LINEAS DE ESPERA

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE MACUSPANADivisin de Ingeniera en Gestin Empresarial Modelo de competencia

INVESTIGACION DE OPERACIONES

PRESENTA:JIENI ROXANA HERNNDEZ IZQUIERDO

UNIDAD IV >

DOCENTE:ING. MARCIAL VERAZALU DE LOS SANTOS

Ingeniera gestin empresarial Semestre: 4

NDICE

INTRODUCCION34.1 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA44.1.1 UN SERVIDOR UNA COLA54.1.2 N SERVIDORES UNA COLA64.1.3 N SERVIDORES N COLAS LINEAS DE ESPERA64.2 CRITERIOS DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIN DEL MODELO APROPIADO DE LINEAS DE ESPERA.7Modelo generalizado de cola de Poisson7Colas especializadas de Poisson84.3 APLICACIN MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA9Modelos de decisin con colas9Modelos de costo9Modelo del nivel de aspiracin.94.4 INFERENCIA DE RESULTADOS10CONCLUSION11BIBLIOGRAFIA12ANEXOS13CUADRO COMPARATIVO14Resolucin de Ejercicios16Inferencia entre la distribucin exponencial y de Poisson20

INTRODUCCIONLas "colas" son un aspecto de nuestra vida moderna que normalmente podemos encontrar en nuestrasactividadesdiarias. Como ejemplos podra mencionar: el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en losBancos, etc., este fenmeno de las colas surge cuando unosrecursoscompartidos necesitan ser accedidos para darservicioa un elevado nmero de trabajos oclientes.Elestudiode las colas es de suma importancia ya que proporciona tanto una base terica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseado para proporcionar un determinadogradode servicio a sus clientes.Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy til eldesarrollode una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las caractersticas que tiene un determinadomodelode colas.Lateora de colases el estudio matemtico delcomportamientode lneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad deatencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y elcliente decide esperar, entonces se forma la lnea de espera.Unacolaes una lnea de espera y lateorade colas es unacoleccindemodelosmatemticosque describensistemasde lnea de espera particulares o sistemasde colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costos delsistemay los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado.

4.1 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERALa teora de colas es el estudio de los sistemas de lneas de espera en sus distintas modalidades.

El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma ms efectiva de gestionar un sistema de colas Demasiada capacidad de servicio => Excesivos gastos Poca capacidad de servicio => Mal servicio

Objetivo: Encontrar un balance adecuado entre el coste del servicio y los tiempos de espera.

Fuente de entrada: (poblacin de clientes potenciales). Se dice que es limitada o ilimitada segn si su tamao es finito o infinito. Usualmente se asume que es ilimitada (el caso finito es ms difcil analticamente)

Clientes: entran al sistema cada cierto tiempo y se unen a una cola. Se debe especificar el patrn estadstico mediante el cual los clientes entran al sistema.

Proceso de llegada: La suposicin habitual es que los clientes acceden al sistema segn un proceso de Poisson, lo que significa que los clientes que llegan en un intervalo determinado de tiempo siguen una distribucin Poisson, con tasa media fija y sin importar cuntos clientes ya estn en el sistema. Una suposicin equivalente es que los tiempos entre dos llegadas consecutivas (tiempo entre llegadas) es exponencial.

Cola: cuando los clientes entran al sistema se unen a una cola. La cola es donde los clientes esperan a ser servidos. Una cola se caracteriza por el nmero mximo de clientes que puede admitir. La suposicin de una cola infinita es ms fcil de manejar que la de una cola finita. Tambin pueden considerarse otras suposiciones acerca del comportamiento de los clientes cuando llegan al sistema, como por ejemplo que un cliente rehse acceder al servicio porque la cola es demasiado larga.

Disciplina de la cola: En un determinado momento se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. La disciplina de servicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para recibir el servicio. FIFO (ms comn) Aleatorio LIFO Sistema de prioridades

Mecanismo de servicio: cuando un cliente es tomado de la cola, accede al mecanismo de servicio, que consiste en una secuencia de instalaciones de servicio en serie que el cliente debe pasar para completar el servicio. Cada instalacin de servicio estar formada por varios canales de servicio paralelos, llamados servidores. Se debe especificar el nmero de instalaciones de servicio en serie y el nmero de servidores paralelos en cada una de ellas. Los modelosMs comunes suponen una nica instalacin con uno o varios servidores disponibles.

