resumen de los numeros naturales unidad2 lorna

N MEROS ÚN MEROS ÚNATURALNATURAL

ESESProf:lorna Benavente K.

Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc.

Les damos un nombre, "NÚMEROS NATURALES" para distinguirlos de

otros números, como:Los números fraccionarios (1/2)

Los números con coma decimal (3,7)

Los números negativos (-5).

El conjunto de todos ellos se designa por ℕ

ℕ = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero no se incluye en el conjunto de los números naturales.

conjunto de los números naturales y el cero

Escritura y nominación de los naturales

Propiedades de los naturales

Orden en los naturales

Suma o adición en ℕ

Sustracción en ℕ

Multiplicación en ℕ

División en ℕ

Números pares e impares

Factores, divisores y múltiplos

Números primos y compuestos

Divisibilidad

Factorización

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Potencias

EscriturEscritura y a y

nominacinominacinónó

ESCRITURA Y NOMINACIÓN

Los números dígitos, contemplan los números naturales básicos, para formar

cualquier número superior.

Estos números se pueden combinar entre sí y colocarse en diferentes posiciones para

representar cualquier número.

Números dígitos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

¿Cómo se leen los números naturales?

Se leen de izquierda a derecha, según la separación de los puntos de miles y de millones.

...Unidad

de millón

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil Centena Decena Unidad

... UMi CM DM UM C D U

MillónMil MilMil

BillónTrillón

Orden en los naturales

El orden que tienen los números naturales, nos permite establecer las relaciones... ““SUCESOR” y “ANTECESOR”SUCESOR” y “ANTECESOR”

Todos los números naturales los podemos representar en una recta numérica...

El SUCESOR de un número es aquél que está ubicado inmediatamente a la derecha en la recta numérica y se representa:

El ANTECESOR de un número es aquél que está ubicado inmediatamente a su izquierda en la recta numérica y se representa:

CRITERIOS DE ORDENCRITERIOS DE ORDEN ☛

> “MAYOR QUE”

< “MENOR QUE”

= “IGUAL QUE”•Orden de mayor a menor

•Series numéricas

n + 1n + 1

n – 1n – 1

Propiedades en los naturalesEl conjunto de los números naturales posee las siguientes propiedades:

Propiedad 1Propiedad 1 Todo número natural tiene un sucesor.

Esto significa “el número + 1”

Propiedad 2Propiedad 2 Todo número natural, excepto el cero, tiene un antecesor.

Esto significa “el número – 1”

Propiedad 3Propiedad 3 El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos.

Esto significa que, el conjunto de los naturales es infinito.

Propiedad 4Propiedad 4 El conjunto de los números naturales es discreto.

Es decir que, entre dos números naturales existe un número finito de naturales.

Propiedades Propiedades de los de los n meros ún meros ú

NATURALESNATURALES

Números pares y números imparesNúmeros pares y números impares

Números pares

Son todos aquellos que son múltiplos de 2 o que son divisibles por 2.

El conjunto de los números pares se puede representar por:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 2n...}

P = { x /∊ ℕ x = 2 • n, n ∊ ℕ }

Números impares

Son todos aquellos que están formados por la adición de un número par y el uno y se

anota: 2n - 1

El conjunto de los números impares se puede representar por:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 2n+1...}

P = { x /∊ ℕ x = 2n-1, n ∊ ℕ }

n = 1 2 • 1 = 2

n = 2 2 • 2 = 4

n = 3 2 • 3 = 6

n = 1 (2 • 1 ) - 1 = 1

n = 2 (2 • 2 ) - 1 = 3

n = 3 (2 • 3 ) - 1 = 5

Números primos y números compuestosNúmeros primos y números compuestos

Números primos

Se dice que un número natural es primo, si tiene exactamente dos factores distintos que

son el 1 y el mismo número.

El conjunto de los números primos es infinito.

Números compuestos

Se dice que un número natural distinto de 1 es compuesto, cuando posee más divisores que

él mismo y el uno.

