Unidad:

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Capitulo y Tema:

I. Retroalimentación. Tema 1. Programación Lineal

Actividad (Número y nombre):

1.1 Resumen de concepto de Programación Lineal, Método Gráfico y Método Simplex

Módulo: IX

Nombre (s):

ILIANA ELIZABETH VARGAS AGUILAR

Profesor:

LUIS ANTONIO CHAMBA ERAS

Fecha en la cual el profesor

encarga la actividad:

Mi 13/Oct/2010

Fecha en la cual el profesor recibe la actividad:

Ma 19/Oct/2010

Bibliografía:

Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo García y Natalia Alguacil. Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia. (2002). URL:http://web.ebscohost.com/ehost/pdfviewer/pdflibrocompletoviewer?vid=2&hid=108&sid=71aea7df-faf2-489d-ba47-c9975f0e9848%40sessionmgr111. Método Gráfico de resolución de sistemas. URL:http://grafico.html . George B. Dantzig. Método Simplex. URL:http:// Teor%C3%ADa%20del%20M%C3%A9todo%20Simplex.htm .

INTRODUCCIÓN: La Programación Lineal es una potente técnica de modelado usada en el proceso de toma de

decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera etapa consiste en

identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las variables del

problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores

que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone determinar qué decisiones resultan admisibles;

esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del

problema en cuestión. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión

admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de

valores para las variables que determinan una decisión, un valor de coste/beneficio. El conjunto de

todos estos elementos define el problema de optimización. La programación lineal (PL), que trata

exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación

matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada. Se utiliza en campos

como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la

industria.

RESULTADOS: Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la

de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de

sistemas consiste, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, comprobar

si se cortan ambas rectas y, si es así, dónde. Se debe tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas

sólo pueden tener tres posiciones relativas: si se cortan en un punto, son paralelas o son

coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son

el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas

incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay

ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que

satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin

solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a

ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas),

luego éste será compatible indeterminado.

Así mismo, el modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos

con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.

Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método

gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método

gráfico en recursos.

También, como una técnica popular para dar soluciones numéricas al problema de la Programación

Lineal, tenemos el método Simplex un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la

solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha

solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar

sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los

lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el

número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor

máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de

desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las

mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen)

restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método

de las Dos Fases.

Ventajas del método Simplex

Es un método heurístico. Se basa en consideraciones geométricas y no requiere el uso de

derivadas de la función objetivo.

Es de gran eficacia incluso para ajustar gran número de parámetros.

Se puede usar con funciones objetivo muy sinuosas pues en las primeras iteraciones busca

el mínimo más ampliamente y evita caer en mínimos locales fácilmente.

Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.

Desventajas del método simplex

Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor número de iteraciones.