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El Siguiente es un cronograma tentativo de clases, llevado a 12 semanas consecutivas, cumpliendo con el programa de temas previsto :

MATEMTICA SUPERIOR : Temas Tericos de Examen

Unidad 1 : Introduccin a las seales y sistemas1. Funciones impulso unitario y escaln unitario en tiempo continuo. Definiciones. Representacin incremental. Propiedades del impulso y relacin matemtica entre ambas seales.Impulso Unitario (t). Tiempo ContinuoDefinicin

La Funcin Delta de Dirac, conocida tambin como Impulso Unitario o funcin Delta es una funcin infintamente angosta, infintamente alta y cuya integral tiene un valorunitario. (vale 0 cuano t 0 y tiende a cuando t se acerca a 0).

No es una funcin realmente, es lo que se conoce como una funcin generalizada o distribucin.

(t) = ; Aunque en t=0 es infinita, se representa al Impulso con su rea representativa.

En General si tenemos k. (t), un impulso escalado, el rea es igual a k, con k= cte.

Representacin incremental (t)(t) tiene rea unitaria para cualquier valor de y es 0 fuera del intervalo 0 < t < . A medida que (0, (t) se hace ms angosta y ms alta y en el lmite es igual a (t).

(t) =

= crecimiento infinitesimal. Area = Base x Altura = 1

Area = x = 1PropiedadesPropiedad de desplazamiento

x(t).(t) = x(0). (t)

x(t).(t-t0) = x(t0). (t- t0)

Escaln Unitario (t). Tiempo ContinuoDefinicinEs una funcin que vale 0 para t < 0 y 1 para t > 0. Ntese que es discontinua en el origen, sin embargo no necesita ser definida en este punto ya que no es necesario en teora de la seales.

(t) = ;;Representacin incremental (t).A medida que (0, (t) se asemeja ms a (t), y en el lmite se hacen iguales.

(t) = Relacin matemtica entre el Impulso y el Escaln UnitarioIMPORTANTE!!!El Escaln Unitario (t) es la integral de la funcin Impulso Unitario (t). (t) = El Impulso Unitario (t) es la derivada de la funcin Escaln Unitario (t). (t) =

La relacin (t) = , se puede escribir de forma diferente cambiando la variable de

integracin por = t - . Despejando, = t - y d = -d

(t) = =

Otra forma equivalente,

(t) = = 2. Funciones exponenciales de exponente imaginario puro en tiempo continuo. Periodicidad y frecuencias. Definicin y caractersticas de las funciones exponenciales complejas armnicas. Funciones Exponenciales. Tiempo Continuo. La seal exponencial compleja tiene la forma

, donde son generalmente, nmeros complejos. Dependiendo de stos valores, pueden presentarse distintas situaciones:1) Exponencial Real

. Dependiendo del valor de pude darse que:

>0 =0 0 r = 0

r < 0

3) Forma Imaginaria Pura , donde = r + j.w0 y C = 1. Como la parte Real r es 0, = j.w0 . Entonces puede escribirse como

Periodicidad y Frecuencia. Una seal es perodica, con perodo T si:

Una propiedad importante de la funcin es que se trata de una seal peridica, con lo cual podemos deducir que:

Segn la forma de Euler para los nmeros complejos, podemos reescribir , por lo tanto

Si w0 = 0, entonces es peridica para cualquier valor de T. Por otro lado, la Frecuencia Fundamental de una seal constante es igual a 0 (velocidad de oscilacin igual a 0). Si w0 0, entonces w0.T = 2.K.; con K = 0, 1, 2, 3, ... y el perodo queda determinado por

Si k = 1, tenemos el Perodo y la Frecuencia Fundamental.Perodo Fundamental

Frecuencia Fundamental

Se observa que ambas son inversamente proporcionales, si aumenta el Perodo disminuye la Frecuencia y viceversa.Funciones Exponenciales Complejas ArmnicasDefinicin Seales Exponenciales Complejas relacionadas de forma Armnica, son un conjunto de Exponenciales peridicas todas mltiplo de una Frecuencia Fundamental positiva w0 tal que:

, con k = 0, 1, 2, 3,

CaractersticasSi k = 0, entonces es una constante.Si k 0, entonces es peridica, con Perodo Fundamental o lo que es lo mismo, con Frecuencia Fundamental .Como una seal peridica con perodo T es tambin peridica con m.T, para cualquier entero positivo m, entonces todas las seales tienen un perodo comn

3. Funciones exponenciales de exponente complejo.Visto pg. 3.

4. Propiedades de los sistemas: memoria, invertibles, Causalidad, Estabilidad, Linealidad, Invariabilidad en el tiempo. Memoria

Un Sistema tiene Memoria, si su salida en cada instante de tiempo depende slo de valores pasados o futuros. Ej. y(t) = x(t 1).Un Sistema no tiene Memoria, si su salida en cada instante de tiempo depende slo del valor de entrada en ese instante de tiempo. Ej. y(t) = x(t) (Sistema Identidad).Invertibilidad Un Sistema es Invertible, si al observar su salida puede recuperarse su entrada. Ej. y(t) = 2.x(t), por lo tanto su inverso

Causalidad Un Sistema es Causal, si su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de valores pasados o presentes, es no-anticipativo. Ej. y(t) = x(t) + x(t-1)Estabiliad

Un Sistema es estable, si para toda entrada acotada produce una salida acotada y por lo tanto no diverge. |x(t)| Mx < ( |y(t)| My < , para todo t. Linealidad

Un Sistema es Lineal, si satisface el principio de Superposicin o Aditividad, o sea, si una entrada consiste en una suma de varias seales, entonces la salida es la superposicin de las seales o suma de las respuestas del Sistema a cada una de las seales de entrada.

