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CONSTRUCCIÓN SOCIAL DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Lorena Jiménez Sandoval y Gustavo Martínez Sierra lorejim79@gmail.com, gmartinezsierra@gmail.com

Universidad Autónoma de Zacatecas-Programa de Matemática Educativa CICATA-IPN Seminario de Doctorado en su Modalidad de Avanzados

Aproximaciones Teóricas en Matemática Educativa Nivel: Superior

Resumen

En el presente documento se presenta la primera parte de los resultados de una investigación cuyo interés es caracterizar la Construcción Social de las Estructuras Algebraicas bajo la metodología de un análisis histórico que nos permita dar cuenta del contexto social y matemático así como de las circunstancias en las que se publican diversos artículos y libros que se escribieron entre 1870 y 1945 en torno a las estructuras algebraicas. Se construyó un sistema conceptual para caracterizar los elementos constitutivos de la construcción social de las estructuras algebraicas y bajo el cual se presentan los tres procesos que identificamos, las fases contextuales que los integran además de las acciones generatrices y los agentes de cada una de estas así como la caracterización de la fase contextual de formalización incipiente que corresponde al proceso de formalización del álgebra

Palabras Clave: Construcción social, práctica institucionalizadora, acción generatríz, agentes y fase contextual

Introducción

El conocimiento matemático que se encuentra propuesto en los planes y programas de estudio de los diferentes niveles educativos tiene su origen, en principio, en el conocimiento matemático desarrollado como saber sabio. Este saber generalmente sufre un proceso de transformación para convertirse en saber a enseñar que Ives Chevallard ha llamado transposición didáctica. Este proceso permite, entre otras cosas, la articulación del análisis epistemológico con el análisis didáctico del conocimiento, sin embargo el saber matemático que será transpuesto ha pasado ya por al menos tres procesos anteriores al de la transposición; ha sido validado por la comunidad académica que lo produjo, ha sido institucionalizado por esta misma comunidad o una mayor que la contine y ha sido legitimado como un saber didácticamente significativo.

La validación del conocimiento está ligada a quienes lo producen y se da en un colectivo de individuos que son integrantes de una comunidad del ambiente académico matemático. La legitimación como un saber didácticamente significativo en cambio, está más bien ligada a quienes, sin haber producido el conocimiento, lo habilitan para que éste sea empleado en el sistema didáctico, de cierto modo lo autorizan, distinguiéndolo y separándolo de su historia y de la comunidad que lo validó para ponerlo a disposición de quienes lo transponen (Chevallard, 1991).

Chevallard considera que la construcción social del conocimiento comienza una vez que éste es difundido, momento al que se llega luego de que dicho conocimiento ya ha pasado por un

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proceso de despersonalización de su productor y comienza a cumplir funciones totalmente diferentes; reproducción y representación del saber. En las ideas sociológicas de Berger (1969), podemos ubicar este momento en el que él llama externalización a través del cual el conocimiento se etiqueta como producto humano. Según este autor la externalización es el vuelco permanente del ser humano hacia el mundo, tanto de la actividad física como mental.

El conocimiento difundido, ya sea por medios orales y/o escritos se pone al alcance de otros individuos que forman parte de ciertas comunidades y para cada una de éstas comunidades éste conocimiento adquiere una representación diferente; para la comunidad académica, por ejemplo, éste conocimiento es un conocimiento susceptible, en principio, de ser cuestionado y posteriormente validado. Es la comunidad académica quien finalmente lo producirá como conocimiento científico, como producto de la actividad de los matemáticos. De acuerdo a Chevallard es la comunidad que lo transformara en objeto de saber.

De acuerdo con el modelo de Berger (1969) la construcción social del conocimiento está marcada por la externalización, momento mediante el cual los objetos materiales y los no materiales creados por el hombre alcanzan la realidad objetiva. Estos objetos materiales y simbólicos enriquecen la totalidad de los objetos existentes e imponen la lógica de su ser a los individuos que los emplean. La permanencia cultural de estos objetos (su valencia epistemológica, según Chevallard), dependerá de una comunidad específica y del uso que ésta les dé. (Berger, 1969).

Los objetos simbólicos y materiales entendidos como producto de la actividad física e intelectual del hombre adquieren significado para otros a través de la internalización, la cual Berger considera, propicia que el hombre se convierta en producto de la sociedad. Las acciones de los otros son también internalizadas por el hombre y van adquiriendo para él un carácter significativo convirtiéndose en un comportamiento típico que llega incluso a normar sus propias acciones. En la medida en la que se da esta internalización y en la medida de la intersubjetividad que adquieren los objetos y acciones en una comunidad de individuos es que se conforma un proceso de institucionalización del conocimiento, alcanzando así el nivel máximo como construcción social. Es a otras comunidades a las que corresponde transformar el conocimiento ya institucionalizado como objeto de saber en objeto a enseñar a través del proceso de legitimación, descontextualizándolo de sus significantes para ponerlo en manos de la comunidad que finalmente lo convertirá en objeto de enseñanza a través del proceso de transposición didáctica.

De acuerdo al modelo descrito hasta el momento, un estudio de construcción social del conocimiento da cuenta de los procesos de externalización, internalización, validación, legitimación e institucionalización así como de las comunidades que fueron o son partícipes de estos procesos, de los individuos que integran estas comunidades, del rol que tienen en ellas, de las acciones que realizaron y de las condiciones socioculturales que enmarcan dichas acciones en el tiempo. De esta forma, cada uno de éstos elementos se consideran elementos constituyentes de la construcción social del conocimiento.

El objetivo de la investigación es caracterizar estos elementos constitutivos de la construcción social de las estructuras algebraicas situándolas así como conocimiento socialmente construido, producto del intelecto humano, de las relaciones que se establecen entre las personas y de estos con la realidad que construyen.

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En este documento describimos el marco en el que se da la axiomatización, clasificación y sistematización de estructuras algebraicas particulares como procesos que forman parte de la elaboración de herramientas y conformación de un lenguaje que perfilan y sustentan la emergencia del concepto de estructura algebraica y que situamos como productos del proceso de externalización. Situamos las producciones escritas y divulgadas más importantes de acuerdo a su incidencia en la prefiguración de una forma de generar nuevo conocimiento matemático así como la influencia que tuvieron en surgimiento del llamado Enfoque Estructural de la matemática que a su vez consolida conceptualmente a las estructuras algebraicas al interior de la matemática.

Antecedentes

Desde la matemática educativa un estudio de construcción social del conocimiento puede darse en dos planos: 1) En el contexto escolar, en donde se busca caracterizar los elementos constitutivos (externalización, internalización, validación, legitimación e institucionalización) pero en el marco del aula en donde el objetivo es entender cómo los estudiantes y/o profesores construyen el conocimiento matemático escolar y los factores que de una o de otra manera inciden en esta construcción y 2) La construcción social del conocimiento matemático como objeto de saber y su devenir hasta convertirse en objeto de enseñanza para entender o dar sentido a su presencia en el sistema escolar.

