INSTITUTO TECNOLOGIO DE TUXTLA GUTIERREZ

ING BIOQUIMCA

PROGRAMACION DE METODOS NUMERICOS

ING MARCO ANTONIO MENDEZ ARCHEYTA

ALUMNO

CARLOS MARIO ARAUJO LLAVEN

6 semestre

RESUMEN CON GLOSARIO U-527 de noviembre de 2014 UNIDAD 5. Integracin y solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias

5.1. Integracin numrica.

5.1.1. Integracin numrica simple; Mtodo del trapecio, Mtodos de Simpson,

Integracin de Romberg. Cuadratura gausiana.

5.1.1.1. Integracin numrica mltiple.

5.1.1.2. Integrales de datos con error.

5.2. Solucin de ecuaciones diferenciales.

5.2.1. Mtodo de Euler.

5.2.2. Mtodos de Runge-Kutta.

5.2.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales.

5.2.4. Mtodos adaptativos de Runge- Kutta.

5.3. Ecuaciones diferenciales rgidas.

5.1. Integracin numrica.Constituye una amplia gama dealgoritmospara calcular el valor numrico de unaintegral definiday, por extensin, el trmino se usa a veces para describir algoritmos numricos para resolverecuaciones diferenciales. El trminocuadratura numricaes ms o menos sinnimo de integracin numrica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensin a pesar de que para el caso de dos o ms dimensiones (integral mltiple) tambin se utilizan.Los mtodos de integracin numrica pueden ser descritos generalmente como combinacin de evaluaciones del integrando para obtener una aproximacin a la integral. Una parte importante del anlisis de cualquier mtodo de integracin numrica es estudiar el comportamiento del error de aproximacin como una funcin del nmero de evaluaciones del integrando. Un mtodo que produce un pequeo error para un pequeo nmero de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el nmero de evaluaciones del integrando se reduce el nmero de operaciones aritmticas involucradas, y por tanto se reduce elerror de redondeototal. Tambin, cada evaluacin cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicadooIntegral definida: ClculooFrmula de los TrapeciosoRegla de SimpsonoIntegracin de RombergoOtros mtodos (Newton-Cotes, Gauss)5.1.1. Integracin numrica simple

El mtodo de los trapecios

El mtodo de los trapecios es muy simple y se puede explicar fcilmente.Cuanto mayor sea el nmero de divisiones del intervalo[a, b]que hagamos, menor serh, y ms nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuirhtanto como queramos, ya que el ordenador maneja nmeros de precisin limitada.

Mtodos de SimpsonPara cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximacin ms precisa dividiendoelintervaloen algn nmerode subintervalos, hallando una aproximacin para cada subintervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisin global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores ms precisos de la integral, a costa eso s de incrementar significativamente el coste operativo del mtodo.Integracin de rombergLa precisin de un mtodo de integracin del tipo Newton-Cotes es generalmente una funcin del nmero de puntos de evaluacin. El resultado es usualmente ms preciso cuando el nmero de puntos de evaluacin aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece. Qu pasa cuando la anchura del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o ms anchuras de paso(extrapolacin de Richardson). La funcin de extrapolacin puede ser un polinomio o una funcin racional. Los mtodos de extrapolacin estn descritos en ms detalle por Stoer y Bulirsch. En particular, al aplicar el mtodo de extrapolacin de Richardson a la regla del trapecio compuesta se obtiene elmtodo de Romberg.Cuadratura gausianaSi se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolacin, se encuentra otro grupo de frmulas de integracin, llamadas frmulas de cuadratura de Gauss. Una regla decuadratura de Gausses tpicamente ms precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo nmero de evaluaciones del integrando, si el integrandoes suave (es decir, si se puede derivar muchas veces5.1.1.1. Integracin numrica mltiple.

Las integrales mltiples se utilizan a menudo en la ingeniera. Al numerador se le llama integral doble.Las tcnicas estudiadas en este captulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales mltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una funcin sobre un rea rectangular. Recuerde del clculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.Primero se evala la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integracin se incorpora en la segunda integracin.Una integral numrica doble estar basada en la misma idea. Primero se aplican mtodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos mltiples , a la primera dimensin manteniendo constante los valores de la segunda dimensin. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.5.2. Solucin de ecuaciones diferenciales.Ecuacin diferencialUna ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas de una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.Una ecuacin diferencial es una ecuacin que incluye expresiones o trminos que involucran a una funcin matemtica incgnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:Orden de la ecuacinEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denomina orden de la ecuacin.Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en forma polinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.Ecuacin diferencial linealSe dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma, es decir:Ejemplos:Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, con k un nmero real cualquiera.Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y b reales.Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, con a y b reales.5.2.1. Mtodo de Euler.

Enmatemticaycomputacin, elmtodo de Euler, llamado as en honor deLeonhard Euler, es un procedimiento deintegracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.Elmtodo de Euleres el ms simple de losmtodos numricos.