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

Invarianza en el Tiempo

Un Sistema es Invariante en el Tiempo, si un desplazamiento en la seal de entrada provoca un desplazamiento en la seal de salida.

x(t) y(t)

x(t - t0) y(t - t0)Unidad 2 : Introduccin a las seales y sistemas5. Escudriamiento del impulso en tiempo discreto. Respuesta de un Sistema LTI. Suma de convolucin: Concepto e interpretacin grfica de la definicin (no como en el prctico con reflexin y desplazamiento). Los Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (SLIT), poseen la propiedad de superposicin, con lo cual podemos representar la entrada en trminos de seales bsicas, en especial el Impulso Unitario. Escudriamiento del impulso en Tiempo Discreto

Es una combinacin Lineal de Impulsos Unitarios desplazados en el tiempo. Por ejemplo si tenemos una seal

x[n]

Podemos escribirla como

x[n] = + + + x[1] = 1.(n-1) + x[2] = 3.(n-2) + x[3] = 2.(n-3) + x[4] = 1.(n-4)

Generalizando

Respuesta de un Sistema LTI. La salida de un Sistema ante la entrada de un Impulso Unitario, es la respuesta a ese Impulso.

[n] h[n]

Por lo tanto, podemos escribir la salida y[n] como:

Suma de convolucinConcepto Si conocemos la respuesta de un Sistema Lineal para un conjunto de muestras unitarias desplazadas en el tiempo, podemos construir la respuesta a una determinada entrada a travs de la superposicin.Entonces, la respuesta a un Sistema Lineal en un instante de tiempo, es slo la superposicin de las respuestas a cada uno de los valores de entrada.

Si adems el Sistema es Invariante en el tiempo, podemos decir que hk[n] = h[n-k]

[n] h[n]

[n-k] h[n-k] = hk[n]

De esta manera, la salida

Se conoce como Suma de Convolucin.Por lo tanto, un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo queda por completo caracterizado por su respuesta al Impulso.

De forma simblica la Suma de Convolucin se representa como:

Interpretacin grfica Como interpretacin podemos observar que la respuesta a una entrada x[k] en el instante k es x[k].h[n-k], la cual es una versin desplazada y escalada de h[n]. La respuesta real es la superposicin de todas estas respuestas. Para cualquier instante fijo n, la salia y[n] consiste de la suma de todos los valores x[k].h[n-k]. Si y ,

Entonces para n 0

6. Convolucin en tiempo continuo: aproximacin incremental, integral de convolucin.Convolucin en Tiempo ContinuoAproximacin incremental

Toda seal se puede expresar en forma de un lmite como una Combinacin Lineal de Impulsos desplazados como:

Donde, (t) =

= Altura = BaseGrficamente

. . . . . .Entonces,

Aplicando el Lmite para cuando 0,

Con lo cul, la sumatoria (de las reas) pasa a ser una Integral,

Integral de convolucin

Si definimos como la respuesta a la entrada (t k.), podemos determinar la salida y(t) a travs de la superposicin.

Cuando 0, la sumatoria pasa a ser una Integral

Adems, al ser Lineal e Invariante en el Tiempo, podemos escribir

(t) h(t)

(t - ) h(t - ) =

De esta manera la salida

Se conoce como Integral de Convolucin.

7. Condiciones en la respuesta al impulso de un sistema LTI (h(t) o h(n)), para cumplir las propiedades de: no poseer memoria, ser invertible, ser causal, ser estable.

Condiciones en la respuesta al impulso de un sistema LTI para que el sistema sea:Sin MemoriaLa salida en cualquier instante de tiempo depende slo del valor de la entrada en ese instante.

Para , esta condicin es posible si para t 0 y en este caso, la

respuesta al Impulso es de la forma , donde k=h(0) y por lo tanto la salida es:

Si k = 1, el Sistema llega a ser el Sistema Identidad, con entrada igual a la salida y respuesta igual al Impulso Unitario.

Invertible

Si existe un sistema inverso conectado al sistema original, la salida es igual a la entrada original

x(t) y(t) z(t) = x(t) h(t) h-1(t) Por lo tanto h(t)* h-1(t) = (t) y(t) = x(t) * h(t)

z(t) = y(t) * h-1(t)

Causal

La salida en cualquier instante de tiempo depende slo de valores de entrada presente y anterioresPara que el Sistema sea Causal debe darse que la respuesta al Impulso cumpla la condicin:

h(t) = 0, para t < 0, con lo cul cualquier seal x(t) es Causal si:

x(t) = 0, para t < 0.y en este caso la Integral de Convolucin se convierte en

Estable

Si la entrada al Sistema es acotada, entonces su salida tambin debe ser acotadaSi |x(t)| < para todo t, entonces

, reemplazando

Unidad 3 : Fourier en tiempo continuo8. Seales bsicas exponenciales complejas, como funciones caractersticas de los Sistemas LTI. Serie de Fourier: Interpretacin, aplicacin a la respuesta de Sistemas LTI con excitacin peridica y deduccin de sus coeficientes. Condiciones de convergencia.Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo: Seales Bsicas Exponenciales Complejas

Si la entrada a un SLIT se expresa como una combinacin lineal de exponenciales complejas, la salida tambin se puede expresar de esta forma.La importancia de las exponenciales complejas proviene del hecho de que la respuesta a un SLIT ante una entrada exponencial compleja, es la misma exponencial compleja modificada slo en Amplitud.Donde el factor complejo de Amplitud H(s) ser una funcin de variable compleja s.

Una seal para la cul la salida es igual a la entrada multiplicada por una constante se conoce como Funcin Caracterstica y el factor de Amplitud es el Valor Caracterstico

Considerando un SLIT con entrada y respuesta al Impulso h(t),

Entonces, la salida queda determinada porDonde H(s) es la respuesta del Sistema a una exponencial compleja.

Por lo tanto cualquier funcin exponencial compleja es Funcin Caracterstica de un SLIT.Si tenemos una seal de entrada como combinacin lineal,

Entonces la respuesta para cada seal por separado es

. . . . . .

Por propiedad de superposicin, podemos escribir

, o sea

Por lo tanto si conocemos los valores caractersticos H(sk), la respuesta se puede construir de manera directa.Serie de FourierLa Serie de Fourier describe seales peridicas como una combinacin de seales armnicas.

Se pueden analizar entonces, seales peridicas en trmino de sus frecuencias o espectros.