Estudios como el de Aguilar y Oktac (2004) y el de Dubinsky, Dauthermann, Leron y Zazkis (1994), aportan elementos para entender la construcción de las estructuras algebraicas en el aula, sus resultados contribuyen a la descripción de algunos elementos constitutivos de la construcción de las estructuras algebraicas en el contexto escolar. Son pocos los estudios que, como el de Katz (2007), dan cuenta del devenir histórico de las estructuras algebraicas como conocimiento matemático que luego de pasar por los procesos de validación, legitimación, institucionalización y transposición didáctica son presa de condicionamientos ideológicos y filosóficos individuales o colectivos que lo hacen poco o más asequible a través de un proceso de enseñanza aprendizaje.

En las investigaciones alrededor de la problemática del aprendizaje del algebra abstracta, que es el área de la matemática donde se ubica principalmente el estudio de las estructuras algebraicas (grupos, anillos, módulos, entre otras), identificamos dos aspectos que se relacionan directamente con el interés de nuestra investigación; uno de ellos es el énfasis que se hace en el problema que tienen los estudiantes para formalizar conceptos que sí logran construir entorno a diferentes objetos matemáticos, pero que no pueden simbolizar a falta de un lenguaje o sistema de símbolos adecuado que les permitan luego manipularlos (Dubinsky, Dauthermann, Leron y Zazkis, 1994). Y por otro lado el énfasis que se hace en la incapacidad que presentan los estudiantes que sí ha logrado identificar comportamientos o propiedades comunes en conjuntos de objetos matemáticos pero que no logran organizar y sistematizar esta información de forma tal que les sea útil en la construcción de nuevo conocimiento (Simpson y Stehlílková, 2006).

El estudio de Dubinsky, Dauthermann, Leron y Zazkis (1994), por ejemplo, da cuenta de las dificultades que tienen los alumnos para asignar etiquetas a los objetos que han construido a través de la encapsulación de procesos, que finalmente convierten en nuevos objetos matemáticos en su mente. Esta investigción presenta los resultados de un estudio realizado durante el desarrollo de un curso-taller de verano impartido a veinticuatro profesores, que en el sistema

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educativo mexicano sería equivalente al nivel medio superior y superior, realizado con la intención de entender cómo puede un individuo aprender ciertos tópicos elementales de la teoría de grupos y qué relación tiene esto con la comprensión de la abstracción en la matemática en general. Al final de dicho curso se aplicó una evaluación escrita y se realizó una entrevista. El artículo enfatiza las dificultades que tienen los estudiantes en el encapsulamiento de los procesos para su conversión en objetos en el aprendizaje de los grupos cociente que son particularmente ilustrativos de la comprensión de la estructura de grupo. El análisis les permite hacer sugerencias pedagógicas que podrían acelerar el proceso de encapsulación.

En los re sultados de la investigación que presentan Simpson y Stehlílková (2006) dan cuenta de cómo un “cambio de atención” puede orientar la adquisición del sentido estructural que ellos llaman “aprehensión de la estructura”. Los autores consideran que existen problemas de aprendizaje que se generan por ideas equivocadas que llevan a los estudiantes a confundir un teorema con su opuesto (Hazzan y Leron, 1996), o las dificultades que se localizan al nivel de proceso-objeto manejadas por Dubinsky cuando un estudiante confunde un conjunto con un elemento del conjunto. Sin embargo, existen problemas de aprendizaje que implican la consideración de aspectos más generales que forman parte del desarrollo cognoscitivo de álgebra abstracta; como el de la falta de atención en las operaciones definidas en una estructura. Este estudio propone enfocar la atención de las actividades que se pide realice un estudiante de forma tal que lo enfoquen en: a) Atender las interrelaciones entre elementos del conjunto que son consecuencia de las operaciones, b) Focalizar la atención en los símbolos utilizados por el maestro al definir una estructura para identificarlos como abstracciones de operaciones y en su caso nombres que se asocian a los resultados de estas operaciones y sus relaciones, c) Identificar en otros conjuntos las operaciones como ejemplos prototipo de la estructura general y d) Usar el sistema formal de símbolos, propiedades y definiciones para derivar consecuencias inherentes a todos los ejemplos que se traduzcan en teoremas. Los resultados permiten afirmar que los estudiantes no son capaces de verbalizar simbólicamente relaciones y propiedades que sí han podido notar como similitudes entre los objetos de una o diversas estructuras y que esto les impide su articulación.

Finalmente en estudios como el de Katz (2007) se presenta el análisis en torno a temas específicos de álgebra abstracta en la idea de aportar elementos e incluso propuestas didácticas para mejorar el aprendizaje de los conceptos inmersos en dichas temáticas. Kantz echa mano de la historia del álgebra y la analiza a través de cuatro etapas que él llama “etapas conceptuales” (la etapa geométrica, la etapa estática de solución de ecuaciones, la etapa de funciones dinámicas y la etapa abstracta), que le permiten describir cómo es que a partir del siglo XX el álgebra se había convertido en la búsqueda de estructuras comunes a diversos objetos matemáticos para establecimiento de un sistema axiomático que las sistematizara.

El Enfoque Estructural parece ser el origen de los aspectos de la problemática que nos interesan y que son descritos por las citadas investigaciones, esto concuerda con algunas conclusiones iniciales a las que llegamos luego de una primera aproximación a la evidencia histórico-epistemológica de la construcción social de las estructuras algebraicas. Este análisis preliminar, que realizamos como parte de la metodología que empleamos, nos mostró que éstas emergen una vez que estructuras particulares, que surgen en diversos campos de la matemática, en momentos y etapas diferentes, son axiomatizadas, clasificadas y sistematizadas posteriormente a su construcción desde un nivel que incluso podría considerarse metamatemático. Más aún la génesis

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de las acciones que se organizan de manera sistémica y que generan la emergencia del Enfoque Estructural se da para satisfacer, ampliar y marcar una perspectiva filosófica e ideológica que propone nuevas formas en la construcción de conocimiento matemático, acciones que son normadas por intencionalidades también de carácter filosófico e ideológico y que proponen nuevas formas de construcción de conocimiento matemático.

Sistema Conceptual

Partirmos de la hipótesis fundamental de que la realidad se construye socialmente, entendiendo esta realidad “como una cualidad propia de los fenómenos que reconocemos como independientes de nuestra propia volición” (Berger y Luckmann, 2001, p. 13); esta cualidad se impone a nuestras acciones e ideas en la medida en que la conocemos y reconocemos como tal. Cada uno de los fenómenos que componen a la realidad tiene características específicas y cada individuo acumula conocimiento respecto de estas características que van dando significado y edificando la realidad al mismo tiempo que guían las acciones que en ella realiza. Se establece así un proceso dialéctico entre la realidad que se impone como preexistente y las acciones guiadas que se realizan en ella mediante el cual se conforma la sociedad y por ende los contextos sociales en los que terminan inmersos dichos fenómenos.