El conjunto de los números compuestos, también es infinito.

5 = {1 x 5} 5 = {1, 5 }

{5 x 1}

6 = {1 x 6} 6 = {1, 2, 3, 5 }

{2 x 3}

7 = {1 x 7} 7 = {1, 7}

{7 x 1}El 1 no es número primo ni compuesto, porque 1 • 1 = 1,

pero 1 y 1 no son factores distintos, además, solo tiene 1 factor que es 1.

6 = {1 x 6} 6 = {1, 2, 3, 6 }

{2 x 3}

7 = {1 x 7} 7 = {1, 7}

{7 x 1}

12 = {1 x 12} 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }

{2 x 6}

{3 x 4}

Erastóstenes

Criba de Erastóstenes Es una tabla denominada también "Tabla

de los números absolutos" y nos permite obtener los primeros números primos. Erastóstenes estableció un método para obtener los números primos, hasta un cierto límite. La regla es la siguiente.

La criba de Erastóstenes. Instrucciones: Escucha atentamente las

instrucciones de la profesora y marca con X los múltiplos indicado por ella.

1. Se tacha los números pares hasta un límite prefijado, excepto el mismo 2

2. Se tacha los números múltiplos de 3, excepto el mismo 3. 3. Se tacha los números múltiplos de 5, excepto el mismo 5. 4. Se tacha los números múltiplos de 7, excepto el mismo 7. 5. Se tacha los números múltiplos de 11, excepto el mismo 11 6. Se tacha los números múltiplos de 13, excepto el mismo 13. 7. Se tacha los números múltiplos de 17, excepto el mismo 17. 8. Se tacha los números múltiplos de 19, excepto el mismo 19

9. Se sigue así indefinidamente .

Ahora pasamos en limpio los números que quedaron sin tachar.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

Ejercicio: ¿De los siguientes números cuáles son números primos?

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 15: 20: 53

A pesar de que no hay una fórmula que permita hallar todos los números primos, existen algunas fórmulas sencillas con las que se obtienen varios primos consecutivos. Así por ejemplo:

a) n2 + n + 17 genera primos desde n = 1 a n = 16.

b) 2n2 + 29 genera primos desde n = 1 a n = 28.

c) n2 – n + 41 genera primos desde n = 1 a n = 40.

Comprueba las afirmaciones anteriores

Factores, divisores y múltiplosFactores, divisores y múltiplos

Factores

Los factores de un número, son aquellos

números que se multiplican por otro en

una multiplicación.

Divisores

Los divisores de un número, son aquellos

números que lo dividen en forma exacta a dicho

número.

Múltiplos

Los múltiplos de un número, son aquellos

números que resultan de la multiplicación de dicho número por otro

número natural.

M18 = { 18 , 36 , 54 , 72 , ...}

18•1 18•2 18•3 18•4

F18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }

F18 { (1 • 18 ) ; ( 2 • 9 ) ; (3 • 6 ) }

D18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }

18 : 1 = 18 18 : 6 = 3

18 : 2 = 9 18 : 9 = 2

18 : 3 = 6 18 : 18 = 1

FactoresEjemplos:

a) El conjunto de todos los factores de 12 es: F(12) = {1,2,3,4,6,12}

b) El conjunto de todos los factores de 15 es: F(15) = {1,3,5,15}

DivisoresEjemplos:

a) 5 si es divisor de 15 ; 5 si está contenido en 15 tres veces.

b) 7 no es divisor de 20 ; 7 no está contenido en 20 un número entero de veces.

1.-Determinemos los divisores de 18, o sea números que dividen al 18.

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

2.- Determinemos ahora los divisores de 24, o sea números que dividen al 24.

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Si observas verás que hay varios números

que son divisores comunes (los de color), pero el máximo, o sea el mayor es 6

MultiplosEjemplos:

a) 15 si es múltiplo de 5 ; 15 si contiene a 5 tres veces.

b) 20 no es múltiplo de 7 ; 20 no contiene a 7 un número entero de veces.