Proceso de servicio: En cada instalacin, el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su fin en dicha instalacin se llama tiempo de servicio. El modelo de colas debe especificar la distribucin de probabilidad del tiempo de servicio de cada servidor, y quizs de cada tipo de cliente, aunque lo comn es que todos los servidores sigan la misma distribucin. La suposicin ms habitual es que este tiempo de servicio es exponencial. 4.1.1 UN SERVIDOR UNA COLATodos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola, ejemplos de ellos son los bancos, restaurantes, hospitales, pizzeras, etc.Las lneas de espera trata de cuantificar el fenmeno de espera formando colas mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella y la utilizacin promedio de las instalaciones.Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola La instalacin del servicioEl modelo defilas de espera ms sencillo corresponde a un solo servidor y una sola fila de clientes.Para especificar con ms detalle el modelo, haremos las siguientes suposiciones:1. La poblacin de clientes es infinita y todos los clientes son pacientes.2. Los clientes llegan de acuerdo con una distribucin dePoisson y con una tasa media de llegadas de. 3. La distribucin del servicio es exponencial, con una tasa media de servicio de . 4. A los clientes que llegan primero se les atiende primero. 5. La longitud de la fila de espera es ilimitada.

4.1.2 N SERVIDORES UNA COLAUna lnea de espera con canales mltiples consiste en dos o ms canales de servicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. En el modelo con mltiples servidores, los clientes forman una sola fila y escogen, entre s servidores aquel que est disponible. El sistema de servicio tiene una sola fase. Partiremos de las siguientes suposiciones, adems de las que hicimos para el modelo con un solo servidor: tenemos s servidores idnticos, y la distribucin del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio igual a 1/.

4.1.3 N SERVIDORES N COLAS LINEAS DE ESPERAEl tercer sistema, en que cada servidor tiene una lnea separada, es caracterstico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sera vlido slo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separacin no sera vlida.

Consideremos ahora una situacin en la que todas las suposiciones del modelo con un solo servidor son apropiadas, excepto una. En este caso, la poblacin de clientes es finita, porque slo existen N clientes potenciales. Si N es mayorque 30 clientes resulta adecuado el modelo con un solo servidor, sobre la suposicin de que la poblacin de clientes sea infinita. En los dems casos, el modelo con fuente finita es el que ms conviene utilizar.4.2 CRITERIOS DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIN DEL MODELO APROPIADO DE LINEAS DE ESPERA.La distribucin exponencial se usa para describir el tiempo entre llegadas del modelo de nacimiento puro y el tiempo entre salidas de muertes puro. Un producto secundario del desarrollo de los modelos es la demostracin de la estrecha relacin entre la distribucin exponencial y de Poisson en el sentido que una distribucin define en forma automtica la otra.

Modelo de nacimientos puros; Se define como la probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo como el tiempo entre llegadas es exponencial y la frecuencia es clientes por unidad de tiempo. La distribucin exponencial se basa en la hiptesis que durante un tiempo suficientemente pequeo h0 puede presentarse cundo mucho una llegada.

Modelo de muertes puras; El sistema comienza con N clientes cuando el tiempo es 0 y no se permiten ms llegadas las salidas se hacen con las frecuencias de clientes por unidad de tiempo para deducir la ecuaciones en diferencias y diferenciales para la probabilidad de clientes remanentes a las unidades de tiempo se usan los argumentos utilizados en el modelo de los nacimientos puros Modelo generalizado de cola de PoissonSe combinan llegadas y salidas basados en la hiptesis de Poisson: los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribucin exponencial, el modelo es la base para deducir modelos de Poisson especializados. El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la cola que se alcanza despus de que el sistema ha estado funcionando durante el tiempo suficiente largo, esta clase de anlisis contrasta con el comportamiento transitorio que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salidas dependen del estado, y eso quiere decir que depende de la cantidad de clientes en la instalacin de servicios.