InterpretacinComo vimos, una seal es peridica si para algn valor positivo T 0, x(t) = x(t T) para todo t. T0, es el mnimo valor positivo de T 0 para el cul se cumple la ecuacin anterior y .Si , tenemos un conjunto de exponenciales complejas relacionadas armnicamente,

, con k = 0, 1, 2, 3, Vemos que cada una de estas seales tiene una Frecuencia Fundamental mltiplo de w0 o Frecuencia del Armnico de orden k (k.w0) y por lo tanto, cada una es peridica con Perodo Fundamental T0. Entonces, una combinacin lineal de exponenciales complejas relacionadas armnicamente de la forma,

Es tambin peridica y se la conoce como la representacin en Serie de Fourier

Aplicacin a la respuesta de un SLIT con excitacin peridica.Del hecho de que cada exponencial compleja es una Funcin Caracterstica del Sistema, se deduce la salida como:

Donde los Valores Caractersticos son

Como vimos anteriormente, teniendo los Valores Caractersticos, podemos construir la respuesta al Sistema directamente.

De esta manera si es el conjunto de coeficientes de la Serie de Fourier para la entrada x(t),

entonces

es el conjunto de coeficientes para la salida y(t).La respuesta del Sistema a una seal peridica es tambin una seal peridica, con la misma frecuencia que la seal de entrada, pero diferentes magnitudes y fases.

Deduccin de los coeficientes de la Serie de Fourier. Teniendo la representacin en Serie de Fourier

, con k = 0, 1, 2, 3,

Multiplicando ambos miembros por

Integrando sobre un Perodo, por ejemplo desde 0 a

Teniendo en cuenta la Integral entre corchetes, pude darse que:

1) k n

Por la forma de Euler,

= 1 = 0

Por lo tanto , con lo cual no podemos determinar los valores 2) k = n

Por lo tanto podemos determinar los valores

En especial cada valor de la Sumatoria se puede obtener despejando:

Cada uno de estos coeficientes complejos, miden la potencia de la seal x(t) que est en cada armnica de la Componente Fundamental.Condiciones de convergencia.En algunos casos la Integral para obtener los coeficientes de la Serie de Fourier pude ser un valor , por lo tanto puede divergir.Para asegurar que esto no ocurra se deben cumplir ciertas condiciones (Condiciones de Dirichlet):

1) x(t) debe ser Absolutamente Integrable en un perodo.Debe darse que,

Con lo cual se garantiza que cada coeficiente ser finito ya que

Y en consecuencia

2) Existe un nmero finito de Mximos y Mnimos en un perodo.Esto es as, si consideramos que la variacin de x(t) en un perodo de tiempo esta Acotada.

Caso contrario, si tenemos una seal como:

; 0 < t < 1Vemos que cumple la primera condicin, pero tiene un nmero infinito de mximos y mnimos.3) El nmero de Discontinuidades dentro de un perodo es finito9. Transformada de Fourier: deduccin a partir de la serie de Fourier. Interpretacin grfica. Condiciones de convergencia.Transformada de FourierSe busca representar una seal No Perodica, la cul puede ser vista como el Lmite de una seal Peridica, cuando el perodo tiende a infinito.

Partiendo de una seal No Peridica x(t), se trata de construir una seal Peridica (t), donde x(t) es un perodo.

Teniendo en cuenta el Perodo Fundamental y tomando el lmite para T0( , con lo cul w0( 0,

entonces (t), para cualquier valor finito de t.Deduccin a partir de la serie de Fourier Representando (t) en Serie de Fourier,

(t) Tomando por conveniencia el intervalo T0/2 < t < T0/2 para la integral de los coeficientes,

Ya que x(t) = para el intervalo T0/2 < t < T0/2 y x(t) = 0 fuera de ese intervalo,

Definiendo la envolvente de como:

Obtenemos la Transformada de FourierLos coeficientes se pueden expresar de la forma:

Relacionando las ecuaciones y , podemos expresar en trminos de x(w),

(t)O, su equivalente en frecuencia (t)

Como w0( 0, k.w0( w y ( x(t), conforme T0( , la sumatoria pasa a ser una integral,

y se la conoce como Transformada Inversa o Antitransformada de FourierInterpretacin grfica

Cada trmino de la Sumatoria anterior pasa a ser un Area de Altura y Base w0.La Transformada x(w) de una seal No Peridica x(t) se refiere comnmente como el espectro de x(t), ya que proporciona informacin acerca de cmo x(t) est compuesta por seales senoidales de diferentes frecuencias.Condiciones de convergenciaMismas condiciones de la Serie de Fourier. pag. 12 y 1310. Obtencin de los coeficientes de la serie de Fourier, a partir de la transformada de Fourier de la seal en un perodo.Coeficientes de la Serie de Fourier a partir de su TransformadaLos coeficientes de una seal peridica (t) se pueden obtener de las muestras de una envolvente, que vimos era igual a la Transformada de Fourier de una seal No Peridica x(t), la cual es igual a un perodo de (t).

Considerando el Perodo Fundamental T0, si x(t) se toma como:

(t)x(t) = 0 Por ejemplo

Entonces, los coeficientes de (t) se pueden expresar en trminos de las muestras de la Transformada de Fourier x(w) de x(t).

Como los coeficientes se pueden obtener al integrar sobre cualquier intervalo de T0, podemos generalizar la ecuacin.

Sea s un punto cualquiera en el tiempo, y una seal x(t) = sobre el intervalo y 0 en cualquier otro lado,

(t)

x(t) = 0

Entonces, los coeficientes de la Serie de Fourier (t) estn dados por,

Donde x(w) es la Transformada de Fourier de x(t). La ecuacin anterior es vlida para cualquier seleccin de s y no slo para s = -T0/2. Sin embargo no implica que la Transformada x(w) sea la misma para todos los valores de s, pero s implica que el conjunto de muestras x(k.w0) es independiente de s.11. Transformada de Fourier en seales peridicas.Transformada de Fourier en seales peridicasLa Transformada de Fourier resultante para una seal peridica consiste de un tren de Impulsos en Frecuencia, siendo las reas de los Impulsos proporcionales a los coeficientes de la Serie de Fourier.

Considerando una seal x(t) con Transformada x(w), la cual es un Impulso de rea 2. en w=w0,

x(w) = 2..(w - w0)Para obtener x(t) podemos aplicar la relacin de la Transformada Inversa,Generalizando, si x(w) es una combinacin lineal de Impulsos igualmente espaciados en Frecuencia, o sea

Entonces

Por lo tanto la Transformada de Fourier de una seal peridica con coeficientes de la Serie de Fourier se puede interpretar como un tren de Impulsos que ocurren sobre las Frecuencias Armnicamente relacionadas y para las cules el rea del Impulso en la k-sima Frecuencia el armnico k.w0 es 2. veces el k-simo coeficiente de la Serie de Fourier.12. Propiedades de la Transformada:

Mencionar: Linealidad, Simetra en w, Dualidad.

