna j de A se la llama el menor ij de A, denotado por Aij.

DEFINICIÓN 1: MenorDEFINICIÓN 1: Menor

En la literatura se puede encontrar la notación de Mij para el menor de ij de

A.

Sean A ∈ Kn×n y k ∈ I. A la matriz de Kk×k que se obtiene eliminar las

n − k últimas filas y columnas de A, se la llama el menor principal k de A,

denotado por Mk.

DEFINICIÓN 2: Menor principalDEFINICIÓN 2: Menor principal

En la literatura se puede encontrar la notación de Ak para el menor principal

k de A.

Sea A ∈ Kn×n se define el determinante de A, denotado por det(A) (o por

|A|), de manera inductiva, como sigue:

• Si n = 1 y A = (a11), entonces det(A) = a11.

• Si n > 1, entonces

det(A) =n

∑k=1

a1k(−1)1+k det(A1k)

= a11 det(A11)− a12 det(A12) + . . . + (−1)1+na1n det(A1n).

DEFINICIÓN 3: DeterminantesDEFINICIÓN 3: Determinantes

Ejemplos:

1


• Sea A una matriz de orden 2 × 2 de la forma

A =

(

a11 a12

a21 a22

)

,

se tiene que

A11 = (a22) y A12 = (a21),

por lo tanto

det(A11) = a11 y det(A12) = a12,

de esta forma,

det(A) = a11 det(A11)− a12 det(A12) = a11a22 − a12a21,

es decir,

det(A) =

∣∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣= a11a22 − a12a21.

• Sea A una matriz de orden 3 × 3 de la forma

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

el determinante de la matriz A está dado por:

det(A) = a11

∣∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣

a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣

a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣

.

Sean A ∈ Kn×n e i, j ∈ I. El cofactor ij de A, denotado Cij, está dado por

Cij = (−1)i+j det(Aij)

donde Aij es el menor ij de A.

DEFINICIÓN 4: CofactoresDEFINICIÓN 4: Cofactores

En la literatura, también se suele llamar menor al determinante de Aij en

lugar de a la matriz, como lo haremos en este texto. Además, al cofactor, se

lo suele denotar por Aij.

2


Sea A ∈ Kn×n. Se tiene que para todo i ∈ I,

det(A) =n

∑k=1

aikCik = ai1Ci1 + ai2Ci2 + . . . + ainCin

y

det(A) =n

∑k=1

akiCki = a1iC1i + a2iC2i + . . . + aniCni.

El lado derecho de las igualdades toma el nombre de expansión por cofacto-

res del determinante de A.

TEOREMA 1TEOREMA 1

PROPOSICIÓN 2. Sea A ∈ Kn×n. Si una fila o columna de A contiene solo

ceros, entonces det(A) = 0.

Sea A ∈ Kn×n una matriz triangular superior o triangular inferior, entonces

det(A) = a11a22 · · · ann,

es decir, el determinante de una matriz triangular es el producto de los ele-

mentos de su diagonal principal.

TEOREMA 3TEOREMA 3

PROPOSICIÓN 4. Sea E ∈ Kn×n una matriz elemental, i, j ∈ I y α ∈ K, con

α 6= 0. Se tiene que

• si la operación es Fi ↔ Fj, entonces det(E) = −1;

• si la operación es αFi → Fi, entonces det(E) = α; y

• si la operación es αFi + Fj → Fj, entonces det(E) = 1.

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

PROPOSICIÓN 5. Sea A ∈ Kn×n. El determinante de una matriz A y de su

3


transpuesta son iguales, es decir,

det(A⊺) = det(A).

Sean A, B ∈ Kn×n, se tiene que:

det(AB) = det(A)det(B).

TEOREMA 6TEOREMA 6

PROPOSICIÓN 7. Sean A, B ∈ Kn×n. Si la matriz B se obtiene intercambiando

dos filas o columnas de A entonces

det(B) = −det(A).

PROPOSICIÓN 8. Sea A ∈ Kn×n. Si dos filas o columnas de A son iguales,

entonces

det(A) = 0

PROPOSICIÓN 9. Sean A, B ∈ Kn×n. Si B se obtiene al multiplicar una fila o

columna de A por un escalar α ∈ K, entonces

det(B) = α det(A).

PROPOSICIÓN 10. Sean A ∈ Kn×n y α ∈ K. Se tiene que

det(αA) = αn det(A).

PROPOSICIÓN 11. Sean A, B ∈ Kn×n, α ∈ K e i, j ∈ I, con i 6= j. Si B se

obtiene al aplicar una operación de fila αFi + Fj → Fj, entonces

det(B) = det(A).

4


Sea A ∈ Kn×n. Si A es no singular, entonces det(A) 6= 0 y

det(A−1) =1

det(A).

TEOREMA 12TEOREMA 12

PROPOSICIÓN 13. Sean A, B, C ∈ Kn×n y j ∈ I tales que A, B y C difieran

únicamente en la columna j. Si la columna j de C es el resultado de sumar las

columnas j de A y B, entonces

det(C) = det(A) + det(B).

3. INVERSA DE UNA MATRIZ

Sea A ∈ Kn×n. La matriz de cofactores de A, que se denota por cof(A), es la

matriz de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,

cof(A) = (Cij) =

C11 C12 · · · C1n

C21 C22 · · · C2n

......

. . ....

Cn1 Cn2 · · · Cnn

.

DEFINICIÓN 5: Matriz de cofactoresDEFINICIÓN 5: Matriz de cofactores

Sea A ∈ Kn×n. La matriz adjunta de A, que se denota por adj(A), es la matriz

de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,

adj(A) = cof(A)⊺.


Sea A ∈ Kn×n, entonces

A(adj(A)) = (adj(A))A = det(A)In.


5


COROLARIO 15. Sea A ∈ Kn×n. Si det(A) 6= 0, entonces A es invertible y

A−1 =1

det(A)adj(A).

PROPOSICIÓN 16. Sea A ∈ Kn×n. Una matriz A es no singular si y sólo si

det(A) 6= 0.