Colas especializadas de PoissonUn cliente en espera se selecciona de la cola para iniciar su servicio en el primer servidor disponible la frecuencia de llegar al sistema es cliente por unidad de tiempo. Todos los servidores estn en paralelo y son idnticos lo que quiere decir que loa tasa de servicio en cualquier servidor es clientes por unidad de tiempo la cantidad de clientes en el sistema incluye por definicin los que hay en el servicio y los que esperan en la cola.En teora de probabilidad y estadstica, la distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.La funcin de masa o densidad de la distribucin de Poisson es

Donde X es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente X veces). es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra X veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribucin de Poisson con = 104 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2.71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribucin de Poisson son iguales a . Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en cuyos coeficientes tienen una interpretacin combinatoria.4.3 APLICACIN MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA Modelos de decisin con colasEl nivel de servicio de una instalacin con lneas de espera es una funcin de la tasa de servicio y de la cantidad de servidores en paralelo existen principalmente dos modelos de sistemas de colas el modelo de costo y el modelo de nivel de aspiracin. En ambos modelos se reconoce que los mayores niveles de servicio reducen el tiempo de espera en el sistema. Los dos modelos tratan de llegar a un notable balance entre los factores opuestos, de nivel de servicio y de espera.

Modelos de costoEn los modelos de costo se trata de balancear dos costos opuestos:El costo de ofrecer el servicioEl costo de demorar la oferta del servicio (el tiempo que espera el cliente)Las dos clases de costo se contraponen, porque al aumentar una se reduce la otra automticamente.

Modelo del nivel de aspiracin.La viabilidad del modelo de costo depende de lo bien que se puedan estimar los parmetros de costo, en general es difcil de estimarlo. El modelo de aspiracin alivia esta dificultad al trabajar en forma directa con las medidas de desempeo de la cola que se trate, la idea es determinar un intervalo aceptable de nivel deservicio especificando lmites razonables de medidas contrapuestas de desempeos. Esos lmites son los niveles de aspiracin que desea lograr quien toma las decisiones. El procedimiento al modelo de varios servidores donde se determina una cantidad aceptable de servidores esto se hace teniendo en cuenta las dos medidas contrapuestas de desempeo.

4.4 INFERENCIA DE RESULTADOS

Inferenciaes laaccin y efecto de inferir(deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un resultado). La inferencia surge a partir de una evaluacin mental entre distintas expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicacin lgica.

Al partir dehiptesisoargumentos, es posible inferir una conclusin(que puede resultar verdadera o falsa).

El papel de la distribucin Poisson y exponencial en los modelos analticos de las lneas de esperara indica en que sin ambas,no existen resultados analticos para este tipo de situaciones ya sea en tiempos de llegada, deservicio o ambos.

CONCLUSIONComo conclusin se puede decir que la teora de las colas es el estudio matemtico de las colas o lneas de espera. Esta informacin se deriva a travs de un fenmeno comn que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a laofertaefectiva.Dicho as, lasempresas deben tomar decisiones respecto a sus servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cundo llegarn los clientes que demandan el servicio o cunto tiempo ser necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con informacin escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir los servicios, estn pagando un costo, en tiempo, ms alto del que esperaban. Las lneas de espera largas tambin son costosas por tanto para laempresaya que producen prdida de prestigio y prdida de clientes.La teora de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la informacin vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas caractersticas sobre la lnea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

BIBLIOGRAFIA

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=un%20servidor%2C%20una%20cola.&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.itescam.edu.mx%2Fprincipal%2Fsylabus%2Ffpdb%2Frecursos%2Fr67805.DOC&ei=-CrCUMvWIZKe8gT014DIDw&usg=AFQjCNHN4vtS2DPg4cWR5A3yWeGKcO0q3w Investigacindeoperaciones. Sptima edicin. Handy A. Taha. University of Arkansas, Fayetteville. TRADUCCIN: Virgilio Gonzlez Pozo. Ingeniero Qumico.Captulo 17.

ANEXOS

CUADRO COMPARATIVODistribucin exponencialDistribucin de Poisson

1.- Sirven para las entradas al sistema.

2.- Distribucin de probabilidad continua que muestra la probabilidad de duracin de tiempo t entre 2 eventos independientes.

3.- Se usa frecuentemente para describir la distribucin del tiempo entre eventos, o para describir el tiempo de duracin de un servicio, especficamente, la variable aleatoria que representa el tiempo de cada servicio.

4.- La distribucin del tiempo que transcurre entre las llegadas de cada paciente, el tiempo que tarda un cliente utilizando los servicios de un cajero automtico, el tiempo que lleva atender un automvil en el auto lavado, etc.

