resumen de estadistica inferencial prueba de hipotesis

METODOS ESTADISTICOS

PRUEBAS DE HIPOTESIS ESTADISTICAS

PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE UNA SOLA MEDIA (VARIANZA DESCONOCIDA)

Aquí se utiliza la distribución t (student). En este caso se trabajan con muestras pequeñas, es decir, (n¿ 30).

Se presentan los siguientes pasos:

1. Datos y suposiciones. Se supone que la muestra es aleatoria y fue extraída de una población normal con varianza ( 2 ) desconocida.

2. Formular hipótesis acerca del parámetro o parámetros de acuerdo con el problema que se tiene ( hipótesis nula, hipótesis alterna).

H0 : = 0 contra H1 : ¿ 0

3. Escoger el nivel de significancia (). a) = 5% ó 0.05 b) = 1% ó 0.01. Estos son los niveles de significación más utilizados.

4. Escoger el estadístico de prueba apropiado.

t=

x̄−μ x̄

s x̄

= x̄−μs /√n

5. Determinar los valores críticos y regiones de rechazo. se establece la zona de rechazo si t>Tc. Tc = t critico esto me lo da la tabla, el otro t que esta en valor absoluto es el que me da el estadístico de prueba.

Se rechaza H0 , sí t>Tc ó –t <Tc . esto se debe a una propiedad de valor absoluto. Ahora por otro lado se puede decir que: Si se presentan dos colas, Tc = t/2,n-1 ; Tc = t1-/2,n-1

Si es de una cola, a la derecha o a la izquierda respectivamente, Tc= t,n-1 , Tc= t1-,n-1

n-1 son los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t se aproxima a la distribución normal.

GRADOS DE LIBERTAD: La cantidad n-1 es llamada grados de libertad (g.l) y es el número de observaciones que son linealmente independientes. En general, dado el tamaño de muestra (n), el número de grados de libertad (g.l) es n-k, donde k es el número de restricciones para los cálculos de un estadigrafo de prueba que abarque suma de cuadrados.

t6. Calcular el estadigrafo de prueba para los valores de las muestras al azar, de modo que puedan ser comparados con los valores críticos.

7. Decidir la aceptación o rechazo de la hipótesis nula y dar una conclusión al problema planteado.

EJEMPLO:Se ha realizado un experimento muy costoso para evaluar un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos. Con el nuevo proceso se han generado seis diamantes con pesos: 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57 0.54 quilates. Un estudio de los costos del proceso indica que el peso debe ser mayor que 0.5 quilates para que el proceso rinda utilidades. ¿ presentan los seis pesos observados suficiente evidencia de que el peso medio de los diamantes producidos por el nuevo proceso es superior a 0.5 quilates?.

DANIEL ANTONIO MARTINEZ CAUSIL - UNIVERSIDAD DEL SINU

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SOLUCIÓN:

1. Datos y suposiciones. la muestra es aleatoria y fue extraída de una población normal con varianza ( 2 ) desconocida. Pesos: 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57, 0.54. los anteriores datos se meten en la calculadora y arroja los siguientes resultados.

S=0.055857. X = 0.53. n=6 diamantes.


H0 : = 0.5H1 : > 0.5

3. Escoger el nivel de significancia (). = 5% ó 0.05.


t=

x̄−μ x̄

s x̄

= x̄−μs /√n

5. Determinar los valores críticos y regiones de rechazo. se establece la zona de rechazo si t>Tc. Tc = t0.05, 5 = 2.015 ó – 2.015. 6 – 1 = 6 –1 = 5 estos son los grados de libertad.

Como es de una cola, en este caso cola a la derecha, con alfa 0.05, se utilizaTc= t0.05, 5 = 2.015.

6. Calcular el estadigrafo de prueba para los valores de las muestras al azar, de modo que puedan ser comparados con los valores críticos.

t= 0 .53−0 .50 .055857 /√6 = 1.3156.

7. Decisión: se acepta H0. Conclusión: lo que quiere decir que los seis pesos observados no presentan suficiente evidencia de que el peso medio de los diamantes producidos sea superior a 0.5 quilates.

n

stX

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SI SE DESCONOCE LA VARIANZA y la población es normal

• Para n<30 utilizamos la varianza muestral s2

como estimador de σ2

.• Utilizamos la distribución t (x tiene distribución t con n-1 grados de libertad)

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METODOS ESTADISTICOSPRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LAS MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS (2) DESCONOCIDAS.

COMENTARIO: para aplicar la prueba t para dos poblaciones sobre sus medias, con poblaciones normales e independientes. Primero aplicamos la prueba F (Fisher) para observar como resultan las varianzas.

Aquí se presentan dos casos:

1) Cuando las varianzas son iguales, es decir. 12 = 2

2 = 2.2) Cuando las varianzas son diferentes, es decir. 1

2 ¿ 22 .

Consideremos el caso 1).

Caso 1). Cuando las varianzas poblacionales 12 y 2

2 no se conocen y deseamos estimar las diferencias de medias 1 - 2 se tiene que agregar una suposición adicional para poder utilizar la distribución t; esto es que las poblaciones deben estar distribuidas normalmente y las muestras deben ser aleatorias independientes, en este caso las varianzas poblacionales aunque sean desconocidas deberán ser iguales. Así, una prueba de igualdad de varianzas 1

2 = 22 se deberá llevar a cabo antes de

probar una hipótesis acerca de la diferencia de medias. Se desea probar.