PROPOSICIÓN 17. Sea A ∈ Kn×n. El sistema homogéneo Ax = 0 tiene una

solución no trivial si y sólo si det(A) = 0.

PROPOSICIÓN 18. Sean A ∈ Kn×n y b ∈ Kn. El sistema Ax = b tiene una

solución única si y sólo si det(A) 6= 0 y su solución es

A−1b.

Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalentes:


2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial;

3. A es equivalente por filas a In;

4. rang(A) = n;


Kn; y

6. det(A) 6= 0.

TEOREMA 19: Equivalencias no singularesTEOREMA 19: Equivalencias no singulares

4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

6


Sean A ∈ Kn×n y b ∈ Kn. Consideremos el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2,...

......

...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn,

y denotemos por A a su matriz asociada y b a su vector de resultados. Si

det(A) 6= 0, el sistema tiene solución única y está dada por:

xj =det(Aj)

det(A),

para j ∈ I y donde Aj es la matriz que se obtiene reemplazando la j-ésima

columna de A por b.

TEOREMA 20: Regla de CramerTEOREMA 20: Regla de Cramer

7




1. EL ESPACIO Rn

En esta sección, consideramos n ∈ N con n ≥ 1.

El conjunto Rn es

Rn = R × R × · · · × R

︸︷︷︸

n veces

,

es decir

Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R para todo i = 1, 2, . . . , n}.

DEFINICIÓN 1: El conjunto RnDEFINICIÓN 1: El conjunto Rn

Recordemos que, por notación, si y ∈ Rn, se asumirá y = (y1, y2, . . . , yn).

Recordemos que podemos identificar cada elemento de Rn con una matriz

de Rn×1 de la siguiente manera: si

a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn,

entonces, visto como matriz es

a =

a1

a2

...

an

∈ Rn×1.

En Rn se cumplen las siguientes propiedades:

1. asociativa de la suma: para todo x, y, z ∈ Rn se tiene que

(x + y) + z = x + (y + z);

2. conmutativa de la suma: para todo x, y ∈ Rn se tiene que

x + y = y + x;

TEOREMA 1TEOREMA 1

1


3. elemento neutro de la suma: existe un elemento de Rn, denotado por

0, tal que para todo x ∈ Rn se tiene que

x + 0 = 0 + x = x;

4. inverso de la suma: para todo x ∈ Rn, existe un elemento de Rn, deno-

tado por −x, tal que

x + (−x) = 0;

5. distributiva del producto I: para todo x, y ∈ Rn y todo α ∈ R se tiene

que

α(x + y) = αx + αy

6. distributiva del producto II: para todo x ∈ Rn y todo α, beta ∈ R se

tiene que

(α + β)x = αx + βx;

7. asociativa del producto: para todo x ∈ Rn y todo α, beta ∈ R se tiene

que

(αβ)x = α(βx);

8. elemento neutro del producto: para todo x ∈ Rn se tiene que

1x = x.

En Rn, el conjunto {e1, e2, . . . , en} ⊆ Rn, definidos por

eij =

0 si i 6= j,

1 si i = j,

para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, se lo denomina base canónica de Rn.

DEFINICIÓN 2: Base canónicaDEFINICIÓN 2: Base canónica

Sea x ∈ Rn, se tiene que existen únicos

α1, α2, . . . , αn ∈ R

TEOREMA 2TEOREMA 2

2


tales que

x = α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen.

La función· : Rn × Rn −→ R

(x, y) 7−→n

∑i=1

xiyi

se denomina producto punto de Rn o producto interno de Rn.

DEFINICIÓN 3: Producto puntoDEFINICIÓN 3: Producto punto

Sean x, y, z ∈ R y α ∈ R, se tiene que

• x · x ≥ 0;

• x · x = 0 si y solo si x = 0;

• x · y = y · z;

• (x + y) · z = (x · z) + (y · z); y

• (αx) · y = x · (αy) = α(x · y).

TEOREMA 3: Propiedades del producto puntoTEOREMA 3: Propiedades del producto punto

La función‖ · ‖ : Rn −→ R

x 7−→√

x · x

se la llama la norma de Rn. Para x ∈ Rn a ‖x‖ se le llama norma, módulo o

longitud de x.

DEFINICIÓN 4: NormaDEFINICIÓN 4: Norma

Para todo x, y ∈ Rn,

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖.

TEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-SchwarzTEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sean x, y ∈ R y α ∈ R, se tiene que

• ‖x‖ ≥ 0;

TEOREMA 5: Propiedades de la normaTEOREMA 5: Propiedades de la norma

3


• ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0;

• ‖αx‖ = |α|‖x‖; y

• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

Dados x, y ∈ Rn, se define la distancia entre x y y por ‖x − y‖.

Dado x ∈ Rn, se dice que x es un vector unitario si ‖x‖ = 1.

DEFINICIÓN 5: Vector unitarioDEFINICIÓN 5: Vector unitario

Si x ∈ Rnr {0}, entonces al vector

u =1

‖x‖x

se le llama vector unitario en dirección de x.


Sean x, y ∈ Rn, ambos diferentes de 0, se define el ángulo entre estos vectores

por

θ = arc cos

(x · y

‖x‖ ‖y‖

)

.

DEFINICIÓN 7: Ángulo entre vectoresDEFINICIÓN 7: Ángulo entre vectores

Sean x, y ∈ Rn, se dice que

• son ortogonales si x · y = 0;

• son paralelos si |x · y| = ‖x‖ ‖y‖; y

• tienen la misma dirección si x · y = ‖x‖ ‖y‖.


PROPOSICIÓN 6. Sean x, y ∈ Rn tal que y 6= 0. Si x y y son paralelos, entonces

existe α ∈ R tal que x = αy.

4


Sean x, y ∈ Rn, con y 6= 0, la proyección ortogonal de x sobre y es

proyy(x) =x · y

‖y‖2y

y la componente normal de x respecto a y es

normy(x) = x − proyy(x).