5.- Se usa para describir el tiempo entre llegadas sucesivas.

6.- El valor de la media es en unidades de tiempo.

Los tiempos aleatorios entre llegadas se describe en forma cuantitativa en los modelos de colas con la distribucin exponencial.

1.-Se refieren a los tiempos de servicios.

2.- Distribucin de probabilidad discreta que muestra la probabilidad de X ocurrencias de un evento en un perodo de tiempo o espacio determinado.

3.- Se usa frecuentemente para definir procesos de llegadas a un sistema. Se ha encontrado que la distribucin de Poisson proporciona una buena descripcin del patrn de llegadas.

4.- La distribucin de probabilidad del nmero de llegadas de pacientes a un hospital por unidad de tiempo, la llegada de clientes a un banco, el nmero de coches que llegan a un auto lavado, etc.

5.- Cantidad de llegadas durante un periodo especificado.

6.- El valor de la media es en llegadas durante el tiempo.

Supone un nmero muy grande (infinito) de llegadas, cada una de ellas con una pequea probabilidad de ocurrencia. El nmero de llegadas en un perodo de tiempo no afecta el comportamiento en el siguiente.

Si en un sistema las llegadas se apegan a una distribucin de Poisson, entonces los tiempos entre llegadas se apegan a una distribucin exponencial.

Las fuertes relaciones entre las distribuciones exponenciales y de Poisson, para una frecuencia de llegadas por unidad de tiempo se pueden resumir como sigue:

ExponencialDe Poisson

Variable AleatoriaTiempo t entre llegadas sucesivasCantidad n de llegadas durante un periodo especificado T

Intervalot 0n= 0, 1, 2,

Funcin de densidad

Valor de la media

Probabilidad acumulada

P ( no haya llegadas durante el periodo A)

Resolucin de Ejercicios 1. Identifique al cliente y al servidor en cada uno de los casos siguientes:a) Aviones que llegan a un aeropuerto. R= el aeropuerto es el servidor y los aviones los clientes.b) Sitio de taxis que atiende a pasajeros que esperan. R=el sitio de taxis el servidor y los pasajeros los clientes.c) Herramientas verificadas en un taller de maquinado. R= las herramientas verificadas seran los clientes y el taller de maquinado el servidor.d) Cartas procesadas en una oficina postal. R= las cartas procesadas seran los clientes y la oficina postal el servidor.e) Inscripcin para clases en una universidad. R= la universidad el servidor y la inscripcin para clases seria el cliente.f) Juicios en la corte. R= los juicios son los servidores y la corte los clientes.g) Operacin de pagar en un supermercado. R= la operacin de pagar se refiere a los clientes y el supermercado al servidor. h) Funcionamiento de un estacionamiento. R= el estacionamiento seria el servidor y el funcionamiento de dicha instalacin se refiere al cliente.

2. Para cada una de las situaciones en el problema 1, identifique lo siguiente: (a) la naturaleza de la fuente solicitante (finita o infinita); (b) la naturaleza de los clientes que llegan (individualmente o en masa); (c) el tipo del tiempo entre llegadas (probabilstico o determinstico); (d) la definicin y el tipo del tiempo de servicio; (f) la capacidad de la cola (finita o infinita), y (g) disciplina en las colas. a) Aviones que llegan a un aeropuerto.Finita. B) individualmente. C) probabilstico. D) probabilstico. F) finita. G) SIROb) Sitio de taxis que atiende a pasajero que esperan. Finita. B) en masa. C) probabilstico. D) probabilstico. F) infinita. G) SIROc) Herramientas verificadas en un taller de maquinado.Infinita. B) en masa. C) determinista. D) determinista. F) finita. G) PEPS

d) Cartas procesadas en una oficina postal. Infinita. B) en masa. C) probabilstica. D) probabilstica. F) infinita. G) SIRO

e) Inscripcin para clases en una universidad. Finita. B) individualmente. C) determinista. D) determinista. F) Finita. G) FCFC f) Juicios en la corte. Finita. B) individualmente. C) determinista. D) determinista. F) Finita. G) FCFC g) Operacin de pagar en un supermercado. Finita. B) en masa. C) probabilstica. D) probabilstico. D) probabilstico. F) infinita. G) SIROh) Funcionamiento de un estacionamiento.Finita. B) individual. C) probabilstica. D) probabilstico. D) probabilstico. F) infinita. G) SIRO3. Estudie el siguiente sistema e identifique las situaciones de colas asociadas. En cada situacin, defina los clientes, el(los) servidor(es), la disciplina en colas, el tiempo de servicio, la longitud mxima de la cola y la fuente solicitante.