Más Ejemplos:

a) El conjunto de todos los múltiplos de 2 es: M(2) = {2,4,6,….

b) El conjunto de todos los múltiplos de 15 es: M(15) = {15,30,45….

Reglas de divisibilidadReglas de divisibilidad

Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres.

Divisibilidad por 4 Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o estas cifras son divisibles por cuatro.

Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5.

Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Divisibilidad por 7Un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7.

Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.

Divisibilidad por 100 Un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero.

Divisibilidad por 1.000 Un número es divisible por 1.000, sus tres últimos dígitos son cero.

Divisibilidad por 10.000 Un número es divisible por 10.000, sus cuatro últimos dígitos son cero.

Ejercicios Divisibilidad Usando los criterios de divisibilidad, el

número 641 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.

Usando los criterios de divisibilidad, el número 724 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.


Factorización primaFactorización prima

Todo número compuesto, se puede descomponer en factores primos y de una sola manera que se denomina factorización.

Cuando un número tiene varios factores, es necesario utilizar algún método que nos

facilite la búsqueda.

MÉTODO DE ÁRBOL DE FACTORES

MÉTODO DE tabla DE FACTORES

72

8 9

4 2 3 3

2 2 2 3 3

Factorización de 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

Estos métodos pueden ser:

a) Método de árbol de factores

b) Método de tabla de factores

72

3618931

22233

:

Factorización de 72 expresado como potencia = 23 • 32

Ejercicios Factorización Prima

Mínimo Común Múltiplo (MCM)Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor elemento distinto de cero del conjunto de sus múltiplos comunes. Se designa MCM.

Para encontrar el MCM, entre dos o más números, podemos utilizar 2 métodos: el conjuntista y el de factores primos.

método conjuntista

Se identifican algunos múltiplos de cada número, utilizando sistema de llaves.

método factores primos

Se descomponen simultáneamente los números en sus factores primos y luego se

multiplican dichos factores comunes.

M3 = { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 21 , 24 ,...}

M4 = { 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 ,...}

M6 = { 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , ...}

223

3

331

:4

21

6

331

MCM entre 3 , 4 , 6 MCM entre 3 , 4 , 6

2 • 2 • 3 = 12

Ejemplo1:

El M.C.M. de 4 , 6 y 9 es 36; ya que 36 es el menor número que contiene exactamente a cada una de estas cantidades.

Más Ejercicios:a) El M.C.M. de 12 , 18 y 21 es:

b) El M.C.M. de 14 , 24 y 27 es :

Máximo Común Divisor (MCD)Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor de dos o más números naturales, es el mayor de sus divisores comunes distinto de cero. Se designa MCD.

Para encontrar el MCD, entre dos o más números, podemos utilizar 2 métodos: el conjuntista y el de factores primos.

método conjuntista

Se identifican algunos divisores de cada número, utilizando sistema de llaves.

método factores primos

Se descomponen por separado los números en sus factores primos y luego se multiplican todas las potencias de igual base, de cada factorización

completa, considerando en cada caso las de menor exponente.MCD entre 18 y 12

MCD entre 18 y 12

D18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }

D12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }

18

931

233

12

631

223

18 = 2 • 32 12 = 22• 3MCD de 18 y 12 = 6

MCD de 18 y 12 = 6 porque 2 • 3 = 6

Luego El M.C.D. de dos o más cantidades, es el

mayor número que divide exactamente a cada una de ellas.

Ejemplo:El M.C.D. para 24 , 56 y 72 es 8 ; ya que 8 es

el mayor número que divide exactamente a cada una de estas cantidades.