DEFINICIÓN 9: Proyección ortogonalDEFINICIÓN 9: Proyección ortogonal

2. PRODUCTO CRUZ

Dados x, y ∈ R3, se define el producto cruz de x y y por

x × y = (x2y3 − x3y2,−(x1y3 − x3y1), x1y2 − x2y1).


En R3, notaremos

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).

Así,

i × j = k, j × k = i y k × i = j.

Sean x, y, z ∈ Rn y α ∈ R, se tiene que

• x × y = −y × x;

• x × (y + z) = x × y + x × z;

• (x + y)× z = x × z + y × z;

• α(x × y) = (αx)× y = x × (αy);

• x × x = 0;

• 0 × x = x × 0 = 0;

• x × (y × z) = (x · z)y − (x · y)z; y

TEOREMA 7: Propiedades del producto cruzTEOREMA 7: Propiedades del producto cruz

5


• (x × y)× z = (z · x)y − (z · y)x.

PROPOSICIÓN 8. Sean x, y ∈ Rn. Si llamamos θ al ángulo entre los vectores

x y y, tenemos que

‖x × y‖ = ‖x‖ ‖y‖ sen(θ).

PROPOSICIÓN 9. Dados x, y, z ∈ R3, se tiene que:

• El volumen del paralelepípedo formado por x, y, z es |x · (y × z)|.

• El área del paralelogramo determinado por x, y es ‖x × y‖.

6




1. GEOMETRÍA DE Rn

En esta sección, a menos que se indique lo contrario, asumiremos n ∈ N con

n ≥ 2.

Dados a, b ∈ Rn, con b 6= 0, la recta que pasa por a con dirección b es el

conjunto

L(a; b) = {a + tb : t ∈ R}.

DEFINICIÓN 1: Recta de RnDEFINICIÓN 1: Recta de Rn

Ejemplo. En R2, tenemos la recta que pasa por (1,−2) con dirección (3, 2) es

L((1,−2); (3, 2)) = {(1,−2) + t(3, 2) : t ∈ R}

= {(1 + 3t,−2 + 2t) : t ∈ R}

= {(x, y) ∈ R2 : x = 1 + 3t, y = −2 + 2t, t ∈ R}

= {(x, y) ∈ R2 : 2x − 3y = 4}

Con esto, tenemos que la recta está definida por

x = 1 + 3t,

y = −2 + 2t,

con t ∈ R; a esta se la llama la ecuación paramétrica de la recta. Por otro lado,

también tenemos que la recta está definida por

2x − 3y = 4

con (x, y) ∈ R2; a esta se la llama la ecuación cartesiana de la recta.

Dados a, b, c ∈ Rn, con b y c no paralelos y diferentes de 0, el plano que pasa

por a con dirección b y c es el conjunto

P(a; b, c) = {a + ub + vc : u, v ∈ R}.

DEFINICIÓN 2: Plano de RnDEFINICIÓN 2: Plano de Rn

1


Ejemplo. En R3, tenemos la recta que pasa por (1,−2,−1) con direcciones (3, 2, 1)

y (1, 0, 2) es

L((1,−2,−1); (3, 2, 1), (1, 0, 2))

= {(1,−2,−1) + u(3, 2, 1) + v(1, 0, 2) : u, v ∈ R}

= {(1 + 3u + v,−2 + 2u,−1 + u + 2v) : u, v ∈ R}

= {(x, y, z) ∈ R3 : x = 1 + 3u + v, y = −2 + 2u, z = −1 + u + 2v, u, v ∈ R}

= {(x, y, z) ∈ R2 : 4x − 5y − 2z = 8}

Con esto, tenemos que la recta está definida por

x = 1 + 3u + v,

y = −2 + 2u,

z = −1 + u + 2v

con u, v ∈ R; a esta se la llama la ecuación paramétrica del plano. Por otro lado,

también tenemos que la recta está definida por

4x − 5y − 2z = 8

con (x, y, z) ∈ R3; a esta se la llama la ecuación cartesiana de la recta.

Podemos pasar de la ecuación paramétrica a la ecuación cartesiana si, al ver-

las como un sistema de ecuaciones en sus parámetros, analizamos cuándo

el sistema es consistente.

Además, podemos pasar de la ecuación cartesiana a la ecuación paramétrica

si, al verla como un sistema de ecuaciones, resolvemos el sistema.

PROPOSICIÓN 1. Dada una recta o un plano H, se tiene que si 0 ∈ H, enton-

ces para todo x, y ∈ H y todo λ ∈ R se tiene que

λx ∈ H y x + y ∈ H.

PROPOSICIÓN 2. Dados dos puntos a, b ∈ Rn distintos, existe una única recta

que pasa por a y b y esta es

L(a; b − a).

2


En R2, dados dos puntos (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, la ecuación cartesiana de la

recta que pasa por estos dos puntos es

∣∣∣∣∣∣∣

x y 1

x1 y1 1

x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

para (x, y) ∈ R2.

PROPOSICIÓN 3. Dados tres puntos a, b, c ∈ Rn que no pertenecen a la mis-

ma recta, existe un único plano que pasa por a, b y c y este es

P(a; b − a, c − a).

En R3, dados tres puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) ∈ R3, la ecua-

ción cartesiana del plano que pasa por estos tres puntos es

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

para (x, y, z) ∈ R3.

En Rn, dadas una recta o plano H y r ∈ Rn, se dice que r es ortogonal a H si

para todo a, b ∈ H se cumple que r · (b − a) = 0.


PROPOSICIÓN 4. En R3, dados los vectores a, r ∈ Rn, existe un único plano

H, que pasa por a, tal que r es ortogonal a H. Además,

H = {x ∈ Rn : r · x = r · a}.

PROPOSICIÓN 5. En R3, dado el plano P(a; b, c), un vector normal a este es

b × c.