Según Berger (1969), el citado proceso dialectico pasa por tres momentos; externalización, objetivación e internalización. El momento de la externalización se da a través de acciones guiadas por el cúmulo de conocimientos, nos interesan particularmente: la difusión; que entenderemos como el momento en que un conocimiento construido en la individualidad se da a conocer a otros por algun medio oral o escrito, la representación; entendida como el conjunto de objetos materiales y simbolicos junto al significado asociado a éstos que dan sentido a determinado conocimiento producido por el individuo y la reproducción del saber, que refiere al uso contextualizado que se da a determinado conocimiento construido por otros, y los productos de estas acciones que pueden ser articulos, libros y toda clase de documentos en donde se reportan resultados de una investigación, así como, lenguajes, símbolos y toda clase de herramientas a través de los cuales es posible la objetivación del saber.

Las acciones guiadas a través de las cuales se da la externalización como necesidad antropológica del individuo, se orienta por una intencionalidad de doble carácter: un carácter individual que obedece a la necesidad del ser social que lo identifique o situe como parte de determinados entornos y comunidades; y un carácter social que obedece a la necesidad de ser coproductor de la realidad (Berger 1969). Estas acciones se diversifican en tanto se complejiza la realidad y se agrupan, de acuerdo al carácter social de la intencionalidad con la que se realizan hasta llegar a formar parte de procesos a través de los cuales un cuerpo de conocimientos llega a quedar establecido socialmente como realidad. Estos procesos forman parte de la validación, institucionalización y legitimación del saber, es decir es a través de los cuales el conocimiento externalizado por un individuo, objetivado por sus productos, es internalizado por los integrantes de la comunidad a la que pertenece o pretende pertenecer, comunidad que le imprime un nivel de aceptación que le da la solidez necesaria para que, como conocimiento validado, sirva para la construcción de uno nuevo en la misma comunidad o bien lo pone a disposición de otras comunidades orientando y sustentando su desarrollo. La validación del saber marca el inicio del proceso de institucionalización.

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Del hecho de que la validación, institucionalización y legitimación del saber se da en comunidades sociales cuyos integrantes internalizan los objetos simbólicos y materiales que son producto de las acciones guiadas, desprendemos que éstos se dan por fases, es decir, ocurren en una comunidad situada en el tiempo y conformada por determinados individuos para los cuales, los productos de la difusión, representación y reproducción del saber adquieren un carácter significativo convirtiendo a las acciones y su intencionalidad en un comportamiento típico que llega a normar sus propias acciones. A este comportamiento típico como sistema de acciones guiadas estructuradas en el marco de intenciones sociales e individuales que se va constituyendo en regulador de la interacción de los integrantes de la comunidad y que ellos realizan como modos de ejecución prescritos que gozan de una aceptación generalizada e incondicional lo llamaremos práctica institucionalizadora.

De esta forma, el hablar o describir una práctica institucionalizadora implicará irremediablemente responder: ¿qué acción o acciones guiadas integran la práctica?, ¿quiénes realizan estas acciones guiadas? ¿Qué intencionalidaes sociales las identifican? ¿A qué intencionalidades individuales pueden ser asociadas dichas acciones guiadas? ¿Cuál es el medio y/o contexto en donde se realizan? ¿Cuáles son los objetos y que significados compartidos son asociados a esos objetos? De esta forma las prácticas institucionalizadoras nos permitirán caracterizar las fases que se dan en un determinado proceso de construcción del conocimiento matemático.

Llamaremos Fase Contextual a un sistema de prácticas institucionalizadoras que se originaron por una acción guiada, que llamaremos acción generatriz y que fue realizada por un individuo que llamaremos agente de la fase contextual

Los procesos de construcción de conocimiento como sucesión de hechos en el tiempo, pueden traslaparse, es decir es posible que existan prácticas institucionalizadoras de determinada fase contextual que de alguna manera promueven la realización de otras prácticas provocando así, simultáneamente, la emergencia de una acción generatriz de otra fase contextual correspondiente a otro proceso de construcción del conocimiento. Lo que marca el inicio y conclusión de un proceso, estará determinado por los productos de las prácticas institucionalizadoras identificados propiamente como saber institucionalizado.

Figura 1.

Una representación esquemática de la caracterización de la construcción social del conocimiento

PROCESO  

Acción  de    Guiada  

FASE

CO

NTE

XTU

AL

FASE

CO

NTE

XTU

AL

FASE

CO

NTE

XTU

AL Acción  de    

Guiada  

Practica  Institucionalizadora  

Acción  Guiada  

Acción  Guiada  

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Metodología

Realizamos una investigación de carácter histórico-epistemológico siguiendo la metodología de un análisis histórico que se plantea en González y Sierra (..) y que consiste en 5 fases: 1) Planteamiento de la investigación, 2) Fase Heurística Crítica, 3) Análisis de la Documentación, 4) Fase Hermenéutica y 5) Fase Exposición.

En la fase de planteamiento de la investigación se delimita el tema de investigación, lo que significa no solo elegir el tema, sino determinar la línea que seguirá la investigación y el marco general bajo el cual se desarrollará. En base a un primer sondeo del material bibliográfico, se traza una trayectoria posible que permite determinar la factibilidad de la investigación de acuerdo al material del que se dispone y a las hipótesis iniciales que se formulan.

En nuestro caso delimitamos el tema de investigación y la línea general de desarrollo ubicándolo como un estudio de construcción social del conocimiento matemático que fundamentalmente guiamos bajo las ideas sociológicas de Berger y Luckmann y desde la perspectiva antropológica de la educación planteada por Chevallard.

En el primer sondeo bibliográfico encontramos un libro escrito por Leo Corry que aborda el origen de las estructuras algebraicas desde una perspectiva histórica. En “Modern Algebra And The Rise Of Mathematical Structures”, Corry da cuenta del origen y desarrollo de la idea de estructura y la relación dialéctica que existe entre ésta y el enfoque estructural. Este texto fue clave para la ubicación de fechas, obras y sus autores y personajes diversos que forman parte de la historia de las estructuras algebraicas así como de relaciones e influencias de corte ideológico que se dieron entre estos personajes y que fueron fundamentales en la publicación de libros, que son señalados por Corry, como determinantes en la inclusión de diversas temáticas del álgebra abstracta en la enseñanza.

En la fase heurística crítica se lleva a cabo la búsqueda y selección de fuentes documentales que aporten algún elemento en torno al tema en cuestión. Se llama heurística crítica porque tales fuentes documentales hay que ubicarlas y clasificarlas de forma tal que no se produzcan vacíos documentales. Se elabora una crítica histórico-pedagógica comprobando la autenticidad de la fuente y el aporte que el análisis de dicha fuente puede hacer al alcance de los objetivos planteados en la investigación.

En esta fase seleccionamos cuatro publicaciones que forman parte de nuestro material de análisis; A Treatise on Algebra de George Peacock publicado en 1845, Lehrbuch der Algebra de Heinrich Martin Weber publicado en 1895, Modern Algebra de B. L. van der Waerden, publicado en 1930 y Los Elementos de la Matemática de Nicolas Bourbaki publicado en 1935, además establecimos las fases contextuales de construcción de las estructuras algebraicas que describiremos como parte de los resultados en el presente artículo.