5.2.2. Mtodos de Runge-Kutta.Es un mtodo genrico de resolucin numrica deecuaciones diferenciales. Este conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor del ao1900por los matemticosC. RungeyM. W. Kutta.Los mtodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de mtodos iterativos (implcitos y explcitos) para la aproximacin de soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.Existen variantes del mtodo de Runge-Kutta clsico, tambin llamado Runge-Kutta explcito, tales como la versin implcita del procedimiento o las parejas de mtodos Runge-Kutta (o mtodos Runge-Kutta-Fehlberg).Este ltimo consiste en ir aproximando la solucin de la ecuacin mediante dos algoritmos Runge-Kutta de rdenes diferentes, para as mantener el error acotado y hacer una buena eleccin de paso.El mtodo de Runge-Kutta no es slo un nico mtodo, sino una importante familia demtodos iterativos, tanto implcitos como explcitos, para aproximar las soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias(E.D.Os); estas tcnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemticos alemanesCarl David Tolm RungeyMartin Wilhelm Kutta.5.2.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales.Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones fsicas en las ciencias naturales, ingeniera, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una varias funciones desconocidas con respecto a una varias variables independientes. Estos modelos varan entre los ms sencillos que envuelven una sola ecuacin diferencial para una funcin desconocida, hasta otros ms complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecnicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en trminos matemticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.Usualmente estas ecuaciones estn acompaadas de una condicin adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posicin inicial. Esto se conoce como lacondicin inicialy junto con la ecuacin diferencial forman lo que se conoce como elproblema de valor inicial. Por lo general, la solucin exacta de un problema de valor inicial es imposible difcil de obtener en forma analtica.Por tal razn los mtodos numricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los mtodos para ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.5.2.4. Mtodos adaptativos de Runge- KuttaUno de los casos en que el mtodo adaptativo es especialmente til es el caso de trayectorias fuertemente elpticas en el caso de atraccin gravitacional. El programa orbit.cpp calcula la rbita de un cometa por diferentes mtodos: Euler, Euler-Cromer, RK4 y RK4 adaptativo. Uno de los test de rbitas es la conservacin de la energa. Si un mtodo tiene errores numricos importantes o es inestable no conserva la energa.5.3. Ecuaciones diferenciales rgidas.Un conjunto de ecuaciones diferenciales es rgida numricamente cuando hay una gran diferencia entre los autovalores de frecuencia altos y bajos, al mismo tiempo que los primeros sufren una amortiguacin excesiva. La velocidad de la solucin de las ecuaciones de movimiento depende de la rigidez numrica de las mismas. Cuanto ms rgidas, ms lenta ser la solucin.La integracin rgida es un mtodo de clculo eficiente para solucionar sistemas rgidos. Para calcular las soluciones de forma eficiente y rpida, las ecuaciones diferenciales rgidas requieren mtodos de integracin rgida.GLOSARIOCuadratura numrica: es ms o menos sinnimo deintegracin numrica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensin a pesar de que para el caso de dos o ms dimensiones.Integracin numrica: amplia gama dealgoritmospara calcular el valor numrico de unaintegral definidaEvaluaciones: accin de estimar calcular o sealar el valor de algo.Trapecios: cuadrilteroque tiene dos ladosparalelosy otros dos que no lo sonIntervalo: es unespacio mtricocomprendido entre dos valoresPrecisin: capacidad de uninstrumentode dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones.Interpoladora: interpoladorasignificaque interpola palabras o frases en un textoExtrapolando: Deducir el valor de una variable en una magnitud a partir de otros valores no incluidos en dicha magnitud.

Cuadratura de Gauss: mtodo de cuadratura es una aproximacin de una integral definida de una funcin.Newton-Cotes: grupo de frmulas deintegracin numricade tipointerpolatorioIteradas:Ejecutarrepetidamenteunaseriedeoperacioneshastasatisfacerunacondicin Incorpora: SumarounirunaparteaunconjuntodeelementosoauntodoRegla de Simpson: mtodo deintegracin numricapara obtener el valor aproximado deintegrales definidasDimensin: es un nmero relacionado con laspropiedades mtricasotopolgicasde un objeto matemticoEcuacin diferencial: ecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidasOrdinarias: QueeshabitualDerivadas: es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de suvariable independiente.Parciales: QueimplicaparcialidadIncgnita: unaincgnitaes un elemento constitutivo de unaexpresin matemtica.Polinmica: una funcinpolinmicaes una funcin asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativoMtodo de Euler: es un procedimiento deintegracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dadoIterativos: Trmino que indica una accin repetitiva

Implcitos: deloqueseentiendeincluidoenotracosasinexpresarloExplcitos: Que expresa con claridad una cosaError acotado: acotacin del errores el estudio matemtico de los errores numricos cometidos en clculos matemticos aproximados de cualquier magnitud numricaAnaltica: Del anlisis o relativo a l

Escalares: son losnmeros realesocomplejosque sirven para describir un fenmeno fsico con magnitudElpticas: Relativo a la elipsis o que contiene una elipsisGravitacional: Propiedad de atraccin mutua entre dos masas separadas por una distanciaRgida: Que no se puede doblar ni torcerAmortiguacin: prcticamente significa recibir, absorber y mitigar unafuerzatal