3


2. ESPACIOS VECTORIALES

Dados un campo K, un conjunto no vacío E y dos operaciones

⊕ : E × E −→ E

(x, y) 7−→ x ⊕ y,y

⊙ : K × E −→ E

(α, x) 7−→ α ⊙ x

llamadas suma y producto, respectivamente; se dice que (E,⊕,⊙, K) es un

espacio vectorial si cumplen las siguientes propiedades

1. asociativa de la suma: para todo x, y, z ∈ E se tiene que

(x ⊕ y)⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);

2. conmutativa de la suma: para todo x, y ∈ E se tiene que

x ⊕ y = y ⊕ x;

3. elemento neutro de la suma: existe un elemento de E, denotado por 0E

o simplemente 0, tal que para todo x ∈ E se tiene que

x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x;

4. inverso de la suma: para todo x ∈ E, existe un elemento de E, denotado

por −x, tal que

x ⊕ (−x) = 0;

5. distributiva del producto I: para todo x, y ∈ E y todo α ∈ K se tiene

que

α ⊙ (x ⊕ y) = α ⊙ x + α ⊙ y

6. distributiva del producto II: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene

que

(α + β)⊙ x = α ⊙ x ⊕ β ⊙ x;

7. asociativa del producto: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene que

(αβ)⊙ x = α ⊙ (β ⊙ x);

DEFINICIÓN 4: Espacio VectorialDEFINICIÓN 4: Espacio Vectorial

4


8. elemento neutro del producto: para todo x ∈ E se tiene que

1 ⊙ x = x,

donde 1 ∈ K es el elemento neutro multiplicativo de K

Utilizamos los símbolos ⊕ y ⊙ para enfatizar el hecho de que, en general, las

operaciones definidas no son la suma y el producto estándar que utilizamos.

Si no existe riesgo de confusión, utilizaremos la notación

x ⊕ y = x + y y α ⊙ x = αx

y diremos que el espacio vectorial es (E,+, ·, K), es más, en caso de que no

exista ambigüedad en las operaciones utilizadas se dirá simplemente que E

es un espacio vectorial.

PROPOSICIÓN 6. Los siguientes conjuntos son espacios vectoriales en el cam-

po R:

• Rn, con n ∈ N∗;

• Rm×n, con m, n ∈ N∗;

• F (I) = { f : I → R : f es una función}, con I ⊆ R.

• C(I) = { f : I → R : f es continua en I}, con I ⊆ R.

• Ck(I) = { f : I → R : f es k veces derivable en I y f k ∈ Ck(I)}, con

I ⊆ R.

• Rn[x] el conjunto de todos los polinomio de grado menor igual que n

en la variable x, con n ∈ N;

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial, se tiene que para todo u ∈ E y todo

α ∈ K, se tiene que

1. 0u = 0;

2. α0 = 0;

3. si αu = 0 entonces α = 0 o u = 0;

TEOREMA 7TEOREMA 7

5


4. (−1)u = −u.

3. SUBESPACIOS

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W ⊆ E un conjunto no vacío de E. Si W

es un espacio vectorial con respecto a las operaciones de E, entonces se dice

que W es un subespacio de E.

DEFINICIÓN 5: Subespacio VectorialDEFINICIÓN 5: Subespacio Vectorial

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de E. En-

tonces W es un subespacio de E si y sólo si se cumplen las siguientes condi-

ciones:

• si u, v ∈ W, entonces u + v ∈ W; u

• si α ∈ K y u ∈ W, entonces αu ∈ W.

TEOREMA 8TEOREMA 8

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y v1, v2, . . . , vk ∈ E. Se dice que

un vector v ∈ E es una combinación lineal de v1, v2, . . . , vk si

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk

para algunos α1, α2, . . . , αk ∈ K.

DEFINICIÓN 6: Combinación linealDEFINICIÓN 6: Combinación lineal

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Al conjunto

conjunto de todos los vectores en E que son combinaciones lineales de los

vectores de S se lo llama cápsula de S y se denota por span(S), es decir

span(S) = {α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk : α1, α2, . . . , αk ∈ K}.


A este conjunto también se lo conoce como clausura lineal y su notación viene

de su nombre en inglés, linear span. También se utiliza la notación 〈S〉.

6


Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que span(S) es un

subespacio vectorial de E.

TEOREMA 9TEOREMA 9

7




1. CONJUNTO GENERADOR

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Al subespacio vectorial más

pequeño que contiene a S (es decir, la intersección de todos los subespacios

que contienen a S) se lo denomina espacio generado por S y se denota por

gen(S).


PROPOSICIÓN 1. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que

span(S) = gen(S).

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Se dice que

S genera el espacio vectorial E si cada vector en E es una combinación lineal

de los elementos de S, es decir, si para todo v ∈ E, existen α1, α2, . . . , αk ∈ K

tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk.


PROPOSICIÓN 2. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆

E. Se tiene que S genera el espacio vectorial E si y solo si

E = gen(S) = span(S).

2. INDEPENDENCIA LINEAL

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Se dice que

S es un conjunto linealmente dependiente si existen α1, α2, . . . , αk ∈ K, no


1


todos iguales a cero, tales que:

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk = 0

en caso contrario, se dice que S es un conjunto linealmente independiente.

De esta definición, se tiene que {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente

si y solo si

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk = 0

implica que

α1 = α2 = · · · = αk = 0.

Se puede extender esta definición para conjuntos infinitos diciendo que S

es linealmente independiente si todo subcojunto finito de S es linealmente

independiente.

PROPOSICIÓN 3. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Si 0 ∈ S,

entonces S es linealmente dependientes.

PROPOSICIÓN 4. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆

E. Se tiene que S es un conjunto linealmente dependiente si y sólo si alguno

de los vectores vj ∈ S es una combinación lineal de otros elementos de S.

2




1. BASES

PROPOSICIÓN 1. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E. Se dice que

B es una base de E si

• B genera a E y

• B es linealmente independiente.

En Rn, el conjunto {e1, e2, . . . , en} ⊆ Rn, definidos por

eij =

0 si i 6= j,

1 si i = j,

para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, es una base de Rn.