Más Ejerciciosa) El M.C.D. para 9, 18, 27 y 45 es:

b) El M.C.D. para 24 , 28 , 32 y 36 es :

Ejemplo:a) Para las cantidades 36 , 48 y 120 se tiene

que: 36 22 32

48 24 3 120 23 3 5 Luego: M.C.D. =

M.C.M. =

1) Determine por factores primos el M.C.D. y el M.C.M. para las cantidades:

a) 60 , 72 y 108 donde: b) 40 , 54 , 72 y 144 donde:

60 = 40 = 72 = 54 = 108 = 72 =

144 =

M.C.M. = M.C.M. =

M.C.D. = M.C.D. =

PotenciasPotencias

Las potencias son el “producto de factores iguales”

Se puede decir que las potencias corresponden al producto de un factor llamado base que se multiplica por sí mismo, tantas veces lo indica el factor exponente.

• Base es el factor que se repite

• Exponente es el número de veces que se repite el factor.

Cada potencia se puede leer de 2 formas diferentes:

62 “Seis elevado al cuadrado”

“Seis elevado a dos”

83 “Ocho elevado al cubo”

“Ocho elevado a tres”

74 “Siete elevado a la cuarta”

“Siete elevado a cuatro”

25 “Dos elevado a la quinta”

“Dos elevado a cinco”

La potencia 1 de un natural es el mismo natural.

11 = 1 21 = 2 31 = 3

La potencia 0 de un natural siempre será 1.

10 = 1 20 = 1 30 = 1

Potencia 25

Lectura “Dos elevado a cinco”

Desarrollo 2 • 2 • 2 • 2 • 2

Valor 32

Operaciones con Potencias Multiplicación de potencias de igual baseMultiplicación de potencias de igual base..

Se conservan las bases y se suman los exponentes.

mnmn aaa +=•74343 2222 ==• +

Operaciones con Potencias División de potencias de igual baseDivisión de potencias de igual base..

Se conservan las bases y se restan los exponentes.

mnmn aaa −=÷

23535 2222 ==÷ −

Ejercicios Potencias Escribe cada una de las siguientes

multiplicaciones como una potencia y calcula su valor.

a) 13 · 13 · 13

b) (7) · (7) · (7) · (7) · (7)

c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) 10 · 10 · 10 · 10 Encuentra el valor de cada potencia.

a) 153 c) 133 e) 302

b) 54 d) 122 f) 104

Operaciones con Potencias Multiplicación de potencias de igual Multiplicación de potencias de igual

exponente.exponente.

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

( ) nnn abba =•

( ) 5555 63232 =•=•

Operaciones con Potencias División de potencias de igual exponenteDivisión de potencias de igual exponente..

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

nnn

b

aba

=÷

22

22 55

25525 =

=÷

Ejercicios Potencias ( 52)3 : 54 – (32 x 3)0 = (52 x 62 ) : ( 61 + 8 +90) =

Operatoria, Operatoria, algoritmos algoritmos

y y propiedadespropiedades

Adición en los NaturalesAdición en los Naturales

Podría definirse la adición, como la operación en que se reúne (junta) dos o

más sumandos en una sola cantidad llamada suma o total.

Los términos de una adición son sumandos y suma.

Propiedades de la adición

Propiedad 1 Clausura

Si sumamos dos números naturales, cualesquiera que ellos sean, el resultado

siempre será un número natural.

Si 5 4 ∈ℕ ∧ ∈ℕ

Entonces, 5 + 4 = 9∈ℕ

Propiedad 2 Asociatividad

Aunque los sumandos se agrupen en paréntesis, sin siquiera cambiar el orden, la

suma sigue siendo la misma.

a + ( b + c) = ( a + b ) + c

Propiedad 3 Elemento neutro 0

Si a cualquier número natural, se le suma cero, se obtiene el mismo número como

resultado.

a + 0 = a 0 + a = a

Propiedad 4 Conmutatividad

Al sumar dos números naturales, aunque se cambie el orden de los sumandos, la suma

sigue siendo la misma.

a + b = b + a

Sustracción en los NaturalesSustracción en los Naturales

La sustracción es la operación inversa a la adición.

A toda adición, le corresponden dos sustracciones.

Los términos de una sustracción son minuendo, sustraendo y resta o

diferencia.

La sustracción se resuelve de derecha a izquierda, según cada columna correspondiente al valor posicional, transformándose ésta en pequeñas sustracciones.