Demostrar: Desplazamiento en el tiempo, Diferenciacin, Convolucin. Propiedades de la Transformada de Fourier

Linealidad

La Transformada de Fourier de una combinacin lineal de seales es la misma combinacin lineal de las Transformadas de las componentes individuales.

Si,

Entonces

Simetra en wSi x(t) es una funcin de tiempo Real, entonces

Donde denota el complejo conjugado y se refiere como Simetra Conjugada de la Transformada de Fourier. Se obtiene evaluando el complejo conjugado,

Como x(t) es Real entonces , con lo cual

Dualidad

La simetra vista anteriormente conduce a esta propiedad, por lo que decimos que existe una relacin entre los pares de Transformadas de Fourier.Especficamente, si hay caractersticas de una funcin del tiempo que tiene implicaciones con respecto a la Transformada de Fourier, entonces las mismas caractersticas asociadas con una funcin de frecuencia, tendrn implicaciones duales en el dominio del tiempo.

Considerando dos funciones relacionadas mediante la integral,Si u = w y v = tSi u = t y v = wO sea, si tenemos la funcin de tiempo , el par de Transformadas de Fourier es

y despus consideramos la funcin de tiempo , su par de Transformadas es

Esto es til para reducir la complejidad de los clculos de la Transformada y Transformada Inversa de Fourier.Desplazamiento en el Tiempo

El efecto de un Desplazamiento en el Tiempo de una seal es introducir un desplazamiento de fase en su Transformada, la cual es una funcin lineal de w.

Si , entonces

Demostracin

Considerando

Haciendo = t - t0 , t = + t0 , dt = d , tenemos

DiferenciacinEsta propiedad reemplaza la operacin de diferenciacin en el dominio del tiempo con la de multiplicacin por j.w en el dominio de la frecuencia.

Demostracin

Sea x(t) una seal con Transformada de Fourier x(w)

Diferenciando a ambos lados

Por lo tanto

En General,

Para el caso de la Integracin, la relacin es

ConvolucinEsta propiedad es consecuencia del hecho de que las exponenciales complejas son funciones propias de un SLIT y puede ser obtenida por la ecuacin de la Transformada de Fourier como una combinacin lineal de exponenciales complejas.

H(w), se refiere como la Respuesta en Frecuencia del sistema y es simplemente el cambio en amplitud compleja de una exponencial compleja de frecuencia w, conforme pasa a travs de un SLIT. Demostracin

Considerando un SLIT con entrada x(t), respuesta al Impulso h(t) y salida y(t) de manera,

Se desea conocer , que esReemplazando y(t)

Intercambiando el orden de Integracin

Por propiedad del desplazamiento, el trmino entre corchetes es

Por lo tanto,

13. Aplicacin de las propiedades en la bsqueda de la respuesta de Sistemas LTI en general (transformada de la convolucin), y de sistemas caracterizados por Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes (diferenciacin). Funcin de respuesta en frecuencia.

Aplicacin de las propiedades en la bsqueda de la respuesta de un SLIT

Propiedad de Modulacin. Transformada de la ConvolucinAs como la Convolucin en el dominio del Tiempo corresponde a la multiplicacin en el dominio de la Frecuencia y debido a la Dualidad entre los dominios de tiempo y frecuencia, la Propiedad de Modulacin nos dice que:La multiplicacin en el dominio del Tiempo corresponde a la Convolucin en el dominio de la Frecuencia, de forma que

La multiplicacin de una seal por otra, puede considerarse como el empleo de una seal para escalar o modular la amplitud de la otra. Diferenciacin. Funcin de respuesta en frecuenciaUna vez obtenida la respuesta en Frecuencia, se puede determinar la repuesta al Impulso usando la Transformada Inversa. La tcnica de expansin en fracciones parciales es muy til para determinar la respuesta al Impulso y por lo tanto para caracterizar y determinar la respuesta a un SLIT descrito por ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.Considerando un SLIT dado por,

Por propiedad de Convolucin tenemos que

O tambinDonde x(w), y(w) y H(w), son las Transformadas de Fourier para la entrada x(t), la salida y(t) y la respuesta al Impulso h(t) respectivamente.Si tomamos las Transformadas de Fourier en ambos miembros de la primer ecuacin,

Por propiedad de Linealidad,

Por propiedad de Diferenciacin,

O tambin

Por lo tanto,

Como se observa H(w) es un cociente de polinomios en (j.w), por lo que la respuesta para el SLIT puede escribirse directamente por inspeccin.Tambin es posible resolver la Ecuacin Diferencial, o sea, encontrar la respuesta y(t) para una entrada x(t), utilizando la expansin en fracciones parciales.Unidad 4 : Transformada de Laplace14. Transformada de Laplace: Definicin, relacin con la transformada de Fourier. Representacin en el plano S, diagrama de polos y ceros, La ROC y sus propiedades. Transformada Inversa.Transformada de Laplace

Definicin

Es una operacin que convierte a una funcin definida en el dominio del tiempo en una funcin de variable compleja.La Transformada de Laplace de una seal x(t) se define como

,Tambin se la conoce como Transformada de Laplace Bilateral. La variable compleja s es en general de la forma s = + jw, siendo la parte real y w la parte imaginaria

Relacin con la Transformada de Fourier Cuando s = jw, o sea = 0, la ecuacin puede escribirse como

que corresponde a la Transformada de Fourier de x(t)

Si s = + jw

que corresponde a la Transformada de Laplace Bilateral de x(t)La Transformada de Laplace de x(t) se puede interpretar como la Transformada de Fourier de x(t) despus de multiplicarla por una seal exponencial real, esto es

Representacin en el plano S

As como la Transformada de Fourier no converge para todas las seales, la Transformada de Laplace converge para algunos valores de y para otros no. En general el rango de valores para el cual la integral en la Transformada de Laplace converge se conoce como Regin de Convergencia (ROC).Condicin de convergencia

Fourier (

Laplace (

es el conjunto de valores de s de Laplace para los que converge

Una forma de representar la ROC es a travs de ejes de coordenadas. Sobre el eje horizontal se representan las coordenadas y sobre el eje vertical las coordenadas . Tambin son llamdos eje y eje jw respectivamente. La variable s es un nmero complejo, por lo que se presenta en el plano complejo.El eje Imaginario divide el plano s en dos semiplanos, el semiplano izquierdo donde estn los valores negativos de , y el semiplano derecho donde estn los valores positivos de .