TEOREMA 2: Base canónica de RnTEOREMA 2: Base canónica de Rn

En Rn[x], el conjunto {1, x, . . . , xn−1, xn} es una base de Rn[x]. A esta base se

la denomina la base canónica de Rn[x].

TEOREMA 3: Base canónica de Rn[x]TEOREMA 3: Base canónica de Rn[x]

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Se tiene que

todo elemento de E se puede escribir, de manera única, como combinación

lineal de elementos de B.

TEOREMA 4TEOREMA 4

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E. Se tiene que si todo elemento

de E se puede escribir, de manera única, como combinación lineal de elemen-

tos de B, entonces B es una base de E.

TEOREMA 5TEOREMA 5

1


PROPOSICIÓN 6. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E un conjunto

que genera a E. Se tiene que algún subconjunto de S es base de E.

Todo espacio vectorial tiene una base.

TEOREMA 7TEOREMA 7

2. DIMENSIÓN

PROPOSICIÓN 8. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de

E. Si S ⊆ E es un conjunto linealmente independiente, entonces

|S| ≤ |B|.

PROPOSICIÓN 9. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de

E. Si S ⊆ E es un conjunto que genera a E, entonces

|B| ≤ |S|.

PROPOSICIÓN 10. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B, T ⊆ E bases de

E. Se tiene que

|B| = |T|.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Se define la

dimensión de E, denotado por dim(E), por la cantidad de elementos de B.

DEFINICIÓN 1: DimensiónDEFINICIÓN 1: Dimensión

PROPOSICIÓN 11. Se tiene que

• dim(Rn) = n, con n ∈ N∗;

• dim(Rm×n) = mn, con m, n ∈ N∗;

• dim(Rn[x]) = n + 1, con n ∈ N;

2


• dim({0}) = 0.

PROPOSICIÓN 12. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E un conjunto

linealmente independiente. Se tiene que existe una base B de E que contiene

a S.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, B ⊆ E y n ∈ N∗ tal que dim(E) = n y

|B| = n. Se tiene que

• si B es linealmente independiente, entonces B es una base de E.

• si B genera a E, entonces B es una base de E.


3. RANGO DE UNA MATRIZ

Consideraremos n, m ∈ N∗.

Sean A ∈ Km×n, v1, . . . , vm las filas de A y u1, . . . , un las columnas de A. Al

espacio

span({v1, . . . , vm}) ⊆ Rn

se lo llama espacio filas de A y al espacio

span({u1, . . . , un}) ⊆ Rm

se lo llama espacio columnas de A.

DEFINICIÓN 2: Espacio filas y espacio columnasDEFINICIÓN 2: Espacio filas y espacio columnas

PROPOSICIÓN 14. Sean A, B ∈ Km×n. Si A y B son equivalentes por filas,

entonces los espacios filas de A y B son iguales.

PROPOSICIÓN 15. Sea A ∈ Km×n. Se tiene que las dimensiones de los espa-

cios filas y columnas de A son iguales, es más, estas dimensiones son iguales

a rang(A).

3


4. COMPONENTES Y CAMBIO DE BASE

En esta sección, asumiremos n ∈ N∗.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Si numeramos

los vectores de B, obteniendo

B = {v1, v2, . . . , vn},

se la llama una base ordenada.

DEFINICIÓN 3: Base ordenadaDEFINICIÓN 3: Base ordenada

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y

B = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E

una base ordenada. Para u ∈ E, se define el vector de componentes de u por

[u]B =

α1

α2

...

αn

donde α1, α2, . . . , αn ∈ K son tales que

u = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.

DEFINICIÓN 4: Vector de componentesDEFINICIÓN 4: Vector de componentes

En la literatura, también se puede encontrar la definición anterior bajo el

nombre de vector de coordenadas.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial tal que dim(E) = n y S, T ⊆ E bases

ordenadas de E. Se llama matriz de cambio de base T a S a la única matriz de

Kn×n, denotada por PS←T , que cumple que

[v]S = PS←T [v]T

para todo v ∈ E.

DEFINICIÓN 5: Matriz de cambio de baseDEFINICIÓN 5: Matriz de cambio de base

4


En la literatura, también se puede encontrar la definición anterior bajo el

nombre de matriz de transición.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial tal que dim(E) = n, S, T ⊆ E bases

ordenadas de E y PS←T la matriz de cambio de base T a S. Se tiene que PS←T

es no singular y

(PS←T)−1 = PT←S.


5




Sea A ∈ Km×n. El espacio nulo de A, que notaremos por nul(A), se define

como

nul(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}

y la nulidad es la dimensión del espacio nulo.

DEFINICIÓN 1: Espacio nulo y nulidadDEFINICIÓN 1: Espacio nulo y nulidad

Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalentes:


2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial;

3. A es equivalente por filas a In;


Kn;

5. det(A) 6= 0;

6. las filas de A forman un conjunto linealmente de vectores;

7. las columnas de A forman un conjunto linealmente;

8. rang(A) = n; y

9. la nulidad de A es 0.

TEOREMA 1: Equivalencias no singularesTEOREMA 1: Equivalencias no singulares

1. SUMA DE ESPACIOS

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E, entonces la suma de W1

DEFINICIÓN 2: SumaDEFINICIÓN 2: Suma

1


y W2 se define como:

W1 + W2 = {w1 + w2 ∈ E : w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2}.

EJEMPLO 1. Sea

U = {(x, 0, 0) ∈ R3 : x ∈ R} y W = {(0, y, 0) ∈ R

3 : y ∈ R}

entonces

U + W = {u + v ∈ R3 : u ∈ U y v ∈ V}

= {u + v ∈ R3 : u = (x, 0, 0) y v = (0, y, 0), con x, y ∈ R}

= {(x, 0, 0) + (0, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R}

= {(x, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R}.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, . . . , Wm ⊆ E, entonces la suma de

W1, . . . , Wm se define como:

W1 + · · ·+ Wm = {w1 + · · ·+ wm ∈ E : w1 ∈ W1, . . . , wm ∈ Wm}

DEFINICIÓN 3: Suma generalizadaDEFINICIÓN 3: Suma generalizada

PROPOSICIÓN 2. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos

subespacios vectoriales de E, entonces W1 + W2 es un subespacio vectorial

de E.