Cuando la cifra del dividendo no puede ser restada, entonces se pide 1decena, 1 centena, 1

unidad de mil, ... al número de la posición siguiente para

completar la cantidad que sí podrá restarse.


Si restamos dos números naturales cualesquiera que ellos sean, el resultado no

siempre será un número natural. Para obtener una resta o diferencia en el conjunto de los naturales, el minuendo debe ser mayor o

igual que el sustraendo.

48 – 23 = 25 ∈ℕ

17 – 45 = imposible resolver en los ℕ

Propiedades de la sustracción


La sustracción en el conjunto de los números naturales no es asociativa, por tanto esta

propiedad no se cumple.

18 – (4 – 2) ≠ (18 – 4) – 2

18 – 2 ≠ 14 – 2

16≠ 12

Propiedad 3 Neutro

En la sustracción de los naturales no existe un neutro, sólo al sustraer o restar el cero, se

obtiene el mismo número natural.

8 – 0 = 8 no tiene

solución natural


No se cumple la propiedad conmutativa en la sustracción de números naturales.

7 – 4 ≠ 4 – 7 no tiene

solución natural

Multiplicación en los NaturalesMultiplicación en los Naturales

Si en una adición todos los sumandos son iguales, definimos una nueva operación llamada multiplicación.

7 + 7 + 7 + 7 = 28 Adición .

4 veces 7 es 28 Afirmación .

4 • 7 = 28 Multiplicación

Representación 7

4 veces 7

Los términos de una multiplicación son factores y producto.

La disposición que se hace para efectuar una multiplicación se puede visualizar de dos maneras:

Para calcular: Anotación abreviada:

Propiedades de la multiplicación


El producto de dos números naturales es un número natural.

Si 5 2 ∈ℕ ∧ ∈ℕ 5 • 2 = 10 El número 10∈ℕ


Al multiplicar tres o más naturales, se agrupa usando paréntesis (indica prioridad en la operación). Si no se cambia el orden de

ubicación, el producto no se altera.

2 • (4 • 7) = (2 • 4) • 7 2 • 28 = 8 • 7 56 = 56


Si al multiplicar cambiamos el orden de los factores, el producto no se altera.

6 • 4 = 4 • 6 24 = 24

Propiedad 4 Absorción del cero

Todo número multiplicado por cero se obtiene como producto cero.

3 • 0 = 0 • 3 = 0 7 • 0 = 0 • 7 = 0

Propiedad 6 Distributividad

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del

número por cada sumando.

3 • (2 + 4) = (3 • 2) + (3 • 4) 3 • 6 = 6 + 12 . 18 =

18 .

Propiedad 5 Elemento neutro 1

Al multiplicar un número natural por 1, este número no se altera.

8 • 1 = 8 52 • 1 = 52

División en los NaturalesDivisión en los Naturales

La división es la operación inversa de la multiplicación.

Las divisiones pueden ser exactas o inexactas, dependiendo del residuo. Si el residuo es cero, la división es exacta, pero si el residuo es 1 u otro

número mayor que 1, entonces la división es inexacta.

Los términos de una división son: dividendo, divisor, cociente y residuo.

División exacta División inexacta

Para comprobar si una división está correcta, se multiplica el cociente por el divisor y el resultado se le suma al resto. El resultado final será igual al dividendo.

COCIENTE • DIVISOR + RESTO = DIVIDENDO

Algoritmo de la división

Propiedades de la división

Propiedad 1

Clausura

El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro

número natural o entero.

2 : 6 ∉ ℕ

Propiedad 3

Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0 0 : 2 = 0

Propiedad 2

Conmutatividad

No es conmutativa. No existe solución en el conjunto de los naturales.

6 : 2 ≠ 2 : 6

Propiedad 4

No se puede dividir por 0.

Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.

Propiedad 6

División entera

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

Dividendo = divisor • cociente + residuo

Propiedad 5

División exacta

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Dividendo = divisor • cociente

resumen de los numeros naturales unidad2 lorna

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