H0: 1 - 2=0 contra H1: 1 - 2 ¿ 0

Se calcula con el estadístico de prueba t:

t =

( X1−X 2)−( μ1−μ2 )

S p√ 1n1

+ 1n2 ; donde

Sp2=

(n1−1 )S12+(n2−1 )S2

2

n1+n2−2 ;en este caso v = n1+n2 – 2 = grados de libertad =g.l.

caso 2). . 12 ¿ 2

2 .

Una solución al problema de varianzas desconocidas y diferentes fue propuesta por Bhrens (1929) y verificado luego por Fisher (1939). También propusieron soluciones Neyman (1941), Scheffé (1943) y Welch (1937 y 1947).

supóngase que se tienen dos poblaciones normales independientes con medias desconocidas 1 , 2 y varianzas desconocidas pero diferentes, se desea probar.

H0: 1 - 2=0 contra H1: 1 - 2 ¿ 0

Se calcula con el estadístico de prueba t.

t =

( X1−X 2)−( μ1−μ2 )

√ S12

n1

+S2

2

n2 ; con

v =

( S1

2

n1

+S2

2

n2)2

[ (S1

2

/n1)2

n1−1 ]+[ (S2

2

/n2)2

n2−1 ] donde v = grados de libertad = g.l.

se rechaza H0 sí |t|>tc (tc = t critico).


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EJEMPLO1: Pruébese la hipótesis de que la varianza entre pesos de niñas de cuarto grado, en base a muestras aleatorias con los valores siguientes (=0.05).

PROCEDIMIENTOS n Medias S2

Niños (x) 16 85.4 105.4Niñas (y) 25 88.7 136.3

SOLUCION:

Ahora aplicamos t.

Para probar la hipótesis de que no hay diferencias entre los pesos de los niños y las niñas de cuarto grado, se tomaron muestras, observándose los estadísticos muestrales según la tabla anterior: pruébese la hipótesis nula con alfa igual al 5%.

Como se desconocen la varianzas primero aplicamos F y nos quedó que las varianzas son iguales, por lo tanto seguimos la prueba de medias de muestras independientes. Los tamaños muestrales son menores que 30, así que emplearemos los siguientes pasos:

1. Datos y suposiciones. Los datos corresponden a dos muestras aleatorias simples independientes, cada una extraída de una población que sigue una distribución normal, con varianza ( 2 ) desconocida.

X = 85.4 Y = 88.7 nx=16. ny=25. SX2

=105.4 SY2

=136.3.

2. Formular hipótesis acerca del parámetro o parámetros de acuerdo con el problema que se tiene ( hipótesis nula, hipótesis alterna).H0 : x = y.H1 : x ¿ y.



t =

( X−Y )−( μx−μ y )

S p√ 1nx

+ 1n y ; donde

Sp2=

(nx−1)S x2+(n y−1)S y

2

nx+ny−2 ;

en este caso v = nx +ny – 2 = grados de libertad =g.l. 5. Determinar los valores críticos y regiones de rechazo. grados de libertad=39; tc = t39,0.025 = ± 2.426.


t =

(85 . 4−88 . 7)−(0 )

11. 15√ 116

+ 125

=−0 . 92

; donde

Sp2=

(15 )105 . 4+(24 )130 .339

=124 .3225 , entoncesS p=11.15;

en este caso v = nx +ny – 2 = grados de libertad =g.l. 16+25-2=39.7. Decisión: no se rechaza H0.


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METODOS ESTADISTICOSConclusión: no se observan importantes entre los pesos de los niños y las niñas de cuarto grado.PRUEBA DE HIPOTESIS A CERCA DE LA DISTRIBUCION DE PROPORCIONES.

EJEMPLO:

En un estudio designado a determinar la relación entre cierta droga y cierta anomalia en embriones de pollo, se inyectaron 50 huevos fertilizados con la droga en el cuarto dia de incubación. En el vigesimo dia de incubación los embriones fueron examinados y 12 presentaron la anormalidad. Queremos averiguar si la proporcion poblacional es inferior a 0.25 con un nivel de significación de 0.05.

Solución:

Aquí se presentan los siguientes pasos:

1. Datos . Se supone que la muestra es aleatoria y fue extraída de una población normal con varianza ( 2 = PQ).p=0.24 n=50 x=12 q=0.76


H0 : P = 0.25

H1 : P < 0.25



z= p−P

√ PQn

5. Determinar los valores críticos y regiones de rechazo. se establece la zona de rechazo sí Z>Zc.

Z1 = 1.96Z2 = -1.96


Z

= 0 .24−0. 25

√ 0 .25∗0 .7550 = - 0.1633

7. Decisión: se acepta la hipótesis nula.Conclusión: la proporción de embriones que presentan anormalidad al ser inyectados con una droga no es significativamente inferior a 0.25.

TAREA PARA LA PROXIMA CLASE INVESTIGAR. PRUEBA DE HIPOTESIS Y SU INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA VARIANZA Y SU INTERVALO DE CONFIANZA.

INVESTIGAR PRUEBA DE HIPOTESIS Y SU INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES PARA MUESTRAS GRANDES


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resumen de estadistica inferencial prueba de hipotesis

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