PROPOSICIÓN 3. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos

subespacios vectoriales de E. Si tomemos B1 y B2 bases de W1 y W2, respecti-

vamente, se tiene que

W1 + W2 = span(B1 ∪ B2).

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos subespacios vectoria-

les de E de dimensión finita. Se tiene que

dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩ W2).

TEOREMA 4TEOREMA 4

2


Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y V, W1, W2 ⊆ E subespacios vectoriales

de E, se dice que V es la suma directa de W1 y W2 si

V = W1 + W2

y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de

elementos de W1 y W2. Esto se lo denota por

V = W1 ⊕ W2.

DEFINICIÓN 4: Suma directaDEFINICIÓN 4: Suma directa

EJEMPLO 2. Sea

U = {(x, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R} y W = {(0, 0, z) ∈ R

3 : z ∈ R}

entonces se tiene que

R3 = U ⊕ W.

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y V, W1, . . . , Wm ⊆ E subespacios vec-

toriales de E, se dice que V es la suma directa de W1, . . . , Wm si

V = W1 + · · ·+ Wm

y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de

elementos de W1, . . . , Wm. Esto se lo denota por

V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wm.

DEFINICIÓN 5: Suma directa generalizadaDEFINICIÓN 5: Suma directa generalizada

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, V, W1, W2 ⊆ E subespacios vectoriales

de E, se tiene que

E = W1 ⊕ W2

si y sólo si

E = W1 + W2 y W1 ∩ W2 = {0}.

TEOREMA 5TEOREMA 5

3


Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo S subes-

pacio vectorial de E, existe un subespacio vectorial T de E tal que

E = S ⊕ T.

Se dice que T es el subespacio complementario de S en E.

TEOREMA 6TEOREMA 6

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita y S, T ⊆ E subespa-

cios vectoriales de E. Se tiene que si E es la suma directa de S y T, entonces

E

dim(E) = dim(S) + dim(T).

TEOREMA 7TEOREMA 7

4




1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial. Un producto interno sobre E es una fun-

ción〈·, ·〉 : E × E −→ K

(u, v) 7−→ 〈u, v〉

tales que cumple:

1. 〈v, v〉 ≥ 0 para todo v ∈ E;

2. 〈v, v〉 = 0 si y solo si v = 0;

3. 〈u + v, w〉 = 〈u, w〉+ 〈v, w〉 para todo u, v, w ∈ E;

4. 〈αv, w〉 = α〈v, w〉 para todo v, w ∈ E y α ∈ K.

5. 〈v, w〉 = 〈w, v〉 para todo v, w ∈ E.

DEFINICIÓN 1: Producto internoDEFINICIÓN 1: Producto interno

Otra notación para el producto interno es

〈u, v〉 = (u|v).

En caso de tratarse de un espacio vectorial sobre el campo de los números

reales, la propiedad 5 se transforma en

5. 〈v, w〉 = 〈w, v〉 para todo v, w ∈ E.

Se puede demostrar utilizando la propiedad 4 que

• si v = 0, entonces 〈v, v〉 = 0;

por lo cual, podríamos cambiar la propiedad 2 por

2. si 〈v, v〉 = 0, entonces v = 0

1


Si se define un producto interno sobre un espacio vectorial E, a este se lo de-

nomina espacio con producto interno o pre-Hilbertiano.

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno 〈·, ·〉, enton-

ces:

1. Para todo u, v, w ∈ E

〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u, w〉.

2. Para todo u, v ∈ E y α ∈ K

〈u, αv〉 = α〈u, v〉.

3. Para todo u ∈ E

〈u, 0〉 = 〈0, u〉 = 0.

TEOREMA 1TEOREMA 1

En caso de tratarse de un espacio vectorial sobre el campo de los números

reales, la propiedad 2 se transforma en

2. Para todo u, v ∈ E y α ∈ K

〈u, αv〉 = α〈u, v〉

1.1 Productos internos usuales

1. En (Rn,+, ·, R), para x, y ∈ Rn:

〈x, y〉 =n

∑k=1

xkyk.

2. En (Cn,+, ·, C), para x, y ∈ Cn:

〈x, y〉 =n

∑k=1

xkyk.

3. En (Rn[x],+, ·, R), para p(x), q(x) ∈ Rn[x], si

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn y q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn

2


entonces

〈p(x), q(x)〉 =n

∑k=0

akbk.

4. En (Kn×n,+, ·, R), para A, B ∈ Kn×n:

〈A, B〉 = tr(AB⊺).

5. En (C([a, b]),+, ·, R), para f , g ∈ C([a, b]):

〈 f , g〉 =∫ b

af (x)g(x)dx.

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y suponga

que u, v ∈ E. Entonces:

1. u y v don ortogonales si 〈u, v〉 = 0.

2. La norma de u, denotada por ‖u‖, está dada por

‖u‖ =√

〈u, u〉


Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. La distan-

cia en el espacio se define por

d : E × E −→ R

(u, v) 7−→ ‖u − v‖.


Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para u, v ∈

E, se dice que son ortogonales si

〈u, v〉 = 0.

TEOREMA 2: Vectores ortogonalesTEOREMA 2: Vectores ortogonales

3


Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Si u, v son

vectores ortogonales de E, entonces

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.

TEOREMA 3: Teorema de pitágorasTEOREMA 3: Teorema de pitágoras

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para todo

u, v ∈ E se cumple que

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖.

TEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-SchwartzTEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para todo

u, v ∈ E se cumple que

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

TEOREMA 5: Desigualdad triangularTEOREMA 5: Desigualdad triangular

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y

C = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E.

Se dice que C es un conjunto ortogonal en E si

〈vi, vj〉 = 0

para todo i 6= j.

DEFINICIÓN 4: Conjunto ortogonalDEFINICIÓN 4: Conjunto ortogonal

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y

C = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E.