Ejemplos:Diagrama de polos y ceros

Cuando la Transformada de Laplace es racional de la forma,

se puede especificar a travs de sus races (Ceros en el numerador y Polos en el denominador) y por lo tanto al marcarlas en el plano s se puede obtener una grfica que describa la Transformada.

Si el orden del polinomio del denominador es mayor que el orden del polinomio del numerador, entonces X(s) ( 0 conforme s ( . Inversamente si el orden del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, X(s) ser ilimitada.

Como vimos, si s = jw la Transformada de Laplace corresponde a la Transformada de Fourier. Sin embargo, si la ROC de la Transformada de Laplace no incluye el eje jw, es decir , entonces la Transformada de Fourier no converge.

La ROC y sus propiedades

Dos seales diferentes pueden tener la misma expresin X(s), por lo que se las puede distinguir nicamente a travs de la ROC.Propiedad 1: La ROC de X(s) consiste de lneas paralelas al eje jw en el plano s, es decir, la ROC depende slo de (parte Real)

Propiedad 2: Para Transformadas de Laplace racionales, la ROC no contiene ningn Polo

Los polos se ubican donde D(s) = 0, entonces , y por lo tanto la ROC no puede contener esos valores de s.Propiedad 3: Si x(t) es de duracin finita y hay al menos un valor de s para el cual la Transformada de Laplace converge, entonces la ROC es el plano s completo.

Propiedad 4: Si x(t) es derecha y la lnea est en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales tambin estarn en la ROC

Propiedad 5: Si x(t) es izquierda y la lnea est en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales tambin estarn en la ROC

Propiedad 6: Si x(t) es bilateral y la banda est en la ROC, entonces la ROC consistir de una banda en el plano s que incluye la banda

Transformada InversaComo vimos la Transformada de Laplace de una seal x(t) est dada por,

Esta relacin se puede invertir usando la Transformada Inversa de Laplace como,

Multiplicando ambos miembros por ,

Haciendo el cambio de variable de w a s y aplicando el hecho de que es constante, con lo cual ds = jdw, obtenemos

15. Propiedades de la Transformada:

Mencionar: Linealidad, Desplazamiento en s, diferenciacin en s.

Demostrar: Desplazamiento en el tiempo, Diferenciacin, Convolucin. (Se demuestran igual que Fourier).Propiedades de la Transformada

Linealidad

Si

Entonces

Si es vaca (X(s) no tiene ROC), no tiene Transformada de Laplace.Desplazamiento en s

Si

EntoncesLa ROC asociada con X(s s0) es la de X(s) desplazada por . Por lo tanto para cualquier valor de , el valor estara en . Diferenciacin en s

Tomando la Transformada de Laplace,Diferenciando ambos miembros Tenemos que

Desplazamiento en el tiempo

Si

Entonces Demostracin

Tomando la Transformada de Laplace para

Haciendo , . y reemplazando en la integral,

= X(s)

Por lo tanto,Diferenciacin en el tiempo

Si

Entonces DemostracinTomando la Transformada Inversa de Laplace,Diferenciando en ambos miembros

Por lo tanto es la Transformada Inversa de Laplace de s.X(s). La ROC de s.X(s) incluye la ROC de X(s) y puede ser ms grande si tiene un polo de primer orden en s = 0, cancelado por la multiplicacin por s.Convolucin

Si

EntoncesPor lo tanto la ROC de X1(s).X2(s) incluye la interseccin y puede ser ms grande si la cancelacin de polos y ceros ocurre en el producto.DemostracinSea Se desea conocer que esReemplazando y(t)

Intercambiando el orden de Integracin

Por propiedad del desplazamiento, el trmino entre corchetes es

Por lo tanto

16. Anlisis de sistemas LTI mediante transformada de Laplace. Causalidad, Estabilidad.Anlisis de sistemas LTI mediante transformada de Laplace

A travs de la propiedad de Convolucin se deduce que las Transformadas de Laplace de la entrada y salida de un SLIT estn relacionadas mediante la multiplicacin por la Transformada de Laplace de la respuesta al Impulso de la forma,

Donde Y(s), X(s) y H(s) son las Transformadas de Laplace de la salida, la entrada y la respuesta al Impulso, respectivamente. Si s = jw, cada una de las Transformadas de Laplace se reduce a las correspondientes Transformadas de Fourier.En contexto de Laplace H(s) se conoce como Funcin del Sistema o Funcin de Transferencia del Sistema y muchas de las propiedades se relacionan con la misma.Causalidad

Para un SLIT Causal, la respuesta al Impulso h(t) = 0 para t < 0 (en este caso est del lado derecho). Por lo tanto la ROC asociada con la Funcin de Transferencia de un Sistema Causal con una Funcin de Transferencia Racional, ser la regin del plano s situada a la derecha del polo que est ms hacia la dercha (polo con parte real ms positiva).Si el Sistema es Anticausal, h(t) = 0 para t > 0 (en este caso est del lado izquierdo), entonces la ROC ser la regin del plano s situada a la izquierda del polo que est ms hacia la izquierda (polo con parte real ms negativa).

Estabilidad

Como se vi, la Transformada de Fourier de la respuesta al Impulso de un Sistema Estable s existe, o sea, converge. Por lo tanto para un Sistema Estable la ROC de H(s) debe incluir el eje imaginario jw ().La relacin de la ROC con la Causalidad y la Estabilidad tambin conducen a la conclusin de que para un SLIT con Funcin de Transferencia Racional que sea tanto Causal como Estable, todos los polos deben caer en el semiplano s izquierdo (todos deben tener parte real negativa).17. Transformada Unilateral, aplicacin a la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes, con condiciones iniciales diferentes al reposo. (demostracin de la transformada de la derivada primera).Transformada Unilateral

Aplicacin a la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes, con condiciones iniciales diferentes al reposoLa Transformada de Laplace Unilateral de una seal x(t) se define como,Este tipo de Transformada sirve para Sistemas Causales, es decir que la ROC es derecha por lo tanto no tiene sentido trabajar con la parte negativa, la seal existe en el eje positivo. Notamos tambin que la Transformada Unilateral no incluye a t = 0, por lo que no incorpora ningn impulso o funcin singular de mayor orden.Demostracin de la transformada de la derivada primera

Una diferencia importante con la Transformada Bilateral es la propiedad diferenciacin.