La fase de análisis de contenido, que consiste en estudiar el material teniendo en cuenta tanto criterios pedagógicos como históricos, diseñar algún instrumento que permita abordar el objetivo que se haya planteado y la interpretación de los datos a la luz de los análisis realizados, así como la fase hermenéutica en la que se trata de dar una respuesta adecuada a las preguntas plantadas en

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la investigación e indicar las posibles causas por las que se produjeron los hechos históricos analizados, son fases de la metodología que aun no concluimos para la totalidad de la investigación. Estas fases las estamos abordando por etapas que corresponden justamente con las fases contextuales que establecimos en la fase heurística crítica.

Diseñamos dos instrumentos para el análisis de contenido, el primero fue una ficha que nos permitió, sin realizar propiamente el análisis de contenido, ubicar las obras como producto de procesos de externalización de determinados agentes y resultado de la internalización de productos de la externalización de otros. Esta información la buscamos en el prologo y/o introducción del texto así como en las biografías de los autores y aquellos documentos citados por los propios autores. El otro instrumento consistió es una segunda ficha en la que, por cada obra analizada, ubicamos algunos aspectos que nos permiten identificar los otros elementos constitutivos de la construcción social del conocimiento.

TÍTULO AUTOR AÑO DE EDICIÓN

PROCESO DE EXTERNALIZACIÓN PRODUCTOS DEL O LOS PROCESOS DE EXTERNALIZACIÓN

PROCESOS DE INTERNALIZACIÓN PRODUCTOS DEL O LOS PROCESOS DE INTERNALIZACIÓN

Y la segunda

TÍTULO AUTOR AÑO DE EDICIÓN

CONDICIONES SOCIOCULTURALES EN LAS QUE SE IDENTIFICAN SE ESCRIBIÓ LA OBRA

Ubicación del autor en alguna institución Tradición de la institución Comunidad científica en la que se ubica al autor Rol que se interpreta, tenía en esa comunidad

ELEMENTOS DEL PROCESO DE VALIDACIÓN

Autor que escribe el prologo y/o quienes son citados Que otros autores se citan A quien va dirigido Objetivo o propósito que persigue la obra Objeto de saber central que se presenta o aborda

ELEMENTOS DEL PROCESO DE LEGITIMACIÓN

Lectores potenciales Lectores Conocidos Elementos incidentes en la legitimación

ELEMENTOS DEL PROCESO DE INSTITUCIONALIZACIÓN

Objetos de saber citados Autores referidos

En éste articulo presentamos los resultados de la fase heurística-critica de la investigación y el análisis de contenido y fase hermenéutica correspondientes a la fase que hemos llamado fase contextual de formalización incipiente del algebra.

Resultados

Fase  heurística-­‐crítica  

En “Modern Algebra And The Rise Of Mathematical Structures”, Leo Corry analiza fundamentalmente dos libros; Lehrbuch der Algebra de Henrich Weber, publicado en 1895, y el Modern Algebra de B. L. van der Waerden, publicado en 1930 además de explicar la influencia en el preámbulo de la emergencia del enfoque estructural que tuvieron el Höhere Algebra de

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Hemult Hasse, publicado en 1926, y Modern Algebraic Theories de Leonard Eugene Dickson de 1929. El recorrido histórico que se presenta en el texto circunscribe a Richard Dedekind y la Teoría de Galois, David Hilbert y el enfoque axiomático, Emmy Noether con la teoría de ideales, el enfoque estructuralista de Nicolas Bourbaki, y la teoría de categorías.

Para Corry el método axiomático de Hilbert fue el que proporciono la inspiración principal para la emergencia del enfoque estructural. La influencia de las ideas y métodos de matemáticos alemanes como Emil Artin y Emmy Noether así como el libro de van der Waerden, fueron fundamentales para la dirección que tomaron los trabajos del grupo Bourbaki plasmados en los Elementos de la Matemática que pueden ser considerados como una continuación y a su vez ampliación de la filosofía general del texto de Waerden a toda la matemática conocida en la epoca. Dicho de otra manera, el método axiomático de Hilbert y el enfoque estructural implícito en los trabajos de los matemáticos alemanes proporcionaron a los integrantes del colectivo Bourbaki la inspiración y elementos necesarios para sustentar el enfoque estructural, eludiendo inclusive toda declaratoria filosófica de la matemática que en esa época era prácticamente obligada. Las publicaciones de los Bourbaki se posicionaron fuertemente no solo en el ámbito de la matemática misma sino también en el terreno de su enseñanza convirtiéndose así en las que marcaban la diferencia entre lo que era matemáticamente interesante y lo que no lo era.

Revisando las estructuras algebraicas en su forma actual se puede decir que se caracterizan fundamentalmente por dos aspectos; el trato formal y su función sistematizadora de diversas estructuras particulares que se ve reflejada en su nivel de abstracción. Estos aspectos son los que finalmente generaron la emergencia como enfoque de tratamiento para las matemáticas en general y del algebra en particular.

Hablar del aspecto formal impreso en las estructuras algebraicas implica referirse a teorías y al lenguaje; el lenguaje formal se construye con palabras del lenguaje corriente o del sentido común despojándolas de las acepciones que tengan en éste y usándolas únicamente como se diga explícitamente al construir el lenguaje formal para hablar de una teoría. Las palabras tomadas del lenguaje ordinario están desprovistas de significado, de forma tal que en un lenguaje formal no se da cabida a dobles interpretaciones y se elimina, en la medida de lo posible, lo que pueda ser intuido o visualizado en determinadas expresiones de éste. Desde esta idea la formalización de teorías no es propiamente el uso de símbolos o signos y no solo se da en el ámbito de la matemática.

Para formalizar una teoría matemática ésta debe ser previamente axiomatizada; los axiomas son considerados puntos básicos, independientes y consistentes entre sí, y sobre los cuales se puede construir una estructura teórica matemática sin contradicciones internas (Rañada, 2003). La axiomatización puede considerarse como el medio mediante el cual dada una colectividad o conjunto no vacío cualquiera, se determinan ciertas propiedades o condiciones lógicas que son satisfechas por todos los elementos de la colectividad dada y que pueden constituirse en su axiomática en el sentido de que, a partir de dichas condiciones lógicas se deducen otras consecuencias lógicas (teoremas) que son válidas para los elementos de dicha colectividad y que serán implicadas por su axiomática.

El método axiomático se fija como postura inicial en la redacción de teorías matemáticas (en textos o artículos) de forma tal que su formalización es fácil de concebir. De este modo,

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axiomatizar teorías, representa ventajas importantes en cuanto a potenciar el desarrollo de las mismas; dar contenidos múltiples a los términos no definidos (elementos de un grupo, por ejemplo) o bien disociar los diversos aspectos de una situación matemática para estudiarlos con mayor propiedad.