Se dice que C es un conjunto ortonormal en E si es ortogonal y

‖vk‖ = 1

para todo k ∈ {1, . . . , n}.

DEFINICIÓN 5: Conjunto ortonormalDEFINICIÓN 5: Conjunto ortonormal

4


PROPOSICIÓN 6. Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto

interno. Si C ⊆ E es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces es

linealmente independiente.

A partir de aquí, siempre consideraremos espacios vectoriales provistos con

un producto interno.

2. BASES ORTOGONALES

En un espacio vectorial, una base ortogonal (ortonormal) es una base cuyos

vectores forman un conjunto ortogonal (ortonormal).

DEFINICIÓN 6: Base ortogonal (ortonormal)DEFINICIÓN 6: Base ortogonal (ortonormal)

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} una base ortogonal

para E. Se tiene que, para v ∈ E,

v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

donde

ck =〈v, uk〉

〈uk, uk〉

para todo k ∈ {1, 2, . . . , n}.

TEOREMA 7TEOREMA 7

Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} una base ortonormal

para E. Se tiene que, para v ∈ E,

v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

donde

ck = 〈v, uk〉

para todo k ∈ {1, 2, . . . , n}.

TEOREMA 8TEOREMA 8

5


Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} un conjunto lineal-

mente independiente de E. Definamos

1. v1 = u1 y

2. vk = uk −k−1

∑i=1

〈uk, vi〉

〈vi, vi〉vi, para k = 2, . . . , n.

Se tiene que el conjunto

{v1, v2, . . . , vn}

es un conjunto ortogonal. Además, si definimos

wk =vk

‖vk‖

para k = 1, . . . , n, se tiene que el conjunto

{w1, w2, . . . , wn}

es un conjunto ortonormal.

TEOREMA 9: Proceso de Gram-SchmidtTEOREMA 9: Proceso de Gram-Schmidt

Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base ortogonal y una

base ortonormal.


EJEMPLO 1. Considere la base S = {u1, u2, u3} de R3, donde

u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)

mediante el proceso de Gram-schmidt, se obtiene la base ortonormal T = {w1, w2, w2}

para R3 donde

w1 =

(1√

2,

1√

2, 0

)

, w2 =

(

−1√

6,

1√

6,

2√

6

)

, w3 =

(1√

3,−

1√

3,

1√

3

)

6


3. COMPLEMENTO ORTOGONAL

A partir de aquí, siempre consideraremos espacios vectoriales provistos con

un producto interno.

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y H ⊆ E. El complemento ortogonal de

H denotado por H⊥, está dado por:

H⊥ = {x ∈ E : 〈x, h〉 = 0, para todo h ∈ H}

DEFINICIÓN 7: Complemeto ortogonalDEFINICIÓN 7: Complemeto ortogonal

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y H subes-

pacio vectorial de H, entonces:

1. H⊥ es un subespacio vectorial de E.

2. H ∩ H⊥ = {0}

3. Si dim(E) = n, entonces dim(H⊥) = n − dim(H)


Sea A ∈ Km×n, entonces:

1. El espacio nulo de A es el complemento ortogonal del espacio fila de A.

2. El espacio nulo de A⊺ es el complemento ortogonal del espacio columna

de A.


Una matriz Q ∈ Kn×n, se llama ortonormal si Q es invertible y

Q−1 = Q⊺

DEFINICIÓN 8: Matrix ortonormalDEFINICIÓN 8: Matrix ortonormal

La matriz Q ∈ Kn×n es una matriz ortonormal si y sólo si las columnas de Q

forman una base ortonormal de Rn.


7




1. COMPLEMENTO ORTOGONAL

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio

vectorial de E, entonces

E = W ⊕ W⊥.

TEOREMA 1TEOREMA 1

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio

vectorial de E, entonces(

W⊥)⊥

= W.

TEOREMA 2TEOREMA 2

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y H un subespacio vectorial de E, con ba-

se ortogonal {u1, u2, . . . , un}. Para v ∈ E, la proyección ortogonal de v sobre

H, denotado por proyH v, se define por:

proyH(v) =〈v, u1〉

〈u1, u1〉u1 +

〈v, u2〉

〈u2, u2〉u2 + · · ·+

〈v, un〉

〈un, un〉un,

donde proyH(v) ∈ H.

DEFINICIÓN 1: Proyección ortogonalDEFINICIÓN 1: Proyección ortogonal

Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio

vectorial de E y v ∈ E. Se tiene que

v = proyH(v) + proyH⊥ (v).

TEOREMA 3: Teorema de la proyecciónTEOREMA 3: Teorema de la proyección

1


Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio vec-

torial de E y v ∈ E. Se tiene que el vector en H más cercano a v es proyH(v),

es decir,

‖v − w‖ es mínima cuando w = proyW(v).

TEOREMA 4TEOREMA 4

2. APLICACIONES LINEALES

Sean (E,+1, ·1, K) y (F,+2, ·2, K) espacios vectoriales. A una función T : E →

F se la llama una aplicación lineal (transformación lineal) si satisface que para

todo α ∈ K, y todo u, v ∈ E se cumple

1. T(u +1 v) = T(u) +2 T(v) y

2. T(α ·1 v) = α ·2 T(v).

DEFINICIÓN 2: Aplicación linealDEFINICIÓN 2: Aplicación lineal

En adelante, consideraremos (E,+1, ·1, K) y (F,+2, ·2, K) espacios vectoriales.

Notaremos por L(E, F) el espacio de las aplicaciones lineales de E en F.

En caso de que no exista riesgo de ambigüedad, dado T ∈ L(E, F), se deno-

tará

1. T(u + v) = T(u) + T(v) y

2. T(αv) = αT(v),

para α ∈ K y u, v ∈ E.

Sea T ∈ L(E, F). Para todo u, v, v1, v2, . . . , vn ∈ E y α1, α2, . . . , αn ∈ K

1. T(0E) = 0F;

2. T(u − v) = T(u)− T(v): y

3. T

(n

∑k=1

αkvk

)

=n

∑k=1

αkT (vk).

