pauta-guia1 algebra abstracta

7/21/2019 Pauta-Guia1 algebra abstracta

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Guía I

de

EstructurasAlgebraicas.

Si aH

=

bH obliga que Ha

=

Hb enG.DemuestrequeHa-7

=

H,Va E G.

SeanG un

grupo

inito

y

H un subgrupo e

G.

Sea

(a)

el mínimo

positivo

m tal

que

a^

€ H. Pruébese

ue

(a)lo(a)

[con

o(a) el ordende a].

SeaG un

grupo

abeliano

e orden

L,

cly,...an

suselementos.

Sea

=

a.7 az

x

...

x

ar,.

Demuéstrese

ue:

a) Si Gt ieneexactamenteunelementobeta lqueb2

=

e,entonces

=b.

b) Si6 t ienemáselementosbeta lqueb2

=

e,entonces

=

e.

c) Si n es mpar, ntonces

=

e,

4)

Cuantos lementos e orden2 están ontenidos n el

grupo

simétrico.Sa.

5) Sea

:

G

+

G'un

homomorfismo

obreyectivo

ruebe ue:

a) Si G escíclicoentonces 'cíclico.

b) Si G esabeliano ntoncesG'abeliano,

superioreorden"z e = (t ) y si

Pruebe

ue

estemapeo s un

homomorfismo

SeanG=S3, el

grupo

simétrico e

grado

3

y

H-fLi,f},

donde

(xt)=xz,

f

(xr)

=

xu

f

(xs)

=

xz.

a) Enumereodas asclasesateraleszquierdas eH en G.

b)

Enumere

odas

as

clases

aterales

erechas

e H en G.

c)

¿Es

odaclase ateral zquierda e H unaclase ateralderecha e

H,

Si G esun

grupo

no

abeliano e

orden6,

pruébese ue

G

=

.Sr.

SeaU grupode matrices riangulares

tp:U Rt, 4

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Ciencias Jírsic¡s

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¿iir: Nil vurr*te

A-vudiinte

José .$'1¡l

lana¡.kr

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grupoy

H un

subgrupo e 6.

Sea

g

=

{Hala

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las

clases aterales

zquierdas

de H

en G. Defínase,

para

b e

G

T6:5

+.S

por

T¡(Ha) -- Hab-\.

a) Pruébese

QlJe

¡T¿

=

Tb,

para

odo b, c e

6.

(por

lo tanto, a aplicación p:

G

+

A(S) definidapor

ú(b)

=

I¿

€sun homomorfismo) .

b) Descríbase

(r/)

el nticleo

derp:

G

-r

,a(S).

c) Demuéstrese

ue

/f(t/) es

el subgrupo

normal más

grande

de 6 contenido

en

H

(enel

sentido

eque

si N

<

G

y

N

c

H, entonces

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