Formalizar una teoría axiomatizada significa pues, elegir un lenguaje de primer orden L apropiado para la teoría que sirve para hablar acerca de entes e individuos de la colectividad y que tiene la pretensión de evitar las diferentes interpretaciones; este lenguaje tiene una sintaxis precisa de tal forma que lo hace además susceptible de estudio como un objeto matemático. A través de la formalización de teorías matemáticas el entendimiento y los procesos básicos del pensamiento resultan optimizados.

Por lo descrito en los parrafos anteriores, dividimos la Construcción Social de las Estructuras Algebraicas en tres Procesos: El Proceso de Formalización, El Proceso de Sistematización y el Proceso de Transposición Didáctica del Álgebra y describimos a continuación los elementos que orientaron la determinación de las fases contextuales que integran cada uno de estos procesos.

A Treatise on Algebra de George Peacock publicado en 1845 lo ubicamos como parte de procesos de externalización previos la generación de las estructuras algebraicas, su análisis nos dio elementos para evidenciar la diferencia en el lenguaje utilizado y las interpretaciones que le daban asi como la ausencia de una axiomática propia que sustentara a su vez un tratamiento formal del algebra respecto a lo que se presenta en el Lehrbuch der Algebra de Heinrich Martin Weber publicado en 1895.

En el Lehrbuch der Algebra, puede identificarse una imagen fiel de los conocimientos algebraicos y de la forma en que el álgebra era concebida en su tiempo, se hace una presentación abstracta de muchos conceptos que hasta el momento habían sido tratados de manera particular (Corry, 2002(b)). Heinrich Weber y Dirichlet trabajaron juntos en algunos escritos en torno a las funciones algebraicas y parece haber sido una influencia importante para que Weber dirigiera sus esfuerzos al estudio del álgebra y la teoría de números. Consideramos el trabajo de Weber como un producto de externalización basado en la internalización de las ideas y conocimiento de Dirichlet y otros matemáticos de su época. Ubicamos a Weber como agente de la fase contextual de formalización incipiente del álgebra, primera fase del Proceso de Formalización.

Heinrich Weber fue profesor de David Hilbert a su ingreso a la universidad de Königsberg, bajo su influencia, la de Lindermann y la de Dedekind fue que Hilbert se interesó en la teoría de invariantes, lo que representó su primer área de investigación (Rodríguez, 2000). David Hilbert fue profesor de la Universidad de Gotinga desde1893, su trabajo y personalidad posicionó a Gotinga como el Centro de Matemáticas y de su enseñanza, más importante de la época.

Hilbert fue protagonista de una de las discuciones más importantes en la historia de la matemática y en la que se considera se da la emergencia del Enfoque Estructural de la matemática. Como resultado de estas discuciones surgen lo que se conoce como corrientes filosóficas clásicas de la matemática: formalismo, logisismo e intuicionismo que se dieron entre 1870 y 1910.

El movimiento formalista sostuvo los objetivos de Hilbert, quien concibió la idea del formalismo como el hecho de reducir la matemática a un “juego” finito con un número infinito de fórmulas

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definidas de forma finita. El juego debía ser consistente y esto es lo que se tenía que probar en un nivel metamatemático de forma que dentro de este juego no se obtuviera nunca una fórmula y su negación. Desde esta idea, las matemáticas se convertían para Hilbert en la teoría general de los formalismos y la axiomática en el método de investigación matemática. Los matemáticos de la época (1870-1910) vivieron la preocupación de lo que se llamo “rigorización de la matemática” y que consistió justamente en establecer un sistema axiomático para las teorías matemáticas existentes, no considerando a los axiomas como verdades absolutas y evidentes, sino como puntos de partida que refieren el cumplimiento de determinadas propiedades por los elementos de una colectividad que pueden ser incluso, algunos de ellos, no definidos y a partir de los cuales podrían deducirse una larga lista de teoremas que conformarían dicha teoría.

Por todo lo descrito consideramos a Hilbert como agente de la Fase Contextual Filosófica de la Formalización del Álgebra en la cual los productos de externalización representaron una fuerte influencia para el destino de la matemática.

Los discípulos de Hilbert, entre los cuales se encontraban Emmy Noether y Emil Artin llevarían consigo por todo el mundo, la tradición de Hilbert (Salinas 2000). La internalización que estos autores hicieron de sus ideas fue plasmada luego en productos de externalización representando, reproduciendo y divulgando su conocimiento construido, B. L. Van der Waerden declara en el Modern Algebra: “Based in part on lectures by E. Artin y E. Noether” y encontramos que Van der Waerden fue discípulo de Noether durante siete meses en la universidad de Göttingen y conoció a Artin en la universidad de Hamburgo en donde participo en un curso y planearon de inicio, escribir un libro juntos. Se dice que posterior a una revisión inicial de Emil de algunos avances que presento Waerden, Emil le sugiere que continúe escribiendo y lo publique pero de manera independiente (Rodríguez, 2000), el resultado de este trabajo fue finalmente los dos tomos de Modern Algebra. Esto nos permitió identificar a Emmy y Emil como agentes de la Fase Contextual Vivencial de Formalización del Álgebra.

Modern Algebra es un producto del proceso de externalización de Van der Waerden a través del cual difunde el conocimiento construido en base a la internalización de las ideas y conocimiento de Noether y Artin. Ubicamos a Waerden como agente de la Fase Contextual de Sistematización del Álgebra.

En el Modern Algebra de B. L. Van der Waerden y en el método axiomático de Hilbert es que un colectivo de matemáticos franceses encuentra la inspiracion para, como un producto de la externalización de sus ideas, plasmar en Los Elementos de la Matemática de Nicolas Bourbaki la imagen que de las matemáticas que habian internalizado y ponía en claro la meta fundamental de sus publicaciones; dotar a la matemática de una unificación teórica ante la aparente dispersión que se vivía durante el primer tercio del siglo XX (Hernández, 2009).

El texto de Bourbaki resultó de gran impacto en la inserción de diversos temas del algebra desde su enfoque estructural en el ámbito escolar debido, entre otras cosas, a la coincidencia declarada por Jean Piaget entre las que refería como estructuras naturales y las estructuras madre de Bourvbaki. Esta inserción la consideramos como un producto de la internalización de estas ideas al ámbito escolar y al grupo Bourbaki como el agente de la fase contextual de sistematización y preámbulo de la transposición didáctica del álgebra correspondiente simultáneamente al Proceso de Sistematización y al Proceso de Transposición Didáctica del Álgebra.

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Figura. 2.