TEOREMA 5TEOREMA 5

2


2.1 Ejemplos de transformaciones lineales

1. Transformación nula,

T : F −→ F

v 7−→ 0.

2. Transformación identidad,

T : F −→ F

v 7−→ v.

3.T : R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→ (x, y).

4.T : R2 −→ R3

(x, y) 7−→ (x, y, 0).

5.T : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x + y, y + z, x).

6.T : R2 −→ R2×2

(x, y) 7−→

(

x 0

0 y

)

.

7.T : R3 −→ R2[t]

(x, y, z) 7−→ x + (x − y)t + zt2.

8.D : C1([0, 1]) −→ C([0, 1])

f 7−→ D f .

9.I : C([0, 1]) −→ R

f 7−→∫ 1

0f (x) dx.

Toda transformación matricial es una aplicación lineal.

3


PROPOSICIÓN 6. Sea T ∈ L(E, F). Si {u1, u2, . . . , un} es una base de E, enton-

ces T está completamente determinada por

{T(u1), T(u2), . . . , T(un)}.

Es decir, si se conoce el valor de {T(u1), T(u2), . . . , T(un)}, entonces se conoce

T(u) para todo u ∈ E.

3. NÚCLEO E IMAGEN

Sea T ∈ L(E, F).

1. El núcleo de T, denotado por ker(T), está definida por:

ker(T) = {v ∈ E : T(v) = 0}.

2. La imagen de T, denotada por img(T), está definida por:

img(T) = {w ∈ F : w = T(v) para algún v ∈ E}.

DEFINICIÓN 3: Núcleo e imagen de una aplicación linealDEFINICIÓN 3: Núcleo e imagen de una aplicación lineal

PROPOSICIÓN 7. Sea T ∈ L(E, F), entonces

1. ker(T) es un subespacio vectorial de E.

2. img(T) es un subespacio vectorial de F.

PROPOSICIÓN 8. Sea T ∈ L(E, F). Se tiene que T es inyectiva si y solo si

ker(T) = {0}.

Sea T ∈ L(E, F).

1. Se llama nulidad de T a dim(ker(T)).

2. Se llama rango de T a dim(img(T)).

DEFINICIÓN 4: Nulidad y rango de una aplicación linealDEFINICIÓN 4: Nulidad y rango de una aplicación lineal

4


Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Se tiene que

dim(E) = dim(ker(T)) + dim(img(T)).

TEOREMA 9TEOREMA 9

PROPOSICIÓN 10. Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Si

dim(E) = dim(F), entonces se tiene que la siguientes son equivalentes

• T es inyectiva,

• T es sobreyectiva.

5




1. PROPIEDADES DE APLICACIONES LINEALES

Se tiene que L(E, F) es un espacio vectorial.

TEOREMA 1TEOREMA 1

PROPOSICIÓN 2. Sean T1, T2 ∈ L(E, F) y B = {v1, v2, . . . , vn} una base para

E. Si

T1(vi) = T2(vi)

para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces se tiene que T1(v) = T2(v), para todo

v ∈ E, es decir,

T1 = T2.

PROPOSICIÓN 3. Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base para E y w1, w2, . . . , wn ∈

F. Se tiene que existe una única transformación lineal T ∈ L(E, F) tal que

T(vi) = wi

para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Sea T ∈ L(E, F). Supongamos que dim(E) = n y dim(F) = m, se tiene que:

1. si n > m, entonces T no es inyectiva; y

2. si m > n, entonces T no es sobreyectiva.

TEOREMA 4TEOREMA 4

Sea T ∈ L(E, F). Se dice que T es un isomorfismo de E en F si T es biyectiva.

DEFINICIÓN 1: IsomorfismoDEFINICIÓN 1: Isomorfismo

1


Sean (E,+, ·, K) y (F,+, ·, K). Se dice que E y F son isomorfos si existe un

isomorfismo T de E en F, se lo denonta por E ∼= F.

DEFINICIÓN 2: Espacios isomorfosDEFINICIÓN 2: Espacios isomorfos

Sea T ∈ L(E, F) un isomorfismo, se tiene que

1. si {v1, v2, . . . , vn} genera a E, entonces

{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}

genera a F;

2. si {v1, v2, . . . , vn} son linealmente independientes en E, entonces

{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}

es linealmente independientes en F;

3. si {v1, v2, . . . , vn} es base de E, entonces

{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}

es base de F;

4. si E es de dimensión finita, entonces F es de dimensión finita y

dim(E) = dim(F).

TEOREMA 5TEOREMA 5

Sean (E,+, ·, R) y (F,+, ·, R) espacios de dimensión finita tales que dim(E) =

dim(F), entonces E ∼= F.

TEOREMA 6TEOREMA 6

2. MATRIZ ASOCIADA

Sean T ∈ L(E, F), tales que dim(E) = n y dim(F) = m, y B, D bases para E y

F, respectivamente. Se tiene que existe una única matriz de Km×n, denotada


2


por [T], tal que

[T(v)]D = [T][v]B

para todo v ∈ E. A esta matriz se la llama matriz asociada a la aplicación

lineal T.

PROPOSICIÓN 7. Sean T ∈ L(E, F) y

B = {v1, v2, . . . , vn} y D = {u1, u2, . . . , um}

bases para E y F, respectivamente. Se tiene que las columnas de la matriz [T]

son los vectores de coordenadas de T(vj) en la base D, para j ∈ {1, 2, . . . , n},

es decir

[T] =(

T(v1) T(v2) · · · T(vn).)

Se pueden ver ejemplos del procedimiento para encontrar una matriz asociada

a una aplicación lineal entre las páginas 522 y 527 del libro de Kolman.

PROPOSICIÓN 8. Sea T ∈ L(E, F). Se tiene que T es biyectiva si y solo si [T]

es invertible.

PROPOSICIÓN 9. Sean I ∈ L(E, E) la aplicación identidad y B, D dos bases

para E, considerando B para el conjunto de salida y D para el conjunto de

llegada. Se tiene que

[I] = PD←B.

3

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