Si

EntoncesResolviendo la integral anterior por partes

Por lo tanto

Con lo cul necesitamos una condicin inicial x(0) para resolver. Si la derivada es de orden n, se necesitarn n condiciones iniciales.Unidad 5 : Sistemas de Ecuaciones Lineales (Mtodos Numricos)

18. Mtodos directos: Mtodo de Gauss: Obtencin de las expresiones para aplicar el algoritmo de Gauss, tanto para el proceso de Triangularizacin, como de Sustitucin Inversa.Un Sistema de Ecuaciones Lineales, es un conjunto de ecuaciones donde las incgnitas estn elevadas a la potencia 1 y las ecuaciones son linealmente independientes entre s. Se pude escribir en forma matricial como,

Donde es una matriz con m filas y n columnas (matriz de los coeficientes), es el vectorde incgnitas con n elementos y es el vector de los trminos independientes con m elementos.Existen distintos tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales,1) Compatible: tienen solucin.

a) Determinado: la solucin es nica, para lo cual el Sistema debe ser cuadrado (m = n)

b) Indeterminado: tiene mltiples soluciones, en este caso m n2) Incompatible: no tienen solucin.3) Mal Condicionado: donde pequeas variaciones en los datos producen grandes variaciones en la solucin.

Para resolver los Sistemas existen dos tipos de mtodos:

Directos: permiten encontrar una solucin exacta en un nmero finito de operaciones. Se aplica una sola vez.

Indirectos o Iterativos: parten de una aproximacin inicial y por medio de un algoritmo, obtienen aproximaciones sucesivas y mejores en cada iteracin.Mtodos directos

Mtodo de Gauss

Tiene dos etapas:1) Triangulacin: mediante operaciones elementales de fila y columna transforma una matriz A, de coeficientes, en una matriz triangular superior (ceros debajo de la diagonal principal).2) Sustitucin Inversa: despejar las incgnitas de abajo hacia arriba.Suponiendo,

Para Triangular la matriz de coeficientes definimos los multiplicadores necesarios, con i = fila y k = n de modificacin de fila, para obtener

Y as sucesivamente hasta triangular la matriz

Por ltimo despejamos las incgnitas Xk de abajo hacia arriba. Se puede verificar el resultado a travs de Mtodo de Eliminacin de Gauss Jordan

Tiene dos etapas:

1) Diagonalizacin: convertir en ceros todos los elementos por encima y debajo de la iagonal ppal.

2) Resolucin Directa: Obtengo directamente el valor de cada incgnita.

Para este mtodo se aplican tcnicas de Pivoteo,

Pivoteo Parcial: intercambiar filas para ubicar el elemento mayor (de la columna) en el lugar del Pvot.

Pivoteo Total: intercambiar filas y columnas para ubicar el elemento mayor de la matriz en el lugar del Pvot. El intercambio de columnas implica un cambio en el orden de las incgnitas.

Si el elemento Pvot es 0 o cercano a 0, el error es muy grande, por lo que se busca que el Pvot sea el mayor de la columna a la que pertenece.Una fila que fue Pvot, no puede volver a serlo.19. Mtodo de los Mnimos Cuadrados. Aproximacin funcional de datos relacionados, por medio de una combinacin lineal de funciones apropiadas. Mtodo de los Mnimos Cuadrados Cuando realizamos cualquier medicin, estamos cometiendo errores de diferente ndole segn el instrumento utilizado y su magnitud de medicin. Para este mtodo contamos con un conjunto de valores, con errores de medicin, y se trata de encontrar una curva o funcin de aproximacin que represente este conjunto de valores. Conjunto de Valores

Funcin de Aproximacin: combinacin lineal de

= coeficientes de ajuste

= funciones linealmente independientes de cierto espacio de funciones

= nmero de incgnitas

El Error Total o Error Cuadrtico cometido entre los valores dados y la funcin que la aproxima puede ser calculado como la suma de las distancias de cada punto a la funcin, elevada al cuadrado. , n = n de datos Lo que busca este modelo es hacer mnima esta expresin y contar con una funcin generalizada con la cual se podrn determinar valores desconocidos.Aproximacin funcional de datos relacionados, por medio de una combinacin lineal de funciones apropiadasDada la Funcin de Aproximacin de la forma anteriorSe traduce en encontrar los m coeficientes Cj que minimicen el valor de S. En concreto, se desea encontrar una funcin que sea la mejor aproximacin de los valores dados, empleando el criterio del mnimo error cuadrtico.Para ello utilizando la expresin del Error Total,

Reemplazando

Si tenemos en cuenta que S es una funcin de C, los coeficientes Cj que minimizan el Error, pueden ser calculados derivando e igualando a 0, la expresin anterior.

Operando sobre los trminos,

Por lo tanto,

En forma matricial se puede expresar como , con simetrica

Donde,

Unidad 6 : Sistemas de Ecuaciones No Lineales (Mtodos Numricos)

20. Mtodo de Punto Fijo: Aislamiento de las races. Expresiones iterativas del mtodo de punto fijo. Interpretacin Grfica de los distintos tipos de convergencia o divergencia. Condicin de Convergencia.Un Sistema de Ecuaciones No Lineales, es un conjunto de ecuaciones donde las incgnitas estn elevadas a una potencia distinta de 1, o que incluye funciones trascendentales como seno, coseno, exponenciales, etc.

El objetivo de los mtodos utilizados consiste en aproximar a las races de las ecuaciones No lineales .

Mtodo de Punto Fijo

Consiste en reemplazar la funcin original , en otra expresin equivalente de la forma , tal que cualquier solucin de sta, lo sea tambin de la funcin original. La funcin se denomina Funcin de Iteracin.