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que represento su primer área de investigación (Rodríguez, 2000). Aún que el término Estructura Algebraica, se presenta por primera vez en el libro de Los Elementos de la Matemática; el concepto matemático que encierra y que le da su significado actual puede ser identificado en diversos artículos y libros que, sobre el álgebra se escribieron, entre 1870 y 1930. En el l libro Lehrbuch der Algebra de Heinrich Martin Weber, publicado en 1895, puede identificarse una imagen fiel de los conocimientos algebraicos y de la forma en que el Álgebra era concebida en aquel tiempo además de que hace una presentación abstracta de muchos conceptos que hasta el momento habían sido tratados de manera particular (Corry, 2002(b)). Hemos posicionado a este libro y a su autor en la fase contextual de formalización incipiente del proceso en la construcción social de las estructuras algebraicas; no solo por su contenido, sino por la influencia que Heinrich Weber tuvo en David Hilbert, de esta forma consideramos que Weber abre la puerta para la comprensión del enfoque estructural del álgebra que se consolidaría con el libro de Van der Waerden. Algunos de los trabajos de Dirichlet son dignos de resaltarse dado que Weber y él trabajaron juntos en algunos escritos en torno a las funciones algebraicas y parece haber sido una influencia importante para que Weber dirigiera sus esfuerzos al estudio del álgebra y la teoría de números. Dirichlet influyo además fuertemente sobre Richard Dedekind cuando éste realizo una estancia en la universidad de Göttingen donde Dirichlet era profesor, Dedekind editó un complemento del Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet a manera de apuntes de clase (Reck, 2008)

Fig. 1: Una organización esquemática de la construcción social de las estructuras algebraicas

Las flechas unidireccionales representan la existencia de una influencia ejercida por un autor sobre el otro, ya sea a través de su relación directa, que generalmente se da a manera de maestro-discípulo, o bien de sus

FASE CONTEXTUAL

Proc

eso

de F

orm

aliza

ción

Fase de Formalización incipiente del

álgebra

1870-1895

Fase filosófica de la formalización

del álgebra

1890-1920

Fase vivencial de la formalización

del álgebra

1900-1930

Proc

eso

de S

istem

atiza

ción

Fase de sistematización del

álgebra

1930

Proc

eso

de

Tran

spos

ició

n Fase de sistematización y preámbulo de la transposición didáctica del

álgebra

1935

!

Hilbert

H. Weber Dirichlet

Emil Artin

Richard Dedekind

Emmy Noether

Van der Waerden

Bourbaki

Los Procesos y las fases de la construcción social de las estructuras algebraicas

Los  textos  de  George  Peacock  como  antesala  de  la  fase  de  formalización  incipiente    

El análisis de los dos tomos del “A Treatise on Algebra” de George Peacock tiene la finalidad de mostrar las limitaciones del lenguaje utilizado y la asuencia de un tratamiento formal y estructural. En los dos tomos se puede observar la preocupación por la interpretación de lo que en ellos se escribe, es decir, el lenguaje y simbolismo utilizado no es considerado suficiente para hablar por sí mismo sobre todo por la interpretación que a este puede darse. Peackock distingue entre el álgebra aritmética y álgebra simbólica (de manera similar a Vieta, quien 400 años antes, distingue la “logística spenciosa” de la “logística numerosa” en el “In artem analyticam isagoge” de 1549, Kline, 2006), y dedica un tomo a cada una de ellas. En éstos puede identificarse la elección de un lenguaje de primer orden, que no difiere en mucho del actual, sin embargo la interpretación asignada al conjunto de símbolos utilizados es diferente para cada una de estas ciencias como él mismo las llama.

El autor escribe en el álgebra aritmética “the symbols which are used are perfectly general in their representation, and perfectly unlimited in their values (…) the use of symbols and signs to denote numbers and the operations to which they may be subjected” (Peacock, 1845, pag. 1)

Figura 3.

CHAPTER I.

PRINCIPLES OP ARITHMETICAL ALGEBRA.

1. ARITHMETICAL Algebra is the science which results from Arithmeti

the use of symbols and signs to denote numbers and the operations bra.

to which they may be subjected; those numbers or their repre

sentatives, and the operations upon them, being used in the samesense and with the same limitations as in common arithmetic.

2. Arithmetical Algebra is not the same science with Sym- Not the

bolical Algebra, the exposition of the principles of which will science

constitute the chief object of the following Treatise: in this g^i^i:latter science, the symbols which are used are perfectly general Algebra.

in their representation, and perfectly unlimited in their values;and the operations upon them, in whatever manner they are

denoted, or by whatever name they are called, are universal in

their application: but, since the principles and general conclu

sions or rules of Arithmetical Algebra will be found to suggest,

and in a certain sense to determine, the assumption of the first

principles of Symbolical Algebra, it is expedient to commencewith the exposition of the former science, as forming the proper,

and, in some respects, necessary introduction to the latter.

3. In Arithmetical Algebra, the symbols which are employed, Symbols i

whether they be the letters of the same or of different alphabets, cai Alge-are used to denote numbers, or numerical quantities only: they

^ra *

may denote concrete as well as abstract numbers, as long as the

numerical relations only of such concrete numbers are considered

and not the specific properties of the magnitudes which they re

present. Those numbers which are actually assigned and given,are expressed by means of the nine digits and zero, by the aid of

the artifices of ordinary arithmetical notation*: but, numbers which

* This consists in assigning to each digit its value according to its position with

respect to the place of units, supposing them to be severally multiplied by ten, one

hundred, one thousand, ten thousand, one hundred thousand, and so on, accordingas they are placed at the distance of one, two, three, four, five, &c. places to the left

of the place of units : if the digits are placed to the right of the place of units, they are

supposed to be divided by a similar series of numbers : the entire number, or numerical quantity, denoted by any collection of digits (zero included) is found by

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Figura 4.

CHAPTER I.

PRINCIPLES OP ARITHMETICAL ALGEBRA.

1. ARITHMETICAL Algebra is the science which results from Arithmeti

the use of symbols and signs to denote numbers and the operations bra.

to which they may be subjected; those numbers or their repre

sentatives, and the operations upon them, being used in the samesense and with the same limitations as in common arithmetic.

2. Arithmetical Algebra is not the same science with Sym- Not the

bolical Algebra, the exposition of the principles of which will science

constitute the chief object of the following Treatise: in this g^i^i:latter science, the symbols which are used are perfectly general Algebra.

in their representation, and perfectly unlimited in their values;and the operations upon them, in whatever manner they are

denoted, or by whatever name they are called, are universal in

their application: but, since the principles and general conclu

sions or rules of Arithmetical Algebra will be found to suggest,

and in a certain sense to determine, the assumption of the first

principles of Symbolical Algebra, it is expedient to commencewith the exposition of the former science, as forming the proper,

and, in some respects, necessary introduction to the latter.