En un taller se reciben rdenes de trabajo para ser procesadas. Cuando las recibe, el supervisor decide si es un trabajo urgente o regular. Algunas rdenes requieren el uso de una o de varias mquinas idnticas. Las rdenes restantes se procesan en una lnea de produccin de dos etapas, de la cual dos estn disponibles. En cada grupo, se asigna una instalacin para manejar los trabajos urgentes. El trabajo es el cliente y el supervisor es el taller de procesamiento. La disciplina es de orden aleatorio. El tiempo de servicio es probabilstico, la longitud de la cola es muy larga ya que existe mucho trabajo por hacer. La fuente de los clientes es infinita.

Los trabajos que llegan a cualquier instalacin se procesan en el orden en que llegan. Las rdenes terminadas se envan en cuanto llegan de una zona de envo de capacidad limitada. Los clientes son los trabajos que llegan, el servidor es la instalacin, la disciplina de la cola es primero en llegar primero en atender, el tiempo de servicio es probabilstico, la longitud mxima de la cola es finita y la fuente de los clientes de igual manera es finita.

Las herramientas afiladas para las diferentes mquinas se abastecen desde un depsito central de herramientas. Cuando una mquina se avera, se solicita una tcnico en mantenimiento del centro de servicio para que la repare. Las mquinas que procesan rdenes urgentes reciben prioridades tanto en la adquisicin de herramientas nuevas del depsito como en el servicio de reparacin.

Los clientes son las maquinas, el o los servidores son los reparadores, la disciplina de la cola es de orden aleatorio, el tiempo de servicio es probabilstico, la longitud mxima de la cola es finita y la fuente de los clientes es finita.

4. Cierto o falso? a) Un cliente impaciente que espera puede salirse de la cola. R=Cierto

b) Si se anticipa un largo tiempo de espera, un cliente que llega puede desistir de hacer cola. R= Cierto

c) Cambiarse de una cola a otra tiene por objeto reducir el tiempo de espera. R= Cierto

5. En cada una de las situaciones descritas en el problema 1, analice la posibilidad de que los clientes se cambien de cola, desistan de hacer cola o se salgan de una.a) Aviones que llegan a un aeropuerto. Se salga de una. b) Sitios de taxis que atiende a pasajeros que esperan. Se salga de una cola o se cambie de cola. c) Herramientas verificadas de un taller maquinado. No se sale de cola d) Cartas procesadas en una oficina postal.No se sale de cola e) Inscripciones para clases en una universidad. Espera en la cola. f) Juicios en la Corte. Espera en la cola o se salga de la cola. g) Operacin de pagar en un supermercado. Se cambia de cola para reducir tiempo. h) Operacin de un estacionamiento. Que salga de la cola o espera en la cola.

Inferencia entre la distribucin exponencial y de Poisson

Los resultados de las distribuciones exponenciales y de Poisson infieren desde el punto en que se indica en que sin ambas,no existen resultados analticos para el tipo de situacion de la linea de espera o del sistema de colas ya sea en tiempos de llegada, de servicio o ambos. Alguna de las limitantes es que la aplicacin de los problemas de lneas de espera estan extensa que slo una fraccin se puede resolver analticamente, lo dems deber hacerse mediante simulacin, ya que debido a su complejidad y para lograr un resultado en corto tiempo, deber tomarse esa decisin.En base al ejemplo del capitulo 17 de investigacion de operaciones sobre los nacimientos puros y muertes puras la distribuciones en los nacimientos puros son finitas en cambio en la de las muertes puras es infinita.La distribucin exponencial se utiliza para describir el tiempo entre llegadas en el modelo de nacimiento puro y el tiempo entre salidas en el modelo de muerte pura. Un subproducto del desarrollo de los dos modelos es demostrar la estrecha relacin entre la distribucin exponencial y la de Poisson, en el sentido de que una distribucin define automticamente a la otra.sta es una distribucin de poisson con media E { { n t}}= t de llegadas es exponencial con media 1/ entonces la cantidad de llegadas durante un periodo especfico t es Poisson con media t.

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