Teniendo una condicin inicial y las condiciones de corte y/o definidas,

1) Se determina el intervalo donde se encuentra la raz (grfica y/o tabla)2) Se determina la siguiente aproximacin de x,

3) Se verifican las condiciones de corte, y/o . Si no se verifican continuo el proceso4) Se determina un nuevo intervalo y se repite el proceso desde 2)Siendo la condicin inicial una aproximacin inicial para la raz , la frmula de iteracin ser vlida si: a) para el punto de partida , podemos calcular sucesivamente b) La sucesin converge al mismo punto , que es la raz buscada

c) El lmite , es un Punto Fijo de , o sea, .Aislamiento de las races

Aislar las races consiste en establecer un intervalo lo ms pequeo posible, tal que en su interior se encuentre una sola raz. Para ello tendremos en cuenta el siguiente Teorema:Si una funcin continua asume valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo , es decir si , entonces el intervalo contendr al menos un punto , tal que

Una raz

Esta es una condicin suficiente pero no necesaria, ya que si la condicin se cumple existe al menos una raz, pero si no se cumple todava puede ser posible la existencia de alguna raz.

Dos racesPor otra parte, la raz ser definitivamente nica dentro del intervalo , si la derivada de existe y conserva su signo dentro del intervalo.El Aislamiento de Races se puede realizar en forma grfica o mediante tabla de valores.

Expresiones iterativas del mtodo de punto fijo

Las expresiones iterativas se puden obtener,1) Despejando la variable x = g(x) de la funcin f(x), por ejemplo

, puede ser representada como

2) Mediante el Mtodo de de la M (asegura convergencia),

, donde

Condicin de Convergencia

Dado el intervalo y una raz de que pertenece al intervalo, si se cumple la condicin,para todos los puntos del intervalo, y adems la aproximacin inicial escogida pertenece al intervalo, entonces la ecuacin converge a la raz .Demostracin:

Dada la frmula iterativa y un punto fijo , si realizamos la resta entre ellas,

Por el Teorema del Valor Medio, habr un punto entre y , tal queDespejando,

Dado que pertenece al intervalo y por hiptesis , entonces

Lo cual equivale decir que la nueva aproximacin est ms cerca de la raz que y en definitiva para la primera iteracin el mtodo converge. Por induccin, para cualquier iteracin k del mtodo se tiene que dado que y pertenecen al intervalo.

Definiendo el error de forma genrica como,

y

Y reemplazando en

Considerando la expresin , entonces

El error se va haciendo ms pequeo con cada iteracin y si el nmero de iteraciones tiende a

Con lo cual el mtodo converge cuando se verifica que Interpretacin Grfica de los distintos tipos de convergencia o divergencia Convergencia en Escalera

Divergencia en Escalera

Convergencia en Caracol

Divergencia en Caracol

21. Mtodo de Newton-Raphson. Aislamiento de races. Deduccin de la frmula iterativa del mtodo. Representacin Grfica. Condicin de convergencia. Demostracin del tipo de convergencia cuadrtica del mtodo.Mtodo de Newton-RaphsonAl igual que el mtodo de Punto fijo, Consiste en reemplazar la funcin original , en otra expresin equivalente de la forma , tal que cualquier solucin de sta, lo sea tambin de la funcin original. Aislamiento de racesIgual que el mtodo de Punto Fijo. pg. 32.Deduccin de la frmula iterativa del mtodoTeniendo una raz , o sea que , y una aproximacin de la raz, si aplicamos el desarrollo en Serie de Taylor de la funcin respecto de su aproximacin tenemos que:

Truncando la Serie en la derivada de primer orden y teniendo en cuenta que , entonces

Despejando x

Generalizando,

Que se conoce como Frmula Iterativa y es un caso particular del mtodo de Punto Fijo.

Representacin GrficaSegn la frmula general anterior, podemos ver que

, adems = tg()

Condicin de convergenciaDado el intervalo y una raz de que pertenece al intervalo, si se cumple la condicin,

para todos los puntos del intervalo, y adems la aproximacin inicial escogida pertenece al intervalo, entonces la ecuacin converge a la raz .

Recordando que,

entonces

Por lo tanto,

Demostracin del tipo de convergencia cuadrtica del mtodo

Dada la frmula iterativa y un punto fijo , si realizamos la resta entre ellas,

Por expansin en Serie de Taylor podemos escribir como,

entonces,

0

Por lo tanto

Tiene convergencia cuadrtica ya que el error en el siguiente paso ser proporcional al cuadrado del paso anterior. Tambin se dice que tiene Velocidad de Convergencia Cuadrtica.

Si es el Error Mximo, podemos expresarlo como

Unidad 7 : Mtodos Numricos en la Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con condiciones iniciales.

22. Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales:

1 Ecuacin diferencial ordinaria: A- Con condiciones iniciales.

B- con condiciones de contorno.

2- Ecuacin diferencial a derivadas parciales.Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales

1) Ecuacin diferencial ordinaria

Involucra una funcin de una sola variable independiente y sus derivadas. Puede verse como

. La solucin de la ecuacin ser una familia de curvas que sustituida dentro de la ecuacin la convierte en una igualdad en la que todos los trminos son conocidos.Primeramente trabajaremos con las ecuaciones diferenciales de primer orden, , para luego extender a ecuaciones de orden superior. La solucin se puede hallar Analticamente (), o Numericamente (conjunto de puntos).

A- Con condiciones iniciales.Se trata de encontrar una solucin tal que para ciertos valores , se satisface una condicin inicial . Para el caso se toma el extremo inferior del intervalo considerado.Sea la ecuacin diferencial de primer orden, con condicin inicial como sigue

Una funcin derivable en el intervalo , ser solucin del problema con valor inicial anterior, si cumple que:1) , y2)

Si el orden de la ecuacin diferencial es n, entonces se necesitarn n 1 condiciones iniciales.

B- Con condiciones de contorno.Se trata de encontrar una solucin que satisfaga ciertas condiciones en los extremos del intervalo considerado.

Sea la ecuacin diferencial de segundo orden, con condiciones de frontera como sigue

Tomando a como una funcin lineal, , si se cumple que:1) son funciones continuas en el intervalo , y

2) entonces,

Existe una solucin nica.