3. In Arithmetical Algebra, the symbols which are employed, Symbols i

whether they be the letters of the same or of different alphabets, cai Alge-are used to denote numbers, or numerical quantities only: they

^ra *

may denote concrete as well as abstract numbers, as long as the

numerical relations only of such concrete numbers are considered

and not the specific properties of the magnitudes which they re

present. Those numbers which are actually assigned and given,are expressed by means of the nine digits and zero, by the aid of

the artifices of ordinary arithmetical notation*: but, numbers which

* This consists in assigning to each digit its value according to its position with

respect to the place of units, supposing them to be severally multiplied by ten, one

hundred, one thousand, ten thousand, one hundred thousand, and so on, accordingas they are placed at the distance of one, two, three, four, five, &c. places to the left

of the place of units : if the digits are placed to the right of the place of units, they are

supposed to be divided by a similar series of numbers : the entire number, or numerical quantity, denoted by any collection of digits (zero included) is found by

“en el álgebra simbólica, los símbolos que se utilizan son perfectamente generales en su representación, y perfectamente ilimitados en sus valores…los símbolos denotan números y las operaciones a las que esos números o sus representantes se sujetan”. El uso del lenguaje no alcanza aún la función que le corresponde como parte de la formalización de una teoría; evitar diferentes interpretaciones.

En el álgebra aritmética los símbolos para las operaciones de suma y sustracción no se consideran siquiera necesarios y se propone una notación específica para estas operaciones que no debe dejar duda sobre la clase de operación se está realizando aludiendo a la propia naturaleza de los números y el resultado. Las imágenes siguientes son extractos que evidencian cómo el uso del lenguaje es más bien para apelar a la intuición de los lectores.

Figura 5.

Suma de tres números sin el uso de signos

Figura 6.

Resta de dos números

Figura 7.

Suma, resta y multiplicación sin el uso de signos

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Figura 8.

Planteamiento del cumplimiento de la propiedad conmutativa en la suma en el “A Treatise on Algebra” vol 1, a través de evidenciarla con un caso particular

Aún cuando Peacock manifestaba que el álgebra, como la geometría, era una ciencia deductiva, basó sus razonamientos en lo que se conoció como el principio de permanencia: “Siempre que unas formas algebraicas sean equivalentes cuando los símbolos son generales en su forma pero específicos en sus valores (enteros positivos), serán también equivalentes cuando los símbolos son generales en su valor tanto como en su forma” (Kline, 2006, pag. 190); de forma tal que a pesar de presentar el álgebra aritmética y el álgebra simbólica como teorías axiomatizadas y ser además una idea compartida por los matemáticos hasta antes del descubrimiento de los números cuaternios de Hamilton (en 1843), las imágenes presentadas, al igual que otros fragmentos de los dos libros, evidencían la ausencia de una teoría formalizada y el tratamiento sistemático se reduce a considerar al algebra simbólica como incluyente del algebra aritmética, siempre y cuando ésta última se refiera a números enteros positivos.

Consideramos pues que antes de la publicación del libro Lehrbuch der Algebra de Heinrich Martin Weber en 1895, no se puede hablar de una presentación del álgebra bajo un lenguaje formal ni bajo un enfoque estructural.

La fase contextual de formalización incipiente del álgebra.

El comienzo del proceso de formalización del algebra quedó marcado en la historia de la matemática por la publicación del texto de Heinrich Weber por dos razones fundamentales. Desde que Niels Abel demuestra la insolubilidad por radicales de la ecuación de grado cinco en 1824, y hasta 1845 que se conocen los trabajos de Galois, las investigaciones que se consideraban en el marco del álgebra eran fundamentalmente las que se dedicaban al estudio de las formas y condiciones para encontrar las raíces de polinomios. Surgieron sin embargo, de 1854 a 1880, diversas investigaciones en diferentes teorías de la matemática en las que se introducía, por un lado toda la jerga del lenguaje conjuntista de la matemática y por el otro se aplicaban resultados de la teoría de Galois poniendo de relieve su valor como factor unificador. Como ejemplos podemos citar: la teoría de curvas algebraicas también trabajada por Dedekind y Weber, investigaciones sobre la teoría de matrices y cuaternios realizadas por Cayley, la teoría de los poliedros regulares trabajada por Hamilton en 1856 en el Tratado de substituciones, los trabajos de Camille Jordan publicadas en 1870, investigaciones en torno a la clasificación de las geometrías hechas por Kline en 1872 y en la teoría algebraica de los números promovida por Dedekind en 1877. Estas investigaciones suatentan la institucionalización de las ideas y formas

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de abordar una temática del algebra generada por Galois, que fue validado hasta despues de su muerte.

Heinrich Weber (1842-1913), consciente de los últimos avances en el álgebra plasma la posibilidad de formular nuevos conceptos algebraicos en términos puramente abstractos. La acción que consideramos como generatriz de la fase contextual de formalización incipiente se da en 1893; Weber fue el primero en proporcionar definiciones abstractas de grupo y campo en el marco de un solo artículo titulado; “Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie” donde define…”Ein system von dingen irgend welcher Art in endlicher oder unendlicher Anzahl wird zur Gruppe, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind”… [Un sistema de un número finito o infinito de cosas de cualquier tipo es un grupo si las condiciones siguientes se cumplen] y enseguida enuncia tres de las cuatro propiedades de grupo conocidas en la actualidad como cerradura, asociativa y la existencia del elemento inverso y neutro que enuncia a través de su equivalente, las ahora llamadas leyes cancelativas por la derecha y por la izquierda. Aclara además que la composición de dos elementos no siempre es conmutativa, unos párrafos después define cuerpo “Eine gruppe wird zum körper, wenn in ihr zwei Arten der Composition möglich sind, von denen die erste Addition, die zweite Multiplication genannt wird” [Un grupo se convierte en un cuerpo, si es posible, en sus dos tipos de composición, de las cuales la primera se llama adición y la segunda multiplicación].

La difusión como acción generatriz es producto a su vez de acciones de observancia de similitudes o aspectos comunes entre dos o más de constructos teóricos y sus objetos de estudio, lo que se considera como una acción de abstracción, que a diferencia de sus colegas Dedekind, Cayley, Jordan y Kline, no lo hace solo en torno a los conceptos presentados en la teoría de Galois y lo desarrollado en la teoría de conjuntos bajo el único referente de sus propias investigaciones.

En el citado artículo de Weber se observa claramente una acción de generalización y axiomatización, toda vez que se presentan las condiciones de las que se parte para considerar que un conjunto de “cosas de cualquier tipo” bajo una operación específica, es un grupo. Estas acciones: axiomatización, abstracción y generalización, tienen una intencionalidad que finalmente se ve plasmada en el articulo y en el Lehenbuch der Algebra; integrar los conocimientos que durante un periodo de tiempo se habían desarrollado en el área del algebra. En sus escritos Weber incorpora un cuerpo completo de nuevas ideas individuales y las técnicas desarrolladas a lo largo del siglo XIX que forman parte de la base necesaria para la formalización del álgebra. Sin embargo el estudio de los grupos aparece como conceptualmente subsidiaria al estudio de las ecuaciones polinomiales y sus soluciones, incluso en el Lehrbuch der Algebra el concepto general de grupo aparece luego de 475 páginas.

Weber, quien nace en Königsberg de donde es también originario David Hilbert y de donde formó parte a partir de  1895 cuando Klein, rector de esta universidad desde 1886, consigue su nombramiento, realiza sus dos publicaciones más importantes cuando se encuentra como profesor en la Universidad de Göttingen (entre 1892 y 1895). La comunidad de matemáticos del cual formaba parte Weber (Dedekind, Cayley, Jordan y Kline) compartía ya algunos elementos de la corriente formalista propuesta por Hilbert desde 1870, en las investigaciones generadas por sus integrantes se plasmaban ya la etapa incipiente una nueva tendencia para investigar en matemáticas y particularmente en álgebra. La personalidad de estos habla también de la

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repercusión de sus escritos; Dedekind, por ejemplo, era una persona extremadamente retraída, pasó la mayor parte de sus años en la alejada ciudad de Braunschweig en el reino de Hannover, y su casi compulsiva inclinación a revisar interminablemente sus trabajos antes y después de ser publicados, produjo una cantidad relativamente limitada de ellos, que nunca tuvieron grandes repercusiones inmediatas (Corry, 1999), sí algunos años después, por supuesto. A diferencia de Cayley que aún ejerciendo la abogacía, profesión de origen y a la que se dedico 14 años, escribió alrededor de 250 trabajos de matemáticas. Su prolífera condición económica le permitió viajar por diversos lugares fortaleciendo así su personalidad extrovertida. Cayley y J. J. Sylvester influyeron considerablemente para cambiar la mentalidad de la universidad de Cambridge logrando que aceptaran a las mujeres, esto habla de su carácter y decisión para generar cambios.

La declaratoria de Weber en el prólogo deja clara su intencionalidad “Es war meine Absicht, ein Lehrbuch zu geben, das, ohne viel Vorkenntnisse vorauszusetzen, den Leser in die moderne Algebra einführen und auch zu den höheren und schwierigeren” [Era mi intención dar un libro de texto que no le presupone conocimiento previo al lector y hacer una presentación del álgebra moderna de lo fácil a lo difícil]. Resalta la importancia del desarrollo del álgebra y la influencia fundamental que ha tenido la teoría de grupos sobre todo en la teoría de números “die neueste Entwicklung der Algebra ganz besonders von Bedeutung geworden sind; das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangend Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie" [Se incluirá traducción]

También resalta la influencia y participación de algunos de sus, entonces, colegas tanto en la elaboración del libro como en el desarrollo de sus ideas que también declara explícitamente en el prologo:

“Zuerst gilt dieser Dank meinem Freunde Dedekind für seine treue Hülfe bei der Correctur, und wenn er auch auf den Plan und die Ausführung meines Werkes keinen Einfiuss ausgeübt hat, so möchte ich doch nicht unerwähnt lassen” (Weber, 1985, pag. ) [Se incluirá traducción]

“Auch der mannigfachen Anregung und Belehrung habe ich hier zu gedenken, die ich meinem Freund und- Collegen F. Klein verdanke, der das Fortschreiten der Arbeit mit regstem Interesse begleitet hat und dessen sachkundiger, stets bereitwilligst gegebener Rath in manchen Theilen des Buches von grossem Einfiuss gewesen ist” (Weber, 1985, pag. ), [Se incluirá traducción]

Para la fase contextual de la formalización incipiente del álgebra ubicamos una práctica institucionalizadora: La sistematización abstracto-genérica de conocimientos integrada por las acciones de abstracción, generalización y axiomatización genérica y la acción generatríz de difusión orientadas bajo diversas intenciones: la integración de conocimientos generados hasta el momento, presentación de conocimientos bajo una misma idea general, posibilitar la aplicación de estas nuevas ideas a otras teorías matemáticas; cuyos agentes fueron Dedekind y Weber.

La acción de difusión es relevante ya que aun cuando actualmente la escritura, intercambio, publicación y difusión de artículos científicos es considerada como una actividad inherente a la investigación y trabajo científico, no así en el siglo XIX e incluso aún a principios del siglo XX; los escritos de Galois se perdieron mínimo un par de veces y Emmy Noether, por ejemplo, tuvo siempre dificultades para publicar sus resultados por el simple hecho de ser mujer. El intercambio

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de información se daba entre pares que tenían cercanía tanto espacial cómo en tanto ideas filosóficas, ya sea para hablar sobre resultados encontrados u opiniones respecto a hallazgos de otros, trasmitiendo así ideas individuales, tendencias y formas de hacer. Sin embargo la producción científica, tal y como ahora es concebida, no era del todo regulada, es decir no existían comités específicos que se dedicaran al arbitraje y ésta más bien dependía de las relaciones y reconocimiento que los autores habían generado en una comunidad de individuos que se perfilaba para constituirse como el colectivo de especialistas que administraban el cúmulo de conocimiento que se estaba generado en el álgebra y que se iba conformando bajo una estructura de relevancias y significados propios. Era este colectivo el que terminaba estableciendo las mediaciones para el reconocimiento de los resultados científicos que se exponían en los escritos susceptibles de difusión.

Figura 9.

  Esquema de la fase de Formalización Incipiente del Álgebra

Conclusiones

Enmarcamos la emergencia del Enfoque Etructural que nos permitio la identificación de los elementos necesarios para elaborar el sistema conceptual que nos ha permitido el analisis de la construcción social del las estructuras algebraicas

Definimos práctica institucionalizadora como un sistema de acciones guiadas por la acumulación de conocimiento e intenciones individuales y sociales que se constituye en regulador de la interacción de los integrantes de la comunidad y que ellos realizan como modos de ejecución prescritos que gozan de una aceptación generalizada e incondicional

Conceptualizamos la axiomatización y formalización de teorías matemáticas y las situamos como base fundamental del origen del enfoque estructural de la matemática

Distinguimos cuatro obras importantes en la construcción social de las estructuras algebraicas

Sustentamos la distinción de tres procesos de la construcción social de las estructuras algebraicas, las fases contextuales que los integran y los agentes de la acción generatríz que las identifican.

FASE

CO

NTE

XTU

AL

FASE

CO

NTE

XTU

AL

Difusión  Orientada  

Acción    de  Abstracción  

Páctica  de  sistematización    abstracciión-­‐genérica  de  conocimiento  

Acción    de  Generalización  

Acción    de  Axiomatizacón  

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Caracterizamos la fase contextual de formalización incipiente del álgebra a través de la identificación de la acción generatriz, las acciones e intensiones que constituyen la practica institucionalizadora de sistemtización abstracto-genérica.

Resaltamos la importancia de la acción de difusión orientada en la comunicación científica y divulgación de los trabajos de investigación en el planteamiento de una visión incipiente y nueva forma de hacer álgebra que resulta más provechosa desde la idea de que, dada su generalidad, ofrece la posibilidad de explicar diversos constructos teóricos y da origen a otros nuevos.

Se describe la comunidad de matemáticos que va ensanchando e impulsando las nuevas formas planteadas en los trabajos de Weber. Las acciones de esta fase contextual se traslapan con las de la fase filosófica y son definitorias, junto con algunas otras para establecer en la segunda fase una ideología en torno al quehacer de los matemáticos y en particular de los que se van conformando en una comunidad de algebristas que se definiran como una institución.

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