2) Ecuacin diferencial a derivadas parcialesInvolucra una funcin de una varias variables independientes y sus derivadas parciales. Puede verse como . La solucin de la ecuacin ser , donde u es una funcin de x e y, y f una funcin arbitraria de y.23. Mtodos Runge-Kutta: El mtodo de Euler. Demostracin de la frmula del mtodo a partir de su interpretacin grfica.Mtodos Runge-Kutta Tienen tres propiedades distintivas:

1)Son mtodos de un paso, para encontrar yn+1 necesitamos solamente la informacin del punto anterior (xn , yn).2)Coinciden con la Serie de Taylor hasta los trminos de orden hp, donde p es distinto para los diferentes mtodos y se denomina orden del mtodo.3)No requieren la evaluacin de ninguna derivada de f(x , y), sino nicamente de la funcin f.El mtodo de Euler

Su ecuacin corresponde a

y

La precisin del mtodo depende del valor que se le da a h. Adems es un mtodo de primer orden ya que coincide con los trminos en h de la Serie de Taylor. Demostracin

Suponiendo una solucin yn para el punto xn , podemos dibujar la pendiente que pasa por (xn , yn), un punto de la curva y(x) que es solucin exacta (pero desconocida). De sta manera, yn+1 es el punto donde xn+1 = xn + h intersecta a L1.Sabemos que la lacuacin de una recta puede ser descrita por

, con a como pendiente

Por lo tanto, L1 puede ser escrita como

Como y , tenemos que

La cul corresponde con el Mtodo de Euler. En este se utiliza solamente el valor de la pendiente en el punto (yn , xn) para calcular el valor de yn+1 y el Error cometido es relativamente grande.24. Mtodo de Euler Mejorado. Demostracin de la frmula del mtodo a partir de su interpretacin grfica.Mtodo de Euler Mejorado

Su ecuacin corresponde a

y

Como es la solucin para Euler, tambin podemos escribir

En este mtodo se promedian pendientes. Adems es un mtodo de segundo orden ya que coincide con los trminos en h2 de la Serie de Taylor.

Demostracin

Se trabaja con dos pendientes, la que pasa por el punto (xn , yn) y llamamos L1 y la que pasa por el punto (xn+h , yn+h. yn) y llamamos L2 . Esta ltima corresponde al punto (xn+1 , yn+1) en el mtodo de Euler. falta25. Mtodo Runge-Kutta 4 Orden. Demostracin de la frmula del mtodo a partir de su interpretacin grfica.

Mtodo Runge-Kutta 4 Orden

Demostracin; p/ t = 0

0; p/ t 0

EMBED Equation.DSMT4


0; p/ t < 0

1; p/ t > 0

EMBED Equation.DSMT4 ; p/ 0 < t <

0; p/ otro t


0; p/ t < 0


1; p/ t >
























S.L.

S.L.

S.L.

S

S

EMBED Visio.Drawing.11





S

x[k] = Altura (peso)

[n-k] = Impulsos desplazados

S

S

SLIT

EMBED Equation.DSMT4 ,

0 , p/ otro n



0; p/ otro t












x(k.) x( EMBED Equation.DSMT4 )

(t - k.) (t- EMBED Equation.DSMT4 )

d EMBED Equation.DSMT4



x(k.) x( EMBED Equation.DSMT4 )

EMBED Visio.Drawing.11 EMBED Equation.DSMT4

d EMBED Equation.DSMT4

S


S






SLIT

SLIT-1

z(t) = x(t) * h(t) * h-1(t) = x(t) * (t)


























































1

2

1

2





; -T0/2 < t < T0/2

; t < -T0/2 y t > T0/2










; s EMBED Equation.DSMT4 t EMBED Equation.DSMT4 s +T0

; t < s y t > s + T0





















































































Lateral Derecha

Lateral Izquierda





Superposicin de ambas - Interseccin






















































































































Partiendo de una aproximacin inicial, a medida que avanzamos en las iteraciones el error se hace ms pequeo EMBED Equation.DSMT4 , y nos acercamos ms al valor de la raz en forma de escalera. Por lo tanto converge, EMBED Equation.DSMT4 .

EMBED Equation.DSMT4 , o sea, EMBED Equation.DSMT4 tiene pendiente positiva.


Partiendo de una aproximacin inicial, a medida que avanzamos en las iteraciones el error se hace ms grande EMBED Equation.DSMT4 , y nos alejamos ms del valor de la raz en forma de escalera. Por lo tanto diverge, EMBED Equation.DSMT4 .

EMBED Equation.DSMT4 , o sea, EMBED Equation.DSMT4 tiene pendiente positiva.

Partiendo de una aproximacin inicial, a medida que avanzamos en las iteraciones el error se hace ms grande EMBED Equation.DSMT4 , y nos alejamos ms del valor de la raz en forma de espiral o caracol. Por lo tanto diverge, EMBED Equation.DSMT4 .

EMBED Equation.DSMT4 , o sea, EMBED Equation.DSMT4 tiene pendiente negativa.

Partiendo de una aproximacin inicial, a medida que avanzamos en las iteraciones el error se hace ms pequeo EMBED Equation.DSMT4 , y nos acercamos ms al valor de la raz en forma espiral o caracol. Por lo tanto converge, EMBED Equation.DSMT4 .

EMBED Equation.DSMT4 , o sea, EMBED Equation.DSMT4 tiene pendiente negativa.


















34

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_1417282142.unknown

_1421018453.unknown

_1421085495.vsdy

x

xn

yn

xn+1

h

yn+1

y(x)

Error En+1

L1 = tg = f(xn, yn)

_1421091633.unknown

_1421163741.vsdy

x

xn

yn

xn+1

h

yn+1

y(x)

L2 = tg = f(xn+1 , yn+1)

L1 = tg = f(xn , yn)

L =

L || L

(xn+1 , yn+1)

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_1421003818.vsdxk+1

xk

xk+2

f(xk)

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g(x)

x0

x1

x2

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_1416849801.vsdx0

x1

x2

x3

x4

x

g(x)

x5

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_1416846887.unknown

_1416848877.unknown

_1416849496.vsdx0

x1

x2

x3

x4

x

g(x)

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_1416534873.vsdb

y = f(x)

x

y

f(a)

f(b)

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_1416531377.vsdy

x

a

b

y = f(x)

f(a)

f(b)

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Re

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No incluye el eje jw - No existe la Transformada de Fourier

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Re

Plano s

Incluye el eje jw - Existe la Transformada de Fourier

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Re

-a

Plano s

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